Cinemática do Movimento Plano de um Corpo Rígido

Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Cinemática do Movimento Plano De um Corpo Rígido Professor Eduardo Costa Couto Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiros cinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Translação Rotação em torno de um eixo Movimento plano geral Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Translação Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Posição angular 𝜃 Deslocamento angular 𝑑𝜽 Velocidade angular Aceleração angular Cinemática do Corpo Rígido Movimento de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Aceleração angular constante Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Aceleração as componentes normal e tangencial são ou fazendo Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Parte a 𝑎𝑃𝑡 𝑟 4𝑡 𝛼02 20𝑡 rads2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Parte a 𝑑𝜔 𝑑𝑡 20𝑡 rads2 න 0 𝜔 𝑑𝜔 න 0 𝑡 20𝑡 𝑑𝑡 𝜔 10𝑡2 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 161 Parte b 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 10𝑡2 rads න 0 𝜃 𝑑𝜃 න 0 𝑡 10𝑡2 𝑑𝑡 𝜃 333𝑡3 rad Cinemática do Corpo Rígido 𝑠𝐴 𝑠𝐵 𝜃𝐴𝑟𝐴 𝜃𝐵𝑟𝐵 𝜔𝐴𝑟𝐴 𝜔𝐵𝑟𝐵 𝛼𝐴𝑟𝐴 𝛼𝐵𝑟𝐵 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 1 rev 2π rad Ao final de uma revolução da roda B 𝜃𝐵 2𝜋 rad 𝜃𝐴015 𝜃𝐵04 𝜃𝐴𝑟𝐴 6283 𝑟𝐵 𝜃𝐴 1676 rad Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Velocidade angular da polia A para 𝐴constante 𝜔2 𝜔0 2 2𝛼𝐶𝜃 𝜃0 𝜔𝐴 2 0 22167 0 𝜔𝐴 8188 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Velocidade angular da polia B 𝜔𝐴𝑟𝐴 𝜔𝐵𝑟𝐵 8188 015 𝜔𝐵04 𝜔𝐵 3070 rads Aceleração angular da polia B 𝛼𝐴𝑟𝐴 𝛼𝐵𝑟𝐵 2 015 𝛼𝐵04 𝛼𝐵 0750 rads2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 162 Movimento de P 𝑣𝑃 𝜔𝐵𝑟𝐵 307 04123 ms 𝑎𝑃𝑡 𝛼𝐵𝑟𝐵 0750 040 03 ms2 𝑎𝑃𝑛 𝜔𝐵 2𝑟𝐵 3070 2 04 377ms2 𝑎𝑃 0323772 378 ms2 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Rotação em torno de um eixo Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 163 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 163 Equação da Coordenada de Posição 𝑥 2𝑟 cos 𝜃 Derivadas Temporais 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑣 2𝑟𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑣 𝑑𝑡 2𝑟 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝑟𝜔 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑎 2𝑟𝛼𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜔2 cos 𝜃 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 164 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 164 Equação da Coordenada de Posição 𝑠𝐺 𝑟𝜃 Derivadas Temporais 𝑣𝐺 𝑟𝜔 𝑎𝐺 𝑟𝛼 Cinemática do Corpo Rígido Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Equação da Coordenada de Posição 𝑠2 22 12 2 1 cos 𝜃 𝑠2 5 4 cos 𝜃 1 𝜃 30 𝑠 1239 m Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Derivadas Temporais 2s 𝑑𝑠 𝑑𝑡 0 4 sen 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑠 𝑣𝑠 2 sen 𝜃𝜔 2 𝑣𝑠 05 ms e 𝜃 30 𝜔 0620 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 165 Derivada Temporal da Equação 2𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑣𝑠 𝑠 𝑑𝑣𝑠 𝑑𝑡 2 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑣𝑠2 𝑠 𝑎𝑠 2 cos 𝜃 𝜔2 2sin 𝜃𝛼 𝑎𝑠 0 𝑣𝑠 05 ms 𝜃 30 𝑒 𝜔 0620 rads 𝛼 0415 rads2 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento absoluto Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 166 