Lista 3 - Estatística e Probabilidade 2022 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ICEA - DECEA Estat´ıstica e Probabilidade - CEA307 - PER´IODO LETIVO DE 2022-1 3ª Lista de CEA307 Professor: Hugo Fonseca Ara´ujo Data: 14/10/2022 Respostas sem os respectivos c´alculos ou justificativas n˜ao ser˜ao consideradas. Instru¸c˜oes: Resolva a prova a m˜ao, escaneie ou fotografe as p´aginas com as respostas das quest˜oes e submeta no local indicado pela plataforma Moodle at´e quarta-feira, dia 26 de outubro de 2022 `as 23:59h. Em caso de problemas, envie para o e-mail hugo.araujo@ufop.edu.br, com o assunto “Lista 3 Estat´ıstica e Probabilidade”. Por favor, n˜ao mande no formato RAR. Use PDF, JPG, JPEG, ZIP ou PNG. Seja M o n´umero formado pelos dois ´ultimos d´ıgitos de seu n´umero de matr´ıcula e N o ´ultimo d´ıgito de sua matr´ıcula. Por exemplo, para a matr´ıcula 12.3.4507, temos M = 07 e N = 7. Substitua o valor de M ou N antes de fazer as contas, antes de come¸car a resolver cada quest˜ao. Quest˜ao 1. (14 pt) Uma amostra de 7 elementos foi retirada de uma popula¸c˜ao normalmente dis- tribu´ıda. Os seguintes valores foram encontrados: M + 12, 20 − √ M, 63, 2M − 10, 64, 22, 35 + M a) (7 pt) Sem conhecer a variˆancia populacional, construa um intervalo com grau de confian¸ca de 99% para a m´edia populacional. b) (7 pt) Supondo que a variˆancia populacional ´e σ2 = 1500, construa um intervalo com grau de confian¸ca de 99% para a m´edia populacional. Quest˜ao 2. (18 pt) Estamos interessados em estimar a quantidade de carros nas garagens das ca- sas de uma cidade. Para tanto, uma entrevista foi feita com os habitantes de 100 casas escolhidas aleatoriamente. As frequˆencias das respostas foram organizadas na tabela abaixo. N´umero de carros Quantidade de casas 0 45 1 35 + N 2 15 - N 3 5 a) (7 pt) Determine, com grau de confian¸ca de 95%, um intervalo para a propor¸c˜ao de casas na cidade nas quais h´a exatamente 1 carro na garagem. b) (7 pt) Qual deve ser o tamanho da amostra entrevistada para que possamos determinar as propor¸c˜oes populacionais de cada uma das possibilidades na tabela acima, com margem de erro de 3 pontos porcentuais para mais ou para menos, com grau de confian¸ca de 95%? c) (4 pt) Considerando que h´a 50.000 casas na cidade, estime a quantidade de carros na cidade. 1 Quest˜ao 3. (28 pt) Suponha que um mercador quer comprar um lote de ma¸c˜as. Ele gostaria de compr´a-las caso o peso m´edio delas ´e superior a 130g. Para determinar o que fazer, ele testar´a a hip´otese H0 : µ ≤ 130g a um n´ıvel de significˆancia α = 10%, onde µ indica o peso m´edio das ma¸c˜as no lote. Uma amostra de 12 ma¸c˜as teve os seguintes valores: • peso m´edio x = (145 − N)g. • variˆancia da amostra s2 = 630g2. a) Suponha que a variˆancia na popula¸c˜ao ´e σ2 = 900g2. a1) (7 pt) Determine se H0 deve ser aceita ou rejeitada. O mercador deve comprar o lote? a2) (7 pt) Calcule o p-valor do teste neste exemplo e determine a for¸ca da evidˆencia obtida em contrariedade a H0. a3) (7 pt) Calcule o poder do teste caso o peso m´edio real do lote seja µ = 147g. O que acontece com o poder do teste quando o valor de µ aumenta? Justifique. b) (7 pt) Suponha agora que a variˆancia da popula¸c˜ao ´e desconhecida. Determine se H0 deve ser aceita ou rejeitada. Quest˜ao 4. (30 pt) Uma empresa mediu a resistˆencia `a tra¸c˜ao R de um a¸co em fun¸c˜ao do tempo t de tratamento do a¸co durante a produ¸c˜ao e obteve a tabela abaixo: t(horas) 1 2 3 4 5 6 7 R(kg/mg2) 48 - N/10 50 + N/3 49.4 51.2 52-N/4 56.3 54.2 a) (15 pt) Calcule o coeficiente de correla¸c˜ao linear de Pearson ρ desse conjunto de dados e esboce estes pontos em um diagrama de dispers˜ao. b) (10 pt) Utilizando o m´etodo dos m´ınimos quadrados, encontre a reta que melhor aproxima este conjunto de dados. c)(5 pt) Suponha agora que N n˜ao ´e mais seu n´umero de matr´ıcula, mas um n´umero real qualquer. O que acontece com ρ quando N toma valores muito grandes? Quest˜ao 5. (10 pt) Fa¸ca uma pequena reda¸c˜ao comentando a seguinte afirma¸c˜ao: “O conhecimento cient´ıfico n˜ao ´e exato; ´e aproximadamente exato”. Em sua reda¸c˜ao, fa¸ca uma conex˜ao entre a afirma¸c˜ao acima e os testes de hip´oteses que apresentamos no curso. 