Aula 3: Flexão em Estruturas de Concreto Armado

Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Engenharia Civil e Engenharia Agrícola ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO AULA 3 Flexão a Antes da deformação b Após a deformação 1 INTRODUÇÃO Material altamente deformável submetido a um momento fletor 1 INTRODUÇÃO Uma parte da seção transversal está comprimida e uma parte tracionada 1 INTRODUÇÃO CA 60 CA 50 1 INTRODUÇÃO Figura 84 1 INTRODUÇÃO Figura 82 1 INTRODUÇÃO Até C50 1 INTRODUÇÃO a armadura transversal somente estribos P armadura transversal estribos e barras dobradas 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO Figura 171 Domínios de estado limite último de uma seção transversal 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO 35 10 x 23 d x 23 x 23 02590 d 1 INTRODUÇÃO A ruina da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limiteúltimo é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço que atingem uma delas ou ambas os valores últimos máximos das deformações específicas desses materiais Carvalho fls 110 ou NB6118 seção 1722 g O maior momento resistente da seção é obtido com a maior profundidade da linha neutra permitida que é 045 d Com relação ao domínio 2 devese ler a seção 1722 e e Figura 82 diagrama simplificado Com relação ao domínio 3 devese ler a seção 14643 a e b profundidade máxima da linha neutraleitura indicada José Milton vol 1 fl 122 4ª ed a PEÇAS SUBARMADAS Possuem taxa de armadura muito pequena e rompem no domínio 2 Neste caso a ruptura ocorre por deformação excessiva da armadura sem haver o esmagamento do concreto ruptura dúctil com intensa fissuração do concreto b PEÇAS NORMALMENTE ARMADAS A ruptura ocorre no domínio 3 com esmagamento do concreto e com escoamento da armadura ruptura semelhante ao das peças subarmadas c PEÇAS SUPERARMADAS A ruptura ocorre no domínio 4 Em virtude do excesso de armação o aço não chega a escoar e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto ruptura frágil Para evitar este tipo de situação empregase a armadura dupla uma tracionada e uma comprimida 1 INTRODUÇÃO DIMENSIONAMENTO PRECISO 1 INTRODUÇÃO DIMENSIONAMENTO APROXIMADO 1 INTRODUÇÃO Diagramas tensãodeformação do concreto para análise no estado limite último Estádio III 1 INTRODUÇÃO SEÇÃO 8210 E SEÇÃO 1722 085 zonas comprimidas de largura constante ou crecentes no sentido da fibra mais comprimida a partir da LN 080 zonas comprimidas de largura decrescente no sentido da fibra mais comprimida a partir da LN 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO Diagrama Retangular 085 fcd ou 080 fcd Y08X Rcc Md Z 1 INTRODUÇÃO Fx 0 Rcc Rst 0 Rcc Rst Moment Moment Md Rcc z d 04x Md 085 fcd 08x bw d 04x Md 068xd 0272 x² bw fcd 1 INTRODUÇÃO Fx 0 Rcc Rst 0 Rcc Rst Mmont Mint Md Rst ẟ Md As fy ẟ As Md ɣfi Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal formulação das fls 116 à 118 Exemplo 1 Exercício 3 2 DIMENSIONAMENTO 𝒙𝟏𝟐 𝟎 𝒙𝟐𝟑 𝟎 𝟐𝟓𝟗 𝒅 𝒙𝟑𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟓 𝒅 𝜺𝒚𝒅 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟓 𝒙𝟒 𝟒𝒂 𝟏 𝒛 𝒅 𝟎 𝟒 𝒙 𝑴𝒅 𝟎 𝟔𝟖 𝒙 𝒅 𝟎 𝟐𝟕𝟐 𝒙𝟐 𝒃𝒘 𝒇𝒄𝒅 𝑓𝑠 𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑑 𝑓𝑦𝑑 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝒛 𝒇𝒔 𝑓𝑠 𝑓𝑦𝑑 𝑓𝑠 𝐸 𝜀𝑠 Nos domínios 2 ou 3 No domínio 4 ou 𝐸 210 000 Mpa item 835 Aço CA 25 CA 50 CA 60 𝜀𝑦𝑑 0104 