Análise e Aplicação do Método de Cross na Hiperestática

Hiperestática Processo de Cross Processo ou método de Cross O processo ou método de Cross é um processo iterativo de cálculo dos momentos fletores nas extremidades das barras de uma estrutura Os fundamentos do processo de Cross são idênticos aos do método dos deslocamentos simplesmente é utilizado um processo iterativo e não um método direto de resolução das equações de equilíbrio Na análise com o processo de Cross inicialmente devese avaliar também qual é o grau de indeterminação cinemática d da estrutura identificando os seus graus de liberdade independentes Para aplicar o processo do Cross é necessário distinguir entre estruturas de nós fixos e estruturas de nós móveis pois o processo de resolução é diferente nesses dois tipos de estruturas Hiperestática Processo de Cross Processo ou método de Cross As estruturas de nós fixos são estruturas em que os graus de liberdade independentes dos seus nós são apenas rotações admitindo a hipótese de indeformabilidade axial das barras A A C B 𝒅𝟏 A As estruturas de nós móveis são estruturas em que os graus de liberdade independentes dos seus nós incluem deslocamentos de translação e não apenas rotações 𝒅𝟐 A B D C 𝒅𝟏 𝒅𝟑 A Hiperestática Processo de Cross Processo ou método de Cross No processo de Cross tal como no método dos deslocamentos analisase a estrutura bloqueada estrutura com os graus de liberdade independentes impedidos sujeita às cargas que lhe estão aplicadas Nessa análise utilizamse as tabelas de forças de fixação também utilizadas no método dos deslocamentos para calcular os momentos de fixação No processo de Cross tal como no método dos deslocamentos utilizamse também os valores dos momentos que é necessário aplicar nas barras para introduzir rotações unitárias nas suas extremidades rigidez das barras à flexão Os valores da rigidez das barras à flexão que constam nas tabelas que no método dos deslocamentos são utilizadas para calcular a matriz de rigidez são utilizados no processo de Cross para calcular os seguintes coeficientes ou fatores Ki coeficiente ou fator de rigidez Ct coeficiente ou fator de transmissão Ci coeficiente ou fator de distribuição Hiperestática Processo de Cross Processo ou método de Cross Ki coeficiente ou fator de rigidez Ct coeficiente ou fator de transmissão 𝑲𝒊 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝑲𝒊 𝟑 𝑬𝑰 𝑳 𝑲𝒊 𝑬𝑰 𝑳 Ci coeficiente ou fator de distribuição Para aplicar o processo de Cross em cada nó de uma estrutura calculamse os coeficientes de distribuição para cada barra ligada a esse nó através de 𝑪𝒕 𝟎 𝟓 𝑪𝒕 𝟎 𝟎 𝑪𝒕 𝟏 𝟎 𝑪𝒊 𝑲𝒊 𝚺 𝑲𝒊 𝑲𝒊 𝟏 𝑳 𝑲𝒊 𝟑 𝟒 𝟏 𝑳 𝑲𝒊 𝟏 𝟒 𝟏 𝑳 Em estruturas com EI igual em todas barras Ki pode ser calculado através de o coeficiente de distribuição de uma barra é o valor relativo do coeficiente de rigidez dessa barra Hiperestática Processo de Cross C A B C A B Processo de Cross estruturas de nós fixos Exercício E1 A d1 0 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟏 𝒅𝟐 d1 A d1qB 𝒅𝟏 Desprezar a deformabilidade axial das barras A C 100 m A B 80 m 12 kNm EI EI estrutura de nós fixos Hiperestática Processo de Cross C A B 12 kNm Processo de Cross estruturas de nós fixos consultar as tabelas das forças de fixação para calcular apenas os momentos nas extremidades de cada barra 2 Momentos de fixação estrutura bloqueada d10 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 p A B L 𝒑 𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 3 Coeficientes de distribuição nó barra coef rigidez Ki coef distribuição Ci B AB BC soma 𝑲𝑩𝑨 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟏𝟎 𝟎 𝟒 𝑬𝑰 𝑲𝑩𝑪 