2 a) \hat{p} = \frac{44}{100} = 0,44 IC(\hat{p}) = \hat{p} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} IC(\hat{p}) = 0,44 \pm 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,44 \cdot (1-0,44)}{100}} IC(\hat{p}) = [0,3427; 0,5373] \quad 95\% b) Considerando casos "otimistas" (utilizando \hat{p}) - Para 0 n = \frac{1,96^2 \cdot 0,45 \cdot (1-0,45)}{0,03^2} = 539 - Para 1 n = \frac{1,96^2 \cdot 0,49 \cdot (1-0,49)}{0,03^2} = 536,60 \Rightarrow n = 537 - Para 2 n = \frac{1,96^2 \cdot 0,06 \cdot (1-0,06)}{0,03^2} = 122,83 \Rightarrow n = 123 - Para 3 n = \frac{1,96^2 \cdot 0,05 \cdot (1-0,05)}{0,03^2} = 103,44 \Rightarrow n = 104 c) \mathbf{X}: \text{Número de carros por casa} Número esperado de carros por casa: E(\mathbf{X}) = 0 \cdot 0,45 + 1 \cdot \frac{44}{100} + 2 \cdot \frac{6}{100} + 3 \cdot \frac{5}{100} = 0,71 Logo, se há 50000 casas na cidade, se espera: 50000 \cdot 0,71 = 35500 \text{carros} \overline{X} = \frac{145-9}{12} = 136g s^2 = 630 \, g^2 \alpha = 10\% n = 12 a) Supondo \sigma^2 = 700 \, g^2 a1) H_{0}: \mu \leq 130g H_{1}: \mu > 130g - Estatística de teste Z_{calc} = \frac{136-130}{\sqrt{\frac{900}{12}}} = 0,69 - Região de rejeição (Gráfico) Conclusão: Como Z_{calc} não pertence à região de rejeição de H_{0}, não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 10%. O peso médio não é superior a 130g. O mercador não deve comprar o lote. a2) p-valor = P(Z \geq 0,69) = 1 - P(Z < 0,69) = 1 - 0,7549 = 0,2451 A evidência contra H_{0} é muito fraca, uma vez que é razoavelmente provável (24,51%) encontrar uma amostra como a encontrada quando \mu \leq 130g, ou seja, sob a hipótese nula. a3)\quad \beta = P(\text{Não rejeitar} \, H_{0} | H_{0} \, \text{é falsa}) \beta = P(\overline{X} < 145,0851 \, | \, \mu = 147) = P\left(Z < \frac{145,0851-147}{\sqrt{\frac{900}{12}}}\right) = P(Z < -0,68) = 1-P(Z < -0,68) = 1-0,7517 = 0,2483 - Poder do teste Poder \equiv 1 - \beta = 1 - 0,2483 = 0,7517 O poder do teste aumenta quando \mu aumenta, pois a diferença se torna maior e, portanto, mais fácil de detectar. Matrícula: 2028559 Logo: m = 59 \quad n = 9 1) Dados: 71; 12,31885; 63; 108; 64; 22; 94 \overline{X} = \frac{71+...+94}{7} = \frac{434,31885}{7} = 62,04555 s^2 = \frac{(71-62,04555)^2 + ... + (94-62,04555)^2}{7-1} = 1215,70030 IC(\mu) = \overline{X} \pm t_{(\frac{\alpha}{2},n-1)} \sqrt{\frac{s^2}{n}} IC(\mu) = 62,04555 \pm 3,707 \cdot \sqrt{\frac{1215,70030}{7}} IC(\mu) = [13,19305; 110,89805] \quad 99\% b) Considerando \sigma^2 = 1500 IC(\mu) = \overline{X} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} IC(\mu) = 62,04555 \pm 2,58 \cdot \sqrt{\frac{1500}{7}} IC(\mu) = [24,27822; 99,81288] \quad 99\% 2)\quad N^o \text{ de carros | Quantidade de casas} 0 | 45 1 | 35+9=44 2 | 15-9=6 3 | 5 \text{Total} | 100 b) H0: µ ≤ 130g \n H1: µ > 130g \n - ESTATÍSTICA DE TESTE \n tcalc = (136 - 130)/(√(30/12)) = 0,828 ~ t(11) \n - REGIÃO DE REJEIÇÃO (α=10%) \n Região de rejeiç de H0 \n \n | \n ___|___________ 1,363 t(11) \n \n - CONCLUSÃO \n AO NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 10% NÃO HÁ EVIDÊNCIA DE QUE \n A MÉDIA SEJA MAIOR QUE 130g. O MERCADOR NÃO DEVE \n COMPRAR O LOTE. \n \n 7 | 1 2 3 4 5 6 7 \n ——————————— \n R 47,10 53,00 49,40 51,20 49,95 56,30 54,20 \n \n Σx² = 1² + … + 7² = 28 \n ΣR = 47,10 + … + 54,20 = 360,95 \n Σx² = 1² + … + 7² = 140 \n ΣR² = 47,10² + … + 54,20² = 18671,6030 \n \n Σx. Ri = 1.47,10 + … + 7.54,20 = 1472,05 \n \n a) ρ = (7.1472,05 - 28.360,95)/(√(7.140-28²)√(7.18671,6030-360,95²)) = 0,6923 \n \n b) ŷ = a + bx \n b = (7.1472,05 - 28.360,95)/(7.140 - 28²) = 1,0089 \n a = 360,95/7 - 1,0089.28/7 = 47,5287 \n ŷ = 47,5287 + 1,0089x \n \n c) QUANDO N ASSUMIR VALORES MUITO GRANDES FARÁ C/ QUE AS OBSER- \n VAÇÕES 2 E 5 SEJAM NEGATIVAS E A OBSERVAÇÃO 2 SEJA MUITO \n GRANDE, AUMENTANDO A DISPERSÃO DOS DADOS E REDUZINDO O \n COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR (ρ). \n