Notas de Aula0004

Educ ΔSalario 1 700 2 1000 3 1400 4 1600 Uma boa hipótese é assumir que a relação é exponencial. Relembrando, y = e^x Logo, pode-se especificar o modelo salarioᵢ = e^(β₀+β₁*educᵢ+uᵢ) Tirando o log, tem-se log(salarioᵢ)= β₀+β₁*educᵢ+uᵢ Não-Linearidade na Regressão Simples O modelo de regressão é dito linear quando este é linear nos parâmetros β₀ e β₁. O modelo yᵢ=β₀/β₁*x + uᵢ por exemplo, não é linear. No entanto, o modelo não-linear yᵢ = α₁*x₁ᵢ^β₁ * x₂ᵢ^β₂ * e^uᵢ pode ser convertido em um modelo linear nos parâmetros, pois ln(yᵢ) = ln(α₁*x₁ᵢ^β₁*x₂ᵢ^β₂* e^uᵢ) = ln(α₁) + β₁*ln(x₁ᵢ) + β₂*ln(x₂ᵢ) + uᵢ = β₀+ β₁*ln(x₁ᵢ) + β₂*ln(x₂ᵢ) + uᵢ e, portanto, pode ser estimado via MMQO. Exemplo 3 Educ Salário 1 2200 2 2500 3 3000 4 5300 5 6800 Suponha que o modelo seja especificado da seguinte maneira: salarioᵢ = β₀ + β₁* educᵢ + uᵢ (salário Δ) 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 β₀ 1 2 3 4 5 educ β₁ Estimando o modelo especificado acima, obtém-se salarioᵢ = 700 + 1180*educᵢ R²= .9762 Note, no entanto, que a relação entre educ x salario mas parece ser linear, pois o aumento salarial para cada ano adicional de educação aumenta quando aumenta-se a educação, (C.E.) A equação estimada é log(salario) = 7.40369 + .2889 Educ => Salario_i = e^{7.40369} e^{.2889 . educ} = 1642 e^{.2889 . educ} R^2 = .99948 O que B_1 representa? Considere log(salario | educ=x) = 7.40369 + .2889 . x log(salario | educ=x+1) = 7.40369 + .2889 (x+1) log(salario | educ=x+1) - log(salario | educ=x) = .2889 log(salario | educ=x+1) = .2889 salario | educ=x => log(salario | educ=x+aumento) salario | educ=x = .2889 * Pela expansão de Taylor, tem-se, f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) Assumindo a=1, log(x) ≈ log(a) + 1/1 (x-1) = 0 + (x-1) = x-1 Logo, log(salario | educ=x+aumento) salario educ=x ~ = salario | educ=x+aumento - 1 salario | educ=x Que implica salario | educ=x+aumento salario | educ=x = 1.2889 Logo, um incremento de uma unidade na educação leva a um aumento de 28.89% no salario. Considere agora que você estimou a seguinte equação, log(salario_i) = B_0 + B_1 log(educ_i) + u_i Qual a interpretação dada a B_1? Considere a definição de elasticidade, dada por, E = Salario ( Educ educ ) salario Pela equação especificada, sabemos que salario_i = e^{B_0 + B_1 log(educ_i) + u_i} Logo, \frac{\Delta salario}{salario} = \beta_1 \frac{\Delta educ_i}{educ_i} \Rightarrow \frac{\Delta salario}{\Delta educ_i} = salario_i \beta_1 \frac{educ_i}{educ_i} \Rightarrow \beta_1 = \frac{\Delta salario_i}{\Delta educ_i} \frac{educ_i}{salario_i} Logo, \beta_1 representa a elasticidade entre educacao e salario Para o exemplo 3, \log(salario_i) = 7.6006 + .6994 \log(educ_i) Ou seja, um aumento de 1\% na educacao leva a um aumento de .6994\% no salario.