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟖 𝟎 𝟓 𝑬𝑰 𝚺𝑲𝒊 𝟎 𝟗 𝑬𝑰 𝑪𝑩𝑨 𝑲𝑩𝑨 𝚺 𝑲𝒊 𝟎 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟒𝟒𝟒 𝑪𝑩𝑪 𝑲𝑩𝑪 𝚺 𝑲𝒊 𝟎 𝟓 𝑬𝑰 𝟎 𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟓𝟓𝟔 𝚺𝑪𝒊 𝟏 𝟎𝟎𝟎 em cada nó cuja rotação é um grau de liberdade independente da estrutura calcular o coeficiente de distribuição para as várias barras ligadas a esse nó Hiperestática Processo de Cross C A B Processo de Cross estruturas de nós fixos 4 Processo de Cross 𝟎 𝟒𝟒𝟒 1 coef de distribuição 2 coef de transmissão 3 momentos de fixação 4 cálculo dos momentos desequilibrados nos nós 5 distribuição dos momentos desequilibrados 6 transmissão dos momentos Como d1 o Cross já está concluído só é necessário somar os valores em cada coluna para obter os momentos finais nas extremidades de cada barra 𝟎 𝟓𝟓𝟔 𝟎 𝟓 𝟎 𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟎 sentido positivo dos momentos no Cross 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟒𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟓𝟔 𝟓𝟓 𝟔 𝟒𝟒 𝟒 𝟓𝟓 𝟔 𝟐𝟕 𝟖 𝟐𝟐 𝟐 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝟓𝟓 𝟔 𝟓𝟓 𝟔 𝟐𝟕 𝟖 C A B 𝟓𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝟓𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝟐𝟕 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 Momento fletor nas extremidades das barras Barra AB Barra BC 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟓𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟓𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟐𝟕 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 M M Hiperestática Processo de Cross C A B V kN 6666 5334 1043 Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais 𝑽𝑨 𝟓𝟓 𝟔 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟔 𝟔𝟔 𝟔𝟎 𝟔𝟔 𝟔𝟔 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟔 𝟔𝟔 𝟔𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟒 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝑽𝑪 𝟐𝟕 𝟖 𝟓𝟓 𝟔 𝟖 𝟏𝟎 𝟒𝟑 𝒌𝑵 barra AB barra BC 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟓𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟓𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟐𝟕 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 x 𝒙 𝟔𝟔 𝟔𝟔 𝟏𝟐 𝟓 𝟓𝟔 𝒎 631 C A B M kNm 1222 556 278 𝑴𝒎á𝒙 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝟓 𝟓𝟔 𝟔𝟔 𝟔𝟔 𝟐 𝟔𝟑 𝟏 𝒌𝑵 𝒎 Hiperestática Processo de Cross C A B V kN 6666 5334 1043 Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais 631 C A B M kNm 1222 556 278 C A B 12 kNm 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑩𝒚 𝟏𝟎 𝟒𝟑 𝟓𝟑 𝟑𝟒 𝟔𝟑 𝟕𝟕 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟏𝟎 𝟒𝟑 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟔𝟔 𝟔𝟔 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟐𝟕 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑨𝒚 𝟔𝟔 𝟔𝟔 𝒌𝑵 𝑹𝑩𝒚 𝟔𝟑 𝟕𝟕 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟏𝟎 𝟒𝟑 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟐𝟕 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝒌𝑵 𝒎 Hiperestática Processo de Cross B C A B C A Processo de Cross estruturas de nós fixos Exercício E2 d4 não é independente A d1 0 d3 d1 0 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟏 𝒅𝟐 d1 A d1qB 𝒅𝟏 Desprezar a deformabilidade axial das barras A estrutura de nós fixos C 100 m A B 80 m 12 kNm EI EI 𝒅𝟑 𝒅𝟒 Hiperestática Processo de Cross C A B 12 kNm Processo de Cross estruturas de nós fixos consultar as tabelas das forças de fixação para calcular apenas os momentos nas extremidades de cada barra 2 Momentos de fixação estrutura bloqueada d10 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 p A B