0207 0248 2 DIMENSIONAMENTO 14643 Limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade Para proporcionar o adequado comportamento útil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xd 045 para concretos com fck 50 MPa b xd 035 para concretos com 50 MPa fck 90 MPa 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 1 Para uma seção retangular de concreto armado com 𝑏𝑤012m e d029m sob a ação de um momento fletor Mk122 kNm determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária 𝐴𝑠 Dados 𝑓𝑐𝑘20 MPa aço CA50 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 1 SOLUÇÃO Md 068 xd 0272 x² bw fcd 14 x 122 x 10³ 068 x 0272 0272 x² 012 20 14 x₁ 0605 m e x₂ 00545 m 0145 d 013 m x 045 d Ok z d 04 x z 029 04 x 00545 027 m A₃ Md 3 fyd A₃ 14 x 122 x 10³ 027 500 115 A₃ 145 x 10⁴ m² A₃ 145 cm² 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção Como calcular o maior momento que uma viga resiste Para encontrar um máximo de 𝑀𝑑 derivamos 𝑀𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 com relação a 𝑥 e obtemos 𝑑𝑀𝑑 𝑑𝑥 068 𝑑 054 𝑥 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção Igualando 068 𝑑 054 𝑥 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 a zero obtemos 𝑥 125 𝑑 que corresponde a uma linha neutra passando fora da seção Situação impossível na flexão simples Então o máximo momento resistente corresponde ao maior valor de 𝑥 que podemos utilizar 𝑥 045 𝑑 EXEMPLO 3 Para uma viga de seção retangular de concreto armado com largura 𝑏𝑤012m e altura útil d1765 cm determinar o momento resistente da seção considerando a profundidade máxima da linha neutra permitida na NB e o valor da área de aço necessária correspondente a esse momento Considerar 𝑓𝑐𝑘20 MPa e aço CA50 2 DIMENSIONAMENTO SOLUÇÃO x 045 d x 045 x 01765 x 00774 m Md 068 xd 0272 x² bw fcd Md 068 x 00794 x 01765 0272 x 00794² 012 20 14 Md 0013 MNm ou 1340 kNm Md 14 Mk Mk 1340 14 µk 957 kNm A₃ Md 3 fyd A₃ 001340 01447 500 115 z d 04 x z 01765 04 x 00794 01447 m A₃ 0000213 m² A₃ 213 cm² 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção quando conhecemos a armadura longitudinal Quando 𝐴𝑠 é dado qual profundidade da linha neutra 𝑥 trará o equilíbrio Para encontrar fazemos 𝑅𝑠𝑡 𝑅𝑐𝑐 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 085 𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 e obtemos 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 068 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 2 DIMENSIONAMENTO Cálculo do máximo momento resistente da seção quando conhecemos a armadura longitudinal com 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑 068 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 obtemos 𝑀𝑑 máximo 𝑀𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 EXEMPLO 4 Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado com largura 𝑏𝑤12 cm e altura útil d1765 cm para as seguintes situações a 𝐴𝑠 05cm² b 𝐴𝑠 20cm² Dados aço CA50 𝑓𝑐𝑘20 MPa 2 DIMENSIONAMENTO SOLUÇÃO a R₈ Rcc A₃ fyd 085 fcd bw 08 π x A₃ fyd 0168 bw fcd x 045 d x 005 x 10⁴ 500115 00186 m x 0168 x 012 x 20 14 x 045 d OK 045 d 00794 m Md 068 x d 0272 x² bw fcd 2 DIMENSIONAMENTO Altura útil mínima de uma seção com armadura simples 𝑑𝑚𝑖𝑛 é o menor valor de 𝑑 que satisfaz a desigualdade 𝑥 045 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 2 𝑀𝑑 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 Md 