Aula 1: Cinemática de uma Partícula - Movimento Retilíneo e Curvilíneo

Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Cinemática de uma Partícula Professor Eduardo Costa Couto Aula 1 Cinemática de uma Partícula Introdução Movimento Retilíneo Movimento Curvilíneo Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiroscinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 Introdução Partícula ou Ponto Material Partícula é definida como uma porção de matéria tal que sua dimensão ou tamanho não são relevantes na análise de um problema físico Corpo rígido Um corpo rígido é considerado como a união de um grande número de partículas sendo que todas permanecem a uma distância fixa uma da outra tanto antes como depois da aplicação de uma carga Introdução Mecânica Estática estuda o equilíbrio dos corpo em repouso ou movendose com velocidade constante Dinâmica trata dos corpos que estão em movimento acelerado Introdução Dinâmica Cinemática estuda a geometria do movimento É usada para relacionar deslocamento velocidade aceleração e tempo sem referência a causa do movimento Cinética estuda as relações existentes entre as forças que atuam sobre um corpo a massa do corpo e o movimento do corpo É usada para predizer o movimento causado por um conjunto de forças conhecidas ou para determinar as forças requeridas para produzir um dado movimento Introdução Serão estudados Movimento Retilíneo posição deslocamento velocidade e aceleração de uma partícula que movese ao longo de uma linha reta Movimento Curvilíneo posição deslocamento velocidade e aceleração de uma partícula que movese ao longo de uma curva Movimento Retilíneo A partícula movese ao longo de uma linha reta Posição fornecida pela coordenada 𝑠 Deslocamento É definido como a variação da posição da partícula Esta representado pelo símbolo 𝑠 Movimento Retilíneo Velocidade Velocidade média 𝑣𝑚 𝑠 𝑡 1 Velocidade instantânea 𝑣 lim 𝑡0 𝑠 𝑡 𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑡 2 Movimento Retilíneo Aceleração Aceleração média 𝑎𝑚 𝑣 𝑡 3 Aceleração instantânea 𝑎 lim 𝑡0 𝑣 𝑡 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 4 Movimento Retilíneo Aceleração Derivando a equação 2 em relação ao tempo 𝑎 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2 5 Usando as equações 2 e 4 obtemos 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑣 𝑑𝑣 𝑎 tal que 𝑎𝑑𝑠 𝑣𝑑𝑣 6 Movimento Retilíneo Aceleração constante Quando a aceleração é constante as equações 2 4 e 6 podem ser integradas 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣1 𝑣 𝑑𝑣 0 𝑡 𝑎𝑐 𝑑𝑡 𝑣 𝑣1 𝑎𝑐 𝑡 0 𝑣 𝑣1 𝑎𝑐 𝑡 7 Movimento Retilíneo Aceleração constante 𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑡 න 𝑠1 𝑠 𝑑𝑠 න 0 𝑡 𝑣 𝑑𝑡 න 𝑠1 𝑠 𝑑𝑠 න 0 𝑡 𝑣1 𝑎𝑐𝑡 𝑑𝑡 𝑠 𝑠1 𝑣1 𝑡 0 𝑎𝑐1 2 𝑡2 0 𝑠 𝑠1 𝑣1𝑡 1 2 𝑎𝑐𝑡2 8 Movimento Retilíneo Aceleração constante 𝑎𝑑𝑠 𝑣𝑑𝑣 න 𝑣1 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 න 𝑠1 𝑠 𝑎𝑐 𝑑𝑠 1 2 𝑣2 1 2 𝑣12 𝑎𝑐𝑠 𝑠1 𝑣2 𝑣12 2𝑎𝑐𝑠 𝑠1 9 Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Exemplo 122 1 08 1 v² 1 60² t v 1 60² 08 12 ms Aqui se tomou a raiz positiva pois o projétil está se movendo para baixo Quando t 5 4 s v 0559 ms Resposta Movimento Retilíneo Exemplo 122 Posição Conhecendo v ft podemos obter a posição do projétil a partir de v dsdt pois essa equação relaciona s v e t Usando a condição inicial s 0 quando t 0 temos v ds dt 1 60² 08 12 Para t 4 s s 443 m Resposta Movimento Retilíneo Exemplo 123 Durante um teste um foguete está subindo verticalmente a 75 ms quando a 40 m do solo ocorre uma avaria em seu motor Determine a altura máxima sB alcançada pelo foguete e sua velocidade ao atingir o solo Após a supressão da propulsão do motor a aceleração do foguete devido à ação da gravidade terrestre passa a ser de 981 ms² para baixo Despreze o efeito da resistência do ar SOLUÇÃO Sistema de Coordenadas Tomemos a origem O para a coordenada de posição s ao nível do solo e o sentido positivo para cima Figura 124 Altura Máxima Uma vez que o foguete está subindo vA 75 ms em t 0 No ponto mais alto s sB a velocidade vB 0 Durante todo o movimento a aceleração é ac 981 ms² é negativa por ter o sentido oposto ao sentido considerado para o eixo s Uma vez que ac é constante a posição do foguete está relacionada com sua velocidade nos pontos A e B de acordo com a Equação 126 vB² vA² 2acsB sA 0 75 ms² 2981 ms²sB 40 m Resposta 327 m Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Exemplo 124 න 𝑑𝑢 𝑢2 𝑎2 𝑙𝑛 ቚ ቚ 𝑢 𝑢2 𝑎2 Movimento Retilíneo Movimento Retilíneo Movimento Curvilíneo Velocidade e aceleração Posição A posição de uma partícula localizada em 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 é designada pelo vetor posição Ԧ𝑟 Ԧ𝑟𝑡 Deslocamento O deslocamento da partícula correspondente ao Intervalo de tempo 𝑡 é Ԧ𝑟 Ԧ𝑟 𝑡 𝑡 Ԧ𝑟 𝑡 Quando 𝑡 0 ቊ 𝑟 𝑠 Ԧ𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 à 𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑡ó𝑟𝑖𝑎 A trajetória é mostrada na Figura 126a Logo a distância percorrida em 35 s é Movimento