Dinâmica de uma Partícula: Leis de Newton do Movimento

Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Dinâmica de uma Partícula Professor Eduardo Costa Couto Dinâmica de uma Partícula Leis de Newton do Movimento Lei de Newton da Atração Gravitacional A Equação do Movimento A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas A Equação do Movimento para uma Partícula Referências BEER Ferdinand P e JOHNSTON JR R Russel Mecânica Vetorial para Engenheiros Cinemática e Dinâmica Makron Books do Brasil Editora 5aedição HIBBELER RC Engineering Mechanics Statics and Dynamics Prentice Hall 1995 HALLIDAY D e RESNICK R Física Vol I Livros Técnicos e Científicos Editora 1997 Leis de Newton do Movimento Primeira Lei Uma partícula originalmente em repouso ou deslocandose em linha reta com velocidade constante permanecerá neste estado desde que não seja submetida a uma força não balanceada Leis de Newton do Movimento Segunda Lei Uma partícula sujeita à ação de uma força não balanceada Ԧ𝐹 recebe uma aceleração Ԧ𝑎 que tem a mesma direção e sentido que a força e um módulo que é diretamente proporcional a força Leis de Newton do Movimento Terceira Lei Para cada força agindo sobre a partícula a partícula exerce uma reação igual oposta e colinear Leis de Newton do Movimento Conceito de massa Medidas de força e aceleração podem ser registradas em laboratório Se uma força conhecida não balanceada Ԧ𝐹1 for aplicada a uma partícula a aceleração Ԧ𝑎1pode ser medida Já que Ԧ𝐹1 e Ԧ𝑎1são diretamente proporcionais Segunda Lei de Newton a constante de proporcionalidade pode ser determinada pela razão 𝑚 Τ 𝐹1 𝑎1 A experiência pode repetida para Ԧ𝐹2obtendo se uma aceleração Ԧ𝑎2 tal que 𝑚 Τ 𝐹2 𝑎2 O escalar 𝑚 é chamado de massa da partícula 𝑚 é constante durante qualquer aceleração e fornece uma medida quantitativa da resistência da partícula a uma variação em sua velocidade A Equação do Movimento A segunda lei de Newton do movimento pode ser escrita em forma matemática como Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 Esta equação é conhecida como equação do movimento Quando mais de uma força age sobre a partícula a força resultante Ԧ𝐹𝑅 é a soma de todas as forças Ԧ𝐹𝑅 σ Ԧ𝐹 Neste caso a equação do movimento pode ser reescrita como σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 A Equação do Movimento Ԧ𝑎 0 equilíbrio estático σ Ԧ𝐹 0 Ԧ𝑎 0 equilíbrio dinâmico σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 0 A Equação do Movimento Princípio de DAlambert O método de aplicação da equação do movimento onde 𝑚 Ԧ𝑎 é considerado o vetor força inercial que estabelece o equilíbrio dinâmico é conhecido como princípio de DAlambert A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas Uma partícula arbitrária iésima possuindo uma massa 𝑚𝑖 é sujeita a um conjunto de forças internas e a uma força resultante externa As forças internas representadas por σ Ԧ𝑓𝑖 são forças de reação que as outras partículas exercem sobre a iésima partícula A força resultante externa Ԧ𝐹𝑖 representa o efeito das forças gravitacionais elétricas magnéticas ou de contato entre corpos ou partículas adjacentes não incluídas dentro do sistema de n partículas A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas A plicando a equação do movimento para a iésima partícula temos Ԧ𝐹𝑖 Ԧ𝑓𝑖𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 Podemos escrever a equação acima para cada uma das partículas do sistema entretanto quando somamos vetorialmente todas as equações σ Ԧ𝐹𝑖 σ Ԧ𝑓𝑖 σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 a soma de todas as forças internas agindo dentro do sistema é nula terceira lei de Newton Portanto a equação do movimento escrita para o sistema inteiro de partículas se torna σ Ԧ𝐹σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 A Equação do Movimento para um Sistema de Partículas Se Ԧ𝑟𝐺 é o vetor posição que localiza o centro de massa G do sistema de partículas então 𝑚Ԧ𝑟𝐺 σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑟𝑖 onde 𝑚 σ 𝑚𝑖 é a massa total do sistema de partículas Diferenciando duas vezes esta equação obtemos 𝑚 Ԧ𝑎𝐺 σ 𝑚𝑖 Ԧ𝑎𝑖 ou σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎𝐺 Esta equação estabelece que a soma das forças externas agindo sobre o sistema de partículas é igual à massa 𝑚 σ 𝑚𝑖 de uma única partícula fictícia vezes a sua aceleração Esta partícula fictícia se localiza no centro de massa G do sistema Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 σ 𝐹𝑥Ԧ𝑖 σ 𝐹𝑦Ԧ𝑗 σ 𝐹𝑧𝑘 𝑚 𝑎𝑥Ԧ𝑖 𝑎𝑦Ԧ𝑗 𝑎𝑧𝑘 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝑥 σ 𝐹𝑦 𝑚𝑎𝑦 σ 𝐹𝑧 𝑚𝑎𝑧 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 131 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 132 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 134 Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Retangulares Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial σ Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 σ 𝐹𝑡𝑢𝑡 σ 𝐹𝑛𝑢𝑛 σ 𝐹𝑏𝑢𝑏 𝑚 𝑎𝑡𝑢𝑡 𝑎𝑛𝑢𝑛 σ 𝐹𝑡 𝑚 Ԧ𝑎𝑡 σ 𝐹𝑛 𝑚 Ԧ𝑎𝑛 σ 𝐹𝑏 0 Equações do Movimento para uma Partícula Exemplo 137 Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial Equações do Movimento para uma Partícula Coordenadas Normal e Tangencial