Lista - Intervalos de Confiança - Estatística e Probabilidade 2022 2

Lista de Exercıcios Avaliativa EST202 Estatıstica e Probabilidade Marco de 2023 Orientacoes Esta lista consiste na ultima atividade avaliativa do perıodo Alem do resultado serao avaliadas a escolha correta do tipo de intervalo de confianca e teste de hipoteses alem da correta interpretacao do resultado A lista devera ser digitalizada e enviada para o email helgemufopedubr ate as 2359 do dia 26 de marco de 2023 Caso nao consiga concluir todos os exercıcios envie aqueles que vocˆe conseguiu concluir Identifique a lista com seu nome 1 Intervalos de Confianca 1 Foram retiradas 25 pecas da producao diaria de uma maquina Desta amostra foi calculada o compri mento medio das pecas no valor de 52 mm Sabendo que o comprimento das pecas tˆem distribuicao normal com desvio padrao populacional de 12 mm construir intervalos de confianca para a media aos nıveis de 90 95 e 99 2 De uma distribuicao normal com variˆancia populacional conhecida σ2 1 96 obtevese a seguinte amostra 252 260 464 271 282 284 Determinar o intervalo de confianca para a media da populacao sendo α 0 05 e α 0 10 3 Uma amostra proveniente de populacao normal e composta pelos seguintes elementos 7 7 8 9 9 9 10 11 11 11 12 13 13 14 15 15 Construir os intervalos de confianca para a media aos nıveis de confianca de 95 e de 80 Comparar os resultados e comentar as diferencas de amplitudes 4 As estaturas de 20 recemnascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP cujos resultados em centımetros sao 41 50 52 49 49 54 50 47 52 49 50 52 50 47 49 51 46 50 49 50 a Supor inicialmente que as estaturas dos recemnascidos seja normalmente distribuıdas com variˆancia igual a 2cm2 Construir um intervalo de confianca para a media considerando um nıvel de 95 de confianca b Fazer o mesmo intervalo de confianca para a media mas agora desconhecendo a variˆancia popula cional 5 Para estabelecer parˆametros de garantia uma empresa rotineiramente testa uma amostra dos compo nentes produzidos A fabrica garante que os componentes funcionam o mınimo de 1000 horas Uma centena de componentes eletrˆonicos foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais de 1000 horas Determi nar um intervalo de confianca de 95 para a proporcao de componentes que funcionam mais de 1000 horas O que poderia ser dito sobre a garantia considerando os resultados para este lote de pecas 6 Para verificar se um dado era viciado jogouse o mesmo 120 vezes obtendose 25 vezes o numero cinco Determinar um intervalo de confianca para a proporcao de numeros cinco admitindose um nıvel de confianca de 99 Podese dizer que o dado e viciado 1 2 Testes de Hipoteses 1 Uma amostra com 10 observacoes de uma variavel aleatoria normal forneceu media de 55 e variˆancia amostral 4 Teste ao nıvel de 5 de significˆancia se a media da populacao e igual ou menor a 6 2 Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substˆancia no tempo de reacao de seres vivos a um certo estımulo Para tal uma substˆancia e inoculada na cobaia e na sequˆencia um estımulo eletrico e aplicado e o tempo de reacao contabilizado Foram obtidos os seguintes valores 91 93 72 75 133 109 72 99 80 86 Admita que o tempo de reacao possua distribuicao normal com media µ 8 e desvio padrao σ 2 ou seja o tempo de reacao normal e de 8 segundos Teste ao nıvel de 5 de significˆancia se o medicamento afeta o tempo de reacao das cobaias 3 Quinze animais foram alimentados com certa dieta durante trˆes semanas e verificouse os seguintes aumentos de peso 25 30 32 24 40 34 37 33 34 28 30 32 38 29 31 Teste a hipotese de que a media de aumento de peso e 30 sendo α 10 4 Admitindo que a pressao sanguınea arterial em homens siga distribuicao normal 7 pacientes foram sorteados