Curvilíneo Velocidade e aceleração Velocidade média A velocidade média da partícula é definida como 𝑉𝑚𝑒𝑑 Ԧ𝑟 𝑡 Velocidade instantânea É obtida a partir da equação acima fazendo 𝑡 0 𝑉 lim 𝑡0 Ԧ𝑟 𝑡 𝑉 𝑑 Ԧ𝑟 𝑑𝑡 10 𝑉 é sempre tangente à trajetória do movimento sT 40 40 6125 14125 m 141 m Resposta Movimento Curvilíneo Velocidade e aceleração Velocidade escalar É o módulo da velocidade instantânea Considerando que o módulo de Ԧ𝑟 se aproxima de 𝑠 quando 𝑡 0 𝑣 lim 𝑡0 𝑟 𝑡 lim 𝑡0 𝑠 𝑡 𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑡 11 Velocidade O deslocamento de t 0 a t 35 s é Movimento Curvilíneo Velocidade e aceleração Aceleração média Ԧ𝑎𝑚𝑒𝑑 𝑉 𝑡 Δs sl35 sl0 612 0 612 m Movimento Curvilíneo Aceleração instantânea Ԧ𝑎 lim 𝑡0 𝑉 𝑡 Ԧ𝑎 𝑑𝑉 𝑑𝑡 12 Ԧ𝑎 𝑑2 Ԧ𝑟 𝑑𝑡2 13 e a velocidade média é Movimento Curvilíneo Componentes retangulares Posição Ԧ𝑟 𝑥Ԧ𝑖 𝑦Ԧ𝑗 𝑧𝑘 14 onde 𝑥 𝑥𝑡 𝑦 𝑦𝑡 e 𝑧 𝑧𝑡 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑢𝑟 Ԧ𝑟 𝑟 Ԧ𝑟 𝑟 𝑢𝑟 vmed ΔsΔt 61235 175 ms Resposta Movimento Curvilíneo Componentes retangulares Velocidade 𝑉 𝑑 Ԧ𝑟 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑥Ԧ𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝑦Ԧ𝑗 𝑑 𝑑𝑡 𝑧𝑘 𝑉 𝑑 Ԧ𝑟 𝑑𝑡 𝑣𝑥Ԧ𝑖 𝑣𝑦Ԧ𝑗 𝑣𝑧𝑘 15 𝑣𝑥 ሶ𝑥 𝑣𝑦 ሶ𝑦 e 𝑣𝑧 ሶ𝑧 16 𝑣 𝑣𝑥2 𝑣𝑦2 𝑣𝑧2 e 𝑢𝑣 𝑉 𝑣 sempre tang a trajetória 𝑉 𝑣 𝑢𝑣 A velocidade média de percurso é definida em termos da distância percorrida sT Este escalar positivo vale Movimento Curvilíneo Componentes retangulares Aceleração Ԧ𝑎 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑎𝑥Ԧ𝑖 𝑎𝑦Ԧ𝑗 𝑎𝑧𝑘 17 𝑎𝑥 ሶ𝑣𝑥 ሷ𝑥 𝑎𝑦 ሶ𝑣𝑦 ሷ𝑦 e 𝑎𝑧 ሶ𝑣𝑧 ሷ𝑧 18 𝑎 𝑎𝑥2 𝑎𝑦2 𝑎𝑧2 𝑢𝑎 𝑎 𝑎 Ԧ𝑎 𝑎𝑢𝑎 vpercmed sTΔt 1412535 404 ms Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo vx x ddt8t 8 péss Movimento Curvilíneo Exemplo 129 vy y ddtx²10 216810 256 péss Movimento Curvilíneo Exemplo 1210 Quando t 2 s o módulo da velocidade é portanto Movimento Curvilíneo Exemplo 1210 v 8² 256² 268 péss Movimento Curvilíneo A direção é tangente à trajetória Figura 1218b com Movimento Curvilíneo θv tg¹vyvx tg¹2568 726 Resposta Movimento Curvilíneo Problema 1275 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial Aplicável quando a partícula se desloca ao longo de uma trajetória curva conhecida Eixo 𝑡 é tangente a curva em 𝑃 Eixo normal 𝑛 é dirigido de 𝑃 para o centro de curvatura 𝑂 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial Vetores unitários 𝑢𝑡 𝑢𝑛 𝑢𝑏 𝑢𝑡 𝑢𝑛 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial Velocidade 𝑉 𝑣 𝑢𝑡 29 onde 𝑣 ሶ𝑠 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial Aceleração Ԧ𝑎 ሶ𝑉 ሶ𝑣𝑢𝑡 𝑣 ሶ𝑢𝑡 ሶ𝑢𝑡 𝑑𝑢𝑡 módulo 𝑑𝑢𝑡 1 𝑑𝜃 direção de 𝑢𝑛 então 𝑑𝑢𝑡 𝑑𝜃𝑢𝑛 ou ሶ𝑢𝑡 ሶ𝜃𝑢𝑛 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial Aceleração como 𝑑𝑠 𝜌 𝑑𝜃 ou ሶ𝜃 ሶ𝑠 𝜌 então ሶ𝑢𝑡 ሶ𝑠 𝜌 𝑢𝑛 𝑣 𝜌 𝑢𝑛 finalmente Ԧ𝑎 ሶ𝑣𝑢𝑡 𝑣2 𝜌 𝑢𝑛 30 onde 𝑎𝑡 ሶ𝑣 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑠 𝑎𝑛 𝑣2 𝜌 31 e 𝑎 𝑎𝑡2𝑎𝑛2 𝜌 1 Τ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 Τ 3 2 Τ 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Exemplo 1215 Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista circular horizontal de raio de 300 pés Figura 1228 Se a sua velocidade escalar aumenta a uma taxa constante de 7 péss² determine o tempo necessário para ele alcançar uma aceleração de 8 péss² Qual é a sua velocidade escalar nesse instante Movimento Curvilíneo Exemplo 1215 SOLUÇÃO Sistema de Coordenadas Os eixos n e t têm origem no carro O eixo t tem o sentido do movimento e o eixo n é voltado para o centro da trajetória circular de raio r 300 pés Esse sistema de coordenadas foi escolhido pelo fato de a trajetória ser conhecida Aceleração O módulo da aceleração pode ser relacionado aos seus componentes usandose a at² an² Aqui at 7 péss² Como an v²ρ a velocidade como função do tempo é v v₀ att Movimento Curvilíneo Exemplo 1215 an v²ρ 7t²300 0163t² péss² O tempo necessário para o carro alcançar uma aceleração de 8 péss² é portanto a at² an² 8 7² 0163t² Resolvendo para o valor positivo de t obtemos 0163t² 8² 7² t 487 s Velocidade A velocidade escalar no instante t 487 s é v 7t 7487 341 péss Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Movimento Curvilíneo Problema 12107 12107 Partindo do repouso um bote segue uma trajetória circular ρ 50 m a uma velocidade de módulo v 08t ms onde t é dado em segundos Determine os módulos da velocidade e da aceleração do bote no instante em que ele completa um percurso de 20 m Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Dinâmica de uma Partícula Professor Eduardo Costa Couto Dinâmica de uma Partícula Leis de Newton do Movimento Lei de Newton da Atração Gravitacional A Equação do Movimento A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas A Equação do Movimento para uma Partícula Referências BEER Ferdinand P e JOHNSTON JR R Russel Mecânica Vetorial para Engenheiros Cinemática e Dinâmica Makron Books do Brasil Editora 5aedição HIBBELER RC Engineering Mechanics Statics and Dynamics Prentice Hall 1995 HALLIDAY D e RESNICK R Física Vol I Livros Técnicos e Científicos Editora 1997 Leis de