Questões - Probabilidade - 2023-2

1) Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se houver 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? 2) Suponha que 150 erros de impressão são distribuídos aleatoriamente em um livro de 200 páginas. Encontre a probabilidade de que em 2 páginas contenham: a) nenhum erro de impressão b) três erros de impressão c) um ou mais erros de impressão 3) Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? 4) Em uma determinada localidade a distribuição de renda, em u.m. (unidade monetária) é uma variável aleatória X com função de distribuição de probabilidade: a) Mostre que f(x) é uma função densidade probabilidade b) Qual a renda média desta localidade c) Qual a probabilidade de encontrar uma pessoa com renda acima de 4,5 u.m.? 5) Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional. Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição para o teste funcional. a) Se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra? b) Se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de que no mínimo um cartão defeituoso apareça na amostra? 6) Considere uma urna com 4 bolas vermelhas e 6 pretas. Retire três bolas, sem reposição e defina a variável aleatória X igual ao número de bolas pretas. a) Obtenha a distribuição de X. b) Qual o número médio de bolas pretas. c) Qual a variância de bolas pretas. 7) A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm? 8) A duração de um pneu de automóvel, em quilômetros rodados, apresenta distribuição normal com média 70000 km, e desvio-padrão de 10000 km. a) Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar mais de 85000 km? b) Qual a probabilidade de um pneu durar entre 55000 km e 65000 km? c) O fabricante deseja fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que, se a duração de um pneu for inferior à da garantia, o pneu será trocado. De quanto deve ser essa garantia para que somente 1% dos pneus sejam trocados? 1) P(X=k) = C(n, k)・pk・(1-p)(n-k) n = 6 (número de crianças na família) k = 3 (metade das crianças, que queremos ter cabelos loiros) p = 1/4 (probabilidade de uma criança ter cabelos loiros) 1 - p = 1 - 1/4 = 3/4 (probabilidade de uma criança não ter cabelos loiros) P(X=3) = C(6, 3)・(1/4)3・(3/4)(6-3) Para calcular o coeficiente binomial C(6, 3), usamos a fórmula: 𝐶(𝑛, 𝑘) = 𝑛! (𝑘! · (𝑛 − 𝑘)!) 𝐶(6, 3) = 6! (3! · (6 − 3)!) = 20 Agora, vamos substituir na fórmula da probabilidade: P(X=3) = 20・(1/4)3・(3/4)3 ≈ 0,1318359375 ≈ 13,18% Portanto, a probabilidade de metade das 6 crianças terem cabelos loiros é aproximadamente 13,18%. 3) Aqui n = 4, X ≥ 3, p = 0,3 e 1 – p = 0,7 P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) P(X ≥ 3) = P(3) + P(4) = 0,0756 + 0,0081 = 0,0837 P(X ≥ 3) = 8,37% 5) a) \( P[X = x] = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}} \) \( \therefore P[X \geq 1] = 1 - P[X = 0] \) \( P[X = 0] = \frac{\binom{20}{0} \binom{140-20}{20-0}}{\binom{140}{20}} \) \( = 0.0356 \) \( \therefore P[X \geq 1] = 1 - 0.0356 \) \( = \boxed{0.9644} \) b) \( P[X \geq 1] = 1 - P[X = 0] \) \( P[X = 0] = \frac{\binom{5}{0} \binom{140-5}{20-0}}{\binom{140}{20}} \) \( = \frac{\binom{135}{20}}{\binom{140}{20}} \) \( = 0.4571 \) \( \therefore P[X \geq 1] = 1 - 0.4571 \) \( = \boxed{0.5429} \) b) E{X} = ∫x . f(x) dx c) 𝑃(𝑋 > 4, 5) = 4,5 6 ∫ (− 3𝑥 2 40 + 9𝑥 20 )𝑑𝑥 =− 3 40 [ 𝑥 3 3 ] 4,5 6 + 9 20 [ 𝑥 2 2 ] 4,5 6 𝑃(𝑋 > 4, 5) =− 3, 121875 + 3, 54375 = 0, 421875 = 42, 1875% ≈ 42, 2% Portanto, a probabilidade de encontrar uma pessoa com renda acima de 4,5 u.m. é de aproximadamente 42, 2%. 