Hidráulica Básica - 4ª Edição

EESC USP PROJETO REENGE HIDRÁULICA BÁSICA 4ª EDIÇÃO RODRIGO DE MELO PORTO HIDRAULICA BASICA 4ªEDIÇAO REVISADA RODRIGO DE MELO PORTO Departamento de Hidráulica e Saneamento Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo Publicação EESCUSP São Carlos SP 2006 Copyright 2006 2004 2003 2001 2000 1998 EESC São CarlosSP Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida guardada pelo sistema retrieval ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio seja este eletrônico mecânico de fotocópia de gravação ou outros sem prévia au torização por escrito da EESC 1ª Edição tiragem 1000 exemplares 2ª Edição tiragem 5500 exemplares 3ª Edição revisada tiragem 2000 exemplares 4ª Edição revisada e ampliada tiragem 2000 exemplares Revisão editoração eletrônica e fotolitos RiMa Artes e Textos Fone 0xxl6 33723238 Fax 0xx 16 33723264 P853h2 email paulorimaeditoracombr Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento da Informação do Serviço de Biblioteca EESCUSP Porto Rodrigo de Melo Hidráulica básica Rodrigo de Melo Porto 4 ed São Carlos EESCUSP 2006 540 p il Inclui referências bibliográficas Projeto REENGE ISBN 85 76560844 1 Hidráulica 2 Condutos forçados 3 Condutos livres 4 Ensino 5 Aprendizado I Título Ao meu pai Eng Fernando de Figueiredo Porto pelo exemplo de caráter e por tudo aquilo que me proporcionou À Lú pelo amor dedicação e paciência Para Mau Tati e Li razão de tudo A AGRADECIMENTOS Este livro é fruto do apoio recebido da diretoria da Escola de Engenha ria de São Carlos na pessoa de seu diretor prof Jurandyr Povinelli e do estímulo e incentivo dos colegas do Departamento de Hidráulica e Sanea mento Devese ressaltar o trabalho paciente da bolsista Tatiana Gonçalves Porto na revisão preliminar do texto elaboração de tabelas e exercícios o apoio recebido do prof Woodrow N L Roma como consultor em in formática e a colaboração do Eng José Eduardo Mateus Évora na elabo ração da interface do programa REDEMEXE De modo particular e especial reconhecese o trabalho dedicado competente e contínuo do Sr Valdecir Aparecido de Arruda na elaboração dos desenhos e na arte final da versão preliminar Aos professores Walter H Graf e Mustafá S Altinakar da École Polythecnique Federale de Lausanne agradecese a autorização do uso tradução e adaptação do programa ExplicM l exe e permissão da reprodu ção dos Exemplos SB e 5D do livro Hydraulique Fluviale do qual se ex traiu boa parte do Capítulo 14 Aos professores Gilberto Queiroz da Silva e Antenor Rodrigues Bar bosa da Universidade Federal de Ouro Preto agradecese a gentileza da foto do Chafariz da Casa dos Contos que compõe a capa Agradecimentos à prof Luisa Fernanda Ribeiro Reis da EESC e ao prof Podalyro Amaral de Souza da EPUSP pelas críticas e sugestões per tinentes E finalmente uma palavra de agradecimento aos alunos da discipli na SHS401 Hidráulica do curso de Engenharia Civil da EESC que nas versões preliminares se empenharam na maratona em busca do erro per dido Com certeza alguns ainda estão escondidos e antecipadamente se agradece a quem encontrálos São Carlos dezembro de 1998 Rodrigo de Melo Porto rodrigosc usp br A APRESENTAÇÃO O REENGE Reengenharia do Ensino de Engenharia é uma linha de atuação do Programa de Desenvolvimento das Engenharias que tem por obje tivo apoiar a reformulação dos programas de ensino de engenharia como par te do processo de capacitação tecnológica e de modernização da sociedade brasileira bem como da preparação para enfrentar os desafios futuros gerados pelos progressos técnico e científico alcançados em nível internacional Visando à consecução de seu objetivo o REENGE tem oferecido apoio e incentivo para o desenvolvimento de importantes projetos dentre os quais se destaca a publicação de livros didáticos para os cursos de graduação e educa ção continuada A presente publicação Hidráulica Básica patrocinada pelo REENGE é um texto destinado ao apoio à disciplina Hidráulica dos cursos de Engenharia Civil com caráter eminentemente didático e cobrindo os principais tópicos necessários à formação técnica do aluno nessa área O autor Rodrigo de Melo Porto engenheiro civil formado pela Esco la de Engenharia de São Carlos e professor doutor do Departamento de Hidráu lica e Saneamento desta mesma escola foi professor de Hidráulica na Unicamp e na Universidade Federal de São Carlos possui vários trabalhos publicados tanto de cunho técnicocientífico quanto didático A obra incorpora o resultado de um trabalho sério dedicado e compe tente realizado pelo professor Rodrigo fruto de sua experiência na docência constituindose numa valiosa contribuição ao aperfeiçoamento e melhoria das condições de oferecimento da disciplina Hidráulica nos cursos de Engenharia Civil no país Prof Dr Jurandyr Povinelli Diretor da Escola de Engenharia de São Carlos da USP coordenador do projeto REENGEEESC foi pre sidente da Comissão de Pósgraduação da EESCUSP chefe do Departamento de Hidráulica e Saneamen to da EESCUSP e secretário executivo da Comissão de Especialistas do Ensino de Engenharia do Ministério de Educação e dos Desportos p PREFÁCIO DA 2ª EDIÇÃO Este livro é resultado do convênio firmado entre a CAPES e a Esco la de Engenharia de São Carlos através do programa REENGE para a publicação de uma série de textos de caráter didático em Engenharia Civil e Engenharia Elétrica A coleção de livros tem o objetivo fundamental de fornecer apoio aos estudantes das duas especialidades através de textos que abranjam os principais assuntos enfocados nas diversas estruturas curriculares das es colas de engenharia do país de modo claro e didático refletindo a expe riência acadêmica dos autores e com baixo custo No caso específico deste volume procurouse elaborar um texto que concorresse para a melhoria da formação básica em Hidráulica do estudante dos cursos de Engenharia Civil Tal formação é absolutamente necessária para que o Engenheiro Civil possa desempenhar seu papel no âmbito do planejamento projeto e gerenciamento dos mais diversos siste mas que tratam do uso e controle da água Procurouse desenvolver os capítulos de modo a contemplar os prin cipais aspectos inerentes aos escoamentos em condutos forçados e livres dentro de uma seqüência e profundidade que se acredita condizente com um curso de Hidráulica Geral em Engenharia Civil e baseada na experiên cia de anos de ensino Pretendeuse apresentar os tópícos mais fundamentais em cada as sunto de forma cuidadosa e rigorosa sem todavia abusar do tratamento matemático e dando prioridade aós aspectos físicos e práticos da matéria A estrutura do texto é dividida em duas partes bem distintas a pri meira com seis capítulos trata do escoamento permanente em condutos forçados a segunda com oito capítulos trata de escoamentos permanente e variável com superfície livre Seu conteúdo é suficiente para cobrir um curso anual da disciplina com carga horária de três horas por semana au las práticas de laboratório a parte O aluno com formação básica em Mecânica dos Fluidos pode supri mir o primeiro capítulo sobre Conceitos Básicos Também o último capítu lo sobre Escoamento Variável em Canais pode ser dispensado sém perda do essencial em virtude da limitação de tempo IX IJ ª Básica Devido à finalidade essencialmente didática da obra incluiuse em todos os capítulos uma série de exercícios resolvidos somando ao todo 82 que espelhassem as características mais típicas dos conceitos discuti dos em cada assunto além de um conjunto de 265 problemas propostos acompanhados das respostas através dos quais o estudante tem a oportu nidade de testar os conceitos e utilizar o ferramental disponível em cada tópico Procurouse em algumas aplicações fazer uso de metodologias computacionais como ferramenta que permite ao aluno de modo rápido analisar outros aspectos e alternativas de cada problema proposto Para isto no endereço eletrônico wwweescscuspbrshs na área Ensino de Graduação estão disponíveis quatro programas computacionais nas lin guagens Basic e Fortran e várias planilhas de cálculos para resolução dos exemplos numéricos Nesta 2ª edição foram feitas pequenas correções no texto e nas res postas de três problemas Foram introduzidos quatro novos problemas de aplicação nos capítulos 3 4 8 e 12 Uma versão melhorada da planilha MOODYXLS é apresentada no diretório Bombas do endereço eletrônico wwweescsc usp brlshs Querse mais uma vez agradecer a todos que auxiliaram com críti cas sugestões e apontando as falhas que passaram na 1 ª edição e também ao público em geral que fez a edição anterior deste livro esgotarse em pouco mais de um ano São Carlos março de 2000 p PREFÁCIO DA 1ª EDIÇÃO Este livro é resultado do convênio firmado entre a CAPES e a Esco la de Engenharia de São Carlos através do programa REENGE para a publicação de uma série de textos de caráter didático em Engenharia Civil e Engenharia Elétrica A coleção de livros tem o objetivo fundamental de fornecer apoio aos estudantes das duas especialidades àtravés de textos que abranjam os principais assuntos enfocados nas diversas estruturas curriculares das es colas de engenharia do país de modo claro e didático refletindo a expe riência acadêmica dos autores e com baixo custo No caso específico deste volume procurouse elaborar um texto que concorresse para a melhoria da formação básica em Hidráulica do estudante dos cursos de Engenharia Civil Tal formação é absolutamente necessária para que o Engenheiro Civil possa desempenhar seu papel no âmbito do planejamento projeto e gerenciamento dos mais diversos siste mas que tratam do uso e controle da água Procurouse desenvolver os capítulos de modo a contemplar os prin cipais aspectos inerentes aos escoamentos em condutos forçados e livres dentro de uma seqüência e profundidade que se acredita condizente com um curso de Hidráulica Geral em Engenharia Civil e baseada na experiên cia de anos de ensino Pretendeuse apresentar os tópicos mais fundamentais em cada as sunto de forma cuidadosa e rigorosa sem todavia abusar do tratamento matemático e dando prioridade aos aspectos físicos e práticos da matéria A estrutura do texto é dividida em duas partes bem distintas a pri meira com seis capítulos trata do escoamento permanente em condutos forçados a segunda com oito capítulos trata de escoamentos permanente e variável com superfície livre Seu conteúdo é suficiente para cobrir um curso anual da disciplina com carga horária de três horas por semana au las práticas de laboratório a parte O aluno com formação básica em Mecânica dos Fluidos pode supri mir o primeiro capítulo sobre Conceitos Básicos Também o último capítu lo sobre Escoamento Variável em Canais pode ser dispensado sem perda do essencial em virtude da limitação de tempo XI Devido à finalidade essencialmente didática da obra incluiuse em todos os capítulos uma série de exercícios resolvidos somando ao todo 82 que espelhassem as características mais típicas dos conceitos discuti dos em cada assunto além de um conjunto de 261 problemas propostos acompanhados das respostas através dos quais o estudante tem a oportu nidade de testar os conceitos e utilizar o ferramental disponível em cada tópico Procurouse em algumas aplicações fazer uso de metodologias computacionais como ferramenta que permite ao aluno de modo rápido analisar outros aspectos e alternativas de cada problema proposto Para isto no endereço eletrônico wwweescscuspbrshs na área Ensino de Graduação estão disponíveis quatro programas computacionais nas lin guagens Basic e Fortran e várias planilhas de cálculos para resolução dos exemplos numéricos São Carlos dezembro de 1998 s XIII SUMÁRIO PARTE 1 ESCOAMENTO PERMANENTE EM CONDUTOS FORÇADOS 1 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 3 11 Tipos e regimes dos escoamentos 3 12 Equação da energia 4 121 Equação do movimento sobre uma linha de corrente 8 122 Linha de energia e linha piezométrica 9 123 Equação da energia em tubos de fluxo 11 13 Análise dimensional aplicada ao escoamento forçado 13 14 Velocidade de atrito 15 15 Potência hidráulica de bombas e turbinas 17 16 Problemas 23 CAPÍTULO 2 ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES 27 21 Tensão tangencial 27 211 Escoamento laminar 28 212 Escoamento turbulento 30 22 Comprimento de mistura de Prandtl Distribuições de velocidade 32 221 Lei de distribuição universal de velocidade 34 23 Experiência de Nikuradse 36 24 Leis de resistência no escoamento turbulento 37 241 Tubos lisos 38 242 Tubos rugosos 39 25 Escoamento turbulento uniforme em tubos comerciais 44 26 Fórmulas empíricas para o escoamento turbulento 52 261 Fórmula de HazenWilliams 53 262 Comparação entre a fórmula de HazenWilliams e a fórmula universal 55 263 Fórmula de FairWhippleHsiao 56 27 Condutos de seção não circular 58 28 Problemas 61 CAPÍTULO 3 PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 69 31 Introdução 69 32 Expressão geral das perdas localizadas 70 33 Valores do coeficiente K para algumas singularidades 71 331 Alargamentos e estreitamentos 71 332 Cotovelos e curvas 75 333 Registro de gaveta 76 334 Válvula de borboleta 76 335 Valores diversos do coeficiente de perda de carga 77 34 Análise de tubulações 77 35 Influência relativa das perdas de carga localizadas 78 36 Método dos comprimentos equivalentes 84 37 Problemas 88 CAPÍTULO 4 SISTEMAS HIDRÁULICOS DE TUBULAÇÕES 93 r 41 Introdução 93 42 Relação entre perda de carga unitária e declividade da linha piezométrica 93 0 43 Influências relativas entre o traçado da tubulação e as linhas de carga 94 44 Distribuição de vazão em marcha 97 45 Condutos equivalentes 101 451 Conduto equivalente a outro 102 452 Conduto equivalente a um sistema 102 46 Sistemas ramificados 106 461 Tomada dágua entre dois reservatórios 106 462 Problema dos três reservatórios 107 47 Sifões 110 48 Escoamento quasepermanente 114 49 Problemas 117 CAPÍTULO 5 SISTEMAS ELEVATÓRIOS CAVITAÇÃO 123 51 Introdução 123 52 Altura total de elevação e altura manométrica 124 53 Potência do conjunto elevatório 125 54 Dimensionamento econômico da tubulação de recalque 125 541 Custo de uma canalização 125 542 Tubulação de recalque 127 543 Fórmula de Bresse 129 smário B 55 Bombas tipos características Rotação específica 132 551 Rotação específica 133 56 Relações de semelhança 135 57 Curvas características 136 571 Curva característica de uma bomba 136 572 Curva característica de uma instalação 139 5721 Sistemas de tubulações em série e paralelo 141 573 Associação de bombas em série e paralelo 145 58 Escolha do conjunto motorbomba 148 581 Instalação utilização e manutenção 149 59 Cavitação 153 591 O fenômeno 153 592 NPSH Net Positive Suction Head disponível 155 593 NPSH requerido 156 594 Determinação da máxima altura estática de sucção 157 595 Determinação da pressão atmosférica e da pressão de vapor 157 596 Coeficiente de cavitação de Thoma 158 597 Aplicabilidade dos dois critérios 159 510 Problemas 161 ÇAPÍTULO 6 REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA 169 61 Introdução 169 62 Tipos de redes 169 63 Vazão de adução e distribuição 171 64 Análise hidráulica de redes de abastecimento 172 65 Métodos de cálculo para o dimensionamento de redes 173 651 Redes ramificadas 173 652 Redes malhadas Método de Hardy Cross 178 66 Aplicação do método de Hardy Cross O programa REDEMEXE 181 67 Problemas 184 APÊNDICE 189 Tabela A 1 191 Tabela A2 203 BIBLIOGRAFIA PARTE 1 217 PARTE 11 ESCOAMENTO PERMANENTE E NÃO PERMANENTE EM CONDUTOS LIVRES 219 CAPÍTULO 7 ESCOAMENTOS EM SUPERFÍCIE LIVRE 221 71 Introdução 221 72 Elementos geométricos dos canais 222 73 Tipos de escoamentos 223 74 Distribuição de velocidade 226 75 Distribuição de pressão 230 7 5 1 Escoamento paralelo 232 752 Influência da declividade de fundo 232 76 Problemas 233 CAPÍTULO 8 CANAIS ESCOAMENTO PERMANENTE E UNIFORME 237 81 Introdução 237 82 Equações de resistência 238 821 Fórmula de Manning 243 83 Os coeficientes C e n 244 84 Cálculo de canais em regime uniforme 248 841 Determinação da altura dágua 254 85 Seções de mínimo perímetro molhado ou de máxima vazão 254 851 Trapézio de mínimo perímetro molhado 255 852 Retângulo de mínimo perímetro molhado 256 86 Elementos hidráulicos da seção circular 256 8 7 Canais fechados 258 871 Seções circulares 259 872 Seções especiais 260 88 O programa CANAIS3EXE 262 89 Problemas 263 CAPÍTULO 9 OBSERVAÇÕES SOBRE O PROJETO E CONSTRUÇÃO DE CANAIS 275 91 Introdução 275 92 Observações gerais 275 93 Problemas 283 CAPÍTULO 10 ENERGIA OU CARGA ESPECÍFICA 287 101 Introdução 287 102 Curvas y x E para q cte e y x q para E cte 288 Somàáo B 103 Escoamento crítico 290 104 Determinação das alturas alternadas em canais retangulares 294 105 Velocidade crítica e celeridade 296 106 Seção de controle 300 107 Aplicações da energia específica em transições 301 1071 Redução na largura do canal 302 10711 Calhas medidoras de vazão 303 1072 Elevação no nível de fundo 307 10721 Vertedor retangular de parede espessa 308 108 Ocorrência da profundidade crítica 311 109 Canais de forma qualquer 314 1010 Problemas típicos 316 1011 Problemas 327 CAPÍTULO 11 RESSALTO HIDRÁULICO 335 111 Generalidades 335 112 Descrição do ressalto 335 113 Força específica 336 114 Canais retangulares 339 115 Canais não retangulares 341 11 6 Perda de carga no ressalto 344 117 Problemas 347 CAPÍTULO 12 ORIFÍCIOS TUBOS CURTOS VERTEDORES 351 121 Introdução 351 122 Orifícios 351 1221 Classificação dos orifícios 351 123 Descarga livre em orifícios de parede fina 352 1231 Vazão descarregada 353 124 Perda de carga em orifícios 356 125 Determinação experimental dos coeficientes de um orifício 357 126 Teoria dos grandes orifícios 358 127 Orifícios afogados 360 128 Contração incompleta do jato 361 129 Escoamento sob carga variável 362 121 O Influência da espessura da parede 365 12101 Bocal cilíndrico externo 365 12102 Bocal cilíndrico interno ou bocal de Borda 368 1211 Tubos curtos com descarga livre 370 B HidcáoUca Básica 1212 Comportas de fundo planas 37 4 12121 Escoamento afogado 377 1213 Vertedores 381 12131 Nomenclatura e classificação 382 12132 Vertedor retangular de parede fina sem contrações 383 12133 Valores do coeficiente de vazão Cd 386 12134 Influência da contração lateral 388 1214 Vertedor triangular de parede fina 388 1215 Vertedor trapezoidal de parede fina 390 1216 Vertedor retangular lateral 391 12161 Características do escoamento 391 12162 Equacionamento 392 12163 Determinação do coeficiente de descarga 394 1217 Vertedor de soleira espessa horizontal 396 1218 Descarregadores de barragens 397 12181 Geometria da soleira normal 399 12182 Variação do coeficiente de vazão com a carga 399 1219 Aplicações 401 12191 Eclusa para navegação 401 12192 Esvaziamento de um reservatório de abastecimento predial 403 12193 Derivação de água em projetos de abastecimento 404 12194 Bacia de detenção em sistemas de controle de cheias urbanas 406 12195 Defesa contra inundações 407 12196 Controle de canais por comporta plana vertical 408 1220 Problemas 409 CAPÍTULO 13 ESCOAMENTO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO 415 131 Generalidades 415 132 Equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado 416 133 Classificação dos perfis 417 134 Perda de carga localizada 422 135 Singularidades 423 136 Determinação do perfil dágua em canais prismáticos 435 1361 Step method 435 137 Computação do perfil dágua 437 1371 Localização do ressalto hidráulico 442 138 Formas da superfície da água 444 139 Problemas 446 SmMo EI CAPÍTULO 14 ESCOAMENTO VARIÁVEL EM CANAIS 455 141 Introdução 455 142 Definições 455 143 Ondas de translação Escoamento rapidamente variado 457 1431 Notação 457 1432 Altura e velocidade de uma onda 458 1433 Onda de translação negativa 463 144 Equações hidrodinâmicas 469 1441 Equação da continuidade 469 1442 Equação dinâmica 471 145 Simplificações das Equações de SaintVenant 474 1451 Onda cinemática 475 146 Propagação de cheias em rios 481 1461 Método Muskingum 482 14611 Determinação das constantes K e x 485 147 Métodos numéricos para a resolução das equações de SaintVenant 487 14 7 1 Método das características 487 14 7 2 Métodos de diferenças finitas 491 1473 Esquema explícito 494 1474 Esquema implícito 495 148 O programa ExplicM1 EXE 497 149 Problemas 509 BIBLIOGRAFIA PARTE 11 513 INDICE ANALÍTICO 517 PARTE 1 ESCOAMENTO PERMANENTE EM CONDUTOS FORÇADOS IS QUAE POTATUM COLE GENS PLENO ORE SENATUM SECURI UT SITIS NAM F ACIT ILLE SITIS Chafariz da Casa dos Contos 1760 Ouro Preto Minas Gerais 1 CONCEITOS BÁSICOS 11 TIPOS E REGIMES DOS ESCOAMENTOS De modo geral os escoamentos de fluidos estão sujeitos a determina das condições gerais princípios e leis da Dinâmica e à teoria da turbulência No caso dos líquidos em particular da água a metodologia de aborda gem consiste em agrupar os escoamentos em determinados tipos cada um dos quais com suas características comuns e estudálos por métodos próprios Na classificação hidráulica os escoamentos recebem diversas conceitua ções em função de suas características tais como laminar turbulento unidi mensional bidimensional rotacional irrotacional permanente variável uniforme variado livre forçado fluvial torrencial etc O escoamento é classificado corno laminar quando as partículas mo vemse ao longo de trajetórias bem definidas em lâminas ou camadas cada uma delas preservando sua identidade no meio Neste tipo de escoamento é preponderante a ação da viscosidade do fluido no sentido de amortecer a ten dência de surgimento da tmhnlêocia Em geral este escoamento ocorre em baixas velocidades e ou em fluidos muito viscosos Como na Hidráulica o líquido predominante é a água cuja viscosidade é relativamente baixa os escoamentos mais freqüentes são classificados como turbulentos Neste caso as partículas do líquido movemse em trajetórias ir regulares com movimento aleatório produzindo uma transferência de quan tidade de movimento entre regiões da massa líquida Esta é a situação mais comum nos problemas práticos da Engenharia O escoamento unidimensional é aquele em que as suas propriedades como pressão velocidade massa específica etc são funções exclusivas de somente uma coordenada espacial e do tempo isto é são representadas em termos de valores médios da seção Quando se admite que as partículas escoem em planos paralelos segundo trajetórias idênticas não havendo variação do escoamento na direção normal aos planos o escoamento é dito bidimensional Se tratti di acqua anteponi lesperienta alla teoria Leonardo da Vinci 3 Os programas computacionais para a companhamento do texto bem como a resolução de alguns exemplÓs estão disponíveis em quatro diretórios Bombas Redes Canais Variável no seguinte endereço eletrônico wwweescscuspbrshs na área Ensino de Graduação Cap 1 Se as partículas do líquido numa certa região possufrem rotação em re lação a um eixo qualquer o escoamento será rotacional ou vorticoso caso contrário será irrotacional No caso em que as propriedades e características hidráulicas em cada ponto do espaço forem invariantes no tempo o escoamento é classificado de permanente caso contrário é dito ser não permanente ou variável Escoamento uniforme é aquele no qual o vetor velocidade em módulo direção e sentido é idêntico em todos os pontos em um instante qualquer ou matematicamente avias O em que o tempo é mantido constante e as é um deslocamento em qualquer direção No escoamento de um fluido real é co mum fazer uma extensão deste conceito mesmo que pelo princípio da ade rência o vetor velocidade seja nulo nos contornos sólidos em contato com o fluido De forma mais prática o escoamento é considerado uniforme quando todas as seções transversais do conduto forem iguais e a velocidade média em todas as seções em um determinado instante for a mesmaSe o vetor velo cidade variar de ponto a 1QlltQ num insjante ualquer o escoamento é dito não uniforme ou variado O escoamento é classificado em superfície livre ou simplesmente livre se qualquer que seja a seção transversal o líquido estiver sempre em conta to com a atmosfera Esta é a situação do escoamento em rios córregos ou canais Como características deste tipo de escoamento podese dizer que ele se dá necessariamente pela ação da gravidade e que qualquer perturbação em trechos localizados pode dar lugar a modificações na seção transversal da cor rente em outros trechos O escoamento em pressão ou forçado ocorre no interior das tubulações ocupando integralmente sua área geométrica sem contato com o meio exter no A pressão exercida pelo líquido sobre a parede da tubulação é diferente da atmosférica e qualquer perturbação do regime em uma seção poderá dar lu gar a alterações de velocidade e pressão nos diversos pontos do escoamento mas sem modificações na seção transversal Tal escoamento pode ocorrer pela ação da gravidade ou através de bombeamento O escoamento turbulento livre costuma ser subdividido em regime flu vial quando a velocidade média em uma seção é menor que um certo valor crítico e regime torrencial quando a velocidade média em uma seção é maior que um certo valor crítico 12 EQUAÇÃO DA ENERGIA Seja um volume elementar representado por um paralelogramo de base dA e altura ds de um líquido sujeito à ação de forças de campo gravidade e de contato pressão e atrito conforme Figura 1 1 em que se n são direções Cap 1 Conceitos Básicos D 5 ortogonais Na ausência de efeitos termodinâmicos e não havendo adição ou extração de trabalho do exterior pela presença de uma bomba ou turbina é possível chegar à equação do movi mento pela aplicação da equação funda mental da Dinâmica à massa que no instante t ocupa uma certa posição no espaço s Raio de curvatura do ponto P À n Zt A equação fundamental da Dinâ mica aplicada a um elemento diferen cial da massa de líquido na forma representa o equilíbrio dinâmico das for ças tanto na direção tangencial ao es coamento direção s quanto na direção normal direção n O elemento de mas sa dm pdVol encerra o ponto P no qual as propriedades e características do escoamento são definidas por z cota topográfica ou geométrica relativa a um plano horizontal de referência p massa específica p pressão V velocidade na direção s e C tensão de cisalhamento devida aos efeitos de viscosidade phdsclA 2 éls p élp dndA 2 an pgdVol Figura 11 Forças sobre o volume elementar Resultante das forças na direção s a Força de pressão p êlp ds dA p êlp ds dA êlp ds dA 2 êls 2 êls êls b Força de superfície devido à resistência ao escoamento Na hipótese de a variação de velocidade nas proximidades do ponto P só ocorrer na direção n isto é não há efeito de binormalidade a tensão trativa ou de cisalhamento será responsável por um esforço que se opõe ao movimento na forma 1 êl1 1 êl1 êlc t dndA e dndA dndA 2 êln 2 êln êln em que dA é a área da face do paralelogramo perpendicular à dire ção n c Componente do peso na direção s az pgdVolcos0 pgdVol ds Para o sistema de coordenadas intrínseco isto é ao longo da linha de corrente coordenada s o campo de velocidade é dado por V Vs t e o campo de aceleração por DV av ds av a Dt ds dt Jt com o primeiro termo do segundo membro caracterizando a aceleração sofrida pelo líquido ao mudar de posição aceleração de transporte e o segundo a aceleração local Observando que dsdA dndA dVol e que dm pdVol a equação fundamental da Dinâmica na direção s tomase L F5 p dV oi ã logo pg dVol pdVol pdVol ap a1 az ªv ds av a v 2 av as dn as ds dt at as 2 at portanto 1 dp 1 a1 az a V 2 av g p as p an as as 2 at 1 1 No caso particular de um líquido ideal em que não se manifestam os efeitos da viscosidade e conseqüentes esforços cisalhantes a Equação 11 tor nase a P v 2 av gz ds p 2 dt 12 Se além da restrição acima considerase o movimento permanente isto é dVdt O e portanto a trajetória da partícula coincidente com a linha de cor rente a Equação 12 pode ser escrita como d y2 E gdz d 0 p 2 13 que é a equação de Euler1 em uma dimensão A Equação 13 integrada entre dois pontos ao longo da trajetória fica 2 d y2 f E gz cte 1 p 2 l 4 No caso em que as variações de pressão sofrida pelo fluido ao longo da trajetória forem relativamente pequenas que não afetem o valor da massa es pecífica situação em que se considera o fluido incompressível isto é y pg cte temse v H E z cte y 2g 15 A equação acima exprime o teorema de Bernoulli2 para líquidos perfei tos e regime permanente na qual a carga total H por unidade de peso do lí quido é constante ao longo de cada trajetória Resultante das forças na direção n a Força de pressão ap 1 ap ap p 2 an dndA p 2 an dndA an dndA b Componente do peso na direção n az p gdVol cos a p g dVol an A equação fundamental da Dinâmica na forma Ii1 dm ã11 na qual ã 0 é a aceleração normal dirigida para o centro de curvatura da linha de cor rente fica ap az v2 dndA pgdVol pdVol an an r 1 Leanhard Euler matemática suíço 17071783 2 Daniel Bernoulli matemática h9lan dês 17001782 l Hidãi Básica Cap 1 a az v 2 E pg p an an r 16 Esta equação permite delerminar a distribuição de pressão na direção normal à linha de corrente desde que se conheça a distribuição da velocida de na mesma Se a curvatura das linhas de corrente for desprezível o efeito da aceleração normal pode ser negligenciado r oo a equação precedente fica a ppgz 0 an 17 portanto p pg z cte ou seja a distribuição de pressão é hidrostática na di reção normal Tal propriedade é particularmente importante nos escoamentos livres 121 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO SOBRE UMA LINHA DE CORRENTE Os termos da Equação 11 representam forças por unidade de massa que divididos pela aceleração da gravidade tornamse forças por unidade de peso Reescrevendo a equação de forma mais conveniente pelo agrupamento das par celas esta toma a forma a P v 2 a c I av z as y 2g an y g at 18 Multiplicando os te1mos da equação anterior por ds os produtos expri mem os trabalhos mecânicos realizados pelas forças por unidade peso ao lon go da linha de corrente isto é as energias equivalentes Integrando entre dois pontos ao longo da linha de corrente vem 2 a P v 2 2 a c 1 2 av J z ds J ds J ds 1 as y 2g I an y g I at O termo 2 a f ds I an y 19 representa a energia gasta para vencer as forças de atrito no deslocamento entre os pontos I e 2 e está associada portanto a uma perda de energia ou perda de carga no escoamento de um fluido real e representada por óH12 Assim a integração da Equação 19 leva a v 2 P v 2 i 2 a v h z1 1 2 z2 2 óH12 J ds y 2g y 2g g I àt 11 O Como o termo àVàt representa a aceleração local portanto independen te da direção s a integral entre os pontos l e 2 da linha de corrente pode ser efetuada ficando V 2 p V 2 L dV hz 1 2 z 2 óH y i 2g y 2 2g i2 g dt em que L é o comprimento do arco entre os dois pontos 1 e 2 122 LINHA DE ENERGIA E LINHA PIEZOMÉTRICA 111 Considerese a Equação 111 no caso particular do escoamento pe1ma nente no qual o último termo é nulo y 2 p y2 h z I 2 z 2 óH y 1 2g y 2 2g 12 lll a Esta equação pelo fato de cada parcela representar energia por unida de de peso e ter como unidade o metro admite uma interpretação geométri ca de importância prática Tais parcelas são denominadas como py m energia ou carga de pressão z m carga de posição energia potencial de posição em relação a um plano horizontal de referência V22g m energia ou carga cinética óH m perda de carga ou perda de energia Conhecendose a trajetória de um filete de líquido identificada pelas co tas geométricas em relação a um plano horizontal de referência podese repre sentar os valores de py obtendose o lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por py z e designado como linha de carga efetiva ou linha piezo métrica Cada valor da soma py zé chamado de cota piezométrica ou car Quais as hipóteses feitas na dedução da Equação 14 lHidráulicaBasicaCap1 7 Linhadecnergia v12g Afi12 Linha 2 piezométrica Pify 2 2g P 2 Y rTrajetória z2 z Figura 12 Linha de energia e linha piezométrica em escoamento permanente ga piezométrica Se acima da linha píezométríca acrescentaremse os valores da carga cinética V22g obtémse a linha de cargas totais ou linha de energia que designa a energia mecânica total por unidade de peso de líquido na forma H py z V22g No caso de fluídos reais em escoamento pennanente a carga total diminuí ao longo da trajetória no sentido do movimento como conseqüência do trabalho realizado pelas forças resistentes como indicado na Figura 1 2 Algumas observações sobre estes conceitos básicos são ne cessárias a Como em geral a escala de pressões adotada na prática é a escala efetiva isto é em relação à pressão atmosférica a linha piezométrica pode coincidir com a trajetória caso em que o escoamento é livre ou mesmo passar abaixo desta indicando pressões efetivas negativas b Todas as parcelas da Equação 111 devem ser representadas geome tricamente como perpendiculares ao plano horizontal de referência independente da curvatura da trajetória Na Figura 13 a colocação de um tubo piezométrico no ponto P em uma seção com pressão po sitiva faz com que o líquido em seu interior atinja o ponto Sem con tato com a atmosfera equilibrando a pressão em P A cota do ponto S em relação ao plano de referência é a cota píezométrica dada pela soma py z como na Figura 13 O raciocínio pode ser estendido acrescentandose a carga cinética e Em cada seção da tubulação a carga de pressão disponível é a dife rença entre a cota piezométrica py z e a cota geométrica ou topo gráfica z Esta diferença pode ser positiva negativa ou nula d A linha de carga total ou linha de energia desce sempre no sentido do escoamento a menos que haja introdução de energia externa pela instalação de uma bomba A linha piezométrica não necessariamente segue esta pro priedade como será visto adiante Trajetória e Quando se utiliza o conceito de perda de carga entre dois pontos da trajetória tratase de perda de energia total ou seja H py z V22g como na Figura 12 e não de per da de carga piezométrica Se no entanto no escoamento for çado em regime permanente a seção geométrica da tubulação for constante e conseqüentemente a carga cinética também as linhas de energia e piezométrica serão paralelas portanto podese usar como referência a linha piezométrica Figura 13 Tubo piezométrico Esta observação é importante nos escoamentos em superfícies livres em que a linha de energia geralmente não é paralela à linha piezométrica a não ser no caso de escoamento rigorosamente permanente e uniforme Nesta situ ação particular de escoamento permanente e unifonne em condutos livres a linha de energia é paralela à linha piezométrica que é a própria linha d água pois a pressão reinante é constante e igual à atmosférica e é também parale la à linha de fundo do canal 123 EQUAÇÃO DA ENERGIA EM TUBOS DE FLUXO A Equação 111 foi desenvolvida ao longo de uma linha de corrente ide al Em muitas aplicações da Engenharia não interessa o conhecimento das ca racterísticas do escoamento em determinados pontos ou mesmo em determinada trajetória mas sim seus valores médios em seções retas de tubos de fluxo Para uma veia líquida os valores de pressão massa específica ou carga de posição em uma certa seção não sofrem variações apreciáveis Porém devido à presença de fronteiras sólidas existe uma distribuição de velocidades por trajetórias que pode se distanciar do valor médio V na seção Desta forma a cada trajetória corresponde uma linha de energia e inte ressa do ponto de vista prático definir uma linha de energia correspondente ao escoamento na totalidade da seção através do uso do valor médio da velo cidade Com relação ao perfil de velocidade através de uma área A apresen tado na Figura 14 podese dizer que A taxa de transferência da energia cinética potência cinética da mas sa global tendo velocidade média V vale 1 2 TE Q y 2 1 y3 1 E l m V cl y p A e 2 2g 2 112 Para um elemento de área dA em que a velocidade é v a taxa de trans ferência da energia cinética vale dE 2 dmv2 dTEc2 p v3 dA TEc2 J p v3 dA iil13 e 2 2 A 2 A relação entre ii e i é chamada fator de correção da energia cinética ou coeficiente de Coriolis3 e é dada por cp 1 concoUos Bãs D Em um detennlnado escoamento sob pressão a cota piezométrica de uma seção a jusante pode ser maior que a de uma seção a montante Figura 14 Distribuição de velocidade em uma seção 3 GustaveGaspard Coriolis engenheiro francês 17921843 Cap 1 4 Joseph Boussinesq matemático francês 16421929 Í v3 dA X JA y JA 1 114 A taxa de transferência fluxo da quantidade de movimento da massa global tendo velocidade média V vale Q m V T Q p V 2 A iii 1 1 5 Para um elemento de área dA em que a velocidade é v a taxa de trans ferência da quantidade de movimento vale 116 A relação entre iv e iii é chamada fator de correção da quantida de de movimento ou coeficiente de Boussinesq4 e é dada por Í p v2 dA Í v2 dA A JA A JA 1 JJ p y2 A JJ y2 A 117 Assim a equação geral da energia para uma veia líquida representada pelas velocidades médias nas seções 1 e 2 tornase EL z a v12 12 z a v IIp L dl3V y 1 2g y 2g g dt 118 Para um escoamento laminar em um duto circular em que o perfil de velocidade é parabólico o valor do coeficiente a é igual a 20 e do coeficiente 13 igual a 43 Problemalla Para o escoamento turbulento em uma seção cir cular em que a distribuição de velocidade se aproxima do valor médio os coeficientes de Coriolis e Boussinesq são respectivamente 106 e 102 Problema11 b Para as seções circulares seja o escoamento laminar ou turbulento mos trase que a relação entre o coeficiente de Coriolis e de Boussinesq é dada por a 3 13 1 1 1 19 cap1 conceitosBásicos1 O coeficiente de Coriolis é particularmente mais importante nos es coamentos livres nos quais a distribuição de velocidade em uma seção é me nos uniforme que no escoamento forçado com seção circular 13 ANÁLISE DIMENSIONAL APLICADA AO ESCOAMENTO FORÇADO O teorema fundamental da Análise Dimensional conhecido como teo rema de VaschyBuckingham ou teorema dos Tis é o instrumento básico de grande utilidade na Hidráulica experimental e é enunciado da seguinte forma Todo fenômeno físico representado por uma relação dimensional mente homogênea de n grandezas físicas na forma FG1 G2 Gk Gn O pode ser descrito por uma relação de n r grupos adimensionais independentes ITI1 TI2 Tinr O em que r é o número de grandezas básicas ou funda mentais necessárias para expressar dimensionalmente as variáveis G No caso particular da Hidráulica o valor de r é no máximo 3 ou seja existem no máximo 3 grandezas básicas necessárias para descrever dimen sionalmente cada variável do fenômeno Em geral tais grandezas são massa força comprimento e tempo Escolhendo como variáveis básicas sistema próbásico as grandezas Gk Gi e Gm cada grupo adimensional independente é da forma rr A 0 010 02 003 o 1 1 k I m 1 em que A é um número puro G uma grandeza do fenômeno diferente das variáveis básicas e a expoentes a determinar pela imposição de homoge neidade dimensional na relação anterior uma vez que TI é um número puro Para melhor consistência física da metodologia o sistema próbásico deve ser constituído por uma grandeza cinemática velocidade ou vazão uma grande za dinâmica massa específica e uma grandeza geométrica característica qualquer No fenômeno físico do escoamento de um líquido real com velocida de média V caracterizado pela sua viscosidade dinâmica µ e massa específi ca p através de uma tubulação circular de diâmetro D comprimento L e coeficiente de rugosidade da parede E a queda de pressão 6p ao longo do comprimento L pode ser tratada pelo teorema dos Tis na forma 6p F p V D µ L E com n 7 e r 3 existem 4 grnpos adimensionais independentes que descre vem o fenômeno na sua totalidade Escolhendo para sistema próbásico o temo p V D a aplicação do princípio da homogeneidade dimensional leva aos se guintes adimensionais Considere o escoamento bidimensional mostrado abaixo SSSSSi Mostre que os fatores de correção da energia cinética e da quantidade de movimento valem respectivamente a 2 e 43 Cap 1 s Osborne Reynolds engenheiro irlan dês 18421912 O fator de correção da energia cinética tem a mesma unidade da carga cinética 6 HenriPhillbertGaspard Darcy enge nheiro francês 18031858 e Ludwig Julius Welsbach engenheiro e pro fessor alemão 18061871 p nl Número de Euler pV2 pVD TT2 Número de Reynolds5 µ E TT3 Rugosidade relativa D L TT4 D Portanto existe uma função adimensional na forma A experiência mostra que a queda de pressão é diretamente proporcio nal à relação LD logo a expressão tornase A função entre parênteses pode ser levantada experimentalmente e re presentada pelo fator de atrito da tubulação f a ser discutido no próximo ca pítulo Desta forma a queda de pressão é dada por p pfL y 2 D e como p y H e y p g vem L y2 H f D 2g 120 em que o fator 2 foi introduzido para reproduzir a definição de carga cinética da equação da energia A Equação 120 a ser analisada no próximo capítulo é a fórmula universal de perda de carga ou equação de DarcyWeisbach 6 de grande importância nos problemas de escoamentos Devese observar que a aplicação do teorema dos TTs não fornece a expressão analítica da função adimensional 1 o que poderá ser conseguido em cada caso particular por teo ria ou experimentação 14 VELOCIDADE DE ATRITO Considerese o escoamento de um fluido real incompres sível em regime permanente através de uma tubulação circular de diâmetro constante e área A As forças que atuam sobre fluido são forças de pressão gravidade e cisalhamento devido ao atrito com a parede da tubulação O diagrama de forças mostrado na Figura 15 permite concluir que na condição de equilíbrio dinâ mico na direção x temse LFx p 1 A p2 A 1 0 PLWsen0 0 121 Cap 1 Cooreno Básos D z z em que to é a tensão média de cisalhamento tensão trativa mé dia ou tensão tangencial média entre o fluido e o perímetro da seção em contato com o fluido P o perímetro da seção e W o peso de fluido correspondente ao volume ocupado Figura 15 Equilíbrio de forças no escoamento per manente Como z z sene 2 I L e W yAL a Equação 121 fica 122 que desenvolvida tornase 123 Observando na equação anterior que a diferença entre os dois primei ros termos é a perda de carga tH entre as seções 1 e 2 regime permanente e uniforme e definindo como raio hidráulico Rh a relação entre a área A da seção ocupada pelo fluido e o perímetro P da seção em contato com o fluido parâmetro que reflete as dimensões e aspecto da seção reta do escoamento vem 124 Cap 1 Definindo como perda de carga unitária Jmlm AfIL a relação entre a perda de carga H entre as seções I e 2 e o comprimento do trecho L a equa ção precedente fica 125 Esta expressão é válida tanto para condutos forçados quanto para con dutos livres no escoamento uniforme e tem emprego em Transporte de Sedi mentos e projetos de seções estáveis em canais Em tubos de seção circular a tensão tangencial distribuise uniformemente no perímetro e coincide com o valor médio dado pela Equação 125 Em tubos de seção não circular e em canais a tensão tangencial tem distribuição não unifonne e o representa o seu valor médio no perímetro molhado No caso particular do escoamento forçado em seção circular com diâ metro D no qual a área ocupada pelo escoamento é a própria área da seção o raio hidráulico vale D4 Deste modo a Equação 1 24 leva a 1 26 que comparada com a fó1mula universal de perda de carga Equação 120 vem 127 A Equação 127 pode ser escrita na forma 128 Como o fator de atrito fé adimensional o termo J 0 p tem dimensão de velocidade sendo definido como velocidade de atrito ou velocidade de cisalhamento u J0 p e encontra aplicações em áreas como turbulência distribuição de velocidades em condutos forçados estabilidade hidráulica de fundo de canais etc Deve ser observado que a velocidade de atrito engloba somente a tensão de cisalhamento e a massa específica do fluido e é definida sempre pela mesma equação independente do regime do escoamento ser laminar ou turbulento e da parede da tubulação ser lisa ou rugosa cap1 conceitosBásicosiJ 15 POTÊNCIA HIDRÁULICA DE BOMBAS E TURBINAS Conforme foi dito nas observações sobre a Equação 1 11 a a linha de energia sempre decai no sentido do escoamento a menos que uma fonte ex terna de energia seja introduzida Turbinas e bombas são máquinas hidráuli cas que têm a função respectivamente de extrair ou fornecer energia ao escoamento A aplicação do princípio da conservação da energia ao escoamento per manente do sistema mostrado na Figura 1 6 no qual a máquina instàlada en tre as seções e entrada e s saída pode ser uma bomba ou uma turbina resulta em Hc emáq Hs 129 em que Hc e Hs são energias por unidade de peso do fluido em escoamento e emáq a energia fornecida pela bomba sinal ou consumida pela turbina sinal dividida pela unidade de peso do fluido em escoamento Pela definição de potência total fornecida ou consumida como sendo energia total por unidade de tempo temse Emaq emáq peso Pot yQe tlt tlt maq 130 em que y Q é a vazão em peso através da máquina e Emaq a energia total for necida ou consumida Assim a expressão geral da potência hidráulica da má quina é dada por 131 As cargas ou energias nas seções de entrada e saída serão a soma das três parcelas de energia de que o fluido dispõe isto é H py z aV22g Como a transformação de energia no processo não se dá em condições ideais sem perda de rendimento a potência absorvida por uma turbina é in ferior à potência que ela recebe do escoamento ao passo que a potência cedida por uma bomba é superior à que o escoamento recebe Definindo como altura total de elevação da bomba a diferença de car gas do escoamento entre a saída e a entrada H Hs Hc como queda útil da turbina a diferença de cargas entre a entrada e a saída Hu He Hs e como ri o rendimento da transformação nas condições do escoamento têmse J 1 1 filfm i s Figura 16 Máquina hidráulica em uma tubulação HidráulicaBásicaCatp 1 T Zm para as bombas Pot yQHsHe yQH 132 TI TI para as turbinas PotT1yQHe Hs TIYQH 133 No caso particular da água cujo peso específico é y 98 103 Nm3 as expressões acima para Qm3s e Hm tornamse 98QH para as bombas Pot kW 134 TI para as turbinas Pot 98 T QH kW 135 A unidade de potência normalmente utilizada principalmente quando se trata de bombas é o cavalovapor e a equivalência entre quilowatt e cavalo vapor é a seguinte 1 kW 136 CV A aplicação da equação da energia aos problemas de escoamento em geral deve ser feita sempre tendo em mente o traçado da linha de energia ou se for o caso da linha piezométrica Assim é fundamental que se desenhe um esquema do desenvolvimento destas linhas entre seções de interesse principal mente quando no problema existe uma máquina hidráulica Tal procedimento pe1mite que não se aplique a equação da energia de forma abstrata mas de modo consciente pelo acompanhamento gráfico das alterações energéticas No caso da existência no sistema hi dráulico que liga dois reservató1ios de gran des dimensões e abertos para a atmosfera de uma bomba ou turbina tais esquemas gráficos são mostrados na Figura 17 it1 As relações entre as cotas dos níveis dágua nos reservatórios de montante e jusante cotas piezométricas inicial e final a perda de carga total do sistema tH e as alturas características da bomba e da turbi na pelo traçado das linhas de energia são Figura 17 Instalação de turbina T e bomba B em uma tubulação para a bomba H Zj Zm tH01 1Hj Zj Zm tH 136 na qual a diferença de cotas topográficas Zj Zm entre os níveis dágua nos reservatórios é chamada de altura geométrica de elevação para a turbina Hu Zm Zj dHm dHj Zn Zj tH 137 em que a diferença de cotas topográficas Zm Zi entre os níveis dágua nos reservatórios é chamada de queda bruta Em ambos os casos tHm e tHi são as perdas de carga respectivamente nas tubulações a montante e a jusante da máquina EXEMPLO 11 Numa tubulação de 300 mm de diâmetro água escoa em uma extensão de 300 m ligando um ponto A na cota topográfica de 900 m no qual a pres são interna é de 275 kNm2 a um ponto B na cota topográfica de 750 m no qual a pressão interna é de 345 kNm2 Calcule a perda de carga entre A e B o sentido do escoamento e a tensão de cisalhamento na parede do tubo Se a va zão for igual a 014 m3s calcule o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito Tendo a tubulação diâmetro constante e sendo o escoamento permanen te a carga cinética em qualquer seção será a mesma Deste modo a linha de energia será paralela à linha piezométrica e a perda de carga pode ser calcula da como a diferença entre as cotas piezométricas das seções A e B O sentido do escoamento deverá ser condizente com os níveis de energia existentes nas se ções A e B ou no caso em questão com as cotas piezométricas naquelas seções A cota piezométrica em A vale pAy ZA e em B poy ZB em que py é a carga de pressão disponível em metros de coluna de água em cada seção Com os dados do problema vem 275 103 345 103 CPA 1 901 1806m e CP8 3 7511020m 9810 9810 Portanto a perda de carga entre A e B será tH 11806 11020 786 m O sentido do escoamento será de A para B pois CPA CPll Pela Equação 126 LiH 410 L 1 7869810 3 030 l926 Nm2 y D º 4300 Da definição de velocidade de atrito fiº 1926 o 139 u 3 m s p 10 Para uma vazão Q O 14 m3s a velocidade média é V 198 ms Da equação universal de perda de carga Equação 120 podese deter minar o fator de atrito f como LiH f f 786030196 0039 D 2g 3001982 EXEMPLO 12 No estudo das bombas hidráulicas consideramse como principais gran dezas físicas que intervêm no fenômeno as seguintes a massa específica do fluido p b rotação do rotor da bomba m e raio do rotor da bomba R d diferença de pressões nas seções de entrada e saída Lip e vazão pela bomba Q j potência necessária Pot Determine os grupos adimensionais independentes que descrevem o fe nômeno físico Pelo teorema dos lls como o número de grandezas físicas envolvidas no fenômeno é n 6 para r 3 existirão n r 3 grupos adimensionais indepen dentes que descreverão o fenômeno Escolhendo como variáveis fundamentais sistema próbásico o terno p ro R os três adimensionais são da forma Cada uma das variáveis do fenômeno é expressa dimensionalmente em termos das grandezas básicas M L e T como na matriz dimensional abaixo p O R ôp Q I Pot M 1 o o 1 o 1 L 3 o l 1 3 2 T o 1 o 2 1 3 Os expoentes a e y podem ser determinados impondo a homoge neidade dimensional nas expressões dos grnpos adimensionais o que gera os três sistemas de equações Mº MjlI TIi Lº L3cxlcx3I T rrcx22 Mº Mt n2 Lº Lr3P1P33 Mº MtI n j Lº L3yly32 coeficiente de pressão coeficiente de vazão Pot TI3 coeficiente de potência pw3Rs Observe que o coeficiente de potência nada mais é que o produto dos outros dois adimensionais indicando portanto que os coeficientes de vazão e pressão são os adimensionais independentes e mais importantes para o fenô meno Tais resultados serão usados no Capítulo 5 que trata da utilização de bombas hidráulicas EXEMPLO 13 Considere um sistema de bombeamento como o da Figura 17 no qual uma bomba com rendimento de 75 recalca uma vazão de 15 1s de água do reservatório de montante com nível dágua na cota 15000 m para o reserva tório de jusante com nível dágua na cota 20000 m As perdas de carga totais na tubulação de montante sucção e de jusante recalque são respectivamen te Hrn 056 me Hj 1792 m Os diâmetros das tubulações de sucção e recalque são respectivamente O 15 me O 1 O m O eixo da bomba está na cota geométiica 15150 m Determine a as cotas da linha de energia nas seções de entrada e saída da bomba b as cargas de pressão disponíveis no centro destas seções e a altura total de elevação e a potência fornecida pela bomba a Tomando como escala de pressões a pressão atmosférica pressões re lativas as energias disponíveis no início e no fim da linha de ener gia do sistema serão os níveis dágiJa nos reservatórios Pela equação de Bernoulli aplicada à tubulação de sucção calculase a cota da li nha de energia na entrada da bomba como Zrn He Hrn He 15000 056 14944 m Pela mesma equação aplicada à tubulação de recalque determinase a cota da linha de energia na saída da bomba como Hs Zi Hi Hs 20000 1792 21792 m b Para uma vazão Q 15 1s as velocidades médias nas tubulações de sucção e de recalque valem respectivamente Vc 085 ms e Vs 191 mls As cargas cinéticas são respectivamente Ve2 2g 0037 m e v 2g 0186 m Com as energias disponíveis na entrada e na saí da da bomba determinamse as cargas de pressão disponíveis He pey zc V 2g 14944 Pey15150 0037 PeY 2097m Hs py z v 2 2g 21792 pfy 15150 0186 py 6623 m e H Hs He 21792 14944 6848 m e a potência fornecida vale Pot 98QH 9800156848 13 42 kW 18 25 cv ll 075 16 PROBLEMAS 11 Determinar a relação entre a velocidade média V e a máxima Ymáx e os coeficientes de correção a de Coriolis e de Boussinesq em um conduto cir cular em que se produz a escoamento laminar cuja distribuição de velocidades segue a lei parabólica b escoamento turbulento em tubos lisos cuja distribuição de velocida des segue a lei da potência l 7 de Prandtl 17 Vmáx Em ambos os casos Vmáx é a velocidade no eixo do tubo R o raio cio mesmo y R r a distância da parede ao ponto de velocidade v a Yvmáxl2 a 2 43 b Vvmáx 4960 a 106 1 02 O diâmetro de urna tubulação que transporta água em regime permanen te varia gradualmente de 150 mm no ponto A 6 m acima de um referencial para 75 mm no ponto B 3 m acima do referencial A pressão no ponto A vale 103 kNm2 e a velocidade média é 36 ms Desprezando as perdas de carga determine a pressão 1io ponto B p13 352 kNm2 Y Um determinado líquido escoa em regime permanente através de uma tubulação horizontal de O 15 m de diâmetro e a tensão de cisalhamento sobre a parede é de 10 Nm2 Calcule a queda de pressão em 30 m desta tubulação Lip 80 kNm2 14 Um tubo de 150 mm de diâmetro e 6 m de comprimento é conectado a um reservatório de grandes dimensões nível dágua constante inicialmente cheio até uma altura h 3 me aberto para a atmosfera Na extremidade de jusante existe uma válvula de abettura rápida fechada Desprezando todas as perdas de cruga detennine a vmiação temporal da velocidade na saída do tubo V2t quando a vá Cap 1 CMcetos Bãsiros G Figura 18 Problema 11 hJm e Figura 19 Problema 14 Ê li C Cap 1 1 1 L6m w w vula for instantaneamente aberta e a água escoar para a atmosfera Faça um gráfico de V2x t nos primeiros 5 segundos do escoamen to Despreze a velocidade da água no reservatório exceto na região imediatamente a montante da entrada do tubo Sugestão aplique a Equação 111 entre os pontos 1 e 2 em que a pressão é atmosféri ca com tH2 O V2t 767 tgh 0639 t em que tgh significa tangente hiperbólica 15 A vazão Q de um líquido através de um pequeno orifício em uma tubulação depende do diâmetro do orifício d do diâmetro da tubulação D da diferença de pressão tp entre os dois lados do orifício da massa específica p e da viscosidade absolutaµ do líquido Mostre usando o teorema dos Tis que a vazão pode ser expressa por 16 Um vertedor triangular é uma abertura feita em uma placa de metal ou madeira colocada verticalmente na seção reta de um canal aberto A água do canal é forçada a escoar pela abertura do vertedor A vazão medida pelo vertedor é função da elevação carga H da corrente a montante do vertedor medida acima da soleira da aceleração da gravidade g do ângulo de abertu ra do triângulo a e da velocidade de aproximação da água para o vertedor Yo esta última variável V0 é algumas vezes desprezível Determine usando o teorema dos Tis a equação da vazão Q em função das demais variáveis Q fiHs2 P a JgH t Determine a tensão tangencial média sobre o fundo de uma galeria de águas pluviais de 10 m de diâmetro escoando uma certa vazão em regime per manente e unifmme a meia seção isto é com altura dágua igual a 05 m com declividade de fundo igual a lo 0001 mim Observe que pela definição de raio hidráulico a linha dágua em contato com a atmosfera não faz parte dope rímetro molhado e que se o escoamento é permanente e uniforme a perda de carga unitária Jmm é igual à declividade de fundo 10111m º 245 Nm2 cap 1 conceitosBásicos j 18 Em um ensaio em laboratório uma tubulação de aço galvanizado com 50 mm de diâmetro possui duas tomadas de pressão situadas a 15 m de distân cia uma da outra e tendo uma diferença de cotas geométricas de 10 m Quando a água escoa no sentido ascendente tendo uma velocidade média de 2 1 ms um manômetro diferencial ligado às duas tomadas de pressão e contendo mercúrio acusa uma diferença manométrica de O l 5 m Calcule o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito Dado densidade do mercúrio dr 136 f 0028 u 0124 ms 1 Em um canal aberto de seção reta triangular com inclinação dos lados citial a 45 escoa uma certa vazão em regime petmanente e uniforme A altu ra dágua é igual a 10 m e a declividade de fundo lo 0002 mm Determi ne a velocidade de atrito média na seção Sugestão relembre o conceito de raio hidráulico u 00833 ms Quando água escoa em uma tubulação horizontal de 100 mm de diâ metro a tensão de cisalhamento sobre a parede é de 16 Nrn2 Determine a per da de carga unitária na tubulação e a velocidade de atrito J 0065 mim u 0126 ms Vi Bombeiamse O 15 m3s de água através de uma tubulação de 025 m de diâmetro de um reservatório aberto cujo nível dágua mantido constante está na cota 56700 m A tubulação passa por um ponto alto na cota 58700 m Calcule a potência necessária à bomba com rendimento de 75 para manter no ponto alto da tubulação uma pressão disponível de 147 kNm2 sabendo que entre o reservatório e o ponto alto a perda de carga é igual a 75 m Pot 8423 kW 11455 cv oi Entre os dois reservatórios mantidos em níveis constantes encontra se uma máquina hidráulica instalada em uma tubulação circular com área igual a 001 m2 Para uma vazão de 20 1s entre os reservatórios um manômetro co locado na seção B indica uma pressão de 688 kNm2 e a perda de carga entre as seções D e C é igual a 75 m Dete1mine o sentido do escoamento a perda de carga entre as seções A e B as cotas piezométricas em B e C o tipo de máqui na bomba ou turbina e a potência da máquina se o rendimento é de 80 lHidráulicaBasicaCap1 20m 1 Máq 1 o Figura 110 Problema 1 12 Figura 111 Problema 113 Oüm Figura 112 Problema 114 100 m A R2 A D 11HA11 2796 m CPs 70 m CPc 929 m Bomba Pot 0563 kW 0766 cv A vazão de água recalcada por uma bomba é de 4500 1min Seu conduto de sucção horizontal tem diâmetro de 030 m e possui um manômetro diferencial como na Figura 111 Seu conduto de saída horizontal tem diâmetro de 020 m e sobre seu eixo situado 122 m acima do precedente um manômetro indica uma pressão de 686 kPa Supondo o rendimento da bomba igual a 80 qual a potência necessária para realizar este trabalho Dado densidade do mercúrio dr 136 Pot 1026 kW 1395 cv 114 A Figura 1 12 mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório R1 para o reservatório R2 através de uma tubulação de diâmetro igual a 040 m pela qual es coa uma vazão de 150 1s com uma perda de carga unitá ria J 00055 mim As distâncias R 1B1 e B1R2 medem respectivamente 185 m e 1800 m A bomba B I tem po tência igual a 50 cv e rendimento de 80 Com os dados da Figura 112 determine a a que distância de B1 deverá ser instalada B2 para que a carga de pressão na entrada de Bz seja igual a 2 mH2O b a potência da bomba Bz se o rendimento é de 80 e a carga de pressão logo após a bomba Despreze nos dois itens a carga cinética na tubulação a x 5273 m b Pot 2206 kW 30 cv piy 140 mHzO 2 ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES 21 TENSÃO TANGENCIAL O fator de atrito entre o líquido e a parede da tubulação definido no capítulo anterior reflete o processo irreversível de transformação de parte da energia do escoamento em calor Este processo de conversão pode ocorrer através de três caminhos 1 Desenvolvimento de tensões cisalhantes entre camadas adjacentes ele líquido em um escoamento caracterizado por valores pequenos do número de Reynolds e definido como escoamento laminw 2 Geração de um processo vorticoso turbulento no qual parte da ener gia cio escoamento é utilizada para criação desenvolvimento e colap so cios vórtices e conseqüente dissipação por atrito viscoso entre partículas adjacentes Tal vorticiclacle é resultado do contato entre regiões cio escoamento com líquido em movimento rápido e regiões com líquido em movimento lento ou estagnado na camada limite laminar ou mesmo em zonas de separação cio escoamento Tal escoa mento em que a perda ele carga ocorre dessa maneira é classifica do como escownento turbulento 3 Uma combinação entre os processos laminar e turbulento anteriormente definidos de dissipação de energia é chamada de escownento tmnsi cional Este tipo de escoamento é instável limitado a urna faixa estreita de baixos números ele Reynolds sem interesse prútico principalmente em se tratando da água cuja viscosidade é baixa o que leva a maioria cios escoamentos nas tubulações comuns a serem turbulentos No processo ele dissipação ele energia a distribuição ele velocidade em cada seção ela tubulação é importante Se por hipótese um escoamento se desse com uma distribuição ele velocidade rigorosamente uniforme não have ria tensões tangenciais entre partículas adjacentes e portanto não haveria perda de energia Entretanto pelo princípio da aderência as partículas imediatamente adjacentes às fronteiras sólidas estão imóveis resultando em um diferencial de velocidade entre elas e as vizinhas que se propaga para toda massa fluida em 27 Grandes turbilhões têm pequenos turbilhões Que se alimentam de sua velocidade E pequenos turbilhões lêm turbilhões ainda menores E assim por diante até a viscosidade Lewis P Richardson 28 Hidráulica Básica Cap 2 escoamento Este diferencial de velocidade cria tensões tangenciais e dissipa energia por atrito de escorregamento ou geração de turbulência Em um conduto retilíneo em uma seção afastada de alguma singulari dade no qual o escoamento é dito desenvolvido isto é em que o perfil de velocidade é estável há uma relação direta entre a variação da tensão tangencial e tal perfil seja no escoamento laminar ou turbulento r j ci1 A análise desenvolvida no capítulo anterior que resultou na Equa ção 1 26 pode ser aplicada de modo semelhante a um tubo de corrente qualquer de raio r concêntrico com o tubo cilíndrico em um escoamento permanente como na Figura 21 Desta fonna a Equação 126 pode ser escrita como L Figura 21 Distibuição de tensões cm um tubo circular 21 A equação precedente mostra que independente do escoamento na tu bulação ser laminar ou turbulento a tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância r da linha central ao ponto de interesse Desde que para r R temse t 10 a seguinte relação pode ser deter minada t t E t 11 º R O R 22 211 ESCOAMENTO LAMINAR No caso do escoamento laminar em que predominam os esforços visco sos a tensão tangencial pode ser expressa pela lei de Newton da viscosidade válida para os líquidos nos quais há proporcionalidade entre tensão e o gradi ente de velocidade que é o caso da água dv dv tµµ dy dr 23 em que v é a velocidade no ponto a uma distância y da parede da tubulação ou r da linha de centro do tubo Igualando as Equações 21 e 23 e fazendo a integração entre um ponto qualquer do perfil no qual a velocidade é v e a distância é r até a parede do tubo em que r R e v O obtémse Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações y llH dv Jº 1ft Y llH y LlH 2 2 r µ dv 1 dr v R r 2L dr v r 2Lµ 4Lµ 24 A Equação 24 mostra que o perfil de velocidade em um tubo circular em que o escoamento é laminar é um parabolóide de raio R Na linha de cen tro com r O a velocidade é máxima assim o perfil pode ser representado de forma mais conveniente por V r 2 y AfI 2 1 em que v R R 111IX 4µL vmáx 25 Como a velocidade mais representativa da seção é a velocidade média a relação entre a velocidade máxima Vmáx e a velocidade média V pode ser deter minada pela aplicação da equação da continuidade no regime pennanente R Q f vdA f v2nrdr V1tR 2 26 A O Utilizando a Equação 25 e desenvolvendo a integração chegase a 27 Resultado importante que já fora antecipado no Problema 11 Desta forma no regime laminar temse a seguinte relação entre os parâmetros da tubulação e do líquido e a perda de carga llH y llH 2 v 111ií R 2V 4µL 28 Da equação anterior o valor da perda de carga pode ser comparado com a fórmula universal de perda de carga Equação 120 para determinar o valor do fator de atrito f no regime laminar como segue LlH 8µLV 32µLV yR 2 yD2 29 29 G Bãsica Cap 2 1 Gotthilf Ludwig Hagen engenheiro alemão 17971884 2 JeanLouis Marie Poiseuille fisiolo gista francês 17991869 Equação que foi obtida experimentalmente em 1839 por Hagen e um ano mais tarde teoricamente por Poiseuille2 sendo conhecida como fórmula de HagenPoiseuille Assim igualando a Equação 120 à Equação 29 vem LiH f y 2 32µLV D 2g yD 2 f 64µ f pVD Rey 210 Resultado importante que mostra que no escoamento laminar o fator de atrito só depende do número de Reynolds independendo da rugosidade da tubulação como será discutido adiante Esta relação que tem sido comprova da experimentalmente é válida para Rey 2300 212 ESCOAMENTO TURBULENTO O escoamento laminar pela própria natureza física do processo de trans ferência individual de moléculas entre lâminas adjacentes do escoamento pe1mite um tratamento analítico da tensão de cisalhamento e conseqüentemen te do fator de atrito com comprovação experimental No escoamento turbu lento são agrupamentos de moléculas animadas de velocidade de perturbação que se transportam de forma caótica para camadas adjacentes do fluido pro duzindo forças tangenciais de muito maior intensidade Pelo princípio da aderência uma partícula fluida em contato com a parede do tubo tem velocidade nula e existe urna camada delgada de fluido adjacente à parede na qual a flutuação da velocidade não atinge os mesmos valores que nas regiões distantes da parede A região onde isto acontece é chamada de subcamada limite laminar e caracterizase por uma variação pra ticamente linear da velocidade na direção principal do escoamento A partir da subcamada limite laminar desenvolvese uma pequena zona de transição e a seguir nas regiões mais distantes da parede o núcleo turbulento que ocupa praticamente toda a área central da seção A teoria da camada limite mostra que a espessura 8 da subcamada limite pode ser calculada por 8 116v u 211 em que u é a velocidade de atrito e v a viscosidade cinemática do fluido Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 31 No caso em que as rugosidades da parede da tubulação ê estão totalmente cobertas pela subcamada limite laminar temse u ê 5 Escoamento turbulento hidraulicamente liso V Para a situação em que as asperezas da parede afloram a subcamada limite laminar alcançando o núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência temse u ê 70 Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso V Na condição intermediária em que apenas as asperezas maiores transpassam a subcamada limite laminar alcançando o núcleo turbulento fica 5 u ê 70 V Escoamento turbulento hidraulicamente misto ou de transição uê O termo é chamado de número de Reynolds de rugosidade V O escoamento turbulento como o que ocorre em um jato de água no interior da carcaça de uma bomba hidráulica ou mesmo em grandes turbilhões em um rio é caracterizado por uma constante flutuação da velocidade devi do à inerente instabilidade do escoamento Analisandose a situação pontual da velocidade em um escoamento turbulento podese imaginar em cada direção x y e z que as velocidades instantâneas são afetadas pela existência de uma esfera de perturbação correspondente aos valores assumidos aleatoriamente pela velocidade de perturbação conforme a Figura 22 Desta forma a velocidade instantânea V em um escoamento turbulen to pode ser considerada como a soma de duas parcelas a velocidade média temporal e a velocidade de perturbação T V Vv com V constante e JvdtO o para o intervalo de tempo O T assumido Daí resulta que a velocidade média temporal pode ser calculada por No escoamento laminar através de uma tubulação circular a variação da vazão é inversamente proporcio nal à viscosidade do líquido Figura 22 Esfera de perturbação V v T Figura 23 Flutuação da velocidade de perturbação 1 Jr V Vdt T a Em coordenadas cartesianas têmse V V v VYVyvY Vz Vz vz 212 213 O registro pontual do componente na direção x da velocidade instcm tânea no escoamento turbulento utilizando técnicas de laboratório como anemômetro de fio quente ou velocimetria a laser tem o aspecto apresentado na Figura 23 em que não existe nenhum padrão de regularidade seja na amplitude ou no período Devese observar que se a velocidade média temporal é constante embora as velocidades instantâneas variem com o tempo este escoamento é definido como permanente Ao contrário do escoamento laminar no qual a tensão tangencial depende de uma propriedade do fluido a viscosidade no escoamento turbulento segundo modelo proposto por Boussinesq a tensão tangencial é dada por dv tt ri dy 214 em que ri chamada de viscosidade de redemoinho ou viscosidade de turbulência é uma propriedade do escoamento e não somente do fluido e depende predo minantemente da intensidade da agitação turbulenta variando de ponto a ponto no escoamento Por causa da natureza aleatória do movimento das partículas de fluido os valores de ri são muito maiores que µ Devido à simplicidade do modelo e sua analogia com o caso laminar a Equação 214 é utilizada no estudo da turbulência embora não descreva satisfatoriamente a fenomenologia envol vida 22 COMPRIMENTO DE MISTURA DE PRANDTL DISTRIBUIÇÕES DE VELOCIDADE Sendo v x e v y as velocidades de perturbações das partículas flui das devido à turbulência paralela respectivamente à direção do escoamento mé Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 33 dio e normal a esta direção para duas camadas de fluido em movimento relativo uma sobre a outra como na Figura 24 o seguinte raciocínio pode ser desenvolvido Havendo um fluxo de massa perpendicular ao escoamento médio dado por p vY dA através da área elementar dA a aplicação do teorema da quantidade de movimento na direção x permite determinar a força tangencial instantânea que se desenvolve entre as camadas como Figura 24 Tensão instantânea ele cisalhamcnlo turbulenta dFu p V dA V x e conseqüentemente a tensão instantânea de cisalhamento turbulenta 215 Os termos da forma P v x v y são chamados de tensões de Reynolds Em 1925 Prandtl3 formulando a hipótese de que as velocidades de per turbação apresentam a mesma ordem de grandeza isto é turbulência isotrópica propôs que pequenos agregados de partículas são transportados pelo movimento turbulento até uma certa distância média f entre regiões com velocidades diferentes Em analogia ao conceito de livre caminho médio molecular da te oria dos gases Prandtl chamou essa distância de comprimento de mistura e sugeriu que a variação de velocidade sofrida por uma partícula que se desloca pelo comprimento de mistura é proporcional a f dvdy em que v é a velocidade média no ponto e y uma ordenada normal a v comumente medida a partir de um contorno sólido como na Figura 25 Desta hipótese as velocidades de perturbação serão dv v v ocf x Y dy Substituindo na Equação 215 e incorporando em e o fator de propor cionalidade fica 216 y 3 Ludwig Prandtl engenheiro e profes sor alemão 18751953 dvdy v y Ljldvdy V Figura 25 Comprimento médio ele mistura turbulenta No escoamento laminar a relação si dvdy depende do escoamento D Hidranca Bãsra Cap 2 4 Theodor von Kármán físico húngaro americano 18811963 O comprimento de mistura de Prandtl é uma constante universal Na equação anterior R é uma função desconhecida de y e portanto da mesma forma que a viscosidade turbulenta ri é função de posição Com base em condições de semelhança e estatística entre perfis de ve locidades na turbulência von Kármán4 propôs a seguinte relação para o com primento de mistura e K dvdy d 2v dy2 217 em que K é uma constante universal adimensional característica de todo movimento turbulento com valor experimental de cerca de 038 para a água limpa e usualmente assumida como 040 chamada de constante de von Kármán O valor desta constante pode variar consideravelmente em escoamen tos canegados de sedimentos 221 LEI DE DISTRIBUIÇÃO UNIVERSAL DE VELOCIDADE Para deduzir matematicamente os perfis de velocidade para os escoamen tos turbulentos a partir do conceito de comprimento de mistura recorrese a três hipóteses formuladas por Prandtl que embora não sejam totalmente con vincentes têm demonstrado sua validade quando o resultado teórico é compa rado com as verificações experimentais As hipóteses para a determinação dos perfis de velocidade são a Supõese que o esforço cortante na região do núcleo turbulento seja igual ao que se desenvolve na parede do tubo b O esforço cortante que predomina é o turbulento dado pela Equação 216 e Como nas proximidades da parede as velocidades de perturbação tendem a zero há uma variação linear do comprimento de mistura com a distância y da parede dada por f K y Com essas hipóteses podese escrever a partir da Equação 216 que após integrada resulta em V J lnyC u K 218 Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações A Equação 218 é válida tanto para escoamento turbulento bidimen sional quanto para escoamento com assimetria axial em tubulações As con dições de contorno para escoamento em tubulações circulares de raio R são Se y R temse Vmáx Se y O v O logo vmáx lnRC C vmáx lnR U K U K que substituída na Equação 218 fica v V 1 R máx n u K y 219 Para K 040 a Equação 219 apresenta boa concordância com valores experimentais em tubos lisos e rugosos assim V V R max 25 n u y 220 A Equação 220 é conhecida como lei universal de distribuição de ve locidade e é válida para tubos lisos e rngosos Derivandose a Equação 218 com K 040 temse dvdy 25 uy o que leva aos seguintes resultados no centro do tubo y R e o valor do gradiente dvdy deveria ser zero pois v Vmáx porém a última relação forne ce um valor finito para y O o gradiente dvdy tomase infinito o que resulta evidentemente impossível Apesar dessas impropriedades matemáticas a teo ria proposta por Prandtl não invalida as aplicações práticas da Equação 220 Utilizandose o conceito de velocidade média V em uma seção e inte grandose a Equação 218 temse R R Q V 7t R 2 f v dA J v 2 7t r dr o o em que r R y portanto 35 B Hidranca Básica Cap 2 R VnR 2 f25u ln R rCu 2nrdr o expressão que desenvolvida leva a V 25 lnR C375 221 u Equação que representa a velocidade média em uma tubulação lisa ou rugosa de raio R 23 EXPERIÊNCIA DE NIKURADSE Em 1933 J Nikuradse publicou os resultados de um trabalho experimen tal para a determinação do fator de atrito em tubulações circulares Os ensaios foram realizados com tubos lisos cuja parede interna foi revestida com grãos de areia sensivelmente esféricos de granulometria controlada criando assim uma rugosidade uniforme e artificial de valor E correspondente ao diâmetro do grão de areia Desta forma podese levantar para os escoamentos turbulentos as relações entre o fator de atrito f o número de Reynolds Rey e a rugosidade relativa artificial ED Embora o tipo de rugosidade usado nestes ensaios seja diferente da rugosidade encontrada em tubos comerciais em última análise conseqüência do processo industrial o diâmetro do grão de areia é facilmente mensurável e o método serve para verificar no fenômeno o efeito da ru gosidade da subcamada limite laminar e da turbulência representada pelo número de Reynolds O gráfico da Figura 26 chamado Harpa de Nikuradse representa um resumo dos resultados dos testes e permite uma análise fenomenológica das cinco regiões apresentadas a Região I Rey 2300 escoamento laminar o fator de atrito in depende da rugosidade devido ao efeito da subcamada limite laminar e vale f 64Rcy b Região II 2300 Rey 4000 região crítica onde o valor de f não fica caracterizado e Região III curva dos tubos hidraulicamente lisos influência da subcamada limite laminar o fator de atrito só depende do número de Reynolds Escoamento turbulento hidraulicamente liso Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações d Região IV transição entre o escoa mento turbulento hidraulicamente liso e rugoso o fator de atrito depende simultaneamente da rugosidade rela tiva e do número de Reynolds f 01 009 ZONA DE TRANSIÇÃO ZONA COMPLETAM ENTE e Região V turbulência completa es coamento hidraulicamente rugoso o fator de atrito só depende da rugo sidade relativa e independe do núme ro de Reynolds 008 007 006 005 004 003 002 001 fi RUGOSA I f I J LAMINAR 11 1 t Q RUGOSA V r i t ooO oo u LISO Ili 1111 Devese observar na figura que a série de curvas para cada rugosidade relativa se des prende da curva dos tubos lisos à medida que o número de Reynolds vai aumentando ou seja um tubo pode ser hidraulicamente liso para Reynolds baixos e hidraulicamente rugo so para Reynolds altos Isto se deve ao fato de que à medida que o número de Reynolds cres 10 2 10 2 5 10 2 Figura 26 Harpa de Nikuradse ce aumenta a turbulência e o transporte de quantidade de movimento entre regiões do escoamento diminuindo a espessura da subcamada limite laminar e expondo as asperezas da parede da tubulação ao núcleo turbulento do escoa Rey o if 37 t D 1 30 1 liT2 1 Tio 1 252 1 504 1 1014 10 rnento 5 Paul Richard Heinrich Blasius pro fessor alemão 18831970 A curva limite dos tubos hidraulicamente lisos pode ser representada na faixa 3000 Rey 105 por uma expressão conhecida como fórmula de Blasius5 dada por f 0316 Reyo2s 222 A fórmula de Blasius a despeito da simplicidade ajustase bem a resul tados experimentais em tubos lisos como de PVC na faixa de Reynolds considerada 24 LEIS DE RESISTÊNCIA NO ESCOAMENTO TURBULENTO Do ponto de vista prático as leis de distribuição de velocidade em qual quer tipo de regime permitem o cálculo da resistência oferecida ao fluido pela superfície sólida que o cerca Tanto no escoamento forçado quanto no livre tal resistência se traduz em perda de energia sendo então parâmetro fundamental nos problemas de transporte de líquidos O fator de atrito tornase o elemento bási co na análise dos vários tipos de problemas em escoamentos 241 TUBOS LISOS A Equação básica 220 para um tubo de raio R pode ser escrita como vmáx 25 ln 1 u u R 223 Multiplicando e dividindo o logaritmando por u v e desenvolvendo fica vmáx 25lnv25lnyu u u Ru v Os ensaios de Nikuradse em tubos lisos mostraram que a soma dos dois primeiros termos do lado direito da equação anterior é praticamente constante e igual a 55 portanto V 2 5 1 yu 55 n u V 224 Como pela Equação 218 temse 55 25 ln yu 25lny C C 55 25 ln u V V que substituída na Equação 221 tornase 25 ln u R 175 U V 225 equação que permite a determinação da velocidade média V em um tubo de parede lisa no escoamento turbulento Da definição de velocidade de atrito Equação 128 podese escrever 226 que substituída na Equação 225 tomase Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 39 1 u R r 0884ln 0618 vf V 227 observando que u R 2 V u R V D u Re y V 2V V V 2V 2 8 substituindo na Equação 227 e transfo1mandose em logaritmo decimal temse 2035 log Re y f 0913 228 Esta equação que no plano 1 ff versus log Rey ff é representada por uma reta tem concordado bem com resultados experimentais de vários au tores com um pequeno ajuste nos termos numéricos na forma 1 Jf 2 log Rey Jf 08 ou l 2lo Reyff ff g 251 229 u ê d para v 5 correspon ente a Re y Jf 1414 D ê 242 TUBOS RUGOSOS Na faixa de números de Reynolds elevados em que o escoamento é hidraulicamente rugoso o efeito do atrito é preponderantemente influenciado pelo tamanho e a configuração da aspereza da parede da tubulação visto que a ruptura da subcamada limite laminar toma as tensões tangenciais viscosas negligenciáveis Reescrevendo a lei básica de distribuição de velocidade Equa ção 220 pela introdução da variável ê rugosidade absoluta equivalente da tubulação vem V V y V ê y 25 ln máx 25 ln 25 n u u R u R ê 230 Os ensaios de Nikuradse demonstraram que a soma dos dois primeiros termos do segundo membro dessa equação pe1manece constante e igual a 848 o que torna 848 25 1112 231 u E Comparandose a Equação 218 com K 040 com a Equação 231 chegase ao valor da constante de integração na fo1ma C 848 25 ln E que substituída na Equação 221 fica V R 25 ln 473 232 u E equação esta que permite a determinação da velocidade média V no escoamento francamente turbulento em uma tubulação de raio R e rugosidade E Comparando a Equação 232 com a 226 e transformandose em loga ritmo decimal vem 1 R r 204 log 167 vf E 233 Equação que com pequenos ajustes numéricos concorda com resulta dos experimentais e é escrita na forma 1 D 1 