Newton do Movimento Primeira Lei Uma partícula originalmente em repouso ou deslocandose em linha reta com velocidade constante permanecerá neste estado desde que não seja submetida a uma força não balanceada Leis de Newton do Movimento Segunda Lei Uma partícula sujeita à ação de uma força não balanceada Ԧ𝐹 recebe uma aceleração Ԧ𝑎 que tem a mesma direção e sentido que a força e um módulo que é diretamente proporcional a força Leis de Newton do Movimento Terceira Lei Para cada força agindo sobre a partícula a partícula exerce uma reação igual oposta e colinear Leis de Newton do Movimento Conceito de massa Medidas de força e aceleração podem ser registradas em laboratório Se uma força conhecida não balanceada Ԧ𝐹1 for aplicada a uma partícula a aceleração Ԧ𝑎1pode ser medida Já que Ԧ𝐹1 e Ԧ𝑎1são diretamente proporcionais Segunda Lei de Newton a constante de proporcionalidade pode ser determinada pela razão 𝑚 Τ 𝐹1 𝑎1 A experiência pode repetida para Ԧ𝐹2obtendo se uma aceleração Ԧ𝑎2 tal que 𝑚 Τ 𝐹2 𝑎2 O escalar 𝑚 é chamado de massa da partícula 𝑚 é constante durante qualquer aceleração e fornece uma medida quantitativa da resistência da partícula a uma variação em sua velocidade A Equação do Movimento A segunda lei de Newton do movimento pode ser escrita em forma matemática como Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 Esta equação é conhecida como equação do movimento Quando mais de uma força age sobre a partícula a força resultante Ԧ𝐹𝑅 é a soma de todas as forças Ԧ𝐹𝑅 σ Ԧ𝐹 Neste caso a equação do movimento pode ser reescrita como σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 A Equação do Movimento Ԧ𝑎 0 equilíbrio estático σ Ԧ𝐹 0 Ԧ𝑎 0 equilíbrio dinâmico σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 0 A Equação do Movimento Princípio de DAlambert O método de aplicação da equação do movimento onde 𝑚 Ԧ𝑎 é considerado o vetor força inercial que estabelece o equilíbrio dinâmico é conhecido como princípio de DAlambert A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas Uma partícula arbitrária iésima possuindo uma massa 𝑚𝑖 é sujeita a um conjunto de forças internas e a uma força resultante externa As forças internas representadas por σ Ԧ𝑓𝑖 são forças de reação que as outras partículas exercem sobre a iésima partícula A força resultante externa Ԧ𝐹𝑖 representa o efeito das forças gravitacionais elétricas magnéticas ou de contato entre corpos ou partículas adjacentes não incluídas dentro do sistema de n partículas A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas A plicando a equação do movimento para a iésima partícula temos Ԧ𝐹𝑖 Ԧ𝑓𝑖𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 Podemos escrever a equação acima para cada uma das partículas do sistema entretanto quando somamos vetorialmente todas as equações σ Ԧ𝐹𝑖 σ Ԧ𝑓𝑖 σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 a soma de todas as forças internas agindo dentro do sistema é nula terceira lei de Newton Portanto a equação do movimento escrita para o sistema inteiro de partículas se torna σ Ԧ𝐹σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas Se Ԧ𝑟𝐺 é o vetor posição que localiza o centro de massa G do sistema de partículas então 𝑚Ԧ𝑟𝐺 σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖 onde 𝑚 σ 𝑚𝑖 é a massa total do sistema de partículas Diferenciando duas vezes esta equação obtemos 𝑚 Ԧ𝑎𝐺 σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 ou σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎𝐺 Esta equação estabelece que a soma das forças externas agindo sobre o sistema de partículas é igual à massa 𝑚 σ 𝑚𝑖 de uma única partícula fictícia vezes a sua aceleração Esta partícula fictícia se localiza no centro de massa G do sistema Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 σ 𝐹𝑥Ԧ𝑖 σ 𝐹𝑦Ԧ𝑗 σ 𝐹𝑧𝑘 𝑚 𝑎𝑥Ԧ𝑖 𝑎𝑦Ԧ𝑗 𝑎𝑧𝑘 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝑥 σ 𝐹𝑦 𝑚𝑎𝑦 σ 𝐹𝑧 𝑚𝑎𝑧 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 131 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 132 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 134 Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 σ 𝐹𝑡𝑢𝑡 σ 𝐹𝑛𝑢𝑛 σ 𝐹𝑏𝑢𝑏 𝑚 𝑎𝑡𝑢𝑡 𝑎𝑛𝑢𝑛 σ 𝐹𝑡 𝑚 Ԧ𝑎𝑡 σ 𝐹𝑛 𝑚 Ԧ𝑎𝑛 σ 𝐹𝑏 0 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 137 Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Dinâmica de uma Partícula Trabalho e Energia Princípio do Trabalho e Energia Professor Eduardo Costa Couto Dinâmica de uma Partícula Trabalho e Energia O Trabalho de uma Força Princípio do Trabalho e Energia Princípio do Trabalho e Energia para um Sistema de Partículas Forças Conservativas e Energia Potencial Teorema da Conservação da Energia Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiros cinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 O Trabalho de uma Força 𝑑𝑈 Ԧ𝐹 𝑑Ԧ𝑟 𝐹 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑠 0 𝑑𝑈 0 ou Ԧ𝐹 é perpendicular a 𝑑Ԧ𝑟 Trabalho de uma Força Trabalho de uma Força Variável 𝑈12 න 𝑟1 𝑟2 Ԧ𝐹 𝑑Ԧ𝑟 න 𝑠1 𝑠2 𝐹 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑠 Trabalho