e tiveram sua pressao aferida com os seguintes valores 84 81 77 85 69 80 79 a Teste se a verdadeira media e 82 ao nıvel de 2 de significˆancia b Construa o intervalo de confianca para a media µ ao nıvel de 98 de confianca 5 Uma amostra de 500 eleitores selecionados ao acaso revela que 52 sao favoraveis ao Partido Democratico Poderia essa amostra ter sido retirada de uma populacao que tivesse 50 de eleitores democratas Ad mitir α 0 05 6 Lancase uma moeda 100 vezes e obtˆemse 60 caras Teste ao nıvel 5 de significˆancia a hipotese de que a moeda e honesta 2 Tabela da Distribuição Normal Padrão PZz z 00 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 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04404 04364 04325 04286 04247 02 04207 04168 04129 04090 04052 04013 03974 03936 03897 03859 03 03821 03783 03745 03707 03669 03632 03594 03557 03520 03483 04 03446 03409 03372 03336 03300 03264 03228 03192 03156 03121 05 03085 03050 03015 02981 02946 02912 02877 02843 02810 02776 06 02743 02709 02676 02643 02611 02578 02546 02514 02483 02451 07 02420 02389 02358 02327 02296 02266 02236 02206 02177 02148 08 02119 02090 02061 02033 02005 01977 01949 01922 01894 01867 09 01841 01814 01788 01762 01736 01711 01685 01660 01635 01611 10 01587 01562 01539 01515 01492 01469 01446 01423 01401 01379 11 01357 01335 01314 01292 01271 01251 01230 01210 01190 01170 12 01151 01131 01112 01093 01075 01056 01038 01020 01003 00985 13 00968 00951 00934 00918 00901 00885 00869 00853 00838 00823 14 00808 00793 00778 00764 00749 00735 00721 00708 00694 00681 15 00668 00655 00643 00630 00618 00606 00594 00582 00571 00559 16 00548 00537 00526 00516 00505 00495 00485 00475 00465 00455 17 00446 00436 00427 00418 00409 00401 00392 00384 00375 00367 18 00359 00351 00344 00336 00329 00322 00314 00307 00301 00294 19 00287 00281 00274 00268 00262 00256 00250 00244 00239 00233 20 00228 00222 00217 00212 00207 00202 00197 00192 00188 00183 21 00179 00174 00170 00166 00162 00158 00154 00150 00146 00143 22 00139 00136 00132 00129 00125 00122 00119 00116 00113 00110 23 00107 00104 00102 00099 00096 00094 00091 00089 00087 00084 24 00082 00080 00078 00075 00073 00071 00069 00068 00066 00064 25 00062 00060 00059 00057 00055 00054 00052 00051 00049 00048 26 00047 00045 00044 00043 00041 00040 00039 00038 00037 00036 27 00035 00034 00033 00032 00031 00030 00029 00028 00027 00026 28 00026 00025 00024 00023 00023 00022 00021 00021 00020 00019 29 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00015 00014 00014 30 00013 00013 00013 00012 00012 00011 00011 00011 00010 00010 31 00010 00009 00009 00009 00008 00008 00008 00008 00007 00007 32 00007 00007 00006 00006 00006 00006 00006 00005 00005 00005 33 00005 00005 00005 00004 00004 00004 00004 00004 00004 00003 34 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00002 35 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 36 00002 00002 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 37 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 38 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 39 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 Área na cauda superior gl 025 010 005 0025 001 0005 00025 0001 00005 1 1000 3078 6314 1271 3182 6366 1273 3183 6366 2 0816 1886 2920 4303 6965 9925 1409 2233 3160 3 0765 1638 2353 3182 4541 5841 7453 1021 1292 4 0741 1533 2132 2776 3747 4604 5598 7173 8610 5 0727 1476 2015 2571 3365 4032 4773 5894 6869 6 0718 1440 1943 2447 3143 3707 4317 5208 5959 7 0711 1415 1895 2365 2998 3499 4029 4785 5408 8 0706 1397 1860 2306 2896 3355 3833 4501 5041 9 0703 1383 1833 2262 2821 3250 3690 4297 4781 10 0700 1372 1812 2228 2764 3169 3581 4144 4587 11 0697 1363 1796 2201 2718 3106 3497 4025 4437 12 0695 1356 1782 2179 2681 3055 3428 3930 