3 71 D 1r 2 log 174 ou 1r 2 log vf 2E vf E 234 uE ReyJ para 70 correspondente a 198 V D A equação anterior representa a lei de resistência para escoamentos tur bulentos em tubos circulares mgosos EXEMPLO 21 Um ensaio de laboratório em uma tubulação de diâmetro igual a 030 m mostrou que a velocidade medida com um tubo de Pitot em um ponto situa Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 41 do a 2 cm da parede era de 25 ms Sendo a rugosidade absoluta da tubulação E 10 mm e a viscosidade cinemática da água v 1 o6 m2s determine a a tensão tangencial na parede da tubulação b se o escoamento é hidraulicamente rugoso e a distribuição de velocidade correspondente à máxima vazão para a qual a mesma tubulação pode ser considerada lisa d o valor da velocidade na linha de centro da tubulação em ambos os perfis liso e rugoso a Assumindo que o escoamento seja hidraulicamente rugoso podese utilizar a Equação 231 na forma V y 25 848 25 ln 848 25 ln2 u 0156 m s u E u 01 Logo como u t0 103 01562 243Nm2 p b O número de Reynolds de rugosidade vale u E015610 3 l 56 0 V 106 portanto a fronteira é hidraulicamente rugosa e o uso da Equação 23 l é justificado hipótese confirmada e A condição limite para a qual a fronteira ainda é hidraulicamente lisa é u E 5 u 5 103 m S V Aplicando a Equação 224 vem V y5103 3 55 25 ln 6 v 0134 125103 ln y 510 10 d Na linha de centro y O 15 me v Vmáx assim para escoamento liso e rugoso respectivamente fica Vmáx 0134 12510 3 ln 015 011 m S e pela Equação 231 V 015 llil 848 25 ln 3 vmáx 328 m s 0156 10 EXEMPLO 22 Em um escoamento turbulento em um tubo liso de raio R determine o valor de yR em que y é a distância medida a partir da parede até o ponto onde a velocidade se iguala à velocidade média da seção Das Equações 224 e 225 têmse 55 25 ln yu u V e V u R 25 ln 175 u V Dividindo uma equação pela outra tornase V 55 25 ln yu v V 175 25 111 u R v como se quer v V temse 55 25 ln yuv 175 25 ln u Rv que desenvolvida resulta em R y ln l5 e 15 0223 y R Este mesmo resultado é encontrado se o tubo for rugoso mostre o que leva a uma condição prática muito importante Para medir a vazão em uma tubulação de raio R basta instalar um tubo de Pitot na posição yR 0223 de Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 43 terminandose a velocidade média que multiplicada pela área da seção forne cerá a vazão Partindose da lei de distribuição universal de velocidades Equação 220 e usandose o conceito de velocidade de atrito e velocidade média em uma seção podese integrar o perfil de velocidade e chegar à seguinte relação entre a velocidade média V e a máxima Vmáx em uma tubulação circular na qual o fator de atrito é f V l Vmdx 1375fls Existe melhor concordância com resultados experimentais quando o fator 375 é substituído por 407 assim e usando a Equação 226 fica V l f18 vmãx V 407 u Vmáx 1407 8 Esta equação tem caráter geral e é válida tanto para tubos lisos quanto rugosos Com este resultado passase ao Exemplo 23 EXEMPLO 23 Em um escoamento estabelecido num tubo de O 10 m de diâmetro a velocidade na linha central é igual a 30 ms e a 15 mm da parede do tubo é 26 ms Calcule o fator de atrito da tubulação e a vazão Equação 220 V max V u R 3026 005 O 133 25 ln 25 ln u m s y u 0015 Equação 128 e V 1 V V Vmáx 1407f18 V 054 30 Veja que resultado interessante Subtraia a Eq225 da Eq224 e a Eq232 da Eq23 l chegase ao mesmo resultado 375 25rn1 u R Como u v Jf fazendo y R v Vonax obtémse a equação ao lado portanto V 246 ms daí f 0023 e Q 246n0052 0019 m3s EXEMPLO 24 Água escoa em um tubo liso com número de Reynolds igual a 25000 Compare os valores da relação velocidade média V e velocidade máxima Vmáx calculados pela relação do exemplo anterior com o fator de atrito dado pela fórmula de Blasius sendo a relação calculada pela lei da raiz sétima de Prandtl ver resultado do Problema 11 Blasius f 0316 Re y2s 0 316 O 0251 2500025 daí V vmáx l 0814 l 407cJ0025 l 8 V 49 Lei da raiz sétima 0817 Vmáx 60 Os valores são praticamente iguais o que mostra que a fórmula de B lasius dentro da faixa 3000 Rey l 05 fornece bons resultados na deter minação do fator de atrito para tubos lisos 25 ESCOAMENTO TURBULENTO UNIFORME EM TUBOS COMERCIAIS O desenvolvimento analítico realizado nos itens anteriores apoiado em dados experimentais de Nikuradse levantados em tubos com rugosidades ar tificiais permitiu o estabelecimento de leis de resistência para os regimes hi draulicamente liso e rugoso Em 1939 Colebrook e White apresentaram uma formulação para o fa tor de atrito com particular referência à região de transição entre os escoamen tos hidraulicamente liso e rugoso trabalhando com tubos comerciais de vários materiais Tratase de uma engenhosa combinação dos argumentos dos loga ritmos das Equações 229 e 234 e que se ajusta bem aos dados experimentais de ensaios em tubos com rugosidade natural A fórmula de ColebrookWhite é dada por Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 45 1 I E 251 og f 37 1 D Re y f 235 Esta equação paiticularmente indicada para a faixa de transição entre os escoamentos turbulentos liso e rugoso tem sua condição de aplicabilidade no intervalo 1414 Reyf 198 DE Devese observar que a fórmula de ColebrookWhite se reduz às Equa ções 229 e 234 para os tubos lisos ou para os tubos rugosos se a rngosidade relativa tende a zero ou o número de Reynolds tende para infinito respectiva mente Posteriormente em 1944 Moody6 estendeu o trabalho e representou esta equação em um gráfico na forma do diagrama de Stanton que apresenta os eixos coordenados em graduação logarítmica com o fator de atrito f em orde nadas e o número de Reynolds em abscissas para vários valores da rugosidade relativa conforme Figura 27 A utilização da Equação 235 apresenta dificuldades computacionais uma vez que não se pode explicitar o valor de f mas pode ser explicitada em relação à velocidade média na fotma V22gDJlogE 25 Iv 371D D2gDJ 236 em que J é a perda de carga unitária e v a viscosidade cinemática Para sanar esta dificuldade algumas fórmulas explícitas e aproximadas para determinação do fator de atrito têm sido apresentadas na literatura entre elas a de SwameeJain 28 f 025 2 I E 574 og 37 D Re y 09 237 para 106 S ED S 102 e 5103 S Rey S l 08 6 Lewis Ferry Moody engenheiro ame ricano 18801953 D HidãUca Básica Cap 2 No mesmo trabalho SwameeJain apresentam expressões explícitas para o cálculo da perda de carga unitária Jmm da vazão Qm3s e do diâmetro Dm da tubulação cobrindo assim todos os problemas relativos ao dimen sionamento ou verificação de escoamentos permanentes em tubos circulares sem necessidade de processos iterativos As equações são as seguintes 0203Q 2 gD 5 J 2 l E 574 og 3 7 D Re y9 238 Q 1C l E 178 V D 2 jgDJ 2 og 37D DjgDJ 239 240 As Equações 237 e 238 foram colocadas em forma de tabelas para alguns valores da rugosidade absoluta e diâmetros das tubulações variando de 50 a 500 mm respectivamente nos Apêndices AI e A2 O uso das Tabelas A 1 e A2 apresentadas no Apêndice permite o cálcu lo rápido e prático dos mais diversos problemas em escoamento permanente em condutos forçados circulares Recentemente Swamee 29 apresentou uma equação geral para o cál culo do fator de atrito válida para os escoamentos laminar turbulento liso de transição e turbulento rugoso na forma f 8 95ln E 574 2500 6 16 0 125 Rey 37D Rey09 Rey 241 equação que foi utilizada para reproduzir o diagrama de Moody ver Figura 27 Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 010 1 1 1 1 1 li 1 009 Lami 1ar l 1rurbulência completa tubos rugosos 008 007 r 006 005 E 004 s tl 003 o i t 002 1 1 1 1r lr r r rt r r 0 r I r r r e t Í h R r h rr r1 1 I r1 Tubos lisos r1 11 1 1 I 001 10 10 10 10 10 Número de Reynolds Figura 27 Diagrama de Moody O gráfico da Figura 27 originado da Equação 241 permite a determi nação do fator de atrito f em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa para tubulações comerciais que transportem qualquer líquido O diagrama reproduz para os tubos de rugosidade comercial os mesmos aspectos mostrados no gráfico de Nikuradse Figura 26 A reta referente ao regime laminar conesponde ao fator de atrito f 64Rey da Equação 21 O e a curva envoltória inferior corresponde aos tubos lisos e para 3000 Rey 105 coincide com a fórmula de Blasius Equação 222 Para todos os tipos de escoamentos de laminar até hidraulicamente rugosó discutidos na Seção 23 deste capítulo o gráfico gerado a partir da Equação 241 mostra uma boa concordância com o tradicional diagrama de Moody apresentado na literatura Na maioria dos projetos de conduçãode água como em redes de dis tribuição de água instalações hidráulicosanitárias sistemas de irrigação sis temas de bombeamento etc as velocidades médias comumente encontradas 10 t oos 004 003 002 0015 ô 0010 0008 0006 0004 tl o 0002 OD o 000 00008 00006 00004 00002 00001 000005 10 47 t Hidcâlloa Bãsc Cap 2 estão em geral na faixa de 050 a 300 ms Admitindose diâmetros utiliza dos nestas aplicações na faixa de 50 a 800 mm os valores práticos dos nú meros de Reynolds localizamse no intervalo de 104 a 3 106 indicando no diagrama de Moody que em grande número de situações práticas os regimes são turbulentos de transição pois em geral as rugosidades absolutas das tu bulações utilizadas não são altas Para essa faixa de número de Reynolds pode se comparar a fórmula de ColebrookWhite com a fórmula de SwameeJain no cálculo do fator de atrito em um tubo de aço galvanizado com costura E 015 mm de 2 de diâmetro e verificar a adequabilidade do uso de uma equação explícita e aproximada A comparação está na Tabela 21 e mostra que as diferenças no valor de f são irrelevantes menores que 2 Tabela 21 Comparação entre as Equações 235 e 237 1 f Eq 235 Reynflds 1 Colcbroºolé 1 Whüe 104 00351 5 10 4 00286 105 00275 510 5 00264 00263 3106 00262 fEq 237 Swámee Jain 00357 00289 00277 00265 00264 00262 As rugosidades absolutas equivalentes dos diversos materiais utilizados na prática de condução de água são de difícil especificação devido aos proces sos industriais e grau de acabamento da superfície idade das tubulações etc A literatura apresenta tabelas de valores da rugosidade para diversos materiais com variações em faixas largas além de valores diferentes para o mesmo material em diferentes fontes de dados Sem dúvida a especificação da rugosidade da tubulação e a previsão de sua modificação com o tempo devido à alteração da superfície da parede muitas vezes causada pela própria qualidade da água coloca o projetista diante do problema difícil de determinar os fatores de atrito das tubulações exigin do experiência e bom senso A Tabela 22 condensada de várias fontes apre senta valores da rugosidade absoluta equivalente para os principais materiais utilizados em projetos de condução de água Os dados da Tabela 22 devem ser encarados como valores médios indicativos das rugosidades equivalentes Evidentemente resultados de testes Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações sobre determinados materiais em uma grande faixa de números de Reynolds quando disponíveis são preferíveis Tabela 22 Valores da rugosidade absoluta equivalente Aço comercial novo Aço laminado novo Aço soldado novo Aço soldado limpo usado Aço soldado moderadamente oxidado Aço soldado revestido de cimento centrifugado Aço laminado revestido de asfalto Aço rebitado novo Aço rebitado cm uso Aço galvanizado com costura Aço galvanizado sem costura Ferro forjado Ferro fundido novo Fe1To fundido com leve oxidação Ferro fundido velho Ferro fundido ccntrifügado Ferro fundido cm uso com cimento centrifugado Ferro fundido com revestimento asfáltico Ferro fundido oxidado Cimento amianto novo Concreto centrifugado novo Concreto armado liso vários anos de uso Concreto com acabamento normal Concreto protendido Freyssinet Cobre latão aço revestido de cpoxi PVC plásticos em geral tubos extrudados 004 a 010 005a0I0 015 a 020 04 010 005 l a 3 6 O 15 a 020 006 a 015 005 025 a 050 030 3 a 5 005 010 012a020 1 a 15 0025 016 020 a 030 1 a 3 004 00015a0010 Ensaios de perda de carga realizados em laboratório para tubulações metálicas em geral fornecem valores da rugosidade absoluta menores que os especificados na Tabela 22 Entretanto as condições em laboratório são con troladas e diferentes das instalações práticas onde podem ocorrer defeitos de alinhamento de juntas incrustações tipo de acabamento diferente de fabricante para fabricante etc 49 HidáUca Básica Cap 2 O número de Reynolds igual a 2300 chamado Reynolds crítico é aquele para o qual o escoamento turbulento muda para laminar É interessante observar o valor do expoente da velocidade nas expressões da perda unitária para os três tipos de escoamentos turbulento rugoso laminar e turbulento liso No primeiro o fator de atrito para um mesmo tubo é cons tante e portanto a perda de carga unitária é proporcional ao quadrado da velocidade e consequentemente ao quadrado da vazão na fonna J v 2 00827 fQ 2 D 2g D 5 242 No escoamento laminar a perda de carga unitária é proporcional à pri meira potência da velocidade Equação 21 O e no escoamento turbulento liso usando a fórmula de Blasius com 3000 Rey 105 temse 0 316 y 2 yJ75 yI75 Ql75 J 025 00161 vº25 125 000051 125 OOOO78i 7 Re y D 2g D D D 243 Portanto no referido domínio de Reynolds em um tubo com escoamen to turbulento liso a perda de carga unitária é proporcional à potência 175 da velocidade média A Equação 243 será posteriormente comparada à fórmula de FairWhippleHsiao utilizada em projetos de instalações hidráulicosani tárias EXEMPL025 Água flui em uma tubulação de 50 mm de diâmetro e 100 m de compri mento na qual a rugosidade absoluta é igual a E 005 mm Se a queda de pressão ao longo deste comprimento não pode exceder a 50 kNm2 qual a máxima velocidade média esperada Como Llp ylH 50103 98103 LlH LlH 510 m J LlHL 0051 mim O problema pode ser resolvido diretamente pela Equação 239 na forma Q rc l 005 178 106 005 2 J980050051 fi og 37 50 OO5j98 0050051 Q OOO29m3 s Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 51 então a velocidade média V 400029 n0052 148 ms Também de forma mais rápida pela Tabela A2 entrando com D 50 mm E 005 mm J 5 1 m100 me interpolando temse Q 289 1s V 147 ms perfeitamente compatível com o valor anterior EXEMPLO 26 Imagine uma tubulação de 4 de diâmetro material aço soldado novo rugosidade E O 1 O mm pela qual passa uma vazão de 11 1s de água Dois pontos A e B desta tubulação distantes 500 m um do outro são tais que a cota piezométrica em B é igual à cota geométrica em A Determine a carga de pres são disponível no ponto A em mH2O O sentido do escoamento é de A para B Como o diâmetro é constante e a vazão também a carga cinética nas duas seções é a mesma Assim a equação da energia entre A e B fica ZA PAI y zn pny H Como CPs zn pny zA temse pAy m isto é entre A e B a perda de carga é equivalente à carga de pressão disponível em A A perda de carga pode ser calculada pela fórmula universal de perda de carga Equação 120 H f V 2 D 2g com o fator de atrito calculado pela Equação 237 após determinar a veloci dade média V 140 ms e o número de Reynolds temse f º25 00217 l 010 574 2 og 37100 1400009 Portanto EA m o 0217 500 1 402 10 85 rnH o y 010 298 2 O valor de f também pode ser detemunado rapidamente pela Tabela A 1 com D 100 mm E 010 mm e V 140 ms Quando se utiliza a fórmula univer sal de perda de carga ou equação de DarcyWeisbach em um escoa mento turbulento em um conduto forçado que percentagem de erro se comete no cálculo da vazão se o fator de atrito f da tubulação for subestimado em 10 Cap 2 Combinando a Equação 237 com o resultado do Problema 21 neste capítulo mostre que para um tubo de aço de 030 m de diâmetro e ru gosidade absoluta E 03 mm o escoamento fica independente da viscosidade do fluido para números de Reynolds a partir de Rey 14106 Confirme este resultado usando o diagrama de Moody Figura 2 7 EXEMPLO 27 Um ensaio de campo em uma adutora de 6 de diâmetro na qual a vazão era de 265 1s para determinar as condições de rugosidade da parede foi feito medindose a pressão em dois pontos A e B distanciados 1017 m com uma diferença de cotas topográficas igual a 30 m cota de A mais baixa que B A pressão em A foi igual a 686 Ncm2 e em B 206 Ncm2 Determine a rugosidade média absoluta da adutora Vn0152 QVA 26510 3 Vl50ms Rey225105 4 PA 686 Ncm2 686104 Nm2 pgHA 10398 HA HA 700 mH2O PB 206 Ncm2 206104 Nm2 pgHll 10398 HB HIJ 210 mHzO CPA PAIY ZA 700 00 700m e CPB 21 0 30 510 m Como a carga cinética é constante e CPA CP8 o escoamento ocor re de A para B 700 51 LiHAB L V 2 1017 1502 LiHAn 190m f f f 00244 D 2g 015 196 Equação 237 O 0244 º25 I E 574 2 og 3 7 150 225000º9 E 03mm 26 FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA O ESCOAMENTO TURBULENTO Como foi visto a perda de carga unitária no escoamento hidraulicamente turbulento rugoso em que o fator de atrito não depende do número de Cap 2 Reynolds vaiia proporcionalmente ao quadrado da velocidade média Existem várias fónnulas empíricas equações de resistências aplicáveis às tubulações de seção circular que podem de maneira geral ser representadas na fonna Q JK 0111 244 em que os parâmetros K nem são inerentes a cada formulação e faixa de apli cação em geral com valores de K dependendo só do tipo de material da parede do conduto No caso de comparar a fó1mula universal Equação 242 que possui embasamento teórico com a Equação geral 244 os parâmetros assumem os seguintes valores K 00827f n 2 em 5 no escoamento tmbulento Como K depende de f e este por sua vez depende do material e do grau de turbulên cia tais fónnulas apesar da praticidade têm limitações de uso 261 FÓRMULA DE HAZENWILLIAMS Dentre as fónnulas empÍlicas mais utilizadas p1incipalmente na prática da Engenharia Sanitária americana encontrase a de HazenWilliams cuja expres são é Ql85 J 1065 1 85 4 C D 245 em que Jmm é a perda de carga unitária Q m3s a vazão Dm o diâme tro e C mº367s o coeficiente de rugosidade que depende da natureza e estado das paredes do tubo A Equação 245 é recomendada preliminarmente para a escoamento turbulento de transição b líquido água a 20 C pois não leva em conta o efeito viscoso e diâmetro em geral maior ou igual a 4 d origem experimental com tratamento estatístico dos dados e aplicação redes de distribuição de água adutoras sistemas de re calque A fó1mula de HazenWilliams pode ser tabelada para vários diâmetros e coeficientes de rugosidade na forma J Q185 nas unidades JmlOOm Dm e Qm3s conforme Tabela 23 Escoamento Uniforme em Tubulações 53 Em um ensaio em laboratório de uma tubulação de aço soldado moderadamente oxidado com 4 de diâmetro a pessão medida no manômetro em uma seçao A vale 15 kgfcm2 Sabendo que o escoamento está na iminência de ser turbulento hidraulicamente rugoso turbulência completa determine a tensão de cisalhamento na parede da tubulação e a vazão Dado viscosidade da âgua v 10a m2 s No escoamento de água em um trecho horizontal de uma tubulação com rugosidade absoluta t 12 mm e diâmetro D 010 m observase uma queda de pressão APL 250 Nm 3 Classifique o tipo de escoamento determine o fator de atrito e a vazão Dado v 1 Oe m2s D pol 2 2½ 3 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20 1àbela 23 Valores da constante P da fórmula de HazenWilliams VALORES D1 coNst iNIB p PARA Q ni3s J ili100 m D C 90 C 100 C110 C l20 e üó e 140 C 150 m 0050 5593x 105 4602x105 3858xl Os 3285xl0s 2832xl Os 2470xl0s 2 174x 1 Os 0060 230 X ÜS 1894xOs l 588xl os 1325xl 05 11 66xl Os 1 OI 6xl0s 8945xl 04 0075 7763xl04 6388x104 5356xl04 4559xl 04 3932xl04 3428xl04 30 l 7x 10 4 0 100 1912x104 1574xl0 4 1319x 104 1J 23x 104 9686xl 03 8445xl03 7433x 103 0125 645 X 03 5308xl03 445 xi 03 3789x103 3267x l03 2849xl 03 2507x103 0150 2655x103 2185xl03 1831 xl03 l559xl03 1345x 103 1 172xJ03 l 032xl03 0200 6540x102 5382x 102 4512xl02 384lxl02 3312x l02 2888xl02 2542x102 0250 2206xl02 1815x102 l 522x 102 1296xl02 1117xl02 97417 85744 0300 90785 74707 62630 53318 45980 40089 35285 0350 42853 35264 29563 25168 21704 18923 16656 0400 22365 18404 15429 13135 11 327 9876 8692 0450 12602 10370 8694 7401 6383 5565 4898 0500 7544 6208 5204 4431 3821 3331 2932 Os valores indicativos dos coeficientes de rugosidade para os materiais mais comuns são mostrados na Tabela 24 1àbela 24 Valores do coeficiente C Adaptado de 4 Aço corrugado chapa ondulada C60 Aço com juntas lockbar tubos novos 130 Aço com juntas lockbar em serviço 90 Aço galvanizado 125 Aço rebitado tubos novos 110 Aço rebitado em uso 85 Aço soldado tubos novos 130 Aço soldado em uso 90 Aço soldado com revestimento especial 130 Cobre 130 Concreto bom acabamento 130 Concreto acabamento comum 120 Ferro fundido novos 130 Ferro fundido após 1520 anos de uso 100 Ferro fundido usados 90 Ferro fundido revestido de cimento 130 Madeiras em aduelas 120 Tubos extrudados PVC 150 Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 55 262 COMPARAÇÃO ENTRE A FÓRMULA DE HAZENWILLIAMS E A FÓRMULA UNIVERSAL Com a finalidade de verificar a adequabilidade da fórmula prática de HazenWilliarns na qual o coeficiente de rugosidade além de não ser adi mensional independe do número de Reynolds podese igualar as perdas de cargas unitárias correspondentes às duas formulações como yl 85 681 185 117 C D f y2 D 2g expressão que após desenvolvida fica e 43 fos4 Re yoos1 0 0011 246 Esta expressão foi posta em forma de gráfico para diâmetros de 50 100 150 e 200 mm números de Reynolds na faixa de 104 a 107 e quatro tipos de rugosidade absoluta E 00 mm rigorosamente liso E 0005 mm PVC E 005 mm aço laminado novo e E 05 mm tubo mgoso conforme Fi gura 28 Podese concluir dos gráficos da Figura 28 que a Para tubos rigorosamente lisos E 00 mm a fórmula de Hazen Williams pode se constituir de uma razoável aproximação para valo res de Reynolds superiores a 5106 e D 150 mm Figura 28a Evidentemente tal tubo não existe na prática b Para tubos dePVC o valor adotado da mgosidade E 0005 mm realmente corresponde a valores de Centre 150 e 155 e mostra que para os diâmetros maiores na faixa de número de Reynolds entre 5 l 05 e 106 a equação prática pode ser usada Fora disto é inadequada Figura 28b e Para valores de Centre 140 e 150 e valores de Reynolds relativamen te baixos 5104 a 105 existe uma razoável aproximação na região do regime turbulento de transição para D 100 mm Figura 28c d Para valores de C inferiores a 120 e elevados números de Reynolds que caracteriza escoamento turbulento mgoso Figura 28d a fórmu la de HazenWilliams é inadequada Considere um escoamento turbulento liso com vazão Q Se a vazão for aumentada em 50 continuando ainda escoamento turbulento liso que variação sofrerá a perda de carga unitária Cap 2 165 160 C a E 00 mm e b 0005mm 160 155 150 145 140 1E05 Rey 1E06 D 50mm D 100 mm 155 150 145 140 135 130 T D 50 mm 125 o 100 m D 150 mm D 150 mm D200mn 120 IJ x D200mmL 1E07 1E04 1E05 Rey 1E06 135 1E04 150 e r 005 mm 1E07 d e 05 mm e e 120 140 110 130 100 120 90 110 80 o SOmm ao tt0100m D50mm 70 D 100 m D150 m D150m ED 200 mm 90 lcc 60 0200md 1E04 1E05 Rey 1E06 1E07 1E04 1E05 Rcy 1E06 1E07 Figura 28 Adequabilidade da fórmula de HazenWilliams Portanto o coeficiente de rugosidade C além de depender do diâmetro é afetado pelo grau de turbulência não caracterizando uma categoria de tubos como especificado nas tabelas que acompanham a fó1mula de HazenWilliams A fórmula de HazenWilliams a despeito de sua popularidade entre projetistas deve ser vista com reservas Em problemas de condução de água que pela sua importância exija avaliação das perdas de cargas tão rigorosa quanto possível diante da incerteza sobre o tipo de escoamento turbulento devese utilizar a fórmula universal com o fator de atrito determinado pela Equação 235 ou 237 263 FÓRMULA DE FAIRWHIPPLEHSIAO Em projetos de instalações prediais de água fria ou quente cuja topologia é caracterizada por trechos curtos de tubulações variação de diâmetros em ge Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações ral menores que 4 e presença de grande número de conexões é usual a uti lização de uma fórmula empírica na forma a Material aço galvanizado novo conduzindo água fria Q l88 J 0002021 D488 Qm3s Dm e Jm m 247 b Material PVC rígido conduzindo água fria Q5 J 00008695 D475 Qm3s Dm e Jm m 248 Devese observar que os expoentes da Equação 247 estão bem próxi mos dos expoentes da fórmula de HazenWilliams e que a Equação 248 para tubo de PVC liso é praticamente idêntica à Equação 243 na qual foi usa da a fórmula de Blasius A fórmula de FairWhippleHsiao para ambos os ma teriais aço galvanizado e PVC é recomendada pela ABNT no projeto de água fria em instalações hidráulicosanitárias Para facilitar o uso as Equações 247 e 248 podem ser tabeladas para os diâmetros nonnalmente utilizados em instalações prediais na forma J Q 111 com Jmm e Q e s Como para o tubo de PVC o diâmetro nominal uti lizado pelos fabricantes é o diâmetro externo os valores de foram calcula dos para os diâmetros internos reais diâmetro externo menos duas espessuras ela parede Na Tabela 25 os coeficientes para PVC foram determinados para tubos com junta soldável marrom e junta roscável branco classe 15 e pres são ele serviço ele 075 MPa Para os tubos ele PVC com junta soldável are lação entre o diâmetro externo e o diâmetro ele referência vale 25 32 40 50 60 75 85 110 34 I 14 I 12 2 2 12 3 4 Tabela 25 Valores da constante p da fórmula de FairWhippleHsiao para Q Is e J mim J JóI 34 1162 041668 05746 2 l 034x 102 000561 0007 19 3044xl0 1 o 12024 0 1653 2 12 3346x 103 000190 000201 1 14 9 125x 102 003919 00431 3 l 429x 10 000104 000089 I 12 3945x 102 001358 00241 4 0351xl03 000031 000025 57 1 1 G Básl Cap 2 27 CONDUTOS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR Nos itens anteriores foi vista uma série de formulações que refletem as relações entre a perda de carga a dimensão da tubulação circular e a característica do escoamento No caso das seções circulares existe uma simetria axial do escoamento o que resulta em uma distribuição uniforme da tensão de cisalhamento no perímetro No caso de condutos de geometria diversa da circular o efeito de forma da seção influi em tal distribuição de tensões e conseqüentemente no fator de atTito Em tais seções desenvolvemse escoa mentos secundários e a distribuição de velocidade não tem simetria de modo que a tensão cisalhante tende a ser menor nos cantos da seção que a média em todo o perúnetro Notratamento analítico de seções não circulares admitese que a tensão tangencial média ao longo do perímetro molhado da seção varie de modo similar à indicada na Equação 127 em que f tem o mesmo significado do fator de atri to nas tubulações circulares e só diferirá daquele de uma certa proporção que leve em conta a forma geométrica da seção Igualandose as Equações 125 e 127 chegase a r yRh JpfV2 Jf E y2 0 8 8Rh y que pode ser escrita na forma f y2 J 4Rh 2g 249 A expressão anterior é idêntica à das tubulações circulares Equação 242 em que unicamente aparece 4 Rh no lugar de D Desta forma concluise que no cálculo de um conduto de seção qualquer podese determinar um dii metro equivalente ou diâmetro hidráulico de uma seção circular que tenha a mesma perda de carga que a seção considerada Este diâmetro equivalente é igual a quatro vezes o raio hidráulico da seção Como a seção circular plena tem Rh D4 evidentemente o diâmetro hidráulico desta seção é o próp1io diâmetro geométrico Esta aproximação geométrica é tão mais válida quanto mais o valor do raio hidráulico da seção se aproximar da relação D4 do seu círculo circuns crito Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações Assim a fórmula universal de perda de carga pode ser generalizada com o conceito de diâmetro hidráulico da seção de interesse na forma 250 observando que o fator de atrito pode ser determinado no diagrama de Moody ou pela Equação 237 redefinindose o número de Reynolds e a rugosidade relativa da tubulação respectivamente como VD V4R e E Rey V V Dh sendo V a velocidade média na seção original EXEMPLO 28 O sistema de abastecimento de água de uma localidade é feito por um reservatório principal com nível dágua suposto cons tante na cota 81200 m e por um reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede nas horas de aumento de consumo com nível dágua na cota 80000 m No ponto B na cota 76000 m iniciase a rede de distribuição Para que valor particu lar da vazão de entrada na rede QB a linha piezométrica no sis tema é a mostrada na Figura 29 Determine a carga de pressão disponível em B O material das adutoras é aço soldado novo Utilize a fórmula de HazenWilliams desprezando as cargas ci néticas nas duas tubulações Pela situação da linha piezométrica podese concluir que o abastecimento da rede está sendo feito somente pelo reservatório superior o reservatório de sobra está sendo abastecido pois a cota piezométrica em B é superior a 80000 m e também as perdas de 251 Figura 29 Exemplo 28 carga unitárias nos dois trechos são iguais mesma inclinação da linha pie zométrica Deste modo J1 Ji 812800650420 00112 mim Pela Tabela 24 o valor do coeficiente de rugosidade vale C 130 e podese determinar as vazões nos dois trechos pela Tabela 23 como Trecho AB D1 6 C 130 e J1 112 m100 m 1345103 en tão 59 B HidcáUca Bãsca Cap 2 Considere dois tubos escoando água sob pressão um de seção quadrada de lado a e outro circular de diâmetro o Qual a relação entre a e D para que as seções tenham o mesmo raio hidráulico Trecho BC D2 4 C 130 e z 112 m100 m 9686103 en tão J2 Q85 112 9686103 Q85 Q2 000745 m3s Portanto a diferença está sendo consumida pela rede Qs 142 1s A cota piezométrica em B é igual ao NA do reservatório principal menos a perda de carga entre A e B CP8 81200 LlHA13 81200J1 L 18120000112650 80472m portanto a carga de pressão disponível em B é a diferença entre a cota piezo métrica e a cota geométrica no ponto PB 80472 76000 4472 mH20 p 8 43826 kN n y EXEMPLO 29 Determinar a perda de carga unitária em um conduto semicircular com fundo plano de concreto armado liso 15 m de diâmetro transportando como conduto forçado água com velocidade média de 30 ms Parâmetros geométricos AnD 2 n l52 0884 m2 ePDnD l51tl5 3856111 8 8 2 2 R1i AP 08843856 0229 m D1i 4R1i 0917 m Concreto armado liso E 025 mm 025103 0273103 0917 R VDh 300917 6 e Y v 10 6 2751 O pela Equação 237 f 0015 Portanto a perda de carga unitária vale f V 2 0015 302 J O 0075 m m Üh 2g 0917 196 Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 28 PROBLEMAS 21 Mostre que a condição u E 70 corresponde a Re yf 198 V DE 22 Mostre que a distribuição de velocidade em um tubo rugoso de raio R pode ser expressa por vmáx V 204 log 1 Jf V R em que V é a velocidade média na seção R o raio e r a distância do centro ao ponto onde a velocidade é v 123 A fim de detenninar a tensão de atrito exercida por um fluido sobre a pa rede de um tubo rugoso as velocidades v1 e v2 são medidas na região turbu lenta nas distâncias y1 e y2 da parede do tubo Mostre que a tensão de atrito é dada por 24 Utilizando o conceito de comprimento de mistura e e o perfil de velo cidade da lei da raiz cnési ma 1n váx em que n é um número inteiro e R o raio da canalização mostre que 11 f K y em que K é a constante de von Kármán 1n 61 HdáoUca Básica Cap 2 3 25 Mostre que a Equação 231 pode ser escrita como 5751og 2984y u E 26 Em um ensaio de laboratório sobre perda de carga em um tubo de PVC rígido de 2 de diâmetro em que o número de Reynolds é 5101 qual o mai or erro relativo que se comete no cálculo do fator de atrito f usando a fórmula de SwameeJain com coeficiente de rugosidade E 00015 mm ou usando a fórmula de Blasius em relação à equação teórica dos tubos lisos Erro 1 15 27 Água escoa em um tubo liso E 00 mm com um número de Reynolds igual a 106 Depois de vários anos de uso observase que a metade da vazão original produz a mesma perda de carga original Estime o valor da rugosidade relativa do tubo deteriorado ED 00175 28 Medições de velocidades feitas em um tubo muito rugoso levaram aos seguintes resultados 060 330 Determine a velocidade média e o fator de atrito V 287 ms f 0029 29 Água escoa em uma tubulação de rugosidade relativa ED 0002 e Rey 105 Quando a tubulação é trocada por outra de mesmo material com diâme tro igual a 23 do diâmetro original a perda de carga unitária nas duas situa ções é a mesma Detetmine a velocidade média na tubulação de menor diâmetro em relação à velocidade média na tubulação original Sugestão use as Equa ções 221 e 226 V2 077 V1 210 Em uma tubulação circular a medida de velocidade do escoamento a uma distância da parede igual a 05 R em que R é o raio da seção é igual a Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações 90 da velocidade na linha central velocidade máxima Determine a relação entre a velocidade média V e a velocidade central Vrnáx e a rugosidade relati va da tubulação Sugestiio utilize o resultado do Exemplo 22 e as Equações 220 e 234 V 0784 Vrnáx ED 00147 211 Dado um tubo circular e outro não circular ambos tendo o mesmo pe rímetro P para um escoamento turbulento de um líquido ele viscosidade cinemática v e vazão Q em ambos os tubos mostre que a o número de Reynolds é o mesmo em ambas as situações e dado por Rey 4 QP v b a perda de carga unitária no tubo não circular é relacionada à perda de carga unitária no tubo circular pela expressão em que os subscritos c e n indicam circular e não circular fé o fator ele atrito e A a área geométrica da seção 212 Água escoa em regime permanente em uma tubulação de aço galvaniza do E O 15 mm com diâmetro ele 100 mm de modo que o número de Reynolds vale 15 105 Determine a força de atrito na parede ela tubulação por unidade ele comprimento F 206 Nm 213 Uma única camada de esferas ele aço é fixada no piso de vidro ele um canal bidimensional aberto Água com viscosidade cinemática igual a 93 107 m2s flui no canal com uma profundidade de 030 m sendo a velocidade na su perfície igual a 025 ms mostre que para esferas de 72 mm de diâmetro e de 03 mm de diâmetro o fundo do canal pode ser classificado corno completa mente rugoso e liso respectivamente Assuma um perfil ele velocidade lo garítmico no canal 214 Em relação ao esquema de tubulações cio Exemplo 28 a partir de que vazão Q8 solicitada pela rede de distribuição ele água o reservatório secundá rio de sobras passa a ser també m abastecedor Qs 2836 1s 63 tJ HidcãUca Bâsica Cap 2 A Figura 210 Problema 216 215 Com que declividade constante deve ser assentada uma tubulação retilínea de ferro fundido novo E 025 mm de 010 m de diâmetro para que a carga de pressão em todos os pontos seja a mesma Vazão de água a ser transporta da 11 1s I 00262 mm 150m B Na tubulação da Figura 2 1 O de diâmetro O 15 m a carga de pressão disponível no ponto A vale 25 mH2O Qual deve ser a vazão para que a carga de pressão disponível no ponto B seja de 17 mfüO A tubulação de aço soldado novo C 130 está no plano vertical Q 289 1s tJef Detennine o diâmetro de uma adutora por gravidade de 850 m de comprimento ligando dois reservatórios manti dos em níveis constantes com diferença de cotas de 175 m para transportar uma vazão de água de 30 1s Material da tu bulação aço galvanizado com costura novo E O 15 mm D 015 m 218 Um sistema de transporte de água entre dois reservatórios com diferença de nível de 12 m é feito por uma tubulação de 1100 m de comprimento e 020 m de diâmetro e uma bomba para o recalque Observase que para o fluxo ascendente recalque e para o fluxo descendente escoamento por gravidade a vazão é a mesma Se o rendimento da bomba é de 70 determine sua po tência Rugosidade absoluta da tubulação E 025 mm Pot 1477 kW 20 cv 219 Determine a perda de carga em um conduto retangular de seção 050 m x 020 m de aço comercial novo E 0045 mm com 620 m de comprimento transp01tando 1 1 O 1s de água Viscosidade cinemática da água v 1 o6 m2s tH 212 m 220 Em uma adutora de 150 mm de diâmetro em aço soldado novo E 010 mm enterrada está ocorrendo um vazamento Um ensaio de campo para levan tamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos A e B distanciados em 500 m No ponto A a cota piezométrica é de 65758 me a vazão de 3888 1s Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações e no ponto B 64343 m e 31 81 1s A que distância do ponto A deverá estar lo calizado o vazamento Repita o cálculo usando a fórmula de HazenWilliams a x 355 m bx 275 m 221 Em uma tubulação horizontal de diâmetro igual a 150 mm de ferro ftm dido em uso com cimento centrifugado foi instalada em urna seção A uma mangueira plástica piezômetro e o nível dágua na mangueira alcançou a altura de 420 rn Em urna seção B 120 rn à jusante de A o nível dágua em outro piezômetro alcançou a altura de 240 m Determine a vazão Q 265 1 1s 222 Usando o resultado do Problema 2 1 e a fórmula de SwameeJain Equa ção 237 encontre uma relação implícita do fator de atrito ou do número de Reynolds em função da rugosidade relativa ela tubulação ED e usea para re solver o seguinte problema A ligação entre dois reservatórios mantidos em ní veis constantes é feita por uma tubulação ele 450 m ele comprimento 6 de diâmetro e rugosidade absoluta E 09 mm Determine o mínimo desnível entre os reservatórios para que o escoamento de água ainda seja francamente turbulento rugoso H 741 m 223 A ligação entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes é feita por duas tubulações em paralelo A primeira com 1500 m de comprimento 300 mm de diâmetro com fator de atrito f 0032 transporta uma vazão de 0056 m3s de água Determine a vazão transportada pela segunda tubulação com 3000 rn de comprimento 600 mm de diâmetro e fator de atrito f 0024 Q 0258 m3s 224 Se o diâmetro de uma tubulação de aço rebitado for duplicado que efei to isto provoca na vazão para uma dada perda de carga constante consideran do que ambos os escoamentos são laminares Q2 16Qi 225 Determine qual o tempo mínimo necessário para esvaziar a seringa de diâmetro igual a 12 cm mostrada na Figura 211 de modo que o escoa mento de água no interior da agulha de diâmetro igual a 04 mm ainda seja laminar Detetmine também o valor da força F necessária para ser apli cada ao êmbolo da seringa Despreze o volume de Figura 211 Problema 225 65 4cm água dentro da agulha e o atrito entre o êmbolo e a seringa Adote Reycit 2300 Vis cosidade cinernátiii1 da água v 1 o6 m2s t 1878 s F 5 19 N Considere o escoamento permanente de água em uma tubulação retilínea de 200 m de comprimento de um certo material com diâmetro igual a 12 Em uma seção A na cota 10000 rn a altura d água em um piezôrnetro é de 30 me em uma seção B na cota 10050 m a altura dágua em um piezômetro é de 20 rn Determine a o sentido do escoamento b a vazão que escoa Suponha escoamento laminar e depois verifique se a hipótese está correta a Sentido A B b Q 0015 1s 227 Considere o escoamento de água em um conduto forçado de seção qua drada de lado ª Para uma determinada vazão determine a relação entre o fator de atrito f da fórmula universal e o coeficiente C de rugosidade da fórmula de HazenWilliams para que a perda de carga unitária seja a mesma nas duas formulações Utilize o conceito de diâmetro hidráulico nas duas equações f J2878a 0 13 c18s Qo1s 228 Um fluido de viscosidade µ 00048 Nsrn2 e densidade igual a 090 flui em uma tubulação lisa de 030 m de diâmetro com velocidade média de 15 ms Calcule a tensão de atrito e a velocidade a 100 mm cio eixo da tubu lação t 312 Nm2 V100 159 ms 229 Em um escoamento turbulento de água em um tubo de 300 mm de diâ metro a tensão ele cisalhamento na parede é de 50 Nm2 e a velocidade central é 20 ms Determine a vazão a perda ele carga unitária e a que distância da parede ocorre a velocidade média e o gradiente de velocidade a 25 mm da li nha central Cap 2 Escoamento Uniforme em Tubulações Q O 121 m3s J 680 l 03 mim y 29 mm 3347 mm dV dy 14 1 msm Água escoa em um tubo de 50 mm de diâmetro e rugosidade absoluta E 08 mm A velocidade na linha de centro é de 30 ms Determine a perda de carga em 30 m de tubo LH 072 m Considerando o escoamento turbulento hidraulicamente rugoso em todas as tubulações colocadas em um plano horizontal e mostradas na Figura 212 determine a vazão através dos trechos 2 e 3 interligados no ponto A em função da vazão de entrada Qo sabendo que os tubos são feitos do mes mo material e têm o mesmo diâmetro Assuma que o fator de atrito f dos três trechos é constante 67 Figura 212 Problema 231 232 Sabendo que o escoamento de água em uma certa tubulação circular é turbulento hidraulicamente rugoso qual é o acréscimo percentual na perda de carga unitária quando aumentamos a vazão em 10 Este cálculo imediato pode ser feito se o escoamento for turbulento hidraulicamente liso Por quê A perda de carga unitüria aumenta em 2 1 Não c4 Determinar a relação entre a vazão máxima e a vazão mínima que pode ser retirada na derivação B con forme Figura 213 impondo que o reservatório 2 nunca seja abastecido pelo reservatório I e que a mínima car ga de pressão disponível na linha seja 10 mfüO Utili ze a fórmula de HazenWilliams Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas QmíxQmín 189 A Figura 213 Problema 233 Uma tubulação de 030 m de diâmetro e 32 km de comprimento desce com inclinação constante de um reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 150 m para outro reservatório cuja su perfície livre está a uma altitude de l 20 m conectandose aos reservatórios em pontos situados a 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres A vazão através da linha não é satisfatória e instalase uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão desejado Supondo que o fator de atri to da tubulação seja constante e igual a f 0020 e que o rendimento da bomba seja de 80 determine Cap 2 300 m e 8 Figura 214 Problema 235 A Fi6llra 215 Problema 236 vazão original do sistema por gravidade a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de 015 m3s c as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba despre zando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora d desenhe as linhas de energia e piezométrica após a instalação da bom ba nas condições do item anterior Sugestão reveja a Equação 136 observando os níveis dágua de mon tante e jusante a Q 0117 m3s b Pot 3493 kW 475 cv c PamcslY 661 mH2O d PdepoisfY 2561 nifhO D 2 460111 E C6s Na Figura 214 os pontos A e B estão conectados a um reservatório mantido em nível constante e os pon tos E e F conectados a outro reservatório também man tido em nível constante e mais baixo que o primeiro Se a vazão no trecho AC e igual a 10 1s de água determi F nar as vazões em todas as tubulações e o desnível H entre os reservatórios A instalação está em um plano horizon tal e o coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen Willians ele todas as tubulações vale C 130 Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas nas tubula ções QBc 2911s Qco 3911s QoE 2073 1s Qor 1837 1 s H 647 m Determinar o valor da vazão Q8 e a carga ele pressão onto B sabendo que o reservatório l abastece o reserva tório 2 e que as perdas ele carga unitárias nas duas tubulações são iguais Material aço soldado revestido com cimento centrifugado Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas Q13 1229 1s pty 2348 mH2O 3 PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 31 INTRODUÇÃO As instalações de transporte de água sob pressão de qualquer porte são constituídas por tubulações montadas em seqüência de eixo retilíneo unidas por acessórios de natureza diversa como válvulas curvas derivações regis tros ou conexões de qualquer tipo e eventualmente uma máquina hidráulica como bomba ou turbina A topologia do sistema é a mais variada desde uma linha única em uma instalação de bombeamento até uma rede de distribuição em uma instalação predial ou sistema de irrigação Nos trechos retilíneos de diâmetro constante e mesmo material a perda de carga unitária é constante desde que o regime seja permanente A presença de cada um destes acessórios necessários para a operação do sistema concorre para que haja alteração de módulo ou direção da veloci dade média e conseqüentemente de pressão localmente Isto se reflete em um acréscimo de turbulência que produz perdas de carga que devem ser agrega das às perdas distribuídas devido ao atrito ao longo dos trechos retilíneos das tubulações Tais perdas recebem o nome de perdas de carga localizadas ou sin gulares Para a maioria dos acessórios ou conexões utilizados nas instalações hidráulicas não existe um tratamento analítico para o cálculo da perda de carga desenvolvida Tratase de um campo eminentemente experimental pois a ava liação de tais perdas depende de fatores diversos e de difícil quantificação A presença do acessório na tubulação altera a uniformidade do escoa mento e apesar da denominação perda de carga localizada a influência do acessório sobre a linha de energia se faz sentir em trechos a montante e a jusante de sua localização A Figura 31 mostra uma situação esquemática da presença de um estrangulamento diafragma em uma tubulação destacando se dois trechos de interesse No trecho 12 a montante onde ocorre uma con vergência das linhas de corrente há uma aceleração do movimento e alteração no petfil de velocidade contribuindo para um acréscimo na intensidade da tur bulência do escoamento principal Do mesmo modo a jusante trecho 23 a 69 G Hdcáoll ás Cap 3 Q 1 i 8h rJJL LE real 1 cb cl Figura 31 Perda de carga localizada em um estran gulamento desaceleração de forma mais efetiva provoca a formação de redemoinhos às expensas da energia do fluido energia esta que se transforma em calor quando o processo turbilhonar cessa após o escoamento ser novamente estabelecido Assim há uma variação contínua no desenvolvimento da linha de energia entre as seções 1 e 3 para efeito prático convencionase representar esta variação de modo concentrado na seção da singularidade que a provoca seção 2 O desenvolvimento da linha de energia a montante e a jusante do acessório trechos caracterizados por um escoamento permanente e rapidamente variado difere para cada tipo de geometria da singularidade 32 EXPRESSÃO GERAL DAS PERDAS LOCALIZADAS De modo geral as perdas de carga localizadas para cada acessório po dem ser expressas por uma equação do tipo y2 h K m 2g 31 em que K é um coeficiente adimensional que depende da geometria da cone xão do número de Reynolds da rugosidade da parede e em alguns casos das condições do escoamento como a distribuição de vazão em uma ramificação V é uma velocidade média de referência em geral nas peças em que há mudança de diâmetro tomada como a velocidade média na seção de menor diâmetro Em geral o coeficiente K determinado experimentalmente para valores do número de Reynolds suficientemente elevados maiores que 105 tornase independente deste assumindose em situações práticas um valor constante re tirado das tabelas e gráficos apresentados na literatura Devese observar que os valores recomendados do coeficiente K que serão apresentados na seqüência e extraídos de várias fontes para alguns tipos de singularidades devem ser entendidos como valores médios uma vez que a sua determinação experimental é afetada por diversos fatores Para uma deter minada conexão de um certo diâmetro a perda de carga depende do tipo de acabamento interno da conexão existência de rebarbas ou ângulos vivos e até das condições da instalação no ensaio como fixação da peça flangeada ou roscada aperto de rosca etc Deste modo a mesma conexão originada de fa bricantes diferentes costuma apresentar nos ensaios valores diferentes do coe ficiente K Cap 3 P de Cago Localiadas D A Figura 32 mostra o resultado do levantamen to do coeficiente K em um cotovelo 45 de 1 ½ de diâmetro ferro galvanizado realizado no Laboratório de Hidráulica da Escola de Engenharia de São Carlos para a Industria de Fundição Tupy 33 VALORES DO COEFICIENTE K PARA ALGUMAS SINGULARIDADES 331 ALARGAMENTOS E ESTREITAMENTOS A mudança de diâmetro em uma linha de tubula 030 029 028 027 026 025 024 023 022 021 020 o 20000 40000 60000 Rey 80000 1 1 100000 120000 ções pode ser feita de modo brusco ou gradual seja por aumento alargamento ou diminuição estreitamento da seção transversal No caso de um alargamento bmsco como na Figura 33 a perda localizada ocotTe pela desa Figura 32 Curva K x Reynolds para um cotovelo de 45 celeração do fluido no trecho curto entre as seções l e 2 de áreas A1 e A2 respectivamente A determinação da perda localizada neste caso permite um tratamento analítico pela aplicação do teorema da quantidade de movimento e da equação da energia ao fluido que ocupa o volume de controle limitado pelas seções l e 2 Observase experimentalmente que a pressão na áreaAB é em média aproxima damente igual à pressão na seção 1 e a flutuação se deve aos rede moinhos na zona morta fora do escoamento principal Para o volume de controle escolhido a aplicação do teorema da quantidade de movimento no regime permanente e uniforme leva a T 1 âh l v12g LP Figura 33 Alargamento brusco 32 em que I Fx é o somatório de todas as forças que atuam sobre o líquido con tido no volume de controle na direção x p Q é a vazão em massa através das seções 1 e 2 e V as velocidades médias do escoamento estabelecido Aplican do a Equação 32 e desprezando o atrito entre o fluido e a parede da tubula ção fica 33 A equação da energia Equação 1 11 a aplicada entre as seções 1 e 2 na qual a perda total entre as seções é somente a perda localizada devido à sin gularidade tornase v Cap 3 1 Jean Charles Borda matemático e oficial de marinha francês 17331799 e Lazare Carnot engenheiro francês 17531823 Figura 34 Passagem de uma tubu lação para um reservatório 34 Eliminando a diferença de pressão p 1 p2 nas duas equações anteriores e desenvolvendo vem 35 Esta equação que reproduz bem o valor da perda de carga levantada experimentalmente no alargamento brusco é conhecida como equação de Bor daCarnot 1 Como na situação de um alargamento brusco V 1 V2 a seguinte desi gualdade é válida 36 indicando que há uma recuperação da pressão na seção 2 à custa da diminui ção da carga cinética e que a linha piezométrica sobe no sentido do escoamen to conforme comentado na Seção 122 e verificado na Figura 33 No caso particular importante da passagem em aresta viva de uma ca nalização para um reservatório de grandes proporções situação em que a ve locidade é nula no trecho de maior seção reservatório pois A2 oo o valor de K é igual à unidade indicando a perda total da carga cinética como na Figura 34 Para uma contração brnsca o escoamento tem características semelhan tes à expansão na qual primeiro o fluido se afasta da fronteira sólida na forma de uma contração do jato e então se expande para preencher totalmente a se ção de menor diâmetro a jusante Pelo fato de a perda de carga no fluxo ace lerado ser bem menor que no fluxo desacelerado a perda entre as seções 1 e O na Figura 35 pode ser desprezada de modo que a perda entre as seções O e 2 seja tomada como a perda localizada na singularidade Usando a Equação 35 vem 37 em que V O é a velocidade média do jato na seção de menor di âmetro chamada seção contraída cuja área é usualmente expres sa através do conceito de coeficiente de contração e na forma 38 v Cap 3 Pedas da eaga LocaUadas B Figura 35 Contração brusca Utilizandose a equação da continuidade entre as seções O e 2 a Equa ção 37 fica 39 Os valores do coeficiente de perda de carga localizada em uma contra ção brusca são dados na Tabela 31 em relação à velocidade no trecho de menor diâmetro Tabela 31 Valores do cocficienle K para reduções bruscas AiA1 o 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 K 050 046 041 036 030 024 018 012 006 002 00 Quando a relação A2 A se aproxima de O o que significa que a área de montante é muito maior que a de jusante caso da transição de um reservató rio para uma tubulação de um certo diâmetro o valor K tende para 050 como na Tabela 31 A Figura 36 mostra o desenvolvimento das linhas de energia e piezométrica e os valores de K na passagem de um reservatório para uma tu bulação em função do tipo de geometria da transição No caso de um alargamento ou contração gradual conforme a Figura 37 a perda de carga depende evidentemente da geometria da peça O coe ficiente de perda de carga é função do ângulo de abertura do alargamento ou de fechamento da contração e da relação de áreas ou diâmetros das seções ex tremas Devido à grande área de contato do fluido com a peça o coeficiente de perda de carga K engloba os efeitos de atrito na parede e do turbilhonamento de grande escala Para um alargamento gradual com ângulo D Básca Cap 3 K 05 NA V K08 NA 1 frF o 05 o I o 2 o 3 o 4 O 25 O 17 O 08 O 05 O 04 Figura 36 Passagem de um reservatório para uma tubulação 08 06 04 K 02 t f l Gibson ioID 30 I I 1 I 20 1 j Huang fl í Gibson I L I K 153 l VÍ I 20º íPeters jD1 v 1 40º a 60º a 80 100 V K central de abertura pequeno o coeficiente K depende exclusivamente do atrito de superfície e à medida que este ângulo cresce o efeito pre ponderante passa a ser o de descolamento da veia e conseqüente formação de grandes turbi lhões A soma destes dois efeitos é mínima para um ângulo de abertura central em torno de 6 a 7 Os alargamentos graduais em forma de tronco de cone são utilizados como difusores no processo de recuperação de pressão em turbinas hidráulicas medidores Venturi ejetores etc Devese observar na Figura 37 que na contra ção gradual com ângulos de fechamento peque nos até 20 a perda de carga é desprezível pois as velocidades são gradualmente crescentes sem formação da seção contraída e posterior ex pansão 06 ii cri7 of20LJ40L6JOºL 8lOºJJIOOº X b Figura 37 Coeficientes de perdas localizadas em a expansão e b contração conforme 6 Cap 3 emas de eaga Locan adas B De modo geral o movimento acelerado acompanhado de um gradiente de pressão favorável tende a estabilizar o escoamento ao passo que no movi mento desacelerado com gradiente de pressão adverso tende a produzir sepa ração da veia instabilidade formação de redemoinhos e conseqüentemente maior dissipação de energia Observe na Figura 37 que para a mesma relação de diâmetros e mesmo ângulo a o coeficiente de perda localizada no estreitamento gradual é menor que no alargamento Em ambos os casos oco eficiente K é relativo à velocidade na seção de menor diâmetro 332 COTOVELOS E CURVAS Tais conexões muito utilizadas nas diversas instalações de transporte de água produzem perdas localizadas devido à mudança de direção do escoamen to Pelo efeito da inércia os filetes tendem a conservar seu movimento retilíneo e são impedidos pela fronteira sólida da conexão Esta mudança de direção provoca uma modificação substancial no perfil de velocidade e conseqüente mente na distribuição de pressão de modo que ocorre um aumento de pres são na parte externa da curva com diminuição da velocidade e o inverso na parte interna da curva o que gera um movimento espiralado das partí culas que persiste por uma considerável distância a jusante da curva Basicamente a perda de carga depende da rugosidade da parede do número de Reynolds da relação entre o raio de curvatura médio e o diâmetro e do ângulo de curvatura e existe uma grande disparidade de resultados experimentais do valor do coeficiente K entre os distintos trabalhos de investigação Ampla informação sobre valores de K para curvas cotovelos ou diferentes tipos de singularidades podem ser encon trada nas referências Ito 12 WES 6 Idelcic 1 1 Miller 16 e Len castre 13 No caso específico de curvas e cotovelos como observado nas Figuras 38 e 39 respectivamente os valores do coeficiente K podem ser determinados para o ângulo a em graus pelas Equações 3 1 O e 311 K 013 016 f J I S 31 O K 676 I o6 a 211 3 11 Figura 38 Curva circular de raio r e ângulo ex Figura 39 Cotovelo de ângulo ex V V Cap 3 Q Figura 310 Registro de gaveta Q Figura 311 Válvula de borboleta 333 REGISTRO DE GAVETA Com freqüência as tubulações dispõem de mecanismos que pennitem re gular a vazão transportada ou mesmo promover o fechamento total Tais equi pamentos comumente chamados de válvulas podem ser de diversos tipos tamanhos e geometrias tais como válvula de borboleta registro de gaveta registro de globo registro de ângulo válvula em Y etc Quando totalmente abertas as válvulas não produzem alterações substanciais no escoamento porém quando parcialmente fechadas provocam perdas de carga considerá veis Para o caso do registro de gaveta de larga aplicação cujo processo de fe Ct aº K chamento se dá através de uma lâmina vertical como na Figura 3 1 O a Tabela 3 2 apresenta os valores do coeficiente K em função do grau de fechamento da válvula sendo a perda calculada pela Equação 31 com a velocidade média do escoamento na seção ple na da tubulação Devese observar na Tabela 32 que o valor do coeficiente de perda de carga aumentara pidamente com o grau de fechamento da válvula Tabela 32 Valores de K para registro de gaveta parcialmente fechado D o 015 aD o K 015 14 38 12 58 34 78 026 081 206 552 170 978 334 VÁLVULA DE BORBOLETA As válvulas de borboleta são dispositivos usados em instalações hidráulicas para fazer controle de vazão Podem ser operadas de modo manual ou com auxílio de dispositivos elétricos acionadores para fechamento total ou fixação de um certo ângulo a de abertura con forme a Figura 3 11 Os valores do coeficiente de per da de carga são apresentados na Tabela 33 Tabela 33 Valores de K em função do ângulo de abertura 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 024 052 090 154 251 391 622 108 187 326 Cap 3 Pedas de Caga Loallrndas B 335 VALORES DIVERSOS DO COEFICIENTE DE PERDA DE CARGA Alguns valores indicativos dos coeficientes de perda de carga para diver sos acessórios são apresentados na Tabela 34 observando que pela natmeza do problema tais valores não são universais mesmo porque para determinados acessórios o valor de K é função do próprio diâmetro Tabela 34 Valores do coeficiente K para diversos acessórios Acessório K Acessório K Cotovelo de 90º raio curto 09 Válvula de gaveta aberta 02 Cotovelo de 90 raio longo 06 Válvula de ângulo aberta 5 Cotovelo de 45 04 Válvula de globo aberta 10 Curva 90 rD 1 04 Válvula de pé com crivo 10 Curva de 45º 02 Válvula de retenção 3 Tê passagem direta 09 Curva de retomo o 180 22 Tê saída lateral 20 Válvula de bóia 6 34 ANÁLISE DE TUBULAÇÕES O problema básico do transporte de água sob pressão em uma linha de tubulações na qual existe trechos de diâmetros diferentes e diversos acessó rios referese ao cálculo da vazão dada uma certa energia disponível pelo sistema O problema consiste no cálculo das perdas de carga distribuídas ou contínuas em cada trecho de determinado diâmetro e também na avaliação das perdas de carga localizadas produzidas pelos acessórios Estes dois conjuntos de perdas deverão ser somados e feita a compatibilidade energética com aquilo de que o sistema dispõe Considere a ligação de dois reservatórios abertos para a atmosfera e mantidos em níveis constantes conforme a Figura 312 na qual se todos os elementos fossem conhecidos seria possível traçar a linha de energia como uma linha contínua correspondente às perdas de carga distribuídas e apresen tando em determinadas seções descontinuidades provocadas pelas perdas de carga localizadas Abaixo desta linha e a uma distância correspondente à car ga cinética de cada trecho seria possível traçar a linha piezométrica Desta for ma é possível estabelecer uma equação geral de cálculo de uma tubulação sob pressão seja com escoamento por gravidade ou mesmo por bombeamento A análise a ser feita segundo o esquema apresentado na Figura 312 é a seguinte a As superfícies livres dos reservatórios são as duas únicas seções em que a pressão é atmosférica e representam condições energéticas li ti HidUca Básica Cap 3 L 1 L2 L3 L4 1 A L5 Figura 312 Ligação entre dois reservatórios L6 1 F mites a montante e a jusante A diferença de cotas topográficas entre tais superfícies representa obviamente a energia total de que o sis tema dispõe para sujeito às condições da linha veicular uma certa vazão no escoamento estritamente por gravidade b A adutora é constituída por vários trechos cilíndricos de comprimen tos L de diâmetros iguais ou não e seções ABCDEF nas quais singularidades provocam perdas localizadas e Cada trecho retilíneo provocará uma perda de carga distribuída dada por J L em que J é a perda de carga unitária calculada pelas expres sões discutidas no capítulo anterior e cada singularidade provocará uma perda localizada dada por K V 22g d Eventualmente no sistema adutor poderá haver elementos Ek inter calados que provoquem troca de energia com o fluido bombas ou turbinas e que forneçam ou retirem energia equivalente em metros de coluna dágua a Ek 1Z Desta forma o balanço energético global do siste ma da Figura 312 é dado por Ponllõrr óJ íüRfàiflA Z LJL Lí hí LEk 312 em que os sinais negativo e positivo coITespondem res pectivamente às bombas e turbinas No caso particular de não haver bombas ou turbi nas entre os dois reservatórios a energia topográfica to tal disponível tZ é inteiramente consumida pelas perdas de carga de modo que a Equação 3 12 pode ser escrita usandose a fórmula universal de perda de carga como z I f v2 I K v2 D 2g 1 1 2g 313 A Equação 312 pode ser utilizada em cada ligação entre duasseções em que se verifique o contato com a atmosfera exterior e associada à equação da continuidade resolver problemas inerentes à interligação entre três ou mais re servatórios como será visto nos capítulos seguintes 35 INFLUÊNCIA RELATIVA DAS PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS Basicamente os três principais problemas de escoamento em tubula ções na condição de escoamento por gravidade são a determinação da per Cap 3 da de carga e variação da pressão conhecendose a vazão e as características da tubulação o cálculo da vazão a partir das características da tubulação e da energia que sustenta o escoamento e o dimensionamento do diâmetro da li nha necessário para que passe uma determinada vazão compatível com adi ferença energética entre seções Algumas aplicações feitas no capítulo anterior seguiram esta linha em situações nas quais não havia perdas localizadas O tratamento analítico dos três problemas através da equação de Bernoulli e das equações de resistência já vistas continuará a ser utilizado com o aumento do grau de dificuldade pela presença de singularidades Desta forma é necessário ter uma idéia prévia em cada situação da importância relativa das perdas localizadas isto é quando elas podem ser desprezadas sem prejuízo do cálculo Em tubulações curtas como na sucção de uma bomba ou em sistemas como instalações hidráulico sanitárias em edifícios em que além dos trechos serem curtos existe um grande número de acessórios as perdas localizadas são absolutamente preponderantes Nos projetos de redes de distribuição de água nos quais diâmetros e comprimentos são relativamente grandes as perdas de carga localizadas cos tumam ser desprezadas face às perdas por atrito nos comprimentos retilíneos das tubulações Em geral em sistemas hidráulicos nos quais as perdas locali zadas não perfazem mais que 5 das perdas distribuídas podem em princí pio ser desprezadas Como regra básica se uma linha de tubulações tiver um comprimento retilíneo entre os acessórios igual a 1000 vezes o diâmetro ou mais as perdas de carga localizadas têm influência secundária na perda total do sistema Neste sentido considerese a ligação entre dois re servatórios abertos e mantidos em níveis constantes fei ta por uma tubulação de um determinado diâmetro D e comprimento L na qual se instalou um registro de gave ta aberto conforme Figura 313 O traçado das linhas de energia e piezométrica é o convencional levandose em NA I D Pernas d Caga looaHrndas B Imagine o escoamento de uma certa vazão através de um estreitamento gradual com ângulo de 60º e relação de diâmetros D2D1 15 Se o sentido do escoamento for invertido a perda de carga localizada aumenta ou diminui LP L conta as perdas na entrada no registro e na saída da linha Para efeito comparativo do valor da relação LD e das perdas localizadas sobre a velocidade média na tubulação e conseqüentemente sobre a vazão fixase o valor do coeficiente de atrito f 0025 independente do número de Reynolds Figura 313 Influência das perdas localizadas O balanço energético entre os reservatórios dado pela Equação 313 com os valores dos coeficientes de perda de carga localizada retirados dos itens anteriores é calculado por Cap 3 L y 2 y2 L y2 óZ f K f K K K D 2g L 2g D e r s 2g L y 2 0025 D 05 02 10 2g A expressão anterior mostra que quando a relação LD vai aumentan do o valor numérico entre parênteses depende cada vez menos do somatório dos coeficientes de perdas de carga localizadas igual a 17 Se as perdas de carga localizadas forem preliminarmente abandonadas gerando uma veloci dade média aproximada dada por que quando comparada à velocidade média real dada por figffei V L 0025 17 D cometese os seguintes erros segundo a Tabela 35 Tabela 35 Comparação da influência das perdas localizadas com o comprimento relativo da linha LD v1tz Vfiz Erro I00YcYN 100 280 216 2963 500 1252 1175 655 1000 0885 0857 326 1500 0723 0707 226 Cap 3 Pdas de Ca Localiadas IJ Concluise portanto que para comprimentos relativos LD superiores a I 000 o erro cometido no cálculo da velocidade média ou da vazão pode ser da ordem de grandeza daquele cometido na especificação do fator de atrito ou dos próprios coeficientes de perda localizada Assim a regra básica de despre zar as perdas de carga localizadas quando a tubulação é longa LD 1000 é bastante razoável Evidentemente dependendo da natureza do problema e do grau de precisão exigido o projetista estabelecerá seu próprio critério EXEMPLO 31 A ligação entre dois reservatórios abertos cujos níveis dágua diferem em 1 O m é feita através de uma tubulação de O 15 m de diâmetro em aço sol dado liso coeficiente de rugosidade E O 1 O mm O comprimento retilíneo da tubulação é 410 m existindo como singularidades que produzem perdas lo calizadas as seguintes entrada na tubulação em aresta viva Ke 050 dois co tovelos 90 raio curto Kc 080 e entrada no reservatório inferior Ks 10 Determine a vazão transportada em regime permanente Usando a Equação geral 313 para um único diâmetro vem L y2 y 2 L y 2 ZfL K fL K D 2g j J 2g D j J 2g Substituindo os valores dados e desenvolvendo a expressão anterior tornase z 10 m 13946 f 0158 V2 314 indicando que o problema é indeterminado uma vez que existe somente a equação anterior originada da aplicação da equação de Bernoulli entre os extremos da tubulação e duas incógnitas a velocidade média V e o fator de atrito f Lembrando que o fator de atrito depende em princípio da rngosidade absoluta E e do número de Reynolds e como as duas incógnitas são interliga das através da Equação 237 podese utilizar um processo de tentativa e erro adotando um valor inicial para V e conseqüentemente calculando f até que a equação básica anterior seja verificada isto é até que a soma das perdas distribuída e localizada seja igual ou bem próxima a 10 m Como foi comen tado na Seção 25 em aplicações práticas as velocidades médias nas tubula ções em geral encontramse na faixa de 050 a 30 ms Assim adotandose um valor inicial para a velocidade média com os valores diâmetro D 015 m e rugosidade E O 1 O mm e o auxílio da tabela da Equação 237 Tabela Al de terminase o valor do coeficiente de atrito f e a perda total tZ pela Equação 314 Cap 3 Figura 314 Exemplo 32 E E o V O processo de convergência é garantido se a cada passo o novo valor da ve locidade V for calculado pela Equação 314 usando o valor do coeficiente f do passo anterior Quando o valor do coeficiente de atrito f for constante o pro cesso convergiu 1 Seja V 10 rns Tabela Al f 00202 jZ 298 m t 1 O m 2 Seja f 00202 Equação 314 V 1833 ms Tabela Al f 00193 3 Seja f 00193 Equação 314 V 1873 ms Tabela Al f 00193 O valor de f não se alterou e o processo convergiu para o valor da veloci dade média 1873 rns e conseqüentemente a vazão será cerca de 0033 m3s Uma maneira mais rápida de atingir a convergência do método é prelimi narmente desprezar as perdas localizadas de modo que a perda total do sitema jZ 10 m seja somente devida à perda distribuída no comprimento L 410 m Desta forma a perda de carga unitária pode ser calculada e com o auxílio da tabela da Equação 238 Tabela A2 a primeira aproximação da velocidade pode ser determinada como jZ jH l O J 00244 mim Tabela A2 V 195 rns L 410 valor bem mais próximo do correto V 1873 ms que a tentativa inicial V 10 ms Incluindose as perdas localizadas a velocidade real será um pou co menor que o valor preliminar 195 ms EXEMPLO 32 Uma mangueira de PVC com L 50 m de comprimento e D 50 mm de diâmetro é ligada a um hidrante no qual a pressão é cons tante Um bocal segundo a forma de uma con tração brusca é acoplado à extremidade de saída para aumentar a energia cinética e propor cionar ao jato d água um alcance maior Supon do que o coeficiente de atrito na mangueira seja constante e igual a f 0020 e que o coeficien te de perda localizada no bocal com relação ao trecho de menor diâmeuo segue os valores ta e 3 pª d Cll Looliads l belados abaixo determine o diâmetro d do bocal para o qual se obtém o mai or alcance do jato livre dD2 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 K 226 478 175 78 38 18 08 03 009 o A aplicação da equação de Bernoulli entre o hidrante seção 1 e a saí da do bocal seção 2 praticamente no mesmo nível levando em conta todas as perdas e o fato de que a carga cinética no hidrante pode ser desprezada tem a forma y2 y2 L y 2 y2 E 2 MI h 2 f K 2 y 2g 2g D 2g 2g e como pela equação da continuidade a relação entre a velocidade média na mangueira Vmg e a velocidade média no bocal V2 é dada porVmg V2 dD2 a equação acima fica Como pela condição do problema a pressão no hidrante é constante e o alcance do jato deve ser máximo isto é a velocidade de saída V2 deve ser máxima o termo entre colchetes da equação anterior deve passar por um mí nimo Calculando o termo entre colchetes para cada valor da relação dD2 e do coeficiente K dado na tabela anterior temse d02 K l 20 dD K 02 478 496 03 175 203 04 78 120 05 38 98 06 18 100 07 08 116 Cap 3 Pela tabela anterior verificase que o termo entre parênteses passa por um mínimo para a relação dD2 05 o que fornece o valor do diâmetro do bocal d 3535 mm 36 MÉTODO DOS COMPRIMENTOS EQUIVALENTES Entre as Equações 120 e 31 para determinação de perdas de carga distribuída e localizada respectivamente existe uma analogia formal isto é ambas são função direta da carga cinética Deste modo e por conveniência de cálculo as singularidades existentes nas tubulações são muitas vezes expres sas em termos de comprimentos equivalentes de condutos retilíneos os quais provocam a mesma perda de carga que aquela gerada pelo acessório quando a vazão em ambos é a mesma Impondo a igualdade entre as equações de perda de carga localizada e de perda contínua temse y2 L y 2 thK tHfe 2g D 2g 315 em que Le é chamado de co111p1ú11e1110 er11i vae11e correspondente a cada singularidade Da equação anterior podese facilmente obter uma expressão para a determinação cio comprimento equivalente como Le K D f l Kj r t 3 16 Portanto o método dos comprimentos equivalentes consiste em substi tuir para simples efeito de cálculo cada acessório da instalação por compri mentos de tubos retilíneos de igual diâmetro nos quais a perda de carga seja igual à provocada pelo acessório quando a vazão em ambos é a mesma Assim cada comprimento equivalente é adicionado ao comprimento real da tubulação a fim de simplificar o cálculo transfo1mando o problema em um problema de simples perda distribuída Devese observar pela Equação 316 que o compri mento equivalente é uma função do coeficiente de atrito f e este não é fixo para uma determinada perda e diâmetro mas depende do número de Reynolds e do coeficiente de rugosidade do conduto Também o coeficiente K é função do nú mero de Reynolds conforme visto na Seção 32 deste capítulo mas para mui tos dos propósitos práticos a variação é pequena sendo desconsiderada Este princípio de equivalência será estendido no próximo capítulo para tubulações e sistemas hidráulicos na forma uma tubulação de certo compri mento diâmetro e rugosidade é equivalente a outra de características distin Cap 3 Pdas de Cacga Localiad B tas desde que a perda de carga total em ambas seja a mesma para uma mes ma vazão Para cada acessório caracterizado pelo valor de K podese tabelar a Equação 316 para valores médios do fator de atrito Nesta linha foi feita uma análise estatística de regressão linear nos dados dos comprimentos equivalentes de várias peças usadas em instalações hidráulicas apresentadas na Tabela 37 da referência ABNT 1 para tubos metálicos aço galvanizado e ferro fun dido Para diâmetros variando de 34 até 14 podese verificar uma boa re lação linear entre o comprimento equivalente e o diâmetro da peça na forma Le ex D que após transformada para LJD cxD foi calculada a mé dia aritmética para a faixa de diâmetros indicada e apresentada na Tabela 36 A forma de apresentação dos comprimentos equivalentes como função de um determinado número de diâmetros como na Tabela 36 é particularmente in teressante em cálculos de dimensionamento determinação do diâmetro de uma certa linha ou quando se utilizam programas de computador Para tubos de PVC ou cobre os valores dos comprimentos equivalentes recomendados pela ABNT e constantes da Tabela 37 não permitem a aná lise de regressão feita anteriormente isto é não há linearidade entre o com primento equivalente e o diâmetro para cada acessório Desta forma a tabela original foi simplesmente transcrita não podendo ser transformada para apre sentar os comprimentos equivalentes em números de diâmetros EXEMPLO 33 Na instalação hidráulica predial mostrada na Figura 315 a tubulação é de PVC rígido soldável com l de diâmetro e é percorrida por uma vazão de 020 1s de água Os joelhos são de 90 e os registros de gaveta abertos No ponto A 2 10 rn abaixo do chuveiro a carga de pressão é igual a 33 mH2O Determine a carga de pressão disponível imediatamente antes do chuveiro Os tês estão fechados em urna das saídas Utilizandose a Tabela 37 é possível determinar os comprimentos equi valentes dos acessórios existentes entre o ponto A e o chuveiro na forma Acessório Compr Equiv m 3 Joelhos 90 45 2 registros de gaveta abertos 06 Tê passagem direta 09 Tê lateral 31 Comprimento real da linha 86 Comprimento total 177 O comprimento de um tubo com fator de atrito f 0020 expresso em núme ros de diâmetros equivalente a uma válvula de Angulo aberta vale quanto 3 5 m 1 I H 021s A 30 m l 1 Figura 315 Exemplo 33 E o E l Cap 3 Tabela 36 Comprimentos equivalentes em número de diâmetros de canalização para peças metálicas ferro galvanizado e ferro fundido Comprimento Acessório Equação Figura equivalente LeD n1 de diâmetros Cotovelo 90 Le 0068 2096 D raio longo 22 Cotovelo 90 Le 0114 2656 D raio médio 285 Cotovelo 90 Le 0189 3053 D gE raio curto 34 Cotovelo 45 Le 0013 1514 D 154 Curva 90 Le 0036 1215 D RJD 15 128 Curva 90 Le O 115 1553 D a RD 1 175 Curva 45 Le 0045 708 D 9 78 Entrada l normal Le023 1863 D 147 Entrada de Borda Le 005 3098 D 302 Registro de Le 0010 689 D 8 7 gaveta aberto Registro de Le 001 34027 D 6 342 globo aberto Registro de Le 005 17069 D i 1715 ângulo aberto Tê 90 passagem direta Le 0054 2090 D 218 Tê 90 saída lateral Le 0396 6232 D 69 Tê 90 Le 0396 6232 D T saída bilateral 69 Válvula de pé Le 056 25548 D i 265 com crivo Saída de canalização Le 005 3098 D t 302 Válvula de Le 0247 7943 D 0 retenção leve 836 Gap 3 Pdas da cg LooaUrndas G Pela equação da energia a cota piezométrica imediatamente antes do chuveiro pode ser calculada por CPch CPA LlH1 em que LlH1 é a perda de carga total distribuída e localizada entre A e o chuveiro Como LlH1 J L1 a perda unitária pode ser calculada pela equação de FairWhippleHsiao na forma J Q 175 Equação 248 com auxílio da Tabela 25 Tomando como referência o plano horizontal passando pelo ponto A a cota piezométrica neste ponto é a própria carga de pressão Assim a equação da energia fica 33 Q175 L 1 CPch CPch 33 0120202175177 317 m Portanto a carga de pressão antes do chuveiro será a diferença entre a cota piezométrica e a cota geométrica ou seja pctY 3 17 2 1 O 107 mH2O Tabela 37 Comprimentos equivalentes m peças de PVC rígido ou cobre conforme ABNT 1 Diimetro Joclho Curva Curva Tê Xl Tê 90 Entrta Entrada Saída de Vllvula Válvula Rcgiitru Reistro externo Joelho de cannli depée retenção globo gaveta nm ref 90 45 JO 45 direto lateral normal Bonla zação criVo kvc 1bcrto abeno 25 34 12 05 05 03 08 24 04 10 09 95 27 114 02 32 1 15 07 06 04 09 31 05 12 13 133 38 150 03 40 114 20 10 07 05 15 46 06 18 14 155 49 220 04 50 112 32 13 12 06 22 73 10 23 32 183 68 358 07 602 34 15 13 07 23 76 15 28 33 237 71 379 08 75212 37 17 14 08 24 78 16 33 35 250 82 380 09 85 3 39 18 15 09 25 80 20 37 37 268 93 400 09 1104 43 19 16 10 26 83 22 40 39 286 104 423 10 1405 49 24 19 11 33 100 25 50 49 374 125 509 1 1 1606 54 26 21 12 38 111 28 56 55 434 139 567 12 EXEMPLO 34 5 A 03 m D 1 1 1112 Na instalação hidráulica predial mos trada na Figura 316 as tubulações são de aço galvanizado novo os registros de gaveta são abertos e os cotovelos têm raio curto A vazão que chega ao reservatório D é 38 maior que a que escoa contra a atmosfera no ponto C Determine a vazão que sai do reservatório A desprezando as cargas cinéticas E 1 1 O ºi 1 t2 dlliBl xêl C 60 m 60m Figura 316 Exemplo 34 B Haáu Bás Cap 3 Considere um cotovelo 90º de ralo longo com diâmetro de O 1 O m De acordo com a Tabela 36 podese afirmar que quando a vazão pelo cotovelo for de 1 Is a perda de carga localizada é igual a 22 m Seja X a cota piezométrica imediatamente antes do tê localizado em B Para os dois ramos da instalação temse as seguintes perdas totais LlHBo X 30 e LHec X 10 de onde se conclui que LHec LlHBo 20 portanto Jec LBc JBo LBo 20 I em que LBc e LBo são os comprimentos totais dos dois trechos Da Tabela 36 os comprimentos equivalentes dos dois trechos podem ser determinados como Trecho BC Trecho BD Tê lateral 1 ½ 2587 Tê lateral ½ 2587 Rcg gaveta 0175 2 cotovelos 90 2550 Saída canalização 0775 Reg gaveta 0263 Comp real 600 Saída canalização 1133 Comp total 954 Comp real 730 Comp total 1383 Como Qeo 138 Qec as perdas de cargas unitárias JBc e JBo podem ser detetminadas pela equação de FairWhippleHsiao na forma J p Q188 Equa ção 248 com auxílio da Tabela 25 Logo pela Equação I vem 3044101 Q8 954 3945102 l38Q 8c88 1383 20 2904QB 09996QS 20 Q BC 103 1 S Q 80 1421 S Logo a vazão que sai do reservatório A será a soma Qec Qeo 245 1s 37 PROBLEMAS A instalação mostrada na Figura 3 17 tem diâmetro de 50 mm em ferro fundido com leve oxidação Os coeficientes de perdas de carga localizadas são entrada e saída da tubulação K 10 cotovelo 90 K 09 curvas de 45 K 02 e registro de ângulo aberto K 50 Determine usando a equação de DarcyWeisbach a a vazão transportada Cap 3 d eaga Looaladas J b querendose reduzir a vazão pa ra 196 1s pelo fechamento parcial do registro calcule qual deve ser a perda de carga loca lizada no registro e seu compri mento equivalente a Q 314103 m3s b h 327 m Le 94 m E o f 50 O 13 Om Figura 317 Problema 31 3Á A determinação experimental dos coeficien Ofe e das perdas de carga localizada é feita median te medidas de pressão e declividades das linhas piezométricas em trechos de escoamento estabelecido e de vazão Calcule a perda de carga e o coeficiente de perda de carga para o alargamento gradual mostrado na Figura 318 em relação à velocidade no tubo de 75 mm de diâmetro a partir dos dados da figura E N 5111 15m 03 111 06 m h 040 m K 0054 Figura 318 Problema 32 j Uma adutora de 500 mm de diâmetro 460 m de comprimento em aço dado revestido de cimento centrifugado liga dois reservatórios mantidos em níveis constantes Determine a capacidade de vazão da adutora quando o des nível entre os reservatórios for de 350 m nas seguintes condições a desprezando as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da tubulação b considerando tais perdas de carga localizadas adotando os seguintes coeficientes de perdas Ke 05 e Ks 10 Faça comentários pertinentes sobre os resulta dos encontrados observando a relação entre o compri mento e o diâmetro da adutora a Q 0442 m 3s b Q 0420 m3s 34 Em um distrito de irrigação um sifão de 2 de diâmetro possui as dimensões indicadas