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 166 Equação da Velocidade 𝒗𝐵 𝒗𝐴 𝝎 𝒓𝐵𝐴 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 𝜔𝒌 02 sin 45 𝒊 02 cos 45 𝑗 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 02𝜔 sin 45 𝒋 02𝜔 cos 45 𝒊 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 166 ൞ 𝑣𝐵 02𝜔 cos 45 componentes 𝒊 0 2 02𝜔 sin 45 componentes 𝒋 𝜔 141 rads 𝑣𝐵 2 ms Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 167 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 167 Equação da Velocidade 𝒗𝐵 𝒗𝐴 𝝎 𝒓𝐵𝐴 𝑣𝐴𝑥𝒊 𝑣𝐴𝑦𝒋 2𝒊 15𝒌 05𝒊 05𝒋 𝑣𝐴𝑥𝒊 𝑣𝐴𝑦𝒋 2𝒊 75𝒋 75𝒊 𝑣𝐴𝑥 2 75 95 péss 𝑣𝐴𝑦 75 péss Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 167 Desta forma 𝑣𝐴 9502 7502 121 péss θ 𝑡𝑔1 75 95 383 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 168 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 168 Barra CB 𝒗𝐵 𝒗𝐶 𝝎𝐶𝐵 𝒓𝐵𝐶 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 𝜔𝐶𝐵𝒌 02𝒊 02𝒋 𝑣𝐵𝒊 2𝒋 02𝜔𝐶𝐵𝒋 02𝜔𝐶𝐵𝒊 ቊ 𝑣𝐵 02𝜔𝐶𝐵 0 2 02𝜔𝐶𝐵 𝜔𝐶𝐵 10 rads 𝑣𝐵 2ms Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 168 Barra AB 𝒗𝐵 𝝎𝐴𝐵 𝒓𝐵 2𝒊 𝜔𝐴𝐵𝒌 02𝒋 2𝒊 02𝜔𝐴𝐵𝒊 2 02 𝜔𝐴𝐵 𝜔𝐴𝐵 10 rads Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Barra AB 𝒗𝐵 𝝎𝐴𝐵 𝒓𝐵 𝒗𝐵 30𝒌 02cos 60𝒊 02 sin 60𝒋 𝒗𝐵 520i 30j ms Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Barra BC 𝒗𝐶 𝒗𝐵 𝝎𝐵𝐶 𝒓𝐵𝐶 𝑣𝐶𝒊 520𝒊 30𝒋 𝜔𝐵𝐶𝒌 02𝒊 𝑣𝐶𝒊 520𝒊 02𝜔𝐵𝐶 30 𝒋 ቊ 𝑣𝐶 520 0 02𝜔𝐵𝐶 30 𝜔𝐵𝐶 15 rads 𝑣𝐶 520m𝑠 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 169 Roda 𝒗𝐶 𝝎𝐷 𝒓𝐶 520𝒊 𝜔𝐷𝒌 01𝒋 520 01𝜔𝐷 𝜔𝐷 52 rads Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo velocidade Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Centro instantâneo de velocidade nula Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1614 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1614 Equação da Velocidade 𝒗𝐺 𝒗𝐴 𝜔 𝒓𝐺𝐴 𝑣𝐺𝒊 𝟎 𝜔𝒌 𝑟𝒋 𝑣𝐺 𝜔𝑟 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1614 Equação da Aceleração 𝒂𝐺 𝒂𝐴 𝛼 𝒓𝐺𝐴 𝜔2𝒓𝐺𝐴 𝑎𝐺𝒊 𝑎𝐴𝒋 𝛼𝒌 𝑟𝒋 𝜔2 𝑟𝒋 𝑎𝐺 𝛼𝑟 𝑎𝐴 𝜔2𝑟 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1615 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1615 Usando resultados do Exemplo 1614 𝑎𝑂 𝛼𝑟 4 rad 𝑠2 05 pé 2 pés𝑠2 Ponto B 𝒂𝐵 𝒂𝑂 𝛼 𝒓𝐵𝑂 𝜔2𝒓𝐵𝑂 𝒂𝐵 2𝒊 4𝒌 05 𝒊 62 05 𝒊 𝒂𝐵 20𝒊 2 𝒋 péss2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1615 Ponto A 𝒂𝐴 𝒂𝑂 𝛼 𝒓𝐴𝑂 𝜔2𝒓𝐴𝑂 𝒂𝐴 2𝒊 4𝒌 05𝒋 62 05 𝒋 𝒂𝐴 4𝒊 18 𝒋 péss2 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1616 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1616 Como não há deslizamento 𝑣𝐴 0 e podemos usar resultados do Exemplo 164 𝑎𝐺 𝛼𝑟 4 rad 𝑠2 05 pé 2 pés𝑠2 Equação da Aceleração 𝒂𝐵 𝒂𝐺 𝛼 𝒓𝐵𝐺 𝜔2𝒓𝐵𝐺 𝑎𝐵𝑥𝒊 𝑎𝐵𝑦𝒋 2𝒋 4𝒌 075𝒋 32 075 𝒋 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1616 ൞ 𝑎𝐵𝑥 4 075 3 péss2 𝑎𝐵𝑦 2 675 875 875 péss2 𝑎𝐵 32 8752 925 péss2 𝜃 𝑡𝑔1 875 3 711 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Equação da Aceleração Barra AB 𝒂𝐵 𝛼𝐴𝐵 𝒓𝐵 𝜔𝐴𝐵 2 𝒓𝐵 𝑎𝐵 𝛼𝐴𝐵𝒌 02𝒋 102 02 𝒋 𝑎𝐵 02𝑎𝐴𝐵𝒊 20𝒋 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Equação da Aceleração Barra BC 𝒂𝐵 𝒂𝐶 𝛼𝐶𝐵 𝒓𝐵𝐶 𝜔𝐶𝐵 2 𝒓𝐵𝑐 𝑎𝐵02𝛼𝐴𝐵𝒊 20𝒋 1𝒋 𝛼𝐶𝐵𝒌 02𝒊 02𝒋 102 02𝒊 02 𝒋 𝑎𝐵02𝛼𝐴𝐵𝒊 20𝒋 1𝒋 02𝛼𝐶𝐵𝒋 02𝛼𝐶𝐵𝒊 20𝒊 20𝒋 Cinemática do Corpo Rígido Exemplo 1617 Equação da Aceleração Barra BC ቐ 02𝛼𝐴𝐵 02𝛼𝐶𝐵 20 20 1 02𝛼𝐶𝐵 20 𝛼𝐶𝐵 5 rads2 𝛼𝐶𝐵 95 rads2 95rads2 Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração Cinemática do Corpo Rígido Movimento planar de um corpo rígido Análise do movimento relativo aceleração