de uma Força Trabalho de uma Força Constante Deslocando se ao Longo de uma Linha Reta 𝑈12 න 𝑠1 𝑠2 Ԧ𝐹𝑐 𝑑Ԧ𝑟 𝐹𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 න 𝑠1 𝑠2 𝑑𝑠 𝑈12 𝐹𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠2𝑠1 Trabalho de uma Força Trabalho de um Peso 𝑈12 𝑟1 𝑟2 Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 𝑟1 𝑟2 𝑊Ԧ𝑗 𝑑𝑥Ԧ𝑖 𝑑𝑦Ԧ𝑗 𝑑𝑧𝑘 𝑈12 𝑦1 𝑦2 𝑊 𝑑 Ԧ𝑦 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑑𝑦 𝑈12 𝑊𝑦2 𝑦1 Trabalho de uma Força Trabalho da Força de uma Mola 𝑈12 න 𝑠1 𝑠2 Ԧ𝐹𝑠 𝑑Ԧ𝑠 න 𝑠1 𝑠2 𝑘𝑠 𝑑𝑠 𝑈12 1 2 𝑘𝑠22 1 2 𝑘𝑠12 Trabalho de uma Força Exemplo 141 O bloco de 10 kg mostrado na figura está em repouso sobre um plano liso inclinado Se a mola inicialmente está distendida 05 m determine o trabalho total realizado por todas as forças que agem no bloco quando uma força horizontal P 400 N empurrao s 2 m plano acima Trabalho de uma Força Exemplo 141 Força horizontal P 𝑈𝑝 400 2 cos 30 6928 𝐽 ou 𝑈𝑝 400 cos 30 2 6928 𝐽 Trabalho de uma Força Exemplo 141 Força da mola 𝐹𝑠 𝑈𝑠 1 2 30 252 1 2 30 05 2 90 𝐽 Trabalho de uma Força Exemplo 141 Peso 𝑊 𝑈𝑊 981 sen 30 2 981 𝐽 Trabalho de uma Força Exemplo 141 Força normal 𝑁𝐵 Essa força não realiza trabalho Trabalho de uma Força Exemplo 141 Trabalho Total 𝑈𝑇 𝑈𝑇 6928 90 981 505 𝐽 Princípio do Trabalho e Energia Ԧ𝐹𝑅 σ Ԧ𝐹 σ 𝐹𝑡 𝐹𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹𝑡 𝑚𝑎𝑡 como 𝑎𝑡 𝑣 Τ 𝑑𝑣 𝑑𝑠 𝐹𝑡 𝑚𝑣 Τ 𝑑𝑣 𝑑𝑠 න 𝑠1 𝑠2 𝐹𝑡 𝑑𝑠 න 𝑣1 𝑣2 𝑚𝑣 𝑑𝑣 Princípio do Trabalho e Energia න 𝑠1 𝑠2 𝐹𝑡 𝑑𝑠 1 2 𝑚𝑣22 1 2 𝑚𝑣12 da equação anterior obtém se a descrição matemática do princípio do trabalho e energia U12 1 2 𝑚𝑣22 1 2 𝑚𝑣12 ou fazendo 𝑇 1 2 𝑚𝑣2 𝑇1 𝑈12 𝑇2 Princípio do Trabalho e Energia para Um Sistema de Partículas 𝑇1 𝑈12 𝑇2 Trabalho de uma Força Exemplo 142 Trabalho de uma Força Exemplo 142 σ 𝐹𝑛 0 𝑁𝐴 3500 cos 10 0 𝑁𝐴 34468 𝑙𝑏 𝐹𝐴 05 𝑁𝐴 17234 𝑙𝑏 Trabalho de uma Força Exemplo 142 𝑇1 𝑈12 𝑇2 1 2 3500 322 2023500𝑠 sen 10 17234 s0 𝑠 195 pés Trabalho de uma Força Exemplo 144 Trabalho de uma Força Exemplo 144 𝑇1 σ 𝑈12 𝑇2 1 2 𝑚𝑣1 2 1 2 𝑘𝑠2 2 1 2 𝑘𝑠1 2 𝑊𝑦 1 2 𝑚𝑣2 2 0 1 2 200 06 2 1 2 200 07 2 1962ℎ 03 0 h0963 m Trabalho de uma Força Exemplo 145 Trabalho de uma Força Exemplo 145 𝑇1 𝑈12 𝑇2 1 2 2 1 2 196205 05 cos 𝜃𝑚𝑎𝑥 1 2 2𝑣2 2 𝑣2 2 9811 cos 𝜃𝑚𝑎𝑥 1 Trabalho de uma Força Exemplo 145 𝐹𝑛 𝑚 𝑎𝑛 𝑁𝐵 1962 cos θ 2𝑣2 05 𝜃 𝜃𝑚𝑎𝑥 𝑁𝐵 0 𝑣 𝑣2 𝑒 cos 𝜃𝑚𝑎𝑥 𝑣2 2 4905 4905 cos 𝜃𝑚𝑎𝑥 981 1 cos 𝜃𝑚𝑎𝑥 1 𝜃𝑚𝑎𝑥 427 Problema 145 145 O bloco liso de 20 lb está empurrando a série de molas Belleville de modo que a compressão na série é s 005 pé Se a força da mola composta é F 3s13 lb onde s é dado em pés determine a velocidade do bloco imediatamente após ele ter perdido contato com a mola Despreze os atritos Problema 143 143 Submetese a caixa de 20 kg a uma força de direção constante e intensidade F 100 N onde s é dado em metros Quando s 15 m a caixa tem velocidade de 8 ms para a direita Determine sua velocidade quando s 25 m O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o piso é μc 025 1410 Desejase disparar uma bola de 05 kg e de dimensões desprezíveis num trilho circular O disparador mantém a mola comprimida em 008 m quando s 0 Determine o valor de s necessário para que a bola comece a deixar o trilho quando θ 135 Problema 1417 O cursor tem massa de 20 kg e a barra horizontal é lisa As molas são presas no cursor e nas extremidades da barra e cada uma tem comprimento de 1 m quando não deformada Se o colar é deslocado para s05 m e abandonado a partir do repouso determine sua velocidade no instante em que ele retorna ao ponto s0 1423 Pacotes de 50 lb são entregues a uma calha com velocidade vA 3 péss Determine a velocidade deles quando atingem os pontos B C e D Calcule também a força normal da calha sobre os pacotes em B e C Despreze o atrito e a dimensão dos pacotes Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Dinâmica de uma Partícula Trabalho e Energia Conservação da Energia Professor Eduardo Costa Couto Dinâmica de uma Partícula Trabalho e Energia O Trabalho de uma Força Princípio do Trabalho e Energia Princípio do Trabalho e Energia para um Sistema de Partículas Potência e Eficiência Forças Conservativas e Energia Potencial Teorema da Conservação da Energia Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiros cinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 Forças Conservativas e Energia Potencial Força Conservativa Quando o trabalho realizado por uma força sobre uma partícula que se move é independente da trajetória dizse que a força é conservativa Para uma força conservativa aplicada numa trajetória fechada 0 dr F Forças Conservativas e Energia Potencial Energia Potencial Gravitacional Forças Conservativas e Energia Potencial Energia Potencial Elástica Forças Conservativas e Energia Potencial Função Potencial 𝑉 𝑉𝑔 𝑉𝑒 O conceito de energia potencial pode ser aplicado somente à forças conservativas 2 2 2 1 1 1 1 2 z y V x y z V x U Conservação da Energia 𝑇1 σ 𝑈12 𝑇2 𝑇1 𝑉1 σ 𝑈12𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠 𝑇2 𝑉2 se somente forças conservativas agem no ponto material 𝑇1 𝑉1 𝑇2 𝑉2 Conservação da Energia Sistemas de pontos materiais σ 𝑇1 σ 𝑉1 σ 𝑇2 σ 𝑉2 Conservação da Energia Exemplo 149 Conservação da Energia Exemplo 149 𝑇𝐴 𝑉𝐴 𝑇𝐵 𝑉𝐵 0 8000 981 20 cos 60 1 2 8000 𝑣𝐵 2 800098120 cos 15 𝑣𝐵 135 ms Conservação da Energia Exemplo 149 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑛 0 8000 981 20 cos 15 8000 135 20 𝑇 149 kN Conservação da Energia Exemplo 1410 Conservação da Energia Exemplo 1410 Conservação da Energia Exemplo 1410 𝑇1 𝑉1 𝑇2 𝑉2 0 0 0 1 2 𝑘𝐴𝑠𝐴 2 1 2 𝑘𝐵𝑠𝐴 012 𝑊ℎ 0 0 0 1 2 12000 𝑠𝐴 2 1 2 15000𝑠𝐴 012 981 075 𝑠𝐴 13500𝑠𝐴 2 2481𝑠𝐴 66075 0 𝑠𝐴 0331 m 𝑠𝐵 0331 01 𝑠𝐵 0231 Conservação da Energia Exemplo 1411 Conservação da Energia Exemplo 1411 Parte A 𝑇𝐴 𝑉𝐴 𝑇𝐶 𝑉𝐶 0 0 1 2 𝑚𝑣𝑐2 1 2 𝑘𝑠𝐶𝐵 2 𝑚𝑔𝑦 0 0 1 2 2 𝑣𝐶 2 1 2 3 05 2 2 981 1 𝑣𝑐 439 𝑚𝑠 Conservação da Energia Exemplo 1411 Parte B 𝑇𝐴 𝑉𝐴 𝑇𝐶 𝑉𝐶 1 2 𝑚𝑣𝐴 2 0 1 2 𝑚𝑣𝑐2 1 2 𝑘𝑠𝐶𝐵 2 𝑚𝑔𝑦 1 2 22 0 1 2 2 𝑣𝐶 2 1 2 3 05 2 2 981 1 𝑣𝑐 482 𝑚𝑠 1472 A menina tem massa de 40 kg e centro de massa G como indicado na figura Se o desvio máximo em seu movimento oscilatório é de θ 60 determine a força desenvolvida ao longo de cada um dos quatro suportes tal como o suporte AB no instante em que θ 0 O movimento é simétrico relativamente aos suportes Problemas Problema 1475 O colar de 2 kg está preso a uma mola de 3m de comprimento mola não deformada Se o colar é puxado para o ponto B e solto a partir do repouso determine sua velocidade quando ele atinge o ponto A Problema 1478 O bloco de 2 lb parte de A com uma velocidade de 20 péss Se o comprimento da mola não deformada é de 2 pés e a rigidez da mola é k 100 lb determine a velocidade do bloco quando s 1 pé Problema 1485 O brinquedo de um parque de diversões consiste numa gôndola que é elevada a uma posição A a 120 pés de altura Se a gôndola parte do repouso e segue pelo trilho parabólico determine a velocidade no instante em que y 20 pés assim como a reação normal do trilho sobre a gôndola nesse instante A gôndola e os passageiros têm peso total de 500 lb Despreze o atrito e a massa das rodas Problemas Problema 1482 A mola tem rigidez k3 lbpé e seu comprimento quando não deformada é de 2 pés Se ela é ligada a um cursor liso que é solto a partir do repouso em A determine a velocidade do cursor exatamente quando ele atinge a extremidade B da barra Despreze o tamanho do cursor O cursor pesa 5 lb Problema 1469 Resolva o problema 1423 usando a equação da conservação da energia Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Dinâmica de uma Partícula Impulso e Quantidade de Movimento Professor Eduardo Costa Couto Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiros cinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 Impulso e Quantidade de Movimento Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Impulso e Quantidade de Movimento Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 151 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 151 𝑚𝑣𝑥1 න 𝑡1 𝑡2 𝐹𝑥 𝑑𝑡 𝑚𝑣𝑥2 0 200 10 cos 45 100 𝑣2 𝑣2 141 ms Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 151 𝑚𝑣𝑦1 න 𝑡1 𝑡2 𝐹𝑦 𝑑𝑡 𝑚𝑣𝑦2 0 𝑁𝐶 10 981 10 200 10 sen 45 0 𝑁𝐶 840 N Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 151 Outra forma de encontrar 𝑁𝐶 σ 𝐹𝑦 0 𝑁𝐶 981 200 sen 45 0 𝑁𝐶 840 N Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 152 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 152 𝑚𝑣𝑥1 න 𝑡1 𝑡2 𝐹𝑥 𝑑𝑡 𝑚𝑣𝑥2 50 322 3 න 0 2 20𝑡 𝑑𝑡 03 𝑁𝐶 2 50 2 𝑠𝑒𝑛 30 50 322 𝑣2 466 40 06𝑁𝐶 50 155𝑣2 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 152 Como não há movimento na direção y podemos aplicar a equação de equilíbrio σ 𝐹𝑦 0 𝑁𝐶 50 cos 30 0 Resolvendo o sistema obtemos 𝑁𝐶 433 lb e 𝑣2 442 péss Impulso e Quantidade de Movimento Principio do Impulso e Quantidade de Movimento para um Sistema de pontos Materiais Impulso e Quantidade de Movimento Problemas 151 e 159 Impulso e Quantidade de Movimento Problemas 151 e 159 Impulso e Quantidade de Movimento Problemas 151 e 159 Impulso e Quantidade de Movimento Principio do Impulso e Quantidade de Movimento para um Sistema de pontos Materiais Impulso e Quantidade de Movimento Principio do Impulso e Quantidade de Movimento para um Sistema de pontos Materiais Impulso e Quantidade de Movimento Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de pontos Materiais Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 154 15 ms Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 154 15 ms Conservação da Quantidade de Movimento 𝑚𝐴𝑣𝐴1𝑚𝐴𝑣𝐴1 𝑚𝐴 𝑚𝐵𝑣2 15000 15 12000 075 27000𝑣2 𝑣2 05 ms Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 154 15 ms Principio do Impulso e da Quantidade de Movimento 𝑚𝐴𝑣𝐴1 𝐹 𝑑𝑡 𝑚𝐴𝑣2 15000 15 𝐹𝑚𝑒𝑑08 1500005 𝐹𝑚𝑒𝑑 188 N Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 156 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 156 𝑚𝑇𝑣𝑇1𝑚𝐵𝑣𝐵1 𝑚𝑇𝑣𝑇2𝑚𝐵𝑣𝐵2 350 103 3 0 350103 𝑣𝑇250103 𝑣𝑇2 𝑣𝑇2 262 ms Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 156 Cálculo do Impulso 𝑚𝑇𝑣𝑇1I 𝑚𝑇𝑣𝑇2 350 103 3 