na Figura 319 e é colocado sobre um dique Estime a vazão esperada sob uma carga hidráulica de 050 m e a carga de pres Figura 319 Problema 34 150111111 V1so 3 ms 30m 30111 12 111 505 Ver diretório Bombas no endereço eletrônico wwweescuspbrshs na área Ensino de Graduação E q 15 1s E ô Figura 320 Problema 35 NA Cap 3 1 A 1 1 li 1 são disponível no ponto médio do trecho horizontal do sifão Adote os seguintes coeficientes de perda de carga localizada entrada Kc 05 saída Ks 10 curva de 45º K 02 Material da tubulação ferro fundido com revestimento as fáltico Utilize a equação de DarcyWeisbach Q 29 1s Py 083 mHiO 1 1 11 1 B 10m E q 35 A instalação hidráulica predial da figura é toda em aço galvanizado novo de I de diâmetro cotovelos de raio curto registros de gaveta com os ramos A e B abertos para a atmosfera O registro do ramo A está parcialmente fechado e o do ramo B totalmente aberto Determine o comprimento equivalente do registro do ramo A para que as vazões em A e B sejam iguais nas se guintes condições a a instalação está no plano horizontal b a instalação está no plano vertical a Le 337 m b Le 055 m N1A1 36 A tubulação que liga dois reservatórios mantidos em níveis constantes é de aço comercial novo e possui uma válvula de regulagem da vazão que quando está totalmente aberta o coeficiente de perda de carga localizada vale Kv 35 Considerando todas as perdas de carga localizadas determine 1 D 1 Q15 m D 02m 150 m 200 m Figura 321 Problema 36 1 20 1s 11 03 m J 11 1 ljl 11 11 E 1 11 ll 11 A 2 o 111 05111 Figura 322 Problema 37 03 m 1 1 1 1 of 1 X 1 1 1 13 a a vazão transportada quando a válvula está totalmente aberta b o valor do coeficiente Kv para reduzir a vazão do item anterior em 28 Use a planilha MOODYXLS aQ 42 l ls bKv27 37 A instalação hidráulica predial da figura está em um plano vertical e é toda em aço galvanizado novo com diâmetro de 1 e alimentada por uma vazão de 20 1s de água Os cotovelos são de raio curto e os registros de gaveta Determine qual deve ser o comprimento x para que as vazões que saem pelas extremidades A e B sejam iguais x l88 m Dois reservatórios mantidos em níveis constan tes são interligados em linha reta através de uma tubu lação de 1 O m de comprimento e diâmetro D 50 mm de PVC rígido como mostra o esquema da Figura 323 Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um registro de gaveta parcialmen te fechado cujo comprimento equivalente é Le 200 m e usando a fórmula de HazenWilliams adotando C 145 determine a a vazão na canalização supondo que o registro esteja colocado no ponto A b idem supondo o registro colocado no ponto B Cap 3 Figura 323 Problema 38 c a máxima e a mínima carga de pressão na linha em mH2O nos casos a e b d desenhe em escala as linhas piezométrica e de energia Considere em ambos os casos a carga cinética na tubulação a QA 437 1s b QB 437 1s c palYmín 125 mfüO pafym1x 075 mfüO pbYmín 075 mfüO pbYmáx 275 mfüO 39 Em um ensaio de perda de carga de uma luva de redução de 2 x 1 12 o comprimento equivalente da peça em relação ao tubo de menor diâmetro 1 12 foi determinado igual a 038 m Assumindo por simplificação que o coeficiente de atrito f para os dois tubos seja o mesmo determine o comprimento equivalente da luva em relação ao diâmetro de montante 2 Le 160 m 310 Uma tubulação retilínea de 360 m de comprimento e 100 mm de diâmetro é ligada a um reservatório aberto para a atmosfera com nível constante mantido a 15 m acima da saída da tubulação A tubulação está fechada na saída por uma válvula cujo comprimento equivalente é de 75 m de comprimento da tubulação Se a válvula é aberta instantaneamente com escoamento livre determine o tempo necessário para que a velocidade média atinja 98 da velocidade em condições de regime pirmanente Assuma o fator de atrito f 0020 e adote como coeficiente de perda de carga na entrada K 05 Sugestão utilize a Equação 111 e a metodologia do Problema 14 T 11 18 s B l1HidrauliccacBcasica cap3 lc 10 111 lc 10m 1 0 2 111 06 m sz 10 m 1 1 n P c4 O reservatório B prismático de área igual a 10 m2 possui um orifício no fundo que abre comandado pelo manômetro quando este acusar uma pressão de 49 kPa conforme a Figura 324 Qual deve ser a cota cio nível dágua no reservatório A mantido em nível constante para que o orifício do reservatório B seja aberto 1 O min após a abertura do registo de gaveta da canalização de alimentação Os tubos são de PVC rígido soldável de l de diâmetro e os joelhos de 90 No tempo t O o reservatório B está vazio Considere a carga cinética Figura 324 Problema 311 Figura 325 Figura 326 o o 2 Problema 3 12 Problema 313 NA 214 m 312 O escoamento ele água através de um tê é mostrado na Figura 325 Uma parte do escoamento é dirigida verticalmente para cima através cio ramal 3 o restante continua na horizontal através cio ramal 2 Sendo o tê simétrico e todas as áreas iguais a A obtenha uma expressão da variação de pressão p p2 p1 ao longo do tê em relação a QJQ1 Faça um gráfico de p0SpV12 como função ele QJiQ Sugestão utilize o teorema da quantidade de movimento no volume ele controle que é o próprio tê 2 1 1 Q3 2 1pvz Q 2 I 313 Sabendose que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que a diferença entre as cargas de pressão em A e D é igual a 09 mfüO determine o comprimento equivalente cio registro colocado na tubulação de diâmetro único assentada com uma inclinação de 2º em relação a horizontal conforme a Figura 326 Le 2579 m 4 SISTEMAS HIDRÁULICOS DE TUBULAÇÕES 41 INTRODUÇÃO Este capítulo tratará da análise de vários sistemas hidráulicos em pres são operando essencialmente por gravidade de uma tubulação simples ou um conjunto de tubulações levandose em conta as perdas de carga por atrito ao longo das tubulações e também quanqo for o caso as perdas localizadas As equações básicas serão a da continuidade e da energia com as perdas de carga calculadas pelas equações de resistência do Capítulo 2 e as aplicações serão referidas somente aos escoamentos permanentes e quasepermanentes O conceito de equivalência entre sistemas será generalizado daquele comentado no capítulo anterior 42 RELAÇÃO ENTRE PERDA DE CARGA UNITÁRIA E DECLIVIDADE DA LINHA PIEZOMÉTRICA Na Seção 14 definiuse como J perda de carga unitária ou gradiente piezométlico a relação entre a perda de carga devido ao atrito e o comprimen to da tubulação parâmetro importante nas aplicações feitas no Capítulo 2 Deve se observar entretanto que é inc01Teta a equivalência muitas vezes considerada entre a perda de carga unitária e a declividade da linha de energia ou no caso mais comum quando o escoamento é permanente e o diâmetro constante a declividade da linha piezométrica De fato considerese a Figura 41 na qual um tramo de comprimento L e diâmetro constante da canalização com ângulo de assentamento tem o ângulo a como inclinação da linha piezométrica em relação à horizontal Da Figura 41 podese extrair a seguinte relação geomé trica tga H AC H J J J1 tg2 Lcos cos 41 Figura 41 Ziraldo Jg Uli B LP e i 1 1 93 Perda de carga unitária e declividade da linha piezométrica Cap 4 t y e X RI Figura 42 Adutora por gravidade Esta expressão mostra que a inclinação da linha piezométrica em relação à horizontal é sempre maior que a perda unitária J a menos que a tubulação esteja na horizontal situação em que são iguais Deste modo ao desenhar o perfil altimétrico de uma adutora por exemplo em que esta não apareça re tilínea por acompanhar a topografia do terreno não se deve esperar tampouco que a linha piezométrica seja retilínea Assim quando nos exemplos do Capí tulo 2 e nas aplicações que se seguirão a linha piezométrica for desenhada como retilínea se quer indicar somente que se sinaliza uma posição média da mesma não muito afastada da realidade e obtida partindose do conhecimento das duas cotas piezométricas no início e fim da adutora Para ângulos de assen tamento da tubulação abaixo de 15 a diferença entre a declividade da linha piezométrica e a perda de carga unitá1ia é desprezível 43 INFLUÊNCIAS RELATIVAS ENTRE O TRAÇADO DA TUBULAÇÃO E AS LINHAS DE CARGA Serão analisadas a seguir as influências sobre o escoamento que pode exercer o traçado de uma canalização que liga dois reservatórios mantidos em níveis constantes Para uma adutora por gravidade suficientemente longa para PCA PCE L C A que se possa desprezar as perdas localizadas de um deter minado comprimento material e diâmetro único o esque ma piezométrico é representado na Figura 42 Como neste tipo de transporte a velocidade média do escoamento en contrase em torno de 1 a 2 ms o que significa que a carga cinética se situa entre 005 a 020 m valores bem menores que as outras formas de energia para efeito de explanação das situações encontradas serão confundidas a linha piezométrica e a linha de energia ou de carga total uma vez que a carga cinética pode ser desprezada A situação da Figura 42 é aquela buscada nos projetos e considerada a condição normal na qual todas as seções da adutora estão submetidas a uma carga de pressão positiva uma vez que o seu traçado se encontra na sua to talidade abaixo da linha piezométrica Nesta condição a perda de carga total é igual ao desnível topográfico correspondente à diferença de cotas das super fícies livres dos reservatórios e há uma relação direta entre a vazão transpor tada e os demais elementos do esquema diâmetro comprimento natureza da parede da tubulação e perda de carga 11H z Z2 JL A Figura 42 mos tra além da linha piezométrica linha de carga efetiva LCE o plano de carga efetivo PCE correspondente ao nível dágua no reservatório superior a linha de carga absoluta LCA distanciada da linha de carga efetiva do va lor paly a carga de pressão atmosférica local e o plano de carga absoluto PCA Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 9S Num ponto P qualquer a carga de pressão dinâmica efetiva é dada por PX a carga de pressão dinâmica absoluta por PZ e a carga de pressão hidros llilJº PY Para atender a propósitos de manutenção do sistema a adutora possui registros de controle na saída e entrada dos reservatórios Nos pontos baixos registros especiais são colocados para o esvaziamento e limpeza da linha e nos pontos altos com o intuito de extrair o ar desprendido da água ou arrastado mecanicamente e que por ventura venha a se acumular serão previs tas válvulas de escape chamadas ventosas Devese observar que se o regis tro L na entrada do reservatório inferior for fechado a linha será submetida a um padrão de pressões correspondente ao PCE portanto a especificação da classe dos tubos capacidade de resistência à pressão interna deve Sr feita a partir das pressões estáticas PY que são maiores que as dinâmicas PX Even tualmente as pressões máximas na linha e conseqüentemente a classe dos tubos podem ser especificadas levandose em conta os efeitos originados do fenômeno do golpe de aríete que é a variação de pressão que ocorre em uma tubulação como conseqüência de mudança na velocidade média devido a uma manobra relativamente brusca dos registros Outros traçados e suas relações com as linhas de carga são apresenta dos nas Figuras 43 a 45 em que o traçado 2 por necessidade topográfica de passar em um ponto alto ou mesmo por erro de traçado ou lançamento da adutora é possível ocorrer enquanto as outras situações mostradas são cada vez mais incomuns a Traçado 2 A canalização passa acima da LCE porém abaixo da LCA e do PCE Nesta situação estando a linha previamente cheia pela abertura do registro de jusante localizado em L o escoamento deveria acon tecer em condições normais sob a carga H Todavia em um ponto P do tre cho APB a água não estará sob pressão positiva uma vez que como a linha piezométrica corta a adutora a carga de pressão absoluta aí reinante medida por PM é inferior à pressão atmosférica local de uma quantidade medida por PO Em virtude dessa pressão negativa o escoamento tornase irregular pois além do ar desprendido que se achava dissolvido na água e que vai se acumu lando nos pontos altos há tendência de entrada de ar ambiente pelas juntas Como nesta situação não é possível instalar ventosas pois entraria mais ar por elas será necessário o emprego de bombas ou outros recursos para extrair o ar por aspiração No caso da entrada de ar ser tal que a pressão em P se torne igual à at mosférica a linha piezométrica no trecho NP deixará de ser CO e passará a ser CP Além de P a água não encherá completamente a seção do conduto escoan dose como em canal e só entrará em pressão enchendo novamente toda a seção a partir do ponto X sendo XD paralela a CP porque então para o va Cap4 O golpe de aríete é um fenômeno originado em regiões da tubulação onde a pressão é alta N Figura 43 Traçado 2 lor da vazão no trecho NP a linha piezométrica interrompida no trecho PX readquire sua declividade Calculandose a adutora para fornecer uma vazão Q ao reservatório R2 sob carga total H sendo a linha piezométrica CD temse pela Equação 242 J 00827 f 2 Q afio5 ªH D 5 D L 42 Quando porém a linha piezométrica em NP passar a ser CP nas con dições expostas a nova vazão Q fornecida ao reservatório R2 será menor que a projetada uma vez que se a tubulação passa acima da linha piezométrica CD a nova linha de carga efetiva CP terá necessariamente menor declividade isto é se 43 Esta situação leva a dois grandes inconvenientes O primeiro é o fato de a vazão real transportada ser menor que aquela para a qual a adutora foi cal culada O segundo é que o trecho PX fica economicamente mal aproveitado uma vez que do ponto P em diante há uma disponibilidade grande de carga topográfica dada por H H 1 e como a vazão é reduzida o trecho PX estará ocioso com o escoamento ocupando somente parte da seção da tubulação sen do a parte restante preenchida por vapor que se desprende do líquido e o es coamento não se dará de modo regular tendo caráter pulsante PCE LC A R2 H Se as condições de projeto exigirem o traçado NPL sem contornar o ponto alto para garantir o for necimento da vazão Q e conseguir uma solução eco nômica é necessário dividir a adutora em dois trechos de diâmetros diferentes Assim instalase no ponto P um pequeno reservatório aberto para a atmosfera cha mado caixa de passagem e dimensionase para a va zão de projeto Q o diâmetro D do trecho NP sob carga H e o diâmetro D2 D do trecho PL sob a carga restante H H A caixa de passagem deve ser provida de registros na entrada e saída para compatibilizar a vazão nos dois trechos com as cargas disponíveis pois os diâmetros calculados devem ser necessariamente comerciais Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 97 b Traçado 3 A canalização corta a LCE e o PCE mas fica abaixo da LCA Devido à pressão pró pria a água irá até o ponto G escorvandose retirando se o ar acumulado o trecho GEF por meio de uma bomba o encanamento funcionará como um sifão As condições são piores que no caso anterior pois o escoamento ces sará completamente desde que entre ar no trecho GEF sendo necessário portanto escorvar novamente o sifão para permitir o funcionamento da adutora e Traçado 4A canalização corta a LCA mas fica abaixo do PCE Haverá escoamento mas a vazão Q2 fornecida será inferior à vazão Q1 do traçado 2 A linha de pressão efetiva tornase CP no trecho NP e XD no trecho PL com CP paralela a XD No trecho PX a água se moverá como conduto livre só adquirindo pres são no ponto X A solução para contornar esta situação é semelhante ao caso 2 com a instalação de uma caixa de passagem no ponto alto e dimensionando a adutora com dois trechos distintos NP e PL de diâmetros dife rentes Pay vi e RI e N Figura 44 Traçado 3 Figura 45 Traçado 4 DISTRIBUIÇÃO DE VAZÃO EM MARCHA w rodos os exemplos de transporte de água até aqui tratados referemse ao movimento permanente e uniforme no qual há constância de vazão ao longo do trecho Outro tipo de escoamento de interesse prático é aquele em que a vazão vai diminuindo ao longo do percurso e é classificado como wovimenta píJJ11 gradyglmentvariado Tal situação oc01Te nos condutos de um sis tema de abastecimento público de água ou mesmo em sistemas de irrigação em que a água é distribuída por meio de numerosas derivaçõe Nestas situações não há como determinar perdas de carga e vazões entre duas derivações sucessivas tendo em vista que seu número é em geral ele vado e seu funcionamento mais ou menos intermitente e variável Para contor Jar o problema da variabilidade de distribui ão spacial e temQQiaD da ágya ao longo do trecho assumese como hipótese básica que a totalidade da vazão consumida no percurso é feita de modo uniforme ao longo da linha como se ista fosse munida de uma fenda ao longo de seu com ritiiento Isto significa ue ara efeito de cálculo cada metro linear da tubula ão distribui uma va ão unif01me g chamada vazão unitária de distribujção expressa em lsm ou m3sm PCA R2 L D R2 L Se o controle de vazão em uma adu tora por gravidade ligando dois reservatórios for feito por um registro colocado a montante ou a jusante do trecho quais as conseqüências sobre a linha piezométrica em cada caso Qm Cap 4 Figura 46 Definição de vazão equivalente óH Esta hipótese pe1mite um tratamento analítico do pro blema usandose as equações de resistência discutidas no Capítulo 2 para o dimensionamento do sistema ou verifica ção de vazões e perdas de carga Suponha um trecho de tubulação de diâmetro constan te e rugosidade uniforme de comprimento L alimentado por uma vazão Qm na extremidade de montante sendo a va zão residual na extremidade de jusante conforme Figura 46 Sendo g a vazão unitária de distribuição e x uma abscissa marcada a partir da extremidade de montante em que a vazão residual é Ox as seguin es relações estão disponíveis Qm Qi qL v 9rn qL 44 Qx Qm qx rn71 X 111 e o1 45 o A Equação 242 aplicada ao trecho elementar dx em que a vazão é Qx na hipótese de assumir um coeficiente de atlito médio ao longo do trecho fica xtl J b 0827 flQ 2 J dx KQ2x dx I ci5 J o 46 Deste modo a perda de carga contínua ao longo do comprimento L é calculada por r JL 2 6 JS eh IC6 cAll L L o LiH f J dx K f Q 111 q x 2 dx o o ou q 2L2 LiHKLQ2 Q qL 111 m 3 o 47 48 A Equação 48 mostra que a perda de carga é uma função cúbica do comprimento do trecho e que a perda de carga unitária J é uma função qua drática do comprimento Assim em uma tubulação com distribuição em mar Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações cha a linha de energia é representada por uma parábola cujas tangentes inicial e final têm inclinações correspondentes aos escoamentos uniformes ele vazões Q m e Q j conforme a Figura 46 Chamando de Qc1 q L 0n Oi a vazão t2tal distribuída no percurso a Equação 48 é aproximadamente igual a 6H KL Qm 045Qc12 49 Com o objetivo prático de facilitar os cálculos definese como w1zdo equivalente ou 11azt10 fictfcia Qila vazão constante que rearrendo o conduto em toda sua extensão produz a mesma erda de car a verificada na distribuição em marcha Deste modo para o mesmo conduto a perda ele carga contínua é dada PQr 41 0 Comparandose as Equações 49 e 4 1 O podese determinar o valor ela vazão fictícia como Q Q 111 045Qc1 Considerando a natureza do problema o número de elementos em jogo e as hipóteses adotadas para propósitos práti cos a vazão fictícia pode ser escrita de forma mais cômoda como Qr Qm 050Qct Q111 050qL 4 11 Pela Equação 44 a expressão ela vazão fictícia tornase 412 Logo para efeito prático godese determinar a perda de carga ao longg cio comprimento L utilizandose uma vazão constante que percorra todoJLte cho e cujo valor seja a média aritméticadasLLlZõeukJJontantekjusante caso particular importante é a sitlli1ção em Q montante é consumida ao longo do comprimento Ldenlod0qu 1aextimicla ele de jusante a vazão residual sejaJlllla Neste cas aextreruidade dej e chamada de extremidade mora ou ponta seca Pela Equação 48 observando que se Qi O temse Qc1 q L Qm daí 413 99 20 1s 1 39 m 1 A 1111 Cap 4 120 111 Portanto comparandose a equação anterior com a Equação 410 verificase que se a vazão na extremidade de jusante for nula a vazão fictícia é dada por e a perda de carga é igual à terça parte da que ocorreria se toda a vazão de montante Q111 fosse transportada até a extremidade de jusante sem distribuição em marcha EXEMPLO 41 82 m 2m 1 º 1 D s l l l l l l l l l e q Figura 47 Exemplo 41 Na tubulação mostrada na Figura 47 com 6 de diâmetro e coeficiente de atrito f 0022 a pressão em A vale 1666 kNm2 e em D vale 1402 kNm2 Determine a vazão unitária de distribuição em marcha q saben do que a tubulação está no plano vertical e que a vazão no trecho AB é de 20 1s Des preze as perdas localizadas As energias disponíveis nos pontos A e D em relação a um plano horizontal passando por BC valem respectivamente EA zA V 10 1666 1 3 0058 1806 m y 2g 98 10 p0 V6 2 O 1402103 V6 16 31 V Eo Zo y 2g 98103 2g 2g Portanto a perda de carga total entre os pontos A e D é igual à dife rença EA Eo e vale a soma das três parcelas HAB Hsc Hco Utili zando o conceito de vazão fictícia podese escrever Cap4SistemasH idráulicosdeTubula2ções lOl 11 fl Q Pt4 2J A 3 o j p z A 4z 0 1 75 0082iº22 º 0202 40 00827 ºº22 Q 120 00827 ºº22 Qf 84 0155 015 5 055 175 0383 287510 Qi201257QJ 1367 231510 QF 211s95 Qf Como pela Equação 412 a vazão fictícia é a média entre a vazão de montante e de jusante vem Substituindo na expressão anterior 0020Q 1 2 1367287510 2 J 217595Qf Qj0015m3s Logo a vazão distribuída ao longo dos 120 m vale Daí a vazão unitária de distribuição será Qd 50 q120 q 00417 1sm 45 CONDUTOS EQUIVALENTES Muitas vezes há interesse prático para efeito de cálculo na determi nação das características geométricas e de rugosidade de uma tubulação equivalente à outra ou a um sistema de tubulações O conceito de equiva lência é o mesmo adotado no método dos comprimentos equivalentes do Capítulo 2 ou seja m conduto é equivalente a outro ou a um sisema condutos se perda decargatotalem ambosé a mesma para a mesma vazão trans ortadaA adoção do conceito de equivalência tornase vanta josa uma vez que se pode substituir um sistema complexo de tubulações por outro mais simples ou mesmo por um conduto único sCIA O A l 3l4xlº 1r2 4 4 z A S I li do 4M 2 cJ f Ir t 2 I G 3 2 J lx l o4 Cap 4 Duas situações poderão ser analisadas equivalência entre dois condutos simples e equivalência entre um conduto e um sistema 451 CONDUTO EQUIVALENTE A OUTRO Sejam dois condutos de comprimentos diâmetros e rugosidades diferen tes Para que haja equivalência entre ambos é necessário que H H2 e Q Q2 Pela Equação 242 a perda de carga é dada em termos da vazão como H00827fLQ 2 os 414 Para as duas tubulações igualando as perdas de carga e simplificando a expressão anterior chegase a L L i º 2 5 z i f D 2 1 415 Expressão que permite determinar o comprimento do segundo condu to de diâmetro D2 equivalente ao primeiro de diâmetro D1 Utilizandose a fórmula de HazenWilliams a equação correspondente à anterior será 185 487 L L Cz D2 z i C D 1 1 416 452 CONDUTO EQUIVALENTE A UM SISTEMA Basicamente a topologia de um sistema de tubulações pode pertencer a quatro fo1mas principais tubulações em série tubulações em paralelo tubula ções ramificadas e redes de tubulações As três primeiras são analisadas neste capítulo a quarta posteriormente Existe uma analogia formal entre os sistemas hidráulicos e os sistemas elétricos de corrente contínua nos quais a vazão conesponde à intensidade de corrente a perda de carga à queda de tensão e a resistência hidráulica da tubu lação à resistência ôhmica A resistência hidráulica da tubulação é dependente do comprimento diâmetro e rugosidade e a perda de carga no regime turbulento Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 103 rngoso é proporcional ao quadrado da vazão enquanto no regime laminar é proporcional à primeira potência da vazão semelhante à lei de Ohm V RI a Sistema em série A característica principal de tal sistema assim como na associação de re sistências em série é que o conduto é percorrido pela mesma vazão corrente elétrica e a perda de carga total entre as extremidades é a soma das perdas de carga queda de tensão em cada tubo O conduto equivalente de comprimento L diâmetro D e coeficiente de atrito f a um sistema de n tubulações pode ser determinado como portanto fL 11 f L 5 I D iI D 417 Fixado um certo diâmetro D o comprimento L de uma tubulação equi valente a um sistema em série também pode ser determinado transformando se cada trecho da associação em conduto equivalente de diâmetro D usando a Equação 415 Pela fórmula de HazenWilliams a expressão correspondente à Equação 417 é L 11 L 18s 0 487 L c18s 487 1 1 i i 418 b Sistema em paralelo O sistema em paralelo é mais complexo que o sistema em série uma vez que como na associação de resistências em paralelo há uma redistiibuição da vazão de entrada co1Tente elétrica pelos trechos inversamente proporcio nal às resistências hidráulicas ôhmicas A característica básica do esquema é que a perda de carga queda de tensão é a diferença de cotas piezométricas potenciais elétricos na entrada e saída do sistema circuito de modo que a perda de carga é a mesma em todos os trechos e a vazão de entrada é igual à soma das vazões nos trechos Cap 4 Q Figura 48 Tubulações em paralelo Em um sistema de tubulações em série podese afirmar que a linha piezométrica sempre desce no sentido do escoamento E a linha de energia A Figura 48 mostra um sistema em parale lo constituído por três trechos de comprimentos diâmetros e fatores de atrito diferentes Sendo Q a vazão de entrada é possível substituir a associa ção em paralelo por um único conduto que lhe seja equivalente observando que Q Q Q2 Q1 e também LHAs LH LH2 LH1 Pela Equação 414 a vazão em um trecho qualquer tem a forma LH D 1 1 419 Como o conduto equivalente de comprimento L diâmetro D e coefi ciente de atrito f deverá transportar a vazão total Q sob perda de carga LH pela equação da continuidade vem L H1 D af1L 1 LH2 D af2 L 2 Desenvolvendo e observando que a perda de carga é constante chega se a 420 O uso da Equação 420 tornase mais prático observandose que se for fixado o comprimento L entre os pontos A e B e determinado o diâmetro equi valente pela equação anterior este muito provavelmente não será um diâme tro comercial Assim é mais fácil aplicar a Equação 420 adotandose o valor do diâmetro D do conduto equivalente e calculandose o correspondente comprimento L Se for usada a equação de HazenWilliams a expressão correspondente à Equação 420 será CD263 C D263 C D263 C D263 1 1 2 2 3 3 Los4 Lºs4 Ls4 Los4 421 Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 105 EXEMPLO 42 1 wk A ligação de dois reservatórios manti dos em níveis constantes é feita pelo sistema de tubulações mostrado na Figura 49 Assu mindo um coeficiente de atrito constante para todas as tubulações e igual a f 0020 despre zando as perdas localizadas e as cargas ciné ticas determine a vazão que chega ao reservatório R2 as vazões nos trechos de 4e 6 e a pressão disponível no ponto B Como o trecho BC tem diâmetro 8 é RI A Figura 49 Exemplo 42 conveniente transformar o trecho em paralelo em um conduto equivalente tam bém de 8 pois assim toda a linha transformada ficará com um diâmetro úni co Pela Equação 420 podese calcular o comprimento de uma tubulação de 8 equivalente à associação em paralelo de 4 e 6 na forma 825 625 425 Lº5 7505 600º5 L 1600 m Portanto o problema transformase em outro mais simples de uma adutora de 2500 m de comprimento e 8 de diâmetro sujeita a uma diferença de cotas piezométricas de 20 m Pela Equação 414 determinase a vazão vei culada pelo sistema como H 00827 fL 2 20 008270020 25º Q2 Q 00393m3s D 020 A cota piezométrica no ponto B pode ser calculada através da perda de carga no trecho BC pela relação 900 CP8 H 8c 57300 CP8 0082700205 00393 020 57300 58020m CQu vtloJTu L jfCO Ç Oo20 573 QQ R2 Cap 4 Pela propriedade do trecho em paralelo as perdas de carga nos condu tos de 4 e de 6 de diâmetro são iguais entre si e iguais à diferença de cotas piezométricas entre o reservatório superior e o ponto B Deste modo 750 2 3 HAB 5930058020 008270020 5 Q 6 96 0028m s 015 600 2 3 HAB 5930058020 008270020 5 Q4 94 00114m Is 010 A carga de pressão disponível em B é igual à diferença entre a cota piezométrica e a cota geométrica PBIY 58020 54420 pn 35280 kNm2 46 SISTEMAS RAMIFICADOS Um sistema hidráulico é dito ramificado quando em uma ou mais seções de um conduto ocorre variação da vazão por derivação de água A derivação de água pode ser para um reservatório ou para consumo direto em uma rede de distribuição Serão analisados dois casos clássicos e simples como meio de de monstrar o tipo de raciocínio para o problema 461 TOMADA D ÁGUA ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS Conforme foi discutido no Exemplo 28 um tipo de sistema de abaste cimento para uma rede de distribuição de água pode ser feito através de dois reservatórios em cotas distintas rvatório su rior será sempre abas tcedor e o reservatór erior chamado reservató1io de com ensaçãopode funcionar cQrnaahastecedor ou não ependendo da demanda na tomada táguaiHtermecliáFia R2 Figura 410 Disposição das linhas piczométricas Consideremse como na Figura 4 l O dois reservatórios R e R2 interligados pela tubulação ABC em que B é a seção de tomada dágua e mantidos em níveis constantes O trecho AB tem comprimento L e diâmetro D e o trecho BC comprimento L2 e diâmetro D2 Se em princípio a solicitação de vazão em B for nula a vazão que sai de R1 chega integralmente em R2 e a linha piezométrica é dada por LB IM Nesta situação os dois trechos funcionam como condutos em série sujeitos a uma perda de carga total igual a Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 107 tH Z 1 Z2 A vazão pode ser determinada como Q t H100827 f L f2 L2 Ds Ds 1 2 À medida que a solicitação em B aumenta a linha piezométrica cai pela diminuição da cota piezométrica em B e conseqüente redução da vazão que che ga a R2 Este processo continua até que a cota piezométrica B3 se torne igual ao nível dágua Z2 Neste ponto a linha piezométrica B3M é horizontal e a vazão no trecho 2 é nula A vazão retirada em B neste caso é dada por Z1 Z2 D 00827 f 1 L 422 Aumentando ainda mais a retirada de água na derivação B a cota piezo métrica em B cai para B4 o reservatório R2 passa a operar também como abastecedor e a vazão retirada é a soma das vazões nos dois trechos Sendo B4 a cota piezométrica em B a vazão retirada Qs é dada por Z2 B 4 D 00827 f2 L 2 Este problema tem aplicação em sistemas de distri buição de água que pela própria natureza se caracteriza por uma razoável flutuação da demanda ao longo do dia Durante a noite quando o consumo cai o reservatório R2 armazena água para ser usada durante o dia como refor ço no abastecimento nas horas de maior consumo 462 PROBLEMA DOS TRÊS RESERVATÓRIOS 423 z R1 A Z2 R2 e 1 D Outro problema clássico é a situação de três reser vatórios mantidos em níveis constantes e conhecidos interligados por três tubulações de comprimentos diâme tros e rugosidades definidos conforme Figura 411 Figura 411 Problema dos três reservatórios Cap 4 A questão básica é saber como as vazões são distribuídas pelos três con dutos na condição de regime permanente isto é estando o sistema em equilíbrio A questão fundamental para a determinação das vazões é conhecer o valor da cota piezométrica no ponto de bifurcação ponto B Pela própria condição to pográfica do sistema é evidente que o reservatório 1 será sempre abastecedor enquanto o reservatório 3 será sempre abastecido Seja X o valor da cota piezométrica em B Três situações se apresentam a Se X Z2 a vazão descanegada do reservatório 1 será transferida parte para o reservatório 2 e pmte para o 3 isto é R abastece R2 e R3 b Se X Z2 a vazão no conduto 2 é nula perda de carga nula e ava zão que sai de R é integralmente transferida para R3 e Se X Z2 o reservatório R2 passa a ser também abastecedor po1tanto R3 é abastecido pelos outros dois A dete1minação das vazões pode ser feita por um processo de tentativa e erro fixandose o valor da cota piezométrica em B o que define as perdas de cargas nos três trechos e verificando a condição de continuidade das vazões no ponto de bifurcação Admitindo um coeficiente de atrito único para as três tubulações as equações que devem ser satisfeitas são Z X k S Q2 1 0 s 1 1 424 Para a resolução do problema de modo simples e relativamente rápido fixase inicialmente o valor da cota piezométrica em B igual ao nível dágua do reservató1io intermediário X Z2 Deste modo Q2 O e pelas Equação 424 determinamse Q e Q3 Se Q Q3 o problema está resolvido Se Q1 Q3 deve se aumentar a cota piezométrica em B de modo a diminuir Q1 e aumentar Q3 e Q2 Se Q Q3 devese diminuir a cota piezométrica em B de modo a au mentar Q e Q2 e diminuir Q3 A variação da cota piezométrica em B em um sentido ou outro aumentando ou diminuindo prossegue até que a equação da continuidade no ponto de bifurcação seja satisfeita isto é Q Q2 Q3 ou Q3 Q Q2 Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 109 Outras variantes deste problema podem ser resolvidas utilizandose o pro cedimento descrito como por exemplo a ligação de quatro reservatórios atra vés de duas junções distintas Fixandose a cota piezométrica na junção mais próxima ao reservatório de cota mais elevada determinamse as vazões dos dois reservatórios mais próximos Com estes valores e a equação da continuidade a cota piezométrica da segunda junção pode ser determinada Se as condições de continuidade não forem satisfeitas na segunda junção um novo valor da cota piezométrica na primeira junção é adotado e o processo repetido EXEMPLO 43 Uma instalação de transporte de água compreende dois reservatórios A e D abertos e mantidos em níveis constantes e um sistema de tubulações de ferro fundido novo C 130 com saída livre para a atmosfera em C No conduto BD e logo a jusante de B está instalada uma bomba com rendimento igual 30 O A a 75 Determine a vazão bombeada para o reservatório D quando o conduto BC deixa sair livremente uma vazão de 010 Figura 412 m3s e ter uma distribuição de vazão em marcha com taxa vazão unitária de distribuição q 000015 m3 sm Determine também a potência necessária à bomba Despreze as perdas localizadas e a carga cinética nas tubulações Tratase de uma aplicação conjunta dos conceitos de distribuição em mar cha problema dos três reservatórios e bombeamento Como visto no item an terior a questão impo1tante para a resolução do problema é a determinação da cota piezométrica no ponto de bifurcação ponto B Trecho BC Distribuição em marcha Qi 010 m3s a vazão de mon tante e a vazão fictícia no trecho podem ser determinadas respectivamente pelas Equações 44 e 412 como Qm Q qL Qm 010 000015 400 016 m3s Qr 12Q Qm 013 m3s A perda de carga no trecho pode ser calculada pela fórmula de Hazen Williams e conseqüentemente a cota piezométrica em B Para QBc Qr O 13 m3s Dsc 030 m e C 130 a Tabela 23 for nece JBc 4598 013 185 1055 m100 m LiHac 422 m portanto CPa CPc LlHnc 200 422 2422 m Cap 4 e Figura 413 Sifão vem Trecho AB ilHAB 300 2422 578 m JAB 578 m 810 m 0714 m100 m Para D AB 040 m J AB 0714 m100 m e C 130 pela Tabela 23 0714 11 327Qi QAB 0225 m3s Qirn 0225 O 16 0065 m3s oK QUI 1 Bomba como se está desprezando a carga cinética a altura total ele ele vação da bomba é igual à diferença entre as cotas piezométricas na saída e na en trada da bomba Na entrada da bomba a cota piezométrica vale CPll 2422 m e na saída pode ser determinada calculandose a perda de carga no trecho BD Para QBD 0065 1113s DBD 020 m e C 130 pela Tabela 23 vem J BD 3312 102 00651ss 2108 m1 00 m ilHBo 422 m Pela equação da energia CPs ilH80 360 CPs 4022 m Da Equação 1 34 Pot yQHs He 98 00654022 2422 1358 kW 1848 cv 11 0 75 ClV 47 SIFÕES H H H t1JP0 v Conforme comentado na Seção 43 quando o plano de carga efetivo corta a tubulação dizse que esta funciona em sifão Há porém casos em que o funcionamento em si fão é imposto de propósito para transferir água ele um reser vatório ou canal para outro em sua lateral situado próximo e em nível inferior ao primeiro mas separados por uma zona mais alta que é necessário ultrapassar Desta maneira parte da tubulação ocupa cotas topográficas superiores ao nível clágua no reservatório superior como na Figura 4 13 Uma vez iniciado o processo ele transferência ele água pelo cscorvamento do sifão o escoamento se estabelece em regime permanente sob urna carga H desde que a pressão no ponto C não caia abaixo de um valor limite A míni ma pressão admissível no ponto alto seria igual à tensão de vapor da água isto é pressão necessária para a vaporização do líquido a urna determinada ternpe Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações lll ratura Para a água a 20 C a tensão de vapor vale 2352 kNm2 024 mH2O pressão absoluta Como condições operacionais o sifão deve ter juntas herméticas para evitar entrada de ar externo o que cessaria o escoamento e garantir uma ve locidade média passível de arrastar o ar ou gases desprendidos evitando o seu acúmulo nos pontos altos As condições energéticas e topográficas necessárias ao funcionamento do sifão podem ser determinadas pela aplicação da equação de Bernoulli aos pontos de interesse A velocidade média e conseqüentemente a vazão pode ser determina da pela aplicação da equação de Bernoulli aos pontos A e D ambos sujeitos à pressão atmosférica local computando todas as perdas de carga existentes na forma y2 H H 0 H 1 2g L llH 425 426 Esta equação fornece a primeira condição para o funcionamento do si fão Uma vez que V O temse 427 A Equação 427 indica que a saída do sifão deve ser tão baixa quanto maiores forem as perdas de carga Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos A e C chegase a 428 em que Pa é a pressão atmosférica leitura barométrica local Pc a pressão ab soluta em C e I llHAc a perda de carga total distribuída e localizada no ramo ascendente do sifão Como evidentemente V O devese ter H EçllH y I y Outra condição limite de funcionamento pode ser obtida fazendose a pressão no ponto alto ser igual à tensão de vapor da água Pv e então pela ex pressão anterior 429 Esta condição indica que a sobreelevação do ramo ascendente do sifão deve ser tão menor quanto maiores forem as perdas totais entre A e C Como se deve ter uma pressão absoluta em C bem acima da pressão de vapor na prática o ponto alto da canalização não deve superar 5 a 6 m acima do nível do reservatório Finalmente a aplicação da equação da energia entre o ponto mais alto e a saída do sifão observando a continuidade do escoamento leva a outra con dição limite de funcionamento na forma Pela mesma condição da Equação 429 a cota de saída do sifão em relação à cota superior deve atender à desigualdade 430 que na prática indica um valor da ordem de 8 m no máximo Como o comprimento do sifão é relativamente pequeno as perdas de carga localizadas não são desprezíveis em relação às perdas contínuas e pela Equação 425 podese englobar todas as perdas numa única escrevendo V 2 f L 1 H 1L K V e 2gH µ 2g H 2g D va Sendo A a área da seção transversal do sifão a vazão pode ser determi nada por Q VA µA 2gH 43 Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 113 Esta expressão é conhecida como lei dos orifícios a ser discutida pos teriormente sendo µ um coeficiente definido como coeficiente de vazão EXEMPLO 44 O sifão mostrado na Figura 4 14 conecta dois reservatórios com diferença de níveis igual a 40 m e tem a forma de um arco de parábola dado por y 01 x2 Se o diâmetro é igual a 010 m fator de atrito f 0018 e coeficientes de per da de carga na entrada e saída são respectiva mente 05 e 10 determine a a vazão descarregada b as coordenadas do ponto de pressão mínima em relação ao referencial xy c a pressão mínima 548m Figura 414 Exemplo 44 Em um sifão a pressão mínima pode não ocorrer no ponto mais alto mas logo à sua jusante uma vez que as perdas por atrito e na entrada podem redu zir mais a pressão do que o acréscimo causado pela diminuição de cota topo gráfica O comprimento de arco de uma curva plana entre os pontos a e b é dado por Para a parábola dada dydx 02x assim o comprimento total do si fão pode ser calculado como 837 L ab f J1 004x 2 dx17814m 548 Portanto a velocidade média é calculada pela aplicação da equação da energia entre os níveis dágua na forma 837 m 7m Desprezandose todas as perdas de carga podese afirmar que a pressão no ponto mais alto de um sifão independe da vazão 4m Cap 4 V 2 o 018 40 05 10 17814 V 408 m s Q 321 1 s 2g 010 As perdas localizadas na entrada e na saída correspondem pela Equação 316 a um comprimento equivalente L KD 1501 8 33 m e f 0018 O ponto de pressão mínima é aquele ponto do arco que está verticalmen te mais distante da linha piezométrica Geometricamente corresponde à dis tância da tangente ao arco derivada que seja paralela à linha piezométrica Portanto JLlH 40 0153mmdy 02x x077m Labt 17814833 dx y 0059 m Aplicando a equação da energia entre o ponto a e o ponto de pressão mínima e calculando o comprimento do arco correspondente x 548 a x 077 de forma análoga temse O E 30 059 4º 82 1 O 5 OOl 8 7 564 19 6 O 10 y E 537 mH20 p5264 kNm2 y 48 ESCOAMENTO QUASEPERMANENTE Grande parte das aplicações feitas nos capítulos anteriores teve como premissa básica o escoamento permanente isto é suas propriedades e carac terísticas em cada ponto do espaço eram invariantes no tempo Em problemas como enchimento ou esvaziamento de reservatórios nos quais a taxa de varia Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 115 ção da vazão é lenta e contínua com o tempo podese desprezar a aceleração do fluido e as forças responsáveis por esta aceleração Este tipo de escoamento é dito quase permanente e as equações utilizadas no caso pe1manente podem ser aplicadas com razoável acurácia Dois problemas que podem ser tratados com esta hipótese são o esvazi amento de um reservatório através de uma tubulação com saída livre e a variação no tempo dos níveis de água em dois reservatórios abertos e ligados por uma tubulação No primeiro caso conforme a Figura 415 uma tubu lação de características conhecidas descarregando livre mente permite o esvaziamento do reservatório aberto de geometria dada a partir de uma condição inicial do nível dágua Como a área do reservatório Ar é muito maior que a área da tubulação A a variação no tempo do nível dágua é lenta e a única fmma de energia disponível é a potencial dada pela carga de posição z Na extremidade de saída a energia residual em relação ao referencial passando por esta seção é a carga cinética Y Qt PHR r Figura 415 Assim a equação da energia aplicada aos dois pontos sujeitos à pressão atmosférica em um tempo genérico t considerandose todas as perdas de carga tornase y2 f L y 2 z 2g 2K D 2g 432 Deve ser observado que a aproximação realizada ao se adotar a Equa ção 432 corresponde a desprezar o termo Lg dVdt da Equação 111 Para propósitos práticos o fator de atrito na Equação 432 é assumido constante independente da variação do número de Reynolds pela variação da vazão Podese adotar como critério de cálculo um valor médio de f corres pondente à vazão inicial quando z a e à vazão final quando z y Desenvolvendose a Equação 432 vem V 2g 2 V P 2 1 2KfL D 433 Esvaziamento de reservatório Cap 4 A continuidade do escoamento entre a superfície do reservatótio e a saída da tubulação de área A1 permite escrever dVol dz Q VA vzA A z 1 1 dt dt 434 em que o sinal negativo indica um processo de esvaziamento isto é quando o tempo aumenta o nível dágua diminui e Az é a relação entre a área e a profundidade do reservatório na faixa a z y A Equação 434 leva à seguinte integral t A Azz12dz fJ I a que pode ser resolvida por processos analíticos ou métodos de integração numérica ou gráfica desde que se estabeleça a função Az No caso pruticular em que o reservatório é prismático a área é constante e a integração tornase 435 Escoamento quasepermanente pode ocorrer também quando dois tanques ou reservatórios são conectados por uma tubulação de diâmetro relativa mente pequeno permitindo a transferência de água por gravidade entre eles com variação dos níveis dágua como na Figura 416 22 No tempo t O a diferença de níveis dágua entre os reservatórios supostos prismáticos de áreas Figura 416 Escoamento quasepermanente entre dois reservatórios A e A2 é Ho e em um tempo genérico vale H A equação da energia aplicada entre os dois níveis dágua leva a V 2 fL HIK 436 2g D De modo análogo à Equação 432 a Equação 436 pode ser posta na forma Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 117 V 2g fH LK fLD V ajH A condição de continuidade do escoamento impõe que a H A A d z A d Zz vn t dt zdt 437 438 A relação entre a variação dos níveis dágua com o tempo é dada por dz1 dH dt dt que substituída na relação precedente fica Substituindose na Equação 438 temse dt A 1 dH aA 1 l A1A 2 JH expressão que integrada entre a condição inicial e um tempo qualquer fica 439 49 P7BLEMAS V Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um tre cho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro seguido por outro trecho de 900 m de comp1imento e 100 mm de diâmetro ambos com o mesmo fator de atrito f 0028 A vazão total que entra no sistema é 0025 m3s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q vazão de distribuição unitária nos dois trechos de modo que a vazão na extremi Dois reservatórios cujas cotas das superfícies de água diferem de 205 m são Interligados por um conduto de 60 cm de diâmetro e 3050 m de comprimento O conduto atravessa um terreno elevado cujo ponto mais alto está 920 m acima do nível e 300 m distante do reservatório superior Determine a profundidade mínima que deve ser enterrado o conduto nesta seção para que a carga de pressão absoluta no ponto mais alto da linha não cala abaixo de 30 mH2O e determine a vazão Adote f 0020 considere a carga cinética e verifique a rugosidade absoluta do conduto Leitura barométrica local 684 mmHg A tubulação retilínea mostrada na figura tem uma vazão de distribuição em marcha ao longo do comprimento L constante e igual a q m 3sm e a extremidade B está fechada Oe O Determine a que distância x do reservatório R temse uma carga de pressão igual à carga de pressão no fundo do reservatório mantido em nível constante e aberto Use uma equação de resistência na forma J mim K o2 em que Or é a vazão fictícia no trecho e igual à média aritmética das vazões a montante e a jusante A tubulação de comprimento L está assentada formando um ângulo ex com a horizontal Discuta a solução Despreze as perdas localizadas e a carga cinética R Py Cap 4 6 4 A IOOm 41 5 111 B Figura 417 Problema 43 dade de jusante seja nula Determine a perda de carga total na adutora des prezando as perdas localizadas ao longo da adutora 6H 1961 m 42 Por uma tubulação de 27 de diâmetro e 1500 m de comprimento pas sa uma vazão de 028 m3s de água Em uma determinada seção a tubulação dividese em dois trechos iguais de 18 de diâmetro 3000 m de comprimen to descarregando livremente na atmosfera Em um destes trechos toda a va zão que entra na extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação com uma vazão por unidade de comprimento unifotm e e no outro metade da 6 800 m D 700 m vazão que entra é distribuída uniformemente ao longo do trecho Adotando para todas as tubula ções um fator de atrito f 0024 e supondo que todo o sistema está em um plano horizontal de termine a diferença de carga entre as seções de entrada e a saída Despreze as perdas singulares 6H 435 m 43 Os dois sistemas hidráulicos mostrados na Figura 417 são equivalen tes e todas as tubulações possuem o mesmo fator de atrito da equação de DarcyWeisbach Determine D D 4 44 Quando água é bombeada através de uma tubulação A com uma vazão de 020 m3s a queda de pressão é de 60 kNm2 e através de uma tubulação B com uma vazão de O 15 m3s a queda de pressão é de 50 kNm2 Determi ne a queda de pressão que ocorre quando O 17 m3s de água são bombeados através das duas tubulações se elas são conectadas a em série b em parale lo Neste último caso calcule as vazões em cada tubulação Use a fórmula de DarcyWeisbach a 6p 1076 kNm2 b 6p 131 kNm2 QA 00933 m3s QB 00767 m3s 45 No sistema mostrado na Figura 4 18 do ponto A é derivada uma vazão QA 35 1s e em B é descarregada na atmosfera QB 50 ls Dados L 300 m D1 225 mm f 0020 L2 150 m D2 125 mm f2 0028 L3 250 m D3 150 mm f3 0022 L4 100 m D4 175 mm f4 0030 Calcular a o valor de H para satisfazer as condições anteriores Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 119 b a cota piezométrica no ponto A Despreze as perdas localizadas e a carga cinética a H 15 m b CPA 878 m CCCY 7 11D1 A 46 Uma localidade é abastecida de água a pattir dos re servatórios C e D do sistema de adutoras mostrado na Fi gura 419 As máximas vazões nas adutoras CA e DA são de 80 1s e 120 1s respectivamente Determine QA Figura 418 Problema 45 a os diâmetros dos trechos CA e DA para vazão máxima de 200 1s na extremidade B do ramal AB de diâmetro igual a 020 m sendo a carga de pressão disponível em B igual a 30 mH20 b a vazão que afluiria de cada reservatório ao se produzir uma rnptura na extremidade B Todas as tubulações são de ferro fundido novo C 130 Despreze as cargas cinéticas nas tu bulações a DcA DoA 01 O m b QcA 183 1s QoA 150 1s Figura 419 Problema 46 47 O sistema de distribuição de água mostrado na Figura 420 tem todas as tubulações do mesmo material A vazão total que sai do reservatório I é de 20 1s Entre os pontos B e C existe uma distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e igual a q 001 1sm As sumindo um fator de atrito constante para todas as tubulações f 0020 e desprezando as perdas loca lizadas e a carga cinética determine Yá cota piezométrica no ponto B L LJ D3 L2 D2 D o20 m 1803 m 76 O b a carga de pressão disponível no ponto C se a cota geométrica deste ponto é de 57600 m c a vazão na tubulação de 4 de diâmetro 1000 m 6 Bll l l l l l C q 001 1sm a CPa 58642 m b PclY 552 mHzO Figura 420 Problema 47 c Q4 52 1s 11 L D 159 2 B li D Cap 4 A 1050 m 8 Figura 421 Problema 49 30 1s 5 1s Figura 422 Problema 41 O e Figura 423 Problema 4 11 6 D 200m 48 Três reservatórios A B e C são conectados por três tubulações que se juntam no ponto J O nível do reservatório B está 20 m acima do nível de C e o nível de A está 40 m acima de B Uma válvula de controle de vazão é insta lada na tubulação AJ imediatamente a montante de J A equação de resistên cia de todas as tubulações e da válvula é dada por tHm rQ2 em quer é o coeficiente de resistência e Q a vazão en m3s Os valores de r para is três tu 735 O li e 8105 507 2 360 m E bulações são rAJ 150 r8J 200 e rc1 300 Determine o valor do coeficiente r de resistência da válvula tHvm rQ2 para que a vazão que chega ao reservatório C seja o dobro da que chega ao reservatório B r 50 49 O esquema de adutoras mostrado na Figura 421 faz patte de um sistem1 de distribuição de água em uma cidade cuja rede se inicia no ponto B Quando a carga de pressão disponível no ponto B foi de 200 mH20 detennine a vazão no trecho AB e verifique se o reservatório II é abastecido ou abastecedor Nesta situação qual a vazão Q8 que está indo para a rede de distribuição A partir de qual valor da cmga de pressão em B a rede é abastecida somente pelo reservatório I Material das tubulações aço rebitado novo Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas e utilize a fór mula de HazenWilliams QAu 4293 1 abastecido Qu 2797 1s psy 15 mfüO 410 No sistema de abastecimento dágua mostrado na Figura 422 todas as tubulações têm fator de atrito f 0021 e no ponto B há uma derivação de 50 1s Despre zando as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas determine a carga de pressão disponível no ponto A e as vazões nos trechos em paralelo pAy 2120 mH2O Q6 8 12 1s Qs 1688 1s 411 No sistema adutor mostrado na Figura 423 todas as tubulações são de aço soldado com algum uso coeficien te de rugosidade da equação de HazenWi li iams C 120 O traçado impõe a passagem da tubulação pelo ponto B ele cota geométrica 51440 m O diâmetro do trecho CD é de 6 e a vazão descatTegacla pelo reservatório superior é de 26 1s Dimensione os outros trechos sujeito a Cap 4 Sistemas Hidráulicos de Tubulações 121 a a carga de pressão mínima no sistema deve ser de 20 mlhO b as vazões que chegam aos reservatórios E e D devem ser iguais Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas DAD 020 m Dsc 015 m DcE 010 m 412 A diferença de nível entre dois reservatórios conectados por um sifão é 75 m O diâmetro do sifão é 030 m seu comprimento 750 me o coeficiente de atrito f 0026 Se ar é liberado da água quando a carga pressão abso luta é menor que 12 mH20 qual deve ser o máximo comprimento do tramo ascen dente do sifão para que ele escoe a seção plena sem quebra na coluna de líquido se o ponto mais alto está 54 m acima do nível do reservatório supetior Neste caso qual é a vazão Pressão atmosfética local igual a 9265 kNm2 La 273 m Q 0105 m3s 413 Dois reservatórios têm uma diferença de nível igual a 15 m e são conectados por uma tubulação ABC na qual o ponto mais alto B está 2 m abai xo do nível dágua do reservatório superior A O trecho AB tem diâmetro de 020 m e o trecho BC diâmetro de O 15 m e o fator de atrito é o mesmo para os dois trechos O comprimento total da tubulação é 3000 m Detennine o maior valor do comprimento AB para que a carga de pressão em B não seja maior que 2 mH20 abaixo da pressão atmosférica Despreze a carga cinética LAs 1815 m 414 Um tanque cilíndrico abe1to de 10 m de diâmetro está sendo esvaziado por um tubo de 50 mm de diâmetro e 40 m de comprimento com entrada em aresta viva K 05 para o qual f 0025 e descanegando na atmosfera Deter mine o tempo necessário para que a diferença entre o nível dágua no tanque e o nível da saída do tubo caia de 20 m para 10 m t 140 s 415 Dois reservatórios prismáticos um de área igual a 74 m2 e outro de área igual 37 m2 estão ligados por uma tubulação de 125 m de comprimen to e 50 mm de diâmetro com fator de atrito f 0030 Determine o tempo ne cessário para que um volume de 23 m3 de água seja transferido do tanque maior para o menor se a diferença de nível inicial entre eles é de 15 m Coe ficientes de perda de carga na entrada K 05 e na saída K 10 t 388 min Um tanque cilíndrico aberto de 10 m de diâmetro está sendo esvaziado por uma tubulação de 50 mm de diâmetro e 240 m de comprimento com entrada em aresta viva k 05 e descarregando na atmosfera para a qual o fator de atrilo f variando com o tempo e a velocidade média é representado pela equação de Blaslus Eq222 tubos lisos Determine o intervalo de tempo para que a diferença entre o nível dágua no tanque e o nível da saída da tubulação caia de 20 m para 10m Te4mln A 5 lll Figura 424 Problema 416 Figurn 425 Problema 417 D 416 Um reservatório alimenta uma tubulação de 200 mm de diâmetro e 300 m de comprimento a qual se divide em duas tu bulações de 150 mm de diâmetro e 150 m de comprimento como na Figura 424 Ambos os trechos estão totalmente abertos para a atmosfera nas suas extremidades O trecho BD possui saídas uniformemente distrjbuídasao longo de seu comprimen to de maneira que metade da água que entra é descarregada ao longo de seu comprimento As extremidades dos dois trechos estão na mesma cota geométrica e 15 m abaixo do nível d àgua do reservatório Calcule a vazão em cada trecho adotando f 0024 desprezando as perdas localizadas e a carga cinética nas tubulações Resolva o problema de duas maneiras primeiro usando no trecho BD o conceito de vazão fictícia e segundo determinando a perda de carga distri buída em um elemento de comprimento dL e depois fazendo a integração de O a L de B até D QAll 0076 m3s QBc 0033 m3s Qllo 0043 m3s A 50 00 417 De uma represa mantida em nível constante sai uma tubulação de ferro fundido novo de 200 mm de diâmetro e 500 m de comprimento que termina no fundo de um reservatório prismático de I O m2 de área e 5 m de altura conforme a Figura 425 Estando inicialmente vazio ore servatório abrese o registro colocado em A Calcular o tempo necessário para o enchimento completo do reserva tório prismático Assuma que durante o enchimento do re servatório o fator de atrito da tubulação seja constante com valor médio f 0020 Resolva o problema de duas manei ras distintas a utilizando a Equação 439 observando que no caso temse A A2 10 m2 b utilizando a Equação 242 e observando que pela equação da continuidade em um tempo qualquer t a vazão que entra no re servatório é dada por Q Adhdt em que h é uma ordenada marcada positiva de cima para baixo a partir da cota 50 m e A a área do reservatório Despreze as perdas de carga localizadas na tubulação T 38 min 5 SISTEMAS ELEVATÓRIOS CAVITAÇÃO 51 INTRODUÇÃO Grande parte do que foi discutido nos capítulos anteriores referiuse ao escoamento por gravidade no qual há o aproveitamento da energia po tencial de posição para o transporte da água Em muitos casos entretanto não há esta disponibilidade de cotas topográficas sendo necessário transfe rir energia para o líquido através de um sistema eletromecânico conforme foi visto na Seção 15 Um sistema de recalque ou elevatório é o conjunto de tubulações acessórios bombas e motores necessário para transportar uma certa vazão de água ou qualquer outro líquido de um reservatório inferior R1 na cota Z1 para outro reservatório superior R2 na cota Z2 Z1 Nos casos mais co muns de sistemas de abastecimento de água ambos os reservatórios estão abertos para a atmosfera e com níveis constantes o que permite tratar o es coamento como permanente Um sistema de recalque é composto em geral de três partes a Tubulação de sucção que é constituída pela canalização que liga o reservatório inferior R1 à bomba incluindo os acessórios necessá rios como válvula de pé com crivo registro curvas redução ex cêntrica etc b Conjunto elevatório que é constituído por uma ou mais bombas e respectivos motores elétricos ou a combustão interna c Tubulação de recalque que é constituída pela canalização que liga a bomba ao reservatório superior R2 incluindo registros válvula de retenção manômetros curvas e eventualmente equipamentos para o controle dos efeitos do golpe de aríete A instalação de uma bomba em um sistema de recalque pode ser feita de duas formas distintas a Bomba afogada quando a cota de instalação do eixo da bomba está abaixo da cota do nível dágua no reservatório inferior R1 b Bomba não afogada quando a cota de instalação do eixo da bom ba está acima da cota do nível dágua no reservatório inferior R1 123 Maurits Comelis Escher 1961 Cap 5 Zr Cr Hg L z a b Z cota do nível dágua no reservatório inferior R Z2 cota do nível dágua no reservatório superior R2 Z cota de assentamento do eixo da bomba y 2g L Hg Z cota da linha de energia relativa na entrada da bomba Zr cota da linha de energia relativa na saída da bomba C cola da linha piezométrica relativa na entrada da bomba C cota da linha piezométrica relativa na saída da bomba I 1 hr Cr H z Cs 1 Afl JT f5 z z z ltura estátic de sucçio diferença de cotas entre o nível do eixo da bomba e a superfície livre do reservatório inferior negativa no esquema bomba não afogada e po sitiva no esquema h bomba afogada L Z2 z ltura estátic de recalque diferença de colas entre o nível em que o líquido é abandonado ao sair da tubulação de recalque e o nível do eixo da bomba H Z2 Z 1 arura geométric ou ltura estâtica towl diferença entre os níveis de água dos reservatórios Hs Cs Zh altura mm0111étrica de mqtlo carga de pressão relativa disponível na entrada da bomba em relação ao plano horizontal de cota z negativa no esquema ª e positiva no II H C z atum 11JIOlllétrica de rernlque carga de pressão relativa disponível na saída da bomba em relação ao plano horizontal de cota z H e e H H altura mawmétric tol diferencial entre as cargas de pressão re lativas na saída e na entrada da bomba tH z Z perda de carga total distribuída e localizada na tubulação de sucção tH Z Z perda de carga total distribuída e localizada na tubulação de recalque v2 L carga cinética na tubulação de sucção 2g v2 carga cinética na tubulação de recalque 2g v2 h Z z H 2 Z tH altura total de sucção vi h Z z H L tH altura total de recalque 2g H Z Z altura ou carga total de elevação Figura 51 Linhas de energia e piezométrica em uma instalação de bomba 52 ALTURA TOTAL DE ELEVAÇÃO E ALTURA MANOMÉTRICA Na Seção 15 foi definida a altu ra total de elevação de uma bomba como a diferença entre a carga ou energia do escoamento à saída e à en trada da bomba Veremos agora outras definições importantes de alturas ou cargas em sistemas elevatórios Com referência à Figura 5 1 na qual são mostradas as linhas de energia e piezométrica em dois esquemas de bom beamento bomba afogada e não afogada de eixo horizontal a seguinte terminolo gia será adotada ver definições abaixo da figura Das definições anteriores e dos esquemas da Figura 51 podemse ex trair as seguintes relações y2 y2 H H m r s 2g 2g 51 52 Pela Equação 51 se as tubula ções de recalque e sucção tiverem diâ metros iguais a altura total de elevação se confunde com a altura manométrica Em geral a tubulação de sucção tem um diâmetro comercial imediatamente superior ao da tubulação de recalque para diminuir a velocidade e ocorrer menores perdas de carga A Equação 52 fornece um resultado importante para o cálculo da altura total de ele vação e conseqüentemente da po tência necessária à bomba Cap s Sistemas Elevatórios Cavitação 125 A energia a ser cedida ao escoamento expressa em metros de colu na do líquido é igual ao desnível topográfico entre os reservatórios acrescida de todas as perdas de carga distribuídas e localizadas nas cana lizações de sucção e recalque 53 POTÊNCIA DO CONJUNTO ELEVATÓRIO Conforme a Equação 134 a potência recebida pela bomba potên cia esta fornecida pelo motor que aciona a bomba é dada pela expressão 98QH Pot 11 103QH kW ou Pot cv 75 Tj Qm3s e Hm 53 em que Tj é o coeficiente de rendimento global da bomba que depende basicamente do porte e características do equipamento A potência elétrica fornecida pelo motor que aciona a bomba sendo Tm seu rendimento global é dada por Pot 111 9SQH kW fl flm 103 QH ou Pot cv m 75Tjflm 54 DIMENSIONAMENTO ECONÔMICO DA TUBULAÇÃO DE RECALQUE 541 CUSTO DE UMA CANALIZAÇÃO 54 Em um projeto hidráulico de uma adutora por gravidade ou bom beamento deve haver um compromisso entre os requisitos técnicos de desem penho e segurança e o custo global do sistema O custo da unidade de comprimento de uma tubulação depende ba sicamente de seu peso que é função do diâmetro interno e da espessura da parede e também de custos indiretos como transporte mãodeobra assen tamento em valas etc O diâmetro interno é uma variável que está relacio nada às condições hidráulicas para garantir o transporte de uma certa vazão enquanto a espessura deve ser fixada em função dos esforços de vido à pressão interna à qual o material será submetido Para as tubulações em que a espessura da parede e é bem menor que o diâmetro interno e D situação em que a tensão admissível do material na parede é assumida como uniforme a relação entre as variáveis é dada pela equação de Mariotte 1 1 Edme Mariotte físico francês 16201684 B Hidranca Básica Cap5 pD e 2 J 55 em que p é a pressão interna e cr a tensão de trabalho admissível do mate rial No caso de uma adutora por gravidade como comentado na Seção 43 o dimensionamento da espessura é feito na situação mais desfavorável de pressão que ocorre em situação hidrostática isto é com vazão nula Dependendo do perfil topográfico a tubulação de diâmetro interno único pode ter espessuras diferentes e classes diferentes de tubos para padrões de pressões distintas O peso de uma unidade de comprimento de um tubo de diâmetro interno D espessura e e peso específico do material Ym é dado por Gym1tDee 56 Eliminando o valor da espessura e nas Equações 55 e 56 fica G Ym1t11pD2 2cr 2cr 57 Portanto o custo da unidade de comprimento da tubulação é igual ao produto da expressão anterior pelo preço da unidade de peso do material Para valores constantes dos parâmetros da Equação 57 o custo unitário é dado por e a D2 58 Os custos indiretos de transporte escavação e assentamento bem como as peças especiais válvulas curvas e registros são englobados no valor da constante a uma vez que estes custos são aproximadamente proporcionais ao quadrado do diâmetro interno No caso de tubulações de ferro fundido por razões construtivas devese dar à espessura da parede um valor mínimo eo de modo que combinando esta condição à equação de Mariotte a espessura possa ser calculada como pD e e K com K 1 º 2cr 59 Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitaçã 127 Deste modo o peso da unidade de comprimento da tubulação pela Equação 56 fica 510 O custo unitário da tubulação como visto antes é o produto da equação anterior pelo preço da unidade de peso do material e desenvol vendo a Equação 5 10 chegase a uma expressão para o custo unitário na forma 511 em que a b c são coeficientes que dependem do tipo de material e da pressão interna Para projetos de menor monta com tubulações de diâmetros relati vamente pequenos menores que 8 é comum usar uma expressão apro ximada e mais simples que as anteriores na qual o custo da unidade de comprimento da tubulação é proporcional à primeira potência do diâme tro Multiplicando e dividindo a Equação 56 pelo diâmetro D temse G Y m 7C D e e D D 512 O fator entre colchetes da equação anterior é aproximadamente constante para diâmetros não muito grandes até 200 mm em tubos de ferro fundido assim o custo da unidade de comprimento é o produto da Equação 512 pelo preço da unidade de peso do material na forma 513 A Equação 513 será usada posteriormente para desenvolver a fór mula de Bresse2 para o cálculo do diâmetro econômico de uma tubulação de recalque 542 TUBULAÇÃO DE RECALQUE No projeto de um sistema elevatório há dois aspectos importantes a serem considerados o diâmetro da tubulação de recalque e em conseqüência da tubulação de sucção a potência necessária do conjunto motorbomba As equações disponíveis são a da continuidade e uma equação de resistência 2 Jacques Antoine Charles Bresse engenheiro e professor francês 18221883 Cap 5 na forma J KQºDm Como o único parâmetro de projeto conhecido é a vazão Q a ser recalcada temse um problema com três incógnitas J D e V e duas equações portanto um problema indeterminado Se o diâmetro adotado for relativamente grande resultarão perdas de carga pequenas portanto a altura total de elevação H Hg fH e a po tência do conjunto elevatório necessária serão relativamente pequenas com custos menores enquanto o custo da linha adutora será alto Se ao contrário o diâmetro adotado for relativamente pequeno a linha adutora terá custo baixo enquanto as perdas de carga serão altas e o conjunto elevatório ficará mais caro por exigir uma potência maior Como a vazão e a altura geométrica são fi xas os custos totais da linha adutora e do conjunto elevatório incluindo o custo anual de energia elétrica dependem de modos opostos do diâmetro escolhido Assim existirá um diâmetro conveniente para o qual o custo total do projeto in cluindo a abertura de valas assentamento de tubulações consumo de energia elétrica unidade de reserva do grupo motorbomba e custo eco nômico do capital investido taxa de juros e amortização será mínimo Para uma adutora de comprimento L diâmetro D e uma taxa de en cargo financeiro t Uuros e amortização do capital o gasto anual global pode ser calculado por Custo1 Ci L t 5 14 em que C é uma das equações de custo unitário em função do diâmetro apresentadas na Seção 5 4 1 Podese também fazer uma análise econômica de custos anuais do gasto com energia elétrica de uma instalação que funciona T horas por dia du rante N dias por ano ao custo de A por quilowatthora consumido na forma 98Q H J L Custo g NTA llllm 51 5 A Equação 51 4 é diretamente proporcional ao diâmetro enquanto a Equação 515 é inversamente proporcional ao diâmetro pois o termo JL diminui com o aumento do diâmetro para uma vazão fixa Desta maneira lançandose em gráfico as duas equações para uma série de diâmetros temse como curva dos custos da tubulação uma curva crescente curva 1 e como curva dos custos do conjunto elevatório uma curva decrescente curva 2 que tende ao valor mínimo cotTespondente ao custo ne Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 129 cessário para vencer somente o desnível topográfico Hg quando a perda de carga se torna desprezível A soma das curvas I e 2 que corresponde ao en cargo anual da instalação e o diâmetro conveniente ou diâmetro econômico De que é aquele que torna a soma dos custos mínima estão mostrados na Figura 52 543 FÓRMULA DE BRESSE 14 12 10 2 Curva 1 Curva 12 Curva 2 Um tratamento simples e aproximado do problema de dimensionamento econômico da tubulação de recalque em instalações de potência pequena que funcionam ininterrup tamente 24 horas por dia pode ser feito a partir das se guintes hipóteses o l 0 01 02 o3 04 ºos o6 01 oa o9 Diâmetro m a que o custo da linha instalada de comprimento L seja como na Equação 513 diretamente propor cional ao diâmetro na forma C1 pLD Figura 52 Determinação do diâmetro econômico de uma tubulação de recalque b que o custo do conjunto motorbomba seja diretamente proporcional à unidade de potência instalada kW na forma C2 p2 Pot Sendo p1 o gasto anual de 1 m de comprimento de um conduto de l m de diâmetro incluindo despesas de amortização e conservação e p2 o custo anual de operação do grupo motorbomba por unidade de potência incluindo despesas de operação e manutenção o custo total do sistema é a soma dos dois fatores C pLD p2 Pot Pela Equação 5 4 com H Hg LlHr vem fL 2 D 98QHg 00827D 5 Q C P1 L P2 11 llm 516 Derivandose a equação precedente em relação ao diâmetro e igualandose a zero para chegar ao mínimo custo global C fica d C L 405 f L Q 3 O d D P P2 D6 1111m que leva à relação entre a vazão de recalque e o diâmetro econômico na forma B Hdáu Bás e s Por que na Figura 52 o ponto de mínimo não é o correspondente ao ponto de cruzamento das curvas 1 e 2 06 405f E1Q3 1111m P1 de onde finalmente Dm K Qm3s 517 Esta equação é conhecida como fórmula de Bresse na qual a constante K depende entre outras coisas dos custos de material mãodeobra operação e manutenção do sistema etc não sendo portanto fixa vaiiando de local paia local e no tempo principalmente em regimes econômicos inflacionários Em geral a constante K assume valores na faixa de 07 a 13 Algumas observações sobre a fórmula de Bresse são necessárias a Tratase de uma equação muito simples para representar um proble ma complexo e com muitas variáveis econômicas portanto deve ser aplicada na fase de anteprojeto b Em sistemas de menor porte com adutoras de até 6 o emprego da Equação 517 pode conduzir a um diâmetro aceitável c Em instalações maiores o diâmetro gerado pela Equação 517 deve ser tomado como a primeira aproximação para uma pesquisa mais ela borada segundo a metodologia descrita na Seção 542 d A fixação de um valor da constante K equivale a adotar uma velocidade média de recalque chamada velocidade econômica Em geral nos sis temas elevatórios as velocidades variam na faixa de 06 a 30 ms sendo mais comuns velocidades entre 15 e 20 ms e A fórmula de Bresse deve ser aplicada a sistemas de funcionamento contínuo 24 horas por dia Nem sempre há necessidade de o sistema funcionar continuamente basta que se recalque o volume necessário de reservação para consumo diário em uma fração do dia Este é o caso do abastecimento de um prédio de apartamen tos em que o aporte de água para consumo e reserva de combate a incêndio em geral é feito durante um certo número de horas por dia Para estes casos o dimensionamento da tubulação de recalque é feita pela Equação 5 18 reco mendada pela NBR5626 da ABNT 1 D m 13 Vx Qm3s 518 Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 131 em que X é a fração do dia isto é o número de horas de funcionamento do sis tema dividido por 24 Em qualquer caso o diâmetro encontrado deve ser apro ximado para o diâmetro comercial mais conveniente EXEMPLO 51 O k O projeto de um sistema elevatório para abastecimento urbano de água deverá ser feito a partir dos seguintes dados a vazão necessária Q 80 1s b altura geométrica a ser vencida Hg 48 m e comprimento da linha de recalque L 880 m d material da tubulação feITO fundido classe K7 rugosidade E 04 mm e número de horas de funcionamento diário T 16 h j número de dias de funcionamento no ano N 365 g taxa de interesse e amortização do capital 12 aa h rendimento adotado para a bomba ri 70 i rendimento adotado para o motor Tm 85 j preço do quilowatthora A R 0031 Uma pesquisa de preço de tubos por unidade de comprimento para 150 mm D 500 mm levou à seguinte relação entre diâmetro e custo Custo Rm 0042 Dmm 14 Determine o diâmetro econômico de recalque Com auxílio da Equação 238 ou da Tabela A2 podese calcular a per da de carga unitária e em seguida a perda de carga no recalque e a altura to tal de elevação pela Equação 52 considerando somente a tubulação de recalque Pela Equação 515 determinase o custo anual com energia elétrica para diâ metros na faixa de 150 a 500 mm O custo anual da tubulação é o produto do custo unitário pelo comprimento da linha multiplicado pelos encargos econô micos de 12 aa A Tabela 51 apresenta os cálculos para os diâmetros escolhidos Em uma certa tubulação horizontal de um dado comprimento veicula uma determinada vazão constante mantida por uma bomba e o custo de capital da estação elevatória ê C1 a bPot em que a e b são constantes e Pot a potência hidrâulica perdida na tubulação por atrito Mostre que a potência fornecida pela bomba é dada por Pot c05 em que e é uma constante Se o custo de calital da tubulação for dado por C2 mD em que me uma constante mostre que o diâmetro D tal que o custo de capital total do projeto C1C2 seja mínimo é dado por o7sbc f2rn Ó e u Ver endereço eletrônico www eescscuspbrshs na área Ensino de Graduação 60000 50000 40000 30000 20000 10000 o 100 150 200 250 Diâmetro mm 150 200 250 300 350 400 450 500 300 Diâmetro mm Figura S3 Determinação do diâmetro econômico a m b 1 Figura 54 Tipos de rotores de bombas Tabela 51 Determinação do custo tola anual de um sistema elevatório J H H1 JL mim m 01790 20550 00396 8284 00123 5887 00048 5221 00022 4990 00011 4895 00006 4852 00003 4830 350 400 450 500 e Custo Custo Custo Custo bombeamento tubulação anual total 4902203 4113957 493675 5395877 1976175 6154233 738508 2714683 1404277 8411007 100921 2413598 1245509 1085697 1302816 2548325 1190268 1347150 1616622 2806890 1167755 16241 119 1948934 31 16689 115744 1 19152677 2298321 3455762 1152269 22196780 2663614 3815883 As colunas 4 6 e 7 da tabela an terior foram postas em forma gráfica indicando que o valor mínimo da soma custo total coluna 4 coluna 6 ocor re para um diâmetro de 250 mm con forme a Figura 53 Ver planilha EXEM 51XLS no diretório Bombas 55 BOMBAS TIPOS E CARACTERÍSTICAS ROTAÇÃO ESPECÍFICA O princípio básico de transfe rência da energia recebida pela bom ba de uma fonte externa ao fluido é a existência no corpo ou caixa da máquina de uma roda ou rotor que ao girar comunica ao fluido acelera ção centrífuga e conseqüente aumento de pressão A ação do rotor orienta a trajetória das partículas dentro do cor po da bomba desde a seção de entra da até a saída De acordo com a forma da trajetória do I íquido no seu interi or as bombas são classificadas como a Bomhas centrífugas ou de escoa mento radial o líquido entra axial mente pelo centro e sai radialmente pela periferia São bombas destinadas Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 33 a vencer grandes cargas com vazões relativamente baixas em que o acréscimo de pressão é causado principalmente pela ação da for ça centrífuga Figura 54a b Bombas de escoamento misto ou diagonal o líquido entra axial mente e sai em uma direção diagonal média entre axial e radial São indicadas para cargas médias e o acréscimo de pressão é devi do em parte à força centrífuga e em parte à ação de sucção das pás Figura 54b c Bombas de escoamento axial o líquido entra axialmente e sai em movimento helicoidal em direção praticamente axial Figura 54c São indicadas para vazões altas e cargas baixas As bombas centrífugas e mistas podem ter rotor fechado ou aberto O rotor fechado é confinado por duas placas paralelas formando com as pás do rotor dutos por onde o líquido escoa atingindo a seção de saída do corpo da bomba São destinados ao bombeamento de líquidos limpos sem materi al particulado Figura 54a No rotor aberto as pás de forma recurvada são fixadas em um único disco formando canais Figura 54b Quanto ao número de rotores as bombas são classificadas como de estágio simples quando há somente um rotor ou de estágios múltiplos quando há dois ou mais rotores Em situações em que a altura total de elevação é grande pode não ser possível com bom rendimento o recalque usando um único rotor Neste caso utilizamse bombas de múltiplos estágios em que são dispostos no mesmo eixo vários rotores iguais em série Esta concepção é particularmente utilizada em bombas submersas para captação de água em poços profundos 551 ROTAÇÃO ESPECÍFICA No estudo e desenvolvimento de máquinas hidráulicas como bom bas e turbinas é comum fazer uso de coeficientes adimensionais que repre sentem de modo global e compacto os fenômenos físicos envolvidos Entre esses adimensionais tem particular interesse a rotação especifica do rotor da máquina cujo valor calculado no ponto de rendimento ótimo ca racteriza a forma da máquina e serve de critério para sua classificação Combinandose os adimensionais TT 1 coeficiente de pressão e CT2 coeficiente de vazão definidos no Exemplo 12 de modo a eliminar a vari i 1 âvel R raio do rotor e observando que Lp pgH temse Çj 13 i Nq n I CT j w4Q2 4 gH3 J jQ gH34 w rads 519 Cap 5 De modo análogo combinandose os adimensionais Ih coeficiente de potência e TI 1 chegase a wjfut p l2 gHs4 w rads 520 Na prática de projetistas de máquinas hidráulicas usandose a mesma denominação ele rotação específica ou velocidade específica costumase uti lizar coeficientes dimensionais portanto dependentes do sistema de unidades usado que são simplificações elas Equações 519 e 520 baseados na seguin te definição rotaçào especfica corresponde à rotação em rpm ele um rotor de uma bomba de uma série homóloga de bombas geometricamente seme lhantes que eleva uma unidade de vazão sob uma altura manométrica total uni tária ou como a rotação de um rotor de uma bomba de uma série homóloga de bombas geometricamente semelhantes que desenvolve uma unidade ele po tência sob urna altura manométrica total unitária Desta forma as velocidades específicas relativas à vazão e à potência passam a ser adaptadas elas Equa ções 519 e 520 respectivamente 11 JQ com nrpm Qm3s e Hm H34 521 nfut N s H 514 com nrpm Potcv e Hrn 522 Os valores da rotação específica para as unidades de potência cavalo vapor e quilowatt guardam a seguinte relação Ns rpm cv m l 17Ns rpm kW m 523 A relação entre a rotação específica Ns relativa à potência útil e a relati va à vazão Nq quando o líquido bombeado for água com massa específica p 1000 kgm3 é dada por ver Problema 510 nJo Ns 365v H 524 Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 135 rr Conforme foi observado o pa J J 1fil Ns90 90a 130 130 a 220 Radial centrífuga Lenta Normal Rápida 1 1 1 220 a 440 Mista 1 gf 440 a 500 Semi Axial 1 A Ns500 Axial râmetro Ns calculado no ponto de ren dimento ótimo da máquina caracteriza a sua família de modo que um conjun to de máquinas geometricamente seme lhantes tem o mesmo valor da rotação específica Para uma mesma bomba a rotação específiif não muda com a J2 tação nominal n7 A Figura 55 mostra a forma do rotor da bomba em função do Ns observandose que os menores va Figura 55 Forma do rotor e tipos de bombas em função da rotação específica N lores de N representam as bombas centrífugas os valores intermediários as bombas de escoamento misto e os maiores as de escoamento axial 56 RELAÇÕES DE SEMELHANÇA No estudo e desenvolvimento de máquinas hidráulicas utilizase a teoria de semelhança para prever o desempenho de um protótipo a partir de ensaios em modelos em escala reduzida ou as alterações de vazão altura de elevação e potência em máquinas geometricamente semelhantes em função da rotação e ou da mudança do diâmetro do rotor Partese da tgosição de que máquinas geometricamente semelhantes trabalhamem condições de semelhança desde que tenham o mesmo