4318 13 0694 1350 1771 2160 2650 3012 3372 3852 4221 14 0692 1345 1761 2145 2624 2977 3326 3787 4140 15 0691 1341 1753 2131 2602 2947 3286 3733 4073 16 0690 1337 1746 2120 2583 2921 3252 3686 4015 17 0689 1333 1740 2110 2567 2898 3222 3646 3965 18 0688 1330 1734 2101 2552 2878 3197 3610 3922 19 0688 1328 1729 2093 2539 2861 3174 3579 3883 20 0687 1325 1725 2086 2528 2845 3153 3552 3850 21 0686 1323 1721 2080 2518 2831 3135 3527 3819 22 0686 1321 1717 2074 2508 2819 3119 3505 3792 23 0685 1319 1714 2069 2500 2807 3104 3485 3768 24 0685 1318 1711 2064 2492 2797 3091 3467 3745 25 0684 1316 1708 2060 2485 2787 3078 3450 3725 26 0684 1315 1706 2056 2479 2779 3067 3435 3707 27 0684 1314 1703 2052 2473 2771 3057 3421 3689 28 0683 1313 1701 2048 2467 2763 3047 3408 3674 29 0683 1311 1699 2045 2462 2756 3038 3396 3660 30 0683 1310 1697 2042 2457 2750 3030 3385 3646 35 0682 1306 1690 2030 2438 2724 2996 3340 3591 40 0681 1303 1684 2021 2423 2704 2971 3307 3551 45 0680 1301 1679 2014 2412 2690 2952 3281 3520 50 0679 1299 1676 2009 2403 2678 2937 3261 3496 z 0674 1282 1645 1960 2326 2576 2807 3090 3291 Nota A coluna em destaque é a mais usada Tabela 5 Distribuição t de Student 0 t Área indicada Valor tabulado BARBETTA P A Estatística aplicada às Ciências Sociais 7 ed Florianópolis Editora da UFSC 2010 INTERVALOS DE CONFIANÇA Para construir um intervalo de confiança para a média populacional podemos usar a distribuição normal padrão e a fórmula intervalo de confiança média amostral z erro padrão Onde z é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado e o erro padrão é dado por 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑛 Onde n é o tamanho da amostra Substituindo os valores dados temos n 25 média amostral 52 mm desvio padrão populacional 12 mm Para um nível de confiança de 90 z 1645 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 12 25 024 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 52 1645 024 478 562 Assim podemos afirmar com 90 de confiança que a verdadeira média do comprimento das peças está entre 478 mm e 562 mm Para um nível de confiança de 95 z 196 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 12 25 024 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 52 196 024 470 570 Assim podemos afirmar com 95 de confiança que a verdadeira média do comprimento das peças está entre 470 mm e 570 mm Para um nível de confiança de 99 z 2576 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 1225 024 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 52 2576 024 453 587 Assim podemos afirmar com 99 de confiança que a verdadeira média do comprimento das peças está entre 453 mm e 587 mm Para calcular o intervalo de confiança para a média populacional podemos usar a fórmula 𝐼𝐶 𝑥 𝑧 𝛼 2 𝜎 𝑛 Onde x é a média da amostra σ é o desvio padrão populacional no nosso caso a raiz quadrada da variância conhecida 14 n é o tamanho da amostra e z é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado α Para α 005 temos z0025 196 Substituindo na fórmula 𝐼𝐶 301 196 14 6 𝐼𝐶 255 347 Portanto podemos dizer com 95 de confiança que a verdadeira média populacional está entre 255 e 347 Para α 01 temos z005 1645 Substituindo na fórmula 𝐼𝐶 301 1645 146 𝐼𝐶 266 336 Portanto podemos dizer com 90 de confiança que a verdadeira média populacional está entre 266 e 336 Para construir intervalos de confiança para a média de uma população normal podemos usar a distribuição t de Student quando a variância populacional não é conhecida e o tamanho da amostra é pequeno geralmente n 30 Quando a variância populacional é conhecida e o tamanho da amostra é grande geralmente n 30 podemos usar a distribuição normal padrão Nesse caso como não temos informações sobre a variância populacional usaremos a distribuição