L 𝒑 𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 3 Coeficientes de distribuição nó barra coef rigidez Ki coef distribuição Ci B AB BC soma 𝑲𝑩𝑨 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟏𝟎 𝟎 𝟒 𝑬𝑰 𝑲𝑩𝑪 𝟑 𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝑬𝑰 𝚺𝑲𝒊 𝟎 𝟕𝟕𝟓 𝑬𝑰 𝑪𝑩𝑨 𝑲𝑩𝑨 𝚺 𝑲𝒊 𝟎 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟕𝟕𝟓 𝑬𝑰 𝟎 𝟓𝟏𝟔 𝑪𝑩𝑪 𝑲𝑩𝑪 𝚺 𝑲𝒊 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝑬𝑰 𝟎 𝟕𝟕𝟓 𝑬𝑰 𝟎 𝟒𝟖𝟒 𝚺𝑪𝒊 𝟏 𝟎𝟎𝟎 em cada nó cuja rotação é um grau de liberdade independente da estrutura calcular o coeficiente de distribuição para as várias barras ligadas a esse nó Hiperestática Processo de Cross C A B B C A Processo de Cross estruturas de nós fixos 4 Processo de Cross 𝟎 𝟓𝟏𝟔 1 coef de distribuição 2 coef de transmissão 3 momentos de fixação 4 cálculo dos momentos desequilibrados nos nós 5 distribuição dos momentos desequilibrados 6 transmissão dos momentos Como d1 o Cross já está concluído só é necessário somar os valores em cada coluna para obter os momentos finais nas extremidades de cada barra 𝟎 𝟒𝟖𝟒 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟎 sentido positivo dos momentos no Cross 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟏𝟔 𝟓𝟏 𝟔 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟒𝟖𝟒 𝟒𝟖 𝟒 𝟓𝟏 𝟔 𝟒𝟖 𝟒 𝟎 𝟐𝟓 𝟖 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝟒𝟖 𝟒 𝟒𝟖 𝟒 𝟎 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 Momento fletor nas extremidades das barras Barra AB Barra BC 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟎 M M Hiperestática Processo de Cross B C A V kN 6774 5226 605 Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais 𝑽𝑨 𝟒𝟖 𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟕 𝟕𝟒 𝟔𝟎 𝟔𝟕 𝟕𝟒 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟕 𝟕𝟒 𝟔𝟎 𝟓𝟐 𝟐𝟔 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝑽𝑪 𝟎 𝟒𝟖 𝟒 𝟖 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 barra AB barra BC 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟎 x 𝒙 𝟔𝟕 𝟕𝟒 𝟏𝟐 𝟓 𝟔𝟓 𝒎 B C A 656 M kNm 1258 484 𝑴𝒎á𝒙 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝟓 𝟔𝟓 𝟔𝟕 𝟕𝟒 𝟐 𝟔𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 Hiperestática Processo de Cross Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais C A B 12 kNm 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑩𝒚 𝟔 𝟎𝟓 𝟓𝟐 𝟐𝟔 𝟓𝟖 𝟑𝟏 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟔𝟕 𝟕𝟒 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟔𝟕 𝟕𝟒 𝒌𝑵 𝑹𝑩𝒚 𝟓𝟖 𝟑𝟏 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟓 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 B C A V kN 6774 5226 605 B C A 656 M kNm 1258 484 Hiperestática Processo de Cross B A C D B A C D Processo de Cross estruturas de nós fixos Exercício E4 d2 não é independente A d4 0 d3 0 d1 d3 0 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟏 𝒅𝟐 d1 A d1qB 𝒅𝟏 Desprezar a deformabilidade axial das barras A estrutura de nós fixos 𝒅𝟑 𝒅𝟓 40 m 20 m 8 kNm B A EI EI 30 m C D EI 𝒅𝟒 Hiperestática Processo de Cross 8 kNm B A C D Processo de Cross estruturas de nós fixos consultar as tabelas das forças de fixação para calcular apenas os momentos nas extremidades de cada barra 2 Momentos de fixação estrutura bloqueada d10 𝒑 𝑳𝟐 𝟖 𝟖 𝟑𝟐 𝟖 𝟗 𝒌𝑵 𝒎 𝟗 𝒌𝑵 𝒎 3 Coeficientes de distribuição nó barra coef rigidez Ki coef distribuição Ci B AB BD CB soma 𝑲𝑩𝑨 𝟑 𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝑬𝑰 𝟑 𝟏 𝟎 𝑬𝑰 𝑲𝑩𝑫 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟒 𝟏 𝟎 𝑬𝑰 𝑪𝑩𝑨 𝑲𝑩𝑨 𝚺 𝑲𝒊 𝟏 𝑬𝑰 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟐𝟓 𝑪𝑩𝑫 𝑲𝑩𝑫 𝚺 𝑲𝒊 𝟏 𝑬𝑰 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟐𝟓 𝚺𝑪𝒊 