rendimento Reescrevendo os adimensionais do Exemplo 12 coeficiente de pressão coeficiente de vazão e coeficiente de potência tomando como variável geométrica o diâmetro do rotor e com a velocidade de rotação expressa em rpm temse Q n 2 nD3 TI Pot 1 pn3 D 5 yH gH pn2D2 n2D2 525 526 527 Desde que para todas as bombas pertencentes a uma mesma família tipo e operando sob condições de semelhança dinâmica os correspondentes B HidáUca Básica Cap 5 coeficientes adimensionais são iguais para pontos homólogos de suas cur vas características as leis de semelhança que governam as relações entre tais pontos homólogos podem ser estabelecidas para p cte como segue 528 529 TI3 cte nºD º Pot 3 oº s n2 D 2 Pot2 n2 2 530 O outro adimensional que deve permanecer invariante em duas situações de operação em condições de semelhança é o rendimento da bomba portanto 531 As Equações 528 a 531 fornecem as relações entre as variáveis do fenômeno em dois pontos homólogos na condição de semelhança que são vá idas se as alterações de diâmetro e ou rotação nominal forem rela tivamente pequenas para que o rendimento possa ser mantido constante No caso prático de analisar as alterações da vazão altura de elevação e potência de uma mesma bomba operando na mesma rotação pela troca do diâmetro do rotor concluise que o aumento na capacidade de vazão e altura de elevação é seguido de um forte acréscimo na potência necessária à bomba uma vez que pela Equação 530 a relação é diretamente pro porcional à quinta potência da relação de diâmetros 57 CURVAS CARACTERÍSTICAS 571 CURVA CARACTERÍSTICA DE UMA BOMBA penominase curva característica de uma máquina hidráulica bom ba ou turbina a represeãográfica ou em formade tabela das funçes gue relacionam os diversosgarâmetros envolvidos em seu funcionamento Esta re presentação pode ocorrer de modo adimensional através de uma relaçaocjue Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 137 envolve os dois adimensionais básicos coeficiente de ressão e coeficiente de yazão Equações 525 e 526 na forma rr f 112 ou como é mais co mum de modo dimensional Os fabricantes de bombas apresentam nos 0 catálogos curvas dimensionais da altura de elevação em função da vazão H fQ da potência necessária em função da vazão Pot fQl Qlffi dímento em função da vazão 1 fQl As curvas características de uma bomba são obtidas experimentalmente em um banco de ensaio no qual para cada vazão recalcada são medidas a vazão e a altura de elevação com auxílio de manômetros e o torque no eixo da má quina ara cada par de valores de O e H a potência útil ou hidráulica é dada por t yQH 98 10 QH W l 532 A medida da potência mecânica absorvida pela bomba pode ser fei ta medindose a rotação w rads e o torque no eixo T Nrn com uso de um torquímetro Como a relação entre potência mecânica e torque é dada por Potm Tw W 533 o rendimento global da bomba apresentado na Equação 53 é a relação entre a potência útil ou hidráulica e a potência mecânica absorvida daí yQH 98103 QH Tco Tco 534 O ensaio é repetido para outros diâmetros de rotor e os resnltadus H fQ Pot fQ e 17 fQ lançados em gráficos Nos catálogos dos fabricantes de bombas são apresentados em g ral três gráficos correspondentes a uma família de bombas O gráfico da fÜrva característica propriamente dita representando as curvas de altura de v1tção em função da vazão e indicando também as linhas dos pontos de lgual rendimento isorrendimento1o gráfico da variável NPSH requeri do em função da vazão a ser discutido na Seção 593 e finalmente a curva de potência necessária à bomba em função da vazão de recalque O conjunto destas três curvas para uma determinada velocidade de rotação é útil na análise de desempenho bem corno no processo de esco lha da bomba como será visto adiante Duas unidades de bombeamento são homólogas se além de geometrica mente semelhantes têm o mesmo número de Reynolds Cap 5 16 14 O 45 n r 50 r 12 r r Hm 10 r rr r r lS2 r 5 i r f i r r r r 15 14 52 16 11 li A Figura 56 apresenta uma farru1ia de curvas ca racterísticas diagrama em colina da bomba KSB MEGANORM modelo 32160 na rotação de 17 50 rprn para diâmetros do rotor na faixa de 148 a 176 mm indicando as linhas de isorrendimentos e as cur vas de potência necessária Para urna determinada vazão fixada observe a influência do diâmetro do rotor na altura de elevação e na potência necessária EXEMPLO 52 6 o 10 12 14 16 18 20 22 13 12 11 Pot 09 hp 08 07 06 05 f f V V 1 I V V V V V V V Qm3h V 1 L 1d V V 1 V 10 12 14 16 Qm3h Figura 56 Curvas características de uma bomba VI e 17 Urna bórnba KSBMEGANORM modelo 32 160 com r tor de diâmetro igual a 162 mm R 81 mm nagtação de 17 50 rpm trabalha no ponto A recalcando uma vazão Q l O rn3h com altura de elevação H 105 rn ver Figura 56 62 18 69 20 22 a Classifique o tipo da bomba b Trace a curva característica adimensional da bomba Il 1 f Il2 e Qual o ponto de funcionamento homólogo de A de urna bomba geometricamente semelhante a esta com uma rotação igual e diâmetro do rotor igual a 172 mm a O tipo da bomba pode ser determinado calculan dose o valor da rotação específica no ponto de máxi mo rendimento Para o diâmetro de 162 mm o ponto de máximo rendimento 17 525 corresponde na curva carac terística ao par Q 14 m3h 389103 m3s e H 925 m Pela Equação 524 vem N 3 65 1750 389 I o3 751 s 925075 portanto pela Figura 55 tratase de uma bomba centrífuga lenta b Tomando seis pontos na curva característica para o diâmetro de 162 mm podese montar a tabela a seguir 2 6 8 10 14 16 117 113 109 104 93 86 Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 139 055 g 050 V cn 045 Q O 040 êii o 035 ü 030 o 001 002 Oü3 004 005 Coei de vazão Para os seis pontos escolhidos na curva dimen sional o coeficiente de pressão e o coeficiente de vazão dados pelo resultado do Exemplo 12 na for ma adimensional respectivamente TI1 g Hro R2 e TI2 Q ro R 3 para ro e 18326 rads 1750 rpm em que R é o raio do rotor podem ser determina dos e colocados em gráfico como na Figura 57 Esta curva é válida para todas as bombas geome tricamente semelhantes à bomba em questão e tem o mesmo aspecto da curva dimensional Uma cur va análoga poderia ser traçada usandose os coefi cientes dados pelas Equações 525 e 526 Figura 57 Curva adimensional da bomba KSBMEGA NORM modelo 32160 e As relações de semelhança entre pontos homólogos são dadas pe las Equações 528 e 529 que no caso particular da rotação ser mantida vêm 172 2 Hlü5 1184 m 162 9i 3 Q 10172 3 1197 m 3h Q D 2 162 2 2 pevese observar que nos catálogos de bombas na ordenada da curva característica H fQ está escrito altura manométrica quando na verdade deveria ser altura total de elevação Do pon to de vista prático à medida que o porte da bomba aumenta a diferença de cargas cinéticas no recalque e sucção veja Equação 5 1 tornase pequena podendose confundir altura mano métrica com altura de elevação 572 CURVA CARACTERÍSTICA DE UMA INSTALAÇÃO Na Seção 45 foi desenvolvido o conceito de equivalência entre tubula ções e entre uma tubulação e um sistema complexo em sé1ie ou paralelo O pro blema de uma associação de tubulações em série ou paralelo foi tratado como uma simples tubulação equivalente para a qual a relação entre a perda de carga e a vazão através do sistema era dada por uma expressão na forma LH KQ 535 Usando os coeficientes de pressão e de vazão definidos pelas Equações 525 e 526 refaça o gráffco da Figura 57 e mostre que neste caso a relação entre n e n é dada por n 93925 n00978 n 00014 Esta equação é genericamente chamada de resistência do sistema repre sentando as características geométricas da associação e o material das tubulações Para manutenção da vazão Q através do sistema de recalque uma certa quantida de de energia E deve ser fornecida No escoamento por gravidade entre dois reser vatórios como foi visto a diferença de nível tZ diferença de energia potencial é a responsável pela manutenção da vazão de modo que no equilíbrio temse tZEtHKQ 536 Se o escoamento deve se processar do reservatório mais baixo para o mais alto evidentemente uma fonte externa de energia através de um conjunto motor bomba deve ser providenciada A energia necessária será aquela correspondente ao conjunto de perdas de carga que o sistema im põe para veicular a vazão Q acrescida da energia equivalente ao trabalho realizado para vencer o desnível topográfico altura geométrica entre os reservatórios tZ Hg Portanto no equilíbrio temse E Hg KQ 537 Esta equação é chamada de característica do sistema e o termo KQ engloba todas as perdas de carga localizadas e distribuídas nas ca nalizações de sucção e recalque Observando a Equação 52 a altura total de elevação da bomba é igual à soma da altura geométrica mais todas as perdas de carga a Equação 537 tornase E H tHs tHJ 538 Em kO 70 50 40 30 6H 20 ta 10 o tfllL O 002 004 006 008 01 012 o 14 Qm3s Figura 58 Curva característica de um sistema A curva característica do sistema pode ser desenhada calculandose o termo de perda total em função da vazão e das características das tubulações ou tubulação equivalente através de uma equação de resistência qualquer A altura geométrica pode assumir valores positivos mais comum nulos ou até mesmo negativos situação que ocorre quando se deseja aumentar a capacidade de vazão de um sistema por gravidade pela colocação de uma bomba Conhecendo o diâmetro comprimento e coeficiente de rugosidade das tubulações ou da tubulação equivalente a Equação 537 pode ser posta em forma gráfica com o expo ente n 2 da fórmula universal como na Figura 58 Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 141 Para a bomba a altura total de elevação não é constante com a va zão recalcada mas é função dela diminuindo com o aumento da vazão segundo uma função H fQ na forma das curvas da Figura 56 Quando uma bomba opera em conjunção com um siste EHm ma de tubulações a energia fornecida pela bomba é igual à energia requerida pelo sistema para a vazão bombeada Por tanto na condição de equilíbrio a solução da Equação 538 fornece o ponto de valores H e Q para H E 80 aractensCtca 70 li 50 30 20 10 da bomba Característica da tubulação ormalmente a solução é obtida por via gráfica sobre pondose a curva característica do sistema à curva característica da bomba fornecida nos catálogos dos fabricantes O ponto de cruzamento das curvas que é chamado de ponto de operação ou ponto de funcionamento é a solução do problema Figura S 9 O ponto de operação deve na medida do possível cor responder ao ponto de ótimo rendimento da bomba e no que diz respeito à tubulação ao seu custo mímmo o llL1 O 002 004 06 oox 01 012 Old Q ms 5721 SISTEMAS DE TUBULAÇÕES EM SÉRIE E PARALELO Figura 59 Determinação gráfica du ponto de funcio namento de uma bomba Os conceitos de tubulações em série e paralelo desenvolvidos no Capítulo 4 serão utilizados para a determinação do ponto de funciona mento de uma bomba acoplada a um sistema de tubulações em série ou paralelo No sistema em série a vazão é a mesma e a perda de carga total somadas perdas em cada trecho de modo que a curva característica do sistema pode ser determinada numericamente para cada vazão pela Equação 5 37 na forma N EHgZKiQ 11 539 il em que N é o número de trechos de características diferentes em série Para cada valor de Q o valor de E é calculado e levado ao gráfico da curva caracte rística da bomba Devese observar que as vazões escolhidas para traçar a curva característica do sistema devem estar dentro da faixa de vazões da curva carac terística da bomba Quando o sistema de tubulações está em paralelo para uma única altura geométrica ou não é conveniente utilizar um procedimento gráfico baseado na propriedade fundamental de tubulações em paralelo ou seja a perda de carga no sistema é a mesma e as vazões se dividem de forma inversamente proporci onal às resistências das tubulações Traçase a curva característica de cada tubu B Hdáonca Bãsa Cap 5 H m bomba 3 1tq 4q q ttt Q m3s lação pela Equação 537 e levase ao gráfico da curva da bomba Como a vazão bombeada é igual à soma das vazões nas tubulações e a perda de carga é a mesma para determi nar a curva característica do sistema resultante basta somar graficamente para cada valor de H as vazões nas tubula ções A Figura 510 mostra o procedimento para desenhar a curva resultante de um sistema com duas tubulações T1 e T2 em paralelo e uma única altura geométrica Para um certo valor de H a distância xy corresponde à vazão veicu lada pela tubulação T1 que deslocada na mesma horizontal e marcada a partir da vazão que passa pela tubulação T2 gera um ponto da curva resultante da associação O proces so é repetido para outros valores de H a fim de desenhar a o Figura 510 Q Q Q Q Associação de duas tubulações em paralelo curva resultante curva do sistema A metodologia é a mes ma para três ou mais tubulações em paralelo Na Figura 51 O A é o ponto de funcionamento do sistema que coJTesponde a uma vazão total recalcada q q e q2 são as vazões que passam pelas tubulações T1 e T2 e evidentemente a va zão q é a soma das vazões q e q2 Uma outra solução gráfica intermediária para este problema é pri meiro transformar o sistema em paralelo em uma tubulação equivalente de um diâmetro comercial fixado usando a Equação 420 ou a Equação 421 e depois traçar a curva característica da tubulação equivalente no gráfico da curva da bomba o ponto de cruzamento das duas curvas forne cerá a vazão total do sistema Se a curva característica da bomba for dada em fmma de tabela H fQ e ri fQ a determinação das curvas características das tubulações da curva resultante da associação em paralelo e do ponto de funcionamento da bomba será feita com o uso de uma planilha eletrônica como no Exemplo 53 EXEMPLO 53 Uma bomba centrífuga com rotação igual 1750 rpm e curva caracte rística dada pela tabela a seguir está conectada a um sistema de elevação de água que consta de duas tubulações em paralelo e dois reservatórios Uma tubulação de O 1 O m de diâmetro comprimento de 360 m e fator de atrito f 0015 está ligada ao reservatório com nível dágua na cota 80000 m e a outra de 015 m de diâmetro comprimento de 900 me fator de atrito f 0030 está ligada ao reservatório com nível dágua na cota 81000 m Ore servatório inferior tem nível dágua na cota 78000 m Assumindo que os fa tores de atrito sejam constantes independentes da vazão determine Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 143 a o ponto de funcionamento do sistema b as vazões em cada tubulação da associação e a potência necessária à bomba Q m3s o 0006 0012 0018 0024 H m 506 490 463 424 392 ri o 40 74 86 85 0030 0036 0042 342 295 236 70 46 8 Tratase de um sistema de tubulações em paralelo com uma diferen ça de altura geométrica de l O m entre uma adutora e outra A planilha EXEM 53XLS permite montar a tabela a seguir na qual deve ser observado que a na parte superior da planilha são determinadas as curvas caracterís ticas das duas tubulações com as vazões fornecidas pela curva da bomba são também cotadas as curvas da bomba e do rendimento b como a propriedade do sistema em paralelo é ter a mesma perda de carga para uma determinada distribuição de vazão foram fixadas coluna 2 perdas de carga de O a 30 m e com isto calculadas as correspondentes vazões pela fórmula universal e somandose as vazões com uma diferença de 10 m que é a dife rença de alturas geométricas dos reservatórios determinase a cur va característica do sistema em paralelo coluna 5 d o gráfico da Figura 5 11 é obtido selecionandose as colunas de 5 a 9 e um eixo secundário é feito para representar a curva do rendimento De posse do gráfico as respostas são imediatas a o ponto de funcionamento ponto A corresponde a Q 0030 m3s H 34 me T 70 b a partir do ponto A traçandose uma horizontal en contramse as curvas características de T1 e T2 em pontos de mesma altura de elevação e vazões Q 0018 m3s e Q 2 0012 m3s H m 90 Curva de 80 70 60 T1 f T 90 80 10 10 e Pot 93003034 14 28 kW 19 42 cv 070 ofto O 0005 001 0015 002 0025 003 0035 004 0045 oos 0055 Q m1s Figura 511 Resolução cio Exemplo 53 Cap 5 Deve ser observado na Figura 5 1 1 que até uma vazão de aproximada mente 0014 m3s linha pontilhada o escoamento é direcionado para a adutora T1 que liga o reservatório mais baixo Somente quando a altura de elevação da bomba superar 30 m altura geométrica do reservatório mais alto é que ambos os reservatórios serão abastecidos Planilha de Cálculo do Exemplo 53 LI m L2 m Hgl m Hg2 m fJ f2 OI m 02 m 360 900 20 30 0015 003 01 015 Vazão na Perda em Perda em Vazão na HI Hgl H2 Hg2 Curvada Rendimen bomba T1 T2 bomba tHI t82 bomba lO m3s t Hl m t H2 m m3s m m H m o o o o 20 30 506 o 0006 1608 1059 0006 21608 31059 49 40 0012 6431 4234 0012 26431 34234 463 74 0018 14469 9527 0018 34469 39527 424 86 0024 25723 16937 0024 45723 46937 392 85 003 40192 26464 003 60192 56464 342 70 0036 57877 38108 0036 77877 68108 292 46 0042 78777 51869 0042 98777 81869 236 8 o o 00000 00000 20 0006 2 00067 00067 22 0012 4 00095 00095 24 0018 6 001 16 00116 26 0024 8 00134 00134 28 Oü3 10 00150 00000 00150 30 0036 12 00164 00082 00246 32 0042 14 00177 oo 117 00294 34 16 00189 00143 00332 36 18 00201 00165 00366 38 20 00212 00 184 00396 40 22 00222 00202 00424 42 24 00232 00218 00450 44 26 00241 00233 00475 46 28 00250 00247 00498 48 30 00259 00261 00520 50 Vazão na Perda de Vazão em Vazão em Somadas Perda de bomba carga T1 T2 vazões carga 20 m 3s m m3s m3s m3s m A planilha acima foi montada no EXCEL fixandose na linha 2 os valores dos comprimentos alturas geométricas fatores de atrito e diâme Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 145 tros de modo a ser possível utilizála em outros exemplos somente alteran do os valores dessas variáveis 573 ASSOCIAÇÃO DE BOMBAS EM SÉRIE E PARALELO Nas várias áreas de projetos de transporte de água como abastectmento urbano rural industrial sistemas de irrigação entre outras há uma ampla va riabilidade da vazão e da altura total de elevação para ser abrangida pelas possibilidades de uma única bomba Muitas vezes como em projetos de abastecimento urbano a vazão no final do plano quando a população atin gir o limite de projeto é maior que a vazão no início de plano Portanto haverá ao longo dos anos um acréscimo de demanda e seria antieconômico dimensionar a bomba para a situação de vazão máxima Nesta e em outras aplicações recorrese à associação de duas ou mais bombas em série ou em paralelo A situação mais comum em projetos que envolvam associações de bombas é aquela em que todas as bombas da associação são iguais o que permite uma curva final do sistema mais estável e facilita a manutenção Esta é a situação a ser tratada daqui para frente Associação em série neste esquema a entrada da segunda bomba é conectada à saída da primeira bomba de modo que a mesma vazão passa através de cada bomba mas as alturas de elevação de cada bomba são ornadas para produzir a altura total de elevação do sistema Associação em paralelo neste esquema cada bomba recalca a mesma parte da vazão total do sistema mas a altura total de eleyafãQ go sistema é a mesma de cada uma das bombas Se duas ou mais bombas funcionam em sé rje a curva característica do sistema é dada pela soma das ordenadas das curvas H fQ correspon dentes para cada bomba em uma mesma vazão Se duas ou mais bombas funcionam em para lelo a curva característica do conjunto é obtida so n scissas das curvas características H fQ correspondentes ara cada bomba em uma mesma a tura total de elevação A Figura 5 12 apresenta a construção das cur vas caraterísticas de um sistema em série e em parale lo para duas bombas iguais e os pontos de interesse H 2 bombas em série T1 Qc Qa Qc T2 2 bombas r em paralelo Q Na Figura 512 a partir da curva característi ca de uma bomba a característica combinada de Figura 512 Operação de duas bombas iguais em série e em paralelo Cap 5 duas bombas iguais em série é obtida duplicandose na vertical os valores de Hy para cada vazão enquanto a característica da associação em paralelo é obtida duplicandose na horizontal os valores de Qx para cada altura total de elevação Na associação em série a curva característica da tubulação T1 corta are sultanto ponto D ponto de funcionamento do sistema em série e cada bomba da associação funcionará no recdo a mesma vazão QE e fornecen do uma a tura total de elevação igual à metade da altura de elevaÇão dQ sistema a associação em paralelo a curva característica da ti1ãcLI2 corta a curva resultante no ponto A ponto de funcionamento do sistema em paralelo e cada bomba da associação funcionará no ponto B recalcando uma vazão Qu 05 QA sob a mesma altura total de elevação Quanto à sociação em paralelo é importante observar que a o onto C re resenta o ponto de funcionamento de uma única bomba o erando isoladamente no sistema Tb b o ponto B re resenta o onto de funcionamento de cada bomba o erando conuntamente no sistema n c pela própria curvatura da curva característica da tubulação tem se sempre ue QA 2 e isto é associandose duas bombas iguais em paralelo não se consegue dobrar a vazão correspon dente a uma única bomba instalada no sistema dna associação em aralelo uma das bombas arar dcionar a unidade que fica em o eração tem seu ponto de funcionamento deslocdeBgara C em Üeacles ertO da dllTiinuição da altU ra total de elevação há um aumento de potência necessária pelo aumento na vazão to C ue ãotência necessária do Qtor elét ico deve ser cale Os casos representados na Figura 512 para as tubulações T1 e T2 são somente demonstração geral de que cada caso de associação de bombas em série ou paralelo deve ser estudado individualmente A resposta para a melhor solução depende obviamente do aspecto da curva característica da bomba e também da curva característica do sistemaPor isso em geral paiilSSocia o de duas ou mais bombas é recomendável que as bombas seam iguais Sempre se deve procurar uma solução em que o ponto de funcionamento de cada bomba na associação esteja próximo ao ponto de rendimento ótimo EXEMPLO 54 I As características de uma bomba centtífuga em uma certa rotação cons tante são dadas na tabela abaixo Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 147 Q 1S o 12 18 24 30 36 42 H m 226 21 3 194 162 11 6 65 06 TJ o 74 86 85 70 46 8 A bomba é usada para elevar água vencendo uma altura geométrica de 65 m por meio de uma tubulação de 010 m de diâmetro 65 m de comprimen to e fator de atrito f 0020 a Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba b Sendo necessário aumentar a vazão pela adição de uma segunda bom ba idêntica à outra investigue se a nova bomba deve ser instalada em série ou em paralelo com a bomba original Justifique a resposta pela determinação do acréscimo de vazão e potência consumida por ambas as bombas nas associações A planilha EXEM54XLS fornece o gráfico das associações e os pontos de funcionamento para as duas associações No gráfico da Figura 513 podese destacar a o ponto A é o ponto de funcionamento de uma única bomba no sistema e tem como valores Q 0027 m3s H 14 m 11 78 e potência consumida Pot 98QH 98002714 4 74 kW 6 46 cv 11 078 H m 45 40 35 30 25 lrªº c 80 70 50 40 J Paralelo 30 20 10 b observase que o acréscimo de vazão obtido associan dose em série ou paralelo é praticamente o mesmo ponto B em série e ponto C em paralelo Evidentemen te a associação em paralelo é mais vantajosa porque recalca uma vazão um pouco maior Qc 0035 m3s contra Qe 0033 m3s Como cada bomba na associa ção em paralelo trabalha no ponto D cujos valores são Q 00175 m3s H 195 me 11 85 e consome uma potência de 393 kW enquanto na associação em série cada bomba trabalha no ponto E cujos valores são Q 0033 m3s H 93 m e 17 58 consumindo uma potência de 518 kW a associação em paralelo é a mais conveniente 1 o 001 002 003 004 005 006 007 008 009 Q in 1s Figura 513 Curvas do Exemplo 54 B HidolU Básica Cap 5 Uma bomba é instalada para enviar água de um reservatório aberto com nível dágua na cota 00 m para outro com nível dágua na cota 900 m A tubulação de sucção de 12 de diâmetro fator de atrito f 0020 tem comprimento total incluindo os comprimen tos equivalentes de 30 m e a tubulação de recalque de 10 de diâmetro fator de atrito f 0026 tem comprimento total de 1500 m A curva característica da bomba a 1200 rpm é definida por H 1149076 O com H m e Q ms Determine a a vazão recalcada pelo sistema instalan do uma única bomba b a vazão recalcada pelo sistema Instalan do duas bombas iguais em série c a vazão recalcada pelo sistema instalan do duas bombas iguais em paralelo Resolva numericamente não use gráficos Na montagem da planilha via EXCEL deve ser observado que para a as sociação em série as vazões coluna 2 são repetidas abaixo da seqüência original e as alturas de elevação são duplicadas e deslocadas à direita para a coluna 4 Na associação em paralelo as vazões são duplicadas e deslocadas para baixo e as aJturas de elevação mantidas e deslocadas para a coluna 5 Selecionando todas as células da planilha o gráfico da Figura 513 é gerado Planilha de Cálculo do Exemplo 54 Dm f Lm Hg m 010 0020 65 65 Q 1s Q m 3s H m Curva da Rendimento tubulação o o 226 650 o 12 0012 213 805 74 18 0018 194 998 86 24 0024 162 1269 85 30 003 116 1618 70 36 0036 65 2043 46 42 0042 06 2546 8 o 452 Série 0012 426 0018 388 0024 324 003 232 0036 13 0042 12 o 226 Paralelo 0024 213 0036 194 0048 162 006 116 0072 65 0084 06 58 ESCOLHA DO CONJUNTO MOTORBOMBA A especificação de uma bomba para atender a uma certa condição de projeto é um dos principais problemas práticos que se apresentam em vári os campos da Engenharia O domínio de aplicação dos vários tipos de bom bas centrífugas mistas e axiais é muito abrangente uma vez que as variações de vazão e altura total de elevação nos diversos tipos de projetos são muito amplas Em grandes unidades recorrese à rotação específica como um dos parâmetros para a escolha da bomba en1uanto nos casos mais freqüentes utilizamse os catálogos dos fabricantes Para os princi Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 149 100 50 40 10 O 30 40 50 US gpm 1 100 700 300 400 500 17 7 1 411llS llt15 SUH5 lS15 1000 ººº 3000 1 300 1S4llll lii 50411 1 200 lle 1 lfrnn ml hu S015 1L 1 17 pais tipos de bombas fixada uma determinada rotação os catá logos apresentam os mosaicos de utilização que são gráficos de altura total de elevação contra vazão em uma dete1minada uni dade m31h 1s m3s em que é mostrada a faixa de utilização H e Q de cada tipo de bomba 30 2lSOI r Su K rs7 40HO 6 XOlSO ts N1 100 H ft A Figura 514 apresenta o mosaico de utilização das bombas KSBMEGANORM centrífugas de um estágio eixo horizontal na rotação de 1750 rpm Cada bom ba da série é referenciada no mo saico por um código com dois números o primeiro representan llm 20 10 J 22011 1 li1Lj iillillL J 3 4 5 10 J I u J 01º 1 1 1 7v i r r í 1 llH11 T sulI Í10 1 l i K K 1 J 1lllr7 S15 t lS 7 1 I Í f 20 30 40 50 Qmh D MOliNI N 1 l 11 100 JJµ1L l 7 1 1ll 2521111 f 1Xl2tlll I u j 200 4 5 1750rpm 800 30 20 10 do o diâmetro nominal da boca de recalgne mm e o segundo a família de diâmetro do rotor m Em geral os fabricantes Figura 514 M osaico de utilização de bombas centrífugas KSBMEGANORM para n 1750 rpm apresentam para cada bomba da série curvas características para diversos di âmetros de rotor isto é no mesmo corpo da bomba podemse instalar rotores de vários diâmetros a fim de adaptar de forma conveniente as características da bomba às condições da instalação e funcionamento Uma vez conhecida a vazão necessária de bombeamento e a altura total de elevação e escolhida a velocidade de rotação o mosaico de utilização permite a préseleção da bomba pelo código A escolha definitiva com a de terminação do diâmetro do rotor rendimento no ponto de funcionamento potência necessária e outros dados de interesse é feita pela consulta no catá logo ao diagrama em colina relativo à bomba préescolhida como por exem plo na Figura 56 581 INSTALAÇÃO UTILIZAÇÃO E MANUTENÇÃO Alguns requisitos e detalhes de ordem prática devem ser observados na montagem e operação de um sistema elevatório a A instalação do conjunto motorbomba deve ser feita em local seco espaçoso iluminado arejado e de fácil acesso b As tubulações de sucção e recalque devem ser convenientemente apoiadas evitando que transmitam esforços para a bomba Considere um sistema de bombeamento constituído por uma adutora e uma bomba trabalhando no ponto A Instalandose outra bomba igual em paralelo o sistema funciona rá no ponto B Os pontos A e B são pontos homólogos Cap 5 Um sistema elevatório bombeia água de um reservatório com NA na cota 0 10 m através de uma tubulação de recalque que passa por um ponto alto A na cota 320 m A vazão que passa pela bomba é de 16 1s a potência fornecida pela bomba é de 18 e v seu rendimento 65 e os diâmetros das tubulações de sucção e recalque são iguais a 4 Sendo a perda de carga total na tubulação de sucção igual a 045 m e desprezando a carga cinética determine qual deve ser a taxa unifor me de distribuição de vazao em marcha q 1sm entre a bomba e o ponto A de modo que se tenha no ponto alio da adutora ponto A uma carga de pressão disponivel igual a 125 mH O Adote como fator de atrito da fórmula universal 1 0018 O comprimento da tubulação de recalque até o ponto A é de 370 m e A bomba deve estar localizada tão próximo quanto possível do Iígui o a ser recalcado a fim de evitar grandes alturas rnanornétricas de SMcção A tubulação de sucção deve ser a mais curta e direta possí vel evitandose estrangulamentos e pontos altos Se for necessário instalar na sucção uma curva esta deve ser de raio longo para dimi nuir a perda localizada O conjunto motorbomba deve estar instalado em cota fora do alcance de inundações d A extremidade de montante da tubulação de sucção deve estar locali zada abaixo do nível mínimo de água no reservatório inferior garan tindo uma altura dágua sobre a entrada subrnergência que evite a formação de vóttices e conseqüente entrada de ar na bomba Em ge ral urna altura dágua maior que três vezes o diâmetro da canalização de sucção é suficiente e Na tubulação de recalque deve haver um registro de manobra para as operações de partida e desligamento do sistema f Entre o registro de manobra e a bomba devese instalar uma válvula de retenção ou outro dispositivo que proteja a bomba em caso de pa rada brusca do motor g Devese garantir que a bomba esteja escorvada cheia de água antes de ser posta em funcionamento h O conjunto motorbomba deve estar bem nivelado e alinhado garan tindo um bom chumbarnento das bases na fundação a fim de evitar ru ídos e vibrações i É conveniente principalmente em bombas não afogadas a instalação na tubulação de sucção de urna válvula de pé com crivo para evitar a en trada de materiais estranhos e manter a tubulação de sucção sempre cheia de água Havendo válvula de pé com crivo a área útil de passagem no crivo não deve ser inferior a três vezes a área da tubulação de sucção e também a velocidade através do crivo não pode exceder 060 ms Deve ser pre vista manutenção periódica da válvula de pé e crivo k Havendo necessidade de fazer a concordância do diâmetro da tubu lação de sucção para o diâmetro do flange de aspiração da bomba a peça a ser utilizada será urna redução excêntrica a fim de evitar a formação de bolsas de ar na parte superior do tubo l O reservatório inferior deve ser desenhado de modo a evitar agitação do líquido com formação de bolhas ou de vórtices a fim de que não haja entrada de ar na tubulação de sucção Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 151 m Em instalações com bombas em paralelo e um único reservatório inferior devese empregar tubulações de sucção independentes n Recomendase manter sempre uma unidade de reserva para qualquer eventualidade de parada da bomba e para manutenção do sistema o É conveniente que a partida e a parada do grupo motorbomba seja feita com o registro da tubulação de recalque fechado p É importante que se tenha um programa de manutenção eletrome cânica de modo a garantir que o sistema tenha vida longa e livre de avanas EXEMPLO 55 Um conjunto elevatório deverá ser especificado para operar nas seguintes condições Líquido água a 20 C vazão a ser recalcada Q 15 Vs 54 m3h material das tubulações aço galvanizado sem costura E 015 mm altura geo métrica Hg 23 m diâmetro da tubulação de recalque determinado pelos méto dos da Seção 5 4 Dr O 1 O m diâmetro de sucção Ds O 15 m comprimento da tubulação de recalque igual a 432 m e de sucção 420 m rotação escolhida para a bomba n 1750 rpm Nas tubulações constam os seguintes acessórios sucção válvula de pé com crivo e curva 90 RD 15 recalque válvula de retenção tipo leve registro de gaveta duas curvas de 45 e uma curva de 90 RD 1 Determine o tipo da bomba diâmetro do rotor rendimento no pon to de funcionamento potência necessátia à bomba e potência elétrica do motor Tratase de uma aplicação padrão no assunto em que a partir do es tabelecimento da vazão necessária à demanda do projeto a adutora de recalque é dimensionada por um critério econômico e para o diâmetro da canalização de sucção em geral é adotado o comercial imediatamente su perior ao de recalque A altura total de elevação da bomba é calculada pela Equação 52 utilizandose o método dos comprimentos equivalentes para o cálculo das perdas de carga totais no recalque e sucção a Cálculo das perdas de carga na sucção e no recalque Da Tabela 36 tiramse os comprimentos equivalentes aos acessórios existentes nas tubulações de sucção e recalque apresentados na tabela a seguir B Hdánca Básica Cap 5 55 50 45 40 Hm 35 30 25 20 Sucção D 015 m Recalque D 010 m Acessório Válv de pé e crivo Curva 90 RD 15 Comp real Comp total 40 A l57 I 1 TI 61 5 r 60 I 57 1 f V 1½1 rt 1 1 l 1 I 3 7 1 K V lv r lv 2 6 1 55 IYl I 1 o 271 O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Qmlh Comp equív Acessório Comp equiv TI m 3975 Reg de gaveta 070 192 V ál v de retenção 836 420 2 curvas 45º 156 4587 Curva 90 RD 1 175 Comp real 43200 Comp total 44437 As perdas de carga unitárias na sucção e no recalque conhecendo a vazão os diâmetros e a ru gosidade das tubulações podem ser calculadas pela Equação 238 ou diretamente pela Tabela A2 por tanto na sucção 1s 0537 rn100 m e no recalque J 4288 rn100 m Assim as perdas de carga totais na sucção e no recalque valem respectivamente 0537 Hs J 5 Ls 4587 025 me H JL 100 4288 444 37 19 06m 100 Figura 515 Curvas características elas bombas KSB MEGANORM 50315 b Cálculo da altura total de elevação tipo e carac terísticas da bomba Pela Equação 52 temse H Hg s r 23 025 1906 4231 m Fixada a rotação com a vazão e a altura total de elevação escolhese em um catálogo de fabricante uma bomba que satisfaça tais condições e tenha no ponto de funcionamento um rendimento razoável Evidentemente a solução não é única pois para cada fabricante poderá existir ao menos uma bomba re comendável Utilizandose a Figura 514 para Q 54 m3h e H 4231 m uma solução possível seria uma bomba KSBMEGANORM tamanho 50315 a 1750 rpm cujo diagrama em colina é mostrado na Figura 515 Para o ponto de funcionamento Q 54 m3h e H 4231 m na Fi gura 515 uma bomba com diâmetro do rotor igual a 307 mm é suficiente e o rendimento será ri 61 Se o ponto cair entre duas curvas devese Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 153 adotar o rotor de diâmetro maior e verificar traçandose a curva característi ca do sistema de tubulações o novo ponto de funcionamento que terá vazão e altura de elevação ligeiramente maiores que as iniciais A potência necessária à bomba é dada pela Equação 53 Pot 9S QH 9SOl 4231 1019 kW 1387 cv 1367 hp 1 O motor deve ter uma potência elétrica superior à absorvida pela bom ba cujo acréscimo em relação à potência da bomba depende do tipo e tama nho desta Os acréscimos na potência da bomba recomendados em 4 são dados na tabela abaixo Potência da bomba Acréscimo até 2 hp 50 2 a 5 hp 30 5 a 10 hp 20 10 a 20 hp 15 maior que 20 hp 10 Pottanto o motor elétrico recomendável no caso deverá ter uma potên cia de 1367 l 15 1572 hp não muito superior ao motor elétrico comercial de 15 hp que é suficiente 59 CAVITAÇÃO 591 O FENÔMENO Potências do alguns motores elétricos comerciais em hp 1 15 2 3 4 5 675 10 125 15 20 25 30 40 50 60 75 100 hp Água mole em pedra dura tanto bate até que fura Adágio popular Quando um líquido em escoamento em uma determinada temperatura passa por uma região de baixa pressão chegando a atingir o nível correspon dente à sua pressão de vapor naquela temperatura formamse bolhas de vapor que provocam de imedi ato uma diminuição da massa específica do líquido Estas bolhas ou cavidades sendo arrastadas no seio do escoamento atingem regiões em que a pressão reinante é maior que a pressão existente na região onde elas se formaram Esta brusca variação de pres Figura 516 Efeito da cavilaçâo sobre o rotor de uma bomba são provoca o colapso das bolhas por um processo de implosão Este processo de cd ação e colapso das bolhas chamado cavitação é extremamente rápido chegando a ordem de centésimos de segun Cap 5 do conforme constatações efetuadas com auxílio da fotografia estrobos cópica O desaparecimento destas bolhas ocorrendo junto a uma fronteira sóli da como paredes das tubulações ou partes rodantes das bombas provoca um processo destrutivo de erosão do material como mostrado no rotor de uma bomba na Figura 516 Quando o colapso de uma bolha oc01Te em contato com a superfície só lida uma diminuta área desta supetfície é momentaneamente exposta a uma ten são de tração extremamente elevada Este efeito sendo repetido continuamente por inúmeras bolhas é como se a superfície metálica fosse bombardeada por pequeníssimas bolas provocando um processo erosivo de martelagem O colapso das bolhas é acompanhado de ondas acústicas podendo o ruído ser audível provocando de acordo com as dimensões das cavidades e teor de ga ses contido no líquido um barulho característico A cavitação uma vez estabelecida em uma instalação de recalque acarreta queda de rendimento da bomba ruídos vibrações e erosão o que pode levar até ao colapso do equipamento A cavitação provoca um desgaste excessivo no rotor da bomba exigindo manutenção periódica e dispendiosa Algumas vezes o problema fica difícil de ser sanado pois exigiria profundas alterações na montagem como por exemplo o rebaixamento da cota de ins talação da bomba diminuindo a altura estática de sucção Atualmente ainda não há consenso sobre a explicação do fenômeno Uns pesquisadores afumam que a cavitação induz vibração às zonas mais extensas do metal sendo então os esforços destmtivos oriundos de um fenômeno oscilatótio dmante o qual o líquido é introduzido e expulso dos poros do material dando origem às elevadas pressões internas Outros acham possível o aparecimento de uma cmrnsão química devida à liberação de oxigênio do líquido Uma outra cor rente supõe que as bolhas de vapor e a limalha erodida da superfície do material penetram nos poros do metal afetandoo por vibrações e pressões oriundas do colapso Embora não se tenha conhecimento exato do mecanismo segundo o qual se processa a cavitação é possível projetar com grande segurança uma instalação na qual em todos os pontos do percurso da água a pressão interna é maior que a pressão de vapor do líquido em uma ceita temperatura No caso das bombas o ponto mais crítico em termos de pressão bai ª ocorre na entrada do rotor A queda de pressão desde a superfície livre 90 poço de sucção até a entrada do flange de sucção depende da vazão do iâmetro do comprimento total da tubulação da rugosidade do material e Qrincii1almente da altura estática de sucção distância vertical do eixo da bomba até o nível dágua no poço Estes são os elementos suscetíveis de nças por parte do projetista para sanar os danosos efeitos da cavitação cap s Sistemas Elevatórios Cavitação 155 592 NPSH NET POSITIVE SUCTION HEAD DISPONÍVEL É uma característica da instalação definida como a ener gia q o líquido possui em um ponto imediatamente antes do flange de sucção da bomba acima de sua12ressão de vaporJ a disponibilidade de energUuJill0az CQllLqueoJiquido cQnsit calÇar as pás do ro z f 1 61 Em relação à Figura 5 17 que mostra a tubulação de sucção de uma bomba recalcando água de um reservatório aberto e man tido em nível constante a definição do NPSHc1 leva a Figura 517 Tubulação de sucção de uma bomba NPSHc1 h v Ey y 2g y 540 em que pvly é a pressão de vapor da água ou tensão de saturação do va por em uma determinada temperatura Aplicandose a equação da energia entre a superfície do reservató rio e a entrada da bomba vem em que EL pressão atmosférica leitura barométrica local y y V O nível constante 2g z1 O referencial z2 Z altura estática de sucção 541 Hs somatório de todas as perdas de carga até a entrada da bomba Portanto fica 542 o fenômeno da cavitação é causado por pressão barométlica baixa Cap 5 Comparando a Equação 540 com a 542 a expressão do NPSH disponível pela instalação tornase NPSH P P Z IH 543 Se a bomba estiver afogada isto é se seu eix estiver em uma cota abai xo do nível dágua do reservatório infe1ior um desenvolvimento análogo leva a I NPSH P P ZH J 544 10 Como o NPSHd é uma energia residual disponível na insta lação quando a bomba está afogada a situação em que não ocorra a cavitação é melhor pois a disponibilidade energética é maior con forme a Equação 544 9 8 I 1 e 6 5 i 4 3 1 o fl 10 Figura 518 NPS11 m Figura 519 15 20 25 30 35 Q mlh Gráfico do NPSH requerido de uma bomba para dois rotores Requerido A Folga Disponível Q Qmix Vazão Limite máximo de operação de uma bomba para não oconer cavitação 593 NPSH REQUERIDO b ma característica da bomba fornecida pelo fabricante definida como a energia requerida pelo líquido para chegar a paitir do flange de sucção e vencendo as perdas de carga dentro da bomb ª JlQPQnto onde ganhará energia e será recalcado p N PS H requerido depende dos elementos de projeto j a bomba diâmetro do rotor rotação rotação específica sendo em geral fornecido pelo fabricante através de uma curva em fun ª da vazão como na Figura 5 18 constituindose unto com as curvas H fQ e Pot fQ uma das curvas características da bomba fÔbservandose as Equações 543 e 544 verificase que para a pressão atmosférica pressão de vapor e altura estática de sucção fixas 9NPSH disponível pela instalação diQJJJ Q aumento da perda ga total na tubulação de sucção Deste modo para um mesmo di âmetro comprimento e rugosidade do matetial o NPSH disponível é uma função decrescente com a vazão diferentemente do NPSH re querido pela bomba que é uma função crescente com a vazãodA Para o bom funcionamento do sistema elevatório é neces sário que para a vazão recalcada se verifique a desigualdade Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 157 Ou 1 v I l NPSHd NPSH 545 Colocandose em um mesmo gráfico estas duas funções podese deter minar a faixa de segurança em termos da vazão recalcada em que o fenôme no da cavitação não ocorre Como na Figura 519 QQonto A representa a situação limite em que o NPSH disponível pela instalação é igual ao NBSH requerido pela bomba e esta condição deve ser evitada 6 esquerda do pontq A temse a região ra em que há umafolga na dis onibilidade energética da instalação que sugera a necessidade da bomba ara efeito prático se ter uma folga entre o NPSH disponível e o NPSH requerido de no mínimo 050 m para a vãzãQreeakad1 594 DETERMINAÇÃO DA MÁXIMA ALTURA ESTÁTICA DE SUCÇÃO Pela Equação 543 os dois termos em que há possibilidade de o pro jetista interferir para aumentar o NPSH disponível da instalação são a altura estática de sucção que define a cota de assentamento do grupo motorbomba em relação ao nível dágua no reservatório inferior e a perda de carga total Destas duas a altura estática de sucção é a variável mais sensível assumindo se como limite para propósitos práticos um valor não maior que 4 a 5 m 92 hecendose a curva do NPSH requerido fornecida pelo fabricante para vazão de recalque a altura de sue ão máxima ode ser dete1minada na con di ão limite i ualandose os NPSH dis onível e re uerido e utilizandose as Equações 543 e 544 na forma zmax NPSHr Pa Pv Hs 546 em que o sinal positivo corresponde à bomba afogada Equação 544 595 DETERMINAÇÃO DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA E DA PRESSÃO DE VAPOR A pressão atmosférica leitura barométrica local varia com a altitude e condições climáticas Para locais com altitude acima do nível do mar e até 2000 m podese estimar a pressão atmosférica correspondente em metros de coluna de água pela Equação 547 em que h é a altitude do local em metros 13 6 760 0081 h mH2O y 1000 547 Cap 5 T Cf 3 Dietrich Thoma professor alemão 18811943 pJyin iC pJyín pressão de vapor da água correspondente em metros de coluna de ígua é função da temperatura e dada pela TabicL54 Tabela 52 Valores da pressão de vapor da água em 1111l 10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 009 013 017 024 032 043 057 075 098 125 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 161 203 256 320 396 486 593 7 18 862 1033 596 COEFICIENTE DE CAVITAÇÃO DE THOMA Um adimensional usado nos estudos de cavitação em máquinas hidráulicas ou mesmo em estruturas hidráulicas é denominado mímem de caJ1itação e mede a possibilidade ou grau do fenômeno É defin ido como 0 ppv l2pV 2 548 em que pé a pressão absoluta no ponto em estudo Pv a pressão de vapor do líquido p a massa específica e V uma velocidade de referência O número de cavitação tem a forma de um coeficiente de pressão ou 111ímem de Euler A cavitação tem menos possibilidade de oco1Ter se p pvdo que se P Pv 0 O Dois sistemas hidráulicos geometricamente semelhantes são igualmente prováveis de produzir cavitação ou possuem o mesmo grau de cavitação se têm o mesmo valor de 0 Em uma bomba de fluxo a região de pressão mínima ocoITe em geral na face convexa das pás próximo à seção de sucção cio rotor Assumindo que nesta seção a pressão atinja um valor crítico Pc a Equação 542 tornase V Pa pc Z flH 2g y s 549 e como a altura total de sucção é dada por hs Z flHs uma forma do número de cavitação 0 denominado corfiiciente de ca11ilafkJ de 17oma 1 é definida como yl 0 c 2g H PaPc h y s H 550 Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 159 em que H é a altura total de elevação da bomba Na equação anterior o coefici ente de cavitação de Thoma é interpretado como a relação entre a energia dis ponível no ponto crítico representada pela carga cinética e a energia total H Quando Pc Pv a cavitação tornase iminente no ponto crítico e obser vando que o numerador da Equação 550 é o NPSH o coeficiente de cavi tação de Thoma é dado por NPSH j H Pa pv ZLlH y s H 551 O mínimo valor do coeficiente cr para o qual a cavitação é incipiente é denotado por Oc sigma crítico Este valor pode ser deteminado experimental mente para uma dada máquina ou modelo observando as condições de ope ração sob as quais há o início da cavitação que é evidenciado pela ocorrência de ruídos vibrações e queda brusca na eficiência Duas bombas geometrica mente semelhantes deverão ter o mesmo potencial de cavitação se seus coefi cientes crc forem iguais O coeficiente de cavitação crítico Oc depende do tipo da máquina e é função da rotação específica da bomba dada pela expressão empírica seguin te produto de um grande número de ensaios 552 expressão válida para as bombas centrífugas radiais lentas e normais com a rotação específica Ns dada pela Equação 524 Assim pela Equação 551 a altura estática de sucção da bomba deve ser limitada a Z H Pa Pv AH max crc y o s 553 em que o sinal positivo corresponde à bomba afogada Como pela Equação 552 o coeficiente crc aumenta com a rotação específica as bombas de Ns elevadas exigem alturas estáticas de sucção reduzidas ou mesmo negativas bomba afogada 597 APLICABILIDADE DOS DOIS CRITÉRIOS O critério do NPSHr por utilizar uma característica da bomba fornecida pelo fabricante é o que oferece maior segurança ao projetista Deve ser usado na Se a alternativa escolhida para o aumento da capacidade de vazão em um sistema elevatório for a troca do rotor da bomba que parâmetros devem ser analisados e verificados 050 lll X Figura 520 Exemplo 56 Na condição de cavitação incipiente o que acontece com a massa específica do líquido fase final do projeto quando já se tem especificado o tipo de equipamento e portanto as curvas características completas Já o critério do coeficiente de cavitação cr deve ser usado em fase de anteprojeto quando ainda não se defini ram as especificações Ele fornece uma primeira indicação sobre a máxima al tura estática de sucção e o único parâmetro necessário ao cálculo além da vazão e da altura de elevação é a rotação em que a bomba irá operar Este critério é tanto mais preciso quanto mais próximo do ponto de ótimo ren dimento da bomba ele for usado EXEMPLO 56 A bomba mostrada na Figura 520 deverá recalcar uma vazão de 30 mh com uma rotação de 1750 rpm e para esta vazão o NPSH requerido é de 250 m A instalação está na cota 83450 m e a temperatura média da água é de 20º C Determinar o valor do comprimento x para que a folga entre o NPSH dispo nível e o requerido seja de 380 m Diâmetro da tubulação 3 material da tubu lação PVC rígido coeficiente ele rugosidade da fórmula de HazenWilliams C 150 Na sucção existe uma válvula de pé com crivo e um joelho 90º 13450 A condição do problema exige NPSH c1 NPSH 380 m o que leva a NPSHi1 630 m A pressão atmos férica corresponde a 13 6760 008183450 9 42 mIIO y 1000 Pela Tabela 52 a pressão ele vapor da água a 20º C vale pJy 024 mH2O e pela Figura 520 a altura estática de sucção é Z 83450 833 1 O 140 m Como NPSHd Pa Pv z Hs y vem N PSHi1 630 m 942 0238 140 LlHs LlHs 148 m Logo a soma de todas as perdas de carga na tubulação de sucção deve ser igual a 148 m Pela Tabela 37 a soma dos comprimentos equivalentes da vál vula de pé e do joelho 90 vale 307 m Para a vazão ele 30 m1h 833 101 m1s C 150 e diâmetro ele 3 pela Tabela 23 a perda ele carga unitária vale Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 161 J 3017 104 Q 185 3017 104 833 103185 4293 m100 m Como Hs J L otai 148 4293100307 X 050 x 327 m EXEMPLO 57 Qual é a rotação específica N de uma bomba centrífuga que recalca 200 1s sob uma carga altura total de elevação de 375 ma 1760 rpm Deter mine a altura total de elevação e a capacidade de vazão desta bomba operan do a 1480 rpm na mesma condição de eficiência Especifique em cada caso a máxima altura total de sucção hs possível se o coeficiente de cavitação crítico vale CTc 022 Assuma que a pressão atmosférica local corresponde a 962 mH2O e que a pressão de vapor da água a 020 mH2O Pela Equação 524 1760J020 6 f d N 5 365 0 75 189 centn uga rap1 a 375 Pelas relações de semelhança Equações 528 e 529 temse 375 1760 2 H 265 m e 020 H2 1480 2 Q2 1760 1480 Q2 0168 m3s Na condição de início de cavitação pela Equação 550 temse O 22 962 020 h smáx Oc 375 h smáx 117 m 0 O 22 962 020 hsmáx e 265 h smâx 359 111 510 PROBLEMAS As curvas características de duas bombas para uma detenninada rotação constante são mostradas na tabela a seguir Uma dessas duas bombas deverá ser utilizada para bombear água através de uma tubulação de 010 m de diâ metro 21 m de comprimento fator de atrito f 0020 e altura geométrica de Uma bomba hidráulica acoplada a um motor elétrico com 1200 rpm tem a seguinte curva característica Hm 12 01Q2 Se o motor for trocado por outro com 1800 rpm1 qual a nova curva característica da bomba B HdAUca BAsa Cap 5 25 20 15 I 10 I 5 o o 5 32 m Selecione a bomba mais indicada para o caso Justifique Para a bomba selecionada qual a potência requerida Despreze as perdas localizadas Q m3s o 0006 0012 BbaA H m 226 219 203 T o 32 74 Bba B H m 162 136 119 T o 14 34 Bomba B Pot 353 kW 480 cv 00 10 7 15 20 QVs 0018 177 86 116 60 0024 0030 142 85 107 80 97 66 90 80 4 800m e 0036 39 28 64 60 Figura 521 Problema 52 d O esquema de bombeamento mostrado na Figura 521 é constituído de lações de aço com coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen Williams C 130 Da bomba até o ponto B existe uma distribuição de vazão em marcha com taxa de distribuição constante e igual a q 0005 1sm Para a curva caractetistica da bomba dada na figura detetmine a vazão que chega ao reservatório superior e a cota piezométrica no ponto B Despreze as perdas localizadas e a carga cinética Sugestão reveja o conceito de vazão fictícia no Capítulo 4 e obser ve que os trechos AB e BC estão em série Q 7 O 1s CPB 130 m A curva característica de uma bomba na rotação de 1750 rpm é na tabela a seguir Quando duas bombas iguais a esta são associadas em série ou em paralelo a vazão através do sistema é a mesma Determine a vazão bombeada por uma única bomba conectada ao mesmo sistema A altura geométrica é nula e utilize a fórmula de HazenWilliams Observe Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 163 que o ponto de cruzamento da curva da associação em paralelo com a curva da associação em série que é o ponto de funcionamento também pertence à curva característica da tubulação que é representada pela fórmula de Hazen Will iams 4Jc 1 Q m 3s 1 00 1 004 1 0069 1 0092 1 0115 1 0138 1 r0180 1 1 Hm 1 560 1 490 1 435 1 403 1 338 Q 012 m3s 5Í Desejase recalcar 10 1s de água por meio d e um ema de tubulações com as seguintes características fim sist cio mu Bre sue cal tos sue altu namento contínuo 24h coeficiente de rugosidade da fór la de HazenWilliams C 90 coeficiente da fónnula de sse K 15 diâmetro de recalque igual ao diâmetro de ção comprimentos reais das tubulações de sucção e re que respectivamente de 60 me 6740 ni comprimen equivalentes das peças existentes nas tubulações de ção e recalque respectivamente de 4340 me 3510 m ra geométrica de 20 rn Com a curva característica de uma bomba indicada na Figura 522 determine 1 242 1 001 31 ¼ 31 29 27 1 25 I 23 r 21 19 17 15 V I 4 V 11 1 1 1 i 10 12 14 16 Q 1s Associando em paralelo duas destas bombas obtémse a vazão desejada Figura 522 Problema 54 4Em caso afirmativo qual a vazão em cada bomba fi Qual a vazão e a altura de elevação fornecidas por uma bomba iso ladamente instalada no sistema ue verificações devem ser feitas antes de escolher a bomba de acor do com os pontos de funcionamento obtidos a Sim b Q 51 1sJ e Q 60 1s H 216 m d Potência requerida e cavitação 55 Duas bombas geometricamente semelhantes uma com diâmetro do rotor D e outra com diâmetro D2 possuem a mesma velocidade tangencial velocidade pe 1iférica Mostre que a altura de elevação total é a mesma enquanto as vazões e as potências requeridas estão entre si assim como o quadrado dos diâmetros Considere um sistema de abastecimento de água por gravidade entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes e iguais a 81200 e 80000 m liga dos por uma tubulação de 6 de diâmetro I 025 m de comprimento e fator de atrito f 0025 Desejandose aumentar a capacidade de vazão cio sistema instalouse imediatamente na saída cio reservatório superior uma bomba cen trífuga cuja curva característica é dada na tabela a seguir Desprezando as per das ele carga localizadas e a perda de carga na sucção determine a nova vazão recalcada a cota piezométrica na saída ela bomba e a potência requerida Ob serve que no caso a altura gcomélrica na Equação 538 é negativa Qmtsr o 0006 0012 0018 0024 0030 0036 HÔÍ1L s 226 2 19 203 177 142 97 39 o 32 85 66 28 I 11 o 74 86 fQ 285 1s CP 82300 m Pot 421 kW 573 cv 1f Uma cidade possui um sistema ele abastecimento de água inaugurado em 1947 constituído por uma tubulação de O 15 m de diâmetro 684 m ele compri mento e uma bomba com rotação de 1750 rpm com a curva característica dada na tabela a seguir A altura geométrica é de 30 m Em 1947 o coeficiente ele rugosidade da fórmula de HazenWilliams era C 130 e hoje devido ao enve lhecimento ela tubulação o coeficiente vale C 80 Desejase bombear hoje a mesma vazão que era recalcada em 1947 e para isto é necessário aumentar a rotação ela bomba deslocando sua curva característica para cima Determinar a O ponto de funcionamento cio sistema Q H e 11 em 1947 e hoje b A rotação que eleve ser dada à bomba hoje para recalcar a mesma vazão recalcada em 1947 Observar que as condições de semelhan ça dadas pelas Equações 528 e 529 entre dois pontos homólogos leva a Hifü QQ22 c A potência necessária à bomba hoj e com a nova rotação Q úih 20 40 60 80 100 120 FFm 50 48 46 425 365 28 n 40 50 60 70 80 70 ChYQ 89 m3h H 40 rn 17 76 Q 68 m3h H 45 m 17 64 d6 n 1900 rpm c Pot 1896 kW 2578 cv J s Um sistema ele bombeamento é constituído por duas bombas iguais ins taladas em paralelo e com sucções independentes com curva característica e curva cio NPSHr dadas na Figura 523 As tubulações ele sucçã e recalque Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 165 H 111 24 NPSH111 20 16 12 v NPSt1 1 O 3 6 9 12 15 18 27 E Qlls têm diâmetro de 4 fator de atrito f 0030 e os seguintes aces sórios na sucção de 60 m comprimento real existe uma vál vula de pé com crivo e uma curva 90 RD I e no recalque de 700 m de comprimento real existe uma válvula de retenção tipo leve um registro de globo e duas curvas 90 RD 1 O nível dágua no poço de sucção varia com o tempo atingindo no ve rão uma cota máxima de 70900 m e no inverno uma cota míni ma de 70600 m O nível dágua no reservatório superior é constante na cota 7 1900 m A cota ele instalação cio eixo ela bomba vale 71000 m Verifique o comportamento cio sistema no inverno e no verão determinando os pontos de funcionamento do sistema Q e H os valores cio N PS H disponível nas duas estações e o comportamento das bombas quanto à cavitação As suma temperatura da água em média igual a 20 C Figura 523 Problema 58 Inverno Q 140 1s H 190 m verão Q 160 1s H 180 m Inverno NPSHt1 479 111 verão NPSHct 776 m não há risco ele cavitação 59 O ensaio de um modelo ele uma bomba centrífuga é feito em um local cuja pressão atmosférica corresponde a I O 19 mH2O e a pressão de vapor da água a 034 mH2O A altura total de elevação do modelo é igual a 488 m Uma bomba protótipo geometricamente semelhante ao modelo opera em um local onde a pressão atmosférica corresponde a 1033 mIhO nível do mar e a pressão de vápor da água a 036 mH2O A altura total ele sucção h no protótipo vale 305 m e a altura total ele elevação 67 1 O m assim qual o valor da altura total ele sucção no modelo hs 482 m f 510 Partindo da Equação 522 e utilizando a Equação 53 com T 1 demonstre a Equação 5 24 P11 Qual deve ser a rotação específica de uma bomba para recalcar 0567 m3s de água através de uma adutora de 3050 m de comprimento diâ metro de 060 me fator de atrito f 0020 altura geométrica nula com ro tação de 1750 rpm Qual deve ser a rotação específica se duas bombas idênticas e iguais a esta são instaladas em paralelo e em série Ns 4928 N 3484 Ns 8287 512 Uma bomba transfere água entre dois reservatórios mantidos no mesmo nível altura geométrica nula O eixo da bomba está situado 183 m acima do 30 111 RI A Figura 524 12 10 s I ª il 6 1 4 o i 2 IJíS Problema 513 o V e O 5 10 15 Vazão 1s Figura 525 Problema 514 7 f 20 25 nível dágua de ambos os reservatórios Para uma rotação de 1200 rpm a vazão descarregada é de 682 1s e as perdas de carga totais na sucção e no recalque valem respectivamente 244 m e 9 15 m Até que valores podem chegar a ro tação da bomba e a vazão recalcada sem oconer cavitação se o coeficiente de cavitação crítico vale Jc 0045 Assuma que a bomba trabalha com um rendi mento máximo constante e que a pressão atmosférica e a pressão de vapor da água correspondem respectivamente a 1033 mH2O e 026 mH2O Que tipo de bomba é recomendado para este trabalho Utilize uma equação de resistência para o cálculo das perdas de carga na forma tH const Q2 Q 00114 m3s 112 20006 rpm Ns 576 centrífuga lenta 30 R2 D O sistema de recalque mostrado na Figura 524 possui uma bomba que desenvolve uma potên cia de I O cv para a vazão recalcada com rendimento de 75 Entre a bomba e o registro B há uma distri buição de vazão em marcha constante com taxa q 001 1sm O registro B parcialmente fechado provo ca uma perda de carga localizada dada por Lh 00247Q2 com Lh m e Q 1s para a vazão de es coamento e no ponto C existe uma derivação deva zão Qc A vazão que chega ao reservatório R2 é de 50 1s e a altura geométrica é de 300 m Desprezan do a carga c inética e as perdas de carga localizadas exceto no registro determine a vazão derivada Qc Utilize a fórmula de HazenWilliams com coeficiente de rugosidade C l 00 Dados º t JicU3 Totnprin1ento m Diâmetro pol AB 500 6 BC 200 6 CD 100 4 Qc 50 1s c4 Uma bomba centrífuga está montada em uma cota topográfica de 84500 m em uma instalação de recalque cuja tubulação de sucção tem 35 m de comprimento 4 de diâmetro em PVC rígido C 150 constando de uma válvula de pé com crivo e um joelho 90 Para um recalque de água na temperatura de 20º C e uma curva do NPSH re querido dada pela Figura 525 determine a máxima vazão a ser re calcada para a cavitação incipiente Se a vazão recalcada for igual a 15 1s qual a folga entre o NPSH disponível e o NPSH requerido Altura estática de sucção igual a 20 m e a bomba é não afogada Cap 5 Sistemas Elevatórios Cavitação 167 Qmáx 20 1s Folga 32 m 515 A curva característica de uma bomba centrífuga é dada na Figura 526 Quando duas bombas iguais a esta são associadas em série ou em paralelo a vazão através do sistema é a mesma Determine a vazão bom beada por uma única bomba quando instalada no mes mo sistema A altura geométrica é igual a I O m e utilize a equação de DarcyWeisbach X 110 50 40 30 20 IO o l 1 Q 145 m3h o 10 15 20 25 Q m ih 516 No sistema de bombeamento mostrado na Figura 527a para a vazão de recalque igual a 16 1s a perda de carga total na tubulação de sucção da bomba B I é de Figura 526 Problema 515 140 m Para esta vazão o NPSH requerido pela bomba B2 é igual a 50 m Pretendendose que a folga entre o NPSH disponível e o NPSH requerido pela bomba Bi seja igual a 320 m calcule o máximo comprimento do trecho da adutora entre as duas bombas Toda a adutora sucção e recalque é de PVC rí gido C 150 de 4 de diâmetro Temperatura média da água de 20 C Dado curva característica da bomba B 1 Despreze as perdas localizadas no recalque li 50 Figura 527a L 274 m 40 J 5 X 20 Figura 527b Qls 517 O sistema de bombeamento mostrado na Figura 528 tem tubulações de sucção e recalque com diâmetros iguais a 4 em tubos metálicos ê O 15 mm Ao longo dos 650 m da tubulação de recalque existe uma distribuição de vazão em marcha com uma taxa constante q 001 1sm Um manômetro coloca do na saída da bomba indica uma pressão de 400 kNm2 Desprezando as 15 20 30 35 40 45 Figura 528 6511111 Problema 517 li m 50 45 40 35 30 25 20 15 10 perdas de carga localizadas na tubulação de recalque a carga cinética e sa bendo que a tubulação de sucção com 350 rn de comprimento possui urna válvula de pé com crivo e um cotovelo raio curto 90 determine a a vazão que chega ao reservatório superior b a carga de pressão disponível na entrada da bomba c a altura manométrica ela bomba d a potência necessária à bomba supondo rendimento de 65 e a potência necessária ao motor elétrico comercial a Q 785 1s b py 298 mfüO e Hm 4380 m d Potb 1289 cv e Pot111 15 hp i 001 1sm 518 O sistema ele bombeamento mostrado na Figura 529 consiste de duas bombas iguais instaladas em paralelo e duas tubulações de mesmo diâmetro comprimento e coeficiente de rngosiclade Usando a fórmu la de HazenWilliams e conhecen do a curva característica ele uma bomba e a curva característi ca do sistema de tubulações determine a vazão em cada tubulação e a cota piezométrica na saída elas bombas Despre ze as perdas localizadas e as cargas cinéticas nas tubulações Q 1 7 1 m3h Q2 32 m3h CP 330 m Sistcn a I º Ili V Í 1101111 1 1 O 25 5 75 10 125 15 175 20 Q nh Figura 529 Problema 51 8 6 REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA 61 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores tratouse basicamente das aplicações das equações fundamentais a sistemas hidráulicos com geometria simples como tubulações em série tubulações em paralelo e tubulações ramificadas Uma aplicação importante dentro do projeto de abastecimento de água é o di mensionamento ou verificação das redes de distribuição de água Um sistema de distribuição de água é o conjunto de tubulações acessó rios reservatórios bombas etc que tem a finalidade de atender dentro de con dições sanitárias de vazão e pressão convenientes a cada um dos diversos pontos de consumo de uma cidade ou setor de abastecimento Evidentemente em função do porte do problema o sistema de abaste cimento tomase bastante complexo não só quanto ao dimensionamento mas também quanto à operação e manutenção Tratase em geral da parte mais dispendiosa do projeto global de abastecimento exigindo considerável aten ção do projetista no que concerne aos parâmetros do sistema hipóteses de cálculo assumidas e metodologias de modo a obter um projeto eficiente 62 TIPOS DE REDES A concepção geométrica do sistema de reservatórios e tubulações que definem uma rede de distribuição depende do porte da cidade a ser abastecida bem como de características viárias e topográficas De modo geral qualquer que seja o desenho da rede esta é constituída por condutos que são classifica dos como condutos principais ou condutos troncos e condutos secundários Os condutos principais são aqueles de maior diâmetro que têm por finalidade abas tecer os condutos secundários enquanto estes de menor diâmetro têm a fun ção de abastecer diretamente os pontos de consumo do sistema De acordo com a disposição dos condutos principais e o sentido de es coamento nas tubulações secundárias as redes são classificadas como rede ramificada e rede malhada 169 Veio uma mulher de Samaria a tirar água Jesus lhe disse Dáme de beber João 47 B HldáUoa Básica Cap 6 Reservatório de montante Secundária Trecho Figura 61 Esquema de urna rede ramificada A rede é classificada como ramificada quan do o abastecimento se faz a paitir de uma tubulação tronco alimentada por um reservatório de montante ou mesmo sob pressão de um bombeamento e a distribuição da água é feita diretamente para os condutos secundários e o sentido da vazão em qualquer trecho da rede é conhecido Esta concep ção geométrica é utilizada para o abastecimento de pequenas comunidades acampamentos granjas sistemas de irrigação por aspersão etc A Figura 61 Reservatório Figura 62 Rede secundária Trecho apresenta um esquema desse tipo de rede Conforme a Figura 61 os pontos de derivação de vazão eou de mudan ça de diâmetro são chamados de nós e a tubulação entre dois nós é chamada de trecho o sentido do escoamento se dá da tubulação tronco para as tubula ções secundárias até as extremidades mortas ou pontas secas O padrão geométrico da rede ramificada impõe que a distribuição da vazão fique condicionada à tubulação tronco de modo que se ocmrnr um rom pimento no ponto A toda a área a jusante ficará prejudicada As redes malhadas em vez de possuírem uma única tubulação tronco são constituídas por tubulações tronco que formam anéis ou malhas nos quais há possibilidade de reversibilidade no sentido das vazões em função das solicita ções de demanda Com esta disposição podese abastecer qualquer ponto do sistema por mais de um caminho o que permite uma maior flexibilidade em satisfazer a demanda e na realização da manutenção da rede com o mínimo de interrupção no fornecimento de água O esquema geométrico de uma rede malhada mostrado na Figura 62 é o mais comum na maioria das cidades nas quais o sistema viário tem um desenvolvimento em várias direções ra dial Esquema de uma rede malhada com quatro anéis ou malhas Qualquer que seja o tipo da rede malhada ou ramificada o projeto deve satisfazer algumas condições hidráulicas li mitantes como pressões velocidades e diâmetros Quase sempre a topografia do terreno é o fator determinante no projeto de uma rede e como os comprimentos das tubulações são razoáveis as perdas de carga distribuídas propiciam uma diminuição nas co tas piezométricas dos nós e em conseqüência nas pressões dis poníveis Como norma o projeto deve garantir uma carga de pressão dinâmica mínima de 15 mH2O para permitir o abasteci mento de um prédio de três pavimentos e uma carga de pressão estática má xima de 50 mH2O a fim de reduzir as perdas por vazamentos nas juntas das Cp 6 Reds de Distribição da Ág B tubulações Em sistemas de porte em que há diferenças de cotas topográficas superiores a 60 m é conveniente dividir a rede em zonas de pressão de modo a evitar pressões excessivas nos pontos baixos da rede O controle das pressões mínima e máxima pode ser feito através da instalação de bombas ou válvulas redutoras de pressão respectivamente As redes malhadas são projetadas com diâmetro mínimo de 4 nos con dutos principais anéis admitindose 3 para núcleos urbanos com população de projeto inferior a 5000 habitantes e diâmetro mínimo de 2 na rede secun dária Em geral as perdas de carga unitárias nas tubulações normalmente uti lizadas variam entre J O 1 mil 00 m a 1 mil 00 m Perdas unitárias desta ordem correspondem em média a velocidades entre 060 ms e 120 ms faixa de velocidade que resulta mais satisfatória do ponto de vista operacional e eco nômico Na Seção 64 serão discutidos os padrões de velocidades utilizados nos projetos de redes 63 VAZÃO DE ADUÇÃO E DISTRIBUIÇÃO Um sistema público de abastecimento de água é constituído por váJias unidades como captação bombeamento adução unidade de tratamento reservação e finalmente a rede de distribuição O dimensionamento de cada unidade tem por parâmetro de cálculo a vazão de demanda que é diretamen te proporcional à população a ser atendida A vazão média anual necessária pode ser expressa como Qm p q m fs 3600h 61 em que P é a população a ser abastecida determinada por métodos estatísti cos de previsão populacional a ser atingida no horizonte do projeto qm é a taxa ou cota de consumo per capita média da comunidade em 1habdia e h é o número de horas de operação do sistema ou da unidade considerada Para levar em conta variações diárias de demanda ao longo do ano a va zão média é multiplicada por um coeficiente de reforço k 1 definido como coe ficiente do dia de maior consumo que assume valores usuais entre 125 e 150 na forma Q k Q k P qm et ª 1 m 3600 h S 62 A vazão Qa é denominada vazão de adução e é utilizada para o dimen sionamento das unidades do sistema que estão a montante dos reservatórios de distribuição como captação bombeamento adução tratamento e reservação B Hdãonca Básca Cap 6 Como o consumo de água em uma cidade varia no decorrer do dia são previstos reservatórios de distribuição com capacidade conveniente tais reser vatórios servirão de volante para suprir as vazões necessárias nas horas de grande consumo Desta forma a rede de distribuição deverá ser dimensionada para uma vazão denominada vazão de distribuição dada por 63 em que k2 é definido como coeficiente da hora de maior consumo do dia de maior consumo e cujo valor comum é k2 150 Os valores de qm k1 e k2 adotados nos projetos vruiam com o pmte do pro jeto e as características da cidade industrial turística etc e principalmente com o nível sócioeconômico da população a ser atendida Um valor usual adotado em cidades de médio porte para a cota per capita é qm 200 1habdia 64 ANÁLISE HIDRÁULICA DE REDES DE ABASTECIMENTO A análise hidráulica das redes está baseada na utilização da equação da continuidade que estabelece na condição de equilíbrio ser nula a soma algé brica das vazões em cada nó da rede e na aplicação de uma equação de resis tência na forma 1H KQ11 aos vários trechos Como objetivo devese determinai as vazões nos trechos e as cotas piezométricas nos nós a partir do conhecimento da vazão de distribuição para o sistema Normalmente as cargas cinéticas e as perdas de cruga localizadas são negligenciadas no cálculo da rede Dois tipos de problemas podem ser analisados a Problema de verificação que consiste em determinar as vazões nos trechos e as cotas piezométricas nos nós para uma rede com diâme tros e comprimentos conhecidos Este problema é determinado e tem solução única b Problema de determinação dos diâmetros vazões nos trechos e co tas piezométricas nos nós com condicionamentos nas velocidades e pressões Este problema admite várias soluções podendo porém procurarse a solução de mínimo custo Em relação às velocidades máximas admissíveis nos projetos é usual a utilização da equação empírica Vmáxms06015Dm e Vmáx 20ms 64 cp 6 Redes de Oistbção de Ágoa B Esta relação é usada para o prédimensionamento dos diâmetros em re des ramificadas e malhadas Em forma de tabela a Equação 64 fica Tabela 61 Velocidades e vazões máximas em redes de abastecimento D mm Vmáx mis Qmáxls 50 068 134 60 069 195 75 071 314 100 075 589 125 079 969 150 083 1467 200 090 2827 250 098 4786 300 105 7422 350 1 13 10872 400 120 15080 500 135 26510 65 MÉTODOS DE CÁLCULO PARA O DIMENSIONAMENTO DE REDES Serão abordados dois métodos simples e clássicos para o cálculo de redes ramificadas e malhadas Todas as aplicações em redes malhadas e ramificadas serão na maioria dos casos em sistemas gravitacionais sem pressurização por bomba e abastecidos por um único reservatório 651 REDES RAMIFICADAS No caso das redes ramificadas pelo fato de se conhecer o sentido da vazão em cada um dos trechos o processo de cálculo é determinado poden do ser elaborado com o auxílio de uma planilha ver Tabela 62 conforme o Exemplo 61 O preenchimento da planilha obedece à seguinte seqüência Coluna 1 Número do trecho os trechos da rede ou os nós devem ser numerados com um critério racional partindo do trecho mais afastado do reservatório que recebe o número 1 Coluna 2 Extensão L do trecho em metros medido na planta topo gráfica ou aerofotogramétrica Coluna 3 Vazão de jusante Qj se na extremidade de um ramal ponta seca Qi O Na extremidade de jusante de um trecho T qualquer Qi I Qm dos trechos abastecidos por T Cap 6 Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Coluna 7 Coluna 8 Coluna 9 Colunas 10 e 11 Colunas 12 e 13 Colunas 14 e 15 EXEMPLO 61 Vazão em marcha igual a qL na qual q é vazão unitária de distribuição em marcha 1sm O valor de q é constante para todos os trechos da rede e igual à relação entre a va zão de distribuição Equação 63 e o comprimento total da rede I Li Vazão a montante do trecho Qm Qj qL f Q Qm Qj Q O Q Qm se vazao 1ct1cia r 2 se i 1 ou r 3 Qi O isto é se a extremidade de jusante for uma ponta seca Diâmetro D determinado pela vazão de montante do tre cho obedecendo aos limites da Tabela 61 Perda de carga unitária Jm100 m determinada para o diâmetro D e a vazão fictícia Qr calculada pela equação de resistência adotada Perda de carga total no trecho H m JL Cotas topográficas do terreno obtidas na planta e relativas aos nós de montante e jusante do trecho Cotas piezométricas de montante e jusante determinadas a partir da cota piezométrica fixada para um ponto qual quer da rede ou estabelecendo para o nível dágua no re servatório um valor genérico X A partir do nível d água X e com os valores das perdas de carga nos trechos todas as cotas piezométricas dos nós podem ser calculadas em fun ção de X Cargas de pressão disponíveis em cada nó cota piezo métrica menos cota do terreno em função de X Para o ponto mais desfavorável igualase ao valor 15 mH2O que é a mínima carga de pressão dinâmica admitida no projeto Dimensionar a rede de distribuição de água de uma pequena comunida de cuja planta e topografia do terreno são mostradas na Figura 63 Determi nar a cota do nível dágua no reservatório para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja 15 mH2O Determine a máxima carga de pressão está tica e a máxima carga de pressão dinâmica na rede Dados Cap 6 Rodes de rnstriboição de Ágaa B a população a ser abastecida P 2900 hab b cota de consumo per capita média qm 150 1habdia e coeficiente do dia de maior consu mo k1 125 d coeficiente da hora de maior deman da k2 150 e horas de funcionamento diário do sistema h 24 h 115 100 Figura 63 Exemplo 61 f material das tubulações aço galvanizado novo fator de atrito f 0026 g o trecho entre o reservatório e o ponto A onde inicia a rede não terá distribuição em marcha Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas Pela Equação 63 a vazão de distribuição é dada por Q 125150 2900 150 9 44 e s d 360024 O comprimento total da rede medido a partir do ponto A vale 1270 m portanto a vazão unitária de distribuição em marcha para todos os trechos da rede vale Q 944 q d 00074 f sm Lede 1270 A planilha da Tabela 62 é montada seguindo a seqüência de cálculos descrita anteriormente A numeração dos trechos da tubulação principal foi feita em ordem cres cente partindo do trecho mais afastado do reservatório Deve ser observado que o nó de jusante de cada trecho é o nó de mon tante do trecho ou trechos subseqüente e que a soma algébrica das vazões nestes nós deve ser nula Na tabela a menos dos erros de arredondamento a vazão a montante do trecho 4 jusante de 5 Q 941 1s é a própria vazão de distribuição 105 100 95 85 EJ Hidrauca Bása Cap 6 Trec Exte Vazão 11s llQ m Jusa Marc Mont 1 200 oo 1 49 149 21 100 00 074 074 2 150 223 1 11 334 31 150 00 111 111 32 120 oo 089 089 3 200 534 148 682 41 150 oo 111 111 4 200 793 148 941 5 400 941 941 1 2 3 4 5 Tabela 62 Planilha de cálculo do Exemplo 61 Diâm J mi H Cota tcrrenp m Cota iezotlétrica m Carga de pressão mH20 Ficú mm 100 ni On Monta Jusan MOntan Jusan Moritan Jusan 086 60 0200 040 950 850 X 432 X 472 X 9932 X 8972 043 50 0127 013 950 950 X 432 X445 X 9932 X 9945 279 100 0165 025 1025 950 X407 X 432 X10657 X 9932 064 50 0282 042 1025 1050 X 407 X 449 X 10657 X 10949 051 50 0179 021 1025 1000 X 407 X 428 X 10657 X 10428 608 125 0260 052 1130 1025 X 355 X407 X 11655 X 10657 064 50 0282 042 1130 1090 X 355 X397 X 11655 X 11297 867 125 0528 106 1000 1130 X 249 X 355 X10249 X11655 125 0623 249 1150 1000 X X249 X 10249 6 7 8 9 10 l i 12 13 14 15 Pela Tabela 62 o ponto mais desfavorável em termos de pressão é o nó a jusante do trecho 4 que na planta é o ponto mais alto A carga de pressão dis ponível neste ponto vale X 11655 que igualada a 15 mfüO impõe que o ní vel dágua no reservatório seja X 13155 m A máxima carga de pressão estática na rede é a diferença de cotas en tre o nível dágua no reservatório e o ponto de cota topográfica mais baixa 850 m Assim temse Carga de pressão estática máxima 13155 850 4655 mH2O Pela Tabela 62 o ponto de máxima pressão dinâmica é também o nó de cota topográfica mais baixa 85 m a jusante do trecho 1 Assim Carga de pressão dinâmica máxima X 8972 4183 mfüO Outra maneira de preencher a planilha a partir da coluna 12 é fixar para o ponto mais alto da rede uma carga de pressão de 15 mH2O portanto sua cota piezométrica e determinar as cotas piezométricas de todos os outros nós sub traindo ou somando as perdas de carga em cada trecho conforme se ande no sentido ou não da vazão e depois verificar que todos os outros nós tenham carga de pressão acima do mínimo de 15 mH2O Em geral o ponto mais des favorável da rede é o mais alto ou o mais afastado do reservatório A vantagem de assumir o ponto de partida para o cálculo das cotas piezométricas como o nível dágua genérico X no reservatório é que se vai descendo na linha piezométrica no sentido da vazão sempre subtraindo a perda de carga em cada trecho quando se passa de um nó para o seguinte Cap 6 Redes de Dstribção de Ágoa B EXEMPLO 62 A rede de tubulações representada na Figura 64 serve a um sistema de irrigação por aspersão e a uma colônia rural Os aspersores conectados nos pontos G F e E devem propi ciar uma vazão de 20 1s com uma carga de pressão mínima de 1 O mH2O O trecho AB logo após a bomba tem distribuição em marcha com vazão unitária q 001 O 1sm A tubu lação de sucção da bomba com 4 de diâmetro 40 Figura 64 Exemplo 62 tem 25 m de comprimento uma válvula de pé com crivo e um cotovelo raio médio de 90º Os pontos C D e F estão na mesma cota geométrica Determi nar a potência do motor elétrico comercial se o rendimento da bomba é de 70 As tubulações são de material metálico e assuma coeficiente de rugosidade da equação de HazenWilliams C 100 Despreze as perdas de carga localizadas no recalque e as cargas cinéticas Tratase de um problema de verificação em uma rede ramificada na qual não há pontas secas vazões constantes nas ramificações e as pressões nos nós são mantidas pela pressurização do siste ma pela bomba A vazão total recalcada pela bomba é a soma das vazões nos aspersores mais a distribuída para a colônia e igual a 70 1s Pela