Lista 3 - Estatística e Probabilidade 2022-1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ICEA - DECEA Estat´ıstica e Probabilidade - CEA307 - PER´IODO LETIVO DE 2022-1 3ª Lista de CEA307 Professor: Hugo Fonseca Ara´ujo Data: 14/10/2022 Respostas sem os respectivos c´alculos ou justificativas n˜ao ser˜ao consideradas. Instru¸c˜oes: Resolva a prova a m˜ao, escaneie ou fotografe as p´aginas com as respostas das quest˜oes e submeta no local indicado pela plataforma Moodle at´e quarta-feira, dia 26 de outubro de 2022 `as 23:59h. Em caso de problemas, envie para o e-mail hugo.araujo@ufop.edu.br, com o assunto “Lista 3 Estat´ıstica e Probabilidade”. Por favor, n˜ao mande no formato RAR. Use PDF, JPG, JPEG, ZIP ou PNG. Seja M o n´umero formado pelos dois ´ultimos d´ıgitos de seu n´umero de matr´ıcula e N o ´ultimo d´ıgito de sua matr´ıcula. Por exemplo, para a matr´ıcula 12.3.4507, temos M = 07 e N = 7. Substitua o valor de M ou N antes de fazer as contas, antes de come¸car a resolver cada quest˜ao. Quest˜ao 1. (14 pt) Uma amostra de 7 elementos foi retirada de uma popula¸c˜ao normalmente dis- tribu´ıda. Os seguintes valores foram encontrados: M + 12, 20 − √ M, 63, 2M − 10, 64, 22, 35 + M a) (7 pt) Sem conhecer a variˆancia populacional, construa um intervalo com grau de confian¸ca de 99% para a m´edia populacional. b) (7 pt) Supondo que a variˆancia populacional ´e σ2 = 1500, construa um intervalo com grau de confian¸ca de 99% para a m´edia populacional. Quest˜ao 2. (18 pt) Estamos interessados em estimar a quantidade de carros nas garagens das ca- sas de uma cidade. Para tanto, uma entrevista foi feita com os habitantes de 100 casas escolhidas aleatoriamente. As frequˆencias das respostas foram organizadas na tabela abaixo. N´umero de carros Quantidade de casas 0 45 1 35 + N 2 15 - N 3 5 a) (7 pt) Determine, com grau de confian¸ca de 95%, um intervalo para a propor¸c˜ao de casas na cidade nas quais h´a exatamente 1 carro na garagem. b) (7 pt) Qual deve ser o tamanho da amostra entrevistada para que possamos determinar as propor¸c˜oes populacionais de cada uma das possibilidades na tabela acima, com margem de erro de 3 pontos porcentuais para mais ou para menos, com grau de confian¸ca de 95%? c) (4 pt) Considerando que h´a 50.000 casas na cidade, estime a quantidade de carros na cidade. 1 Quest˜ao 3. (28 pt) Suponha que um mercador quer comprar um lote de ma¸c˜as. Ele gostaria de compr´a-las caso o peso m´edio delas ´e superior a 130g. Para determinar o que fazer, ele testar´a a hip´otese H0 : µ ≤ 130g a um n´ıvel de significˆancia α = 10%, onde µ indica o peso m´edio das ma¸c˜as no lote. Uma amostra de 12 ma¸c˜as teve os seguintes valores: • peso m´edio x = (145 − N)g. • variˆancia da amostra s2 = 630g2. a) Suponha que a variˆancia na popula¸c˜ao ´e σ2 = 900g2. a1) (7 pt) Determine se H0 deve ser aceita ou rejeitada. O mercador deve comprar o lote? a2) (7 pt) Calcule o p-valor do teste neste exemplo e determine a for¸ca da evidˆencia obtida em contrariedade a H0. a3) (7 pt) Calcule o poder do teste caso o peso m´edio real do lote seja µ = 147g. O que acontece com o poder do teste quando o valor de µ aumenta? Justifique. b) (7 pt) Suponha agora que a variˆancia da popula¸c˜ao ´e desconhecida. Determine se H0 deve ser aceita ou rejeitada. Quest˜ao 4. (30 pt) Uma empresa mediu a resistˆencia `a tra¸c˜ao R de um a¸co em fun¸c˜ao do tempo t de tratamento do a¸co durante a produ¸c˜ao e obteve a tabela abaixo: t(horas) 1 2 3 4 5 6 7 R(kg/mg2) 48 - N/10 50 + N/3 49.4 51.2 52-N/4 56.3 54.2 a) (15 pt) Calcule o coeficiente de correla¸c˜ao linear de Pearson ρ desse