Aula 7: Cinemática de uma Partícula e Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido

Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias Mecânica Geral Dinâmica da Movimento Plano de um Corpo Rígido Força e Aceleração Professor Eduardo Costa Couto Aula 7 Cinemática de uma Partícula Momento de Inércia Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equações do Movimento Translação Equações do Movimento Rotação Referências BEER Ferdinand Pierre Mecânica vetorial para engenheiroscinemática e dinâmica 5ª ed Ed McGrawHill do Brasil São Paulo 2012 982 p BEER Ferdinand Pierre JOHNSTON JR E Russell CORNWELL Phillip J Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 9ª ed Ed McGrawHill São Paulo 2012 2v HIBELLER Russell C Dinâmica Mecânica para Engenharia 12ª ed Ed Pearson São Paulo 2011 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia de Massa Ԧ𝐹 𝑚 Ԧ𝑎 𝑀 𝐼 Ԧ𝛼 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 171 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 171 Técnica casca elementar e integração simples 𝑑𝑉 2𝜋𝑟 ℎ 𝑑𝑟 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝑣 𝜌2𝜋ℎ𝑟𝑑𝑟 𝑑𝐼𝑍 𝑟2𝑑𝑚 𝜌2𝜋ℎ𝑟3𝑑𝑟 𝐼𝑧 න 𝑚 𝑟2𝑑𝑚 𝜌2𝜋ℎ න 0 𝑅 𝑟3𝑑𝑟 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 171 A massa do cilindro é 𝑚 න 𝑚 𝑑𝑚 𝜌2𝜋ℎ න 0 𝑅 𝑟𝑑𝑟 𝜌𝜋ℎ𝑅2 𝐼𝑍 1 2 𝑚𝑅2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 172 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 172 Técnica disco elementar e integração simples 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝑣 𝜌𝜋𝑥2𝑑𝑦 Conforme exemplo anterior 𝐼 de um cil com relação ao seu eixo log 𝐼 1 2 𝑚𝑅2 então 𝑑𝐼𝑦 1 2 𝑑𝑚 𝑥2 1 2 𝜌 𝜋𝑥2 𝑑𝑦𝑥2 substituindo 𝑥 𝑦2 𝜌 5slug𝑝é3 e integrando de y0 a y1 𝐼𝑦 𝜋5 2 න 0 1 𝑥4𝑑𝑦 𝜋5 2 න 0 1 𝑦8𝑑𝑦 0873 slug𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Momento de Inércia Teorema dos eixos paralelos Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Disco O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centroide e é perpendicular ao plano do disco é 𝐼𝐺 1 2 𝑚𝑟2 O centro de massa do disco está a uma distância 025m do ponto O 𝑚𝑑 𝜌𝑑𝑉𝑑 8000 kgm3 𝜋025 m2 001 m 1571 kg 𝐼𝑑𝑂 𝑚𝑑𝑟𝑑 2 𝑚𝑑𝑑2 𝐼𝑑𝑂 1 2 1571𝑘𝑔 025m 2 1571 𝑘𝑔025 m2 𝐼𝑑𝑂 1473 kg 𝑚2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Orifício Para o disco de 124 mm de raio orifício temos 𝑚ℎ 𝜌ℎ𝑉ℎ 8000 kgm3 𝜋0125 m2 001 m 393 kg 𝐼ℎ𝑂 1 2 𝑚ℎ𝑟ℎ 2 𝑚ℎ𝑑2 𝐼ℎ𝑂 1 2 393 k𝑔 0125 m 2 393 kg025 m2 𝐼ℎ𝑂 0276 kg m2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 173 Placa 𝐼𝑂 𝐼𝑑𝑂 𝐼𝑑𝑂 𝐼𝑂 1473 kg m2 0276 kg m2 𝐼𝑂 12 kg 𝑚2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Barra OA Da tabela 𝐼𝐺 1 12 𝑚𝑙2 Usando o teorema dos eixos paralelos 𝐼𝑂𝐴𝑂 1 12 𝑚𝑙2 𝑚𝑑2 1 12 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 2 𝑝é𝑠 2 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 1 𝑝é𝑠 2 𝐼𝐵𝐶𝑂 0414 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Barra BC 𝐼𝐵𝐶𝑂 1 12 𝑚𝑙2 𝑚𝑑2 1 12 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 2 𝑝é𝑠 2 10 𝑙𝑏 322𝑝é𝑠 𝑠2 2 𝑝é𝑠 2 𝐼𝐵𝐶𝑂 1346 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Pendulo 𝐼𝑂 0414 1346 176 slug 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Centro de massa G com relação a O 𝑦 σ 𝑦𝑚 𝑚 1 10 322 2 10 322 10 322 10 322 15 𝑝é Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 174 Momento de inércia 𝐼𝐺 𝐼𝑂 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 176 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 𝐼𝐺 20 𝑙𝑏 322 𝑝é𝑠𝑠215 𝑝é2 𝐼𝐺 0362 𝑠𝑙𝑢𝑔 𝑝é2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Translação Retilínea Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Translação Curvilínea Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 175 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 175 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 025𝑁𝐵 2000 𝑘𝑔𝑎𝐺 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑁𝐴 𝑁𝐵 2000 981 𝑁 0 𝑀𝐺 0 𝑁𝐴 125 m 025 𝑁𝐵 03 m 𝑁𝐵 075 m 0 𝑎𝐺 159 m𝑠2 𝑁𝐴 688 kN 𝑁𝐵 127 kN Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 176 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 176 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 𝐹𝐵 75kg 125kg𝑎𝐺 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑁𝐵 73575 N 122625 N 0 𝑀𝐵 𝑚𝑘 𝐵 73575 𝑁 04 m 122625 𝑁 08 m 75 𝑘𝑔 𝑎𝐺 09 𝑚 125 𝑘𝑔 𝑎𝐺 0 6 m Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 176 𝑎𝐺 895 m𝑠2 𝑁𝐵 1962 N 𝐹𝐵 1790 kN 𝜇𝑒𝑚𝑖𝑛 𝐹𝐵 𝑁𝐵 1790 𝑁 1962 𝑁 0912 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 177 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 177 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 600 N 02 𝑁𝑐 50kg𝑎𝐺 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑁𝐶 4905 0 𝑀𝐵 0 600 03 m 𝑁𝐶 𝑥 02𝑁𝐶 05 m 0 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 177 𝑁𝐶 490 N 𝑥 0467 m 𝑎𝐺 100 m𝑠2 Se 𝑥 fosse maior do que 05 m o problema teria que ser refeito considerandose o tombamento Nesse caso 𝑁𝐶 agiria no vértice A e 𝐹 05𝑁𝐶 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 178 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 178 σ 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝐺𝑛 𝑇𝐵 𝑇𝐷 981 cos 30 N 100 kg 18 m𝑠2 𝐹𝑡 𝑚 𝑎𝐺 𝑡 981 sen 30 100 kg 𝑎𝐺 𝑡 σ 𝑀𝐺 0 𝑇𝐵 cos 3004 m 𝑇𝐷 cos 3004 m0 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 178 𝑇𝐵 𝑇𝐷 132 𝑘N 𝑎𝐺𝑡 490 m𝑠2 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação 500 lbft Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Translação Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Acrescentar equações da fls 320 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo A última equação possui mais duas versões e Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 179 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 179 𝐼0 1 2 𝑚𝑟2 1 2 30 𝑘𝑔 02 𝑚 2 06 𝑘𝑔 m2 σ 𝐹𝑥 𝑚𝑎𝐺𝑥 𝑂𝑥 0 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝐺 𝑦 𝑂𝑦 2943 N 10 N 0 𝑂𝑦 304 N 𝑀𝑂 𝐼𝑂𝛼 10 N 02 m 5 Nm 06 𝑘𝑔 m2𝛼2𝑁𝐶 05 m 0 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Exemplo 179 𝛼 117 rad𝑠2 𝜔2 𝜔𝑜2 2𝛼𝐶𝜃 𝜃0 20 rad 𝑠2 0 2 117 rad𝑠2𝜃 0 𝜃 171 rad 171 rad Logo 𝜃 171 rad 1 rev 2 𝜋 ra𝑑 273 rev Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Rotação em Torno de um Eixo Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral A última equação possui mais uma versão Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Equações do Movimento Movimento Plano Geral