topografia fica evidente que o ponto mais desfavorável em termos de pressão é o ponto G que está 50 m acima do ponto mais afastado da bomba ponto F Assim fixandose uma carga de pressão em G igual a I O mH2O sua cota piezométrica será CPG 200 m Sendo X a cota piezométrica logo após a bomba a equação da ener gia entre os pontos A e G pode ser escrita como Conhecendose em cada trecho o diâmetro a vazão e o coeficiente de rugosidade com o auxílio da Tabela 23 podese montar a tabela a seguir Ob serve que no trecho AB a perda de carga deve ser calculada pela vazão fictí cia que é a média entre QA e QB tiH m A8 Or 65 1415 1415 8C 4 60 1221 0976 CG 2 12 20 1924 1155 4 e Cap 6 Poitanto a cota piezométrica na saída da bomba vale X 1415 0976 1155 200 X 2355 m A cota piezométrica na entradà da bomba é determinada pela aplicação da equação da energia à tubulação de sucção Desprezando a carga cinética vern 4 O LiHs CPmtes com LiHs IsLtotal As peças existentes na sucção têm comprimento equivalente pela Tabela 36 igual a 2935 m peifazendo um comp1imento total de 25 2935 3185 m Da Tabela 23 para Q 701s temse Is 1574 X 104 0007185 1623 m100 rn daí CPantes 40 1623100 3185 348 m A altura total de elevação H no caso igual à altura manométrica total H 111 é a diferença entre as cotas piezométricas após e antes da bomba H Hm 2355 348 2007 m portanto a potência necessária à bom ba vale Pot 9800072007 197 kW 267 cv 070 Pela tabela do Exemplo 55 a potência do motor elétrico será Pot01 130267 347 CV e o motor comercial mais próximo será de 4 hp 652 REDES MALHADAS MÉTODO DE HARDY CROSS O cálculo do escoamento de água ern uma rede malhada envolvendo um grande número de tubulações é muito mais complexo que nos sistemas hidráu licos estudados até agora Evidentemente a solução do problema está baseada nas mesmas equações e princípios aplicados às redes ramificadas sistemas em paralelo etc Na resolução do problema de distribuição de vazões pelos trechos de uma rede malhada e na detenninação das cotas piezométiicas nos nós uma série de equações simultâneas pode ser estabelecida Estas equações são escri tas de modo a satisfazer duas condições básicas parà o equilíbrio do sistema que são a A soma algébrica das vazões em cada nó da rede é igual a zero Cap 6 Rdes d rnstobição d Ag B b A soma algébrica das perdas de carga partindo e chegando ao mes mo nó em qualquer circuito fechado dentro do sistema malhas ou anéis é igual a zero Para aplicação dessas duas condições em geral con lQ1 Qd Q4 Nó Q2 vencionase que as vazões que afluem ao nó são positivas e as que dele derivam são negativas Para os anéis convenciona se como sentido positivo de percurso o sentido horário de modo que as vazões e conseqüentemente as perdas de carga serão positivas se forem coincidentes como sentido prefixado de percurso e negativas caso contrário A Figura 65 mostra a convenção a ser utilizada nas aplicações IQ3 lQ Q Q Q Q Q o A B Qs Q31 Q21 Anel Qo Qc D Q4 e U H 1H1 IH IH Al i O No cálculo da perda de carga em cada trecho da rede utilizase uma equação de resistência na forma liH KQ Figura 65 Convenções utilizadas para as equações fundamentais Como regra geral uma rede malhada com m anéis ou malhas e n nós gera um total de m n 1 equações independentes e à medida que a complexidade da rede aumenta cresce proporcionalmente o número de equações Evidentemente uma solução algébrica da rede tornase impraticável e então se lança mão de um método de aproximações sucessivas com auxílio do computador prático e muito adequado para o problema deno minado método de Hardy Cross O método de Hardy Cross destacase dentre os métodos de aproxima ções sucessivas para o cálculo de redes malhadas por possibilitar o desenvol vimento manual dos cálculos em sistemas simples além de ser um método provido de significado físico que facilita a análise dos resultados intermediá rios obtidos O método de Hardy Cross é aplicado aos condutos principais anéis principais de uma rede malhada a partir de alguns pressupostos do projeto e traçado da rede a Uma vez lançados os anéis da rede baseado em critérios urbanísti cos de distribuição de demanda densidade populacional vetores de crescimento da área a ser abastecida etc são definidos pontos fictí cios convenientemente localizados nas tubulações Tais pontos para efeito de cálculo substituem do ponto de vista de demanda uma certa fração da área a ser abastecida de modo a transformar vazões por unidade de área em vazões pontuais Imaginase que toda a rede seja suprida através dos anéis em pontos fictícios de descarregamen to que serão os nós da rede para efeito de aplicação do método b Conhecendose a topografia da área a distância entre dois nós será o comprimento do trecho a ser dimensionado ou se o diâmetro já for B HidraUca Básica Cap 6 especificado o trecho a ser determinada a vazão e as pressões nas ex tremidades e Admitese que a distribuição em marcha que ocorre nos trechos que formam os anéis seja substituída por uma vazão constante d Supõemse conhecidos os pontos de entrada e saída de água reser vatórios adutoras e os nós distribuídos nos anéis e os valores das respectivas vazões e Atribuise partindo dos pontos de alimentação uma distribuição de vazão hipotética Qa pelos trechos dos anéis obedecendo em cada nó à equação da continuidade IQ O f Para cada trecho de cada anel conhecendose o diâmetro que pode ser prédimensionado pela condição de velocidade limite da Tabela 61 o comprimento e o fator de atrito calculase o somatório das perdas de carga em todos os anéis Se para todos os anéis tivermos IóH O a distribuição de vazões estabelecida está correta e a rede é dita equilibrada g Se em pelo menos um dos anéis IóH t O que é a situação mais co mum a distribuição de vazão admitida será corrigida somandose compensandose algebricamente a cada uma delas um valor óQ de modo que as novas vazões em cada trecho serão Q Qa óQ 65 de modo a se atingir 66 expressão que desenvolvida pelo binômio de Newton tornase KQºl óQ nn1 6Q 2 O k 1 11 Qa 2 Q 67 Supondose que óQ é muito pequeno comparado a Qa isto é que os va lores supostos para as vazões são próximos dos valores reais podese desprezar o terceiro termo da série e os seguintes e daí Cap 6 Redss de DisMbção de Ágoa B 68 e finalmente Q 69 Com as novas vazões obtidas em cada anel recalculamse as perdas de carga e prosseguese com o método até que se obtenham em todos os anéis valores de Q pequenos ou nulos O número de aproximações sucessivas necessário depende em grande parte da margem de erro das estimativas iniciais das vazões e do porte da rede Não é objetiyo do cálculo chegar a um limite muito afinado uma vez que os resultados obtidos não podem sú mais precisos que os dados básicos os quais forçosamente serão com freqüência algo incertos Com a rede equilibrada e conhecidas as cotas piezométricas nos pontos de alimentação resultam imediatamente as cotas piezométricas e as pressões disponíveis nos diversos pontos da rede Se estas pressões forem inadequadas modificase o sistema alterando ou a altura do reservatório ou os diâmetros de alguns trechos Tanto o problema de verificação quanto principalmente o problema de dimensionamento por se utilizar de um método de aproximações sucessivas são extremamente laboriosos exigindo o auxílio de um programa compu tacional para agilizar a análise de alternativas 66 APLICAÇÃO DO MÉTODO DE HARDY CROSS O PROGRAMA REDEMEXE O programa REDEMEXE permite o dimensionamento ou verificação pelo método de Hardy Cross de uma rede de distribuição de água com até 100 trechos e um ou mais reservatórios de alimentação sistema unicamente por gravidade O código matemático está em linguagem Quick Basic e a interface in teligente em Visual Basic O programa aceita como equações de resistência a equação de HazenWilliams ou a Fórmula Universal A montagem do arquivo de dados é simples sendo necessário informar o número de trechos o número de anéis e o número de nós da rede a tolerân Ver diretório Redes no endereço eletrônico wwweescscuspbrshs na Área Ensino de Graduação EJ HidcáUca 8ica Cap 6 eia na perda de carga erro de fechamento do plano piezométrico a tolerân cia da vazão erro de balanço na equação da continuidade o número de iterações necessárias 10 é suficiente o número do nó escolhido para fixar a carga de pressão nó de início do cálculo do plano piezométrico a carga de pressão adotada para este nó e as cotas topográficas de todos os nós Em outra tabela de entrada devese informar os números dos trechos de cada anel com o sinal positivo se a vazão preestabelecida no início naquele trecho estiver no sentido arbitrado em geral percorrendo o anel no sentido horário e negativo caso contrário Finalmente a última tabela é preenchida com os números dos nós de montante e jusante de cada trecho respeitando o sentido arbitrado da vazão o valor da vazão em 1s sem sinal o comprimento e diâmetro de cada trecho o coeficiente C de mgosidade da fórmula de HazenWilliams ou a mgosidade absoluta E em milímetro do tubo Não é necessário informar simultaneamente o valor do C e do E somen te o correspondente à equação de resistência que se vai usar Se todos os tu bos da rede tiverem a mesma mgosidade o coeficiente pode ser digitado uma vez na primeira célula da coluna e copiado para todos os outros trechos Após a montagem do arquivo de dados tecle o campo CALCULAR e escolha a equação de resistência que desejar Após o cálculo se as condições impostas de carga de pressão mínima nos nós e velocidades nos trechos foram respeitadas tecle IMPRIMIR ou SALVAR para ter a solução do problema Se as condições impostas de pressões e velocidades não forem atendi das tecle FECHAR voltando para a tela anterior e altere algum dado do pro blema diâmetro ou pressão no nó inicial O programa informa as cargas piezomét1icas e as cargas de pressão em todos os nós junções a distribuição de vazões com sinal as velocidades nos trechos as velocidades máximas de norma dada pela Equação 64 e o custo total das tubulações baseado em uma função de custo embutida na rotina so mente para efeito de comparação entre duas ou mais soluções tecnicamente viáveis Observar que se o sinal da vazão em algum trecho for negativo isso significa que o sentido do escoamento é invertido quanto aos nós montante e jusante previamente escolhidos Para iniciar entre no gerenciador de arquivos do Windows vá ao drive A ou B e tecle REDEMEXE no diretório REDES O programa REDEMEXE deve estar no mesmo diretório ou disquete que contém as demais bibliotecas do Visual Basic O arquivo de dados pode ser salvo ou pode ser aberto teclando o cam po ARQUIVO nas formas comuns do ambiente Windows O arquivo de resul tados pode ser salvo ou impresso diretamente EXEMPLO 63 2 L Qual deve ser a cota do nível dágua no reservatório de abastecimento para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede da Figura 66 seja de 15 mH2O Todas as tubulações são de PVC rígido classe 20 E 00015 mm As cotas topográficas dos nós são Reservatóri9 1 2 3 4708 4632 4602 4589 4577 4632 4592 A numeração dos anéis nós trechos e a distri buição preliminar das vazões estão indicadas na Figu ra 66 Tratase de uma aplicação a um problema de verificação pois os diâmetros e os comprimentos dos trechos já estão especificados A locação de cada nó e a respectiva demanda de vazão são feitas conf01me os critérios abordados na Seção 652 O programa REDEMEXE foi aplicado fixandose a carga de pres são no nó 1 início da rede até que a mínima carga de pressão dinâmica nos nós seja de 15 mH2O Outra forma mais rápida de equilibrar a rede é fixar a car ga de pressão mínima no ponto mais alto que em 020m 6 5 1s 015 m 1850 m CD Figura 66 Exemplo 63 geral é o ponto mais desfavorável O sentido horátio de percurso dos anéis foi convencionado como positivo A partir do ponto de carregamento da rede nó 1 foi estabelecida uma distribuição preliminar de vazões em todos os trechos obedecendo em cada nó L Q OA rede tem 2 anéis 8 trechos e 7 nós em que a ordem dos trechos em cada anel em função do sentido da vazão adotada em cada trecho são 4 trechos no anel 1 l 6 7 8 e 5 trechos no anel 2 2 3 4 5 6 Os trechos comuns a dois anéis aparecem na numeração com sinais trocados Os trechos podem ter todos o mesmo coeficiente de rugosidade da fór mula de HazenWilliams ou rugosidade absoluta para a fórmula universal ou não Abrindose o programa REDEMEXE podese criar um novo arquivo de dados ou carregar um arquivo de dados previamente gravado 10 1s 0125 m 790m a 5 1s 8 1s 3 Q 010m 3 ls 700 m 21s 010m 600m 4 5 1s B Hidouca ª Cap 6 NUmem de anéis EJ Total tle hechos A entrada dos dados do problema é mostrada na Figura 67 ver arquivo EXEM63dat Númeo de nós Tole1dncia na va2io m3s Observe a numeração dos trechos e dos nós de montante e jusante com o sinal correspondente ao sen tido da vazão preestabelecida Número má11imo de iler ações l oleráncia na perda de ca1ga m Nó escolhido pa1a li11a1 a p1e uão incial Ca1ga do pmnão no nó escolhidomcaJ Ca1acte1islicas do trecho 1 HO 0015 790 140 0015 100 140 001s µ jl 050 No exemplo foi adotada uma tolerância na va zão valor de Q do método de Hardy Cross igual a 00001 m3s e a tolerância no erro de fechamento da li nha piezométrica de 001 m perfeitamente compatíveis com os dados e a natureza do problema Figura 67 Entrada de dados para o Exemplo 63 A saída cio programa para a rede equilibrada após cinco iterações do método de Harcly Cross fornece as vazões em cada trecho as velocidades médias em cada trecho as velocidades máximas da Tabela 61 as cotas piezométricas nos nós e as cargas de pressão disponíveis e é mostrada na Figura 68 PELA FÓRMULA UNIVERSAL PARA A PERDA DE CAR6A AS VAZOES E VELOCIDADES APÔS 5 ITERAÇ0ES SÃO COMPRIMENTO TOTAL DA REDE 7270m CUSTO DAS TUBUlAÇOES AS2877977 Da análise dos resultados observase que as car gas de pressão dinâmicas variam entre 1541 e 2446 mH2O e que somente no trecho 3 a velocidade está muito abaixo do valor máximo relativo à tubulação de 4 Nos trechos 3 e 6 as vazões são negativas indicando que estão em sentido contrário ao anteriormente adotado No trecho reservatório nó 1 com vazão de 40 1s diâme tro de 025 m comprimento de 520 me E 00015 mm a perda de carga unitária pela Tabela A2 vale J 0211 m100 m A perda total no trecho será H 0211 52 110 m Logo o nível dágua no reservatório será NA CP1 lHr1 4862 1 l O 4873 m portanto o reservatório deverá ter uma altura da ordem de 165 m 4873 4708 para garantir uma carga de pressão dinâmica mínima de 15 mH2O na rede Figura 68 Saída dos resultados do Exemplo 63 67 PROBLEMAS Zi O sistema de recalque mostrado na Figura 69 faz parte de um projeto de irrigação que funciona 5 horas e meia por dia O sis tema possui as seguintes características a tubulação de sucção com 25 m de comprimento constando de uma válvula de pé com crivo e uma curva 90 RD 1 Cap 6 Redes de rnstoboço de Ágoa B b uma bomba que mantém uma altura to tal de elevação de 4 190 m para a vazão recalcada e uma caixa de passagem em nível cons tante com NA 2691 m 26 91 A 11 240111 d vazão de distribuição em marcha vazão unitária de distribuição constante a par tir do ponto A e igual a q 002 1sm 00 q 002 1sm 8 q 002 1sm Determine üJYos diâmetros de recalque e sucção ado Figura 69 Problema 61 tar o mesmo usando a Equação 5 18 yer a Seção 543 a carga de pressão disponível imediatamente antes e depois da bomba s diâmetros dos trechos AB e BC sendo o ponto C uma ponta seca vazão nula Dimensione os diâmetros pelas vazões de montante de cada trecho cJÍJ a carga de pressão disponível no ponto B pf a potência do motor elétrico comercial Dados a rendimento da bomba 65 b material de todas as tubulações ferro fundido novo C I 30 c utilize a equação de HazenWilliams d perdas de carga localizadas no recalque desprezíveis a Ds D 3 b pynntes 228 mfüO pydepois 3962 mfüO c DAB 125 mm DBc 75 mm d p YB 983 mfüO e Pot 75 hp A rede de distribuição de água represen tada na Figura 61 O possui as seguintes caracte rísticas NA D 60111111 50 111 F 50111111 60111 a os trechos BC CE EF CD e EG têm uma vazão de distribuição em marcha constante e igual a q 00 l O 1sm 70111 4 50111 e 7 65 111 1100 111111 C 50 mm E 40111 A 100111111 B 50111111 b os pontos D F e G são pontas secas Figura 610 Problema 62 G B Hidrauca ª cap 6 c as cotas topográficas dos pontos são A B e D E F G 60 70 80 11 0 80 100 60 Determine a cota do nível de água no reservatório para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja de 12 mfüO Detennine a máxima carga de pressão estática Material das tubulações tem C 130 NA 2322 m pymáx 1722 mfüOJ Bomba r I0Ol m 4001n 4ols 700cnl 10 10 A 8 B 20 1s e Na rede de distribuição de água mostra da na Figura 611 o nível médio de água no reservatório é de 41500 me a 100 ma jusante do reservatório existe uma bomba pressuri zadora que injeta 100 1s na rede Todas as tu bulações são de ferro fundido novo C 130 Determine as vazões nos trechos BC e DC a altura total de elevação e a potência necessária à bomba para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja igual a 100 mfüO Ren I 00 1s 800 m 6 30 1s Figura 611 Problema 63 R 520 lll 16 130 1s D 2 4 550 m 6 25 1s 450 m 30 1s 5 Figura 612 Problema 64 6 700 111 4 e 800 m 6 19 1s 30 1s 1310m 4 dimento da bomba T 72 Despreze as per das localizadas As cotas topográficas dos nós são A B C D 40000 40500 42000 41000 QBc 1602 1s Qoc 602 1s H 332 m Potb 452 kW 615 cv 64 A rede de distribuição de água da Figura 612 é toda de tubulação metálica com coeficiente de rugosidade da equação de HazenWilliams C 140 Qual deve ser a cota do nível dágua no reservatório para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja de 15 mfüO Utilize o programa REDEMEXE fixando uma carga de pressão de 15 mfüO nó nó 5 ponto mais alto da rede Cotas dos nós R 2 3 4 5 435 400 405 410 410 430 NA 45044 rn 65 Considere urna rede simples corno na Figura 613 na qual todos os trechos têm o mesmo comprimento igual a 300 rn e o mesmo diâmetro de 8 Na entrada da rede ponto A a vazão é de 100 e na saída ponto D também Determine usando a equação de HazenWilliams a distribuição de vazões em per centagem nos trechos observando que o resultado independe do valor do coeficiente de rugosidade C adotado Repita o cál culo usando a fórmula universal verificando que há pequenas alterações nas vazões quando se altera o valor do coeficiente de rugosidade absoluta E 6 415 Qi13 5808 Q131 66 Q1JC Qco QiF QFE 4 192 66 Adaptado de Dacach 7 pp 368 370 Dimensionar e analisar a rede de dis tribuição de água da cidade de ItororóBa mostrada na Figura 614 usando o programa REDEMEXE observando para cada solução pelo método de Hardy Cross que as pressões nos nós devem ser maiores que a carga de pressão dinâmica mínima 15 mH2O e que as velocidades nos trechos devem ser menores que as velocidades máximas permitidas De termine o nível de água no reservatório Ve rifique o custo de cada alternativa Discuta as soluções e apresente uma alternativa de projeto Dados do problema e características da rede 1 Diâmetro mínimo a ser utilizado nos três anéis principais igual a 100 mm Cap 6 Rd de ofüição de Ágoa B 7 410 r A B e F 1E J D Figura 613 Problema 65 10 435 1s 121 1s 2 Vazão de distribuição para a rede chegando ao nó 1 igual a 625 1s Figura 614 Problema 66 3 Rugosidade absoluta do material das tubulações E O 15 mm Nó Demanda Cota topográfica Trecho Comprimento m 1s m R R1 324 1 505 22050 1 2 124 2 191 21560 23 184 3 381 21040 3 13 254 4 140 21050 3 12 225 5 435 20950 12 11 177 6 351 21320 11 10 168 7 344 21850 10 9 152 8 248 23070 91 166 9 306 21 150 13 14 263 10 185 21350 14 15 133 11 286 20550 15 16 321 12 611 20880 16 17 105 13 509 21550 17 5 169 14 406 21260 5 4 103 15 805 20750 4 3 206 16 426 21940 5 6 202 17 121 22050 67 134 7 8 227 8 1 167 A APENDICE TABELA A1 TABELA A2 Chafariz da Casa dos Contos 1760 Ouro Preto Minas Gerais 191 TABELA A1 FATOR DE ATRITO f Diâmetro mm 50 VEL E mm VAZÃO ms Rey 00015 005 01 015 02 025 03 04 05 06 07 08 09 Us 03 15000 00279 00298 00316 00333 00348 00362 00375 00400 00423 00444 00464 00484 00502 059 04 20000 00259 0028 1 00301 00319 00335 00350 00364 00390 00413 00435 00456 00476 00494 079 05 25000 00245 00270 00291 00310 00327 00342 00357 00383 00407 00430 00451 00471 00490 098 06 30000 00235 00261 00284 00303 00321 00337 00352 00379 00403 00426 00447 00467 00486 118 07 35000 00226 00255 00278 00299 00317 00333 00348 00376 00400 00423 00445 00465 00484 137 08 40000 00220 00250 00274 00295 00313 00330 00345 00373 00398 00421 00442 00463 00482 157 09 45000 002 14 00245 00271 00292 00310 00327 00343 00371 00396 00419 00441 00461 0048 177 1 50000 00209 00242 00268 00289 OQ308 00325 00341 00369 00395 00418 00440 00460 00479 196 11 55000 00205 00239 00265 00287 00306 00324 00339 00368 00393 00417 00438 00459 00478 216 12 60000 00201 00236 00263 00285 OQ305 00322 00338 00367 00392 00416 00438 00458 00478 236 13 65000 00197 00234 00261 00284 00303 00321 00337 00366 00391 00415 00437 00457 00477 255 14 70000 00194 00232 00260 00283 00302 00320 00336 00365 00391 00414 00436 00457 00476 275 15 75000 00191 00230 00258 00281 OQ30I 00319 00335 00364 00390 00414 00436 00456 00476 295 16 80000 00189 00228 00257 00280 00300 00318 00334 00363 00389 00413 00435 00456 00475 314 17 85000 00187 00227 00256 00279 00300 00317 00334 00363 00389 00413 00435 00455 00475 334 18 90000 00184 00226 00255 00279 00299 003 17 00333 00362 00388 00412 00434 00455 00474 353 19 95000 00182 00225 00254 00278 00298 00316 00333 00362 00388 004 12 00434 00454 00474 373 2 100000 00180 00223 00253 00277 00298 00316 00332 00361 00388 00411 00433 00454 00474 393 21 105000 00 179 00222 00253 00277 00297 00315 00332 00361 00387 0041 1 00433 00454 00474 412 22 110000 00 177 00221 00252 00276 00296 00315 0033 1 00361 o03s7 00411 00433 00454 00473 432 23 115000 00 176 00221 00251 00275 00296 003 14 00331 00360 00387 00410 00433 00453 00473 452 24 120000 00174 00220 00251 00275 00296 00314 00330 00360 00386 00410 00432 00453 00473 471 25 125000 00173 00219 00250 00274 Oü295 00313 00330 00360 00386 00410 00432 00453 00473 491 26 130000 00 171 00218 00250 00274 00295 003 13 00330 00359 00386 00410 00432 00453 00472 511 27 135000 00170 00218 00249 00274 00294 00313 00330 00359 00386 00409 00432 00453 00472 530 28 140000 00169 00217 00249 00273 00294 00313 00329 00359 00385 00409 00432 00452 00472 550 29 145000 00168 002 17 00248 00273 00294 00312 00329 00359 00385 00409 00431 00452 00472 569 3 150000 00167 00216 00248 00273 00294 00312 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0622 0652 0680 0705 0727 0748 56549 21 1260000 0422 0488 0533 0568 0597 0623 0645 0685 07 19 0749 0776 0801 0825 59376 22 1320000 0460 0533 0583 0622 0654 0682 0707 0751 0788 0821 0852 0879 0905 62204 23 1380000 0499 058 1 0636 0679 0714 0745 0772 0820 0861 0897 0930 0960 0989 65031 24 1440000 0539 0630 069 1 0738 0777 0810 0840 0892 0937 0976 1012 1045 1076 67858 25 1500000 0582 0682 0748 0799 0842 0878 0911 0967 1016 1059 1098 1134 1167 70686 26 1560000 0625 0735 0808 0863 0909 0949 0984 1045 1098 1145 1187 1226 1262 735 13 27 1620000 0670 0 7 91 0870 0930 0979 1022 106 1 1127 1184 1234 1280 132 1 1360 76341 28 1680000 0717 0849 0934 0999 1052 1099 1140 12 11 1272 1327 1376 1421 1463 79168 29 1740000 0765 0908 1000 170 1128 1178 1222 1298 1364 1423 1475 1524 1568 81996 3 1800000 08 14 0970 1069 1144 1206 1259 1307 1389 1459 1522 1578 1630 1678 84823 31 1860000 0865 1033 1140 1220 1286 1344 1394 1482 1558 1624 1685 1740 179 1 87650 32 1920000 0917 1099 1213 1299 1370 1431 1485 1579 1659 1730 1795 1854 1908 90478 33 1980000 0971 1166 1288 1380 1456 152 1 1578 1678 1764 1840 1908 1971 2029 93305 34 2040000 1026 1236 1366 1464 1544 16 13 1675 1781 1872 1952 2025 2092 2153 96 133 35 2100000 1082 1307 1446 1550 1635 1709 1774 1886 1983 2068 2145 22 16 2282 98960 PERDA DECARGA UNITÁRIA Jml IOOm Diâmetro mm 700 VEL ê 111111 VAZÃO nvs Rey ººº 15 005 01 015 02 025 03 04 05 06 07 08 09 Us 03 210000 0010 0011 00 11 0011 0012 0012 00 12 001l 001l 0013 0014 oo 14 0015 11545 04 280000 0017 0018 00 19 OOI 9 0020 020 0021 0022 0023 0024 0024 0025 0026 15394 05 350000 0026 0027 0028 0029 0030 003 1 0032 0034 0035 0036 0038 0039 0040 19242 06 420000 0036 0038 0040 0042 0043 0045 0046 0048 0050 0052 0054 0055 0057 23091 07 490000 0047 0051 0054 0056 0058 0060 0062 0065 0068 070 007l 0075 0077 26939 08 560000 0060 0065 0069 0072 0075 0078 0080 0085 0088 0092 0095 0098 0100 30788 09 630000 0074 0081 0086 0091 0095 0098 0101 0107 0111 0116 0119 0123 0126 34636 1 700000 0090 0099 0106 01 11 0116 0 120 0124 o 131 Otl7 0142 0147 0152 0156 38485 11 770000 O 108 0 11 8 0127 0134 0140 0145 0150 0158 0165 0172 0178 0183 0188 42333 12 840000 0126 0140 0150 0158 0166 0172 0178 0188 0196 0204 0211 02 18 0224 46181 13 910000 0146 0163 0175 0185 O 193 0201 0208 0220 0230 0239 0247 0255 0262 50030 14 980000 0167 0187 0202 0214 0224 0232 0240 0254 0266 0277 0286 0295 0304 53878 15 1050000 0190 0213 0231 0244 0256 0266 0275 0291 0305 03 17 0328 0339 0348 57727 16 1120000 0214 024 1 0261 0277 0290 0302 03 13 0331 0347 0361 0373 0385 0396 61575 17 1190000 0239 0271 0294 0312 0327 0340 0352 0373 0391 0407 042 1 0434 0447 65424 18 1260000 0265 0302 0328 349 0366 0381 0394 0417 0438 0455 0472 0486 0500 69272 19 1330000 0293 0335 0365 0388 0407 0424 0439 0465 0487 0507 0525 0542 0557 73121 2 1400000 0322 0370 0403 0428 0450 0469 0485 0514 0539 0561 0581 0600 0617 76969 21 1470000 0352 0406 0443 0471 0495 0516 0534 0566 0594 0618 0641 0661 0680 808 17 22 1540000 0384 0444 0485 0516 0543 0565 0586 0621 0651 0678 0703 0725 0746 84666 23 1610000 04 17 0484 0529 0563 0592 0617 0640 0678 07 12 0741 0768 0792 08 15 885 14 24 1680000 0451 0525 0574 06 12 0644 0671 0696 0738 0774 0806 0835 0862 0887 92363 25 1750000 0486 0568 0622 0664 0698 0728 0754 0800 0840 0875 0906 0935 0962 962 11 26 1820000 0523 06 12 0672 0717 0754 0786 0815 0865 0908 0945 0980 1011 1040 100060 27 1890000 0560 0659 0723 0772 0812 0847 0878 0932 0978 10 19 1056 1090 1121 103908 28 1960000 0599 0707 0776 0829 0873 0910 0944 1002 1052 1096 1135 1172 1205 1077 57 29 2030000 0639 0756 0831 0888 0935 0976 10 12 1074 1 128 1175 12 17 1257 1293 111605 3 2100000 0681 0807 0888 0950 1000 1044 1082 1149 1206 1257 1302 1344 IJ83 115454 3 1 2170000 0723 0860 0947 10 13 1067 1114 1155 1226 1287 1341 1390 1435 1477 1193 02 32 2240000 0767 0915 1008 1078 1136 1186 1230 1306 1371 1429 1481 1529 1573 123150 33 2310000 0812 0971 1071 1 146 1207 1260 1307 1388 1458 1519 1575 1625 1672 126999 34 2380000 0858 1029 1 135 12 15 1281 1337 1387 1473 1547 1612 1671 1725 1775 130847 35 2450000 0905 1089 1202 1287 1356 1416 1469 156 1 1639 1708 1770 1828 188 1 134696 B BIBLIOGRAFIA PARTE 1 1 ABNT Instalações Prediais de Água Fria NBR5626 Rio de Janeiro 1982 2 ALMEIDA A B Hidráulica dos Condutos em Pressão conceitos básicos Laboratório Nacional de Engenharia Civil Lisboa 1983 3 AVILA G S Hidráulica General Editorial Limusa México v 1 1974 4 AZEVEDO NETIO J M ALVAREZ G A Manual de Hidráulica Edi tora Edgard Blucher São Paulo 6ª ed 1973 333 p 5 BALLOFFET A GOTELLI L M MEOLI G A Hidráulica Biblio teca Ediar de Engenharia Buenos Aires 2ª ed 1952 6 CORPS OF ENGINEERS US ARMY WATERWAYS EXPERIMENT STATION WES Hydraulic Design Criteria Vicksburg 7 DACACH N G Sistemas Urbanos de Água Ao Livro Técnico e Cientí fico Rio de Janeiro 1975 8 DAKE J M K Essentials of Engineering Hydraulics John Wiley Sons New York 2ª ed 1982 9 DOUGLAS J F GAISOREK J M SWAFFIELD J A Fluid Me chanics Pitman Puslishing Limited Londres 2ª ed 1985 1 O HWANG N H C Fundamentos de Sistemas de Engenharia Hidráulica Prentice Hall do Brasil Rio de Janeiro 1984 11 IDEL CIC I Memento des Pertes de Charge Eyrolles Paris 1979 12 ITO H Pressure losses in smooth pipe bends Trans ASME Se1ies Dv82nlll 1960 13 LENCASTRE A Manual de Hidráulica Geral AEIST Técnica Lisboa 1983 14 MACINTYRE A J Bombas e Instalações de Bombeamento Guanabara Dois Rio de Janeiro 1980 217 15 MANZANARES A A Hidráulica Geral II Escoamentos Líquidos Téc nica AEIST Lisboa 1980 16 MILLER D S lnternal Flow Systems BHRA Cranfield 1978 17 NEVES E T Curso de Hidráulica Editora Globo Porto Alegre 1960 18 OLSON R M Essentials of Engineering Fluid Mechanics Feffer and Simons International New York 3ª ed 1973 19 PIMENTA C F Curso de Hidráulica Geral Centro Tecnológico de Hi dráulica São Paulo 3ª ed 1978 20 QUINTELA A C Hidráulica Fundação Calouste Gulbekian Lisboa 1981 21 ROUSE H ed Engineering Hydraulics John Wiley Sons NewYork 1950 22 SANTOS L J Hydrotechnica Imprensa Oficial do Estado de Minas Gerais Belo Horizonte vol 1 1925 23 SCHIOZER D Mecânica dos Fluidos Araguaia São Paulo 1990 24 SCIMEMI E Compendio di Idraulica CEDAM Casa Editrice Dott Antonio Milani Padova 1955 25 SILVESTRE P Hidráulica Geral Livro Técnico e Científico Rio de Ja neiro 1979 26 SOUZA P A Hidráulica Aplicada a Condutos Forçados EPUSP Depar tamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária São Paulo 1988 27 STREETER V L WILEY B Mecânica dos Fluidos McGrawHill do Brasil 7ª ed 1982 28 SWAMEE P K JAIN A K Explicit Equations for PipeFlow Pro blems J Hydraulics Division ASCE 1025 627664 1976 29 SWAMEE P K Design of a submarine pipeline JTransp Eng ASCE ll9l 159170 1993 30 VENNARD J K e STREET R L Elementos de Mecânica dos Fluidos Guanabara Dois Rio de Janeiro 5ª ed 1978 31 VIEIRA R C V Atlas de Mecânica dos Fluidos Editora Edgard Blucher EDUSP São Paulo 1971 32 WEBBER N B Mecânica de Fluidos para lngenieros Ed URMO Bilbao 1965 PARTE li ESCOAMENTO PERMANENTE E NÃO PERMANENTE EM CONDUTOS LIVRES IS QUAE POTATUM COLE GENS PLENO ORE SENA TUM SECURI UT SITIS NAM F ACIT ILLE SITIS Chafariz da Casa dos Contos 1760 Ouro Preto Minas Gerais 7 ESCOAMENTOS EM SUPERFÍCIE LIVRE 71 INTRODUÇÃO O escoamento de água através de uma tubulação sob condições de con duto forçado tem por principais caracteiísticas o fato de a tubulação ser fecha da a seção ser plena de atuar sobre o líquido uma pressão diferente da atmosférica e o escoamento se estabelecer por gravidade ou por bombeamento Nos condutos livres ou canais a característica principal é a presença da pres são atmosférica atuando sobre a superfície do líquido em uma seção aberta como nos canais de irrigação e drenagem ou fechada como nos condutos de esgoto e galerias de águas pluviais Neste caso o escoamento se processa ne cessariamente por gravidade Os canais podem ser classificados como JJlturais que são os cursos dágua existentes na Natureza como as pequenas correntes córregos rios estuários etc ou artificiais de seção aberta ou fechada construídos pelo ho mem como canais de irrigação de navegação aquedutos galerias etc Os canais podem ser ditos prismáticos se possuírem ao longo do com primento seção reta e declividade de fundo constantes caso contrário são ditos não prismáticos Os conceitos relativos às linhas de energia e piezométrica são utilizados nos canais de forma análoga aos condutos forçados observando que devido à presença da pressão atmosférica al inha piezométrica geralmente mas nem sempre coincide com a linha dárn Nas aplicações mais comuns em que a linha dágua coincide com a linha piezométrica a carga de pressão py do conduto forçado será substituída pela altura dágua y na seção considerada Apesar da similaridade no tratamento analítico dos dois tipos de escoa mentos cabe observar que existe muito mais dificuldade de tratar os condu tos livres do que os condutos forçados Primeiramente considerando o aspecto relativo à rugosidade das pare des para as tubulações usuais em condutos forçados se têm rugosidades bem caracterizadas já que os tubos decorrem de produção industrial e a gama de variação destes materiais é pequena ferro fundido aço concreto PVC etc p F L F L u F L u V F L u V 1 F L u V 1 A F L u V 1 A L Augusto de Campos 221 p p L p L u p L u V p L u V 1 L u V 1 A u V 1 A L V 1 A L 1 A L A L L Cap 7 Hm 1 O mesmo não ocorre com as rugosidades dos canais em que além dos tipos de materiais usados serem em maior número é mais difícil a especificação do valor numérico da rugosidade em revestimentos sem controle de qualidade industrial ou mais difícil ainda no caso dos canais naturais No que concerne ao estabelecimento dos parâmetros geométricos da seção área perímetro altura dágua é visível a maior dificuldade para os canais pois enquanto os condutos forçados têm basicamente seções circu lares os canais se apresentam nas mais variadas formas geométricas além do que esses parâmetros geométricos podem ainda variar no espaço e no tempo fro o ponto de vista da responsabilidade técnica os projetos em canais são mais preocupantes já que se um erro de 030 m no plano piezométrico de uma rede de distribuição de água não traz maiores conseqüências uma diferença de 030 m no nível dágua em um projeto de sistema de esgotos ou galerias de águas pluviais pode ser desastros 72 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DOS CANAIS Tanto nos canais prismáticos como nos não prismáticos uma série de parâmetros é ne cessária para descrever geometricamente a seção e as declividades de interesse Conforme a Figura 7 1 os principais elementos geométricos são Figura 71 Elementos geométricos de uma seção a Área molhada A é a área da seção reta do escoamento normal à direção do fluxo b Perímetro molhado P é o comprimento da parte da fronteira sólida da seção do canal fundo e paredes em contato com o líquido a superfície livre não faz parte do perímetro molhado e B9iíl hidrulico Rh é a relação entre a área molhada e o perímetQ molhado e foi discutido no Capítulo 2 d Altura dágua ou tirante dágua y é a distância vertical do ponto mais baixo da seção do canal até a superfície livre e Altura de escoamento da seção h é a altura do escoamento medi da perpendicularmente ao fundo do canal f Largura de topo B é a largura da seção do canal na supelfície livre função da forma geométrica da seção e da altura dágua Cap 7 Escoamentos em Superfície Livre 223 g Altura hidráulica ou altura média Hm é a relação entre a área mo lhada e a largura da seção na superfície livre É a altura de um retân gulo de área equivalente à área molhada A Hm B 7 h Declividade de fundo 10 é a declividade longitudinal do canal Em geral as declividades dos canais são baixas podendo ser expressas por 10 tg a sen a i Declividade piezamétrica ou declividade da linha dágua la j Declividade da linha de energia Ir é a variação da energia da cor rente no sentido do escoamento 73 TIPOS DE ESCOAMENTOS Os escoamentos nos canais podem ter por parâmetros de variabilidade o es paço e o tempo isto é características hidráulicas como altura dágua área molha da raio hidráulico podem variar no espaço de seção para seção e no tempo Conforme foi definido no Capítulo 1 wmando como critério compara tivo o tempo os escoamentos podem ser permanentes e não permanentes ou variáveis t 4 C L 1v V c 1e t c 1e O escoamento ou regime é permanente se a velocidade local em um ponto qualquer da corrente permanecer invariável no tempo em módulo e direção Por conseguinte os demais parâmetros hidráulicos em uma mesma seção transversal como profundidade vazão área molhada etc guardam um valor constante e existe entre as diversas seções do canal uma continuidade de vazão Ao contrário o escoamento ou regime é não pennanente se a velocidade em um certo ponto varia com o passar do tempo Neste caso não existe uma continuidade de vazão e as características do escoamento dependem por sua vez das coordenadas do ponto considerado e do tempo Este tipo de escoamen to ocorre por exemplo quando da passagem de uma onda de cheia através de um canal Devese entretanto observar que o fato de o escoamento ser perma nente ou não depende da posição do observador em relação à corrente assim o escoamento de um rio em volta do pilar de uma ponte é pe1manente para o observador postado sobre a ponte e não permanente para o observador em um barco impelido pela corrente Tomando como critério comparativo o espaço os escoamentos podem ser uniformes e não uniformes ou variados O escoamento ou regime é unifor me desde que as velocidades locais sejam paralelas entre si e constantes ao Existirá uma forma geométrica da seção reta de um canal no qual o raio hidráulico é igual à altura hidráulica Remanso longo de uma mesma trajetória elas podem entretanto diferir de uma traje tória para outra As trajetórias são retilíneas e paralelas a linha d água é pa ralela ao fundo portanto a altura dágua é constante e 10 Ia Ir Quando as trajetórias não são paralelas entre si o escoamento é dito não uniforme a declividade da linha d água não é paralela à declividade de fun do e os elementos característicos do escoamento variam de uma seção para ou tra Neste caso a declividade de fundo difere da declividade da linha dágua lo Ia O escoamento variado pode ser permanente ou variável acelerado ou desacelerado se a velocidade aumenta ou diminui no sentido do movimento O escoamento variado gor sua vez é subdividido em gradualmente variado e rapidamente variado No primeiro caso os elementos característi cos da corrente variam de forma lenta e gradual de seção para seção e no gundo há uma variação brusca na altura dágua e demais parâmetros sobre uma distância comparativamente pequena Os escoamentos bruscamente va riados serão estudados como fenômenos locais cujos principais exemplos são o ressalto hidráulico gue é uma elevação brusca da superfície livre que se Queda brusca produz quando uma corrente de forte velocidade encontra uma corrente de fraca velocidade e a queda brusca gue consiste em m abaixamento notá vel da linha dágua sobre uma distân eia curta A Figura 7 2 apresenta alguns tipos de escoamentos permanentes em um canal uniforme e de declividade constante Figura 72 Tipos de escoamentos permanentes uniformes e variados Em resumo os escoamentos em canais são classificados como Escoamento permanente j uniormegradual vanado rápido unif01me muito raro Escoamento não permanente gradual vanado rápido Cap 7 Escoamentos em Superfície Livre 225 Ainda do ponto de vista classificatório podese distinguir como nos condutos forçados dois tipos de regime laminar e turbulento As principais forças que atuam sobre a massa líquida são a força de inércia da gravidade de pressão e de atrito pela existência de viscosidade e rugosidade e são ex pressas sendo L uma dimensão geométrica característica como Força de inércia Fi ma pL3V2L pV2L2 Força da gravidade Fg mg pL3 g Força de pressão Fp pL2 Força viscosa Fv µ óVóy A µVL2 L µVL O número de Reynolds é a relação entre a força de inérciae a força viscosa e no estudo dos canais este adimensional é expresso por Rey pVL VRh µ V 72 em que V é a velocidade média na seção considerada R11 o raio hidráulico da seção e v a viscosidade cinemática da água Como para os condutos forçados circulares Rh D4 e para Rey 2000 caracterizava regi me laminar pela Equação 7 2 gara os canais temse Rey 2ºQno regime laminar A grande maioria das aplicações práticas ocorre para números de Reynolds bém maiores que 500 caracterizando escoamentos tur bulentos O número de Reynolds pennite classificar os escoamentos livres em três tipos como se segue 0 Escoamento laminar Rey 500 Escoamento turbulento Rey 2000 Escoamento de transição 500 Rey 2000 Outro adimensional muito utilizado em estudos de canais é o número de Froude 1 definido como a raiz quadrada da relação entre a forçà de inércia e a força de gravidade e expresso por 73 em que V é a velocidade média na seção g a aceleração da gravidade e Lc uma dimensão característica do escoamento Nos canais é comum definir Em um escoamento em canal a linha de energia pode cruzar a linha dágua E i linha piezométrica pode 1 William Froude engenheiro britãni co 18101879 Cap 7 I O escoamento gradualmente variado é não uniforme e permanente como dimensão característica a altura hidráulica da seção de modo que o número de Froude é apresentado como V Fr JgHm 74 O número de Froude é utilizado para classificar os escoamentos livres que ocorrem nas aplicações práticas em três tipos como se segue a Escoamento subcrítico ou fluvial Fr l b Escoamento supercrítico ou torrencial Fr 1 e Escoamento crítico Fr 1 No Capítulo 1 O este adimensional será melhor analisado 74 DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE Nos capítulos que serão desenvolvidos a seguir será feita a utilização da velocidade média em uma seção Embora este conceito simples seja de gran de utilidade não se deve perder de vista o fato físico de que as velocidades das várias partículas em um canal não estão uniformemente distribuídas na seção reta do mesmo Enquanto nos condutos forçados em tubulações circulares existe um perfil de velocidade com simetria axial na seção reta dos canais principalmente nos canais naturais as velocidades variam acentuadamente de um ponto a outro A desuniformidade nos perfis de velocidades nos canais depende da forma geométrica da seção e é devida às tensões cisalhantes no fundo e paredes e à presença da superfície livre De modo geral nos canais prismáticos a distribuição vertical da velocidade segue uma lei aproximada mente parabólica com valores decrescentes com a profundidade e a máxima velocidade ocorrendo um pouco abaixo da superfície livre y Vmáx Vmed V A Figura 7 3 mostra para a seção transversal de um canal pris mático a forma das isotáquias ou linhas de igual velocidade e para uma seção longitudinal um perfil de velocidades Figura 73 Distribuição de velocidade em uma seção A velocidade média em uma seção longitudinal é calculada na prática como sendo a média arit mética entre as velocidades pon tuais a 02 h e 08 h em que h é a profundidade da seção longitudinal ou aproximada mente igual à velocidade pontual a 04 h Um escoamento permanente que dependa de três coordenadas x y e z para a definição de suas proprie dades e características é dito tridimensional Esta situa ção ocorre em canais retangulares estreitos nos quais a relação entre a largura na superfície livre e a altura dágua é menor que 3 À medida que esta proporção cresce podese utilizar um modelo mais conveniente para descrever o campo de velocidades chamado bidi mensional no qual vxy A velocidade média na seção longitudinal de altura dágua y é dada por v vxydy Yo J e CX ô Cap 7 Escoamentos em Superfície Livre 227 NA V 051 év0 Figura 74 Velocidade média em uma seção longitudinal 75 Os cálculos são consideravelmente simplificados com a adoção do mo delo unidimensional no qual vx isto é a velocidade pontual só depende de uma coordenada geométrica ao longo do canal e a velocidade média na seção reta é a velocidade única e representativa Devido à não uniformidade na distribuição das velocidades nas seções dos canais em algumas aplicações às vezes é necessário fazer uso dos coefi cientes de correção da energia cinética e da quantidade de movimento coefi ciente de Coriolis e Boussinesq respectivamente discutidos na Seção 123 As Equações 114 e 117 apresentam estes coeficientes como 76 77 em que A é a área da seção reta v a velocidade pontual e V a velocidade média na seção Se o escoamento for bidimensional como em um canal retangular lar go B 1 0y no qual A By e portanto dA Bdy em que y é a distância do fundo do canal ao ponto de velocidade v as Equações 76 e 77 ficam B Hidrauca Básca Cap 7 No escoamento em canais a linha piezométrica nunca pode ser ascendente y 060 ms 150 m y f v 3dy 1 o O y v3 78 79 As integrais das Equações 7 8 e 7 9 podem ser resolvidas analiticamen te desde que se conheça a função v vy isto é a equação do perfil de ve locidade ou numericamente desde que se tenham medidas pontuais das velocidades em vá1ias verticais Devido à não uniformidade na distribuição das velocidades a carga cinética que é uma das componentes da carga total em uma seção assume um valor maior que aquele computado por V22g em que V é a velocidade média na seção Quando a equação da energia é usada a verdadeira carga cinética deve ser expressa por aV22g Dados experimentais indicam que o valor de a varia entre 1 03 e 136 para escoamento turbulento em canais prismáticos razoavelmente retilíneos O valor de a é geralmente maior para os canais pequenos e menor para canais maiores com considerável altura dágua Nas mesmas condições os valores de variam de 101 a 1 12 Para canais retilíneos de seção reta regular o efeito da não uniformidade das velocidades é pequeno e na maioria das aplicações práticas os coeficientes a e são assumidos iguais à unidade EXEMPLO 71 120 m Figura 75 Perfil de velocidade do Exemplo 71 Considere o escoamento bidimensional em um ca na retangular largo cujo perfil de velocidade é mostrado na Figura 75 A velocidade próxima ao fundo é de 030 ms e a 120 m do fundo a velocidade é máxima e igual a 060 ms O perfil de velocidade pode ser aproximado por uma parábola como na figura Determine a velocidade média na seção e os coeficientes a e Verifique se o regime de escoamento é laminar ou turbulento e também se é fluvi al ou torrencial Viscosidade cinemática da água V Q6 m2s Cap 7 Escoamentos em Superfície Livre 229 Sendo a distribuição vertical da velocidade descrita por um perlil para bólico é da forma vy ay2 by c com a b e c parâmetros a determinar As condições do problema são a Se y O vy 030 ms c 030 dvy Se y 120 m vy Vmáx d O y yl2 2ay b O 24a b O b Se y 120 m vy 060 1202a 120b 030 Portanto das três equações os valores dos parâmetros são a 02083 b 050 e c 030 e o perfil é dado por vy 02083 y2 050y 030 A velocidade média é dada pela Equação 7 5 para uma abscissa x fixa 1 y 1 15 V J vydy J 02083y2 050y030dy 0519 ms y o 15 o Pela Equação 78 o coeficiente a vale y 15 J v 3dy J 02083y 2 050y 0303 dy 1 1 aº 0 1 08 y V 3 15 05193 Pela Equação 79 o coeficiente p vale Para um canal retangular largo o raio hidráulico é aproximadamente igual à altura dágua pois A By Rh como B y Rh y Rh 15 m daí P B2y Cap 7 Ver diretório Canais no endereço ele trônico wwweescscuspbrshs na área Ensino de Graduação VR 051915 Rey 6 7785 105 2000 regime turbulento V 10 Para um canal retangular a altura hidráulica é a própria altura dágua pois pela Equação 7 1 H A B y y 15 m 111 B B portanto pela Equação 74 o número de Froude vale V 0519 Fr CTJ 0135 1 regime fluvial 1 g H 01 j98 15 Para uma distribuição de velocidades dada de forma discreta através de um conjunto de pares de pontos de velocidade pontual v e ordenada marcada a partir do fundo do canal y a determinação dos coeficientes a e pode ser feita com o uso do programa COEFEXE Este programa determina a velo cidade média e os coeficientes a e para uma seção trapezoidal com largura de fundo b altura dágua y e proporção horizontal da inclinação do talude Z 1 VZH dado o perfil de velocidade pela integração numérica das Equações 114 e 117 Para o escoamento bidimensional canal retangular largo é feita a integração numérica das Equações 78 e 79 e o programa pode ser usado fazendo Z O e adotando um valor b y ver Problema 73 75 DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO Outra componente da equação de energia é a carga de pressão py em um determinado ponto do escoamento e que pode ser medida pela altura alcançada pela água em um piezômetro colocado no ponto Em relação ao perfil de pressão em uma determinada seção os escoa mentos em canais podem ser classificados como paralelo no qual as linhas de corrente são retas paralelas não apresentam curvaturas e o efeito de compo nentes de acelerações normais à direção do fluxo devido à força centrífuga é desprezível e curvilíneo quando o efeito centrífugo devido à curvatura das linhas de corrente não é negligenciável Considere o escoamento livre de um fluido incompressível sobre o fun do côncavo de um canal como na Figura 76 Cap 7 Escoamento em Superfície Livre 231 Conforme foi visto na Seção 12 a resultante das forças que atuam sobre um elemento de fluido na direção da normal principal n Equação 16 pode ser escrita como ap az V 2 pgp an ªº r 7 l O na qual o termo do lado direito é a aceleração normal dirigida para o cen tro de curvatura ee da linha de corrente Observando que a orientação da direção n na Figura 76 é contrária àquela usada na Figura l l eslá apontando para o centro de curvatura a Equação 7 1 O fica ap a7 v 2 pgp ªº an 1 7 1 1 A Equação 711 permite determ inar a distribuição de pressão na direção normal à linha de corrente e o termo do lado direito é a aceleração normal da massa que se desloca segundo uma linha curva de raio r con forme a Figura 7 6 Admitindo que todas as linhas de corrente tenham a mesma veloci dade e o raio de curvatura r seja constante a Equação 711 pode ser inte grada na forma v2 pyz p fdn Ctc o r 7 12 De acordo com a Figura 76 as condições ele contorno para a equação são a para n O z O p Cte ou no fundo cio canal pr Cte b para n h z y p Pa O pressão atmosférica y y y ph Cte r Portanto a distribuição ele pressão entre a superfície livre e o fundo do canal é dada por y 2 L Pr y y pt h 7 13 z 1 ee 1 i 1 í j J i a Y 1 l J 1 Figura 76 Escoamento sobre um lun clo côncavo A lei de distribuição do pressão hidrostática em um canal significa que em uma determinada seção a pressão varia linearmente Por que na prática podcse aplicar esta lei aos escoamentos permanentes gradualmente variados El Hidálica Básica Cap 7 A Equação 7 13 mostra que a distribuição de pressão é a soma do efeito hidrostático carga de pressão y y com o efeito centrífugo devido à aceleração normal do escoamento que aumenta a pressão no fundo se a curva for côncava e diminui se for convexa conforme Figura 77 751 ESCOAMENTO PARALELO Efeito centrífugo Figura 77 Distribuição de pressão em fundo curvo Se o escoamento for paralelo isto é se as linhas de corrente forem retas paralelas como no escoamento unifonne na Equação 7 13 temse r 00 e a aceleração normal é nula portanto pr y y y h cosa 752 INFLUÊNCIA DA DECLIVIDADE DE FUNDO 7 14 Figura 78 Distribuição de pressão em escoamento paralelo Considere as condições de escoamento em um canal de grande declividade no qual não há aceleração normal e a velocidade é uniforme na seção e paralela ao fundo isto é as linhas de corrente são paralelas ao fim Figura 79 Canal de grande declividade do do canal conforme a Figura 79 Sobre o elemento de volume de espessura dx largura unitá ria e altura h as forças atuantes na direção s são a componente do peso do elemento e a força de pressão na base A condição de equi líbrio na direção s impõe p dx y h dx cos ex 7 15 Como h ycoscx em que y é a altura do escoamento medi da verticalmente vem p y y cos2cx 7 I 6 Observe que apesar de o escoamento ser paralelo e a velocidade uni forme a distribuição de pressão dada pela Equação 7 l 6 isto é a carga de pressão py para qualquer altura vertical é igual a esta altura multiplicada pelo fator de correção cos2cx Como em rios e canais a declividade de fundo em geral não assume valores maiores que 001 mim o que corresponde a cos2 ex 09999 podese confundir a altura y medida na vertical com a altura h me dida formando um ângulo reto com o fundo do canal Cap 7 Escoamentos em Superfície Livre 233 O mesmo não acontece por exemplo com o escoamento no trecho retilíneo e de grande declividade de um vertedor de uma barragem como na Figura 72 Portanto no escoamento em canais a superfície livre coincide com a linha piezométrica desde que a distribuição de pressão seja hidrostática isto é se a curvatura vertical das linhas de corrente e acelerações forem desprezí veis e o canal for de baixa declividade No escoamento permanente gradualmente variado levando em conta que a alteração da altura dágua de seção a seção é suave e a curvatura das linhas de corrente pequena para efeito prático o escoamento será assumido paralelo e a distribuição de pressão hidrostática I Desta forma na grande maioria dos casos a serem estudados em canais de fraca declividade abertos ou fecha dos existirá a distribuição hidrostática de pressão e a linha piezométrica coincidirá com a linha dágua Para estas con dições a carga piezométrica py z é constante na seção e a energia total por unidade de peso em relação a um certo plano horizontal de referência assumindo que a distribuição de velocidade seja uniforme a l e a distribuição de pres são hidrostática p y y é dada por z I P11R L º r Figura 710 Carga total em uma seção distribuição hi drostática p y2 y2 H z z y m y 2g 2g 717 76 PROBLEMAS 71 Classifique quanto à variabilidade no espaço e no tempo os seguintes escoamentos a Escoamento em uma sarjeta de um rua durante uma chuva b Escoamento em um longo canal prismático de dimensões fixas com declividade e rugosidade constantes c Escoamento em um vale após o rompimento de uma barragem d Escoamento com vazão constante no tempo em uma tubulação na qual a seção reta aumenta na direção do fluxo 72 Em um canal regular de seção trapezoidal de declividade constante com largura de fundo igual a 10 m inclinação dos taludes 1 H 1 V Z l a altu ra dágua é igual a 080 me a velocidade média 085 ms Verifique a influên Por que não se deve aplicar a Equação 717 a um escoamento do tipo da Figura 76 Cap 7 eia das forças viscosa e da gravidade avaliando os regimes do escoamento atra vés da determinação dos números de Reynolds e Froude Viscosidade da água v 106 m2s Rey 375105 Fr 0365 Regime turbulento e fluvial 73 As velocidades medidas em várias alturas do escoamento em um canal trapezoidal de largura de fundo igual a 40 m e inclinação dos taludes I V2H Z 2 e altura dágua de 120 m são listadas na tabela seguinte Utilizando o programa COEFEXE determine a velocidade média e os coeficientes a e da seção Repita o cálculo assumindo escoamento bidimensional canal etangu lar largo y m oo 020 040 060 080 V ms oo 111 122 129 135 Trapezoidal V 123 ms a 113 106 Bidimensional V 1 17 ms a 121 1 1 O 100 120 139 137 74 A distribuição de velocidade em um rio muito largo de 30 m de profun didade pode ser aproximada pela equação v 05 y3º5 com vms e ym em que y é a ordenada medida a partir do fundo Determine os coeficientes a e analiticamente através das Equações 75 78 e 79 e usando o programa COEFEXE adotando os valores de y a cada 020 m e calculando os corres pondentes valores de v Analítico a 112 104 Numérico a 113 104 75 Considere o escoamento em um canal retangular de grande declividade como na Figura 79 no qual a declividade de fundo é 0 e a altura dágua medida verticalmente é y Mostre que a força devido à distribuição de pressão sobre as paredes verticais do canal e o momento desta força em relação à base da parede valem respectivamente 1 2 3 1 3 4 F y y cos 0 e M y y cos 0 2 6 76 Considere um escoamento bidimensional em um canal com profundidade h Assumindo um perfil de velocidade logarítmico dado pela equação Cap 7 Escoamentos em Superfície Livre 235 575log ver Problema 25 V 3Üz u f na qual z é uma ordenada medida a partir do fundo do canal e v é a velocida de pontual demonstre que a Vmédia vo411 isto é a velocidade média é aproximadamente a velo cidade a 40 da profundidade da seção medida a partir do fundo b Vmédia 12 vo211 vos11 isto é a velocidade média é aproximada mente a média aritmética entre as velocidades medidas a 20 e 80 da profundidade Repita a aplicação adotando um perfil de velocidade parabólico com as seguintes condições a Se z O v O b Se z h V Vmáx dv c Se z h O dz Considere duas seções de canais uma circular de 1 m de diâmetro es coando a meia seção e outra retangular com altura dágua igual à da seção cir cular Se os números de Fraude dos escoamentos nas duas seções forem iguais mostre que entre a velocidade média na seção circular V e e a velocidade média na seção retangular Vr existe a seguinte relação J¾ Estude a distribuição de pressão segundo a vertical de um escoamento uniforme circulando em um canal inclinado de 30 com a horizontal Calcule a pressão em um ponto do líquido distante verticalmente 2 m da superfície livre p 1470 kNm2 79 Considere o escoamento permanente livre no pé do vertedor de uma barragem como sendo aproximado por um modelo em que as linhas de corren te são arcos de círculos e que a distribuição de velocidade ao longo da linha AO obedece ao padrão de vórtice livre ou irrotacional isto é dada por V CR em que C é uma constante e R o raio de curvatura de uma linha de cor rente qualquer conforme Figura 711 Sendo R1 e R0 os raios de curvatura das Figura 711 Problema79 O canal parabólico cuja seção reta é mostrada na figura transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de 20 m3s com altura dágua y0 10 m O escoamento é fluvial ou torrencial linhas de corrente limites superfície livre e fundo e conhecendo a velocidade V da linha de conente de raio R mostre que a pressão devido ao efeito centrífu go na base do vertedor segundo a Figura 7 7 é dada por 7 10 Em um experimento de laboratório instalouse na parede vertical de um canal de 025 m de profundidade 5 tomadas de pressão igualmente espaçadas na vertical de 5 cm a partir da superfície livre Os valores das cargas de pressão medidas estão na tabela abaixo em mmH20 Detennine a a força sobre a parede do canal por unidade de comprimento b a relação entre a força determinada experimentalmente e aquela que se obte1ia adotandose uma distribuição de pressão hidrostática o o 5 51 10 105 15 160 20 215 25 275 a F 32756 Nm b 1069 di Água escoa ocupando toda a seção de um canal semihexagonal re vestido de concreto com largura de fundo b A vazão é 12 m3s Determi ne o valor de b se o número de Fraude do escoamento for 065 b 20 m 712 A distribuição bidimensional de velocidade em uma seção de um canal largo pode ser aproximada pela equação V V 0yy Jn na qual V é a veloci dade do fluxo para a altura dágua y V 0 a velocidade do fluxo para a altura y 0 e n uma constante Determine a relação entre os coeficientes a de Coriolis e de Boussinesq a 2n 3n 1311 I 8 CANAIS ESCOAMENTO PERMANENTE E UNIFORME 81 INTRODUÇÃO Conforme visto no capítulo anterior o escoamento uniforme é aquele em que há uma constância dos parâmetros hidráulicos como área molhada al tura dágua etc para as várias seções do canal Obviamente este tipo de escoamento no qual a velocidade média é constante só ocorre em condições de equilíbrio dinâmico isto é quando hou ver um balanceamento entre a força aceleradora e a força de resistência que tente sustar o movimento A força de resistência depende da velocidade média do escoamento portanto é necessário que esta velocidade atinja um determinado valor para que haja equilíbrio entre essas forças Também é necessário que o canal prismático tenha um comprimento razoável e declividade e rngosidade constantes para que haja possibilidade do estabelecimento do escoamento permanente e uni forme fora dos trechos onde existe a influência das extremidades de montante e jusante Considere o escoamento apresentado na Fi gura 81 em que um canal prismático de decli vidade e rngosidade constantes é alimentado por um reservatório mantido em nível constante e ter mina em uma queda brusca Admitindose que o canal seja suficientemen te longo para que possa ser estabelecido o escoa mento uniforme o desenvolvimento do fenômeno pode ser descrito da seguinte fotma Escoamento variado Escoamento unifonne X A força resistiva originada por uma tensão de cisalhamento entre a água e o perímetro mo Figura 81 Escoamento uniforme e não uniforme lhado que depende da viscosidade do fluido e da rugosidade do canal é fun ção da velocidade média A força aceleradora é a componente da força da gravidade na direção do escoamento 237 Escoamento variado 1 B HldcMra Bãsca cp a w No trecho inicial do canal haverá uma aceleração do escoamento neces sária para a velocidade passar de um valor praticamente zero no reservatório para um valor finito Neste trecho há um desbalanceamento das forças já que a componente da força de gravidade supera a força resistiva Com o aumento da velocidade cresce a força de resistência até que esta se toma em módulo igual e oposta à componente da gravidade Ao se atingir o equilíbrio chegase a um movimento com velocidade constante que é caracterizado pela constân cia da vazão através da seção reta e constância da altura dágua identificando o escoamento uniforme Próximo à extremidade de jusante o escoamento é in fluenciado pela presença da queda livre e existe novamente o desbalancea mento das forças caracterizando um escoamento acelerado no qual a altura dágua varia gradualmente o que é chamado de escoamento permanente gra dualmente variado Desta maneira podese verificar que em canais curtos as condições de escoamento uniforme não são atingidas e que este tipo de escoamento é difí cil de ocorrer na piática porém a adoção deste modelo forma a base para os cálculos de escoamentos em canais Este capítulo tratará essencialmente de canais prismáticos de baixa declividade com fronteira rígida não sujeita à erosão e altura dágua cons tante Yo chamada altura normal 82 EQUAÇÕES DE RESISTÊNCIA Como nos condutos forçados os cálculos em canais estão baseados em equações de resistência equações que ligam a perda de carga em um trecho à velocidade média ou vazão através de parâmetros geométricos e da rugo sidade do perímetro molhado Para o caso do escoamento permanenté e uni forme em canais prismáticos com declividade de fundo baixa isto pode ser feito a partir da condição de equilíbrio dinâmico entre as forças que atuam so bre a massa dágua Para um trecho de canal com declividade de fundo lo tal que se possa tomar a altura dágua me dida na vertical conforme foi visto no capítulo ante rior as forças que atuam sobre o volume de controle ABCD da Figura 82 são a componente da força de gravidade na direção do escoamento Wsena as for ças de pressão hidrostática e a força de cisalhamento nas paredes e fundo Aplicando a 2ª lei de Newton ao volume de controle temse Figura 82 Forças que atuam sobre a massa fluida Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 239 81 Já que por hipótese o escoamento é uniforme Y1 y2 Yo e portan to F 1 F2 e como W y A L em que A é a área molhada e P o perímetro a Equação 81 fica y A L sen a t O P L 82 e daí 83 Como para ângulos pequenos a 6 pode ser feita a aproximação sen a tg a flzL lo fica 84 em que to é a tensão média de cisalhamento sobre o perímetro molhado Observe que a Equação 84 é a mesma equação deduzida na Seção 14 Equação 125 para condutos forçados trocandose a perda de carga unitátia J pela declividade de fundo do canal I0 que no caso é igual à declividade da linha de energia Ir Conforme a Equação 127 a tensão de cisalhamento pode ser escrita como pfV 2 t º 8 85 em que fé o fator de atrito função do número de Reynolds e da rngosidade da parede Assumindo que o raio hidráulico seja o parâmetro que serve para levar em conta as diferenças de forma entre seções retas de tubos circulares e canais prismáticos a Equação 84 pode ser comparada com a Equação 85 86 B HidMra Bãsa Cap a 1 Antoine de Chézy engenheiro e mate mático francês 17181798 y que após desenvolvida fica V 8g iRI Vf V i h io 87 Fazendof c f remse finalmente 88 A Equação 88 é conhecida como rmula de Chézy 1 em que C é o coe ficiente de resistência ou coeficiente de rugosidade de Ché Esta equação é indicada para os escoamentos turbulentos rugosos em canais Utilizandose a equação da continuidade a fórmula de Chézy tomase 1 Q C A JRT 89 Esta é a equação fundamental do escoamento pe1manente unifo1me em canais A Equação 88 pode ser deduzida diretamente da equação de Darcy Weisbach Equação 120 em sua forma generalizada usando o conceito do diâmetro hidráulico da seção Isto fica a cargo do leitor Wx Considere agora o caso mais geral no qual o escoamento é permanente variado portanto a Figura 83 Forças que atuam sobre o volume elementar velocidade média pode mudar na direção do es coamento A Figura 83 mostra um volume de controle elementar e as forças que atuam sobre a água como no caso anterior gravidade atrito e de pressão Como hipótese a declividade de fundo é pequena e a distribuição de pressão hidrostática a Força da gravidade A componente do peso na direção do escoamento é dada por W y Axsena 810 Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 241 como a declividade é assumida pequena sen a tg a dzdx Note que o sinal é negativo indicando que a cota topográfica z diminui com o aumen to de x Assim dz Wx y Ax dx b Força de pressão Entre as seções 1 e 2 temos as seguintes variações A altura dágua na seção 1 é y e na seção 2 é y dy dx A área da seção reta na seção 1 é A e na seção 2 é dA A x dx 811 A força de pressão sobre uma superfície plana de área A em que y é a dis tância vertical que vai desde a superfície livre até o centro de gravidade da área vale F2 yy d y xA dAx yyAy y dA x y A d y x dx dx dx dx yy Ayy Ax dx desprezandose as diferenças de ordem superior Portanto existe entre as se ções 1 e 2 uma força de pressão desbalanceada igual a dF y y A óx dx 8 12 Como tanto y quanto A são função de y e este por sua vez é função de x podese escrever Cap 8 d d dy y A y A dx dy dx 813 Como a coordenada do centro de gravidade de uma área plana segundo a Figura 83 é dada por f ydA d Y yy y A yAf ydA y A 4 A dA d f A y ydA dy dy d dA mas como f ydA y dy dy vem finalmente iy A A dy iyA A dy dx dx 814 815 Substituindo na Equação 8 12 a resultante das forças de pressão na direção x fica dF y A dy Lx dx e Força de atrito 816 A força de atrito que se opõe ao movimento é igual ao produto da tensão média de cisalhamento 1 0 pela área de contato com o perímetro molhado P Fª t 0 P Lx 817 A resultante das três forças na direção do escoamento é dada por Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme z43 dz dy t 0 P F W dF F y A x R X a dx dx y A 818 Pela 2ª lei de Newton a força resultante é produto da massa dO volume de controle pela aceleração na direção x Como por hipótese o esaoamento é permanente e a aceleração local é nula só há aceleração de transporte ou convectiva deste modo fica dz dy 1 P y dV FR y Ax º A x V dx dx y A g dx 819 portanto dz dy V dV to yRh dx dx g dx 820 d y2 1 y R z y 0 h dx 2g 821 O termo entre parênteses é a carga total H na seção conforme Equação 717 logo 822 em que Ir dHdx é a declividade da linha de energia A Equação 822 é válida para escoamentos permanentes uniformes ou não uniformes Se o escoamento for uniforme a linha de fundo é paralela à li nha dágua e à linha de energia 10 Ia Ir de modo que a Equação 84 tornase um caso particular da Equação 822 Para os canais o conceito de velocidade de atrito discutido na Seção 14 fica usando a Equação 822 823 821 FÓRMULA DE MANNING Diferentes fórmulas de origem em2ica são pro ostas ara o cálculo do coeficiente C de hézJJigaflQao raio hidráulico da seção Uma relação Cap 8 2 Robert Manning engenheiro nor mando 18161897 l simples e amalmente a mais empngada foi prnposta por Manning2 em 1889 través da análise de resultados experimentais obtidos por ele e outros pesqui sadores A relação empírica é da forma 824 Substituindo a Equação 824 na Equação 88 vem VR131l n 825 Aa ua ão 825 é denominada órmula de Manning válida para os es coamentos permimentes uniformes e turbulentos rugosos com grande número de Reynolds Nestas condições o coeficiente n de Manningpermanece cons tante para uma rugosidade dada enquanto o coeficiente de Chézy é proporcio nal à rugosidade relativa da seção Rhn Combinandose a EgJJação 824 com a Equação 89chegase a n Q AR 23 Jf h 826 psta equação será a basede cálculo para os problemas sobre escoameu tos livres Devese observar que a fórmula de Manning além de ter uma origem empírica carrega um coeficiente n que não é um adimensional Os valores do coeficiente n para vários tipos de revestimentos em canais artificiais e em cursos d água naturais encontramse nas Tabelas 85 e 86 83 os COEFICIENTES C E n De acordo com a Equação 87 o coeficiente C da fórmula de Chézy depende do fator de atrito f que é função do número de Reynolds e da rugo sidade da parede Embora o comportamento do fator de atrito em tubos circu lares seja bem definido confonne foi visto no Capítulo 2 o mesmo não ocorre com o coeficiente C nos canais A dificuldade na especificação do fator de re sistência nos canais é devida à gama muito maior de revestimentos de paredes e às formas geométricas Ainda tomando como modelo o escoamento em tubos circulares fÓi mos trado na Seção 212 que os escoamentos turbulentos podem ser divididos em Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme Z4S hidraulicamente liso de transição e hidraulicamente mgoso e que o parâmetro número de Reynolds de mgosidade servia de base na classificação corno 5 Rey u ê 70 V 827 O escoamento é considerado turbulento liso se Rey 5 rugoso se Rey 70 e de transição no intervalo O que foi discutido na Seção 23 sobre a influência do número de Reynolds e da rugosidade relativa sobre o fator de atrito em tubulações circulares pode ser estendido para os canais de modo a caracterizar o tipo de escoamento para o qual os coeficientes C e n ficam constantes Como no diagrama de Moody a partir de um determinado número de Reynolds o fator de atrito fica constante as Equações 88 e 825 só devem ser aplicadas quando o escoamento no canal se tornar turbulento rugoso Rey 70 pois nesta faixa os coeficientes C e n são constantes Como o coeficiente n da fórmula de Manning não tem um significado físico determinado enquanto o parâmetro E tem base física e é relacionado com o tamanho da rugosidade da parede e pode ser medido é interessante ob servar a dependência entre os dois no escoamento turbulento rugoso Para isso basta comparar a equação empírica de Manning com urna equação de resistên cia mais exata Utilizando o conceito do diâmetro hidráulico da seção a Equação 234 desenvolvida para os condutos mgosos pode ser esc1ita como 1 l logl484R Jr ê 828 Pela Equação 87 o valor de C pode ser posto em função de E corno 829 Assumindo que o coeficiente C seja proporcional à rugosidade relativa RhE na forma Na fórmula de Manning1 o coeficiente de rugosidade n é um parâmetro adimensional como o fator de atrito f 100 E li ü Q O N cri o ro u ro o ü 10 Cap 8 y o r t 1 Equação 829 6 Equação 830 1 1 10 100 R1E J J 1 Á 1000 R 1 6 Cm 11 E 830 o coeficiente de proporcionalidade m pode ser determinado por meio do gráfico das Equações 829 e 830 Figura 84 O valor de m é aquele que mais aproxima as duas curvas e vale m 256 Assim temse finalmente 16 R 16 C R 256 83 1 Figura 84 Comparação entre equações de resistência que resulta em n 0039 El6 E m 832 Po1tanto a fórmula de Manning no escoamento turbulento rugoso pode ser posta como V 56 R 23 I 12 16 h o E 833 Pela Equação 833 visto que E está elevado à potência 1 6 um erro na estimativa de seu valor tem efeito bem menor no cálculo de V quando com parado com aquele introduzido por um erro similar na estimativa de n Apesar deste detalhe como a fórmula de Manning é a mais popular em projetos de canais é comum a especificação do coeficiente n retirado de tabe las e não da rugosidade absoluta equivalente E Na aplicação da fórmula de Manning a ser detalhada na Seção 84 a parte crucial é a escolha do valor do coeficiente n e devese ter em mente que os valores recomendados nas Tabe las 85 e 86 são valores médios indicativos A escolha do valor de n para um canal particular exige do projetista critério e bom senso na medida em que mesmo nos canais regulares outros fatores além do revestimento podem alterar a rugosidade como crescimento de vegetação processos de erosão ou sedimen tação e até mesmo a presença de curvas pela alteração dos perfis de velocidade Para cursos dágua naturais as fotografias apresentadas nas referências Chow 11 e Chaudhry l O auxiliam na determinação do coeficiente Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 247 Uma metodologia para a estimativa do valor de nem um canal largo a partir de dados de velocidades levantados em campo é mostrada no Exemplo 81 EXEMPLO 81 Estime o valor do fator de atrito f do coeficiente de rugosidade C de Chézy e do coeficiente de rugosidade n de Manning em um canal largo de 1 50 m de profundidade no qual as medidas de velocidades a 20 e 80 da altura dágua foram respectivamente vo2o 080 ms e voso 120 ms Assuma distribuição de velocidade logarítmica na vertical escoamen to turbulento rugoso e que a altura dágua é igual ao raio hidráulico A Equação 231 desenvolvida a partir da hipótese de perfil logarítmico pode ser posta em forma mais conveniente ver Problema 25 como 575 log 2984Y u E em que y é uma ordenada medida a partir do fundo e v a velocidade pontual Para y 080 h e y 020 h fica Voso 575 log2387h u E V 020 575 log597 h U E V Fazendo X v 020 dividindo uma equação pela outra e desenvolvendo vem logE 0776X 1378 E 1 X Usando o conceito de diâmetro hidráulico a velocidade média é dada pela Equação 232 na forma Cap 8 Quais as hipóteses assumidas na dedução da Equação 822 5 75 Jog R 473 575 log2473 575log 2 R 11 473 u E 2E E h 575log646 E Pela Equação 226 que relaciona a velocidade média com o fator de atrito temse I 575o776x 1378 646 u fj 1 X 2X 1464 X1 Para X 12º 15 o fator de atrito vale f 0100 e da Equação 87 080 e 8g 784 28 f 0100 e finalmente como R 16 h Rh 150 m e C h 11 o coeficiente de rugosidade de Manning vale n 0038 84 CÁLCULO DE CANAIS EM REGIME UNIFORME Os termos do lado esquerdo da equação básica para o cálculo de canais em regime uniforme Equação 826 são os parâmetros necessários para o dimensionamento da seção enquanto o lado direito é meramente geométrico Evidentemente escolhida uma determinada forma geométrica existirá mais de uma combinação entre os elementos da seção largura de fundo altura dágua etc que satisfaça a Equação 826 Deste modo o cálculo de canais em regi me uniforme é predominantemente um problema geométrico Seja uma seção transversal de forma definida e À uma dimensão carac terística da seção em função da qual são dadas as outras dimensões para que se possa desenhar a seção Seja A a área molhada e Rh o raio hidráulico cor respondente É sempre possível exprimir A e Rh em função de À na forma Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme A aJ2 R AÀ h 1 em que a e são chamados parâmetros de forma da seção 834 835 Fixada a forma geométrica da seção do canal a e são determinados de uma vez para sempre e valem para uma infinidade de seções de mesma for ma geométrica Substituindo as Equações 834 e 835 na fórmula de Manning fica e fazendo R A 23 L n Q fi a e 1ca Fo 836 Chamando M L318 coeficiente dinâmico e K R 318 coeficiente de torma a Equação 836 tornase M À K O valor do coeficiente de forma K da seção pode ser calculado e tabelado para di versas formas geométricas usadas em projetos de canais Para a seção trapezoidal e por exten são para a seção retangular e triangular o coeficiente de forma pode ser determinado como se segue 837 NA Yo b Para a notação adotada na Figura 85 a forma de uma seção trapezoidal pode variar Figura 85 Elementos geornét1icos da seção trapezoidal 249 Cap 8 B D Yo Figura 86 Seção circular em função de dois adimensionais by0 chamado razão de aspectf e a in clinação do talude Z cotg ex Escolhendo para dimensão característica da seção a altura dágua no regime uniforme A Yo podese escrever 1 b A cxy 2 bb2Zy0 y 0 cx ZmZ º 2 Yo portanto R ex m f323 Z mz23 mz53 l m 2jlZ2 213 m 2j l Z2 213 e finalmente mZs3 K R 38 38 m2j1z2 213 838 Desta forma a fórmula de Manning pode ser escrita de modo compac to como M nQ J 38 y O K em que M fÇ 839 O coeficiente de fotma K foi tabelado para vários valores de m e Z e apre sentado na Tabela 82 Nesta tabela para Z O e m O têmse respectivamen te os valores do coeficiente de forma para a seção retangular e triangular Para a seção circular que é utilizada em projetos de sistema de esgotos sanitários e galerias de águas pluviais um desenvolvimento adimensional aná logo pode ser realizado De acordo com a notação utilizada na Figura 86 podese expressar as seguintes relações geométricas A 02 0sen0 8 840 Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 251 8D P 841 2 Rh D 1 sen 88 842 4 D 1 cos02 Yo 2 843 0 2 arccos l 2y0 D 844 B D sen02 845 Escolhendo como dimensão característica da seção circular À D diâ metro da seção podese determinar os parâmetros de forma AaD2 D2 0sen0 a 8sen8 8 8 Rh D D 1 sen88 1 sen88 4 4 portanto Finalmente o coeficiente de forma da seção circular é dado por 846 Desta forma a fórmula de Manning para a seção circular de modo condensado tornase D M em que M nJ 38 KI V lo 847 El Hdálica Bãs Cap a fai rA1t frrw oc N l1 J Kili 1 Pn ¼os n 1 t 1 I J 1 A IÁ SJõ re11t Piu 1tr1CS D hWi NA v4jlvi16Jkt recUS A fI Si nm VA lllr 1dirPJ Dandose valores à relação yJD lâmina dágua relativa pela Equação 844 podese calcular os correspondentes valores de 0 e daí os valores de K pela Equação 846 com os quais montouse a Tabela 81 EXEMPLO 82 Determjnar a altura dágua em uma galeria de águas pluviais de concreto n 0013 diâmetro igual a 080 m declividade de fundo l0 0004 mim trans portando uma vazão de 600 1s em regime permanente e uniforme O coeficiente dinâmico vale M n Q 0013060 O 456 J 38 J38 fC J o004 Pela Equação 847 M 0456 D 080 K 0570 K KI Na Tabela 81 para K 1 0570 determinase o valor da lâmina dágua relativa isto é a altura normal dividida pelo diâmetro Para K 0570 tirase y0D 0625 e daí y0 050 m EXEMPLO 83 Qual a relação entre as vazões transportadas em regime permanente e uniforme em uma galeria de águas pluviais com lâmina dágua igual a 23 do diâmetro e a meia seção Na Tabela 81 para lâminas d água iguais a yJD 0666 e yJD 050 os coeficientes K1 valem respectivamente 0588 e 0498 Pela Equação 847 fórmula de Manning como o diâmetro é o mesmo temse M M M 2 I 118 KI KI M2 e para a mesma declividade e rugosidade fica Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 253 21 118 21 156 38 Q2 Q2 Tabela 81 Valores cio coeficiente de fonna K1 para canais circulares yfD K yJD K yfD K 001 0024 034 0383 067 0591 002 0042 035 0391 068 0596 003 0058 036 0399 069 0600 004 0073 037 0407 07 0604 005 0087 038 0415 071 0608 006 O 101 039 0422 072 0612 007 0114 04 0430 073 0616 008 0127 041 0437 074 0620 009 0139 042 0444 075 0624 01 0151 ô43 0451 O 76 0627 011 0163 044 0458 077 0631 012 0175 045 Q465 078 0634 013 0186 046 O 472 079 0637 014 0197 047 0479 08 0640 01 5 0208 048 0485 081 0643 016 0218 049 0492 082 0646 017 0229 05 0498 083 0649 018 0239 05 1 0504 084 0651 019 0249 052 051 1 085 0653 02 0259 053 0517 086 0655 021 0269 054 0523 087 0657 022 0279 055 0528 088 0659 023 0288 056 0534 089 0660 024 0297 057 0540 09 0661 025 0306 058 0546 091 0662 026 O 316 059 0551 092 0663 027 0324 06 0556 093 0664 028 0333 061 0562 094 0664 029 0342 062 0567 095 0664 03 0350 063 0572 096 0663 031 0359 064 0577 097 0661 032 0367 065 0582 098 0659 033 0375 066 0586 099 0656 EJ HdáUca Básca Cap a Qual o valor do coeficiente de ru gosidade C da fórmula de Chézy correspondente a um fator de atrito f 0040 841 DETERMINAÇÃO DA ALTURA DÁGUA Um dos problemas mais comuns em um sistema de drenagem urbana de águas pluviais é determinar para uma certa seção do canal e vazão a cota do nível dágua Esta cota é importante para a fixação das cotas de fundo das galerias que chegam ao canal a fim de evitar o afogamento destas A determinação da altura dágua y0 com auxílio da Tabela 82 levaria a um processo de tentativas e erros uma vez que o valor da razão de aspecto m é desconhecido Para contornar esta situação podese reescrever a fórmula de Manning de modo a constmir uma tabela que forneça o valor da relação 1m y0b em função das outras variáveis Usando as relações geométricas desenvolvidas na seção anterior a fór mula de Manning para uma seção trapezoidal retangular é dada por que desenvolvida e adimensionalizada fica Fazendo K2 1 Jr bs 3 I o nQ 848 849 podese montar uma tabela na qual para vários valores de yJb e para cada inclinação do talude Z temse os correspondentes valores de K2 Isto é apre sentado na Tabela 83 85 SEÇÕES DE MÍNIMO PERÍMETRO MOLHADO OU DE MÁXIMA VAZÃO No dimensionamento de canais o projetista muitas vezes deve decidir primeiro o estabelecimento da forma geométrica da seção e após esta defini ção quais serão suas dimensões para escoar uma determinada vazão dados a declividade de fundo e o coeficiente de mgosidade O problema de dimensionamento não leva a uma única solução isto é existe mais de uma seção de forma definida que satisfaz a fórmula de Manning Como o canal pode ter interferência com outros elementos do local de sua Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme c i 255 implantação existem condições de contorno que limitam a liberdade do pro jetista Entre outras condições podese citar a natureza do teneno a limitação