Análise de Hiperestática pelo Método dos Deslocamentos

Hiperestática Método dos deslocamentos C B A C B A Método dos deslocamentos ou da rigidez Exercício D3 d2 não é independente A barra AB d1 d3 barra BC d4 0 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟏 𝒅𝟐 d2 A d1dh AB d2qB 𝒅𝟐 𝒅𝟑 Desprezar a deformabilidade axial das barras A 𝒅𝟓 C 40 m 60 m 10 kNm B A EI 2EI 4 kNm 𝒅𝟒 𝒅𝟏 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A 10 kNm 4 kNm Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabelas das forças de fixação 𝟓 𝟖 𝒑𝑳 𝒑𝑳𝟐 𝟖 p A B L 𝟑 𝟖 𝒑𝑳 𝟑 𝟖 𝒑 𝑳 𝟑 𝟖 𝟏𝟎 𝟒 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝟓 𝟖 𝒑 𝑳 𝟓 𝟖 𝟏𝟎 𝟒 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒑 𝑳𝟐 𝟖 𝟏𝟎 𝟒𝟐 𝟖 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝒎 1𝟐 𝒌𝑵 𝟏𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟐 𝒌𝑵 F0 vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras 𝑭𝟎𝟏 𝟏𝟐 𝒌𝑵 𝑭𝒏𝟏 𝟎 2 Estado E0 estrutura bloqueada d10 d20 𝟏𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝟏 𝟐 𝒑𝑳 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 p C B L 𝟏 𝟐 𝒑𝑳 𝟏 𝟐 𝒑 𝑳 𝟏 𝟐 𝟒 𝟔 𝟏𝟐 𝒌𝑵 𝒑 𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟔𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 Fn vetor de forças diretamente aplicadas segundo os graus de liberdade independentes da estrutura 𝑭𝟎𝟐 𝟐𝟎 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝑭𝒏𝟐 𝟎 𝑭𝒏 𝟎 𝟎 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 3 Estado E1 d11 d20 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 C B 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐 𝟐𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝟔 𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟑𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟖 𝟏 𝟏𝟖 𝟏 𝟔 𝟏 𝟔 Formação da 1ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟏 𝟏 𝟏𝟖 𝑬𝑰 EI 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝑲𝟐𝟏 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 Os termos da diagonal principal da matriz de rigidez são sempre positivos Kij 0 se ij A matriz de rigidez é simétrica Kij Kji Hiperestática Método dos deslocamentos B C A Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 4 Estado E2 d10 d21 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 B C 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 A B 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝑬𝟐𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟒 𝑬𝟐𝑰 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟑𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟔 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝟐 𝟑 𝟏 𝟔 EI 𝟏 𝟑 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟑 𝑬𝑰 Formação da 2ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟐 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟐 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟗 𝟔 𝑬𝑰 𝟒 𝟔 𝑬𝑰 𝟏𝟑 𝟔 𝑬𝑰 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 5 Equações de equilíbrio 𝑲 𝒅 𝑭𝟎 𝑭𝒏 𝒌𝟏𝟏 𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟐𝟏 𝒌𝟐𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝑭𝟎𝟏 𝑭𝟎𝟐 𝑭𝒏𝟏 𝑭𝒏𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟖 𝟏 𝟔 𝟏 𝟔 𝟏𝟑 𝟔 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝟎 𝟎 𝑬𝑰 𝟏𝟖 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑𝟗 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝚫𝒑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑𝟗 𝟏 𝟑𝟗 𝟑 𝟑 𝟑𝟎 resolução pelo método dos determinantes 𝚫𝟏 𝟏𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟑𝟗 𝟏𝟐 𝟑𝟗 𝟑𝟐 𝟑 𝟒𝟔𝟖 𝟗𝟔 𝟑𝟕𝟐 𝚫𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟏 𝟑𝟐 𝟑 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝒅𝟏 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝚫𝟏 𝚫𝒑 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝟑𝟕𝟐 𝟑𝟎 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝐦 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑𝟗 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝒅𝟐 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝚫𝟐 𝚫𝒑 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝟒 𝟑𝟎 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑽 𝑽𝟎 𝒅𝟏 𝑽𝟏 𝒅𝟐 𝑽𝟐 𝒅𝟏 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝒎 V V 𝑽𝑨 𝟏𝟓 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟒 𝟏 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟗 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟏𝟐 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟎 𝑽𝑪 𝟏𝟐 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝒌𝑵 barra AB barra BC 𝒅𝟐 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 C B A V kN 141 259 24 x 𝒙 𝟏𝟒 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟒𝟏 𝒎 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A 994 236 141m M kNm 484 236 Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais 𝑴 𝑴𝟎 𝒅𝟏 𝑴𝟏 𝒅𝟐 𝑴𝟐 𝒅𝟏 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝒎 𝑴𝑨 𝟎 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 𝑴𝑩 𝟐𝟎 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟑 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟏𝟐 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟐𝟑 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 barra AB barra BC 𝒅𝟐 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝑴𝒎á𝒙 𝟎 𝟏 𝟒𝟏 𝟏𝟒 𝟏 𝟐 𝟗 𝟗𝟒 𝒌𝑵 𝒎 M M 𝑴𝑪 𝟏𝟐 𝟐𝟐𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟔 𝑬𝑰 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟑 𝑬𝑰 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 Hiperestática Método dos deslocamentos C B A 994 236 141m M kNm 484 236 Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Esforços e reações de apoio finais C B A V kN 141 259 24 141m 𝑹𝑨𝒚 𝟏𝟒 𝟏 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒙 𝟐𝟒 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟐𝟓 𝟗 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 C 10 kNm B A 4 kNm 𝟏𝟒 𝟏 𝒌𝑵 𝟐𝟓 𝟗 𝒌𝑵 𝟐𝟒 𝒌𝑵 𝟒𝟖 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 C B A N kN 259 259 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟎 barra AB barra BC 𝑵𝑪 𝑵𝑩 𝟐𝟓 𝟗 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Estrutura do exercício D3 Considerando que há um recalque de rotação no apoio C de 0001 rad sentido horário EI 6 104 kNm2 C 40 m 60 m B A EI 2EI 2 Estado E0 estrutura bloqueada d10 d20 C B A q 0001 rad consultar tabela da matriz de rigidez 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝜽 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝜽 B C 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝜽 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝜽 𝟔 𝟑𝟔 𝟔 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟏 𝟏𝟎 𝒌𝑵 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝜽 𝟒 𝟔 𝟔 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟏 𝟒𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝜽 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝜽 𝟐 𝟔 𝟔 𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟏 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝒎 q 𝟏𝟎 𝒌𝑵 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎 𝒌𝑵 𝟒𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎𝟏 𝟏𝟎 𝒌𝑵 𝑭𝒏𝟏 𝟎 𝑭𝟎𝟐 𝟐𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝑭𝒏𝟐 𝟎 𝑭𝒏 𝟎 𝟎