Slide - Variáveis Aleatórias - 2023-2

Estatística July 3, 2021 Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 1 / 17 NOME 1 Variáveis aleatórias 2 Variáveis Aleatórias Discretas Função de Probabilidade Distribuição de Probabilidade Função de Distribuição Esperança Matemática Variância 3 Variáveis Aleatórias Contínuas Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 2 / 17 Variáveis aleatórias Muitos experimentos aleatórios produzem resultados não-numéricos. Antes de analisá-los, é conveniente transformar seus resultados em números, o que é feito através da variável aleatória, que é uma regra de associação de um valor numérico a cada ponto do espaço amostral. Portanto, variáveis aleatórias são variáveis numéricas às quais iremos associar modelos probabilísticos. Veremos que uma variável aleatória tem um número para cada resultado de um experimento e que uma distribuição de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento. Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 3 / 17 Conceito de variável aleatória Sejam E um experimento e Ω o espaço associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento ω de Ω um número real X(ω), é denominada variável aleatória. Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 4 / 17 Empregamos a termo variável aleatória para descrever o valor que corresponde ao resultado de determinado experimento. As variáveis aleatórias também podem ser discretas ou continuas e temos as seguintes definições: Variáveis Aleatórias Discretas → Admitem um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores. Variáveis Aleatórias Continuas → podem tomar um número infinito de valores,e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 5 / 17 Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo E: lançamento de duas moedas; X: no de caras obtidas nas duas moedas; Seja Ω = {(C, C), (C, R), (R, C), (R, R)} Assim, X = 0 corresponde ao evento (r, r) com probabilidade 1 4 X = 1 corresponde ao evento (r, c), (c, r) com probabilidade 2 4 X = 2 corresponde ao evento (c, c) com probabilidade 1 4. Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 6 / 17 Função de Probabilidade Definição Função de Probabilidade é a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente, isto é: P(X = x) = P(Ai), i = 1, 2, · · · , n Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 7 / 17 Distribuigao de Probabilidade Ao conjunto {x;, p(z;), i =1,2,--- ,r} damos 0 nome de Distribuigao de Probabilidade da variavel aleatoria X E importante ressaltar que, para que haja uma distribuicao de probabilidades de uma variavel aleatéria X 6 necessario que n >> p(w) =1 i=l Fungao de Distribuigao A fungao de distribuigao ou fungao de distribuigao acumulada de probabilidade de uma variavel aleatdria discreta X é definida, para qualquer numero real « como F(x) = P(X <2) = D> p(x) Li,<u Exemplo - Função de Distribuição Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 10 / 17 Exemplo - Função de Distribuição Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 11 / 17 Exemplo - Função de Distribuição Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 12 / 17 Esperanga Matematica Existem caracteristicas numéricas que sao muito importantes em uma distribuigao de probabilidade de uma variavel aleatoria discreta. Sao os parametros da distribui¢ao. A média, ou valor esperado, ou esperanga de uma variavel aleatéria_X é dada pela expressao n E(X) = S° aip(ai) i=1 Propriedades das Esperanca Matematica @ E(k) =k, sendo k constante @ E(kKX) =kE(X) @ E(X+Y)=E(X)+E(Y) @ Ey Xi} = VE {E(%)} @ E(aX +b) =aE(X) +b, sendo a e b constantes @ E(X — pr) =0 A variancia 6 uma medida da variabilidade que considera todas as observacoes e, devido as propriedades que possui, é a mais utilizada na maioria das situacgdes na estatistica. A variancia relaciona os desvios em torno da média e sua raiz quadrada é o desvio-padrao. Sua expressao, no que se refere a uma variavel aleatoria X de um conjunto de dados é: VAR(X) = E{[X — E(X)??} = E(X?) - [B(X)? No caso discreto temos: n E(X*) = $72? - (ai) =l1 Propriedades da Variância V AR(k) = 0, sendo k constante V AR(kX) = k2V AR(X) V AR(X ± Y ) = V AR(X) + V AR(Y ) ± 2cov(X, Y ) V AR(aX ± b) = a2V AR(X) ± b, sendo a e b constantes Estatítica - UFOP UFOP July 3, 2021 16 / 17 Variaveis Aleatorias Continuas Para as variaveis aleatorias continuas, temos: Fungao densidade de Probabilidade b P(a<X<b)= / fla)de a Esperanca matematica co E(X) = / xf (x)dx —oo Variancia VAR(X) = E(X*) — [E(X)?? em que: co E(X?) = / a” f (a)da —oo