do gabarito do canal pela presença de avenidas construídas ou projetadas li mitação de profundidade por questões de escavação lençol freático ou tipo de revestimento a ser usado compatível com a velocidade média esperada etc Assim o dimensionamento do canal embora simples e rápido do pon to de vista hidráulico envolve fatores técnicos constrntivos e econômicos muito importantes Qpservando a fórmula de Manning Equação 826 verificase que para declividade de fundo e rugosidade fixadas a vazão será máxima quando o raio hidráulico adquirir o máximo valor possível o que ocorre quando o períme tromolhado for o mínimo compatível com a área Desta maneira uma seção com esta propriedade de mínimo perímetro molhado é uma das que devem ser estudadas nos projetos uma vez que além de ser eficiente do ponto de vista hidráulico é também econômica devido à mínima superfície de revestimento que representa de modo geral uma das partes mais dispendiosas da obra Na prática entretanto nem sempre é possível projetar uma seção na condição de mínimo perímetro molhado pois a seção pode resultar profunda com o custo de escavação rebaixamento do lençol freático etc superando o custo do revestimento Outras vezes a seção resultante é tal que a largura de fundo é pequena em relação à altura o que pode dificultar a construção Ain da pode acontecer de a velocidade média resultante para a vazão de projeto não ser compatível com o tipo de revestimento empregado podendo provocar ero são nos taludes e fundo Para uma dete1minada área a figura que apresenta o menor perímetro molhado é o círculo porém sua construção é inexeqüível a não ser que seja préfabricada como as tubulações para sistemas de esgotos ou drenagem de águas pluviais 851 TRAPÉZIO DE MÍNIMO PERÍMETRO MOLHADO Foi mostrado que a área molhada e o perímetro molhado de uma seção trapezoidal são expressos por AmZy P m 2 J 1 Z 2 y 0 Combinandose as equações anteriores fica 850 851 A seção reta de um canal aberto tem 60 m de largura na superfície livre e 30 m de profundidade no centro Se sua forma geométrica puder ser aproximada por uma parábola com vértice no ponto mais baixo da seção mostre que seu raio hidráulico vale 135 m Relembre o conceito matemático de comprimento de arco Cap 8 Podese afirmar que o escoamento em um canal na condição de mínimo perímetro molhado é escoamento crítico 2 Al2 P m 2 1 Z 12 m Z 852 Derivandose a Equação 852 em relação a m razão de aspecto da se ção igualando a zero para área A constante e desenvolvendo chegase a f Ji z2 z 853 Esta é a condição que deve haver entre os dois adimensionais da seção trapez dal para que ela tenha o mínimo perímetro molhad9 852 RETÂNGULO DE MÍNIMO PERÍMETRO MOLHADO O retângulo é um caso particular do trapézio quando o ângulo do talude for 90º isto é Z cotg 90 OSubstituindo esta condição na Equação 853 fica 111 2 ou m 2 2 y O J Yu 854 Portanto a seão retangular de máxima vazão é aquela na qual a largura é igual a duas vezes a altura dágua 86 ELEMENTOS HIDRÁULICOS DA SEÇÃO CIRCULAR Em alguns tipos de problemas como por exemplo em projetos de sis temas de esgotos em que as tubulações trabalham parcialmente cheias é in teressante conhecer os elementos hidráulicos e geométricos para várias alturas dágua Também é necessário saber para uma determinada lâmina dágua qual é a relação entre a vazão que está escoando e aquela que escoaria se a seção fosse plena Estas relações podem ser fornecidas por gráficos como na Figu ra 87 ou através de tabelas As relações entre o raio hidráulico a velocidade e a vazão em uma de terminada lâmina e na seção plena são obtidas a partir das expressões 0 2 arccos 12 y 0 D A D2 0 sen0 8 Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 257 R D 1 sen00 h 4 Pela fórmula de Manning as relações entre as velocidades e entre as vazões em que V p e Qp são respectivamente a velocidade e a vazão na seção plena são dadas por 855 e 09 08 07 06 05 04 03 02 01 o o V l I 17 li Vazão 1 1 f7 v I f v 1c v Velocidade 1 V V I Raio hidráulico 1 tv 05 15 QQp VNp RhRhp Como para a seção plena de um conduto circular temse Ap n D24 e R11p D4 as Equações 855 ficam Figura 87 Elementos hidráulicos da seção circular V 1 sen00213 vr 856 g 1 0 sen 0 1 sen 00213 Qp 2n 857 Estas relações foram postas em forma gráfica como na Figura 87 e na Tabela 84 EXEMPLO 84 Dimensione um canal trapezoidal com taludes 2H l V declividade de fundo lo 00010 mim revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares para transportar uma vazão Q 65 m3s Utilize uma razão de aspecto m by0 4 Calcule a velocidade média e verifique se a seção encontrada é de mínimo perímetro molhado Na Tabela 85 determinase o coeficiente de rngosidade n 0025 Na Tabela 82 determinase o coeficiente de forma K em função de m 4 e Z 2 e vale K 1796 O coeficiente dinâmico vale B HidraHea Bãsa Cap 8 Mostre que a seção trapezoidal de mínimo perímetro molhado é circuns crita a uma semicircunferência cujo diâmetro coincide com a superfície livre J 38 38 nQ 002565 1 847 M 1T 0001 Iº Pela fórmula de Manning Equação 839 M 1847 l03m Yo K 1796 Então m b 4 b 412 m largura de fundo Yo A área molhada vale A m Z y 4 21032 636 m2 A velocidade média é igual a V Q A 65636 102 ms Para que a seção dimensionada tenha o mínimo perímetro molhado é necessário que seja verificada a Equação 853 isto é m 2 1 Z 2 Z 2 Tf 2 047 t 4 Conclusão a seção não é de mínimo perímetro molhado 87 CANAIS FECHADOS Em muitos projetos é necessária a utilização de seções fechadas como drenagem subterrânea em estradas coleta de esgoto e de água pluviais Estes condutos podem ter cobertura plana simplesmente uma laje de cobertura ou cobertura em forma de abóbada No primeiro caso a cobertura não exerce influência sobre as condições de escoamento a não ser no caso limite em que a lâmina dágua entre em con tato com ela Já no segundo caso a forma geométrica da cobertura influi no escoamento pela alteração gradual do perímetro molhado e conseqüentemente do raio hidráulico Cap a Canais Escoamento Permanente e Uniforme 259 871 SEÇÕES CIRCULARES São as mais empregadas na maioria das obras em que são necessárias seções fechadas Como pode ser visto na Figura 87 existe uma peculiaridade na maneira pela qual o raio hidráulico varia em relação à lâmina líquida À medida que a lâ mina líquida aumenta há um aumento gradual da área molhada e do perímetro molhado Entretanto a partir de uma certa altura devido à conformação geo métrica da cobe1tura um pequeno acréscimo na altura dágua provoca aumen to proporcionalmente maior no perímetro molhado do que na área molhada Portanto o raio hidráulico aumenta até uma altura dágua em que o perímetro molhado cresce mais lentamente que a área molhada e decresce daí em diante Podese observar também que a curva de velocidade acusa uma dimi nuição no crescimento no mesmo ponto em que ocorre a diminuição do raio hidráulico Isto é evidente uma vez que pela fórmula de Manning para n e lo fixados a velocidade é diretamente proporcional ao raio hidráulico Para a vazão o ponto de máximo é diferente do ponto de máximo da velocidade como mostra a Figura 87 pois a vazão depende conjuntamente do raio hidráu lico e da área molhada e como a área é sempre crescente o máximo da vazão ocorre para uma altura dágua maior Matematicamente esta diferença entre os pontos de máximos pode ser constatada a paitir do emprego da fórmula de Manning e das expressões geo métricas dadas pelas Equações 840 e 842 Substituindo essas expressões nas Equações 825 e 826 chegase a V lD23 I 112 l sen 0 23 252n 0 858 Q l D83 I 112 0 sen 0513 202n º 0213 859 Para n D e l0 constantes a vazão e a velocidade só dependem do ângulo 0 e portanto de Yo Derivando estas equações em relação a 0 e igualando a zero chegase a V Ymáx quando 0 257 que COITesponde a Yo 081 D Q Qmáx quando 0 3025 que corresponde a Yo 094 D Isto mostra que os máximos ocorrem em alturas diferentes e que a va zão máxima no conduto livre circular não ocorre quando a seção é plena Para B saca Cap 8 Por que na geometria circular a seção molhada correspondente à máxima velocidade não é também a seção de máxima vazão propósitos práticos esta particularidade não é explorada porque a altura da lâ mina na seção de máxima vazão é tão próxima do diâmetro que se houver qualquer instabilidade no escoamento o conduto passa a funcionar à seção plena como conduto forçado Nos projetos usuais o limite da lâmina líquida é fixado em Yo 075 D 872 SEÇÕES ESPECIAIS Em obras de esgotamento de médio e grande porte como interceptores e emissários de esgoto galerias de drenagem sob aterros rodoviários etc são utilizadas algumas vezes seções fechadas de formato especial Entre elas se destacam a seção capacete oval normal invertido arco de círculo alto etc con forme a Figura 88 São concepções interessantes do ponto de vista hidráulico porque mes mo para pequenas lâminas devido à forma do fundo mantêm uma velocida de média que evita deposição de materiais e sedimentos carreados Além disso a geometria propicia vantagens estruturais e construtivas pelo uso do efeito es trutural do arco que conduz quase sempre a seções transversais de pequena es pessura com baixa percentagem de armadura e possibilita o emprego de formas deslizantes no processo construtivo O dimensionamento hidráulico da galeria é feito pela fórmula de Manning calculandose as condições relativas à seção plena para a qual seco nhece a área e o raio hidráulico e depois utilizando gráficos adimensionais como os da Figura 88 que fornecem as curvas de QQp e VVp em função da lâmina relativa hH altura dágua sobre a altura da seção Os gráficos são usados tanto no processo de dimensionamento da galeria quanto de verifica ção da capacidade de vazão A Figura 88 apresenta para cada forma geométrica os valores da área do perímetro e do raio hidráulico em função de D e H para a seção plena isto é seção geométrica da galeria Na referência Lencastre 34 são mostrados os esquemas geométricos que pemiitem a partir das grandezas geométricas H altura da seção e D diâmetro desenhar a seção da galeria Os gráficos de QQp e VVp são análogos àqueles da Figura 87 EXEMPLO 85 Determine a capacidade de vazão de uma galeria em concreto em boas condições com seção capacete funcionando com uma lâmina dágua igual a h 070 H em que H é a altura interna da seção Diâmetro da seção igual a 180 me declividade de fundo l0 015 Calcule a velocidade média Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 261 Na Tabela 85 tirase o valor do coeficiente de rugosidade n 0014 Na Figura 88 para a seção capacete a área molhada e o raio hidráuli co na seção plena valem respectivamente 10 H i t l i p11 1 j I t1b t ºª 05 o H 05 10 D2 VVP QQr h Tf l i J1 H 1 JL H 1 OVAL NORMAL INVERTIDO Valores para a seção plena D 0667 H H 15 D A 1149D2 0511 J12 r pr 3965 D 2643 H Rhp 0289 D 01 93 H CAPACETE Valores para a seção plena D 088 H H 113 D Ar 0847 D2 0656 H2 Pr 3441 D 3028 H Rhp 0246 D 0216 H ARCO DE CÍRCULO ALTO Valores para a seção plena D l13H H 088 D Ar 0734 D 2 0937 H2 Pr 3118 D 3523 H Rhp 0235 D 0267 H ARCO DE CÍRCULO BAIXO h H Valores para a seção plena D 158 H H 063 D Ar 0484 D2 1208 H2 PP 2618 D 4136 H Rhp O 185 D 0292 H Figura 88 Gráficos para seções especiais Lencastre 34 Uma tubulação de diâmetro D escoa uma certa vazão em regime permanen te e uniforme com uma determinada lâmina dágua Mostre que entre o fator de atrito f da fórmula universal e o coeficiente n da fórmula de Manning existe a seguinte relação f 784 n A Ver diretório Canais no endereço ete trõni co wwweescscuspbrshs na área Ensino de Graduação Ap 0847 D2 08471802 2744 m2 Rhp 0246 D 0246 180 0443 m Da fórmula de Manning calculase a vazão à seção plena Q A A R 213 J OOOl5 2 7440 443213 4 41 m3s p n p hp 004 Do gráfico da Figura 88 para hH 070 QQp 090 daí Q 397 m3s A velocidade à seção plena vale Vp QpAp 4412744 161 ms Na Figura 88 na curva da velocidade para hH 070 VV p 1 12 a velocidade média correspondente à vazão escoada vale V 180 ms 88 O PROGRAMA CANAIS3EXE Os problemas relativos ao dimensionamento cálculo dos parâmetros geométricos da seção verificação determinação da capacidade vazão e de terminação da altura dágua ou largura de fundo em vários tipos de seções po dem ser resolvidos com o programa CANAIS3EXE As seções que podem ser analisadas são trapezoidal retangular circular fundo circular e lados incli nados e seções compostas estas últimas a serem discutidas no Capítulo 9 As rugosidades dos taludes e fundo podem ser diferentes O programa prestase a análises rápidas de alternativas em que qualquer parâmetro do problema vazão rugosidade inclinação do talude razão de as pecto díâmetro etc pode ser alterado e a solução comparada sem sair doam biente EXEMPLO 86 Utilizando o programa CANAIS3EXE determine a altura dágua nor mal em um canal trapezoidal com taludes 2H 1 V rugosidade de fundo e ta ludes n Q018 largura de fundo b 40 m vazão transportada Q 65 m3s e declividade de fundo J0 00005 mim Os resultados do uso do programa estão listados a seguir em que apa recem os dados de entrada do problema e os demais parâmetros de interesse No Capítulo 9 serão feitas aplicações do uso do programa CANAIS3EXE Cap a Canais Escoamento Permanente e Uniforme 263 PR O JET O EXEMPLO 86 1 1 1 RESULTADOS 1 1 RUGOSIDADE n 0018 1 DECLTALUDE Z 200 1 LÂMINA Y 1 O 5 1 LARG FUNDO B 400 1 ÁREA MOLHA D A A 6 4 1 1 LARG SU P T 820 VEL MÉDIA VMÉD 101 VAZÃO Q 650 FROUDE FR 0 3 7 1 DECL FUNDO 1 0000501 1 89 PROBLEMAS 8Vum canal de drenagem em terra com vegetação rasteira nos taludes e ndo com taludes 25H 1 V declividade de fundo 10 30 cmkm foi dimen sionado para uma determinada vazão de projeto Q0 tendose chegado a uma seção com largura de fundo b 175 me altura de água y0 140 m uai a vazão de projeto eção encontrada é de mínimo perímetro molhado Se o projeto deve ser refeito para uma vazão Q1 60 m3s e a seção é retangular em concreto qual será a altura de água para uma largura de fundo igual ao dobro da anterior a Q 435 m3s b Não c Yo 157 m Uma galeria de águas pluviais de 10 m de diâmetro coeficiente de rugosidade de Manning n 0013 e declividade de fundo 10 25 103 mim trans por e0ndições de regime permanente unifmme uma vazão de 120 m3s jJ etermine a altura dágua e a velocidade média tensão decisalhamento média no fundo e a velocidade de atrito y Qual seria a capacidade de vazão da galeria se ela funcionasse na condição de máxima vazão a yo 082 m V 174 ms b to 746 Nm2 u 863102 ms c Q 129 m3s Cap 8 cJtÍ Um canal trapezoidal em reboco de cimento não completamente liso com inclinação dos taludes 2H1 V está sendo projetado para transportar uma vazão de 17 m3s a uma velocidade média de 120 mls Determine a largura de fundo a profundidade em regime uniforme a declividade de fundo e a velo cidade de atrito para a seção hidráulica de máxima eficiência b 113 m Yo 239 m Ia 000022 mim u 5076102 ms Um canal trapezoidal deve transportar em regime uniforme uma vazão de 325 m3s com uma declividade de fundo I0 00005 mim trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado A inclinação dos taludes é de 05H 1 V e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em condições regu lares Determine a altura dágua a largura de fundo e a tensão média de cisa lhamento no fundo do canal yo 156 m b 195 m C0 384 Nm2 Gsl Dimensione um canal para irrigação em terra com vegetação rasteira Vfundo e nos taludes para transportar uma vazão de 075 m3s com decli vidade de fundo I0 00005 mim de modo que a velocidade média seja no máximo igual a 045 ms Inclinação dos taludes 3H 1 V Yo 065 m b 065 m ou y0 053 m b 160 m 86 Dimensione um canal trapezoidal com taludes 2H 1 V declividade de fundo lo 0001 mim com taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassa da em boas condições para transportar em regime uniforme uma vazão de 80 m3s sujeita às seguintes condições a A máxima altura dágua deve ser de 1 15 m b A máxima velocidade média deve ser de 130 mls c A máxima largura na superfície livre deve ser de 80 m Yo 111 m b 333 m B 778 m r Qual o acréscimo pecentual na vazão de uma galeria circular quando a area molhada passa da meia seção para a seção de máxima velocidade LiQ 976 88 Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série com as seguintes características Trecho 1 Diâmetro D1 150 mm Declividade I 0060 mim Trecho 2 Diâmetro D2 200 mm Declividade h 0007 mim Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 265 Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifi quem as seguintes condições de norma a Máxima lâmina dágua y 075D b Mínima lâmina dágua y 020D c Máxima velocidade V 40 mls d Mínima velocidade V 050 mls Coeficiente de rugosidade de Manning n 0013 Qmáx 0025 m 3ls Qmín 00033 m3ls 89 Um emissário de esgoto de concreto em condições regulares cuja se ção tem a foma de arco de círculo baixo com altura H 125 m transporta uma vazão de l 70 m3ls Sendo a declividade de fundo I0 0001 mim deter mine a lâmina dágua e a velocidade média h 088 m V 113 mls 810 Determine a mínima declividade necessária para que um canal tra pezoidal taludes 4H 1 V transporte 6 m3ls com uma velocidade média igual a 060 mls Coeficiente de rugosidade n 0025 Iomín 32 104 mim 811 Determine a capacidade de vazão de um canal para drenagem urbana com 20 m de base e 10 m de altura dágua declividade de fundo igual à 10 0001 mim e taludes 15H 1 V O fundo corresponde a canal dragado em con dições regulares e os taludes são de alvenaria de pedra aparelhada em boas condições Esta seção é de mínimo perímetro molhado Use o programa CANAIS3EXE Q 382 m3ls Não 812 Urna tubulação circular de diâmetro D escoa certa vazão em regime per 1 manente e uniforme com altura dágua igual a Yo 070 D Mostre que entre o fator de atrito f da equação de DarcyWeisbach e o coeficiente de rugosidade n da fórmula de Manning existe a seguinte relação f 11764 112 D3J Cap 8 813 Determine a relação de vazões entre um canal trapezoidal em taludes lHlV largura de fundo igual a três vezes a altura dágua e um canal tra pezoidal de mesmo ângulo de talude mesma área molhada mesma rugosidade e declividade de fundo trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado QiQ2 095 814 Demonstre que o raio hidráulico de um canal trapezoidal na seção de mínimo perímetro molhado para qualquer ângulo do talude é igual à metade da altura dágua 815 Determine o diâmetro D e a altura interna da seção H de um interceptor de esgoto com seção oval normal invertida de concreto em más condições para transportar uma vazão de 2 70 m3 s com lâmina d água igual ah 060 H Declividade de fundo I0 0001 mim Calcule a tensão média de cisalhamento no fundo da galeria D 170 m H 255 m to 556 Nm2 o 816 Mostre que em um escoamento permanente e uniforme em um canal a relação entre a velocidade média V e a velocidade de atrito u é dada por V V u Rh na qual n é o coeficiente de rugosidade de Manning nJg 817 Uma galeria de águas pluviais de diâmetro D transporta uma determi nada vazão com uma área molhada tal que fü D6 Nestas condições calcule as relações V V P e QQp VVp 0762 QQp 0183 818 Compare as declividades de um canal semicircular escoando cheio e de um canal retangular de mesma largura mesma área molhada mesmo reves timento e transportando a mesma vazão em regime permanente e uniforme IJ I 084 819 Um trecho de coletor de esgotos de uma cidade cuja rede está sendo remanejada tem 100 m de comprimento e um desnível de 080 m Verifique se o diâmetro atual de 200 mm permite o escoamento de uma vazão de 186 1s Em caso contrário qual deve ser o novo diâmetro desse trecho Dete1mine a lâmina líquida correspondente e a velocidade média Material das tubulações Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 267 manilha cerâmica n 0013 e adote como lâmina dágua máxima no coletor yD 050 D 250 mm Yo 102 mm V 099 ms 820 No projeto de um coletor de esgotos verificouse que para atender à condição de esgotamento dos lotes adjacentes ele deveria ter uma declividade de 0015 mim Sendo 20 1s a vazão de esgotos no fim do plano e 1 O ls a vazão atual início de plano determine a o diâmetro do coletor e a velocidade de escoamento para o final do plano b a lâmina líquida atual e a correspondente velocidade média Material das tubulações manilha cerâmica n 0013 e adote como lâmina dágua máxima no coletor yD 050 a D 200 mm V 129 ms b Yo 68 mm V 106 ms 821 Um túnel de 2000 m de comprimento liga dois grandes reservatórios mantidos em níveis constantes A diferença de cotas entre os níveis dágua nos reservatórios é de 40 m O primeiro trecho do túnel de 1200 m de comprimento possui seção quadrada de 20 m de lado e é revestido em concreto em más condições e o segundo trecho de seção circular de 15 m de diâmetro revestido em concreto em boas condições Desprezando as perdas de carga localizadas determine a vazão que escoa no túnel Observe que a fórmula de Manning é válida para condutos forçados também Q 40 m3s 822 Determine a capacidade de vazão da galeria semicircular de diâmetro igual a 10 m mostrada na Figura 89 com declividade de fundo lo 03 e cuja lâmina dágua é y0 030 m Material das paredes e fundo reboco de 1 cimento não completamente liso Q 0338 m3s y0 030 m D lOm Figura 89 Problema 822 Cap 8 Tabela 82 Cálculo de canais valores do coeficiente de forma K m by 0 Z 00 Z 050 Z 10 Z 125 Z15 Z175 Z 20 o 0000 0530 0771 08S9 093S 1001 1061 02 0300 0640 08S0 0929 0998 1058 1113 04 04S3 073S 0921 0993 1056 1112 1163 06 0572 0818 0986 1052 1110 1163 1211 08 0672 0893 1046 1107 1162 1211 1256 1 0760 0961 1103 1159 1210 1257 1299 12 0838 1023 1155 1209 1257 1300 1341 14 0909 1082 1205 1255 1301 1342 1380 16 0974 1136 1253 1300 1343 1382 1419 18 1034 1187 1298 1342 1383 1421 1455 2 lQ91 1236 1340 1383 1422 1458 1491 22 1143 1282 1382 1422 1459 1494 1526 24 1193 1326 1421 1460 1495 1528 1559 26 1241 1368 1459 1496 1530 1562 1592 28 1286 1408 1495 1531 1564 1595 1623 3 1329 1446 1531 1565 1597 1626 1654 32 1370 1484 1565 1598 1629 157 1184 34 1410 1519 1598 1630 1660 1687 1713 36 1448 1554 1630 1661 1690 1716 1741 38 1484 1588 1661 1691 1719 1745 1769 4 1520 1620 1692 1721 1748 1773 1796 42 1554 1652 1721 1750 1776 1800 1823 44 1587 1682 1750 1777 1803 1826 1849 46 1619 17 12 1778 1805 1829 1852 1874 48 1651 1741 1805 1831 1855 1878 1899 5 1681 1770 1832 1858 1881 1903 1923 52 1711 1797 1858 1883 1906 1927 19n S4 1740 1824 1884 1908 1930 1951 1971 S6 1768 1 851 1909 1933 1954 1975 1994 58 1795 1876 1933 1957 1978 1998 2017 6 1822 1902 1958 1980 2001 2021 2039 62 1848 1926 1981 2004 2024 2043 2061 64 1874 1951 2004 2026 2046 2065 2083 66 1899 1975 2027 2049 2068 2086 2104 68 1924 1998 2050 2071 2090 2108 2125 7 1948 2021 2072 2092 2111 2129 2145 72 1972 2043 2093 211 4 2132 2149 2 166 74 1995 2066 2115 2134 2153 2170 2186 76 2018 2087 2136 2155 2173 2190 2205 78 2041 2109 2156 2175 2193 2209 2225 8 2063 2130 2177 2195 2213 2229 2244 82 2084 2151 2197 2215 2232 2248 2263 84 2106 2171 2216 2235 2251 2267 2282 86 2127 2191 2236 2254 2270 2285 2300 88 2148 2211 2255 2273 2289 2304 23 18 9 2168 2231 2274 229 1 2307 2322 2336 92 2 188 2250 2293 2310 2325 2340 2354 9 2208 2269 2311 2328 2343 2358 2372 96 2227 2288 2329 2346 2361 2375 23R9 98 2247 2306 2347 2364 2379 2393 2406 10 2266 2325 235 2381 2396 2410 2423 102 2284 2343 2383 2399 24 13 2427 2440 104 2303 2360 2400 24 16 2430 2444 2456 ID6 2321 2378 2417 2433 2447 2460 2473 108 2339 2395 2434 2449 2464 2477 24K9 li 2357 2413 2451 246 2480 2493 2505 112 2375 2430 2467 2482 2496 2509 2521 114 2392 2446 2484 2499 2512 2525 2537 116 2409 2463 2500 2515 2528 2541 2552 118 2426 2480 251 2531 2544 2556 2568 12 2443 2496 2532 2546 2559 2572 2583 122 2460 25 12 2548 2562 2575 2587 2598 124 2476 2528 2563 2577 2590 2602 2613 Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 269 Tabela 82 Cálculo de canais valores do coeficiente de forma K continuação m by0 Z 225 Z 250 Z 275 Z 300 Z 325 Z 350 Z 40 o 1114 1164 1210 1253 1294 1332 1404 02 1164 1210 1254 1294 1333 1370 1438 04 1210 1254 1295 1334 1371 146 1472 06 1255 1297 1336 1373 1408 1442 1505 08 1298 1337 1375 1410 1444 1476 1537 1 1339 1376 1412 1446 1478 1509 1568 12 1378 1414 1448 1481 1512 1542 1598 14 1416 1451 1483 1514 1544 1573 1628 16 1453 1486 1517 1547 1576 1604 1657 18 1488 1520 1550 1579 1607 1634 1685 2 1523 1553 1582 1610 1637 1663 1713 22 1556 1585 1613 1640 1666 1691 1740 24 1588 1616 1643 1669 1695 1719 1766 26 1620 1647 1673 1698 1723 1746 1792 28 1650 1677 1702 1726 1750 1773 1818 3 1680 1705 1730 1754 1777 1799 1843 32 1709 1734 1757 1780 1803 1825 1867 34 1738 1761 1784 1807 1829 1850 1891 36 1765 1788 1811 1832 1854 1874 1915 38 1792 1815 1837 1858 1878 1899 1938 4 1819 1841 1862 1882 1903 1922 1961 42 1845 1866 1887 1907 1926 1946 1983 44 1870 1891 1911 1931 1950 1969 2005 46 1895 1915 1935 1954 1973 1991 2027 48 1919 1939 1958 1977 1995 2013 2048 5 1943 1963 1981 2000 2017 2035 2070 52 1967 1986 2004 2022 2039 2057 2090 54 1990 2008 2026 2044 2061 2078 2111 56 2013 2030 2048 2065 2082 2099 2131 58 2035 2052 2070 2086 2103 2119 2151 6 2057 2074 2091 2107 2123 2139 2171 62 2078 2095 2112 2128 2144 2159 2190 64 2100 2116 2132 2148 2164 2179 2209 66 2120 2IJ7 2153 2168 2183 2198 2228 68 2141 2157 2172 2188 2203 2218 2247 7 2161 2177 2192 2207 2222 2236 2265 72 2181 2197 2212 2226 2241 2255 2283 74 2201 2216 2231 2245 2260 2274 2301 76 2221 2235 2250 2264 2278 2292 2319 78 2240 2254 2268 2282 2296 2310 2337 8 2259 2273 2287 2301 2314 2328 2354 82 2277 2291 2305 2319 2332 2345 2371 84 2296 2310 2323 2336 2350 2363 2388 86 2314 2328 2341 2354 2367 2380 2405 88 2332 2345 2359 2371 23R4 2397 2422 9 2350 2363 2376 2389 2401 2414 2438 92 2367 2380 2393 2406 2418 2430 2454 94 2385 2398 2410 2422 2435 2447 2470 96 2402 2114 2427 2439 2451 2463 2486 98 2419 2431 2443 2455 2467 2479 2502 10 2436 2448 240 2472 2483 2495 2518 102 2452 2461 2476 2488 2499 2511 2533 104 2469 2481 2492 2504 2515 2526 2549 106 2485 2497 2508 2520 2531 2542 2564 108 2501 2513 2524 2535 2546 2557 2579 li 2517 2528 2540 2551 2562 2573 2594 112 2533 2544 25S5 2566 2577 2588 2609 114 2548 2559 2570 2581 2592 2603 2623 116 2564 2575 2586 2596 2607 2617 2638 118 2579 2590 2601 2611 2622 2632 2652 12 259 2605 2616 2626 2636 2647 2667 122 2609 2620 2630 2641 2651 2661 2681 124 2624 2635 2645 2655 2665 2675 2695 B Hidálica Básca Cap 8 Tabela 83 Cálculo da altura d água normal Valores de K2 n Q b813 I2 yjb Z 00 Z 10 Z 15 Z 20 Z 25 230 Z 35 Z 40 002 0001 0001 0001 0001 0001 0001 0002 0002 004 0004 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0005 006 0009 0009 0009 0009 0010 0010 0010 000 008 0013 OQ15 0015 0016 OQ16 0016 0017 0017 01 0019 0021 0022 0023 0023 0024 0025 0025 012 O 025 0029 0030 0031 0032 0033 0034 0035 o 14 0032 0038 0039 0041 0043 0044 0046 0047 016 0039 0047 0050 0052 0055 0057 0059 0061 018 0047 0057 0061 0065 0068 0071 0074 0077 02 0055 0069 0074 OQ78 0083 0087 0091 0095 022 0063 0081 0087 0093 0099 0104 0110 0115 024 OQ71 0094 0102 0110 O 117 0124 O 131 0137 026 0080 0 108 0118 0127 0136 0145 0153 0162 028 0089 0123 0135 0146 0157 0168 0178 0189 03 0098 0138 0153 0167 0180 0193 0205 0218 032 0108 0155 0173 0 189 0204 0220 0235 0250 034 0117 0172 0193 0212 0231 0249 0267 0284 036 0127 0190 0215 0237 0259 0280 0301 0321 038 0137 0210 0238 0264 0289 0313 0337 0361 04 0147 0230 0262 0292 0321 0349 0376 0404 042 0157 0251 0288 0322 0354 0386 0418 0449 044 0167 0273 0314 0353 0390 0426 0462 0498 046 O 177 0296 0342 0386 0428 0469 0509 0549 0 48 0188 0319 0372 0421 0468 0513 0559 0604 05 0198 0344 0403 0457 0509 0561 0611 0661 052 0209 0370 0435 0495 0553 0610 0666 0722 054 0220 0396 0468 0535 0600 0663 0725 0787 056 0231 0424 0503 0577 0648 0717 0786 0854 058 0241 0453 0540 0621 0698 0775 0850 0925 06 0252 O 482 0577 0666 0751 O 835 091 8 1000 062 0263 0513 0617 0713 0807 0898 0988 1078 064 0274 0544 0657 0763 0864 0964 1062 1159 066 0285 0577 0699 0814 0924 1032 1139 1245 068 0297 0611 0743 0867 0986 1103 1219 1334 07 0308 0645 0788 0922 1051 1178 1303 1427 072 0319 0681 0835 0979 1119 1 255 1390 1523 074 0330 0718 0884 1039 1189 1335 1480 1624 076 0342 0756 0933 1100 1261 1419 1574 1729 078 0353 0795 0985 1 164 1336 1505 1672 1838 08 0365 0835 1 038 1229 1414 1595 1773 1950 O 82 0376 0876 1 093 1297 1494 1 687 1878 2068 084 0388 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6045 13 0659 2219 2949 3 643 4317 4978 5 631 6280 132 0671 2291 3051 3774 4475 5163 5844 6520 134 0683 2364 3155 3907 4637 5353 6062 6765 Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme 271 Tabela 83 Cálculo da altura dágua normal Valores de K2 nQ b8131 2 continuação yJb Z 00 Z 10 Z 15 Z 20 Z 25 Z 30 Z 35 Z 40 136 0695 2 439 3260 4043 4 802 5 548 6 285 7016 1 38 O 707 2 514 3 369 4 182 4 971 5 746 6 513 7 273 14 0719 2592 3479 4324 5 144 5 949 6746 7536 142 0732 2670 3591 4468 5 320 6157 6984 7805 144 0744 2 751 3706 4616 5 500 6 368 7 227 8079 146 0756 2832 3822 4 767 5684 6585 7475 8359 1 48 0768 2915 3941 4920 5871 6805 7729 8646 15 0780 2 999 4063 5077 6063 7031 7 988 8938 152 O 792 3085 4186 5 237 6 258 7 260 8252 9236 1 54 0804 3172 4 312 5400 6456 7495 8522 9 541 1 56 0816 3261 4440 5565 6659 7 734 8797 9 852 1 58 0829 3351 4570 5734 6 866 7 978 9 077 10169 1 6 O 841 3 443 4 702 5 906 7 076 8226 9363 10 492 1 62 0853 3536 4837 6 082 7291 8479 9655 10821 1 64 O 865 3 630 4 975 6 260 7509 8 737 9952 11 157 166 0877 3 727 5114 6 441 7732 9000 10 254 11 500 1 68 O 890 3 824 5 256 6626 7958 9268 10563 11 848 1 7 O 902 3923 5400 6 814 8189 9540 10 877 12 204 172 0914 4024 5547 7005 8424 9 818 11197 12565 174 0926 4126 5696 7200 8 663 10 100 11522 12934 176 0938 4230 5848 7398 8906 10 388 11 854 13309 178 O 951 4335 6002 7 599 9153 10 680 12191 13691 1 8 0963 4 442 6158 7804 9404 10978 12534 14079 1 82 0975 4 550 6317 8011 9660 11280 12883 14 475 184 0987 4660 6479 8 223 9 920 11 588 13238 14877 1 86 1 000 4 772 6 643 8 437 10 184 11 901 13 600 15 286 188 1 012 4885 6809 8655 10452 12219 13967 15702 19 1024 5000 6978 8 877 10725 12 542 14340 16125 192 1037 5117 7150 9102 11002 12871 14720 16555 194 1049 5 235 7324 9 331 11 284 13 205 15 105 16992 1 96 1061 5354 7501 9563 11570 13 544 15497 17436 1 98 1 073 5 476 7 680 9 798 11861 13 889 15 896 17 888 2 1 186 5 599 7 862 10037 12156 14 239 16 300 18347 202 1098 5723 8047 10280 12 455 14594 1671 1 18812 204 1110 5849 8234 10 526 12 759 14955 17128 19286 206 1 123 5 977 8424 10 776 13 068 15322 17552 19766 208 1 135 6 107 8617 11030 13 381 15 694 17982 20254 21 1 147 6 238 8 8 12 11 287 13699 16 071 18 419 20750 212 1160 6371 9 010 11548 14021 16 455 18862 21252 2 14 1172 6506 921 1 11813 14 349 16843 19312 21 763 2 16 1 184 6 643 9 414 12 081 14 681 17 238 19 768 22 281 2 18 1197 6 781 9 620 12 353 15 017 17638 20231 22806 22 1209 6921 9 829 12 629 15359 18 044 20 701 23340 2 22 1221 7063 10041 12909 15705 18 456 21 178 23 881 2 24 1 234 7 206 10 255 13 192 16 056 18 873 21 661 24 429 226 1246 7351 10473 13 480 16 412 19296 22151 24986 228 i258 7498 10693 13771 16772 19726 22648 25550 23 1271 7647 10916 14066 17138 20161 23152 26123 232 1 283 7797 11141 14365 17508 20 602 23663 26 703 234 1 296 7950 11370 14668 17 884 21 049 24 181 27 291 236 1308 8 104 11 602 14 975 18264 21501 24705 27887 238 1320 8260 11 836 15 285 18649 21960 25237 28 491 24 1333 8418 12073 15600 19040 22425 25 776 29104 2 42 1345 8577 12314 15919 19435 22897 26 322 29724 244 1357 8 739 12 557 16 241 19 836 23 374 26875 30353 2 46 1 370 8 902 12 803 16 568 20242 23857 27436 30990 248 1 382 9067 13052 16 899 20652 24347 28 003 31635 25 1 395 9 234 13304 17 234 21 068 24 843 28 578 32 288 252 1 407 9 403 13 559 17573 21 489 25 345 29160 32950 254 1 419 9 574 13 817 17 916 21 915 25 853 29 750 33 620 2 56 1 432 9746 14078 18263 22347 26367 30 347 34299 Cap 8 Tabela 84 Elementos hidráulicos e geométricos da seção circular yJD a A0 2 J3 RID QQp yJD a AJD J3 RD QQp 001 0001 O 007 0000 051 0403 O 253 0517 002 0004 0013 0001 052 0413 0256 0534 003 0007 OQ20 0002 053 0423 0259 0551 O 04 0011 0026 0003 O 54 0433 0262 0568 O 05 0015 0033 0005 055 0443 0265 0586 006 0019 0039 0007 056 0453 0268 0603 007 0024 0045 0010 057 O 462 0270 0620 008 0029 0051 0013 058 0472 0273 0637 O 09 0035 0057 0017 059 0482 0275 0655 01 0041 0064 0021 06 0492 0278 0672 011 0047 0070 0025 061 0502 0280 0689 012 0053 0075 0031 062 0512 0282 0706 0 13 0060 0081 0036 063 O 521 0284 0723 0 14 0067 0087 0042 064 0531 0286 0740 015 0074 0093 0049 065 0540 0288 0756 016 0081 0099 0056 066 0550 0290 0773 017 0089 0104 0063 067 0559 0292 0789 018 0096 0110 0071 068 0569 0293 0806 019 0104 0115 0079 069 0578 0295 0821 02 0112 0121 0088 07 0587 0296 0837 021 0120 0 126 0097 071 0596 0298 0853 022 0128 0131 0106 072 0605 0299 0868 023 0136 0136 0116 073 0614 0300 0883 024 0145 0142 0126 074 0623 0301 0898 025 0154 0147 0137 075 0632 0302 0912 026 0162 o 152 0148 076 0640 0302 0926 027 0171 0157 0159 077 0649 0303 0939 028 0180 0161 0171 078 0657 0304 0953 029 0189 0166 0 183 079 0666 0304 0965 03 0198 0171 0196 08 0674 0304 0977 031 0207 0176 0209 081 0681 0304 0989 032 0217 0180 0222 082 0689 0304 1000 033 0226 0185 0235 083 0697 0304 101 1 034 0235 0189 0249 084 0704 0304 1021 035 0245 0193 0263 085 0712 0303 1030 036 0255 0198 0277 086 0719 0303 1039 037 0264 0202 0292 087 0725 0302 1047 038 0274 0206 0307 088 0732 0301 1054 039 0284 0210 0322 089 0738 0299 1060 04 0293 0214 0337 09 0745 0298 1066 041 0303 0218 0353 091 0750 0296 1070 042 0313 0222 0368 092 0756 0294 1073 043 0323 0226 0384 093 0761 0292 1075 044 0333 0229 0400 094 0766 0289 1076 045 0343 0233 0417 095 0771 0286 1075 046 0353 0237 0433 096 0775 0283 1071 047 0363 0240 0450 097 0779 0279 1066 048 0373 0243 0466 098 0782 0274 1057 049 0383 0247 0483 099 0784 0267 1042 05 0393 0250 0500 1 0785 0250 1000 Cap 8 Canais Escoamento Permanente e Uniforme Tabela 85 Valores do coeficiente de rugosidade da fórmula de Manning Natureza das Paredes Tubos de ferro fundido sem revestimento Idem com revestimento de alcatrão Tubos de ferro galvanizado Tubos de bronze ou de vidro Condutos de barro vitrificado de esgotos Condutos de barro de drenagem Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento condutos de esgoto de tijolos Superfícies de cimento alisado Superfícies de argamassa de cimento Tubos de concreto Condutos e aduelas de madeira Calhas de prancha de madeira aplainada Idem não aplainada Idem com pranchões Canais com revestimento de concreto Alvenaria de pedra argamassa Alvenaria de pedra seca Alvenaria de pedra aparelhada Calhas metálicas lisas semicirculares Idem corrugadas Canais de terra retilíneos e uniformes Canais abertos em rocha lisos e uniformes Canais abertos cm rocha irregulares ou de paredes de pedra irregulares e malarru madas Canais dragados Canais curvilíneos e lamosos Canais com leito pedregoso e vegetação aos taludes Canais com fundo de terra e taludes empedra dos ARROIOS E RIOS 1 Limpos retilíneos e uniformes 2 Como em 1 porém com vegetação e pedras 3 Com meandros bancos e poços pouco pro fundos limpos 4 Como em 3 águas baixas declividade fraca 5 Como em 3 com vegetação e pedras 6 Como cm 4 com pedras 7 Com margens espraiadas pouca vegetação 8 Com mar2ens espraiadas muita ve2etação Valores aconselhados Dara Droictos Muito Boas 0012 001 l 0013 0009 0011 0011 0012 0010 0011 0012 0010 0010 0011 0012 0012 0017 0025 0013 0011 0023 0017 0025 0035 0025 0023 0025 0028 0025 0030 0035 0040 0033 0045 0050 0075 Condições Boas Regu 0013 0012 0014 0010 0013 0012 0013 0011 0012 0013 0011 0012 0013 0015 0014 0020 0033 0014 0012 0025 0020 0030 0040 0028 0025 0030 0030 0028 0033 0040 0045 0035 0050 0060 0100 lares 0014 0013 0015 0011 0015 0014 oo 15 0012 0013 0015 0012 0013 0014 0016 0016 0025 0033 0015 0013 0028 0023 0033 0045 0030 0028 0035 0033 0030 0035 0045 0050 0040 0055 0070 0125 Más 0015 0017 0013 0017 001 7 00 17 0013 0015 0016 0013 0014 0015 0018 0030 0035 0017 0015 0030 0025 0035 0033 0030 0040 0035 0033 0040 0050 0055 0045 0060 0080 0150 273 B HdáUca Básca Gap a Nº 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 Tabela 86 Valores de n extraído de Bandini Hidráulica vol l Natureza das Paredes Canais de chapas com rebites embutidos juntas perfeitas e águas limpas Tubos de cimento e de fundição em perfeitas condições Canais de cimento muito liso de dimensões limitadas de madeira aplainada e lixada em ambos os casos trechos retilíneos compri dos e curvas de grande raio e água limpa Tubos de fundição usa dos Canais de reboco de cimento liso porém com curvas de raio limitado e águas não completamente limpas construídos com madeira lisa mas com curvas de raio moderado Canais com reboco de cimento não completamente liso de madeira como no nº 2 porém com traçado tortuoso e curvas de pequeno raio e juntas imperfeitas Canais com paredes de cimento não completamente lisas com curvas estreitas e águas com detritos construídos de madeira não aplainada de chapas rebitadas Canais com reboco de cimento não muito alisado e pequenos depósitos no fundo revestidos por madeira não aplainada de alvenaria construída com esmero de terra sem vegetação Canais com reboco de cimento incompleto juntas irregulares andamento tortuoso e depósitos no fundo de alvenaria revestindo taludes não bem perfilados Canais com reboco de cimento rugoso depósitos no fundo musgo nas paredes e traçado tortuoso Canais de alvenaria em más condições de manutenção e fundo com barro ou de alvenaria de pedregulhos de terra bem construídos sem vegetação e com curvas de grande raio Canais de chapas rebitadas e juntas irregulares de terra bem construídos com pequenos depósitos no fundo e vegetação rasteira nos taludes Canais de terra com vegetação rasteira no fundo e nos taludes Canais de terra com vegetação normal fundo com cascalhos ou irregular por causa de erosões revestidos com pedregulhos e vegetação Álveos naturais cobertos de cascalhos e vegetação Álveos naturais andamento tortuoso n 001 1 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0020 0022 0025 0030 0035 0040 9 OBSERVAÇÕES SOBRE O PROJETO E CONSTRUÇÃO DE CANAIS 91 INTRODUÇÃO Como foi visto no capítulo anterior os processos de cálculo para dimen sionamento e verificação de canais prismáticos em regime uniforme são bem simples e rápidos seja utilizando o programa computacional ou as tabelas e gráficos apresentados Deste modo para as principais formas geométricas utilizadas em projetos os problemas se restringem à determinação de pa râmetros geométricos tais que a fórmula de Manning seja satisfeita com uma ou outra condição hidráulica estabelecida Na prática o planejamento projeto e constrnção de um canal estão con dicionados por uma série de restrições de natureza variada O projeto de um canal em um sistema de drenagem urbana por exemplo pode depender de condições topográficas geotécnicas construtivas de influência do sistema viário existência de obras de arte faixa de domínio etc Todas estas condições de caráter não hidráulicohidrológico limitam a liberdade do projetista no dimensionamento das seções Neste tipo de projeto algumas observações são pertinentes 92 OBSERVAÇÕES GERAIS 1 As obras de retificação alargamento ou canalização devem ser fei tas na medida do possível de jusante para montante Esta é a regra básica em obras de melhorias em cursos dágua principalmente em bacias hidrográficas urbanas Se a obra for executada de montante para jusante melhorando inicialmente as condições de drenagem na parte alta da bacia quando ocorrer uma chuva um volume maior de água e em um tempo menor chegará às seções de jusante agravan do ainda mais as condições de escoamento na parte baixa da bacia 2 Prevendose o aumento da rugosidade das paredes e fundo dos canais pelo uso e má manutenção recomendase adotar como coeficiente de rugosidade de projeto valores de 1 O a 15 maiores do que aqueles apresentados nas tabelas para o revestimento usado Em outras pa lavras o projetista deve prever o envelhecimento do canal 275 Do rio que tudo arrasta se diz que é violento Mas ninguém diz violentas As margens que o comprimem Bertolt Brecht EI HidáUca Básca Cap 9 O canal cuja seção reta é mostrada na figura transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de 680 Us de água com declividade de fundo 1 0001 mm coeficiente de rugosidade n 01016 e altura dágua Yo 10 m Determine a proporção horizontal Z da inclinação do talude da parte inferior 9 00m 1 50m Mostre que em um canal trapezoidal simétrico na condição de máxima eficiência hidráulica o comprimento molhado dos taludes é igual à largura na superfície livre Calcular a relação Q 1Q2 entre as vazões que escoam em um canal circular fechado em que 0 1 é a vazão correspondente a seção de máxima velocidade e 0 2 a vazão correspondente a meia seção 3 Devese em canais abe1ios e principalmente em canais fechados dei xar uma folga ou revanche de 20 a 30 da altura dágua acima do nível dágua máximo de projeto Com isto temse uma ce1ia folga na capacidade de vazão do canal atendese a uma possível sobrelevação do nível dágua em uma curva do canal e também a uma diminuição da seção por possíveis depósitos de material caneado no fundo do canal Esta folga é importante como fator de segurança uma vez que a vazão de projeto é detenninada por critérios hidrológicos associa dos a uma certa probabilidade da vazão de projeto vir a ser supera da e as condições de impenneabilidade da bacia podem variar ao longo do tempo alterando a resposta da bacia 4 Na medida do possível em canais urbanos devese evitar grandes profundidades maiores que 40 m por causa do custo de escavação da segurança de transeuntes e veículos e por questões estéticas já que a seção só estará totalmente ocupada pela água durante a passagem da onda de cheia 5 Para canais regulares com perímetros de diferentes rugosidades deve se usar na fónnula de Manning uma rugosidade equivalente da se ção dada por uma das seguintes expressões originadas dos seguintes critérios de cálculo Seja uma seção que pode ser subdividida em N subáreas tendo cada uma um perímetro molhado Pi e coeficiente de rugosidade de Manning constante Ui i 12 N a assumindo que em cada uma das subáreas os escoamentos parciais têm a mesma velocidade média e igual à velocidade média da se ção total V v v2 VN a rugosidade equivalente da seção é dada por 91 na qual ne é a rugosidade equivalente P o perímetro molhado total da seção e N o número de subseções bassumindo que a força total de resistência ao escoamento 01iginada pelo efeito de cisalhamento junto ao perímetro P é igual à soma das forças de resistência em cada subárea de perímetro Pi a rugosidade equivalente é dada por Cap 9 Observações sobre o Projeto e Construção de Canais i 277 12 nc i 1 p 92 A Equação 92 foi utilizada no programa CANAIS3EXE para o cál culo da rugosidade equivalente de uma seção regular ou de geometria composta 6 Para canais de concreto devese prever a utilização de drenas nas paredes e fundo com certo espaçamento longitudinal para evitar subpressão quando o nível do lençol freático estiver alto Devese prever também juntas de dilatação na laje de fundo 7 Em canais urbanos para drenagem de águas pluviais feitos com ta ludes de pedras argamassadas e fundo de concreto magro o uso dos drenas nos taludes é dispensável pois a alvenaria de pedras permite uma certa permeabilidade AI B NA G D e 8 Em canais de seção composta ou de lei to múltiplo canais siameses como na Figura 9 l as equações de resistência não dão bons resultados se aplicadas à seção completa Neste caso para seções com uma única rugosidade ou rugosi dades diferentes estas devem ser subdi vididas por linhas verticais imaginárias e para cada subseção deve ser utilizada a fó1mula de Manning para o cálculo da Figura 91 Seção composta ou de leito múltiplo vazão parcial A vazão total da seção será o somatório das vazões das seções parciais As 1inhas verticais imaginárias não devem ser com putadas no cálculo do perímetro molhado de cada subseção 9 Cuidados especiais devem ser tomados na retificação de canais e córregos principalmente em cortes de meandros devido à diminuição do comprimento longitudinal e conseqüente aumento da declividade da linha dágua e velocidade média O aumento da velocidade média pode provocar um processo de erosão com aumento do transporte sólido e assoreamento a jusante O aumento da declividade e dimi nuição da lâmina dágua pode prejudicar eventuais sistemas de cap tação de água a jusante ou interferir no nível do lençol freático prejudicando culturas ribeirinhas A2 E 10 A declividade de projeto em canais deve ser tal que a velocidade média do escoamento seja maior do que uma velocidade mínima estabelecida para evitar deposição de lama lodo material em suspen são e crescimento de plantas aquáticas Por outro lado a velocidade média deve ser menor que uma velocidade máxima estabelecida para evitar erosão do material das paredes e fundo do canal Os seguintes valores são aconselháveis em função do tipo de material de revesti mento das paredes e fundo Tabela 91 Material das Paredes do Canal Velocidade Média ms Areia muito fina 023 a 030 Areia solamédia 030 a 046 Arei a grossa 046 a 061 Terreno arenoso comum 061 a 076 Te1Teno silteargiloso 076 a 084 Teffeno de aluvião 084 a 091 Terreno argilosocompacto 091 a 114 Terreno argiloso duro 114 a 122 Solo cascalhado 122 a 152 Cascalho grosso pedregulho piçarra 152 a 183 Rochas sedimentares molesxistos 183 a 244 Alvenaria 244 a 305 Rochas compactas 305 a 400 Concreto 400 a 600 Fo111e Curso de Canais EEUFMG Dep Engenharia Hidráulica Edições Engenharia 5872 A adoção de uma velocidade média máxima compatível com o reves timento pode ser utilizada como critério de projeto para que a seção seja estável Em projetos de canais estáveis com fronteiras móveis utilizase o critério da máxima tensão de cisalhamento a partir da Equação 84 que pode ser encontrado na literatura mais especializa da como Chow 11 Henderson 28 e Graf 24 entre outros 11 Outra limitação quanto à estabilidade dos canais é o estabelecimen to da máxima inclinação dos taludes que deve ser menor que o ân gulo de repouso do material de revestimento para que o talude seja geotecnicamente estável Os valores médios comuns para os taludes dos canais abertos são apresentados na Tabela 92 Uma solução interessante em pequenos canais urbanos é o uso da seção de leito múltiplo na qual em época de estiagem a vazão fica confinada à par te central do canal de geometria circular préfabricada e durante as cheias o Cap 9 Observações sobre o Projeto e Construção de Canais 279 leito secundário é temporariamente ocupado A solução é esteticamente con veniente e permite manutenção do leito secundário na época de seca O Exem plo 9 1 trata desta seção Tabela 92 Inclinação usual dos taludes Azevedo Netto 5 Natureza das Paredes Canais em terra em geral sem revestimento Canais em saibro terra porosa Cascalho roliço Terra compacta sem revestimento Terra muito compacta paredes rochosas Rochas estratificadas alvenaria de pedra bruta Rochas compactas alvenaria acabada em concreto EXEMPLO 91 Determine a capacidade de vazão do canal cuja seção é mostrada na Figura 92 Os taludes e as bermas são de alvenaria de pedra aparelhada em condições regulares e o fundo de concreto em boas condições Declividade de fundo I0 1 mkm Dividindo a seção em duas partes I e II por linhas verticais temse Parte I seção trapezoidal pela Tabela 85 revestimento n 0015 Parte II seção composta pela Tabela 85 revestimento n 0014 Parte I trapezoidal como b 200 m m 250 y 0 080 Z cotg a 25 a 50 20 175 l50 125 05 oo Figura 92 Exemplo 91 para Z 1 e m 250 na Tabela 82 K 1440 Pela fórmula de Manning temse NA No projeto de um canal em um siste ma de drenagem urbana de que modo o projetista deve se precaver quanto à adoção de um valor para o coeficiente de rugosidade n de Manning 38 M M 0015Q1 3 y 080 M 1152 Q1 307m s º K 1440 y0001 Parte II fundo circular 1t0602 2 A A 080120 153m P1t060 188m e Rh 081m 2 p Pela fórmula de Manning A Rf 3 ºJt 153 081 213 Q 11 300 m 3 s v 10 0001 A capacidade de vazão da seção total é igual a Q101a1 Q Qu 607 m3s EXEMPLO 92 Detetmine a capacidade de vazão de um canal para drenagem urbana com 20 m de base e 10 m de altura d água declividade de fundo igual a 10 0001 mim e taludes 15H 1 V O fundo corresponde a canal dragado em con dições regulares e os taludes são de alvenaria de pedra aparelhada em boas condições Esta seção é de mínimo perímetro molhado Pela Tabela 85 revestimento do fundo n1 0030 revestimento dos ta ludes n2 0014 n e Da Equação 92 a rugosidade equivalente da seção é dada por P1ntP2n P P2 20 00302 2180 00142 0021 202180 Para Z 15 em 2 na Tabela 82 K 1422 Pela fórmula de Manning 38 M M 0021Q 3 y 0 100 M 1422 Q 385ms K 1422 v0001 Cap 9 Observações sobre o Projeto e Construção de Canais 281 Condição de MPM m 21Z 2 Z2115 2 150605 t2Não EXEMPLO 93 Utilizando o programa CANAIS3EXE de termine a capacidade de vazão do canal cuja seção é mostrada na Figura 93 sabendo que a declivi dade de fundo vale Io 00005 mim e que o coe ficiente de rugosidade n do perímetro ABCD vale 0030 e do perímetro DEF vale 0040 2m Para as seções compostas o usuário deve es Figura 93 Exemplo 93 colher no menu do programa a opção seção trapez ret mista A seção pode ter um ou dois leitos se cundários várzea isto é leitos fora da caixa do canal leito principal No caso da Figura 93 os dados de entrada para o programa são Leito principal a largura do leito principal b0 5 m b máxima altura dágua sem sair do leito principal Yt 1 m c inclinação do talude Z0 1 45 d rugosidade no 0030 Leito secundário esquerdo não existe na Figura 93 mas a entrada de dados é a largura de fundo b O b altura d água y 10 m observe que é a altura que falta para com pletar os 20 m c inclinação do talude Z1 1 igual ao leito principal d rugosidade n 0030 mesmo perímetro Leito secundârio direito a largura de fundo b2 1 O m b inclinação do talude Z2 1 pode ser diferente da anterior ou não c rugosidade n2 0040 d declividade de fundo do canal I0 00005 mim NA lm EJ Hidrauca Básica Cap 9 Saída do programa PROJETO EXEMPLO 93 1 1 1 RESULTADOS 1 1 1 1 RUO EQUIV n 0 036 1 1 LÂMINA Y 200 1 1 ÁREA MOLHADA A 24 00 1 ILARGSUP T 1900 1 1 VEL MÉDIA VMÊD 074 1 I VAZÃO Q 1851 1 1 DECL FUNDO I 0000501 1 1 EXEMPLO 94 Em um canal de concreto com rugosidade absoluta E 3 mm largura de fundo b 30 m altura dágua Yo 050 m declividade de fundo Io 0001 mim e inclinação dos taludes IH 1 V escoa uma certa vazão em regime uni forme Determine a velocidade média e verifique se a fronteira é lisa de tran sição ou rugosa Viscosidade da água v 106 m2s Seção trapezoidal a área vale A m Z y02 305 1 0502 175 m2 O perímetro molhado vale P b 2 YoJl Z 2 3 205fi 441 m Portanto fü AP 0396 m A velocidade de atrito pode ser determinada pela Equação 823 com Ir lo u gR11 I 0 9 8 0396 0001 00622 ms O número de Reynolds de rugosidade pela Equação 827 vale Rey u e 006223103 1869 70 v 10 6 a fronteira é rugosa Nestas condições é válida a Equação 832 e o coeficiente de rugosidade da fórmula de Manning vale Cap 9 Observações sobre o Projeto e Construção de Canais 283 n 0039 E 116 0039 3 103 116 00148 Da Equação 825 Y R 2l3 1 12 l 0396213 0001112 115ms n h o 00148 93 PROBLEMAS 91 Demonstre a Equação 91 92 Considere o critério de divisão da área de uma seção composta conforme a Figura 9 1 Argumente contra o incon veniente hidráulico da divisão da seção ser feita por linhas horizontais em vez de linhas verticais SlA 2 015m J1 1 1 050 m 1 3 93 Determine a capacidade de vazão da canaleta de drena gem de pé de talude em uma rodovia revestida de concreto em condições regulares com declividade de fundo I0 0008 mim conforme a Figura 94 Figura 94 Problema 93 Q O 138 m3s 94 Uma galeria de águas pluviais de concreto após anos de uso apresentou a formação de um depósito de material solidificado como mostra a Figura 95 Supondo que o nível dágua na galeria permaneça constante e que o coeficiente de rugosidade do material solidificado seja o mesmo do concreto determine em que percentagem foi redu zida a capacidade de vazão da galeria LiQ 357 95 Em um projeto de um sistema de drenagem de águas pluviais determinouse que para escoar uma vazão de 12 m3s era necessária uma galeria retangular em concreto rugosidade n 0018 de clividade de fundo lo 00022 mim com 30 m de largura conforme a Figura 96a Por imposição do cálculo estrutural foi necessário dividir a seção em duas células de 15 m de largura com um septo no meio Figura 96b Verifique se esta nova concepção E Figura 96a Y 025D Figura 95 30m Seção original Problema 94 E 1 5 m Y070D 1 5 m 1 Figura 96b Seção modificada B Hidác Bãsa Cap 9 15 25 m Figura 97 Problema 99 NA estrutural tem condições hidráulicas de escoar a vazão de projeto em condi ções de escoamento livre Não tem 96 Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma ceita va zão em escoamento uniforme com uma largura de fundo igual a 090 m e altura dágua de 070 m Em uma determinada seção deverá haver uma mu dança na geometria passando para uma seção circular Determine o diâmetro da seção circular para transportar a mesma vazão com a mesma altura dágua rugosidade e declividade de fundo D 10 m 97 Projetar um canal de seção retangular com declividade de fundo lo 001 mim para aduzir urna vazão de 50 rn3s de água de modo que a máxima ve locidade média seja de 20 rns Material de revestimento reboco de cimento não muito liso O escoamento é fluvial ou torrencial y0 015 m b 1670 rn torrencial 98 Qual deve ser a declividade de fundo de um canal trapezoidal com talu des 2H 1 V largura de base b 30 rn para transportar urna vazão de 30 1113s com velocidade média de 060 rns Coeficiente de rugosidade do fundo e ta ludes n 0018 lo 2104 mim 8111 99 Para a seção composta mostrada na Figura 97 a inclinação dos taludes vale 15H 1 V o coe ficiente de rugosidade do Jeito principal é n 0022 e do leito secundário 112 0035 A decli vidade de fundo do canal 10 00002 mim Deter mine a altura dágua y2 do leito secundário quando a vazão escoada for igual a 90 m3s e a vazão limi te para não haver extravasamento do leito princi pal Utilize o programa CANAIS3EXE Q1111 18 1113s y2 182 m 910 Um conduto circular de 900 mm de diâmetro e 3600 m de comprimento está assentado com uma declividade uniforme e igual a 1 rn1500 me liga dois reservatórios Quando os níveis dágua nos reservatórios estão baixos o con duto trabalha parcialmente cheio e verificase que para uma lâmina dágua de Cap 9 Observações sobre o Projeto e Construção de Canais 600 mm em regime uniforme a vazão transportada é de 0322 m3s Despre zando a perda de carga na entrada e saída da tubulação determine o coeficiente de rugosidade n e a vazão descarregada quando a diferença de níveis dágua entre os reservatórios for 45 m e o conduto trabalhm em pressão n 00148 Q 0562 m3s 911 Desejase projetar uma canaleta para desvio de água conforme a geo metria mostrada na Figura 98 Qual deve ser a largura L para que a canaleta transporte uma vazão Q igualmente distribuída entre a parte retangular e a parte semicircular da seção L 128 m 912 Demonstre que um canal trapezoidal cuja seção molhada é um semi hexágono regular funciona na condição de mínimo perímetro molhado 913 Determine a largura de fundo de um canal trapezoidal com inclinação dos taludes 1 V2H escavado em terra n 0030 para que transportando em regime uniforme uma vazão de 76 m3s a altura dágua seja y 0 120 m Declividade de fundo lo 00005 mim b 670 m 914 Um canal trapezoidal com léugura de fundo igual a 20 m inclinação de taludes 1 V3H coeficiente de rugosidade n 0018 e declividade de fun do lo 00003 mim escoa uma determinada vazão em regime uniforme de modo que em relação a uma galeria circular sua área molhada é 25 vezes maior que a da galeria a largura na supe1fície livre 3 vezes maior e os núme ros de Fraude dos escoamentos são iguais Sendo a vazão transportada pela galeria igual a 120 m3s determine a vazão transportada pelo canal Q 274 m3s 915 Dimensione um canal de fundo circular e lados inclinados com taludes IH 1 V em um projeto de macrodrenagem urbana com raio de 3 m para trans portar uma vazão de 165 m3s com declividade de fundo lo 00004 mim re vestimento dos taludes grama Batatais n 0021 e fundo de concreto magro em condições regulares Verifique a velocidade média Utilize o programa CANAIS3EXE yo 259 m V 130 mls L IOm Figura 98 Problema 911 285 EI HidãU Básica Cap 9 916 Determine a largura de fundo de um canal com altura dágua igual a 125 m declividade dos taludes I V2H declividade de fundo igual a l 0 005 fundo revestido de alvenaria de pedra seca em condições regulares taludes de alvenaria de tijolo com argamassa de cimento em boas condições e vazão a ser transportada 675 m3s Verifique a velocidade média Utilize o programa CANAIS3EXE b 382 m V 085 ms 917 Uma galeria de águas pluviais retangular com 2 m de largura e altura dágua igual a 180 m transporta uma certa vazão Em um determinado pon to deverá haver uma mudança de seção da galeria passando para uma seção capacete Dimensionar a seção capacete de mesma rugosidade para transpor tar a mesma vazão na mesma declividade e sem alterar a lâmina dágua H 258 m D 227 m 918 Os critérios de projeto de um canal trapezoidal com taludes 2H 1 V declividade de fundo Iu 00015 mim e revestimento de terra bem construído sem vegetação e com curvas de grande raio foram os seguintes a velocidade média para a vazão de projeto V 076 ms b número de Froude para a vazão de projeto Fr 047 c largura de fundo b 080 m Determine a capacidade vazão do canal no regime permanente e uniforme Q 0448 m3s 919 Para o canal cuja seção reta é mostrada na Figura 99 com coeficiente de rugosidade de Manning igual a n e declividade de fundo igual a l0 mostre que a máxima vazão veiculada em regime permanente e uniforme sem que haja extravasamento é dada por 8l Q max 23252 r A 11 3 r Figura 99 Problema 919 10 ENERGIA OU CARGA ESPECÍFICA 101 INTRODUÇÃO Muitos fenômenos que ocorrem em canais podem ser analisados utili zandose o princípio da energia Conforme o que foi visto no Capítulo 7 em particular a Equação 7 17 a energia total por unidade de peso em uma certa seção de um canal onde a distribuição de pressão é hidrostática é dada por y2 HZya 2g 101 Em 1912 Bakmeteff1 introduziu o conceito de energia ou carga espe cífica como sendo a energia carga disponível em uma seção tomando como plano de referência um plano horizontal passando pelo fundo do canal naquela seção Em outras palavras a energia específica é a distância vertical entre o fundo do canal e a linha de energia o que corresponde a fazer Z O na Equa ção 101 Este conceito simples é extremamente importante para estudar os pro blemas de escoamentos através de singularidades em canais como alteração da cota de fundo alargamentos e estreitamentos Desta forma a energia espe cífica para uma determinada seção de um canal em escoamento retilíneo é dada por y2 Ey a 2g 102 P011anto a energia específica em uma seção do canal é a soma da altura dágua com a carga cinética Utilizando a equação da continuidade a equação anterior pode ser ex pressa por 287 A torrente passou rápida veloz ven cendo na carreira o tapir das selvas ou a ema do deserto O Guarani José de Alencar 1 Boris Bakmeteff engenheiro russo 18801951 B Hdãolica Básca Cap 10 Q2 Eya 2 2g A 103 Logo para uma dada seção do canal e para uma dada vazão a energia específica é função só da geometria e em particular da altura dágua 102 CURVAS y x E PARA q CTE E y x q PARA E CTE Com a finalidade de tomar mais acessível a compreensão do conceito de energia específica é conveniente iniciar o estudo pelo escoamento em um canal retangular e supondo que o coeficiente de Coriolis seja igual à unidade isto simplifica as equações e ilustra melhor os fundamentos As propriedades deduzidas poderão ser aplicadas aos canais de outras formas conforme será visto a seguir A hipótese de o canal ser retangular permite o uso da aproximação bi dimensional e a possibilidade da utilização da vazão unitária ou vazão espe cífica definida como a relação entre a vazão Q e a largura do canal b isto é qQVy b Desta forma a Equação 103 pode ser reescrita corno 2 Eyq 2g y2 104 l 05 Considerando agora que E varia com y para um dado valor constante de q podese constrnir um gráfico da Equação 105 no plano E y A Equação 105 pode ser imaginada como sendo a soma de duas fun ções E A B A y que é uma reta a 45 2 B que é uma curva do tipo hiperbólico 2g y Como condições de contorno temse se y O A O B oo E B oo se y oo B O A oo E A y oo Cap 1 O Energia ou Carga Específica 2g9 Isto indica que a curva y x E tem duas assíntotas uma ao eixo das y abscissas E B e outra à bissetriz dos eixos coordenados E y Assim somando graficamente a reta a 45º e a hipérbole chegase ao gráfico da Figura 1 Q1 É também de interesse prático o estudo de como a vazão unitária q varia com a altura dágua y para uma dada energia específica constante E E 0 A Equação 105 pode ser escrita como 106 Aqui também podese traçar um gráfico y x q observandose que as condições de contorno são se y O q O não há água se y E 0 q O há água em condição estática Isto mostra claramente que deve haver um valor máximo de q para algum valor de y entre O e E 0 A curva tem o aspecto apresentado na Figu ra 102 Com referência ao gráfico da Figura 101 podese observar que para cada nível de energia prefixado existem duas possibilidades ele veicular uma vazão q no canal retangular O escoamento pode se dar com uma al tura dágua y 1 que corresponde à raiz ela Equação 105 que se encontra no ramo inferior da curva ou pode se dar com uma altura dágua y2 que corresponde à raiz da mesma equação que se encontra no ramo supetior da curva Estes dois escoamentos têm características bem diferentes o ele al tura dágua y é chamado de escoamento rápido torrencial ou supercrítico e o de altura dágua y2 é chamado de escoamento lento fluvial ou subcrílico e as profundidades y e y2 são chamadas de profundidades alternadas ou correspondentes Um ponto destacase nos gráficos das Figuras 101 e 102 aquele re ferente à energia mínima ou o seu correspondente referente à vazão máxima Evidentemente estes pontos são correspondentes já que ambos os gráficos são a representação da mesma equação A profundidade associada a estes pontos é denominada proftmcliclade crítica Yc a qual corresponde à fronteira entre os dois ramos da curva e é um dos parâmetros utilizados para a identificação do tipo de escoamento no canal Sintetizando as observações sobre a Figura 101 podese concluir que 1 se y Yc V Vc escoamento subcrítico E E Figura 101 Relação altura dáguacnergia específica vazão constante i t Y vhg V72g y 1 q q múx q Figura 102 Relação altura d água vazão energia específi ca cons tante B HdáHca BásHoa Cap 10 2 se y Yc V Vc escoamento supercrítico 3 se y Yc V Vc escoamento crítico 4 uma diminuição no nível de energia específica disponível provoca um abaixamento na linha dágua no escoamento fluvial e uma ele vação no escoamento torrencial 103 ESCOAMENTO CRÍTICO O escoamento crítico é definido como o estágio em que a energia espe cífica é mínima para uma dada vazão ou o estágio em que a vazão é máxima para uma dada energia específica Diferenciando a Equação I 05 temse dEl dy gy3 Como q Yy a equação anterior tornase dE V 2 1 dy gy 107 108 No Capítulo 7 foi definido o grupo adimensional número de Froude como sendo a raiz quadrada da relação entre as forças de inércia e da gravi dade e cuja expressão era V Fr na qual Hm é a altura hidráulica da seção igHm Como para a seção retangular a altura hidráulica é igual à altura dágua a expressão do número de Froude para esta seção é dada por Fr q iYW 109 Substituindo na Equação 108 fica Cap 10 Eoegia oo Caga Espdfica B dE 1 Fr2 dy 1010 Estudando o sinal da derivada da equação anterior podese escrever dE dy se dy O dE O Fr 1 dE dy se dy O dE O Fr 1 se dE O 00 Fr 1 dy dE A Figura 103 mostra a representação gráfica da Equação 105 E fy e o seu rebatimento em torno da bissetriz reta a 45 cuja função é y fE e os sinais e valores das respectivas derivadas Analisando as desigualdades originadas do estudo do sinal da derivada da Equação 1 O I O podese concluir que segundo a Figura I 03 1 se Fr 1 a raiz da Equação I 05 encontrase no ramo superior da curva de energia específica portanto o escoamento é subcrítico you E dEdy O dEdy O dEdy dEO dEO E ou y 2 se Fr 1 a raiz da Equação 105 encontrase no ramo inferior da curva de energia específica portanto o escoamento é supercrítico Figura 103 Sinal da derivada da Equação 101 O 3 se Fr l as duas raízes são coincidentes e o es coamento é crítico Portanto o número de Froude passa a ser o parâmetro adimensional im portante na identificação do tipo de escoamento que está ocorrendo As expressões relativas ao regime crítico podem ser geradas a partir das Equações 105 e 107 como segue 1011 Isto indica um fato de grande importância em um canal retangular a profundidade crítica depende somente da vazão por unidade de largura Em continuação a energia específica mínima ou energia específica crí tica pode ser calculada substituindo a Equação l 011 em 105 Isto leva a 3 2 Ec Y e OU Y e Ec 2 3 1012 A velocidade crítica Vc pode ser calculada a partir da expressão dava zão unitária Como q Vc Yc temse na condição de regime crítico 3 12 Ycg Vcyc Vc vgYc 1013 Será visto mais adiante que a velocidade crítica é igual à velocidade de propagação de uma onda de pequena amplitude propagandose sobre a super fície de um meio líquido de profundidade y Isto representa uma importante ca racterística física do escoamento crítico Outro parâmetro importante a ser analisado é a declividade crítica Ic declividade de um longo canal em que ocorre o escoamento uniforme crítico Para um canal retangular de grande largura podese aproximar o raio hidráu lico pela altura d água conforme mostrado no Capítulo 7 Assim para condições de escoamento uniforme crítico em um canal retangular largo a fórmula de Manning pode ser escrita como n q b b 213 ystJ JC Yc Yc e JC Como q J g y temse 2 3 Y I03 n g Y e e I e e finalmente a expressão da declividade crítica para um canal retangular lar go isto é quando Rh y é dada por Cap 10 Eoegia o Caga Especltica B 1014 Este parâmetro também pode ser usado como indicador do tipo do es coamento que está se processando pela comparação com a declividade de fundo lo do canal Assim se 10 Ic o escoamento uniforme é subcrítico e o canal é dito de fra ca declividade se lo Ic o escoamento uniforme é supercrítico e o canal é dito de forte declividade Algumas observações sobre as condições do regime crítico ainda são ne cessárias 1 todas as equações desenvolvidas até agora 104 a 106 e 1011 a 1014 valem única e exclusivamente para canais retangulares 2 da Figura 101 podese observar que nas proximidades da altura crítica uma pequena variação da energia específica implica uma considerável variação na altura dágua Fisicamente significa que uma vez que muitas profundidades podem ocorrer para praticamente a mesma energia específica o escoamento nas vizinhanças da pro fundidade crítica possuirá uma certa instabilidade a qual se mani festará pela presença de ondulações na superfície do líquido Isto realmente ocorre no escoamento uniforme crítico 3 conforme a Equação 1011 a profundidade crítica é crescente y com a vazão q portanto para vazões maiores as curvas da Figu ra 101 serão deslocadas para a direita porém o lugar geométri co dos pontos de mínimo escoamento crítico será uma reta de declividade 2EJ3 como na Figura 104 4 o tratamento matemático desenvolvido pode ser feito partindose da Equação 106 e chegandose às mesmas expressões e proprie dades Para determinar a variação da vazão unitária q com a profundidade y para um valor fixado da energia E em um canal retangular podese re escrever a Equação 106 na forma q2 2gEy2 2gy3 1015 Figura 104 E Lugar geométrico dos pon tos de mínima energia seção retangular Se a energia específica mínima possi vel para um escoamento em um canal retangular é 10 m quanto vale a vazão por unidade de largura y E E r E 2JE q Figura 105 Curvas q fy para E constante seção retan gular A equação anterior mostra que a vazão é nula q O quando y O ou y E O aspecto da curva q fy mostrado na Figura 102 pode ser ex plicitado pela determinação do ponto de máximo da função diferenciando a Equação 1015 em relação a y na forma q dq gy2E3y dy Igualando a zero a Equação 1016 e simplificando vem y2E 3y O 1O16 10 17 Esta equação admite duas raízes y O e y 23 E só a segunda lem importância física e é igual à altura crítica dada pela Equação 1012 Deixa se a cargo do leitor demonstrar que esta raiz corresponde a um ponto de má ximo isto é que a segunda derivada da Equação 1015 é sempre negativa Então para uma dada energia específica E a vazão unitária q é máxima para a altura crítica Yc A expressão da vazão unitária máxima pode ser obtida pela substituição da raiz y 23 E na Equação l 015 que após simplificada se tor na 8 qmãx 27 V gr 1018 Baseado nisto curvas típicas de q fy para um valor específico de E podem ser desenhadas para valores E2 E E1 como na Figura 105 104 DETERMINAÇÃO DAS ALTURAS ALTERNADAS EM CANAIS RETANGULARES Em muitos problemas práticos é necessário determinar as raízes da Equação 105 para uma dada vazão e energia específica de modo rápido sem necessidade de resolver a equação do 32 grau resultante Para isto podese adimensionalizar a Equação 105 usando a Equação 1011 como 2 3 E y ½ y y e 2 que dividida por Yc fica 2gy 2y E Yc 2 y 2y2 Yc f 1 Yc Os valores de Eyc podem ser deter minados para diferentes valores de yyc e colocados em forma gráfica como na Figu ra 106 Observe que o gráfico da Figura 106 tem as mesmas propriedades e característi cas do gráfico da Figura 101 EXEMPLO 101 Em um canal retangular de 30 m de largura declividade de fundo 10 00005 mim coeficiente de rugosidade n 0024 escoa em regime uniforme uma vazão de 30 m3s Determine a energia específica e o tipo de escoamento fluvial ou torrencial e para a vazão dada a altura crítica a energia espe cífica crítica e a velocidade crítica yyc 4 38 36 34 32 3 28 26 24 22 2 18 16 14 12 1 08 06 04 02 Cap 1 O Eaegia o Caga Específica B 1019 O que significa declividade crítica de um canal i Fluvial f 1 1 1 Torrencial 1 1 12 14 16 18 2 22 24 26 28 3 32 34 36 38 4 42 44 Ey Figura 106 Curva adimensional da energia específica para canais retangulares Pela Tabela 83 determinase a altura dágua y0 no regime uniforme K nQ 002430 0ln 2 b81C 38 3 Joooos 12 O 45 y 1 35m b º Daí pela Equação 109 o número de Fraude vale Fr l 020 9 81 353 J portanto Fr 1 e o escoamento é fluvial ou subcrítico Da Equação 105 Mostre que a expressão geral da declividade crítica em um canal retan gular de largura b e coeficiente de rugosidade de Manning n é dada por 2 2y b l n gy B sc Cap 10 Escoamento com profundidade crítica ocorre quando a energia específica é máxima para uma dada vazão q2 I E y 2 135 2 138 m 0 2gy0 196135 Nas condições de regime crítico podese usar as Equações 1 0 l 1 a 1013 Y r Usr 047 m Yo 135 m FluvJJ EXEMPLO 102 Um canal retangular tem 120 m de largura Quais são as duas profun didades nas quais é possível ter um escoamento de 35 m3s de água com uma energia ou carga específica de 286 m A altura crítica é dada pela Equação 1011 213 2Jl3 Y e 35t2 0954 m daí Eyc 2860954 30 e pelo gráfico da Figura 106 as duas alturas adimensionais são YtlYc 295 e y2IYc 045 o que fornece y 281 m flu vial e y2 043 m torrencial 105 VELOCIDADE CRÍTICA E CELERIDADE Em escoamentos livres outro parâmetro importante para caracterizar o comportamento da corrente é a celeridade de uma onda gravitacional de pe quena altura ou amplitude A celeridade e é definida como a velocidade da onda perturbação que se propaga em um canal em relação ao meio isto é medida em relação à corrente e não às margens A expressão da celeridade de uma pequena onda gravitacional em um canal retangular horizontal e sem atrito nas paredes e fundo pode ser es tabelecida utilizandose a equação da continuidade e o teorema da quantida de de movimento em um volume de controle conveniente Seja a Figura I 07a Cap 10 Eoegia º Caga Específica B na qual uma pequena perturbação de amplitude ôy y se propaga com ve locidade absoluta V w em relação às margens no sentido da corrente para jusante Como resultado da propagação a velocidade média do escoamento muda de V para V 8V portanto o escoamento é não permanente Para utilizar um volume de controle no regime permanente sobrepõese ao campo de velocidade real um campo de velocidade dado por V oi isto é no sen tido de montante como na Figura 107b Desta forma a aplicação das equações básicas da continuidade e do teorema da quantidade de movimento para o regime permanente entre as seções 1 e 2 por unidade de lar gura da seção tornase a Continuidade fvdÃO VVwY V 8VVwyôy SC y i ii jv6V i i2 Figura 107a 1020 que desenvolvida e simplificada desprezando os termos de maior ordem fica yôVôy Vw V 1021 b Teorema da quantidade de movimento Como por hipótese o canal é horizontal e não há tensão de cisalha mento nas paredes e fundo a única força sobre o volume de controle é a for ça de pressão hidrostática nas seções 1 e 2 portanto expressão que desenvolvida e simplificada desprezando os termos de maior ordem fica gôy 8VV Vw 1022 Y oy j i i y V lo óV V y ôy i i i i2 Figura 107b El HidcâoU Bãs Cap 10 Combinando as Equações 1021 e 1022 temse Vw V2 gy ou 1023 Pela definição de celeridade c é a velocidade da onda em relação à água velocidade relativa e como V w é a velocidade absoluta V é a velocidade de arrastamento do sistema relativo água seguese da Equação 1023 que cfü 1024 Deve ser notado que a Equaçâo 1024 é válida somente para ondas de pequena amplitude uma vez que na dedução das Equações 1021 e 1022 des prezouse termos na forma ÕyÕV pois õy y Posteriormente uma expres são mais geral para a celeridade de ondas de gravidade será desenvolvida No escoamento crítico o número de Froude é igual à unidade assim pelas Equações 109 e 1013 a velocidade crítica vale 1025 portanto comparando com a Equação 1024 concluise que 1026 Logo a celeridade de uma onda de pequena amplitude no canal é igual à velocidade média do escoamento quando o escoamento ocorrer em condições de regime crítico Assim se V Vc o escoamento é subc1ítico e se V Vc o escoamento é supercrítico e o número de Froudepode ser definido como V V Fr Vc c 1027 Para um ca1al de forma qualquer as Equações 1023 e 024 são escritas como e 10 Eaecg Caga Espedfica B 1028 1029 sendo Hm a altura média ou altura hidráulica da seção definida no Capítulo 7 Por conseqüência a celeridade absoluta V w de uma perturbação é dada por Vw V c 1030 Estas conclusões e relações indicam um método aproximado simples e prático para estabelecer se o escoamento em uma seção de um canal é subcrí tico ou supercrítico Lançando na cotrnnte uma pequena pedra ou produzindo uma ondulação superficial por qualquer outro modo por exemplo colocando na superfície livre a ponta de um lápis e verificando a conformação da super fície da água a montante e a jusante da ponta como na Figura 108 Se a per turbação produzida pelo lápis se propagar para montante enrugando a supetfície da água atrás o escoamento é fluvial Figura 108a Se a perturbação for arrastada para jusante for mando uma frente de onda oblíqua o escoamento é tor Lápis rencial Figura 108b Três diferentes situações para a propagação da perturbação são possíveis em função da magnitude relativa da velocidade média V e da cele ridade c A celeridade absoluta em relação às mar gens pode assumir três valores V w V c V w V c e V w O quando V c Os três casos são mostrados na Figura 109 V e Fluvial V e Torrencial a Se V c a onda com celeridade absoluta V w se propàga tanto para montante quanto para jusante com velocidades respectivamente V Figuras 108a e b Características da superfície da água c e V c este regime é fluvial ou subcrítico b Se V c a onda com celeridade absoluta V w se propaga somente para jusante com as fren tes de onda tendo velocidades V c e V c este regime é torrencial ou supercrítico cSe V c a celeridade absoluta para montante é nula e para jusante é igual a 2V formandose na posição inicial da origem da perturbação uma onda estacionária em relação a um obser vador colocado na margem este regime é crí tico Figura 109 Propagação da onda 1 1 1 y 106 SEÇÃO DE CONTROLE i 1 1 A 11 n É importante em hi dráulica dos canais o conhe cimento de seções nas quais alguma característica deter mina uma relação entre altu ra dágua e vazão Tais seções são chamadas de seções de 1 i t i e 1 Bj 1 Figura 1010 Conceito de seção de controle D qmb A q controle porque controlam as profundidades do escoamento em trechos do canal a sua montante ou a sua jusante dependendo do tipo de escoa mento que está ocorrendo Para o regime crítico pode ser estabelecida uma re lação entre altura dágua e vazão portanto uma seção crítica é uma seção de controle As maneiras como estas seções influenciam no escoamento são as mais variadas possíveis O conceito pode ser exemplificado através de uma estrutura de transbordamento de um reservatório mantido em nível constante constituído por um vertedor de crista espessa como na Figura 101 O Considerando para simplificar que a estiutura seja retangular de largura b e relativamente curta para que a perda de carga entre a seção de entrada e a queda livre a jusante seja desprezível duas situações são analisadas a Quando a comporta de controle a jusante estiver totalmente fechada não haverá escoamento e a água estará parada com altura y Ea energia específica disponível situação correspondente ao ponto A da curva de vazão Abrindose parcialmente a comporta até a posição B ocorrerá uma pequena vazão e a altura dágua no vertedor cairá pois haverá transformação de energia potencial em cinética Conti nuando a abrir a comporta de jusante a vazão vai crescendo e a al tura dágua y diminuindo até que se atinja o valor da vazão máxima dada pela Equação 1018 e compatível com a energia específica dis ponível Ea cuja profundidade correspondente é a crítica ponto C da curva de vazão A partir desta situação a comporta não mais influi rá no escoamento e a vazão e a altura d água não mais se alterarão b Deixando a comporta de jusante totalmente aberta e operando outra a montante como indicado pontilhado na figura quando esta estiver totalmente fechada a vazão será nula não há água na estrutura portanto y O ponto D na curva de vazão Abrindose esta comporta crescerão continuamente a vazão e a altura dágua até que se atinja como no caso anterior a vazão máxima compatível com a energia es Cap 10 Eaecgiaoo Cacga Espaclftra EJ pecífica disponível E0 cuja profundidade correspondente é a crítica ponto C da curva de vazão No primeiro caso que corresponde ao trecho AC da curva de vazão o elemento controlador do escoamento está a jusante da seção correspondente e o escoamento é fluvial No trecho DC da curva de vazão o elemento con trolador do escoamento está a montante da seção correspondente e o escoa mento é torrencial Este fato tem uma importância prática significativa O regime subcrítico é controlado por alguma característica colocada a sua jusante e as perturbações originadas em determinada posição propagarseão para montante No caso do escoamento supercrítico este é controlado por uma característica colocada a sua montante Como exemplo das duas situações temse a constrnção de uma barragem em um rio regime fluvial condicionando a linha dágua a sua montante pelo aparecimento de um remanso de elevação que se faz sentir à grande distância da barragem seção de controle ver Figura 72 Ainda na Figura 72 a seção de controle banagem condiciona o escoamento tonencial a sua jusante pelo vertedor No Jargão técnico costumase dizer que o escoamento torrencial igno ra o que está ocorrendo águas abaixo por exemplo a descarga do vertedor da Figura 72 não é afetada pela existência de um ressalto hidráulico localizado ao pé do mesmo Como veremos no Capítulo 13 o conceito de controle será usado no cál culo da linha dágua no escoamento permanente e variado cálculo que se ini cia em uma seção de altura conhecida seção de controle e prossegue no sentido no qual o controle está sendo exercido isto é de jusante para montante se o escoamento for fluvial e o contrário se for torrencial 107 APLICAÇÕES DA ENERGIA ESPECÍFICA EM TRANSIÇÕES Os conceitos de energia específica e escoamento crítico em conjunto com os gráficos das curvas y x E para q cte Figura 101 e y x q para E cte Fi gura 102 são utilizados