conjunto de dados e esboce estes pontos em um diagrama de dispers˜ao. b) (10 pt) Utilizando o m´etodo dos m´ınimos quadrados, encontre a reta que melhor aproxima este conjunto de dados. c)(5 pt) Suponha agora que N n˜ao ´e mais seu n´umero de matr´ıcula, mas um n´umero real qualquer. O que acontece com ρ quando N toma valores muito grandes? Quest˜ao 5. (10 pt) Fa¸ca uma pequena reda¸c˜ao comentando a seguinte afirma¸c˜ao: “O conhecimento cient´ıfico n˜ao ´e exato; ´e aproximadamente exato”. Em sua reda¸c˜ao, fa¸ca uma conex˜ao entre a afirma¸c˜ao acima e os testes de hip´oteses que apresentamos no curso. 2 MATRÍCULA: 20281559 LOGO: M = 59 N = 9 DADOS: 71; 12,31885; 63; 108; 64; 22; 94 X̄ = 71 + ... + 94 / 7 = 434,31885 / 7 = 62,04555 s² = (71 - 62,04555)² + ... + (94 - 62,04555)² / 7 - 1 = 7299,20570 / 6 = 1215,70030 IC(μ) = X̄ ± (t∝2,n-1)√(s²/n) IC(μ) = 62,04555 ± 3,707*√(1215,70030/7) IC(μ) = [13,19305; 110,89805] 99% CONSIDERANDO σ² = 1500 IC(μ) = X̄ ± z∝2* √(σ²/n) IC(μ) = 62,04555 ± 2,58 * √(1500/7) IC(μ) = [24,27822; 99,81288] 99% Nº DE CARROS | QUANTIDADE DE CASAS 0 45 1 35+9=44 2 15-9=6 3 5 TOTAL 100 p̂ = 44/100 = 0,44 IC(p) = p̂ ± z∝2 * √(p̂(1-p̂)/n) IC(p) = 0,44 ± 1,96 * √(0,44(1-0,44)/100) IC(p) = [0,3427; 0,5373] 95% CONSIDERANDO CASOS “OTIMISTAS” (UTILIZANDO p̂) para 0 n = 1,96²*0,45(1-0,45)/0,03² = 539 para 1 n = 1,96²*0,44(1-0,44)/0,03² = 536,60 => n = 537 para 2 n = 1,96²*0,06(1-0,06)/0,03² = 122,83 => n = 123 para 3 n = 1,96²*0,05(1-0,05)/0,03² = 103,44 => n = 104 X: NÚMERO DE CARROS POR CASA NÚMERO ESPERADO DE CARROS POR CASA: E(X) = 0,45*0 + 5*0,44/100 + 2*6/100 + 3*5/100 = 0,78 LOGO, SE HÁ 50000 CASAS NA CIDADE, SE ESPERA: 50000*0,71 = 35500 CARROS X̄ = 145 - 9 = 136g s² = 630 g² supondo σ² = 700 g² a1) H0: μ ≤ 130g H1: μ > 130g ESTATÍSTICA DE TESTE Zcalc = (136-130)/√(900/12) = 0,69 REGIÃO DE REJEIÇÃO Conclusão: Como Zcalc não pertence à região de rejeição de H0, não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 10%. O peso médio não é superior a 130g. O mercador não deve comprar o lote. P-VALOR = P(Z>0,69) = 1 - P(Z<0,69) = 1-0,7549 = 0,2451 A evidência contra H0 é muito fraca, uma vez que é razoavelmente provável (29,51%) encontrar uma amostra como a encontrada quando μ ≤ 130g, ou seja, sob a hipótese nula. β = P(não rejeitar H0 | H0 é falsa) β = P(X̄ ≤ 141,0851 | μ= 147) = P(Z<141,0851-147/√(900/12)) = P(Z<-0,68) = 1-P(Z<0,68) = 1-0,7517 = 0,2483 PODER DO TESTE Poder = 1-β = 1-0,2483 = 0,7517 O poder do teste aumenta quando μ aumenta, pois a diferença se torna maior e, portanto, mais fácil de detectar. b) H0: µ = 130g H1: µ > 130g -ESTATÍSTICA DE TESTE tcalc = (136 - 130) / (√(30/12)) = 0,828 ~ t(∞) - REGIÃO DE REJEIÇÃO (α = 10%) ← REGIÃO DE REJ. DE H0 0 1,363 t(∞) - CONCLUSÃO AO NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 10% NÃO HÁ EVIDÊNCIAS DE QUE A MÉDIA SEJA MAIOR QUE 130g. O MERCADO NÃO DEVE COMPRAR O LOTE. 4 j 1 2 3 4 5 6 7 R 47,10 53,00 49,40 51,20 49,95 56,30 54,20 Σ j = 1 + 2 + ... + 7 = 28 Σ R = 47,10 + ... + 54,20 = 360,95 Σ j² = 1² + ... + 7² = 140 Σ Ri² = 47,10² + ... + 54,20² = 18671,6030 Σ j . Ri = 1 . 47,10 + ... + 7 . 54,20 = 1472,05 α) ρ = (7 . 1472,05 - 28 . 360,95) / (√(7 . 140 - 28²) . √(7 . 18671,6030 - 360,95²)) ≈ 0,6923 b) ŷ = a + b x b = (7 . 1472,05 - 28 . 360,95) / (7 . 140 - 28²) = 1,0089 ŷ = 47.5287 + 1,0089 x a = 360,95 / 7 - 1,0089 . 28 / 7 = 47,5287 c) QUANDO N ASSUMIR VALORES MUITO GRANDES FARÁ C/ Q UE AS OBSER VAÇÕES 2 E 5 SEJAM NEGATIVAS E A OBSERVAÇÃO 2 SEJA MUITO GRANDE, AUMENTANDO A DISPERSÃO DOS DADOS E REDUZINDO O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR (ρ).