𝟏 𝟎𝟎 em cada nó cuja rotação é um grau de liberdade independente da estrutura calcular o coeficiente de distribuição para as várias barras ligadas a esse nó p A B L 𝒑𝑳𝟐 𝟖 𝚺𝑲𝒊 𝟒 𝟎 𝑬𝑰 𝑲𝑩𝑪 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝟐 𝟎 𝑬𝑰 𝑪𝑩𝑪 𝑲𝑩𝑪 𝚺 𝑲𝒊 𝟐 𝑬𝑰 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟓𝟎 Hiperestática Processo de Cross B A C D B A C D Processo de Cross estruturas de nós fixos 4 Processo de Cross 𝟎 𝟐𝟓 1 coef de distribuição 2 coef de transmissão 3 momentos de fixação 4 cálculo dos momentos desequilibrados nos nós 5 distribuição dos momentos desequilibrados 6 transmissão dos momentos Como d1 o Cross já está concluído só é necessário somar os valores em cada coluna para obter os momentos finais nas extremidades de cada barra 𝟎 𝟐𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟗 𝟎 𝟎 sentido positivo dos momentos no Cross 𝟗 𝟎 𝟎 𝟗 𝟗 𝟎 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟎 𝟓𝟎 𝟒 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 𝟏𝟑 𝟎 𝟎 𝟔 𝟕𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 𝟏𝟑 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟔 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟏 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝒎 𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎 𝟒 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟒 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟒 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 Hiperestática Processo de Cross Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais 𝑽𝑨 𝟔 𝟕𝟓 𝟎 𝟑 𝟖 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟗 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟏𝟒 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝑽𝑫 𝟏 𝟏𝟑 𝟐 𝟐𝟓 𝟒 𝟎 𝟖𝟒 𝒌𝑵 barra AB barra BD 𝑴𝑨 𝟎 𝑴𝑩 𝟔 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟏 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝒎 M M B A C D 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟔 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟏 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝒎 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟒 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑪 𝑽𝑩 𝟒 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟑 𝟑𝟖 𝒌𝑵 barra CB 𝑴𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟒 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝒙 𝟗 𝟕𝟓 𝟖 𝟏 𝟐𝟐 𝒎 𝑴𝒎á𝒙 𝟎 𝟏 𝟐𝟐 𝟗 𝟕𝟓 𝟐 𝟓 𝟗𝟒 𝒌𝑵 𝒎 Hiperestática Processo de Cross B A C D V kN 975 1425 084 338 Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais X122m B A C D 594 M kNm 450 675 225 225 113 Hiperestática Processo de Cross 8 kNm B A C D Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais 𝑴𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑪𝒚 𝟎 𝟖𝟒 𝟏𝟒 𝟐𝟓 𝟏𝟓 𝟎𝟗 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒚 𝟎 𝟖𝟒 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟗 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟗 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟏𝟓 𝟎𝟗 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒚 𝟎 𝟖𝟒 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑪𝒙 𝟑 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒙 𝟑 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟑 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟑 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝑴𝑫 𝟏 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟏 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝒎 B A C D 338 1509 N kN 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟎 barra AB 𝑵𝑫 𝑵𝑩 𝟑 𝟑𝟖 𝒌𝑵 barra BD 𝑵𝑪 𝑵𝑩 𝟏𝟓 𝟎𝟗 𝒌𝑵 barra CB Hiperestática Processo de Cross Processo de Cross