068 x 00186 x 0465 0272 x 00186² 012 20 14 2 DIMENSIONAMENTO Altura útil mínima Substituindo 𝜉 𝑥 𝑑 em 𝑀𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 obtemos 𝑀𝑑 068 𝜉𝑑2 0272 𝜉2𝑑2𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 isolando 𝑑 𝑑 𝑀𝑑 068 𝜉0272 𝜉2 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 Para diminuir 𝑑 e manter a igualdade precisamos aumentar denominador por meio do aumento de 𝜉 O maior valor que 𝜉 pode assumir é 045 então para esse valor temos a menor altura útil 𝑑𝑚𝑖𝑛 2 𝑀𝑑 𝑏𝑤 𝑓𝑐𝑑 Md 000366 MNm 367 kNm 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 5 Para a seção retangular de concreto armado do exemplo 1 determinar a altura mínima e a quantidade de armadura longitudinal necessária 𝐴𝑠 Dados aço CA50 𝑓𝑐𝑘20MPa Mk122 kNm Mk Md 14 Mk 367 14 Mk 262 kNm dmin Md b fcd ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO Recorremos à armadura dupla ou à viga T quando 𝑥 045 𝑑 ou 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 Também usamos viga T por razões econômicas dmin 2122 x 10³ x 14 012 x 20 14 ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔𝟏 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 𝒛𝒍𝒊𝒎 𝒇𝒚𝒅 𝑨𝒔 𝑨𝒔𝟏 𝑨𝒔𝟐 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅 𝟐 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 dmin 01996 m ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 𝒛𝒍𝒊𝒎𝒇𝒚𝒅 𝑴𝒅 𝟐 𝒅𝒅𝒇𝒚𝒅 𝑴𝒅 𝑴𝒅 𝒍𝒊𝒎 𝑴𝒅 𝟐 𝒛𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝟎 𝟒𝟎𝒙𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟒𝟓𝒅 dmin 1996 cm ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝟐 𝒅𝒅𝒇𝒔 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟓 𝒙𝒍𝒊𝒎 𝜺𝒔 𝒙𝒍𝒊𝒎𝒅 𝜺𝒔 𝜺𝒚𝒅 𝒇𝒔 𝒇𝒚𝒅 𝜺𝒔 𝜺𝒚𝒅 𝒇𝒔 E 𝜺𝒔 x 045 d ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 7 Para um momento Mk45kNm calcular a armadura necessária de uma seção retangular com largura 𝑏𝑤012m e d029m com aço CA50 e 𝑓𝑐𝑘20 MPa Considerar estribos de 𝑡 6mm e barras longitudinais comprimidas ou tracionadas de 10mm e cobrimento de 25cm de acordo com Tabela 72 da ABNT NBR 61182014 para vigas em ambientes com classe de agressividade ambiental I x 045 x 01996 m x 008983 m dmin 2 sqrtfrac14 cdot 45 imes 103912 cdot 20 div 44 0938 mu m z d 044 x Md1 0068 cdot xlim d 0272 xlim2 ext bwn fcd z 01996 044 x 008983 m As fracMd1yac fyd fracMd2d d fyd AD Md g fcd 2 DIMENSIONAMENTO ARMADURA DUPLA As Md² d d fs As 002682 029 0036 500 415 As 0000243 m² ou 243 cm² ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO Exercícios propostos página 161 Calcular para a seção dada o máximo momento de cálculo resistido e o valor da armadura comprimida 𝐴𝑆 de maneira que se tenha um valor econômico para armadura e se empreguem as hipóteses de armadura dupla Considerar concreto com 𝑓𝑐𝑘20MPa aço CA50 e 𝐴𝑠6 cm² AD 122 x 10³ x 14 01637 500 615 AD 0000024 m² 24 cm² 2 DIMENSIONAMENTO ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO SOLUÇÃO ARMADURA xlim 045d xlim 045 x 0131 00595 m ylim d 04 xlim 02542 m Mlim 1968 xlim d 0272 xlim² bw fcd Mlim 0168 x 01395 x 0317 0272 x 01395² 0112 20 14 Mlim 0041337 MNm AS fracMdlimfyd fracMdMdlimdd fyd Ey frac00035underline001395xlimd ARMADURA DUPLA 2 DIMENSIONAMENTO Exercício Seja uma viga de concreto armado com seção retangular com as seguintes características bw 015 m d 029 m h033 m com aço CA 50 e fck 25 MPa 𝜀𝑦𝑑 000207 para CA 50 Para um momento de