I 350103 262 I 131 kN s Impulso e Quantidade de Movimento Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de pontos Materiais O carro B pesa 3000 lb Impulso e Quantidade de Movimento Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de pontos Materiais Impulso e Quantidade de Movimento Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de pontos Materiais Impulso e Quantidade de Movimento Colisão Impulso e Quantidade de Movimento Colisão Central Impulso e Quantidade de Movimento Colisão Central Impulso e Quantidade de Movimento Colisão Central Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 159 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 159 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 159 Conservação da Energia 𝑇0 𝑉0 𝑇1 𝑉1 0 0 1 2 6 322 𝑣𝐴 1 2 6 3 𝑣𝐴 1 139 péss Conservação da Quantidade de Movimento 𝑚𝐵𝑣𝐵1𝑚𝐴𝑣𝐴1 𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑚𝐴𝑣𝐴2 0 6 322 139 18 322 𝑣𝐵2 6 322 𝑣𝐴2 𝑣𝐴2 139 3𝑣𝐵2 1 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 159 Coeficiente de Restituição 𝑒 𝑣𝐵2𝑣𝐴2 𝑣𝐴1𝑣𝐵1 05 𝑣𝐵2𝑣𝐴2 1390 𝑣𝐴2 𝑣𝐵2695 2 Resolvendo as equações 1 e 2 obtemos 𝑣𝐴2 174 péss 𝑣𝐵2 521 péss Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 159 Perda de Energia 𝑈12 𝑇2 𝑇1 𝑈12 1 2 18 3225212 1 2 6 322 174 2 1 2 6 3221392 𝑈12 101 pés lb Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1510 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1510 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1510 Conservação da Energia 𝑇0 𝑉0 𝑇1 𝑉1 1 2 𝑚𝑣𝐵0 2 𝑊𝐵𝑦0 1 2 𝑘𝑠2 1 2 𝑚𝑣𝐵1 2 0 0 15 981 125 1 2 800 025 2 1 2 15𝑣𝐵1 2 𝑣𝐵1 297ms Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1510 Coeficiente de Restituição 𝑒 𝑣𝐵2𝑣𝐴2 𝑣𝐴1𝑣𝐵1 08 𝑣𝐵20 0297 𝑣𝐵2 237ms Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1510 Conservação da Energia 𝑇2 𝑉2 𝑇3 𝑉3 1 2 𝑚𝑣𝐵2 2 0 981 15 1 𝑠3 1 2 800𝑠3 2 400𝑠3 2 1472𝑠3 1894 0 𝑠3 0237m 237mm Impulso e Quantidade de Movimento Problema 1555 Impulso e Quantidade de Movimento Problema 1556 Impulso e Quantidade de Movimento Problema 1557 Impulso e Quantidade de Movimento Problema 1558 Impulso e Quantidade de Movimento Colisão Oblíqua Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1511 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1511 𝑣𝐴𝑥1 3 cos 30 260 m𝑠 𝑣𝐴𝑦1 3 sen 30 150 m𝑠 𝑣𝐵𝑥1 1 cos 45 0707 m𝑠 𝑣𝐵𝑦1 1 sen 45 0707 m𝑠 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1511 Conservação da Quantidade de Movimento na Direção x 𝑚𝐴𝑣𝐴𝑥1𝑚𝐵𝑣𝐵𝑥1 𝑚𝐴𝑣𝐴𝑥2𝑚𝐵𝑣𝐵𝑥2 1 26 2 0707 1𝑣𝐴𝑥22𝑣𝐵𝑥2 𝑣𝐴𝑥22𝑣𝐵𝑥2 118 1 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1511 Coeficiente de Restituição x 𝑒 𝑣𝐵𝑥2𝑣𝐴𝑥2 𝑣𝐴𝑥1𝑣𝐵𝑥1 𝑒 𝑣𝐵𝑥2𝑣𝑥𝐴2 260 0707 𝑣𝐵𝑥22 𝑣𝐴𝑥 2 248 2 Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1511 Resolvendo as equações 1 e 2 𝑣𝐴𝑥2 126ms 126 ms 𝑣𝐵𝑥2 122ms Impulso e Quantidade de Movimento Exemplo 1511 Conservação da Quantidade de Movimento na Direção y 𝑚𝐴𝑣𝐴𝑦1 𝑚𝐴𝑣𝐴𝑦2 𝑣𝐴𝑦2 150ms 𝑚𝐵𝑣𝐵𝑦1 𝑚𝐵𝑣𝐵𝑦2 𝑣𝐵𝑦2 0707ms 0707ms Impulso e Quantidade de Movimento Problema 1577 Impulso e Quantidade de Movimento Problema 1584 Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Cinemática do Movimento Plano De um Corpo Rígido Professor Eduardo Costa Couto Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiros cinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Translação Rotação em torno de um eixo Movimento plano geral Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Translação Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Posição angular 𝜃 Deslocamento angular 𝑑𝜽 Velocidade angular Aceleração angular Cinemática do Corpo Rígido Movimento de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Aceleração angular constante Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Aceleração as componentes normal e tangencial são ou fazendo Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Parte a 𝑎𝑃𝑡 𝑟 4𝑡 𝛼02 20𝑡 rads2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Parte a 𝑑𝜔 𝑑𝑡 20𝑡 rads2 න 0 𝜔 𝑑𝜔 න 0 𝑡 20𝑡 𝑑𝑡 𝜔 10𝑡2 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Parte b 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 10𝑡2 rads න 0 𝜃 𝑑𝜃 න 0 𝑡 10𝑡2 𝑑𝑡 𝜃 333𝑡3 rad Cinemática do Corpo Rígido 𝑠𝐴 𝑠𝐵 𝜃𝐴𝑟𝐴 𝜃𝐵𝑟𝐵 𝜔𝐴𝑟𝐴 𝜔𝐵𝑟𝐵 𝛼𝐴𝑟𝐴 𝛼𝐵𝑟𝐵 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 1 rev 2π rad Ao final de uma revolução da roda B 𝜃𝐵 2𝜋 rad 𝜃𝐴015 𝜃𝐵04 𝜃𝐴𝑟𝐴 6283 𝑟𝐵 𝜃𝐴 1676 rad Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Velocidade angular da polia A para 𝐴constante 𝜔2 𝜔0 2 2𝛼𝐶𝜃 𝜃0 𝜔𝐴 2 0 22167 0 𝜔𝐴 8188 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Velocidade angular da polia B 𝜔𝐴𝑟𝐴 𝜔𝐵𝑟𝐵 8188 015 𝜔𝐵04 𝜔𝐵 3070 rads Aceleração angular da polia B 𝛼𝐴𝑟𝐴 𝛼𝐵𝑟𝐵 2 015 𝛼𝐵04 𝛼𝐵 0750 rads2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Movimento de P 𝑣𝑃 𝜔𝐵𝑟𝐵 307 04123 ms 𝑎𝑃𝑡 𝛼𝐵𝑟𝐵 0750 040 03 ms2 𝑎𝑃𝑛 𝜔𝐵 2𝑟𝐵 3070 2 04 377ms2 𝑎𝑃 0323772 378 ms2 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 163 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 163 Equação da Coordenada de Posição 𝑥 2𝑟 cos 𝜃 Derivadas Temporais 