estruturas de nós fixos Exercício E5 1 Grau de indeterminação cinemática d d1 A d1qB Desprezar a deformabilidade axial das barras A igual ao exercício E4 40 m 20 m 8 kNm B A EI EI 30 m C D EI 10 kNm iguais ao exercício E4 o momento concentrado aplicado no nó B vai ser considerado no processo de Cross 2 Momentos de fixação estrutura bloqueada d10 3 Coeficientes de distribuição iguais ao exercício E4 Hiperestática Processo de Cross B A C D B A C D Processo de Cross estruturas de nós fixos 4 Processo de Cross 𝟎 𝟐𝟓 1 coef de distribuição 2 coef de transmissão 3 momentos de fixação 4 cálculo dos momentos desequilibrados nos nós 5 distribuição dos momentos desequilibrados 6 transmissão dos momentos Como d1 o Cross já está concluído só é necessário somar os valores em cada coluna para obter os momentos finais nas extremidades de cada barra 𝟎 𝟐𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟗 𝟎 𝟎 sentido positivo dos momentos no Cross 𝟗 𝟎 𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗 𝟏𝟗 𝟎 𝟐𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝟏𝟗 𝟎 𝟓𝟎 𝟗 𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝟐 𝟑𝟖 𝟎 𝟎 𝟒 𝟐𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝟐 𝟑𝟖 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟒 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟐 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎 𝟗 𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝟗 𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟗 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟏𝟎 Hiperestática Processo de Cross Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais 𝑽𝑨 𝟒 𝟐𝟓 𝟎 𝟑 𝟖 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟓𝟖 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟏 𝟒𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟑 𝟒𝟐 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝑽𝑫 𝟐 𝟑𝟖 𝟒 𝟕𝟓 𝟒 𝟏 𝟕𝟖 𝒌𝑵 barra AB barra BD 𝑴𝑨 𝟎 𝑴𝑩 𝟒 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟐 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝒎 M M B A C D 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟒 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟐 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟗 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑪 𝑽𝑩 𝟗 𝟓 𝟒 𝟕𝟓 𝟐 𝟕 𝟏𝟑 𝒌𝑵 barra CB 𝑴𝑪 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟗 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝒙 𝟏𝟎 𝟓𝟖 𝟖 𝟏 𝟑𝟐 𝒎 𝑴𝒎á𝒙 𝟎 𝟏 𝟑𝟐 𝟏𝟎 𝟓𝟖 𝟐 𝟔 𝟗𝟖 𝒌𝑵 𝒎 Hiperestática Processo de Cross B A C D V kN 1058 1342 178 713 Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais X132m B A C D 698 M kNm 95 425 475 475 238 Hiperestática Processo de Cross 8 kNm B A C D 10 kNm Processo de Cross estruturas de nós fixos 5 Esforços e reações de apoio finais 𝑴𝑪 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑪𝒚 𝟏 𝟕𝟖 𝟏𝟑 𝟒𝟐 𝟏𝟓 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒚 𝟏 𝟕𝟖 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟏𝟎 𝟓𝟖 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟏𝟎 𝟓𝟖 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟏𝟓 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒚 𝟏 𝟕𝟖 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟒 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑪𝒙 𝟕 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒙 𝟕 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟕 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟕 𝟏𝟑 𝒌𝑵 𝑴𝑫 𝟐 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟐 𝟑𝟖 𝒌𝑵 𝒎 B A C D 713 1520 N kN 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟎 barra AB 𝑵𝑫 𝑵𝑩 𝟕 𝟏𝟑 𝒌𝑵 barra BD 𝑵𝑪 𝑵𝑩 𝟏𝟓 𝟐𝟎 𝒌𝑵 barra CB