cálculo 35 superior ao momento máximo de cálculo Md que essa viga pode resistir com armadura simples encontre as armaduras tracionada e comprimida necessárias ao equilíbrio da viga Viga T Viga T 2 DIMENSIONAMENTO Recorremos à armadura dupla ou à viga T quando 𝑥 045 𝑑 ou 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 2 DIMENSIONAMENTO Viga T Viga T 2 DIMENSIONAMENTO a é a distância entre pontos de momento nulo simplificadamente 2 DIMENSIONAMENTO Viga T LN passa pela alma seção T LN passa pela mesa Viga T 2 DIMENSIONAMENTO Recorremos à armadura dupla ou à viga T quando ao tentar dimensionar para o momento 𝑀𝑑 obtemos 𝑥 045 𝑑 ou 𝑑 𝑑𝑚𝑖𝑛 Também usamos viga T por razões econômicas Dim para 𝑀𝑑 e seção ret X dentro da mesa ok Abaixo então Dimensionamento para o momento 𝑀𝑑 usando viga T σ 𝐹𝑥 0 para o primeiro problema 𝐹𝑠1 𝐹𝑐1 0 𝐹𝑠1 𝐹𝑐1 𝐴𝑠1 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑓 𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝐴𝑠1 𝑏𝑓 𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO σ 𝐹𝑥 0 para o segundo problema 𝐹𝑠2 𝐹𝑐2 0 𝐹𝑠2 𝐹𝑐2 𝐴𝑠2 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝐴𝑠2 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO 𝐴𝑠 𝐴𝑠1 𝐴𝑠2 𝐴𝑠 𝑏𝑓𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 𝑥 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO Roteiro testamos seção ret com largura bf e se x ficar dentro da mesa ok se ficar abaixo então 𝑀𝑑 𝑀𝑑1 𝑀𝑑2 𝑀𝑑1 𝑏𝑓 𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑑 ℎ𝑓 2 𝑀𝑑2 𝑀𝑑 𝑀𝑑1 𝑀𝑑2 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑥 045 𝑑 Com o valor de 𝑥obtido resolvese o problema 𝐴𝑠 𝑏𝑓𝑏𝑤 ℎ𝑓 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 𝑏𝑤 08 𝑥 085 𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑦𝑑 Viga T 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 8 Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada de vão l igual 30m cuja seção é a da figura 327 e está submetida a um momento 𝑀𝑑6770 kNm Considerar aço CA50 e 𝑓𝑐𝑘30 Mpa 2 DIMENSIONAMENTO Viga T SOLUÇÃO viga biaxiada l30μ b3 4700182 076μ 910 x 30 34μ b3 076μ LINHA NEUTRA DENTRO DA MESA Md068 x d 0272 x d² bw fcd 6770 x 10³ 068 x 475 0272 x 2 470 30 14 x 41220m 016725m 2 DIMENSIONAMENTO Viga T 2 DIMENSIONAMENTO EXEMPLO 9 Calcular a armadura necessária para a seção do exemplo 8 supondo 𝑀𝑑10000 kNm com aço CA50 e 𝑓𝑐𝑘30 Mpa 2 DIMENSIONAMENTO 2 DIMENSIONAMENTO Md2 0168 x d 0272 x² bw fcd 086371 0168 x 1975 0272 x² 918 3014 4179μm x 01970 μm 045 d 045 175 0875μm x 045 d OK As bf bw hf 085 fcd jy d bw 08 x 985 fcd jy d As 1170 0918 0920 085 3014 0918 98 01970 0985 3014 500 415 As 001273 9001188 As 0013918 m² ou 13918 cm² Exercícios 2 DIMENSIONAMENTO Determine o momento resistente Mk e o valor da área de aço correspondente à este momento considerando a profundidade da linha neutra x igual a x23 para uma seção retangular com bw 15 cm h 30 cm d 4 cm fck 25 MPa e CA 50 Para determinar Mk há necessidade de verificar se x045d Justifique Exercícios 2 DIMENSIONAMENTO Seja uma viga de concreto armado com seção retangular com as seguintes características bw 015 m d 029 m h033 m com aço CA 50 e fck 25 MPa 𝜀𝑦𝑑 000207 para CA 50 Para um momento de cálculo 35 superior ao momento máximo de cálculo Md que essa viga pode resistir com armadura simples encontre as armaduras tracionada e comprimida necessárias ao equilíbrio da viga