6) a) A distribuição de X é dada pela seguinte tabela: \begin{tabular}{|c|c|} \hline X & Probabilidade \\ \hline 0 & \frac{1}{30} \\ 1 & \frac{3}{10} \\ 2 & \frac{1}{2} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ \hline \end{tabular} Para calcular o número médio de bolas pretas (E[X]), usamos a fórmula: \[E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X = x)\] Substituindo os valores, temos: \[E[X] = (0 \cdot \frac{1}{30}) + (1 \cdot \frac{3}{10}) + (2 \cdot \frac{1}{2}) + (3 \cdot \frac{1}{6})\] \[E[X] = 0 + \frac{3}{10} + 1 + \frac{1}{2}\] \[E[X] = \frac{5}{10} + \frac{1}{2}\] \[E[X] = 1,8\] O número médio de bolas pretas é 1,8. b) Para calcular a variância de X (Var[X]), usamos a fórmula: \[Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2\] Primeiro, precisamos calcular E[X^2], que é a esperança do quadrado de X: \[E[X^2] = (0^2 \cdot \frac{1}{30}) + (1^2 \cdot \frac{3}{10}) + (2^2 \cdot \frac{1}{2}) + (3^2 \cdot \frac{1}{6})\] \[E[X^2] = 0 + \frac{3}{10} + 2 + \frac{3}{2}\] \[E[X^2] = \frac{3}{10} + 2 + \frac{3}{2}\] \[E[X^2] = \frac{3}{10} + \frac{20}{10} + \frac{15}{10}\] \[E[X^2] = \frac{38}{10}\] \[E[X^2] = 3,8\] b) Agora, podemos calcular a variância: \[Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2\] \[Var[X] = 3,8 - 1,8^2\] \[Var[X] = 3,8 - 3,24\] \[Var[X] = 0,56\] A variância de bolas pretas é 0,56. 7) Determinar a proporção da distribuição que está acima de 10 PPM, isto é, P(X>10). Usando Z na estatística temos: P(X>10) = P(Z>10-8/1.5) = P(Z>1.33) = 1 – P(Z ≤ 1.33) = 0,09 Portanto, espera-se que a água liberada pela fábrica exceda os limites regulatórios cerca de 9% do tempo. 8) a) Probabilidade de um pneu durar mais de 85000 km: Vamos calcular o valor de z para 85000 km e, em seguida, encontraremos a probabilidade correspondente usando a tabela Z. z = (85000 - 70000) / 10000 z = 1,5 Agora, usando a tabela Z, encontramos que a probabilidade de um pneu durar mais de 85000 km (ou seja, além de 1,5 desvios-padrão acima da média) é aproximadamente 6,68%. b) Probabilidade de um pneu durar entre 55000 km e 65000 km: Vamos calcular os valores de z para 55000 km e 65000 km e, em seguida, encontraremos as probabilidades correspondentes usando a tabela Z. Para 55000 km: z = (55000 - 70000) / 10000 z = -1,5 Para 65000 km: z = (65000 - 70000) / 10000 z = -0,5 Agora, usando a tabela Z, encontramos as probabilidades: Probabilidade de durar menos de 55000 km (além de 1,5 desvios-padrão abaixo da média) é aproximadamente 6,68%. Probabilidade de durar menos de 65000 km (além de 0,5 desvio-padrão abaixo da média) é aproximadamente 30,85%. Para calcular a probabilidade de durar entre 55000 km e 65000 km, subtraímos a probabilidade de durar menos de 65000 km pela probabilidade de durar menos de 55000 km: Probabilidade entre 55000 km e 65000 km = 30,85% - 6,68% = 24,17%. c) Garantia para que apenas 1% dos pneus sejam trocados: Aqui, precisamos encontrar o valor de quilometragem (x) abaixo do qual apenas 1% dos pneus são esperados para durar. Vamos usar a tabela Z para isso. Primeiro, encontramos o valor de z correspondente a uma probabilidade de 1% (0,01). Usando a tabela Z, encontramos que o valor de z para uma probabilidade de 0,01 é aproximadamente -2,33. Agora, usamos a fórmula do z para encontrar o valor de x: -2,33 = (x - 70000) / 10000 x - 70000 = -2,33・10000 x - 70000 = -23300 x = 70000 - 23300 x = 46700 Portanto, a garantia deve ser de 46700 km para que apenas 1% dos pneus sejam trocados.