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑣 2𝑟𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑣 𝑑𝑡 2𝑟 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝑟𝜔 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑎 2𝑟𝛼𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜔2 cos 𝜃 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 164 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 164 Equação da Coordenada de Posição 𝑠𝐺 𝑟𝜃 Derivadas Temporais 𝑣𝐺 𝑟𝜔 𝑎𝐺 𝑟𝛼 Cinemática do Corpo Rígido Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Equação da Coordenada de Posição 𝑠2 22 12 2 1 cos 𝜃 𝑠2 5 4 cos 𝜃 1 𝜃 30 𝑠 1239 m Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Derivadas Temporais 2s 𝑑𝑠 𝑑𝑡 0 4 sen 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑠 𝑣𝑠 2 sen 𝜃𝜔 2 𝑣𝑠 05 ms e 𝜃 30 𝜔 0620 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Derivada Temporal da Equação 2𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑣𝑠 𝑠 𝑑𝑣𝑠 𝑑𝑡 2 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑣𝑠2 𝑠 𝑎𝑠 2 cos 𝜃 𝜔2 2sin 𝜃𝛼 𝑎𝑠 0 𝑣𝑠 05 ms 𝜃 30 𝑒 𝜔 0620 rads 𝛼 0415 rads2 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 166 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 166 Equação da Velocidade 𝒗𝐵 𝒗𝐴 𝝎 𝒓𝐵𝐴 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 𝜔𝒌 02 sin 45 𝒊 02 cos 45 𝑗 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 02𝜔 sin 45 𝒋 02𝜔 cos 45 𝒊 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 166 ൞ 𝑣𝐵 02𝜔 cos 45 componentes 𝒊 0 2 02𝜔 sin 45 componentes 𝒋 𝜔 141 rads 𝑣𝐵 2 ms Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 167 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 167 Equação da Velocidade 𝒗𝐵 𝒗𝐴 𝝎 𝒓𝐵𝐴 𝑣𝐴𝑥𝒊 𝑣𝐴𝑦𝒋 2𝒊 15𝒌 05𝒊 05𝒋 𝑣𝐴𝑥𝒊 𝑣𝐴𝑦𝒋 2𝒊 75𝒋 75𝒊 𝑣𝐴𝑥 2 75 95 péss 𝑣𝐴𝑦 75 péss Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 167 Desta forma 𝑣𝐴 9502 7502 121 péss θ 𝑡𝑔1 75 95 383 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 168 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 168 Barra CB 𝒗𝐵 𝒗𝐶 𝝎𝐶𝐵 𝒓𝐵𝐶 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 𝜔𝐶𝐵𝒌 02𝒊 02𝒋 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 02𝜔𝐶𝐵𝒋 02𝜔𝐶𝐵𝒊 ቊ 𝑣𝐵 02𝜔𝐶𝐵 0 2 02𝜔𝐶𝐵 𝜔𝐶𝐵 10 rads 𝑣𝐵 2ms Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 168 Barra AB 𝒗𝐵 𝝎𝐴𝐵 𝒓𝐵 2𝒊 𝜔𝐴𝐵𝒌 02𝒋 2𝒊 02𝜔𝐴𝐵𝒊 2 02 𝜔𝐴𝐵 𝜔𝐴𝐵 10 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Barra AB 𝒗𝐵 𝝎𝐴𝐵 𝒓𝐵 𝒗𝐵 30𝒌 02cos 60𝒊 02 sin 60𝒋 𝒗𝐵 520i 30j ms Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Barra BC 𝒗𝐶 𝒗𝐵 𝝎𝐵𝐶 𝒓𝐵𝐶 𝑣𝐶𝒊 520𝒊 30𝒋 𝜔𝐵𝐶𝒌 02𝒊 𝑣𝐶𝒊 520𝒊 02𝜔𝐵𝐶 30 𝒋 ቊ 𝑣𝐶 520 0 02𝜔𝐵𝐶 30 𝜔𝐵𝐶 15 rads 𝑣𝐶 520m𝑠 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Roda 𝒗𝐶 𝝎𝐷 𝒓𝐶 520𝒊 𝜔𝐷𝒌 01𝒋 520 01𝜔𝐷 𝜔𝐷 52 rads Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1614 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1614 Equação da Velocidade 𝒗𝐺 𝒗𝐴 𝜔 𝒓𝐺𝐴 𝑣𝐺𝒊 𝟎 𝜔𝒌 𝑟𝒋 𝑣𝐺 𝜔𝑟 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1614 Equação da Aceleração 𝒂𝐺 𝒂𝐴 𝛼 𝒓𝐺𝐴 𝜔2𝒓𝐺𝐴 𝑎𝐺𝒊 𝑎𝐴𝒋 𝛼𝒌 𝑟𝒋 𝜔2 𝑟𝒋 𝑎𝐺 𝛼𝑟 𝑎𝐴 𝜔2𝑟 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1615 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1615 Usando resultados do Exemplo 1614 𝑎𝑂 𝛼𝑟 4 rad 𝑠2 05 pé 2 pés𝑠2 Ponto B 𝒂𝐵 𝒂𝑂 𝛼 𝒓𝐵𝑂 𝜔2𝒓𝐵𝑂 𝒂𝐵 2𝒊 4𝒌 05 𝒊 62 05 𝒊 𝒂𝐵 20𝒊 2 𝒋 péss2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1615 Ponto A 𝒂𝐴 𝒂𝑂 𝛼 𝒓𝐴𝑂 𝜔2𝒓𝐴𝑂 𝒂𝐴 2𝒊 4𝒌 05𝒋 62 05 𝒋 𝒂𝐴 4𝒊 18 𝒋 péss2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1616 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1616 Como não há deslizamento 𝑣𝐴 0 e podemos usar resultados do Exemplo 164 𝑎𝐺 𝛼𝑟 4 rad 𝑠2 05 pé 2 pés𝑠2 Equação da Aceleração 𝒂𝐵 𝒂𝐺 𝛼 𝒓𝐵𝐺 𝜔2𝒓𝐵𝐺 𝑎𝐵𝑥𝒊 𝑎𝐵𝑦𝒋 2𝒋 4𝒌 075𝒋 32 075 𝒋 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1616 ൞ 𝑎𝐵𝑥 4 075 3 péss2 𝑎𝐵𝑦 2 675 875 875 péss2 𝑎𝐵 32 8752 925 péss2 𝜃 𝑡𝑔1 875 3 711 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Equação da Aceleração Barra AB 𝒂𝐵 𝛼𝐴𝐵 𝒓𝐵 𝜔𝐴𝐵 2 𝒓𝐵 𝑎𝐵 𝛼𝐴𝐵𝒌 02𝒋 102 02 𝒋 𝑎𝐵 02𝑎𝐴𝐵𝒊 20𝒋 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Equação da Aceleração Barra BC 𝒂𝐵 𝒂𝐶 𝛼𝐶𝐵 𝒓𝐵𝐶 𝜔𝐶𝐵 2 𝒓𝐵𝑐 𝑎𝐵02𝛼𝐴𝐵𝒊 20𝒋 1𝒋 𝛼𝐶𝐵𝒌 02𝒊 02𝒋 102 02𝒊 02 𝒋 𝑎𝐵02𝛼𝐴𝐵𝒊 20𝒋 1𝒋 02𝛼𝐶𝐵𝒋 02𝛼𝐶𝐵𝒊 20𝒊 20𝒋 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Equação da Aceleração Barra BC ቐ 02𝛼𝐴𝐵 02𝛼𝐶𝐵 20 20 1 02𝛼𝐶𝐵 20 𝛼𝐶𝐵 5 rads2 𝛼𝐶𝐵 95 rads2 95rads2 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Dinâmica da Movimento Plano de um Corpo Rígido Força e Aceleração Professor Eduardo Costa Couto Aula 7 Cinemática de uma Partícula Momento de Inércia Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equações do Movimento Translação Equações do Movimento Rotação Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiroscinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia de Massa Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 𝑀 𝐼 Ԧ𝛼 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 171 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 171 Técnica casca elementar e integração simples 𝑑𝑉 2𝜋𝑟 ℎ 𝑑𝑟 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝑣 𝜌2𝜋ℎ𝑟𝑑𝑟 𝑑𝐼𝑍 𝑟2𝑑𝑚 𝜌2𝜋ℎ𝑟3𝑑𝑟 𝐼𝑧 න 𝑚 𝑟2𝑑𝑚 𝜌2𝜋ℎ න 0 𝑅 𝑟3𝑑𝑟 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 171 A massa do cilindro é 𝑚 න 𝑚 𝑑𝑚 𝜌2𝜋ℎ න 0 𝑅 𝑟𝑑𝑟 𝜌𝜋ℎ𝑅2 𝐼𝑍 1 2 𝑚𝑅2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 172 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 172 Técnica disco elementar e integração simples 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝑣 𝜌𝜋𝑥2𝑑𝑦 Conforme exemplo anterior 𝐼 de um cil com relação ao seu eixo log 𝐼 1 2 𝑚𝑅2 então 𝑑𝐼𝑦 1 2 𝑑𝑚 𝑥2 1 2 𝜌 𝜋𝑥2 𝑑𝑦𝑥2 substituindo 𝑥 𝑦2 𝜌 5slug𝑝é3 e integrando de y0 a y1 𝐼𝑦 𝜋5 2 න 0 1 𝑥4𝑑𝑦 𝜋5 2 න 0 1 𝑦8𝑑𝑦 0873 slug𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia Teorema dos eixos paralelos Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Disco O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centroide e é perpendicular ao plano do disco é 𝐼𝐺 1 2 𝑚𝑟2 O centro de massa do disco está a uma distância 025m do ponto O 𝑚𝑑 𝜌𝑑𝑉𝑑 8000 kgm3 𝜋025 m2 001 m 1571 kg 𝐼𝑑𝑂 𝑚𝑑𝑟𝑑 2 𝑚𝑑𝑑2 𝐼𝑑𝑂 1 2 1571𝑘𝑔 025m 2 1571 𝑘𝑔025 m2 𝐼𝑑𝑂 1473 kg 𝑚2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Orifício Para o disco de 124 mm de raio orifício temos 𝑚ℎ 𝜌ℎ𝑉ℎ 8000 kgm3 𝜋0125 m2 001 m 393 kg 𝐼ℎ𝑂 1 2 𝑚ℎ𝑟ℎ 2 𝑚ℎ𝑑2 𝐼ℎ𝑂 1 2 393 k𝑔 0125 m 2 393 kg025 m2 𝐼ℎ𝑂 0276 kg m2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Placa 𝐼𝑂 𝐼𝑑𝑂 𝐼𝑑𝑂 𝐼𝑂 1473 kg m2 0276 kg m2 𝐼𝑂 12 kg 𝑚2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Barra OA Da tabela 𝐼𝐺 1 12 𝑚𝑙2 Usando o teorema dos eixos paralelos 𝐼𝑂𝐴𝑂 1 12 𝑚𝑙2 𝑚𝑑2 1 12 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 2 𝑝é𝑠 2 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 1 𝑝é𝑠 2 𝐼𝐵𝐶𝑂 0414 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Barra BC 𝐼𝐵𝐶𝑂 1 12 𝑚𝑙2 𝑚𝑑2 1 12 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 2 𝑝é𝑠 2 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 2 𝑝é𝑠 2 𝐼𝐵𝐶𝑂 1346 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Pendulo 𝐼𝑂 0414 1346 176 slug 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Centro de massa G com relação a O 𝑦 σ 𝑦𝑚 𝑚 1 10 322 2 10 322 10 322 10 322 15 𝑝é Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Momento de inércia 𝐼𝐺 𝐼𝑂 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 176 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 𝐼𝐺 20 𝑙𝑏 322 𝑝é𝑠𝑠215 𝑝é2 𝐼𝐺 0362 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Translação Retilínea Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Translação Curvilínea Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 175 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 175 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 025𝑁𝐵 2000 𝑘𝑔𝑎𝐺 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑁𝐴 𝑁𝐵 2000 981 𝑁 0 𝑀𝐺 0 𝑁𝐴 125 m 025 𝑁𝐵 03 m 𝑁𝐵 075 m 0 𝑎𝐺 159 m𝑠2 𝑁𝐴 688 kN 𝑁𝐵 127 kN Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 176 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 176 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 𝐹𝐵 75kg 125kg𝑎𝐺 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑁𝐵 73575 N 122625 N 0 𝑀𝐵 𝑚𝑘 𝐵 73575 𝑁 04 m 122625 𝑁 08 m 75 𝑘𝑔 𝑎𝐺 09 𝑚 125 𝑘𝑔 𝑎𝐺 0 6 m Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 176 𝑎𝐺 895 m𝑠2 𝑁𝐵 1962 N 𝐹𝐵 1790 kN 𝜇𝑒𝑚𝑖𝑛 𝐹𝐵 𝑁𝐵 1790 𝑁 1962 𝑁 0912 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 177 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 177 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 600 N 02 𝑁𝑐 50kg𝑎𝐺 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑁𝐶 4905 0 𝑀𝐵 0 600 03 m 𝑁𝐶 𝑥 02𝑁𝐶 05 m 0 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 177 𝑁𝐶 490 N 𝑥 0467 m 𝑎𝐺 100 m𝑠2 Se 𝑥 fosse maior do que 05 m o problema teria que ser refeito considerandose o tombamento Nesse caso 𝑁𝐶 agiria no vértice A e 𝐹 05𝑁𝐶 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 178 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 178 σ 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 𝑇𝐵 𝑇𝐷 981 cos 30 N 100 kg 18 m𝑠2 𝐹𝑡 𝑚 𝑎𝐺 𝑡 981 sen 30 100 kg 𝑎𝐺 𝑡 σ 𝑀𝐺 0 𝑇𝐵 cos 3004 m 𝑇𝐷 cos 3004 m0 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 178 𝑇𝐵 𝑇𝐷 132 𝑘N 𝑎𝐺𝑡 490 m𝑠2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação 500 lbft Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Acrescentar equações da fls 320 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo A última equação possui mais duas versões e Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 179 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 179 𝐼0 1 2 𝑚𝑟2 1 2 30 𝑘𝑔 02 𝑚 2 06 𝑘𝑔 m2 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 𝑂𝑥 0 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑂𝑦 2943 N 10 N 0 𝑂𝑦 304 N 𝑀𝑂 𝐼𝑂𝛼 10 N 02 m 5 Nm 06 𝑘𝑔 m2𝛼2𝑁𝐶 05 m 0 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 179 𝛼 117 rad𝑠2 𝜔2 𝜔𝑜2 2𝛼𝐶𝜃 𝜃0 20 rad 𝑠2 0 2 117 rad𝑠2𝜃 0 𝜃 171 rad 171 rad Logo 𝜃 171 rad 1 rev 2 𝜋 ra𝑑 273 rev Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral A última equação possui mais uma versão Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral