Notas de Aula0002

Aula 02\n1. Estrutura dos dados econômicos\n2. Modelo de Regressão Simples\n\n1. Estrutura dos dados econômicos\n- Dados de corte transversal (cross-section)\n\nConsiste em uma amostra de indivíduos, empresas, cidades, estados, países ou uma variável de outras unidades, tomada em um determinado ponto no tempo.\n\nex: salário e outras características individuais\n\nobservação salário experiência feminino\n1 250 12 1\n2 350 14 0\n3 800 20 1\n4 120 3 1\n\n1250 2000 22 0 ex: taxas de crescimento econômico e características de países\n\nobs país crescimento PIB% por.com educ. superior\n1 BRA 5.2 13\n2 ARG 0.82 11\n3 EUA 3.3 33\n\n100 FRA 2.7 22\n\n- Dados de séries temporais\n\nConsiste em observações sobre uma variável ou muitas variáveis ao longo do tempo.\n\nex: salário mínimo, desemprego\n\nobs ano salário mínimo desemprego\n1 1950 250 15.4\n2 1951 350 13.7\n3 1952 350 15.1\n4 1953 410 16.0\n\n38 1987 570 18.0 - Dados de cortes transversais Agrupados\n\nDados que apresentaram características tanto de corte transversal como de séries temporais.\n\nSuponha que sejam feitas duas coletas de dados de corte transversal, uma em 1995 e outra em 2000. Para aumentar o tamanho da amostra podemos combinar os dois anos e formar um corte transversal agrupável.\n\nEx: dos anos de preços de moradia\nobs ano preço/m² n° quartos\n1 1995 3.000 3\n2 1995 3.500 2\n250 1995 2.700 2\n251 2000 3.200 3\n500 2000 5.400 4\n\n- dados em painel\n\nConsiste em uma série temporal para cada registro do corte transversal do conjunto de dados. Ex: dados em painel sobre estatísticas de crime nas cidades para dois anos.\n\nobs cidade ano Homicídios Pop\n1 1 1995 3 540\n2 1 2000 5 790\n3 2 1995 5 2.000\n4 2 2000 4 2.400\n\n297 149 1995 1 347\n296 149 2000 1 548\n299 750 1995 9 10.430\n310 150 2000 8 12.500 - Dados de Corte Transversal\n- O modelo de regressão simples\n\ny = β₀ + β₁ x + u\n\ny: variável dependente\nx: variável explicativa\nu: termo de erro (o que não é observado)\nβ₀: intercepto\nβ₁: inclinação\n\nPressuposto 1: E[u] = 0\nEste pressuposto implica que a distribuição dos fatores não observáveis na população tem média zero. Pressuposto 2: E[xu] = 0\n\nEste pressuposto implica que a covariância entre x e u é zero. Isto porque\ncov(x,u) = E[xu] - E[x].E[u]\n= E[xu] - E[x].0, dado que E[u] = 0\n\nLogo, x e u são não correlacionados, pois\nρ(x,u) = cov(x,u) = 0\nEste dois pressupostos podem ser resumidos na seguinte hipótese:\nHipótese 1: Exogeneidade Estrita: E[u|x] = 0.\nEsta hipótese implica que u é independente de X. Logo\nE[u] = 0; E[y|x] = E[E[u|x]] = E[0] = 0\nE[xu] = E[xE[u|x]] - E[x.E[u|x]] = 0. * Lei das Expectativas Iteradas\nE[Y] = E[E[Y|X]]\n\nConsidere que uma amostra tem 4 observações:\n\nvenda \t educação (anos)\nR$ 1000 \t 5\nR$ 2000 \t 5\nR$ 3000 \t 10\nR$ 4000 \t 10\n\n[venda média] = 1/4 (1000+2000+3000+4000) = 2.500\n\n[venda educação=5] = 1/2 (1000+4000) = 1.500\n\n[venda educação=10] = 1/2 (3000+4000) = 3.500\n\nLogo,\n1/2 [venda educação=5] + [venda educação=10] = \n= 1/2 (1500+3500) = 2.500 = [venda média] - Demonstração do Estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO).\n\nConsidere uma amostra {(x_i,y_i), i=1,..,m} onde\n\ny_i=β_0+β_1x_i+u_i\n\nOs pressupostos 1 e 2 implicam que\n\n• E[u]=0\n• E[y-β_0-β_1X]=0\n\n• E[xu]=0\n\nE[x(y-β_0-β_1X)]=0\n\nConsiderando então a amostra disp.\n\n• 1/m Σ_{i=1}^m(y_i-β_0-β_1x_i)=0\n\n• 1/m Σ_{i=1}^m x_i(y_i-β_0-β_1x_i)=0\n\nFocando na primeira equação, 1/m Σ_{i=1}^m y_i=β_0-1/m Σ_{i=1}^m β_1x_i=0\n\n= ȳ=β_0+β_1x̄\n\n= β_0= ȳ-β_1x̄\n\nVoltando a segunda equação\n\n1/m Σ_{i=1}^m x_i(y_i-ȳ+β_1x̄-β_1x_i)=0\n\n• 1/m Σ_{i=1}^m (y_i-ȳ)= Σ_{i=1}^m x_i(y_i-ȳ)\n\n• = Σ_{i=1}^m (x_i-x̄)(y_i-ȳ)=0\n\n• Σ_{i=1}^m x_i(x_i-x̄)=Σ_{i=1}^m (x_i-x̄)²\n\nLogo\n\nβ_1=Σ_{i=1}^m (x_i-x̄)(y_i-ȳ)/Σ_{i=1}^m (x_i-x̄)² Isto é válido se e somente se,\nHipótese 2: \\sum_{i=1}^{m} (x_i - \\bar{x})^2 > 0.\n\nNote que\n\\hat{\\beta_1} = \\frac{cov(x,v)}{var(x)}\n\nLogo deve haver variação em x (var(x) > 0) para que \\hat{\\beta_1} seja identificado. Isto é, somente coletando dados de uma população cuja educação é de 12 anos não permite que o efeito da educação sobre o salário seja identificado.\n\nConsideremos agora o seguinte gráfico,\n