t de Student Para calcular os intervalos de confiança precisamos primeiro encontrar a média e o desvio padrão da amostra 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑥 7 7 8 9 9 9 10 11 11 11 12 13 13 14 15 15 16 10 Desvio padrão s 25166 Agora podemos calcular os intervalos de confiança para a média Intervalo de confiança de 95 Para um nível de confiança de 95 com 15 graus de liberdade o valor crítico de t é de 2131 Então o intervalo de confiança para a média é dado por 10 2131 25166 16 10 1844 Intervalo de confiança de 95 8156 11844 Intervalo de confiança de 80 Para um nível de confiança de 80 com 15 graus de liberdade o valor crítico de t é de 1753 Então o intervalo de confiança para a média é dado por 10 1753 25166 16 10 1515 Intervalo de confiança de 80 8485 11515 Podemos ver que o intervalo de confiança de 95 é mais amplo do que o intervalo de confiança de 80 Isso ocorre porque o nível de confiança de 95 é maior do que o nível de confiança de 80 o que significa que estamos mais confiantes de que a verdadeira média da população esteja dentro do intervalo Quando o nível de confiança aumenta o intervalo de confiança fica mais amplo para acomodar essa maior margem de erro a Com variância conhecida Para construir o intervalo de confiança para a média podemos utilizar a distribuição normal padrão Z com nível de confiança de 95 O intervalo de confiança será dado por 𝑥 𝑍𝛼 2 𝜎 𝑛 Onde 𝑥 é a média das estaturas dos recémnascidos 𝑍𝛼 2 é o valor crítico da distribuição normal padrão para um nível de confiança de 95 Sabendo que 𝛼 1 095 005 e que a distribuição é simétrica temos 𝑍𝛼 2 𝑍0025 196 𝜎 é o desviopadrão populacional que neste caso é conhecido e igual a 2 141 𝑛 é o tamanho da amostra que neste caso é igual a 20 Substituindo os valores na fórmula temos 𝑥 196 141 20 Calculando 𝑥 0558 Assim o intervalo de confiança para a média com 95 de confiança é 𝑥 0558 𝑥 0558 Para calcularmos x basta somarmos todas as estaturas e dividirmos pelo número de recém nascidos 41 50 52 49 49 54 50 47 52 49 50 52 50 47 49 51 46 50 49 50 20 x 494 Logo o intervalo de confiança para a média é 48842 50958 b Com variância desconhecida Quando a variância populacional é desconhecida utilizamos a distribuição tStudent com n1 graus de liberdade para construir o intervalo de confiança para a média O intervalo será dado por 𝑥 𝑡𝛼 2𝑛1 𝑠 𝑛 Onde 𝑥 é a média das estaturas dos recémnascidos 𝑡𝛼 2𝑛1 é o valor crítico da distribuição tStudent com n1 graus de liberdade para um nível de confiança de 95 Sabendo que 𝛼 1 095 005 e que a distribuição é simétrica temos 𝑡𝛼 2𝑛1 𝑡002519 2093 s é o desviopadrão amostral que podemos obter a partir da fórmula 𝑠 𝑥𝑖 𝑥2 𝑛 1 𝑛 𝑖1 Substituindo os valores na fórmula temos 𝑠 41 4942 50 4942 50 4942 19 254 𝑥 2093 254 20 Calculando 𝑥 1302 O intervalo de confiança para a média com 95 de confiança é 𝑥 1302 𝑥 1302 Assim o intervalo de confiança para a média é 48098 50702 Podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança O tamanho da amostra é 100 n 100 A proporção de sucessos componentes que funcionaram mais de 1000 horas é 𝑝 93 100 093 O desvio padrão da proporção populacional é 𝜎𝑝 𝑝1𝑝 𝑛 onde p é a proporção populacional desconhecida Como não sabemos a verdadeira proporção populacional podemos usar a estimativa p em seu lugar Substituindo os valores na fórmula temos 𝜎𝑝 093 007 100 0027 O nível de confiança é 95 o que significa que α 005 o complemento do nível de confiança A distribuição normal tem dois lados então dividimos α por 2 para encontrar o valor crítico 𝑧𝛼 2 que corresponde à probabilidade acumulada de 𝛼 2 em cada cauda Usando a tabela encontramos 𝑧0025 196 Agora podemos calcular o intervalo de confiança usando a fórmula 𝐼𝐶 𝑝 𝑧𝛼 2 𝜎𝑝 IC 093 196 0027 IC 0878 0982 Portanto podemos dizer com 95 de confiança que a proporção de componentes que funcionam mais de 1000 horas está entre 0878 e 0982 Como o limite inferior do intervalo é maior do que 05 ou seja 50 podemos concluir que a garantia é razoável para este lote de peças No entanto é importante lembrar que um intervalo de confiança não nos dá certeza absoluta sobre a verdadeira proporção populacional mas nos fornece uma estimativa com um certo nível de incerteza Para calcular o intervalo de confiança utilizamos a fórmula 𝐼𝐶 𝑝 𝑧𝛼2 𝑝1 𝑝 𝑛 Onde p é a proporção de números cinco 𝑧 𝛼 2 é o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de confiança desejado 99 é equivalente a α 001 e 𝑧 𝛼 2 258 n é o tamanho da amostra 120 Substituindo os valores 𝑝 25 120 02083 𝑧 𝛼 2 258 𝑛 120 𝐼𝐶 02083 258 02083 1 02083 120 𝐼𝐶 02083 00944 𝐼𝐶 01139 03027 Portanto podemos dizer com 99 de confiança que a proporção de números cinco está entre 1139 e 3027 Como este intervalo não contém o valor teórico de uma moeda justa 1 6 ou cerca de 1667 podemos inferir que o dado é viciado com um nível de significância de 1 TESTES DE HIPÓTESES Para testar a hipótese de que a média populacional é menor ou igual a 6 usamos um teste t com n1 graus de liberdade onde n é o tamanho da amostra A estatística de teste é dada por 𝑡 𝑥 𝜇 𝑠 𝑛 Onde x é a média amostral μ é a média populacional hipótese nula s é o desvio padrão amostral raiz quadrada da variância amostral e n é o tamanho da amostra Substituindo os valores da questão temos 𝑡 55 6 2 10 158 Com 9 graus de liberdade n 1 10 1 a tabela t nos dá um valor crítico de 1833 para um teste de cauda esquerda com nível de significância de 5 Como a estatística de teste 158 não é menor do que o valor crítico 1833 não há evidência estatística para rejeitar a hipótese nula de que a média populacional é menor ou igual a 6 Em outras palavras ao nível de 5 de significância não podemos afirmar que a média da população é significativamente diferente ou maior do que 6 Para testar se o medicamento afeta o tempo de reação das cobaias podemos usar um teste de hipóteses Nesse caso temos as seguintes hipóteses H0 µ 8 o medicamento não afeta o tempo de reação das cobaias H1 µ 8 o medicamento afeta o tempo de reação das cobaias Para testar essas hipóteses podemos usar o teste t de Student já que o tamanho da amostra é pequeno n 10 e a variância populacional é desconhecida Podemos calcular a estatística de teste t como 𝑡 𝑥 µ 𝑠 𝑛 Onde x é a média amostral s é o desvio padrão amostral e n é o tamanho da amostra Substituindo pelos valores da amostra temos 𝑥 91 93 72 75 133 109 72 99 80 86 10 87 𝑠 91 872 93 872 86 872 9 18604 Substituindo na fórmula do teste t temos 𝑡 87 8 18604 10 157 Com isso podemos calcular o valorp correspondente ao teste t Usando uma tabela de distribuição t de Student com 9 graus de liberdade n1 e um nível de significância de 5 temos um valor crítico de 2306 Como o valor absoluto de t 157 é menor do que o valor crítico 2306 não podemos rejeitar a hipótese nula ao nível de 5 de significância Portanto não há evidências estatísticas para afirmar que o medicamento afeta o tempo de reação das cobaias ao nível de 5 de significância Quinze animais foram alimentados com certa dieta durante três semanas e verificouse os seguintes aumentos de peso 25 30 32 24 40 34 37 33 34 28 30 32 38 29 31 Teste a hipótese de que a média de aumento de peso é 30 sendo α 10 Podemos resolver esse problema utilizando o teste t de Student Primeiro calculamos a média e o desvio padrão dos aumentos de peso 𝑚é𝑑𝑖𝑎 25 30 32 24 40 34 37 33 34 28 30 32 38 29 31 15 31 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝛴𝑥𝑖 𝑥2 𝑛 1 25 312 30 312 31 312 15 1 563 Em seguida calculamos o valor do t observado 𝑡 31 30 563 15 067 Com um nível de significância de 10 e 14 graus de liberdade o valor crítico de t é 176 Como o valor observado 067 é menor do que o valor crítico não rejeitamos a hipótese nula de que a média de aumento de peso é igual a 30 Portanto concluímos que não há evidências estatísticas suficientes para afirmar que a dieta usada teve um efeito diferente do esperado a Para testar se a verdadeira média é 82 ao nível de 2 de significância podemos usar o teste t de Student para uma amostra Primeiro calculamos a média amostral e o desvio padrão amostral 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 84 81 77 85 69 80 79 7 7986 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 84 79862 81 79862 79 79862 6 588 Em seguida calculamos a estatística t t 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑛 𝑡 7986 82 588 7 t 167 Usando uma tabela t com 6 graus de liberdade n1 com um nível de significância de 2 encontramos um valor crítico de 2447 Como o valor calculado de t 167 não é menor do que o valor crítico não rejeitamos a hipótese nula de que a verdadeira média é 82 ao nível de 2 de significância b Para construir o intervalo de confiança para a média µ ao nível de 98 de confiança podemos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média populacional com uma amostra pequena 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑛 Onde t é o valor crítico da distribuição t de Student com n1 graus de liberdade para o nível de confiança desejado Substituindo os valores 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎 7986 2998 588 7 Intervalo de confiança 7397 8575 Portanto podemos afirmar com 98 de confiança que a verdadeira média da pressão sanguínea arterial em homens está entre 7397 e 8575 Para responder a essa questão vamos realizar um teste de hipóteses As hipóteses são H0 A proporção populacional de eleitores democratas é de 50 H1 A proporção populacional de eleitores democratas é diferente de 50 Ou seja queremos testar se a amostra é estatisticamente significativa o suficiente para rejeitar a hipótese nula de que a proporção populacional é de 50 Para isso vamos calcular o valor crítico z usando a fórmula 𝑧 𝑝 𝑃 𝑃 1 𝑃 𝑛 Onde p proporção da amostra 052 P proporção populacional 050 n tamanho da amostra 500 Substituindo na fórmula temos 𝑧 052 050 050 1 050 500 z 200 O valor crítico z para um teste bicaudal com nível de significância α 005 é 196 Como nosso valor calculado de z é maior que o valor crítico podemos rejeitar a hipótese nula e concluir que a amostra é estatisticamente significativa o suficiente para afirmar que a proporção populacional não é de 50 Em outras palavras podemos dizer que a amostra não é compatível com a hipótese de que a proporção populacional seja de 50 com um nível de confiança de 95 Para testar a hipótese de que a moeda é honesta podemos usar o teste de hipótese de proporção O primeiro passo é estabelecer as hipóteses nula e alternativa Hipótese nula H0 A proporção de caras é igual a 05 a moeda é honesta Hipótese alternativa HA A proporção de caras é diferente de 05 a moeda não é honesta Em seguida calculamos a estatística de teste que é dada por 𝑧 𝑝 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 onde p é a proporção de caras observada p0 é a proporção de caras esperada sob a hipótese nula e n é o tamanho da amostra No nosso caso temos 𝑝 06 60 100 𝑝0 05 𝑒 𝑛 100 Substituindo na fórmula obtemos 𝑧 06 05 05 05 100 2 O próximo passo é comparar o valor da estatística de teste com o valor crítico da distribuição normal padrão considerando o nível de significância desejado Para um nível de significância de 5 temos um valor crítico de 196 Como z 196 rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5 Portanto podemos concluir que há evidências estatísticas de que a moeda não é honesta