para analisar o comportamento da linha dágua devi do à presença de uma transição curta como redução de largura elevação do nível de fundo ou combinação dos dois efeitos O efeito da transição pode alterar o escoamento de várias maneiras alterando até o regime de subcrítico para supercrítico ou o contrário inclusive gerando o aparecimento de um ressalto hidráulico As aplicações serão inicialmente feitas para a seção retangular por simplicidade mas as propriedades e características dos escoamentos podem ser estendidas à seção trapezoidal tratada mais adiante As transições analisadas serão curtas e de geometria suave para que se possam desprezar as perdas de carga Em geral o fluxo resultante é convergente e como discutido na Seção 3 3 1 a perda de carga devido à aceleração é pequena No escoamento fluvial em um canal as pequenas perturbações propagamse para montante e para jusante ou só para montante B Hdâlica Bãsca y y Y1 Y2 Y Yi Yi Figura 10lla Cap 10 A E1 E E Figura 10llb 1071 REDUÇÃO NA LARGURA DO CANAL Considere como na Figura 1011 b um canal retangular com lar gura b 1 na seção 1 e largura b2 b1 na seção 2 sem variação da cota de fundo entre as seções A vazão unitá ria q2 na seção 2 é maior que a vazão unitária q1 na seção 1 e confonne a Figura 104 as curvas de energia es pecífica se deslocam para a direita quando q aumenta Considerando o escoamento na seção 1 fluvial na Fi gura 101 la a altura d água compatível com a energia disponível E1 cte vale Y1 ponto A A altura dágua na seção 2 é menor que y 1 e rriaior que Yc e c01Tesponde ao ponto B pois E 1 cte Considerando o escoamento na seção 1 torrencial na Figura 101 la a altura dágua compatível com a energia disponí vel E1 cte vale y ponto A A altura dágua na seção 2 é maior que y 1 e menor que Yc e corresponde ao ponto B Portanto a altura dágua decresce se o escoamento a montante for flu vial e cresce se for torrencial sem haver em cada caso mudança de regime Se a largura da seção 2 for reduzida ainda mais aumentando a vazão unitária até que a reta E1 cte tangencie a curva da energia específica dese nhada para a vazão qc2 a altura dágua nesta seção será a altura crítica inde pendente do tipo de escoamento na seção 1 ser fluvial A C ou torrencial A C Tratase portanto de uma situação limite na qual a energia disponí vel em 1 ainda é suficiente para veicular a vazão Reduzindose ainda mais a largura em 2 conforme a Figura 1011 a a reta E1 cte não cortará a curva da energia desenhada para q2 qc2 portanto não há solução matemática para o problema físico nas condições iniciais de montante Supondo que o escoa mento em 1 seja fluvial as perturbações originadas pela transição propagar seão para montante e a altura dágua deverá ajustarse por si mesma até que condições críticas sejam produzidas na seção 2 seção de controle Em outras palavras haverá alterações nas condições de montante pelo aparecimento de uma curva de remanso com a altura dágua na seção 1 aumentado para ova lor y 1 ponto A até atingir uma energia necessária para veicular a vazão uni tária q2 qc2 condizente com a largura da seção 2 b bc Nesta situação o escoamento passará de fluvial a montante da transição para crítico na transi ção e na seqüência para torrencial retornando ao escoamento fluvial através de um ressalto hidráulico se a jusante o canal for de fraca declividade Des ta forma a condição limite de largura na seção 2 para que o escoamento se pro cesse sem que sejam alteradas as condições de montante é que o escoamento na seção 2 seja crítico e não haja elevação da linha de energia a montante Cap 1 o Eoag Cmg Especmca B Se o escoamento na seção 1 for torrencial e a largura em 2 for menor que a largura limite haverá a formação de um ressalto hidráulico a montante da transição e a perda de energia que ocorre no ressalto torna impossível ana lisar o problema usando somente o diagrama de energia específica y x E 10711 CALHAS MEDIDORAS DE VAZÃO Como a redução de largura em um canal retangular pode produzir uma seção na qual o escoamento é crítico seção de controle desde que a largura contraída seja menor ou igual à largura limite este fato é utilizado para im plantar em canais medidores de vazão genericamente chamados de medidores de regime crítico Entre estes medidores destacam a calha Parshall utilizada em medições de vazão em estações de tratamento de água e es goto e a calha venturi utilizada em sistemas de irrigação Tais estruturas de medição têm convencionalmente uma entrada suavemente afunilada uma seção contraída garganta de paredes paralelas um trecho divergente e em geral fundo plano conforme Figura 1012c A contração lateral produz uma variação da velocidade e da profundidade ao longo da calha que podem ser relacionadas para a determinação da vazão Duas si tuações de escoamento podem ocorrer com diferentes linhas dágua Se as condições são tais que o escoamento permanece fluvial em toda a calha sem atingir a altura crítica Figura 1012a a estrutura é chamada calha venturi e tem característi cas análogas aos medidores venturi usados em tubulações v12g linha de energia 1v1 212g 1 L jH fr tV22gcc Estas estruturas são robustas e permitem a passagem da vazão de modo fácil dificultando que os materiais flutuantes ou em suspensão provoquem alterações ou se depositem exigindo uma limitada proteção contra a erosão Nesta condição a vazão escoada pode ser determinada pela aplicação da equação da energia específica entre as seções 1 a montante e a seção 2 na garganta na forma da qual vem Y1 Y1 a Calha ven111ri v22g 1 l linha de energia 1 2 J J g Yc 2g 11 b Calha de onda estacionária 1 1 argan 1 1 1 1 1 1 b1 i l b2 1 e Planta 1 1 1 1 1 Figura 1012 Calha medidora de vazão Por que no escoamento torrencial as pequenas perturbações só se propa gam para jusante Para levar em conta a não uniformidade na distribuição de velocidade e a pequena perda de carga na transição a equação anterior é multiplicada por um coeficiente de vazão Cd com valor em tomo de 097 ficando 1031 Se o escoamento é fluvial em toda a calha se diz que ela está operan do afogada e muitas vezes esta situação é inevitável por condicionamento de jusante ou vazão alta Esta condição de funcionamento necessita para o cál culo da vazão de duas medidas de alturas dágua y1 e y2 de valores próximos e com o inconveniente que a superfície dágua na garganta tende a ser instá vel Para que a calha se constitua em uma estrutura de medição convenien te e mais eficaz é necessário estabelecer uma seção de controle isto é uma relação direta entre a vazão e uma única altura dágua Isto é possível se o grau de contração na largura e as condições do escoamento são tais que a superfí cie livre passe pela altura crítica na garganta conforme a Figura 1012b Neste caso após a seção crítica o escoamento é t01Tencial com a formação de um res salto hidráulico na saída da garganta retornando ao regime fluvial a jusante da transição Esta é a forma de funcionamento para a qual nonnalmente se proje ta uma calha medidora e o modo de operação é dito calha de onda estacioná ria A relação entre a vazão veiculada e a altura dágua no regime fluvial Y1 que se pode medir com boa precisão é determinada como anterio1mente pela apli cação da equação da energia Desprezando as perdas de carga entre as seções 1 e 2 e para o mesmo nível de fundo podese escrever Se a velocidade de aproximação é baixa a carga cinética pode ser con siderada desprezível E1 y1 o que simplifica a equação anterior e permite de terminar a vazão com uma precisão bem razoável na forma 1032 Cap 1 o Energia ou Carga Esopecífica 3o5 Assim medindose a altura dágua imediatamente a montante da seção contraída de largura b2 em uma região em que o escoamento é paralelo e portanto a distribuição de pressão é hidrostática para validade da Equação J 02 a vazão pode ser calculada pela Equação 1032 EXEMPLO 103 Um canal retangular com 30 m de largura rugosidade n 0014 e declividade de fundo lo 00008 mim transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de 60 m3s Em uma determinada seção a largura é re duzida suavemente para 240 m assim qual a altura dágua nesta seção Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento seja crítico sem alteração das condições do escoamento a montante Despreze as perdas na transição A altura dágua no regime uniforme que será a altura dágua imedia tamente antes da constrição pode ser detetminada pela Tabela 83 como se gue nQ 001460 Yo K2 813 11 811 0158 Tabela 83 b 1 10 3 00008 b 042 y0 l26m O número de Froude do escoamento a montante da transição vale V 6030126 J gy 0 J98126 045 escoamento fluvial Pela conservação da energia específica entre uma seção do canal e a seção contraída temse 2 2 E Y1 ql Y2 51 2gy 2gy 126 2º 2 139 m 1961262 I 2 502 y 2 19 6y22 Em um medidor de vazão em regime crítico sempre ocorre um ressalto hidráulico a jusante B Hdálica Básca Cap 10 A altura crítica na seção 2 vale 9L 250 O 86 m 2 Jl3 2 Jl3 Yc2 9 8 g portanto a mínima energia necessária nesta seção para que o escoamento ocor ra sem alterar as condições de montante vale 3 3 Ec2 2 Yc2 2 086 129m E1 139m assim o escoamento na seção 2 continuará fluvial A Equação I pode ser resolvida por tentativa e e1rn observando que a raiz que satisfaz a condição física do problema é aquela correspondente ao escoamento fluvial ou utilizando o gráfico da Figura 106 com Na Figura 106 para E2 161 Y2 135 y2 116m Y c2 Y c2 Logo houve um abaixamento da linha dágua na seção 2 de 010 m A largura limite da seção 2 para que o escoamento a montante não seja alterado corresponde à condição E1 l 39 m Ec2 Assim E 02 Yc2 139 m Yc2 093 m qc2 qc2 28Im3sm 3 2 1 3 2 g Como por continuidade Q 60 m3s q1 b1 qc2 bc2 bc2 214 m Observe que se a largura for contraída a menos de 214 m a energia inicial E 1 139 m não será suficiente e o escoamento a montante será alte rado pelo estabelecimento de uma curva de remanso elevando o nível dágua até que a energia na seção 1 seja suficiente Neste caso o escoamento na se ção 1 com mais razão será fluvial passando a crítico na seção contraída e na seqüência a torrencial voltando a fluvial após a transição pois o canal é de fraca declividade y0 Ycl depois de um ressalto Cap 10 1072 ELEVAÇÃO NO NÍVEL DE FUNDO Considere como na Figura 1013b um canal retangular de largura cons tante portanto com vazão unitária q constante no qual em uma determinada seção há uma elevação no fundo de altura tiZ Desprezando as perdas de car ga a equação da conservação da energia entre as seções 1 e 2 é esc1ita como 1033 Deve ser observado que a energia específica E é sempre medida na se ção em relação ao fundo do canal Como no caso da transição devida a uma redução na largura serão analisadas duas condições iniciais na seção de mon tante seção 1 Considerando o escoamento na seção I fluvial na Figura 1013a a al tura dágua compatível com a energia disponível E1 vale Y1 ponto A A altura dágua y2 na seção 2 émenor que Y1 e maior que Yc e conesponde ao ponto B pois Ei E1 tiz Considerando o escoamento na seção 1 torrencial na Figura J 013a a altura d água compatível com a energia disponível E1 vale y 1 ponto A A altura dágua na seção 2 é maior que yi e menor que Yc e corresponde ao ponto B Portanto a altura dágua decresce se o escoamento for fluvial e cresce se for torrencial sem haver em cada caso mudança de regime Se a altura 6Z na seção 2 for aumentada ainda mais até que a reta E2 tangencie a curva da energia específica desenhada para a vazão q cte JZ 6Zc e fü Ec a altura dágua nesta seção será a altura crítica independente do tipo de escoamento na seção I ser fluvial A C ou torrencial A C Tratase portanto de uma situação limite na qual a energia disponível em 2 ainda é suficiente para veicular a vazão Aumentandose ainda mais o nível do fundo em 2 conforme a Figura 1013a a reta E2 estará à esquerda da reta Ec e não cortará a curva da energia desenhada para q cte portanto não há solução matemática para o problema físico nas condições iniciais de montante Supon do que o escoamento em I seja fluvial as perturbações originadas pela tran sição propagarseão para montante e a altura dágua deverá ajustarse por si mesma até que condições críticas sejam produzidas na seção 2 seção de con trole Em outras palavras haverá alterações nas condições de montante pelo aparecimento de uma curva de remanso com a altura dágua na seção I aumen tada para o valor y1 ponto A até atingir uma energia Et Ec tz neces sária para veicular a vazão unitária q condizente com a altura de fundo da seção 2 JZ 6Zc Nesta situação o escoamento passará de fluvial a montante da transição para crítico na transição e na seqüência para torrencial re tornando ao escoamento fluvial através de um ressalto hidráulico se a jusante o canal for de fraca declividade Desta forma a condição limite de elevação de Eaegia º Caga Especifica B Imagine um escoamento fluvial em um canal retangular no qual em uma determinada seção a largura é diminui da Há possibilidade de ocorrer escoa mente crítico na seção contraída sem alterar as condições do escoamento a montante desta seção B srua Cap 10 Figura 1013a l 1 2 Figura 1013b fundo na seção 2 para que o escoa mento se processe sem que sejam al teradas as condições de montante é que o escoamento na seção 2 seja crítico e não haja elevação da linha de energia a montante Se o escoamento na seção for torrencial e 1Z óZ haverá a formação de um ressalto hidráulico a montante da transição e a perda de energia que ocorre no ressalto torna impossível analisar o problema usando somente o diagrama de ener gia específica y x E 10721 VERTEDOR RETANGULAR DE PAREDE ESPESSA Do mesmo modo que a redução na largura de um canal retangular pode ser usada como um medidor de vazão tipo calha venturi uma elevação do fundo em um trecho curto pode ser utilizada com a mesma finalidade ºJ A Figura 1014 mostra um medidor de vazão denominado vertedor retangular de parede espessa que consiste basicamente em uma elevação do fundo do canal suficientemente grande para que as condições do escoamento a montante sejam alteradas com a elevação do nível dágua 1Z f1Zc Isto como foi visto anteriormente pro duz em cima do degrau o escoamento crítico e pe1mite pela aplica ção da equação da energia determinar a vazão Tal vertedor deve ter uma soleira suficientemente longa para estabelecer em algum ponto 1 2 Figura 1014 Vertedor retangular de parede espessa dela o paralelismo dos filetes distribuição hidrostática mas não exa geradamente longa para não produzir uma perda de carga por atrito Qual a diferença básica entre uma calha venturi e uma calha de onda estacionária que não satisfaça as hipóteses admitidas O escoamento a jusante que será em um certo trecho torrencial deve ser livre não afogado e o bordo de ataque do vertedor arredondado para não haver turbulência e descolamento da lâmina Maiores detalhes deste tipo de vertedor serão vistos no Capítulo 12 Aplicando a equação da energia entre a seção 1 na qual a distribuição de pressão é hidrostática e a seção 2 de um canal retangular de largura b para um referencial passando em cima da soleira do vertedor e desprezando a carga cinética de aproximação fica Cap 10 Eog oo Cacga Especmca El h E Iy Il3 IQb213 e 2c 2g 2 g Equação que desenvolvida se torna Q l704bh 312 1034 Na Equação 1034 h é chamado de carga sobre a soleira e como as perdas de carga foram desprezadas a vazão é dita vazão teórica Observe que a Equação 1034 é da mesma forma que a Equação 1032 estabelecida para o escoamento em uma calha indicando que os dois fenômenos são essencial mente semelhantes EXEMPLO 104 Em um canal retangular de 5 m de largura escoa em regime permanente e uniforme uma vazão de 16 m3s com uma declividade de fundo 10 1 mkm e coeficiente de rugosidade n 0021 Em uma determinada seção um degrau de 020 m de altura é construído no fundo do canal e nesta mesma seção a largura é reduzida para 4 m Desprezando as perdas de carga verifique se a transição afetou as con dições a montante e determine a altura dágua na seção Se as condições do escoamento a montante não foram afetadas qual deverá ser a máxima altura do degrau sem que isto ocorra Tratase de uma aplicação em que há sobre o escoamento os dois efei tos redução na largura e elevação do fundo Evidentemente o problema pode ser tratado de modo individualizado e o efeito total será a sobreposição dos dois A altura d água no escoamento uniforme a montante da transição pode ser determinada pela Tabela 83 como segue nQ 002116 Yo K2 813 1T 813 IAN1 0145 Tabela 83 0395 b v 10 5 v0001 b y O 198 m O número de Fraude é a relação entre quais tipos de forças A energia disponível antes da transição vale q 16 52 E1y1 2 198 2 2113m 2gy 196198 A altura crítica antes da transição vale 2 J l 3 16 5 2 1 3 Yc1 q 98 1015m y1 Yo 198m escoamento fluvial Na seção 2 transição a mínima energia específica necessária para vei cular a vazão é dada por E i i q 2 i l 6 4 1766m 13 2 13 c2 2 Y c2 2 g 2 98 Para um referencial passando no fundo do canal a mínima energia na seção 2 será Emín2 iZ Ec2 020 1766 1966 m Como na seção 1 a energia disponível vale E1 2113 m Emín2 as condições a montante não serão alteradas e o escoamento na seção contraída continuará a ser fluvial A conservação da energia entre as seções 1 e 2 permite determinar a altura dágua na transição 2 EI E2 liZ 2113 Y2 020 2gy2 E 1913 1 6 4 2 Y2 196 2 Y2 Como a altura d água crítica na seção 2 vale Yc2 1177 m a raiz da equação precedente no regime fluvial é dada pela Figura 106 Na Figura 106 para E 2 1913 y 2 163 135 y 2 159m Y c2 l177 Y c2 A condição limite para não alterar as condições a montante é que Y2 Yc2 e E2 Ec2 Cap 10 Eoeglao Cag Específica B Portanto E1 Ec2 õZc 2113 1766 tZc Zc 035 m 108 OCORRÊNCIA DA PROFUNDIDADE CRÍTICA Na seção 107 foi mostrado que uma transição no canal seja por elevação no fundo ou redução na largura pode gerar o escoamento crítico e alterar o tipo de es coamento desde que provoque a elevação da linha dágua a montante A mudança do regime de subcrítico para supercrítico ou viceversa é feita com a passagem do escoamento por condições críticas No primeiro caso a mudança se dá de maneira gradual e a posição da altura crítica pode ser estabelecida com alguma facilidade No segundo caso devido à presença do ressalto hidráulico isto é difícil A questão a ser colocada é onde ocorre a profundidade crítica na tran sição gradual do escoamento fluvial para torrencial Um desenvolvimento ma temático pode ser feito para analisar as condições entre a vazão a energia disponível e a geometria que promovam a ocorrência da altura crítica Duas situações serão analisadas em um canal retangular na ausência de perdas de carga e as conclusões podem ser estendidas para outras geometrias O primei ro caso corresponde à alimentação de um longo canal retangular de largura b com uma certa declividade de fundo por um reservatório mantido em nível constante e o segundo a um canal retangular e horizontal de largura uniforme mente variada como na calha venturi A Figura 1015a ilustra a ocorrência da profundidade crítica na entrada de um canal de forte declividade 10 Ic e a Figura 1015b a ocor rência da profundidade crítica nas proximidades da saída queda brusca em um canal de fraca declividade I0 lc Supondo desprezí Lago H y Lago z Figura 10lSa Forte declividade veis a perda de carga na passagem do reservatório para o canal e a carga cinética de aproximação o que significa dizer que a energia disponível é somen te a energia potencial H o primeiro caso pode ser tratado matematicamente com H e q constantes na forma 2 H Z y q Z E 2gy2 1035 Diferenciando esta equação com relação a x distância medida ao longo do canal vem Uma galeria de águas pluviais circular trabalha a meia seção em regimo permanente e uniforme com declividade de fundo 10 00033 rnm e coeficiente de rugosidade n 0013 Mostre que o número de Froude do escoamento é dado por FraR 1 em que R é o raio do círculo Figura 10lSb Fraca declividade dH dZ dE O ou dE dy dZ O dx dx dx dy dx dx Utilizando a Equação 101 O fica dy 1 Fr2 dZ O dx dx 1036 Esta equação demonstra as particularidades descritas na seção sobre tran sições Seção 1072 com o uso da curva y x q Por exemplo se o escoamento for subcrítico Fr 1 e ocorrer uma elevação do fundo do canal dZdx O a Equação 1036 mostra que necessariamente dydx O isto é ocorrerá um abaixamento da linha dágua sobre o degrau O contrário ocorre se o escoa mento for supercrítico Em relação ao canal de forte declividade alimentado pelo reservatório com uma transição feita por uma crista de curta distância trecho horizontal temse dZdx O e como dydx O pois a água está sendo acelerada para este ponto a Equação 1036 mostra que necessariamente Fr 1 Isto é o escoa mento na entrada do canal ponto mais alto da crista é crítico e a vazão uni tária dada pela Equação 1018 é a máxima compatível com a energia específica disponível H E que é a diferença de cotas entre o nível dágua no reservatório em uma região não perturbada pela transição e a cota de fundo do canal na seção de entrada Esta característica é válida em situações análo gas para seções diferentes da retangular como será tratado posteriormente Após o escoamento passar pela altura crítica na entrada do canal continua a ser acelerado atingindo o regime uniforme torrencial seção 1 que perdura até a extremidade final na queda brusca seção 3 uma vez que o escoamento tor rencial ignora a presença da queda a jusante Para o canal de fraca declividade temse na seção 1 suficientemente afastada da entrada o regime uniforme fluvial Como este regime é controla do por jusante o escoamento uniforme ocone na seção de entrada seção 2 A vazão escoada pode ser determinada compatibilizandose as equações de re sistência e da energia específica respectivamente Estas equações permitem determinar o par de valores Q e Yo que satis fazem o problema Cap 10 Como o escoamento uniforme é fluvial comandado por jusante e na saída do canal seção 3 não existe condicionamentos que possam refletir para montante nesta seção o escoamento vai ocorrer com a mínima energia espe cífica ou seja em regime crítico Na verdade devido ao efeito da curvatura das linhas de corrente no final do canal a altura crítica não ocorrerá exatamen te na seção 3 no bordo da queda Segundo Rouse 48 para um canal horizon tal ou de fraca declividade e seção retangular a altura crítica Yc ocorre a uma distância a montante da queda da ordem de 3 a 4yc e a altura dágua no bordo da queda medida verticalmente é aproximadamente dada por Yb 0715 Yc Portanto uma queda vertical em um canal retangular de declividade fraca pode ser usada como uma estrutura de medição de vazão em que não se exija grande precisão medindose a altura d água no bordo da queda calcu landose a altura crítica e a vazão unitária pela Equação 1011 Neste problema de um reservatório alimentando um canal em princípio não se sabe se o canal é de declividade forte ou fraca pois não se conhece a vazão escoada Assim inicialmente podese levantar a hipótese de que a de clividade é forte detetminase a vazão pela Equação 1018 se a seção doca nal for retangular e daí a altura crítica Yc e a altura normal y0 pela fórmula de Manning e verificase que a hipótese é verdadeira se Yo Yc caso contrário a declividade é fraca ver Exemplo 132 Todas estas propriedades e caracte rísticas são válidas para outras seções que não a retangular No caso de um canal retangular e horizontal com largura variável isto é b bx a energia específica em uma dada seção vale E y Q 2 2gy bx2 1037 Diferenciando a equação em relação a x na ausência de perdas fica dE dy Q 2 1 O dx dx 2g dx y bx2 Desenvolvendo a derivada observando que tanto b quanto y são funções de x chegase a dy dx Q2 dy gybx2 dx Q 2 dbx O g y2 bx3 dx Eoeg Cmga Espedfica B Pela Equação 74 o número de Froude para uma seção qualquer é dado por Fr2 y2 Q2 gHm gy3 bx2 Deste modo a expressão anterior pode ser posta na forma dy 1 Fr2 Fr2 Y d bx O dx bx dx 1038 Pela equação precedente quando o escoamento for crítico portanto Fr 1 necessariamente devese ter dbxdx O isto é ocorrerá escoamento crítico na seção de mínima largura Derivandose a Equação 1038 podese mostrar que o regime crítico não ocorre na seção de máxima largura e sim na de mínima pois a derivada segunda é positiva 109 CANAIS DE FORMA QUALQUER As propriedades e características desenvolvidas na análise dos escoa mentos na seção retangular podem ser generalizadas para canais de forma qualquer trapezoidal circular triangular parabólica etc e observando que para seções irregulares seguindo a definição de energia específica o re ferencial deve passar no ponto mais baixo da seção e a distribuição hidrostática de pressão deve ser preservada Pela Equação 103 para a 1 a equação da energia específica em uma determinada seção é dada por Ey 2gA 1039 Para Q cte a condição de escoamento crítico é obtida como antes diferenciando a equação anterior em relação à altura dágua y dE dy Q 2 dA 1 gA3 dy 1040 A variação da área molhada A com a altura y pode ser obtida utilizan dose a notação da Figura 1 O 1 6 Cap 10 Eoecga º Cacga Espadfica B Sendo B a largura da seção na superfície livre temse dA B Bdy e assim dE dy 1041 y A Observe que a Equação 1041 é a correspondente da Equa ção 107 para a seção retangular e que aquela passa a ser um caso particular desta Figura 1016 Canal de forma qualquer Nas condições de regime crítico dEdy O portanto 1042 equação importante cuja raiz é a profundidade crítica para a seção em questão A relação NB foi definida como altura hidráulica ou altura média da seção e desta forma a expressão do número de Froude pode ser generaliza da em termos da vazão na forma 1043 Todas as conclusões relativas à ocorrência do escoamento crítico em ca nais retangulares são igualmente válidas em canais de fo1ma qualquer desde que o escoamento se processe dentro da calha sem extravasar para fora da seção Combinandose as Equações 1039 e 1042 podese estabelecer a rela ção entre a energia mínima Ec em um canal de forma qualquer e a geometria do escoamento Na condição de regime crítico da Equação I 042 vem A C H B me e que substituída em 1039 fica H y2 E y ou E y e e e 2 e e 2g 1044 Em uma visita a um distrito de Irriga ção você encontrou um canal retangu lar relativamente liso e de baixa declividade com largura de 080 m descarregando livremente em um pequeno reservatório situado em cota mais baixa que o fundo do canal Como você procederia para estimar a vazão transportada contando somente com uma régua graduada Usando a fórmula de Chézy mostre que a declividade crítica de um canal retangular bem largo é dada por 1 gC equação geral que torna a Equação l 012 um caso particular e mostra que a carga cinética no regime crítico é metade da altura hidráulica da seção EXEMPLO 105 Um canal circular de raio R escoa uma determinada vazão com uma altura dágua correspondente à meia seção e o regime é crítico Determine a relação y clEc Na condição da lâmina dágua Yc R Ac rr y 2 e Bc 2yc e pela Equação 1044 temse H rr 2 rr E y y Yc y 1 e e 2 e 4 2y e e 8 101 O PROBLEMAS TÍPICOS L 0718 Ec A determinação dos parâmetros do escoamento crítico vazão altura dágua energia mínima largura de fundo etc é facilmente alcançada quando a seção é retangular Para as seções trapezoidal e circular a complexidade geo métrica torna mais difícil tal determinação e desta forma é necessário desen volver gráficos para facilitar o cálculo em vários tipos de problemas Os gráficos apresentados a seguir são a representação de expressões adimensionais desenvolvidas no trabalho de Porto e Arcaro 40 para a análi se do escoamento crítico em canais trapezoidais sem necessidade de proces sos de tentativa e erro a Problema 1 Dete1minação da altura crítica em um canal trapezoidal conhecendose a vazão Q a largura de fundo b e a inclinação do talude Z e em um canal circular conhecendose a vazão Q e o diâmetro D A solução deste problema é a raiz da equação geral do escoamento crí tico Equação 1042 que foi adimensionalizada e posta em forma gráfica a partir dos adimensionais jb e tQZ z Zyc gbs A Figura 1017 apresenta o gráfico da função j f e Cap 10 De modo análogo a Equação 1042 foi adimensionalizada para a seção circular utilizandose as expressões geométricas dadas pelas Equações 840 844 e 845 e colocada em gráfico como na Figura 1018 10 01 001 01 Figura 1017 Altura crítica em canais trapezoidais YcD 1 09 08 07 06 05 04 03 02 O 1 o 001 i V 01 Figura 1018 Altura crítica cm canais circulares 1 r1 r 10 I 1 1 10 QID52 Eoecgia ou Cmga Espedf B B Hidálica Básica Cap 10 Em um canal de forma geométrica qualquer no regime crítico mostre que a altura hidráulica relacionase com a vazão e a largura na superfície livre na forma b Problema 2 Determinação da altura crítica em um canal trapezoidal conhecendose a vazão Q a energia mínima Ec e a inclinação do talude Z Partindose da Equação 1044 e das relações geométricas da seção trapezoidal foi gerada uma expressão adimensional em função de dois pa râmetros Q A Figura 1019 apresenta o gráfico da função µ f cr e Problema 3 Em muitos problemas práticos como por exemplo a alimentação de um canal de forte declividade por um reservatório Seção 108 um dado ini cial importante é a energia específica mínima Ec que na ausência de perdas na entrada do canal e negligenciando a carga cinética de aproximação é igual à diferença de cotas entre o nível dágua no reservatório e o fundo do canal na seção de entrada Determinação da vazão de alimentação Q de um reservató 080 079 078 077 076 075 UJ 074 073 072 071 070 069 068 067 066 01 li Figura 1019 Resolução do Problema 2 i L 10 cr Q 22J2gE Cap 10 rio para um canal trapezoidal de forte declividade de largura de fundo b e inclinação do talude Z dada a energia mínima Ec Foi desenvolvida uma expressão que toma explícita e imediata a deter minação da vazão como uma função de dois adimensionais e I Z Ec b A Figura 1020 apresenta o gráfico da função cr f j No caso de um canal circular de diâmetro D conhecendose Ec a vazão em condições críticas pode ser calculada por um processo de tentativas ado tando valores para Yc usando a Equação 1044 com o auxílio da Tabela 84 e relações geométricas do círculo Com o valor de Yc que satisfaz a Equação 1044 determinase Q no gráfico da Figura 1018 De modo mais prático podese utilizar as Equações 1045 e 1046 adap tadas de Henderson 28 D60 l503E 9 para O i 08 1045 g 1 378 E 15 para O 8 s 1 2 D e D 1046 d Problema 4 Henderson 28 apresenta como um problema importante a determina ção da largura de fundo b de um canal trapezoidal dados Q Yc e Z e indica que este problema só pode ser resolvido por tentativas Porto e Arcaro 40 desenvolveram expressões adimensionais que tomam explícita e imediata a determinação da largura de fundo em termos dos adimensionais À Q Z gyc5 b e jf Zyc A Figura 1020 apresenta o gráfico da função  f jf Eoocgia oo Caga Especifira B Qual a vazão através de uma galeria de águas pluviais de 10 m de diâme tro trabalhando a meia seção se o escoamento for crítico EI Hidffiolica Básica Cap 10 10 CI 1 af j lr N N li t o oi li e 0 1 001 0 1 J r I 1 V V t 1 i t r I b Z yc r Z Ec ou Y b 10 Figura 1020 Resolução dos Problemas 3 e 4 EXEMPLO 106 Em um projeto de drenagem urbana precisase verificar se o gabarito de uma ponte existente sobre um canal permite a passagem da vazão de projeto sem provocar remanso a sua montante O canal trapezoidal projetado para uma vazão de 16 m3s tem declividade de fundo l 0 0001 mim e coeficiente de rugosidade n 0030 largura de fundo b 40 m e taludes 15H 10V A seção da ponte tem como gabarito retangular largura de 450 m e altura útil de 280 m As cotas de fundo do canal e da seção da ponte são iguais Vetifique se a seção da ponte é suficiente para passar a vazão de projeto sem alterar a linha dágua a sua montante remanso Calcule a altura dágua na seção da ponte Se a seção da ponte não for suficiente determine a altura dágua imediatamente antes da ponte Despreze as perdas de carga na transição das seções trapezoidal para retangular Cálculo da altura dágua normal e da energia disponível antes da ponte nQ 003016 Yo K2 8J 1T 813 0376 Tabela 83 0485 b 1 I0 40 10001 b y 0 194m 2 40 2 2 A m Zy 0 15194 1341 m 194 Q 16 V 119 ms A 1341 V 2 1192 E y 194 201 m º 0 2g 196 Cap 10 Para não ocorrer remanso a montante da ponte a energia disponível antes deve ser maior ou no máximo igual à mínima energia necessária para passar a vazão de 16 m3s na seção retangular do gabarito da ponte Na seção da ponte a vazão unitária e a energia crítica valem q356m3smyc Q 16 2 13 356213 b1 45 g 98 109 m 3 Ec yc 164m 2 Portanto a energia disponível antes da ponte E0 201 m é maior do que a mínima energia na seção da ponte logo não haverá alteração no nível dágua a montante e pela equação da energia entre as seções O e 1 a altura dágua na seção da ponte vale y 1 182 m fluvial EXEMPLO 107 Um reservatório de grandes dimensões alimenta um canal trapezoidal de declividade de fundo 10 0009 mim e coeficiente de rugosidade n 0018 Sendo a largura de fundo do canal igual a 30 m a inclinação dos taludes 2H l V e sabendo que o fundo do canal na seção de entrada está 15 m abai xo do nível dágua no reservatório detennine a vazão descarregada Despre ze as perdas na transição Se por hipótese a declividade do canal for forte lo Ic a profundidade na entrada do canal será crítica e como a perda de carga na transição é despre zível temse H 15 m EcPara Ec 15 m b 30 me Z 2 o adimensional 1 vale Eoecg oo Cacga Especica B Cap 10 ZEC 215 1 b 3 e na Figura 1020 O 033 Q 22J 196 155 e daí Q 16 10 m3s Verificação da hipótese do canal ser de forte declividade Se a declividade do canal for forte a altura dágua normal Yo regime uniforme é menor que a altura crítica YcNa Figura 1019 para O 033 vem µ 074 Yc 11 lm Ec A altura normal é deterrrunada na Tabela 83 K nQ 0018 1610 O 163 12 O 295 2 b813 A 3813 J 0009 b Y0 089 m Yc 111 m Logo a hipótese foi verificada o escoamento uniforme é torrencial e a vazão descarregada é a calculada EXEMPLO 108 Uma galeria de águas pluviais de 10 m de diâmetro escoa uma deter minada vazão em regime uniforme funcionando na seção de máxima veloci dade Qual deve ser a declividade de fundo para que este escoamento seja crítico Deterrrune a capacidade de vazão da galeria nestas condições Adote n 0014 A seção de máxima velocidade em um canal circular corresponde a uma lâmina dágua relativa yrD 081 veja a Seção 87 1 Para Yo Yc 081 D na Figura 1018 tirase g e 2 Q2 O m3s 0 s2 Pela Equação 847 D M e na Tabela 81 para K1 Yo Yc O 81 temse K1 0643 Pela Equação 847 D M F r 0643 OOF2º r I 00083 mim EXEMPLO 109 Cap 10 Pelo canal trapezoidal mostrado na Figura 1021 escoa uma vazão de 35 m3s em regime permanente e uniforme com altura dágua y0 10 m Em urna determinada seção existe um degrau no fundo de cantos arredondados como na figura Desprezando as perdas qual deve ser a altura tZ do degrau para que o escoamento sobre ele seja crítico sem contudo haver al teração da linha dágua no escoamento a sua montante Cálculo da energia disponível a montante do de grau e do tipo de escoamento s1z 1 lOm 1 A m Zy02 1010 15 12 25 m2 Figura 1021 Exemplo 109 Q 2 352 E0 Yo 2 10 2 10m 2gA 196 25 Para Q 35 m3s b 10 m e Z 15 o adimensional t da Figura 1017 vale Cap 10 t ZQ z5 1535 15 2 05 g b 98 105 e daí lf 09 11 5 Yc portanto Yc 074 m logo Yo 10 m Yc 074 m regime fluvial a montante do degrau e haverá abaixamento da linha dágua em cima do degrau A equação da energia entre a seção de montante e a seção do degrau permite escrever na condição limite de escoamento crítico sobre o degrau a relação ver Equação 1044 H Eo Zc Ec2 110 Zc Yc2 lf1 2 Como na seção do degrau a largura de fundo depende do valor de já que b2 10 2ZóZc 10 3 Zc o problema pode ser resolvido por um processo de tentativas adotandose valores para tZc com auxílio do gráfico da Figura 1020 Para cada valor de Zc determinase Ec2 pela equação ante rior e com o valor de b2 calculase o adimensional cr daí o adimensional j na Figura 1020 e finalmente Ec2 Quando os valores da energia mínima fo rem iguais ou bem próximos o processo convergiu ÁZcm bzm EcZm j Eam 020 160 090 034 090 096 025 175 085 0395 075 0875 026 178 084 0407 070 083 Portanto tZc 026 m EXEMPLO 1010 Água é descarregada de um lago com nível dágua constante na eleva ção 330 m em relação a uma RN em um canal de forte declividade e de seção reta irregular conforme Figura 1022 Na saída do lago a seção reta do canal é dada pela tabela abaixo relacionando largura do canal à elevação do nível dágua O ponto mais baixo da seção reta do canal está na elevação 300 m Determine a vazão descarregada e trace a curva da altura d água no canal contra a vazão Despreze a perda de carga na entrada do canal Elevação m 300 303 306 309 312 315 318 32 1 324 327 Largura m 00 30 50 60 70 85 97 IOl I J J 123 Cap 10 Como a seção reta na entrada do canal é irregular não há uma relação explícita para a profundidade crítica que se estabelece na entrada do canal Assim o problema pode ser resolvido via planilha eletrônica observando que na ausência de perdas a relação vazão altura dágua correspondente à Equa ção 106 é dada por em que Eo é a energia disponível carga sobre a soleira na entrada do canal e igual a 30 m Como y e conseqüentemente A são variáveis discretizase a altura y a cada 03 m e montase a planilha EXEMI010XLS ver diretório Canais mostrada a seguir Na planilha as áreas foram discretizadas em trapézios de altura igual a 030 m e em cada estágio calculada como 1 A 2 B Bi1 03 A1 em que B é a largura da seção Planilha de cálculo do Exemplo 1010 Elevação Bm ym E o Y m V2gEy05 Am2 Q m3s 30 o o o 000 o 000 303 3 03 27 727 045 327 306 5 06 24 686 165 1132 309 6 09 2 1 642 33 21 17 312 7 12 18 594 525 31 18 315 85 15 15 542 7575 4107 318 97 18 12 4 85 10305 4998 32 1 101 2 1 09 420 13275 5576 324 11 1 24 06 343 16455 5643 327 123 27 03 242 19965 4841 000 o 327 03 1 1 1132 06 21 17 09 3118 12 4107 15 4998 18 1 5576 21 º 1 1 5643 24 o 10 20 30 40 50 60 4841 27 Qmis Como o canal é de forte declividade a vazão será a máxima compatí vel com a energia disponível e vale pela planilha 5643 m3s Observe o formato do gráfico y fQ na planilha de cálculo e com pare com o gráfico da Figura 102 Eoog º Caga Espedfica B Figura 1022 Exemplo I 01 O Observe a Figura 104 Considere um canal trapezoidal de 40 m de largura de fundo e inclinação dos taludes 1H1V Você acha que para esta seção o lugar geométrico dos pontos de mínima energia é uma reta Se for uma reta ela terá coeficiente angular maior ou menor que 23 B HldállcaB51ca Cap10 EXEMPLO 1011 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 150 m altura d água 150 me inclinação dos taludes lHlV transporta uma vazão de 55 m3s Em uma determinada seção existe uma transição passando para uma seção circular com o mesmo nível de fundo da seção trapezoidal Para evitar a deposição de sedimentos desejase estabelecer um escoamento tão rápido quanto possível na seção circular sem contudo afetar as condições do escoa mento a montante Desprezando as perdas determine o diâmetro necessário à seção circular Energia disponível e tipo de escoamento no canal trapezoidal Q2 552 E1Y1 2 A 2 15 2 l576m g 1 19645 Para Q 55 m3s b 15 me Z 1 o adimensional t vale 1 ZQJ z 55 1 064 gb5 V Na Figura 1017 Jf 17 2 Yc 088m y1 15m fluvial Yc Para não haver alteração do escoamento a montante e o fluxo ser o mais rápido possível devese ter E1 E2 Ec 1576 m pois o nível de fundo é o mesmo nas duas seções Supondo que EcD 08 a Equação 1045 fornece Q 5 1 9 55 19 D 1 03Ec 060 15031576 D 206 m D e Ec 1576 O 77 O 8 ld orno a supos1çao e va 1 a D 206 cap 1o Eneragiaouc argaE2specílicai 327 1011 PROBLEMAS 101 Uma galeria de água pluviais de 10 m de diâmetro n 0013 de clividade de fundo lo 0007 mim transporta em regime uniforme uma vazão de 085 m3s Determine a a altura dágua b a tensão de cisalhamento média no fundo c o tipo de escoamento fluvial ou torrencial d a declividade de fundo para que com a mesma vazão o escoamen to uniforme seja crítico a y0 0455 m b to 1612 Nm2 c Torrencial d 10 00041 mim 102 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 20 m taludes 3H1V n 0018 e 10 00003 mim escoa uma determinada vazão de modo que em relação a uma galeria circular sua área molhada é 25 vezes maior que a da galeria a largura na superfície livre 3 vezes maior e os números de Froude dos dois escoamentos são iguais Sendo a vazão transportada pela galeria igual a 12 m3s determine a vazão transportada pelo canal e o tipo de escoamento Q 274 m3s fluvial 103 A água está escoando com uma velocidade média de 10 mls e altura dágua de 10 m em um canal retangular de 20 m de largura Determine a nova altura dágua produzida por a uma contração suave para uma largura de 17 m e b uma expansão suave para uma largura de 23 m c Calcule também a maior contração admissível na largura para não alterar as condições do escoamento a montante a y2 097 m b y2 101 m c bc 109 m 104 Um canal trapezoidal com altura dágua de 105 m deve transportar em regime uniforme 1670 m3s de água sobre uma distância de 5 km A inclina ção dos taludes é de 2H 1 V e a diferença total de nível dágua nos 5 km é de 850 m Qual deve ser a largura de fundo do canal para que este escoamento se faça à velocidade crítica Qual é o coeficiente de rugosidade de Manning correspondente b 369 m n 0012 Cap 10 10S Seja um canal retangular com largura igual a 10 m no qual há em uma determinada seção uma mudança de declividade de fundo e o coeficiente de rugosidade de Manning vale 0010 As profundidades normais do escoamen to a montante e a jusante do ponto de mudança de declividade valem respec tivamente 040 m e 020 m A declividade de fundo a montante da seção de mudança vale lo 0005 mim Determine a Há mudança do tipo de escoamento nos dois trechos Justifique b A partir de qual vazão há uma mudança do tipo de escoamento a Não b Qmín 475 m3s 106 Em um canal trapezoidal de largura de fundo igual a 30 m taludes IHlV n 0014 Q 20 m3s regime uniforme e 10 0020 mim determi ne a altura crítica velocidade crítica energia específica crítica declividade crí tica e classifique o tipo de escoamento utilizando três critérios distintos Yc 140 m Vc 323 ms Ec 194 m lc 00024 mim torrencial 107 Em um canal cuja seção reta é parabólica dada pela Equação Y K X2 em que K é uma constante mostre que a relação entre a altura crítica e a ener gia mínima é dada por Yc 075 Ec 108 No projeto de um canal trapezoidal em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares fixouse o seguinte a velocidade média do escoamento V 080 mls b número de Froude do escoamento Fr 035 c altura dágua y0 080 m d taludes 2H 1 V e declividade de fundo 10 0001 mim Determine a largura de fundo e a vazão de projeto b 160 m Q 203 m3s 109 Em um canal retangular de largura de fundo igual a 50 me vazão de 205 m3s a altura normal para aquela vazão é de 242 m Determine a Quais são o regime de escoamento e a energia específica deste canal b Colocase no fundo do canal uma estrutura curta degrau de 10 m de altura Desprezando a perda de carga verifique se o escoamento a montante do degrau foi modificado Justifique Cap 10 Eoogla Caga Espcifi B c Se foi calcule as alturas dágua imediatamente a montante e a jusante do degrau a Fluvial E 257 m b Foi modificado c Yflu 2676 me Ytor 063 m 1010 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 10 m taludes 15H 1 V n 0015 e I0 0001 mim transporta em regime permanente e uni forme uma vazão Q 350 in3ls Em uma determinada seção existe um degrau no fundo de altura Z O 15 m Despreze as perdas na transição a Determine o tipo de escoamento a montante do degrau b Ve1ifique se o degrau afetou as condições do escoamento a montan te Em caso afirmativo determine a altura dágua imediatamente an tes do degrau c Determine a altura dágua sobre o degrau a Fluvial b Não c y2 082 m 1011 No projeto do bueiro de seção circular mostrado na Figura 1023 ado tando como critério que para a vazão de projeto o bueiro funcione com uma carga na entrada igual ao diâmetro nível de água tangenciando a geratriz su perior do tubo a saída é livre e se estabelece uma seção crítica na entrada a carga cinética de aproximação é des prezível e a perda de carga na entrada é igual a 15 da carga cinética crítica mostre que Q 13305 D512 1012 Um reservatório de grandes dimensões alimenta um aqueduto cir cular aberto de 20 m de diâmetro co eficiente de rugosidade n 0015 1 º D ic JUJ iW Figura 1023 Problema 1011 declividade 10 0002 mim Sabendo que o fundo do aqueduto na seção da sa ída do reservatório está 1 15 m abaixo do nível dágua deste e que a perda de carga na entrada do aqueduto é cerca de 10 da energia disponível a montante determine a vazão Justifique a resposta Q 236 m3s 1013 Determine a relação entre a altura crítica e a energia mínima YclEc para a seção mostrada na Figura 1024 ycfEc 076 Figura 1024 Problema 101 3 Figura 1025 Problema 1014 Mostre que em um canal retangular largo a relação entre a altura normal e a altura critica é dada por Yo lt Yc V sT em que f é o fator de atrito da equação de OarcyWeisbach e lo a declividade de fundo 1014 Se é o ângulo mostrado na Figura I 025 no escoamento em um ca nal circular mostre que se o escoamento é crítico a seguinte relação é verda deira Q 2 sencos3 gD 5 64sen 1015 Determine a capacidade de vazão de um canal trapezoidal com talu des 15H 1 V de alvenaria de pedra argamassada em condições regulares e fundo de concreto magro A altura clágua no regime uniforme é 080 111 e a lar gura de fundo 160 m Verifique se esta seção é ele mínimo perímetro molha do e calcule o número ele Froude do escoamento Declividade ele fundo I0 00007 mim Q 172 m3s Não Fr 0328 1016 Um canal retangular ele concreto n 0015 ele 10 111 ele largura trans porta em regime uniforme uma vazão ele 16 m3s com decl iviclacle I 00043 mim e passa através de uma transição na qual o fundo se eleva de O 1 O m Qual eleve ser a nova largura requerida para que o nível cl1gua perma neça constante Despreze as perdas na transição b2 1 15 m 1017 Para determinar a vazão em um canal ele 80 m ele largura na super fície livre e em regime fluvial provocouse uma perturbação na superfície jo gouse uma pedra e mediuse o tempo necessário para que as pequenas ondas produzidas atingissem uma seção a 20 111 elo centro ela perturbação No senti do elo escoamento este tempo foi ele 5 s e crn sentido contrário foi de 75 s Determine a vazão Q 605 m3s 1018 O canalete de concreto do Laboratório ele Hidráulica ela EESC possui seção útil de 21 crn ele largura por 35 cm de altura Para uma vazão de 121s a altura dágua no canalete é de 8 cm Determine a o tipo ele escoamento no canalete para aquela vazão b qual a máxima altura de urn vertedor retangular de parede espessa degrau a ser colocado no fundo do canalete para que com a vazão de 12 ls a água não extravase para fora Despreze as perdas a Fluvial b L1Zc 0248 111 Cap 10 1019 Um longo canal trapezoidal de largura de fundo igual a 150 m ta ludes 1 V 1 H declividade de fundo I 00025 mim e coeficiente de ru gosidade de Manning n 0018 é alimentado por um reservatório de grandes dimensões e termina por uma queda brusca Na extremidade final do canal nas proximidades da queda brusca a altura dágua é 075 m Determine a al tura da superfície livre do reservatório acima da soleira de fundo na seção de entrada do canal Despreze as perdas de carga na entrada do canal H 107 m 1020 Um reservatório de grandes dimensões mantido em nível constante descarrega em um canal retangular bastante largo de fraca declividade e igual a I 0001 mim coeficiente de rugosidade de Manning n 0020 A carga específica disponível é igual a E 20 m diferença entre o NA no reservatório e o fundo do canal na seção de entrada Assumindo que a perda de carga localizada na entrada do canal seja igual a 5 da energia disponível isto é 5 de E determine a vazão unitária no canal q 364 m3lsm 1021 Mostre que para um canal retangular na seção de mínimo perímetro molhado se o escoamento uniforme for crítico sendo n o coeficiente de rugosidade de Manning a vazão e a declividade críticas são dadas por 1022 O trecho final de uma galeria de águas pluviais em concreto n 0013 tem diâmetro de 10 me declividade de fundo I 00006 mim A galeria des carrega livremente em um córrego com o nível de fundo mais alto que o ní vel dágua do córrego e a altura dágua na saída da galeria é igual a 040 m Determine a a vazão descarregada b a altura dágua no regime uniforme c o número de Froude no regime uniforme a Q 05 m3ls b y0 07 1 m c Fr 033 1023 Em um canal de irrigação retangular de 60 m de largura n 0015 e declividade de fundo L 000016 mim escoa uma certa vazão em regime uniforme e a altura dágua é igual a 10 m Uma calha venturi será instalada no canal com o objetivo de levantar o nível dágua a sua montante A calha de Eª ea Especifica B B Hldãlica E o º 120m Cap 10 E o O ô Figura 1026 Problema 1026 largura 30 m seção retangular deverá ter uma elevação no fundo degrau de altura óZ tal que a altura dágua imediatamente a sua montante elevese para 130 m Desprezando as perdas na mudança de seção determine a a vazão no canal b a sobrelevação necessária óZ a Q 417 m3s b óZ 044 m 1024 Um canal circular de 20 m de diâmetro n 0015 e com declividade constante é alimentado por um reservatório de grandes dimensões Sendo Q 30 m3s a vazão escoada determine a altura dágua na seção inicial do ca nal e a altura H da superfície livre do reservatório acima da soleira desta se ção desprezando as perdas de carga na entrada do canal para declividade de fundo igual a a I0 0030 mim b lo 0002 mim a y 082 m H 116 m b y 10 m H 119 mJ 1025 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 10 m inclinação dos taludes 15H10V n 0015 e declividade de fundo Io 0001 mim trans porta em regime uniforme uma vazão de 350 m3s Em uma determinada se ção existe uma transição suave para uma seção ainda trapezoidal com a mesma inclinação de taludes porém com largura de fundo igual a b Despre zando as perdas determine a o tipo de escoamento a montante da seção contraída b a mínima largura b para que as condições do escoamento a montante da seção não sejam alteradas c a altura dágua na seção contraída na condição de largura mínima a Fluvial b bc 055 m c y Yc 085 m 1026 Para a galeria mostrada na Figura 1026 o escoamento unifonne é crí tico com altura dágua Yc 060 m Sendo o coeficiente de rugosidade n 0018 determine a vazão e a declividade de fundo Q 162 m3s I0 Ic 00298 mim 1027 Em uma indústria existe um reservatório com água mantido em ní vel constante que alimenta uma canaleta de forte declividade com seção tri angular e ângulo de abertura de 90 O nível dágua no reservatório está a 035 m acima do fundo da canaleta na sua seção de entrada Estime a vazão des Cap 10 prezando as perdas de carga na transição do reservatório para a canaleta Su gestão utilize a Equação 1044 Q 918102 m3s 1028 Mostre que em um canal retangular com altura dágua y1 e regime fluvial a máxima elevação a ser dada no fundo do canal sem afetar as con dições do escoamento a montante isto é sem provocar elevação qa linha de energia é dada por Fr 2 iZ y 1 1 1 5 Fr 213 e 1 2 1 em que Fr1 é o número de Froude na seção 1 a montante da elevação 1029 Para a seção mostrada na Figura 1027 determine a a relação entre a altura c1ítica e a energia mínima yJEc b se a declividade de fundo for igual à L mim calcule a tensão média de cisalhamento no fundo em função de Yc e lo Yc2 Dado peso específico da água y 98x103 Nm3 a yJEc 0812 b to 3585 Yc 10 kNm2 Figura 1027 Problema 1029 1030 Determine a altura crítica para uma vazão de 20 m3s no canal de seção quadrada mostrada na Figura 1028 Yc 0944 m 1031 Um canal retangular de largura b transporta uma certa vazão Q e o escoamento é crítico Mostre que nestas condições o perímetro molhado é mínimo se a altura d água for igual à Yc 34b 1032 Mostre que para um canal retangular a relação entre a vazão uni tária q e a máxima vazão unitária qmáx e a altura dágua y e a correspondente altura crítica Yc é dada por 2 2 3 q y y 3 2 q máx Yc Yc Figura 1028 Problema 1030 E o oo Cap 10 1033 Detennine a altura y na entrada de um longo canal trapezoidal de largu ra de fundo igual a 40 m inclinação de taludes 1 H 1 V alimentado por um gran de reservatório de nível constante sendo conhecida a descarga Q 70 m3s e a carga específica disponível E0 10 m diferença entre o NA no reservatório e o fundo do canal na seção de entrada Despreze a perda de carga na transição y 086 m 1034 Demonstre que em um canal triangular com taludes 1 V2H a vazão crítica é dada por Qc 443y5 1035 Verificouse que uma determinada vazão q pode escoar em um canal retangular em regime fluvial com uma altura dágua igual a 2h e em regime torrencial com um altura dágua igual ah Determine a relação entre a altura crítica Yc e a altura h para aquela vazão Yc 139 h 1036 Água escoa em regime permanente e uniforme em um canal retangular com largura b 1 O me coeficiente de rugosidade de Manning n 0025 Sendo Yo a altura dágua lo a declividade de fundo e Fr o número de Froude do escoamento mostre que 43 I O 00613Fr2 y o º 5 yo 1037 Mostre que para um canal retangular muito largo Rh y a decli vidade de fundo I é forte se I 126311 2 29 q em que n é o coeficiente de rugosidade Manning e q a vazão específica 1038 Qual deve ser o diâmetro D de uma galeria de águas pluviais para que com uma declividade de fundo 10 45 mkm e uma altura dágua y 040D o escoamento uniforme seja crítico Coeficiente de rugosidade n 0015 D 150 m 11 RESSALTO HIDRÁULICO 111 GENERALIDADES O ressalto hidráulico ou salto hidráulico é o fenômeno que ocorre na transição de um escoamento torrencial ou supercrítico para um escoamento fluvial ou subcrítico O escoamento é caracterizado por uma elevação brusca no nível dágua sobre uma distância curta acompanhada de uma instabilida de na superfície com ondulações e entrada de ar do ambiente e por uma con seqüente perda de energia em forma de grande turbulência O ressalto ocupa uma posição fixa em um leito uniforme desde que o regime seja permanen te e pode ser considerado como uma onda estacionária Este fenômeno local ocorre freqüentemente nas proximidades de uma comporta de regularização ou ao pé de um vertedor de barragem O ressalto é principalmente utilizado como dissipador de energia cinética de uma lâmina líquida que desce pelo pa ramento de um vertedor evitando o aparecimento de um processo erosivo no leito do canal de restituição O ressalto também pode ser encontrado na entrada de uma estação de tratamento de água na calha Parshall e é usado para pro mover uma boa mistura dos produtos químicos utilizados no processo de pu rificação da água 112 DESCRIÇÃO DO RESSALTO Nível crítico Torrencial Cap 11 Ressalto Hidráulico 335 Ouviram uns golpes a compasso com um certo retinir como ferro e cadeias que junto ao furioso estrondo da água que lhes fazia acompanhamento poriam pavor a quem quer que não fora Dom Quixote Dom Quixote de la Manche Cap XX 1 parte Miguel de Cervantes Saavedra li d I d d e enc 6 E er e o carga vi212g V 2g Ressalto Fluvial Serão estudadas as características de ressaltos que ocorrem em canais horizontais ou de pequena declividade A Figura 11 1 mostra o aspecto habitual de um ressalto Há uma diminuição da velocidade média do escoamento na direção do escoamento com a presença de uma acentuada turbulência Se a elevação da linha dágua é pronunciada observase sobre a superfície criada na parte ascensional do ressalto a formação de rolos dágua de forma mais ou me nos regular e posição relativamente estável A agitação da massa d água favorece a penetração de ar no escoamento com o aparecimento de bolhas de ar A turbulência criada no interior do ressalto e o movimento dos rolos dágua produ zem uma importante dissipação de energia Figura 111 Ressalto hidráulico B HidcãoHra Bãra Cap11 77777777777777777 a Ressalto ondulado 1 Fr 17 Rolo rJSClC L 777777777777777 e Ressalto oscilante 25 Fr 45 O ressalto estacionário fica confinado entre duas seções uma a montan te onde o escoamento é torrencial e outra a jusante onde o escoamento é flu vial nas quais a distribuição de pressão é hidrostática As alturas dágua destas seções y I e y2 são as alturas ou profundidades conjugadas do ressalto A diferença y2 y1 chamase altura do ressalto e é um parâmetro importante na caracterização do ressalto como dissipador de energia A diferença de co 77777777777777 b Ressalto fraco 17 Fr 25 777777777777777 d Ressalto estacionário 45 Fr 90 tas na linha de energia E chamase perda de carga no ressalto Devese observar que o aspecto físico do ressalto varia de acordo com a velocidade na seção de montan te ou mais precisamente com o número de Froude nesta seção Distinguemse as diferentes forrnas de um ressal to dependendo da elevação mais ou menos importante da supe1fície da água A Figura 11 2 estabelece uma clas sificação do tipo de ressalto em função do número de Froude na seção de montante Figura 112 Tipos de ressaltos hidráulico em função do número de Fraude a montante No ressalto ondulado a transição entre o escoa mento torrencial e o fluvial ocorre de modo gradual e as perdas de carga são essencialmente devidas ao atrito nas paredes e fundo O ressalto fraco ainda tem aspecto ondular mas com zonas de separação na superfície líquida e as perdas de carga são baixas Em geral para Fr1 25 não se considera o fenômeno como ressalto propriamente dito Para 25 Fr1 45 o ressalto já se apresenta sob seu aspecto típico Nesta faixa o ressalto tem a tendência de se deslocar para jusante não guar dando posição junto à fonte geradora O aspecto apresentado na Figura 112d corresponde ao que se denomi na ressalto ordinário ou ressalto estacionário e que cobre o domínio de apli cação do ressalto como dissipador de energia em obras hidráulicas Para números de Froude na faixa entre 45 e 90 a dissipação de energia varia en tre 45 e 70 de energia disponível a montante Para Fri 9 que caracteriza o ressalto forte em geral não é utilizado nas construções hidráulicas devido a efeitos colaterais sobre as estruturas de dissipação como processos abrasivos ou mesmo cavitação 113 FORÇA ESPECÍFICA Como problema importante no estudo do ressalto apresentase aquele relativo ao relacionamento das alturas conjugadas para uma dada geometria do canal e uma dada vazão Por ser o escoamento bruscamente variado acom panhado de uma brusca mudança na força hidrostática seu estudo deverá ser feito a partir do teorema da quantidade de movimento aplicado ao líquido con finado ao volume de controle limitado pelas seções nas quais ocorrem as al turas conjugadas Para um escoamento permanente o teorema da quantidade de movimen to mostra que a resultante de todas as forças que atuam sobre o volume de con trole é igual ao fluxo da quantidade de movimento através da superfície de controle Supondo um canal de fraca declividade e observando que a componente do peso e a força tangencial nas paredes e fundo são opostas e de pequenas magnitudes podese desprezálas com o intuito de obter uma expressão sim ples Assim sobre o volume de controle atuarão as forças de distribuição de pressão nas seções 1 e 2 da Figura 111 Desta forma temse para escoamento unidimensional 2Fx fvx pVdà ou 11 se 112 Da Estática dos Fluidos a força de pressão sobre uma área plana é dada por F y y A em que como na Seção 82 y é a distância vertical desde a superfície livre até o centro de gravidade da seção molhada Portanto 113 Q2 A Q2 A Y1 1 Y 2 g AI g A2 114 Na equação anterior para um dado valor de Q os demais termos são funções da altura dágua y Definindo como força específica ou segundo outros autores como im pulsão total a função Cap 11 Remlto Hdáollco EJ B Hdra11ca Bãsca Cap11 y B dA Q 2 Fy YA gA 115 verificase que no ressalto hidráulico estacionário esta função assume o mes mo valor a montante e a jusante isto é 116 Colocandose em gráfico a altura dágua y contra a força específica F para uma dada geometria do canal e vazão obtémse a curva de força espe cífica que possui as seguintes propriedades ver Equação 115 e Figura 113 a se y O F oo e a curva é assintótica ao eixo das abscissas b se y 00 F 00 e a curva estendese indefinidamente para adi reita e se y Yc F passa por um mínimo qualquer que seja a forma do canal d para um dado valor da força específica F a curva apresenta duas al turas y1 e y2 que são as alturas conjugadas do ressalto A terceira propriedade da curva da força específica pode ser facilmen te deduzida observando a Figura 113 diferenciando a Equação 11 5 e igua lando a zero Assim 1 7 d Fy d y Q 2 d A d yA O 117 Y Y Figura 113 Curva da força específica gA 2 dy dy Conforme mostrado na Equação 814 a última derivada da equação anterior é a própria área assim F daí Q 2 d A A 0 g A 2 d y Q2 B Q2 B AO 1 gA2 gA J 118 equação cuja raiz é y Yc portanto no regime crítico de escoamento a força específica é mínima para uma dada vazão qualquer que seja a forma do ca na Observe que a Equação 118 foi deduzida pela aplicação do teorema da quantidade de movimento enquanto chegouse a este mesmo resultado no Capítulo 10 Equação 1042 usando a equação da energia 114 CANAIS RETANGULARES Para uma seção retangular a Equação 114 pode ser escrita como 2 y2 q2 y 22 L I g Y1 2 g Y2 2 Como y 1 t Y2 temse 2 2 2q2 Y2 Y1 Y2 Y1 g Dividindo por yf fica 1 19 Cap 11 B HidáUca Básica Cap 11 Observe que o segundo termo do lado direito da Equação 115 y A é o momento estático da seção molhada cuja derivada em refação a y é a própria área O conceito de momento estático de uma seção também é utilizado em Resistência dos Materiais 1 11 8 Fr 21 V Y1 2 Como para haver ressalto y2y 1 1 temse 1110 equação esta que fornece a relação entre as alturas conjugadas em função do número de Fraude na seção de montante em canais retangulares Se somente as condições de jusante seção 2 forem conhecidas um de senvolvimento análogo leva a 1111 Então se a altura e a velocidade média do escoamento forem conheci das em um dos lados do ressalto os correspondentes valores do outro lado podem ser determinados usandose a Equação 11 l O ou 1111 Para que o ressalto ocorra é necessário que y2 y 1 portanto 1 ½ J18Fr 1 1 j18Frf 3 Logo 1 8 Fr 9 Frf 1 Fr1 1 Donde se conclui que só haverá ressalto se o escoamento a montante da singularidade for torrencial É importante observar que esta condição não é necessária e suficiente é só necessária isto é se o escoamento for tmTencial e a singularidade produzir a altura requerida y2 no regime fluvial o ressalto se forma se não o escoamen to continua torrencial sem a fonnação do ressalto Isto é válido qualquer que seja a forma da seção 115 CANAIS NÃO RETANGULARES Para canais trapezoidais circulares triangulares ou parabólicos podem ser desenvolvidas a partir da Equação 114 expressões adimensionais que re lacionam as alturas conjugadas com o número de Froude na seção em que o escoamento é torrencial Para as seções trapezoidais simétricas com largura de fundo b e incli nação dos taludes 1 VZH um desenvolvimento adimensional da Equação 11 4 pode ser feito a partir das seguintes considerações geométricas A força de pressão hidrostática em um canal de seção trapezoidal simé trica de altura dágua y é dada por A y2b2Zy33b z 2 Fyy y y y by Zy2 1112 Deste modo a expressão da força específica na seção tornase Q 2 by Zy Q 2 by Zy gAI 2 3 gA2 2 3 1113 O número de Fraude é dado pela Equação 1043 na fonna 2 Q 2 b2Zy Fr gbyZy23 1114 A Equação 1113 pode ser adimensionalizada em função de três adimen sionais o número de Fraude na seção do escoamento torrencial Fr1 a relação entre as alturas conjugadas Y y2y1 e uma espécie de razão de aspecto da seção M Zy1b A expressão é desenvolvida tornandose l y2 M y3 Fr20M2 1 M l 2 3 1 1 2M Y 1 MY 1115 A Figura 114 apresenta os valores de Y para cada valor de Fr1 e M os quais foram obtdos como a raiz positiva ela Equação 1115 Cap11 Ressalto HdraoHoo B Cap 11 10 7 lLtL7 16r 7 li Na Figura 11 4 M O corresponde à seção retangular enquanto M 00 corres ponde à seção triangular e para Fr1 fixo a relação entre as alturas conjugadas Y de cresce quando M cresce EXEMPLO 111 2 2 3 4 5 6 7 8 Fq V1 JHm1 9 Um vertedor de uma barragem des canega em um canal retangular suficiente mente longo uma vazão unitária q 40 m3 sm O canal tem declividade de fundo I0 00001 mim revestimento de concreto em condições regulares e pode ser considerado largo Oc01rendo um ressalto hidráulico nes te canal determine suas alturas conjugadas Figura 114 Relação das alturas conjugadas em função de Fr1 e M canais trape zoidais Se o canal é largo o raio hidráulico é igual à altura dágua e a altura normal pode ser determinada pela fórmula de Manning na forma O ressalto hidráulico sempre ocorre na passagem de uma profundidade inferior à normal para uma superior 213 001640 513 3 05 m JT YoYo OOOOl Yo Yo 2 Cálculo da altura crítica Yc 93 Yc 118 m Yo 305 m g Portanto o canal é de fraca declividade e o escoamento uniforme é flu vial Como o canal é longo em alguma seção a jusante do pé do vertedor ocorrerá um ressalto hidráulico com altura dágua conjugada no regime flu vial Y2 Yo 305 m O número de Fraude no regime fluvial vale 2 q2 16 Fr2 3 3 0057 F12 024 gy2 98305 Pela Equação 11 11 a altura conjugada no regime ton encial vale j J18Fr1 Y2 2 1L J1 8 0057 1 y1 032 m 305 2 EXEMPLO 112 Um canal retangular de 3 m de largura transporta uma vazão de 14 m3s com altura dágua uniforme e igual a 060 m Em uma determinada seção a largura é reduzida para produzir um ressalto hidráulico Calcular a largura da constrição para que o ressalto se forme exatamente a montante da garganta Despreze as perdas após o ressalto Determinação do tipo de escoamento no canal Fr2 q 0 4 3o2 1029 Fr1 321 1 escoamento torrencial 1 3 9 8 o 603 gyl A altura conjugada no regime fluvial y2 é dada pela Equação 1110 ll J1 8 Fr2 1 2L J1 8 1 O 29 1 y 2 44 m 2 1 o 60 2 2 Y1 Como a redução na largura alterou as condições do escoamento a mon tante o regime fluvial y2 244 m passará a crítico na garganta e na seqüên cia retornará a torrencial A energia na seção 2 vale q2 14302 E2 y2 2 244 2 263 m 2gy2 196244 e como na garganta seção 3 o escoamento é crítico a equação da energia observe que é após o ressalto fica 3 E 2 Ec3 2 y cJ 263 m y cJ 175 m 2 Jl3 e Yc3 q3 725m 3sm Pela continuidade Q q3 b3 14 b3 193 m Cap 11 Ressalto Hidálico B B Hdáollca Básca Cap 11 EXEMPLO 113 A altura dágua no regime tonencial em um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 30 m inclinação dos taludes Z 15 e vazão de 20 m3s vale y1 050 m Determine a altura conjugada no regime fluvial Na seção 1 os parâmetros geométricos e hidráulicos valem área A1 m1 Zyi2 30050 15 0502 1875 m2 largura na superfície B1 b 2Zy1 30 215050 45 m altura hidráulica Hm1 A1B1 187545 0417 m velocidade média V1 QA1 201875 1067 ms Número de Fraude Fr1 1 º67 528 gHml J980417 M Zy 1 15050 bl 30 025 Na Figura 114 para Fr1 528 e M 025 vem Y y2y 54 Y2 270 m 116 PERDA DE CARGA NO RESSALTO A perda de carga no ressalto é igual à diferença de energia antes e de pois do salto Desta forma 1116 No caso particular do canal retangular a equação anterior pode ser de senvolvida chegandose a Lili Y2 Y1 3 4 Y2 Y 1117 o que mostra que a perda de carga aumenta consideravelmente com a altura do ressalto y2 y1 Cap 11 Reslto Hctáonco EJ 7 1 l1 6 t r Se a perda de carga no ressal to pode ser calculada a partir de uma expressão deduzida analitica mente o mesmo não se dá com o comprimento do ressalto distância entre as seções em que ocorrem as alturas conjugadas A experiência tem mostrado que para canais re tangulares o comprimento Lj de um ressalto estacionário é bem definido e se situa normalmente entre 5 e 7 vezes o valor de sua altura y2 y1 ou segundo certos autores o com primento é da ordem de 6y2 5 li V J L ri Y1 4 r t1 ld1f anrs1 1estl tDt ao º Melhor esempenho Bacia de d1ss1pação me desempenho aceitável dispendiosa 1 1 1 11 111 1 11111 1 1 1 111 1 11 11 111 1 11 ITTT 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 1 1 12 1 3 14 15 16 17 18 1 9 20 A Figura 115 apresenta o grá fico adimensional do comprimento Figura 115 Comprimento do ressalto em função do número de Fraude seção retangular do ressalto em canais retangulares em função do número de Fraude na entrada do ressalto Devem ser observados na Figura 11 5 as faixas de desempenho do res salto em função do número de Fronde e que para 45 Fr1 1 O que é a fai xa nonnalmente utilizada em projetos de dissipação de energia o comprimento do ressalto é cerca de seis vezes o valor da altura alternada no regime fluvial A eficiência do ressalto é medida pela sua capacidade de dissipação da energia mecânica do escoamento torrencial e é definida por 1118 na qual LlE é a perda de carga dada pela Equação 111 7 e E é a energia espe cífica na seção a montante do ressalto Importante também é a interrelação entre as curvas de energia específi ca e força específica para um ressalto A Figura 116 apresenta este relaciona mento em que deve ser observado que não se deve confundir alturas alternadas com alturas conjugadas Devido à perda de carga no ressalto a altura y2 é sempre menor do que seria a altura alternada de y yí se não houvesse o ressalto como mostra a Figura 11 6 O nível crítico corresponde ao ponto de mínimo das duas curvas Em um determinado canal desde que se estabeleça um escoamento torrencial ocorrerá um ressalto hidráulico y 346 iHidráulicaBásicacap11 1 1 1 2 1 1 y EXEMPLO 114 1 1 ÓE P2 Y2 1 T 77 p E 1 r 1 1 Um canal retangular bem longo de 20 m de largura em con creto em boas condições possui uma comporta plana e vertical de mesma largura como na Figura 11 7 Sendo a perda de carga na comporta igual a 5 da energia disponível a sua montante determi ne qual deve ser a declividade do canal para que a altura conjugada r1 jf 2 t e 1 l P 1 1 o E2 lóEIE E Q F F2 f l Figura 116 Inter relação entre as c urvas y x E e y x F NA Q 160 m Figura 117 Exemplo 114 no regime torrencial do ressalto que se forma a jusante da comporta seja igual a 030 m Determine também a perda de carga no ressalto a eficiência e seu comprimento A altura de água na seção contraída da lâmina vale 025 m Aplicando a equação da energia entre uma seção a montante da compor ta e a seção contraída da lâmina na qual a distribuição de pressão é hidrostática escoamento paralelo vem E0 E1 LiH01 q 2 q2 Portanto y O 2 y1 2 iH011 dai 2gyo 2gyl q2 2 160 2 O 25 q 196 160 196 0252 2 005160 q 2 ql26 m3sm 196 160 Na seção contraída da lâmina o número de Froude vale F V 126 025 r J 322 portanto escoamento torrencial ygy 98025 Como o canal é longo a altura conjugada do ressalto no regime fluvial será a altura d água no regime uniforme Pela Equação 1110 a altura con jugada y2 vale y 2 J1 8F1 1 l 22 1 8 1 262 1 y1 2 J 030 2 98 0303 Y2 Yo 090 m Cálculo da declividade de fundo para uma altura normal y 090 me Q q b 126 20 252 m3s Jp 090 O 45 b 8 3 11 Q Para b 20 1a ela K 2 b813 Jr 00 14252 81 1T 0172 20 1 I 0 Logo L 000104 mim A perda de carga é dada pela Equação 11 17 y Y 3 090 0303 6E 2 1 020 rn 4y2 y 1 4090030 A eficiência vale 6B 020 11 167 E1 030 1262 196 0302 v1 126 o30 Para Fr1 245 ressalto traco na Figura 115 o fiy J98 030 comprimento Lj vale Ly2 48 Lj 432 rn 117 PROBLEMAS 111 Em um canal retangular está ocorrendo um ressal to hidráulico corno na Figura 118 Na impossibilidade de medir as alturas conjugadas Y1 e Y2 foram colocados dois tubos de Pitot Para 6y 050 rn e 6H 005 m determine as alturas conjugadas e a vazão por unidade de largura Yt Cap 11 óH óY y1 058 m y2 1 08 m q 226 m3srn Figura 118 Problema 111 Reslto Hidrauo B B Hidrauca Cap 11 112 Um canal trapezoidal de largura de fundo igual a 10 m e taludes 1 H 1 V transporta uma vazão de 35 m3s e em uma determinada seção A a altura dágua vale 095 m Verifique se uma singularidade qualquer a jusante desta seção poderá produzir um ressalto hidráulico no canal entre a seção A e a singularidade Justifique sua resposta Não há possibilidade de ocorrer o ressalto 113 Partindo da equação da força específica para as seções de montante e jusante de um ressalto hidráulico em um canal retangular mostre que entre os números de Fraude nas seções existe a relação 2Fr2 1 Fr43 1 2Fri Fr43 2 114 Demonstre que em um canal retangular na condição de regime críti co existe a seguinte relação entre a força específica por unidade de largura e a energia mínima Fc Yc Ec 115 Em um canal no qual está ocorrendo um ressalto hidráulico o núme ro de Fraude na seção de escoamento torrencial é igual a 50 Para uma altu ra do ressalto igual a 120 m determine a vazão unitária e a perda de carga no ressalto q 156 m3sm tE 142 m 116 Em um longo canal retangular de 25 m de largura coeficiente de rugosidade n 0016 e declividade de fundo 10 0010 mim escoa uma va zão de 100 m 3s em regime uniforme Em uma seção existe um degrau construído para provocar um ressalto hidráulico a sua montante Assumindo escoamento crítico sobre o degrau determine as alturas conjugadas do ressalto e a altura do degrau y Yo 096 m Y2 143 m tZ 0062 m 117 Em um longo canal trapezoidal com 10 m de largura de fundo incli nação dos taludes 2H 1 V coeficiente de rugosidade n 0015 declividade de fundo lo 00015 mim foi colocado um vertedor de parede espessa degrau de 025 m de altura provocando o aparecimento de um ressalto a sua jusante e de um remanso de elevação a sua montante A altura dágua em cima do degrau é de 065 m Determinar a vazão a altura dágua no canal antes da co locação do degrau e a altura dágua imediatamente a montante do degrau Q 454 m3s Yo 094 m y 102 m 118 A partir da equação das alturas conjugadas de um ressalto hidráulico em um canal retangular demonstre que 2 8Fr Fr 2 J 1 8 Fr 13 119 Um escoamento torrencial de 480 m3s ocone a uma profundidade de 080 m em um canal aberto em forma de V triangular com inclinação dos ta ludes Z 15 Calcule a profundidade imediatamente a jusante de um ressalto y2 160 m 1110 Qual a relação entre as alturas conjugadas de um ressalto em um ca nal retangular que dissipa 13 da energia total do escoamento de aproximação y2y 1 452 1111 Para as condições da Figura 119 calcule y 1Z e Y2 sa bendo que o escoamento é bidimensional Estabeleça qualquer hipótese necessária à resolução do problema y 061 m 1Z 064 m y2 108 m E o Cap 11 Ressalto Hidráulico 349 Figura 119 Problema 1111 1112 Um vertedor de uma barragem descarrega uma vazão unitária q 70 m3sm em uma bacia de dissipação retangu lar de mesma largura que o vertedor A formação de um ressalto hidráulico deverá ser realizada pela colocação de uma so leira elevada na extremidade da bacia Assumindo esco amento crítico sobre a soleira determine a altura z requerida pela soleira para que o ressalto se forme den uo da bacia de dissipação Despreze as perdas de carga no escoamento pelo vertedor bZ 110 m Figura 1110 Problema 111 2 1113 Em um canal trapezoidal de 120 m de largura de fundo inclinação dos taludes 1 V2H está oconendo um ressalto hidráulico com alturas conjugadas y 1 048 m e y2 144 m Estime a vazão Q 636 m3s B HdáUca Báskoa Cap 11 1114 Mostre que a relação entre o ganho ele energia potencial definido pela diferença y2 Y1 e a perda de energia cinética definida pela diferença y 2y 2 4Y1Y2 1 2 no ressalto hidráulico cm um canal retangular vale 2g y1 Y22 1115 Um vertedor de uma barragem descarrega ern urn canal retangular su ficientemente longo urna vazão unitária q 70 1113sm O canal tem decli vidade de fundo T0 00001 111m revestimento de concreto em condições regulares e pode ser considerado largo Ocorrendo um ressalto hidráulico neste canal determine suas alturas conjugadas y 1 049 rn Y2 Yo 426 m 1116 Em um canal retangular escoa urna vazão unitária q 05 m3sm Em uma determinada seção há uma soleira de fundo com altura 11Z 025 m como na Figura 1013b e ocorre um ressalto hidráulico imediatamente a montante da soleira Assumindo escoamento crítico em cima ela soleira deter mine as alturas conjugadas do ressalto Despreze as perdas de carga após o ressalto y1 0 10 m Y2 066 m 1117 Partindo ela definição ele altura do ressalto hi Y2 Y1 mostre que em um canal retangular a relação entre a altura cio ressalto e a energia específica na entrada E1 só depende do número de Fronde no escoamento ele aproxima ção e vale J 1 8 Fr1 2 3 2 Fr 2 1 Faça um gráfico de hE1 versus Fr1 1 s Fr1 s 14 1118 Em um canal retangular no qual está ocorrendo um ressalto hidráulico mostre que a relação entre a altura crítica Yc e as alturas conjugadas do ressalto y I e Y2 é dada por 12 Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 351 ORIFÍCIOS TUBOS CURTOS VERTEDORES 121 INTRODUÇÃO Serão analisados neste capítulo alguns tipos de escoamentos de escala e características distintas dos escoamentos em canais tratados até agora O estudo dos escoamentos através de orifícios tubos curtos e ve1tedores se faz com uma base teórica simples que na maioria dos casos não dispensa o acom panhamento de resultados da investigação experimental na forma de coefici entes corretivos Tratase de um assunto de grande importância na Hidráulica pela sua aplicação em diversas estruturas hidráulicas como projetos de irriga ção eclusas para navegação fluvial bacias de detenção para controle de cheias urbanas estações de tratamento de água medição de vazão de efluentes indus triais e de cursos dágua tomadas dágua em sistemas de abastecimento pro jetos hidroelétricos etc 122 ORIFÍCIOS Definese como orifício uma abertura de perímetro fechado de forma geométrica definida circular retangular triangular etc realizada na parede ou fundo de um reservatório ou na parede de um canal ou conduto em pres são pela qual o líquido em repouso ou movimento escoa em virtude da ener gia potencial eou cinética que possui O escoamento pelo orifício pode ser dar para um ambiente sob pressão atmosférica ou para uma região ocupada pelo mesmo líquido No primeiro caso a saída do líquido é dita ser descarga livre e no segundo caso é chamada de descarga afogada ou por orifício submerso 1221 CLASSIFICAÇÃO DOS ORIFÍCIOS Há vários critérios de classificação dos orifícios segundo suas princi pais características Deste modo de acordo com a forma geométrica de seu perímetro podem ser circulares retangulares triangulares etc e segundo a orientação do plano do orifício em relação à superfície livre do líquido podem ser verticais horizontais ou inclinados isto é perpendiculares paralelos ou formando um certo ângulo com o plano horizontal do líquido Sendo H adis tância vertical entre o plano da superfície livre do líquido e a linha de centro E a água corrente da fonte Corria sem responder E os pobres zagais do monte Nada sabiam dizer Peregrina Raimundo Correia B Hidralica Básica Cap 12 do orifício denominada carga sobre o orijkio estes podem ser clas sificados como pequenos e grandes São ditos pequenos se sua dimen são geométrica vertical diâmetro ou ai lura é menor que um terço da carga H Quanto à espessura da parede na qual está inserida a abertura e a forma do jato em contato com a superfície interna da parede os orifícios são classificados como de parede fina ou delgada e de pa 05 d e 1 5 d rede grossa ou espessa Os orifícios de parede fina são aqueles em que a veia líquida só está em contato com a linha de contorno perímetro do orifício Figura 12 1 a e nos orifícios de parede espessa o jato adere Parede espessa Figura 12la Figura 12lb seção contraída ª r A v Figura 122 a Seção contraída de um jato livre à parede da abertura segundo uma superfície Figura 12 l b Neste último caso a espessura da parede é menor que uma vez e meia a menor dimensão do orifício Se a espessura da parede for duas a três vezes maior que a menor dimensão da abertura esta é classificada como um bocal O estudo dos orifícios de parede espessa se faz do mesmo modo que o dos bocais 123 DESCARGA LIVRE EM ORIFÍCIOS DE PAREDE FINA A Figura 122 representa a seção transversal de um orifício vertical des carregando o líquido de um reservatório para a atmosfera As partículas líquidas afluem ao orifício de todas as direções segundo trajetórias convergentes Devido à própria inércia e às componentes de velocidades paralelas ao plano do orifí cio as partículas não podem mudar de direção de forma brusca ao se aproxima rem da saída e continuam portanto movendose em trajetórias curvilíneas obrigando o jato a se contrair um pouco além da borda interna da abertura Este fenômeno é chamado de contraçiio do jato de certa forma análogo ao que foi discutido na Seção 33 1 sobre contração brusca em mudança de seção no es coamento sob pressão A seção aa em que esta contração provocada pelo ori fício é máxima é a seção contraída ou vena contrata seção em que as trajetórias das partículas são sensivelmente paralelas entre si a distribuição de velocidade é uniforme com área transversal igual a aproximadamente 60 da área geomé trica do orifício e na qual a pressão é praticamente uniforme em todos os pon tos e igual à pressão exterior da região em que a descarga está se dando Para um orifício circular de aresta viva e diâmetro D a seção contraí da do jato situase a uma distância aproximada da parede interna da abertura igual a 05 D A relação entre a área transversal do jato Ac na seção contraída e a área do orifício A é denominada coeficiente de contraçiio Cc ver Equação 38 e pode ser determinada experimentalmente Para orifícios circulares de Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 353 parede fina o valor médio de Cc é da ordem de 062 variando com as dimen sões do orifício e com a carga H A e área da seção contraída c e A área do orifício 121 1231 VAZÃO DESCARREGADA Não considerando o efeito de contração do jato nem as perdas de car ga que ocorrem durante o escoamento do líquido através de um orifício de pe quenas dimensões o problema de determinar a vazão descanegada livremente pode ser resolvido com a aplicação da equação de Bernoulli Infelizmente nas aplicações práticas nem as perdas de energia nem a contração da veia podem ser negligenciadas uma vez que o conjunto dos dois efeitos faz com que a vazão efetivamente descarregada seja aproximadamente 60 da vazão que teo ricamente passaria pelo orifício como será visto a seguir Tratase portanto de um assunto que apesar de ser descrito por formu lações simples não dispensa o auxílio da experimentação para o levantamento de coeficientes que c01Tijam as equações teóricas Devese ter em conta que es tes coeficientes experimentais apresentados na literatura dependem do tipo e forma da abertura e da carga sobre o orifício entre outros fatores com algu ma variação entre valores recomendados por fontes distintas Isto implica que a determinação da vazão nas aplicações práticas está afetada por uma certa margem de incerteza em geral em torno de 5 Considere como na Figura 123 um orifício vertical de pequenas di mensões de parede delgada e área A através do qual escoa um líquido de peso específico y entre duas regiões A e B Sobre a superfície do líquido em A atua uma pressão PA e a região B está ocupada pelo ar atmosférico de peso espe cífico desprezível e sujeita à pressão ps Na região próxima ao orifício a ve locidade média de aproximação do líquido é Vm Considerando a linha de corrente ab a equação de Bernoulli para es coamento permanente e na ausência de perdas aplicada entre os pontos C no líquido da região A e D no líquido na seção contraída onde todas as linhas de corrente são paralelas e a pressão é uniforme fica p h Vc2 PB VD2 z y e 2g e y 2g 122 e por ser h hc zc NA ld p Il H 1 1 1d rt l 1c Figura 123 Escoamento por um orifício 1 Evangelista Torricelli físico italiano 16081647 123 que é a expressão geral entre a velocidade teórica e a carga h em qualquer ponto da trajetória Tomando outra linha de corrente ou trajetória já que o escoamento é permanente a velocidade dada pela Equação 123 variará para cada linha de corrente conforme o valor da carga h Entretanto consideran do o orifício de pequenas dimensões em relação à carga h podese considerar que na seção contraída cc a velocidade é uniforme e igual àquela correspon dente à carga média H distância vertical da superfície do líquido até o centro de gravidade da seção contraída Aplicando a equação de Bernoulli ao tubo de corrente entre as seções dd e cc assumindo distribuição uniforme na seção dd coeficiente de Coriolis a 1 e velocidade média Vm obtémse o valor teórico da velocidade na seção contraída como V t 124 Nos casos mais comuns de aplicação prática as dimensões da região A em geral um reservatório são muito maiores do que a área da seção contraí da e a carga cinética de aproximação pode ser desprezada Além disso em geral as regiões A e B estão sujeitas à mesma pressão e igual à pressão atmos férica o que simplifica a Equação 123 na forma 125 A Equação 125 que fornece a velocidade teórica na seção contraída de um jato através de um pequeno orifício é uma das mais antigas leis racionais da Hidráulica estabelecida no século XVII e conhecida como teorema de Torricelli 1 Para propósitos práticos a carga H da Equação 125 será assumida igual à distância vertical desde a superfície livre do líquido até a linha de centro do orifício se este for vertical ou inclinado ou até o plano do orifício se este for horizontal Neste último caso desprezase a distância entre o fundo do reser vató1io e a seção contraída da veia líquida Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 355 Devido à existência de perdas de energia no escoamento ao entrar no orifício e durante a passagem pelo mesmo a velocidade real na seção contraída é ligeiramente inferior à velocidade teórica dada pela Equação 125 A relação entre a velocidade real V e a velocidade teórica V que teria lugar se não hou vesse perdas denominase coeficiente de velocidade Cv cuja ordem de gran deza para orifícios circulares de parede fina é 098 Assim V velocidade real e V V1 velocidade teórica 126 127 A vazão real é o produto da área da seção contraída Ac pela velocidade real V 128 Finalmente a vazão pelo orifício usando a Equação 121 é dada por 129 Ao produto Cc Cv dáse o nome de coeficiente de vazão ou de descar ga Cd Assim a expressão geral para a vazão descarregada através de um ori fício de área A de pequenas dimensões e parede fina sujeito a uma carga H fica 1210 A Equação 121 O é chamada de lei dos orifícios e é semelhante à Equa ção 431 O coeficiente de vazão Cd tem valor médio prático igual a 061 para orifícios circulares de parede fina variando com a forma geométrica dimen sões e valor da carga Os valores dos coeficientes de contração velocidade e vazão são levantados experimentalmente e seus valores estão disponíveis em obras como Lencastre 34 Avila 4 Balloffet et al 7 entre outras A Tabela 121 apresenta os valores do coeficiente de vazão para orifí cios verticais circulares e de parede fina em função do diâmetro e da carga B HidcãUra Básra Cap 12 A velocidade real do jato através de um orificio de pequenas dimensões sujeito a uma carga H e escoando livremente para a atmos ª1 pode ser maior do que 2g H Tabela 121 Valores do coeficiente de vazão para orifícios circulares verticais de parede fina Azevedo Netto 6 Carga Hm Diâmetro do orifício cm 20 30 40 50 020 0653 0632 0609 0607 040 0651 0625 0610 0607 060 0648 0625 0610 0607 080 0645 0623 061 0 0607 100 0642 0622 061 0 0607 150 0638 0622 0610 0607 200 0636 0622 0610 0607 300 0634 0621 0611 0607 500 0634 0621 061 1 0607 1000 0634 0621 0611 0607 124 PERDA DE CARGA EM ORIFÍCIOS 60 0607 0607 0608 0608 0608 0608 0608 0608 0608 0609 A passagem de um líquido através de um orifício se faz com um certo consumo da energia disponível a montante da abertura Esta perda de energia é produto das resistências passivas devidas à viscosidade do líquido e ofere cida pela parede do depósito e pelo próprio ar Portanto nem toda energia potencial representada pela carga H é transformada em energia cinética Considerando um fluido saindo de um orifício para a pressão atmosfé rica sob carga total H a velocidade real é dada por V Cv J 2g H portanto a carga original vale 1 y 2 H C 2g 12 11 A energia remanescente do jato é a carga cinética correspondente à ve locidade real V e dada por V22g A perda de carga é a diferença entre a ener gia inicial e a remanescente e igual a th 1 y2 1 1 c 2g 2g c 2g 1212 A perda de carga também pode ser expressa como um fator da carga inicial H relacionandose as Equações 1211 e 1212 o que leva a th 1 C H 12 13 Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 357 Para Cv 098 a perda de carga vale L1h 004H o que equivale dizer que 4 da carga hidrostática é consumida por atrito As Equações 1212 e 1213 são válidas para qualquer tipo de orifício de pequenas dimensões incluindo os de parede espessa cujo coeficiente de ve locidade seja conhecido 125 DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DOS COEFICIENTES DE UM ORIFÍCIO Em geral do ponto de vista prático em Engenharia o que interessa é a descarga pelo orifício o coeficiente Cct relativo a ela é o que tem mais valia e este coeficiente pode ser calculado pela Equação 12 l O se forem determina das experimentalmente a descarga Q de modo gravimétrico com auxílio de um recipiente calibrado e um cronômetro a área do orifício A e a carga total H O coeficiente Cd em geral não é constante para um dado orifício variando com a carga as condições de afluxo e a viscosidade de líquido A determinação experimental do coeficiente de contração Cc é feita por meio de um calibrador de compasso instalado na seção contraída medindose o diâmetro da seção Se a localização exata da seção contraída for difícil co locase o calibrador a uma distância da parede do orifício igual a 05 D em que D é o diâmetro da abertura O coeficiente de velocidade Cv pode ser determinado por via direta co locandose um tubo de Pitot na seção contraída e dete1minandose a velocidade real V que dividida pela velocidade teórica V t J 2g H fornece o valor do coeficiente Outra maneira de determinar o coeficiente de velocidade é através do método das coordenadas descrito a seguir A Figura 124 mostra um jato saindo de um orifício em parede vertical e passando na seção contraída horizontalmente com velocidade V Devido à presença da gravidade o jato assume uma trajetória em fo1ma parabólica re sultante da composição de um movimento retilíneo e uniforme na horizontal e de um movimento vertical uniformemente acelerado com aceleração g e velocidade inicial nula Sejam x e y as coordenadas de um ponto qualquer da trajetória e desprezandose a resistência ao movimento exercida pelo ar pode se utilizar as equações da cinemática nas duas direções horizontal e vertical A componente horizontal da velocidade do jato é constante e igual a V portanto a abscissa x em um tempo qualquer vale X Vt 1214 Na vertical o movimento é regido pela lei da queda dos corpos portanto no mesmo tempo t a partícula se encontra em uma ordenada H Figura 124 Determinação do coefi ciente ele velocidade B HldáH Básica Cap 12 A perda de carga em um orifício de pequenas dimensões sondo H a carga disponível e V1 a velocidade teórica pode ser expressa por v2 H L 2g NA h2 1 2 y gt 2 Eliminando o tempo t nas duas equações temse 2v2 x2 y g 1215 1216 que é a equação de uma parábola de vértice em A que fornece V em função de x e y determinados experimentalmente e daí Cv como X g V X Ci C iJ2y V½ V V1 2g H 2 H y 1217 Este método das coordenadas também é empregado de maneira práti ca na determinação da vazão pela extremidade aberta de um tubo horizontal 126 TEORIA DOS GRANDES ORIFÍCIOS Se a dimensão vertical de um orifício é grande a carga hidros tática que produz o fluxo é substancialmente menor no bordo supe rior da abertura que no bordo inferior Então a vazão determinada rsdl pela Equação 1210 para um pequeno orifício usando a carga H medida em relação ao centro do orifício não é a vazão verdadeira uma vez que as velocidades dos filetes líquidos diferem razoavel mente do topo até o fundo da abertura O método utilizado é calcu lar a vazão elementar através de uma faixa horizontal de altura infinitesimal usando a Equação 12 J O como na Figura 125 e inte grar do topo até o fundo da abertura para obter a vazão teórica da Figura 12S Orifício de grandes dimensões por qual a vazão real pode ser obtida se o coeficiente de vazão forco nhecido A vazão elementar em uma faixa horizontal de espessura dh é dada dQ Cd bdh 2gh 1218 Admitindo que o valor do coeficiente Cd seja praticamente o mesmo para todas as faixas se obtém Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 359 1219 A integração da expressão anterior exige o conhecimento da função que relaciona a largura b com a altura h função que depende da forma ge ométrica do orifício No caso particular de um orifício retangular de largura b altura a e área A como na Figura 126 a Equação 1219 tomase ou 1220 Conforme definido na Seção 122 o orifício é classificado como de pe quenas dimensões se sua dimensão vertical é menor que um terço da carga mé dia H Esta propriedade pode ser mostrada comparandose as vazões calculadas pela Equação 1210 pequenas dimensões e pela Equação 1220 grandes dimensões Para o mesmo coeficiente de vazão dividindose a Equa ção 1220 pela Equação 1210 temse o fator a dado por O 3 h 32 h 32 3 2 1 ajH 1221 Como pela Figura 126 h2 H a2 e h1 H a2 vem 1222 H Figura 126 Orifício retangular de gran des dimensões NA 1 7 i vso r Figura 127 Orifício afogado O fator a pode ser calculado em função da relação Ha carga média altura do orifício como na Tabela 122 Tabela 122 Valores do fator ex em função da relação carga médiaaltura do orifício Ha a 05 09428 1 09890 15 09953 2 09974 25 09983 3 09988 Portanto um orifício retangular em que a carga sobre o centro de gra vidade é três vezes maior do que a dimensão vertical a 1 pode ser consi derado como de pequenas dimensões e a vazão descarregada pode ser calculada pela Equação 121 O em vez da Equação 1220 127 ORIFÍCIOS AFOGADOS O 01ifício é dito afogado ou submerso quando a cota do nível dágua a jusante é superior à cota do topo do orifício Sejam como na Figura 127 dois reservató1ios de grandes dimensões nos quais a área da seção transversal é muito maior que a área A do orifício de modo que a carga cinética de aproximação seja desprezível Sendo H a diferença de nível no escoamento permanente a aplica ção da equação de Bernoulli entre as seções aa e bb esta última coincidente com a seção contraída do jato levando em conta a perda de carga fica h 1 h 2 th h I y 2 y 2 I y 2 2g 2g e 2g 1223 A aplicação da equação de Bernoulli entre uma seção no reservatório de montante e a seção bb pressupõe que nesta última seção a distribuição de pressão seja hidrostática hipótese válida se h2 for muito maior que a dimen são vertical do orifício A Equação 1223 tornase 1224 A vazão é dada por uma equação análoga à Equação básica 121 O na forma Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 361 1225 Os valores do coeficiente de vazão são praticamente os mesmos dos orifícios com descarga livre Deve ser observado que se a equação de Bernoulli fosse aplicada entre os pontos l e 2 o resultado seria h h2 h h1 h2 H h portanto a perda de carga localizada é semelhante à que ocorre na ligação entre uma tubulação e um reservatório de grandes dimensões dada por h K V22g veja a Seção 331 De fato pela Equação 1223 resulta 1 226 Para Cv 098 vem K 104 valor próximo àquele do coeficiente de perda de carga localizada na entrada de uma tubulação em um reservatório 128 CONTRAÇÃO INCOMPLETA DO JATO Nas análises efetuadas nas seções anteriores consideramse orifícios de parede fina nos quais o jato livre possuía contração total ou completa Supôs se que a região de aproximação dos filetes líquidos não era influenciada por nenhuma fronteira sólida isto é os filetes chegam ao orifício por todas as di reções incluindo as paralelas à parede da abertura sem que as laterais ou qualquer outra causa altere o ângulo entre a trajetória dos filetes e o eixo do orifício Há entretanto casos práticos em que as trajetórias das partículas são afetadas pela posição ou rugosidade das paredes do reservatório ou canal re duzindo consideravelmente a contração do jato De modo geral a contração incompleta em um orifício ocorre quando as paredes ou o fundo do reservatório se encontram a distâncias inferiores a 3D D é o diâmetro do orifício ou a 3a a é a menor dimen são em orifícios retangulares como na Figura 128 Neste tipo de orifícios denominados de contração incompleta ou parcial se aplicam todos os conceitos até aqui desenvolvidos e para os quais é necessário somente corrigir o coeficiente de vazão de um ori A relação entre a vazão real e a teórica em um orifício é dada por CcCv X e 1 1 X y 3a 3a v fício com contração completa através de equações empíricas na fo1ma C Cct 1 O 15 K para orifícios retangulares 1227 Figura 128 Condição para a ocorrência da contração completa do jato NJ a b Figura 129 Contração incompleta do jato J1 X Figura 1210 Exemplo 12J C Cd 1 O 13 K para orifícios circulares 1228 O coeficiente K é a relação entre a parte do perímetro em que há supressão da contração e o perímetro total do orifício Conforme o exemplo da Figura 129 para um orifício retangu lar de dimensões a e b o valor do coeficiente K é dado por K b 2a b 1229 Para orifícios circulares a c01Teção no coeficiente de vazão é feita ado tandose K 025 para orifícios junto a uma parede lateral ou ao fundo do re servatório ou canal e K 050 para orifícios junto a uma parede lateral e ao fundo do reservatório ou canal EXEMPLO 121 Dois orifícios idênticos verticais de pequenas dimensões parede fina e mesmo coeficiente de velocidade lançam jatos livres com o mesmo alcan ce sob cargas diferentes como na Figura 121 O Mostre que Como o alcance dos dois jatos é o mesmo pela Equação 1216 temse V y1 V y2 C 2gh 1 H h 1 C 2g h2 H h2 daí H h hl H h2 129 ESCOAMENTO SOB CARGA VARIÁVEL Uma hipótese básica assumida até este ponto para o escoamento pelos orifícios é que o regime é permanente Isto implica que a carga hidráulica so bre o orifício é constante no tempo portanto há uma alimentação compensadora para o reservatório de valor igual à vazão descanegada pelo orifício Serão analisadas agora as leis que regem a descarga do líquido pelo orifício na situação em que a carga varia tomando a vazão de saída função do tempo Estas situações estão ligadas a problemas práticos na Engenharia como atenuação de cheias em reservatórios naturais ou artificiais operação de eclu Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 363 sas para navegação operação de limpeza de decantadores em estações de tra tamento de água etc Uma das situações práticas é a determinação do tempo necessário para que a cota da superfície livre do líquido em um depósito de certa configura ção geométrica e dispondo de um orifício no fundo passe de um valor h1 para h2 Seja como na Figura 1211 um reservatório no qual não há ali mentação compensadora de modo que a abertura do orifício no fundo provoca uma diminuição gradual da profundidade e conseqüentemen te da pressão sobre o orifício Admitindo o coeficiente de vazão Cd do orifício de área A0 cons tante isto é independente da carga o problema pode ser tratado pela aplicação da equação da continuidade e usando a Equação básica 1210 Para uma carga genérica h sobre o orifício em um tempo qual quer t a vazão é dada pela Equação 121 O No intervalo de tempo dt a equação da continuidade aplicada ao volume de controle é dada por dVol dh Qt cd Ao y L111 Ah dt dt 1230 Figura 1211 Escoamento sob carga variável Observe que o sinal negativo na derivada indica que o volume diminui quando o tempo aumenta Isolando as variáveis t e h fica 1231 Integrando entre o tempo inicial t O até t T que cmTesponde à va riação do nível de h1 para h2 temse 1232 A integral pode ser feita analiticamente ou por processos numéricos ou gráficos desde que se conheça a função Ah No caso particular de um reservatório prismático Ah A cte a Equação 1232 tornase 1600 1ll Az 750 m2 2 Figura 1212 Exemplo 122 Mostre que para uma situação seme lhante à da Figura 1211 para que a superficie livre abaixe a uma velocida de constante a área do reservatório deve variar com a carga h sobre o orifício proporcional a jh 1233 equação formalmente análoga à Equação 435 indicando a semelhança entre o esvaziamento de um reservatório por um 01ifício e por uma tubulação de peque no diâmetro Na Equação 1233 fazendose h2 O será obtido o tempo necessário para o esvaziamento total do reservatório a partir da altura h Neste caso deve ser observado que este tempo é aproximado uma vez que para cargas peque nas sobre o orifício as condições de aproximação são alteradas podendo ocor rer a formação de um vórtice que destruiria a distribuição hidrostática de pressão Portanto o coeficiente Cc só pode ser considerado praticamente cons tante enquanto o orifício puder ser considerado pequeno EXEMPLO 122 Os dois reservatórios prismáticos de áreas iguais mostrados na Figura 1212 estão no tempo t O com os níveis dágua distanciados em 60 m Determinar o tempo necessário para que a superfície livre do reservatório do lado direito se eleve em 20 m O orifício de intercomunicação tem área igual a 05 m2 e coeficiente de vazão suposto constante igual a 05 Admita 01ifício de pequenas dimensões Em um tempo t qualquer a carga do lado esquerdo sobre o orifício vale h e a carga cio lado direito vale h2 A condição do problema é tal que as duas equações devem ser satisfeitas 1 H h 1 h2 dH dh 1 dh2 2 Volume que sai de l volume que entra em 2 Da segunda equação A clh A dhz dh clh 2 pois A A2 1 dt dt 1 Continuidade Q Cc1 AJ2gh 1 h 2 A 2 dhz dt Como dH clh1 dh2 e dh1 dh2 dH 2 dh2 daí fica Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 365 A dH A H 1 2 dH C AJ2gH 2 dt 2 d 2 dt 2Cd Afig Substituindo os valores numéricos T 67763 JH JfÇ Como as áreas dos reservatórios são iguais num certo intervalo de tem po o abaixamento do nível dágua à esquerda é igual à elevação do nível dágua à direita Deste modo pela condição do enunciado H 1 60 m e Ri 20 m Finalmente T 67763 J6o ffe 70153 s 11 min e 41 s 1210 INFLUÊNCIA DA ESPESSURA DA PAREDE Quando a parede no contorno de um orifício não tem arestas afiladas conforme a Figura 121 b o orifício é de parede grossa e permite que o jato após passar a seção contraída tenha espaço para se expandir e chegar a ocu par a totalidade da seção Entre a seção contraída e a seção final ocorre uma rápida desaceleração acompanhada de turbulência e forte perda de energia Quando se pretende dirigir o jato e alterar o coeficiente de vazão de um orifício adicionase ao orifício um certo comprimento de tubo de modo geral de mesma geomehia que o orifício como na Figura 1213 Este dis positivo é chamado de bocal ou tubo adicional e é caracterizado por ter um comprimento L variando entre 15D e 50D em que D é o diâmetro do ori fício Os bocais podem ser classificados segundo sua geometria e posição em relação ao reservatório Podem ser cilíndricos ou cônicos convergen tes ou divergentes e externos ou internos 12101 BOCAL CILÍNDRICO EXTERNO Seja conforme a Figura 1213 um bocal cilíndrico externo de com primento L e diâmetro D sujeito a uma carga H no qual há a formação da se ção contraída de área Ac que se caracteriza por uma região de alta velocidade e baixa pressão pressão inferior àquela que contorna o jato após deixar o bo cal seção S de área A Figura 1213 Bocal ou tubo adicional B Hidcãolica Bãsica Cap 12 A lei de descarga do bocal equação equivalente à Equação básica 12 l O pode ser determinada pela aplicação das equações de Bernoulli e da continui dade e das definições dos coeficientes dos orifícios A equação de Bernoulli aplicada entre a seção do nível d água no reservatório de área Ar A e a seção de saída fica y2 H L1h 2g 1234 na qual L1h é a perda de carga entre as seções que se resume à perda localizada no processo de expansão da veia dentro do bocal Conforme foi visto na Seção 331 a maior parcela da perda localizada ocorre na fase de expansão do jato A perda de carga localizada L1h é dada pela equação de BordaCarnot Equação 35 para a qual certos autores propõem adicionar à expressão teóri ca uma pequena fração k da energia cinética a jusante da contração dada a impossibilidade de determinar analiticamente todas as perdas de energia As sim a Equação 1234 tornase y2 V V2 y2 H e k 2g 2g 2g 1235 Bélanger propôs o valor de k 19 independente da relação de áreas enquanto Hanocq citado por Schlag 50 propôs de uma maneira geral a se guinte relação k o1s 1 1236 Pela equação da continuidade entre as duas seções de interesse temse 1237 Usando as Equações 1236 e 1237 a Equação 1235 fica Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 367 H yz 2g 2g y 2 018 1 CC 2g Expressão que após desenvolvida se torna 1 V 1 1 2 0181 1 1 CC CC 1238 1239 Para um valor médio do coeficiente de contração igual a Cc 062 o coeficiente de proporcionalidade entre a velocidade real V e a carga H vale 082 Assim a Equação 1239 fica V 082 j2gH 1240 A jusante do bocal o jato não mais apresenta seção contraída e Cc 1 portanto a vazão pelo bocal será Q 082 A J2gH 1241 Comparando a vazão através do bocal dada pela Equação 1241 com a vazão através de um orifício de parede fina de mesma área A e sujeito à mesma carga H com C 061 Equação 1210 observase que apesar da perda de carga Lh a instalação do bocal promove um aumento na vazão de cerca de 34 Isto ocorre porque na seção contraída a pressão é inferior à pressão at mosférica o que se pode constatar aplicando a equação ele Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e aquela seção na forma E H y Pc V y 2g E pelas Equações 1237 e 1240 temse 1242 Um tanque de gasolina na forma de um cilindro de 20 m de diâmetro e 40 m de comprimento está com combustível na metade de seu volume total e na posição horizontal Determine o tempo necessário para esvaziar o tanque através de um orifício de pequenas dimensões de 75 cm de diâmetro e coeficiente de descarga Cd 062 suposto constante colocado no fundo e descarregando livremente na atmosfera B Hidãolica Cap 12 2 Giovanni Battista Venturl fisico ítalla no 17461822 V 082figH vc C 062 1243 1244 Portanto a pressão na seção contraída do jato é inferior à pressão atmos férica local em 34 da carga sobre o bocal Este fenômeno foi observado expe rimentalmente por Venturi2 que conectando através de um tubo um recipiente aberto colocado em nível inferior à seção contraída verificou que a água se elevava no tubo até uma altura igual a 34 H Para ocorrer escoamento no bocal há um limite físico da carga H dado pela Equação 1244 de modo a não provocar cavitação no bocal No caso li mite em que a pressão na seção contraída Pc seja igual à pressão de vapor saturante Pv a carga máxima é dada por H i Pa Pv máx 3 Y 1245 Para valores de H se aproximando do valor dado pela Equação 245 o escoamento se torna intermitente com quebra de continuidade da veia líquida Os valores do coeficiente de vazão de um bocal cilíndrico colocado perpendicularmente ao plano da abertura em função da relação comprimen to L diâmetro D são mostrados na Tabela 123 Tabela 123 Valores do coeficiente de vazão para bocais UD 05 10 15 20 25 30 50 060 075 078 079 080 082 079 12102 BOCAL CILÍNDRICO INTERNO OU BOCAL DE BORDA A presença de um tubo adicional instalado em um orifício provoca em certas circunstâncias apreciáveis variações nas condições de escoamento tanto no valor da vazão quanto na característica do jato Um tubo cilíndrico como na Figura 1214 colocado n01malmente ao plano do orifício e a sua montan te e com conprimento entre 2 e 25 diâmetros da abertura é chamado de bo cal de Borda Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 369 O bocal de Borda propicia um jato líquido bem regular com uma con tração na entrada do bocal maior que a observada nos orifícios sem tocar as paredes internas do mesmo Este tipo de bocal permite um tratamento analítico para determinar a relação entre os coeficiente de contração e de velocidade Sendo H a carga sobre a linha média do bocal A sua área geométrica e Ac a área da seção contraída para um reservatório de grandes dimensões a distribuição de pressão é hidrostática na seção aa isto é a carga cinética de aproximação é desprezível Seja o volume de controle limi tado pelas seções aa e cc sendo que nesta última a pressão é igual à atmosférica a aplicação do teorema da quantidade de movimento na di reção x ao líquido dentro do volume de controle na condição de esco amento permanente fica Ni jc V X r a C 1 1Fx f vxpVdà 1246 Figura 1214 Tubo adicional interno SC Na seção aa o esforço hidrostático dado por Faa y H A não é com pensado pela resistência da parede na seção de abertura do bocal provocan do a velocidade do jato A resultante das forças na direção x é somente o esforço hidrostático e a Equação 1246 para fluxo unidimensional tornase 1247 De onde se conclui que Cc AJA 050 na condição de velocidade teó1ica Considerando a velocidade real do jato V Cv Vi a Equação 1247 fica 1248 Portanto c2 c V C 2 1249 Para um coeficiente de velocidade Cv 098 fica Cc 052 e cd CcCv 051 A vazão pelo bocal de Borda é então Q 051AJ2gH 1250 B HidáoUca Básica Cap 12 Se o comprimento do bocal for menor que 2D o coeficiente de vazão aumenta tendendo ao valor de Cd correspondente aos orifícios de parede es pessa Se o comprimento do tubo for maior que 25D a veia líquida após atin gir a seção contraída preenche totalmente a seção do bocal produzindo uma descarga análoga aos tubos adicionais cilíndricos externos 1211 TUBOS CURTOS COM DESCARGA LIVRE Do ponto de vista hidráulico o termo tubo curto significa uma estrutura destinada a dar passagem à água em geral com pequena carga Embora os problemas de dimensionamento ou verificação desse tipo de descarregador não exijam tratamento complexo é importante ressaltar que a simples aplicação das formulações estabelecidas para as tubulações sob pressão encanamentos longos pode levar a erros graves De fato dependendo do comprimento da tubulação não se pode deixar de considerar as perdas de carga na entrada e saída além das perdas distribu ídas e a carga cinética residual na saída De maneira geral a distinção entre os diversos casos práticos pode ser feita em função do comprimento relativo da tubulação isto é da relação en tre o comprimento e o diâmetro conforme a convenção a seguir a Se 15 LD 50 bocais b Se 50 LD 100 tubos muito cmtos e Se 100 LD 1000 tubulações curtas d Se LD 1000 tubulações longas ver Seção 35 A classificação acima deve ser entendida como indicativa para o trata mento do problema requerendo por parte do projetista cuidados exigidos pela natureza e risco que a obra possa apresentar Para os tubos muito curtos do ponto de vista prático é mais fácil con tinuar a considerar o escoamento como sujeito à lei dos orifícios em que o coeficiente de vazão Cd traduz o efeito das perdas localizadas e distribuída no tubo A formulação a ser usada é a Equação básica 121 O 1251 observando que a carga H é a diferença de nível entre a superfície do reserva tório e a linha de centro da seção de saída do tubo pois este não necessaria mente estará na horizontal A submergência altura dágua entre a supe1fície Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 371 livre do reservatório e a geratriz superior na entrada do tubo deve ser no mí nimo igual a uma vez e meia a carga cinética para evitar a formação de vór tice na entrada do tubo O coeficiente de descarga para os tubos curtos é dado pelas tabelas a seguir Tabela 124 Valores de Cd para tubos de ferro fundido de 030 m de diâmetro Manual de Hidráulica Azevedo Netto UD 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 150 Cd 077 075 073 070 067 064 062 060 058 056 055 048 Tabela 125 Valores de C para condutos circulares de concreto com entrada arredondada Manual de Hidráulica Armando Lencastre 34 Dm 015 030 045 060 075 090 ros t20 150 LmJ 3 077 086 089 091 092 092 093 093 094 6 066 079 084 087 089 090 091 091 092 9 059 073 080 083 086 087 089 089 090 12 054 068 076 080 083 085 087 088 089 15 049 065 073 077 081 083 085 086 088 18 046 061 070 075 079 081 083 085 087 21 044 059 067 073 077 079 081 083 085 24 041 056 065 071 075 078 080 082 084 27 039 054 063 069 073 076 078 080 083 30 038 052 061 067 071 074 077 079 082 33 036 050 059 065 070 073 076 078 081 36 035 049 058 064 068 071 074 077 080 39 034 047 056 062 067 070 073 076 079 42 033 046 055 061 066 069 072 075 078 Com a finalidade de quantificar erros inerentes ao uso de formulações inadequadas em um problema simples o Exemplo 123 apresenta uma com paração da aplicação da lei dos orifícios a um tubo curto LD 100 com o uso da equação de resistência de DarcyWeisbach com e sem perdas localizadas Jàbela 126 Valores de Cd para condutos circulares de concreto com entrada em aresta viva Manual de IIidrá11lica Armando Lencastre 34 Dm 015 030 045 060 Lml 075 090 105 120 150 3 074 080 081 080 080 079 078 077 076 6 064 074 077 078 078 077 077 076 075 9 058 069 073 075 076 076 076 075 074 12 053 065 070 073 074 074 074 074 074 15 049 062 068 07 1 072 073 073 073 073 18 046 059 065 069 071 072 072 072 072 21 043 057 063 067 069 070 071 071 071 24 041 054 061 065 068 069 070 070 071 27 039 052 060 064 066 068 069 070 070 30 037 051 058 062 065 067 068 069 070 33 036 049 056 061 064 066 067 068 069 36 035 048 055 060 063 065 066 067 068 39 033 046 054 059 062 064 065 066 068 42 032 045 053 058 061 063 065 066 067 NA L EXEMPLO 123 Figura 1215 Exemplo 123 A tomada d água para o abastecimento de uma indúst1ia é feita em um reservatório de grandes dimensões através de uma tubulação de ferro fundido novo rugosidade absoluta E 025 mm comprimento 30 m diâmetro de 030 m sob carga de 070 me descarregando livremente na atmosfera como na Figura 1215 Analise a capacidade de vazão da tubulação seguindo quatro procedimentos distintos a tubulação longa em que se desprezam as perdas de carga localizadas e a carga cinética b tubulação cmta considerando um coeficiente de perda de carga na en trada K 08 sem perda de carga na saída e levando em conta a carga cinética na saída da linha e tubulação curta considerando um comprimento equivalente na entrada tipo Borda sem perda na saída e desprezando a carga cinética na saída d considerando um tubo curto utilizando a lei de descarga dos orifícios com o coeficiente de descarga extraído da Tabela 124 Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 373 Discuta a solução Modo a A perda de carga unitária é dada por J LiHL 07030 00233 mim Para E 025 mm D 030 m e J 233 m1 00m a Tabela A2 forne ce a vazão Q 0188 m3s Modo b Equação da energia y 2 L y2 H K f 1 18 100f 070 m 2g D 2g Resolvendo por tentativas com auxílio da Tabela Al vem Seja V 20 ms TabelaAl f 00195 11Z 0765 m H 070 m 2 Seja f 00195 Equação V 191 ms Tabela A 1 f 00195 Portanto V 191 ms Q 0135 m3s Modo e Entrada de Borda Tabela 36 Le 906 m L 3906 m A perda de carga unitária é dada por J 11HL 0703906 00179 mim Para E 025 mm D 030 m e J 179 m100m a Tabela A2 forne ce a vazão Q 0164 m3s Modo d Lei dos orifícios Q Cd A J 2g H para LD 100 a Tabela 124 fornece o valor do coeficiente de descarga Cd 055 1t 0302 Daí Q 055 196 070 0144 m3s 4 Conclusão O cálculo mais preciso é dado pelo procedimento b equa ção da energia na forma completa A pior avaliação é dada pelo procedimen to a enquanto a lei dos orifícios forneceu uma vazão com somente 7 de diferença para o valor do procedimento b Por que em igualdade de condições a capacidade de vazão de um bocal cilíndrico externo é maior que a do orifício de parede fina B Hidffilica Básica Cap 12 H 1212 COMPORTAS DE FUNDO PLANAS Llh Um tipo de controle utilizado em canais é uma comporta pla na como na Figura 12 16 a maioria das vezes vertical e de mesma largura que o canal sem contrações laterais Tal dispositivo contro la as características do escoamento fluvial a montante e torrencial a sua jusante Tratase basicamente de uma placa plana móvel que Figura 1216 Comporta plana vertical ao se levantar permite graduar a abertura do orifício e controlar a descarga produzida A vazão descaiTegada pela comporta é função do tirante de água a sua montante e da abertura do orifício inferior com o escoamento podendo ser considerado bidimensional Depen dendo da condição hidráulica de jusante o escoamento após a com porta pode ser livre em geral seguido de um ressalto hidráulico e submerso ou afogado como será discutido adiante Carga total Na situação de uma comporta de fundo colocada em um ca nal retangular de fundo horizontal e mesma largura não há contrações laterais do jato e este pode ser tratado como bidimensional O escoamento pode ser tratado através da lei dos orifícios observando que a lâmina líquida descarregada pelo orifício de abertura b a partir do ponto A sofre uma contração vertical até alcançar um valor y2 Cc b a uma distância L 13b seção contraída Na seção contraída as linhas de correntes são ho rizontais e têm uma distribuição de pressão hidrostática A montante da com porta a energia disponível é a soma do tirante de água y I e da carga cinética de aproximação V 2g que se torna mais importante à medida que a relação yb diminui Ll1t Carga de pressão na comporta A distribuição de pressão sobre a comporta e na seção do orifício é mostrada na Figura 1217 juntamente com os principais parâmetros geométricos de interesse V 22g Carga de pressão no fundo Distribuição de pressão na seção do orifício Figura 1217 Pressão e condições do escoamento bidi mensional sob uma comporta A determinação da vazão descarregada pode ser feita atra vés de um balanço de energia e continuidade entre duas seções com alturas d água substancialmente uniformes distribuição hidrostática de pressão Considerando descarga livre e desprezan do as perdas de carga entre as seções 1 e 2 podese escrever 2 2 Hy1 qY2 q 2gyf 2gy 1252 que desenvolvida fica Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 375 1253 Tomando como referência uma velocidade expressa por e ob servando que y2 Cc b a Equação 1253 pode ser colocada na forma da lei dos orifícios como Fazendo a equação anterior toma a forma da lei dos orifícios 1255 Observe que na lei de vazão de uma comporta a carga a montante é o próprio tirante de água e não a distância vertical des de a superfície livre até o centro de gravidade do orifício Os coeficientes de contração e de descarga para uma com porta vertical dependem da relação y1b e têm sido objeto de de terminação experimental por vários investigadores como Henry 29 cujo trabalho é considerado o mais extensivo e confiável e cujos resultados foram confirmados por Rajaratnam e Subramanya 43 e posteriormente reanalisados por Swamee 57 254 Cd O 2 4 6 8 10 12 14 16 Y1b Henry apresenta um gráfico para determinação do coeficiente de vazão para escoamento livre ou submerso em função da aber tura relativa y 1b e do grau de submersão do escoamento a jusante y3b conforme a Figura 121 8 Figura 1218 Coeficiente de descarga de uma comporta plana vertical Henry 29 Para propósitos práticos o coeficiente de contração pode ser considerado constante praticamente independente da relação y1b e igual a Cc 061 Recentemente Swamee 57 apresentou equações para o coeficiente de descarga para condições de escoamento livre ou submerso e uma relação geo Na seção contraída de um jato sob uma comporta plana e retangular podese assumir distribuição hidrostática de pressão B Hldcãllca Básica Cap 12 NA 180m i Figura 1219 Exemplo 124 métrica para definir a separação entre escoamento livre e submerso baseado no gráfico de Henry As expressões levantadas via análise de regressão são as seguintes a Descarga livre 0072 cd 0611 Y b y 1 15b b Descarga afogada 1256 e Condição para existência de descarga livre ver Figura 121 6 1258 EXEMPLO 124 Uma comporta plana e vertical descarrega uma certa vazão em um tre cho curto de um canal retangular horizontal e liso Na extremidade de jusante existe uma soleira com altura 1Z 050 m seguida por uma queda livre con forme a Figura 1219 Para um coeficiente de contração Cc 061 determine a vazão unitária e a altura d água em cima da soleira Utilize a Equação 1256 e despreze a perda de carga na soleira O coeficiente de vazão e a vazão unitária são dados por e o611 Y b ººn o611 180 o20 ººn o565 y 1 15b 180 15020 q Cd b 0565 020 J 196 180 067 m3sm A energia específica disponível na seção contraída vale Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 377 2 o 672 E Cb q 0122 2 166m 2 e 2gCcb2 1960122 Como o canal é curto e liso a perda de carga entre as seções 2 e 3 é des prezível e para que não haja mudança de regime com o escoamento torren cial se mantendo em cima da soleira devese ter fa JZ 15 Yc ver Seção 1072 A altura crítica vale Y 5L 067 O 36 m 2 13 2 3 e 9 8 g A energia específica mínima vale Ec 15036 054 m portanto E2 JZ 1 16 m 054 m a descarga é livre e o escoamento permanece torren cial A altura dágua em cima da soleira é dada pela raiz da equação seguinte correspondente ao regime torrencial 92 0672 E3 y3 2 166 050 y3 2 2gy3 196y3 y3 015 m 12121 ESCOAMENTO AFOGADO A característica do escoamento livre sob uma comporta de fundo é a existência do regime torrencial com um tirante dágua inferior à abertura b Se um condicionamento qualquer a jusante da comporta como por exemplo a existência de uma soleira de fundo como na Figura 1219 impuser a ocor rência de um ressalto hidráulico dois casos podem ser analisados Se a posição de equilíbrio do ressalto for afastada da comporta o escoa mento se produzirá como veia livre e o nível dágua a jusante em regime flu vial não exercerá influência sobre a vazão Se a altura dágua no regime fluvial y3 for maior que a correspondente altura conjugada do escoamento na seção contraída y2 o ressalto não encontrará condição de equilíbrio no canal e se moverá para montante até alcançar a parede do orifício e a veia líquida afo gando o escoamento e produzindo uma zona de movimento turbilhonar e a vazão resulta influenciada pelo tirante a jusante y3 como na Figura 1220 B Hidánca Bãsca Cap 12 NA b 2 Uma análise simples e aproximada do escoamento afo gado em uma comporta retangular pode ser feita a partir de algumas hipóteses estabelecidas aos escoamentos nas seções 1 2 e 3 a Nas três seções o escoamento é assumido bidimensional b Na seção 2 seção contraída o escoamento é dividido em duas partes a parte inferior ocupada por água em movimen Figura 1220 Escoamento afogado sob uma comporta to direcionado e a parte superior por água estagnada onde embora com grande turbulência não há um movimento re sultante em qualquer direção água morta A vazão unitá ria na seção 2 é dada por q Cc b V2 e A distribuição de pressão nas três seções segue a lei hidrostática d A perda de carga entre as seções 1 e 2 é desprezível escoamento con vergente isto é toda a perda se concentra no trecho em que há ex pansão do jato entre as seções 2 e 3 Aplicando a equação da energia entre as seções 1 e 2 vem 2 2 yq y q 1 l2 2 C b2 gy g e 1259 Observe que na equação anterior o termo hidrostático na seção 2 é a altura total y e não a altura do jato y2 A equação do momento ou da força específica Equação 11 4 aplicada às seções 2 e 3 tornase 1260 e aqui também o empuxo hidrostático na seção 2 é baseado na altura total y e não em y2 A Equação 1260 pode ser rearranjada na forma 1261 Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 379 Pode se verificar pela Equação 1261 que para uma vazão q constante as alturas y e y3 variam no mesmo sentido isto é a diminuição de y3 produz uma diminuição simultânea em y até a condição limite em que 1262 Nesta situação a veia é livre não afogada e o ressalto ocorre imedia tamente a jusante da seção contraída O valor de y3 que corresponde à situa ção limite é evidentemente a altura conjugada de y y2 Ccb As Equações 1259 e 1261 formam o conjunto necessário para resolu ção dos problemas relativos ao escoamento afogado nas variáveis Y1 y y3 b e q EXEMPLO 125 Considere uma comporta plana e vertical para a qual o tirante d água a montante é y1 240 m Determine qual deve ser a abertura b para que a va zão unitária seja q 233 m3sm em condição de veia livre Com estames ma abertura e mantida a carga a montante y1 240 m qual a vazão unitária descarregada quando o tirante dágua a jusante da comporta for y3 180 m Adote como coeficiente de contração Cc 061 e despreze a carga cinética de aproximação para a comporta a Pará cd cc cd o61 1 Ccby1 Jl 0254b Da Equação 1255 q Cd b figy substituindo a relação anterior 233 l 054 b b 196 240 b 060 m b Vedficação prévia da condição de escoamento livre Para que o escoamento seja livre pela Equação 1258 é necessário que Y1 081 y3 b 72 081180 180 72 322m y1 240 m b 060 portanto o escoamento é afogado Utilizando as Equações 1259 e 1261 substituindo os valores numéri cos e desprezando a carga cinética na seção 1 fica Quais as hipóteses feitas na dedução da Equação 1261 240 q2 1 y 1467m y 2626 y2 324 0444q2 q 1564 m3smv Uma maneira mais rápida de calcular a vazão é utilizando o gráfico da Figura 1218 Para y1b 240060 4 e yib 0060 3 do gráfico sai Cd 037 Pela Equação 1255 temse g 037060 J 196 240 1523 m3sm Observe a pequena diferença entre os resultados e o fato de que o de senvolvimento teórico Equações 1259 e 1261 é aproximado EXEMPLO 126 Uma comporta plana e vertical deve veicular uma vazão unitária g 10 m3sm com carga a montante y1 40 m e tirante d água no canal de deságue y3 30 m A que altura deve ser elevada a comporta Permanecendo a comporta com a abertura calculada anterio1mente a mesma carga y 1 40 m e o nível dágua de jusante variando qual deve ser a vazão e o tirante dágua y3 para que a descarga comece a ocorrer sob condições de lâmina livre Adote co eficiente de contração Cc 061 e despreze a carga cinética de aproximação para a comporta a Se por hipótese a comporta estiver afogada para y3 30 m as Equações 1259 e 1261 ficam 40 0137 y 7 b 0345 m 2 90 0204 30 061 b y 183 b y 285m Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 381 Verificação da hipótese A condição limite para que a comporta funcione livre é que o tirante dágua y3 seja igual a altura conjugada de y y2 Cc b 021 m para ava zão q 10 m3sm Y3 1 Alturas conJugadas 021 2 y3 089 m 1 8 102 3 1 98021 portanto a altura conjugada da profundidade da água na seção contraída é menor que o tirante dágua a jusante a comporta estará afogada e a hipótese verificada b Para a descarga livre a vazão descarregada é dada por Cc1 J º61 0595 q 05950345 J 196 40 182 m3sm 1 061 0345 40 y 1 Alturas conjugadas oli 2 182 2 l 1 8 3 1 y3 169 m 98 021 Portanto a comporta com abertura b 0345 me carga a montante y 40 m funcionará livre desde que o tirante dágua a jusante seja y3 169 m Se y3 169 m o escoamento se dará com lâmina afogada Um cálculo mais rápido e aproximado do tirante dágua y3 pode ser feito pela Equação 1258 na forma Y 081y ch012 40 081y C11º12 1 3 b 3 0345 y3 162 m 1213 VERTEDORES Vertedor ou descarregador é o dispositivo utilizado para medir eou con trolar a vazão em escoamento por um canal Tratase basicamente de um ori fício de grandes dimensões no qual foi suprimida a aresta do topo portanto a parte superior da veia líquida na passagem pela estrutura se faz em contato com a pressão atmosférica A presença do vertedor que é essencialmente uma B Báska Cap 12 NA Lâmina vertente parede com abertura de determinada forma geométrica colocada na maioria dos casos perpendicularmente à corrente eleva o nível dágua a sua montante até que este nível atinja uma cota suficiente para produzir uma lâmina sobre o obstáculo compatível com a vazão descarregada A lâmina líquida des carregada adquirindo velocidade provoca um processo de convergência ver tical dos filetes situandose portanto abaixo da supetfície livre da região não perturbada de montante Os vertedores são estruturas relativamente simples mas de grande im portância prática devido a sua utilização em numerosas construções hidráuli cas como sistemas de irrigação estações de tratamento de água e esgotos barragens medição de vazão em córregos etc 12131 NOMENCLATURA E CLASSIFICAÇÃO Conforme a Figura 1221 as principais partes constituintes de um vetedor são a Crista ou soleira é a parte superior da parede em que há contato com a lâmina vertente Se o contato da lâmina se limitar como nos orifí cios de parede fina a uma aresta biselada o vertedor é de parede delgada já se o contato ocorrer em um comprimento apreciável da parede o vertedor é de parede espessa b Carga sobre a soleira h é a diferença de cota entre o nível dágua a montante em uma região fora da curvatura da lâmina em que a dis tribuição de pressão é hidrostática e o nível da soleira Em geral a uma distância a montante do vertedor igual a seis vezes a carga a depressão da lâmina é desprezível c Altura do vertedor P é a diferença de cotas entre a soleira e o fundo do canal de chegada d Largura ou luz da soleira L é a dimensão da soleira através da qual há o escoamento Crista ou soleira L Os vertedores podem ser classificados de diversas maneiras h rt111 1 1 Ih a Quanto à forma geométrica da abertura retangulares triangulares trapezaidais circulares parabólicos T 9 6 a 10 h Figura 1221 Vertedor de parede delgada b b Quanto à altura relativa da soleira descarga livre se P P são os mais usados e descarga submersa se P P isto é se o nível dágua de saída for superior ao nível da soleira Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 383 c Quanto à natureza da parede parede delgada se a espessura da pa rede for inferior a dois terços da carga e 23 h e de parede espes sa caso contrário e 23 h d Quanto à largura relativa da soleira sem contrações laterais se a lar gura da soleira for igual à largura do canal de chegada L b e com contrações laterais se a largura da soleira for inferior à largura do canal de chegada L b e Quanto à natureza da lâmina lâmina livre se a região abaixo da lâ mina for suficientemente arejada de modo que a pressão reinante seja a pressão atmosférica lâmina depriniida se a pressão abaixo da lâmina for inferior à pressão atmosférica e lâmina aderente quando não há bolsa de ar abaixo da lâmina e esta cola no paramento face de jusante sem entretanto ser afogada f Quanto à inclinação do paramento da estrutura com a vertical podem ser vertical ou inclinado g Quanto à geometria da crista de crista retilínea circular e poligonal ou em labirinto 12132 VERTEDOR RETANGULAR DE PAREDE FINA SEM CONTRAÇÕES Esse tipo de vertedor tem sido ao longo dos anos o mais exaustivamen te estudado Tratase de uma placa delgada com soleira horizontal e biselada instalada perpendicularmente ao escoamento ocupando toda a largura do ca nal portanto sem contrações laterais e com o espaço sob a lâmina vertente ocupado com ar à pressão atmosférica Um vertedor com estas características em geral utilizado para medidas de vazão com boa precisão é denominado descarregador Bazin 3 Alguns detalhes de constrnção e instalação são necessários para que o vertedor se constitua em um bom dispositivo de medida de vazão a A seção de instalação deve ser precedida por um trecho retilíneo e unifmme do canal de modo a garantir uma distribuição de velocidade na chegada a mais uniforme possível Em geral um comprimento de canal maior do que 20 Rh em que Rh é o raio hidráulico da seção de medição é suficiente Eventualmente podese usar elementos tran qüilizadores de fluxo a montante do vertedor como cortinas perfu radas e telas b Devese garantir a presença da pressão atmosférica por baixo da lâ mina promovendo o arejamento da região pela instalação de um tubo perfurado que conecte aquele espaço com o exterior 3 HenriEmile Bazin engenheiro fran cês 18291917 B Hua Báska Cap 12 V f t D rawe Figura 1222 Escoamento sobre um ver tedor retangular e A medida da carga deve ser feita a montante do vertedor a uma dis tância em torno de seis vezes a máxima carga esperada A cota do nível dágua para a medida da carga deve ser feita em um poço de medição externo ao canal para suavizar as flutuações da corrente d Com o propósito de evitar que a lâmina vertente cole na parede a carga mínima deve ser da ordem de 2 cm e A largura da soleira deve ser em geral superior a três vezes a carga j Não são recomendadas cargas altas superiores a 50 cm Detalhes construtivos de instalação e operação bem como recomenda ções de norma e coeficientes experimentais deste e de outros tipos de ver tedores podem ser encontrados na literatura especializada como Bos 8 e Ackers et al 2 A Figura 1222 apresenta uma seção longitudinal do escoamento sobre um vertedor retangular de parede fina e sem contrações laterais As sumindo algumas hipóteses simplificadoras uma análise elementar pode ser feita para a determinação da vazão em relação aos outros elementos hidráulicos e geométricos Supondo que a distribuição de velocidade a montante do vertedor seja uniforme que a pressão em torno da seção AB da lâmina vertente seja atmosférica que os efeitos oriundos da viscosida de tensão superficial turbulência e escoamentos secundários possam ser desprezados a equação de Bernoulli pode ser aplicada à linha de cotTente DC O escoamento pode ser tratado como essencialmente bidimensional sem efeitos de contração lateral Tomando como plano horizontal de referência um plano passando em B a equação de Bernoulli fica y2 y2 h º h y l 2g 2g portanto y 2 2gy º 2g 1263 1264 Sendo dq V 1 dy a vazão unitária elementar em uma faixa de altu ra dy a integração sobre toda a vertical permite calcular a vazão unitária q na forma Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores h hH2 qJV1dyJ2if yº dy o o 2g 1265 que resulta em 1266 A Equação 1266 é conhecida como equação de Weisbach Na dedução da equação anterior foram feitas hipóteses simplificadoras como assumir na seção AB que as velocidades tenham direção horizontal com distribuição parabólica dada pela Equação 1264 efetuando a integração en tre os limites O e h Isto é equivalente a admitir que na seção AB o tirante de água tem dimensão h Por outro lado na aplicação da equação de Bernoulli ao longo da linha de corrente DC admitiuse distribuição hidrostática de pressão o que implica uma distribuição uniforme de velocidades V0 e Vi em con traposição com a distribuição parabólica dada pela Equação 1264 Na verdade existe um efeito de contração vertical dos filetes os quais passam por uma seção contraída onde a distribuição de pressão se afasta da hidrostática Re sultados experimentais para este tipo de vertedor indicam que o ponto mais alto alcançado pela face inferior da lâmina situase O 12 h acima da crista isto é 088 h abaixo da superfície horizontal de montante Na vertical daquele ponto a carga de pressão é máxima e igual a O 18 h conforme Figura 1223 O efeito da contração vertical da veia pode ser expresso pela introdução na Equação 1266 do coeficiente de contração Cc o que resulta em q J cc fig h v 32 v 32 3 2g 2g 1267 A vazão unitária pode ser expressa de modo mais conveniente para o escoamento real sobre o vertedor pela introdução do coeficiente de descarga Cd formalmente análogo ao escoamento em orifícios oomo 1268 385 B Hdrauca Bãsca Cap 12 na qual cd e 1 v 32 v 32 e 2gh 2gh 1269 Figura 1223 Distribuição de pressão na seção contraída A Equação 1268 é a expressão fundamental da relação entre vazão e carga em um vertedor retangular e tanto o coeficiente de contra ção Cc quanto o termo V022gh dependem da configuração geométrica do escoamento em particular da relação hP cargaaltura do vertedor e conseqüentemente o coeficiente de descarga Cd também depende de hP Para que um vertedor retangular tipo Bazin possa ser usado em medições de vazões com boa precisão o que deve ser garantido na distribuição de veloci dade de chegada a sua montante Sendo L a largura da soleira igual à largura do canal a vazão total descarregada vale 1270 Observe que a equação anterior também pode ser obtida da lei de vazão em um orifício retangular de grandes dimensões Equação 1220 fazendose nesta h1 O não há aresta superior h2 h e b L Portanto na Equação básica 1270 o coeficiente de vazão Cd incorpo ra todas as hipóteses simplificadoras e os efeitos secundários da viscosidade tensão superficial rugosidade da placa e do padrão de escoamento a montante 12133 VALORES DO COEFICIENTE DE VAZÃO Cd O problema da relação entre carga e vazão em um vertedor tipo Bazin é objeto de estudos analíticos e levantamentos experimentais há mais de 100 anos Kolupaila 33 citado por Ackers et al 2 apresenta uma lista de 100 referên cias sobre o desenvolvimento histórico de vertedores e formulações para vertedores de parede fina retangulares e de outras geometrias das mais varia das procedências e conclui que apesar de todo esforço realizado não é pos sível recomendar com segurança uma detenninada formulação A detenninação experimental do coeficiente de vazão e sua relação com a geometria e condições do escoamento como carga h altura da soleira P e largura do canal b L fai xa de vazão velocidade de aproximação etc foi objeto de estudo de vários pes quisadores Serão apresentadas somente as quatro expressões mais encontradas na literatura Devese observar nas formulações seguintes as condições e limi tes dos parâmetros experimentais e que do ponto de vista prático na Engenha ria é pe1feitamente aceitável variação de resultados na faixa de 5 Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 387 a Bazin 1889 sujeito a 008 h 050 m 020 P 20 m b Rehbock 4 1912 h 1 Cd 0605 008 p 1000h sujeito a 005 h 080 m P 030 me h P e Rehbock 1929 Cd 06035 00813 h 0011 1 00illr2 sujeito a 003 h 075 m L 030 m P 030 m e h P 1271 1272 1 273 A equação de Rehbock fornece bons resultados quando detalhes como boa ventilação da lâmina soleira bem polida dispositivos de uniformização do campo de velocidade a montante forem considera dos sendo indicada em trabalhos de laboratórios por sua precisão Os valores obtidos pelas expressões de 1912 e 1929 são concordantes d Francis 1905 1274 sujeito a 025 h 080 m P 030 m e h P Para Ph 35 o valor da carga cinética de aproximação é pequeno e o coeficiente médio da equação de Francis tornase Cc1 0623 po dendose utilizar a fórmula prática Q l838Lh312 1275 A Equação 1275 ainda que leve a valores aproximados mas su ficientes para resolver muitos problemas hidráulicos pela sua simpli cidade é a expressão mais utilizada na prática e Kindsvater e Carter 30 1957 Baseado em cerca de 250 experimentos realizados no Georgia lns titute ofTechnology em vertedores retangulares sem contrações late 4 Theodor Rehbok engenheiro e professor alemão 18641950 B HidáoUra Básira Cap 12 Por que a carga sobre a soleira de um vertedor retangular de parede fina não deve ser medida exatamente na seção de instalação do medidor O que significa em um vertedor retangular tipo Bazin lâmina arejada rais e contraídos os autores propuseram uma expressão para o coefi ciente de vazão similar à expressão de Rehbock na forma Cd 0602 0075 1276 sujeito a 010 P 045 m 003 h 021 me L 082 m obser vando que para levar em conta efeitos de tensão superficial e visco sidade do líquido a largura da soleira e a carga foram reduzidas em l mm pela introdução dos conceitos de carga efetiva h e largura efetiva Le Deste modo a equação básica Equação 1270 é escrita como na qual Le L 0001 e he h 0001 ambos em metros 12134 INFLUÊNCIA DA CONTRAÇÃO LATERAL 1277 Nas medições de vazão em campo sejam em canais artificiais ou córregos naturais não se tem evidentemente as situações encontradas em la boratórios Uma destas situações corresponde à instalação de um vertedor re tangular de largura L no meio de um canal de largura b L o que provoca o aparecimento de contrações laterais Com a finalidade de manter a validade das equações discutidas e os valores do coeficiente de vazão considerase em vez da largura Lda soleira a largura efetivamente disponível para o escoamento Segundo Francis a contração lateral em um vertedor retangular com o bordo vertical afastado da parede do canal mais de 4h e largura L 3h é igual a um décimo da carga h Para uma contração lateral dupla a largura efetivamente ocupada pelo escoamento deve ser a largura geométrica da soleira diminuída em 2h10 Assim a fórmula prática e aproximada de Francis Equação 1275 para um vertedor retangular parede fina e duas contrações laterais é escrita como Q 1838L 020hh 3 2 1278 1214 VERTEDOR TRIANGULAR DE PAREDE FINA Os vertedores triangulares são particularmente recomendados para medição de vazões abaixo dos 30 1s com cargas entre 006 e 050 m É um vertedor tão preciso quanto os retangulares na faixa de 30 a 300 1s Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 389 Considerando a Figura 1224 que mostra um ve1tedor triangular com ângulo de abertura a e carga h a relação entre vazão e carga pode ser facil mente determinada desprezando a carga cinética de aproximação A descarga teórica elementar através da faixa de altura dy e largura 2x vale dQ figy dA 2 figy x dy Como tg a2 xhy a vazão elementar tornase dQ 2 fig tga 2 hyjy dy que integrada entre os limites O e h fica h 8 Q 1 2 fig tga 2 f h yjy dy fig tga 2h 52 0 15 Compare este resultado com aquele obtido via Análise Dimensional ver o Problema 16 que já mostrava que a vazão era diretamente proporcional ao produto da raiz quadrada da aceleração da gravidade pela carga elevada à po tência 52 A vazão real é obtida multiplicandose a vazão teórica por um coeficiente de vazão menor que a unidade 1279 queé a equação fundamental da lei de vazão para todos os vertedores triangu lares de parede fina Dentre os vertedores triangulares o mais usado nas medições práticas é aquele com ângulo de abertura a 90 e para esta abertura as fórmulas experimentais mais usadas são a Thomson Q 140 h 512 1280 sujeito a 005 h 038 m P 3h b 6 h Figura 1224 Vertedor triangular de parede fina Figura 1225 Ve1icdor Cipolctti b Gouley e Crimp Q 132 h 248 sujeito a 005 h 038 m P 3h b 6 h 1215 VERTEDOR TRAPEZOIDAL DE PAREDE FINA 1281 Os vertedores trapezoidais não encontram tanto interesse de aplicação como os vertedores retangulares e triangulares Unicamente há alguma impor tância no vertedor chamado Cipoletti em forma de um trapézio isósceles cuja geometria é obtida de maneira que as inclinações laterais compensem a diminui ção de vazão devido ao efeito da contração lateral do vertedor retangular de mesma largura de soleira Para que isto ocorra a inclinação dos lados do vertedor trapezoidal deve estar na proporção 1H4V Esta propriedade pode ser facilmente mostrada imaginando que a vazão por um vetedor trnpezoidal é a soma da vazão pelo vertedor retangular de lar gura da soleira L e da vazão pelo vertedor triangular correspondente às duas inclinações Admitindo o critério de Francis Equação 1278 a diminuição que sobre a vazão provoca as contrações laterais vale fiQ 1838 02 h h 15 03676 h 512 Adotando o mesmo coeficiente médio que levou à Equação 12 78 Cc1 0623 para o vertedor triangular Equação 1279 a inclinação lateral vale tiQ 03676 h512 0623 0i tgo 2 11 512 15 1 tga 2 025 4 1282 Tem sido determinado experimentalmente que o coeficiente de vazão de um ve1tedor Cipoletti vale Cc1 063 e a vazão é detc1minada pela equação Q 1861 L 113 2 1283 sujeito a 005 h 060 111 a 2 h L 3 h P 3 h e b largura do canal de 30 a 60 h conforme a Figura 1225 Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores EXEMPLO 127 Em um distrito de irrigação existe um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 120 m declividade de fundo 0 00003 mim inclinação dos taludes 1 V2H revestido de cimento n 0020 transportando em regime uni forme uma certa vazão com altura dágua igual a 045 m Desejandose em uma determinada seção aumentar o tirante dágua para 075 m optouse pela instalação de um vertedor retangular parede fina com duas contrações late rais e largura da soleira L 150 m Qual deve ser a altura da soleira P A vazão transportada é determinada pela fórmula de Manning Equação 839 com auxílio da Tabela 82 Param byo 120045 267 e Z 2 K 1603 e como nQ 38 M JT Ky 0 1603045 0721 Q 0362 m3s A carga sobre a soleira do vertedor com duas contrações laterais é calculada pela Equação 1278 Q 1838 L 020h hJ2 0362 1838150 02 h h32 h 0265 m A altura dágua y 075 m P h P 0265 P 0485 m 1216 VERTEDOR RETANGULAR LATERAL O uso mais comum dos vertedores sejam de parede fina ou espessa em obras hidráulicas é aquele em que a instalação do vertedor é feita perpendi cularmente ao sentido da corrente Nesse caso a vazão unitária sobre a solei ra é essencialmente constante Entretanto há casos em sistemas de alívio de vazões em drenagem urbana partição de vazões em projetos de irrigação controle de fluxo em estações de tratamento que o vertedor é colocado para lelamemente à corrente quando então são chamados de vertedores laterais Hidraulicamente o escoamento sobre a soleira de tais vertedores não mantém uma vazão unitária constante e é do tipo espacialmente variado 12161 CARACTERÍSTICAS DO ESCOAMENTO A presença de um vertedor lateral em um canal retangular caso mais comum devido à distribuição de vazão ao longo de sua largura altera o per Por que o vertedor triangular é mais sensível na medida da vazão que o retangular 391 y Q Q Q Figura 1226 Curva y x Q para E cte Aproximação Supcrcrítico Aproximação Subcrítico P Yci Aproximação Subcritico P Yc 1 fil dágua imediatamente a sua montante e a sua jusante Do ponto de vista prático as alturas dágua a montante e a jusante do trecho de lo calização do vertedor são assumidas como as alturas normais correspon dentes às vazões Q1 de montante e Q2 Q1 de jusante A hipótese básica para o desenvolvimento analítico das condições de escoamento é que dada a limitada largura da soleira a energia específica no trecho do vertedor permaneça constante A característica da curva altura dágua x vazão para uma dada energia específica constante Eo ver Seção 102 é que a altura dágua decresce no sentido do fluxo quando a vazão di minui se o escoamento for torrencial e cresce se o escoamento for flu vial conforme a Figura 1226 2 A Figura 1227 apresenta os perfis d água em três si tuações diferentes em que Pé a altura da soleira do vertedor Qv a vazão vertida lateralmente e Yc a altura crítica quando o escoamento a montante for fluvial ou torrencial 12162 EQUACIONAMENTO Na hipótese da energia específica ser constante ao lon go da soleira vertedor lateral retangular de altura P e com primento L de soleira delgada ou espessa canal principal retangular de largura b e escoamento de aproximação fluvial caso mais comum na prática de acordo com a Figura 1228 temse Energia específica E 0 y Q 2gby diferenciando em relação a x abscissa ao longo da corrente fica dE0 Ü dy l 2Qy2 dQdxQ 2 2ydy dxl dx dx 2gb2 y4 Figura 1227 Perfis de água para diferentes condições de aproximação Üdy 1 QdQ l Q2dyl l dx gb2 dx y2 dx y Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 393 dy dx Qy dQ Q 2 gb 2y3 dx 1284 Esta última equação diferencial relaciona a variação do nível dágua à variação de vazão ao longo da soleira Assumindo que a vazão unitária de um vertedor retangu lar parede fina sem contrações laterais em que Cct é o coefici ente de descarga é dada por 1285 e sendo a equação da energia específica para o canal retan gular Equação 106 dada por Vertedor lateral b Canal principal b Planta Figura 1228 Vertedor lateral substituindo na Equação 1284 vem dy byJ2gE0 yy2 3CdfigyP½ dx b 2y22gE0 ygb2y3 1286 que é a equação diferencial da linha dágua e após desenvolvida tornase 1287 Esta equação foi integrada por de Marchi5 17 em 1932 para x O até x L largura da soleira do vertedor resultando em 3 b L th th na qual 2 e 2 1 d Ih 2E03P E0 y 3 E0 y arcsen E0 P y P y P 1288 5 Giulio de Marchi engenheiro e profes sor italiano 18901972 B HctâHca BáSca Cap 12 O escoamento sobre a soleira de um vertedor lateral de forma retangular tem vazão unitária q constante Q1 Figura 1229 Vertedor lateral de parede fina sem canal lateral 12163 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE DESCARGA A determinação do coeficiente de descarga para um vertedor lateral de parede fina ou espessa tem sido objeto de trabalhos experimentais os quais mostram a influência da presença de paredes no canal lateral sobre a trajetó ria das linhas de fluxo O coeficiente de descarga é basicamente função do tipo de escoamento a montante do vertedor através do número de Froude do escoamento de aproximação Resultados de trabalhos experimentais para a geometria retangular podem ser encontrados em Hager 27 Subramanya e Awasthy 55 Ranga Raju et al 44 Swamee et al 56 e Singh et al 53 entre outros No caso de um vertedor lateral convencional sem estar conectado a um canal lateral Figura 1229 os dados de Subramanya e Awasthy 55 fornecem uma expressão do coeficiente de vazão função do núme ro de Froude no canal principal a montante do vertedor dado pela Equação 1289 cd 0622 0222 Fr1 O s P s 060 m 1289 válida para aproximação subcrítica ou supercrítica No caso da presença de um canal lateral Figura 1230 Ranga Raju Prasad e Gupta 44 recomendam a Equação 1290 para o coefi ciente de vazão Canal lateral cd 081 060 Fr1 020 s P s 050 m 1290 Figura 1230 Vertedor lateral de parede fina com canal lateral Para o caso de um vertedor de parede espessa com canal lateral veja a Figura 1228 a Equação 1290 é modificada pela introdução de um parâmetro K que leva em conta o efeito do comprimento M da crista do vertedor na forma 1291 na qual K 1 para y 1 P 2 M K 080 010y1 PMparay1 P 2M 1292 Recentemente Singh Manivannan e Satyanarayana 53 apresentaram para um vertedor retangular de parede fina com canal lateral uma expressão Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 395 para o coeficiente de vazão Cd em função de ambos Fr1 e da relação Py1 Equação 1293 Cct 033 018 Fr1 049 Py1 1293 006 S P S 012 m e 010 S L S 020 m EXEMPLO 128 Um canal retangular de 20 m de largura transp01ta uma vazão de 080 m3s em regime fluvial Um ve1tedor retangular de parede fina deverá ser instalado na lateral para desviar uma vazão de 020 m3s de modo que a altura dágua após o vertedor seja de 050 m Se a altura do ve1tedor for P 027 m qual a sua largura Da condição do problema Q1 080 m3s Qv 020 m3s e Q2 060 m3s Energia específica após o vertedor E2 Eo 050 06020 0518m 6 19 050 Altura dágua a montante do vertedor desprezando a perda de carga E co3º12oE 0513 o 1 Y1 2 0 m y1 483 m 11 12 Fr2 1 196yl Substituindo os valores na Equação 1288 os parâmetros Pi tornamse 1036 081 º035 O 8827 0248 0213 1036 081 OOlS O 5957 0248 023 O coeficiente de vazão é dado pela Equação 1289 na forma 0402 3 Fr1 038 980483 cd 0622 0222 Frl 0537 A vazão em um canal retangular varia de 40 a 120 Us e pretendese regular a profundidade da água pela instalação de vertedores triangulares com abertura de 90º colocados na mesma cota na extremidade do canal Quantos vertedores são necessários para limitar a variação da profundidade da água a 716 cm Qual será a carga máxima sobre os vertedores Use a fórmula de Thomson B Bãsca Cap 12 Finalmente a largura da soleira pela Equação 1288 vale L I c 05957 08827 160 m 2 0537 1217 VERTEDOR DE SOLEIRA ESPESSA HORIZONTAL Conforme discutido na Seção 107 21 o vertedor retangular de parede espessa é uma elevação no fundo do canal de uma altura P largura b e um certo comprimento e suficiente para produzir a elevação do nível dágua a sua mon tante O comportamento da veia líquida é o que aparece na Figura 1231 na qual se observa uma depressão da veia nas proximidades do bordo de montante e em continuação um escoamento praticamente paralelo à crista O tratamento teórico feito na Seção 107 21 no qual foi desprezada a per da de carga levou ao estabelecimento da relação cargavazão dada pela Equa ção 1034 Na prática devido ao efeito da não uniformidade do escoamento de aproximação e do atrito da água sobre a crista do vertedor a vazão real escoa da é um pouco menor que o valor teórico obtido pela Equação 1034 sendo dada na forma Q cd I704 b h312 1294 O coeficiente de vazão Cd é função das relações hP e he e também da rugosidade da crista e do fato de a aresta do bordo de ataque ser em ângulo vivo ou arredondada Sempre que a crista for suficientemente longa e 3h as linhas de corrente serão na maior parte de seu comprimento aproximadamente paralelas à superfície da crista a distribuição de pressão será hidrostática e nas proxi midades do bordo de jusante a altura dágua será critica Se por outro lado a carga for relativamente grande 04e h 15e o vertedor é estreito e o pa drão do escoamento será predominantemente curvilíneo não atingindo a pro fundidade crítica A determinação do coeficiente de vazão é assunto eminentemente expe rimental e as informações disponíveis sobre este tipo de vertedor levam are sultados controversos Isto se deve à variação de condições sobre as quais os investigadores têm desenvolvido os diferentes trabalhos Govinda e Mu ralidhar 23 Considerável discrepância existe nos resultados de diferentes experi mentos especialmente para cargas abaixo de 015 m Para cargas entre 015 e 045 m os valores do coeficiente de vaZ1ã0 tornamse mais uniformes Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 397 Os dados apresentados na Tabela 127 foram adaptados de King 31 para vertedores de soleira espessa horizontal e com bordo de montante em aresta viva ângulo reto descar regando livremente sem condicionantes de jusante A tabela é o resultado de um tratamento feito por interpolação gráfica sobre vários dados experimentais de fontes distintas ivtzg h V 1 Para uma carga fixa o valor do coeficiente diminui com o comprimento da soleira indicando o efeito da rugosidade sobre a perda de energia Figura 1231 Vertedor de soleira espessa horizontal Tabela 127 Valores do coeficiente de vazão Cd para vertedores retangulares de parede espessa Adaptado de King 31 Carga Ç9mpiimentqdasoleiraemmtóSf e f 006 0906 0890 0871 0848 0822 0803 0790 0771 0758 0806 0868 o 12 0945 0906 0881 0855 0845 0842 0835 0822 0809 0829 0874 018 0997 0936 0890 0845 0842 0842 0868 0871 0874 0874 0874 024 1068 0984 0923 0868 0842 0842 0864 0868 0868 0871 0855 030 1075 1016 0965 0890 0861 0855 0858 0864 0868 0868 0851 036 1075 1036 0997 0926 0874 0858 0858 0864 0861 0871 0855 042 1075 1055 1036 0945 0897 0868 0855 0858 0858 0864 0855 048 1075 1065 1062 0994 0936 0890 0868 0861 0858 0858 0851 054 1075 1075 1072 0994 0932 0887 0868 0861 0858 0858 0851 060 1075 1072 1068 0981 0923 0894 0881 0868 0858 0858 0851 Para vertedores com aresta de montante arredondada por um arco de círculo os valores da Tabela 127 devem ser acrescidos de cerca de 10 1218 DESCARREGADORES DE BARRAGENS Em obras projetadas para o controle de vazões importantes como nos aproveitamentos hidrelétricos a geometria do vertedor não depende somente de considerações hidráulicas Com efeito a estabilidade estrutural da obra as características do subsolo a topografia e o tipo de barragem devem ser igualmente levados em consideração H h p A utilização de um descarregador com uma geometria trapezoidal e soleira plana como na Figura 1232 para o pmte das vazões deste tipo de obra é totalmente desaconselhável uma vez que as mudanças brus cas de angulosidade nos paramentos de montante e jusante provocam a separação da lâmina criando zonas de alta turbulência associadas a sub pressões importantes Figura 1232 Descarregador de soleira espessa trapezoidal p a p b Nestes casos de grandes vazões é comum o uso de vertedores 0extrava sores que são essencialmente grandes vertedores retangulares projetados com uma geometria tal que promova o perfeito assentamento da lâmina vertente sobre toda a soleira Isto tem pbr propósito além de promover um coeficien te de descarga máximo para o vertedor prevenir o aparecimento de pressões negativas que podem originar um processo de cavitação no concreto Também um perfil mal desenhado pode provocar o aparecimento de turbulência des colamento e oscilação na veia vertente A idéia básica no projeto de uma soleira espessa que seja hidrodi nâmica é desenhála seguindo a forma tomada pela face inferior de uma lâ mina vertente que sai de um vertedor retangular de parede delgada sem contrações e bem arejada Esta forma chamada de soleira normal pode ser estudada teoricamente desprezandose os efeitos da viscosidade e tensão su perficial através dos princípios da balística e equações da cinemática A soleira espessa de um descarregador é dita normal para uma deter minada vazão Qd se o seu perfil é tal que se verifica a pressão atmosférica local ao longo da soleira quando veiculando a vazão Qd A Figura 1233 apresenta a analogia entre a geometria da lâmina sobre um vertedor retangular de parede fina e o descar regador de soleira normal Deve ser observado que em um ver tedor de soleira normal a carga hct chamada de carga de projeto é medida em relação ao ponto mais alto do perfil crista Figura 1233 a Vertedor de parede fina e b vertedor extravasor de soleira normal Pela Figura 1223 o ponto mais alto da face inferior do jato livre em relação à crista no vertedor de parede fina atin ge o valor i1H 012 h que na Figura 1233b é a distância ver tical entre as cristas dos dois vertedores A lei de descarga de um vertedorextravasor de largura L segue a expressão básica Equação 1270 na forma Q Ic g Lh 312 e Lh312 d 3 ct v Lf c1 º d 1295 O coeficiente de vazão C relativo à vazão Qct e portanto à carga de projeto hct relacionase ao coeficiente de vazão Cct de um vertedor Bazin de igual largura e vazão como 1296 Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 399 Como tili h hd 012 h portanto hd 088 h a relação anterior fica e 121 1 cd 1297 Porlanto para o mesmo nível dágua no reservatório de montante a despeito do maior atrito desenvolvido na estrutura de soleira espessa o coe ficiente de vazão da soleira normal é maior que do vertedor de parede fina 12181 GEOMETRIA DA SOLEIRA NORMAL NA R2 p y X R 05 h R 02 h a O 175 h b 0282 h V A busca de uma forma geométrica para o perfil da soleira que além da eficiência hidráulica resguardasse a estrutura do aparecimen to de pressões negativas foi exaustivamente estudada analítica e ex perimentalmente sendo desenvolvidos vários perfis notadamente os petfis de Scimeni e Creager Baseados em dados experimentais levan tados pela Waterways Experiment Station WES este órgão propõe um perfil padrão para um descarregador de paramento face de mon tante vertical dado pela Equação 1298 e parâmetros geométricos apresentados na Figura 1234 Figura 1234 Perfil padrão WES com paramen to de montante vertical 1 xl85 Y 2 h o8s d 1298 na qual X e Y são coordenadas da soleira com origem no ponto mais alto do perfil crista e hd é a carga estática de projeto sem considerar a velocidade de aproximação associada à vazão de projeto Qd O trecho do perfil entre a crista e o paramento de montante fica definido por dois arcos de círculos de raios R1 e R2 e distâncias a e b como na Figura 1234 1282 VARIAÇÃO DO COEFICIENTE DE VAZÃO COM A CARGA Na Equação 1295 que relaciona a vazão de projeto com a carga de pro jeto isto é a carga com a qual se desenha a soleira normal conforme a Equa ção 1298 o coeficiente C0 é denominado coeficiente básico de vazão Quando a vazão pelo extravasor varia tanto a carga quanto o coeficiente de vazão va riam e este último cresce quando a carga cresce Considerando um vertedor Bazin quando a vazão aumenta para Qi Qd a face inferior da lâmina afas tase da crista mas no vertedor de soleira normal ela permanece aderente à estrutura criando então depressões sobre a soleira normal que dão lugar ao aumento da velocidade e conseqüente aumento do coeficiente de vazão Nes ta situação em que a carga de trabalho é maior que a carga de projeto h hd a soleira é dita deprimida funcionando com pressão inferior à atmosférica Usando a equação da conservação da energia para um vertedor de parede espessa liso considerando a carga cinética de aproximação mostre que o coeficiente de vazão e da Equação 1294 pode ser determinado pela equação 01481 C 1 C 11 d 1 1 h em que P é a allura do vertedor e h a carga estática Faça um gráfico e x Ph B HidáUca Básca Cap 12 No projeto de uma soleira normal em um vertedor de uma barragem em uma obra hidroelétrica para que serve a carga estática de projeto h local Em caso contrário istoé quando h hd a soleira é dita comprimida funcionando com pressão superior à atmosférica local Para se prevenir contra o aparecimento de efeitos indesejáveis de des colamento da veia e cavitação na estrutura como norma a máxima vazão desviada pelo vertedorextravasar deve ser tal que a carga correspondente seja hmáx 133hd A expressão geral da vazão descarregada por um vertedor com perfil da soleira dado pela Equação 1298 de largura L sem contrações laterais em função da carga de trabalho qualquer h é Q C L h 312 1299 na qual o coeficiente de vazão C é função da relação hhd entre a carga de tra balho ou efetiva e a carga de projeto Para os dados experimentais levantados pelo WES relacionando hhd e CwEs cJii e apresentados em Abecasis 1 foi feito um ajuste de curva que levou à Equação 12100 0148 e 221s E hd 12100 Pela equação desenvolvida verificase que o funcionamento de uma soleira tipo WES para uma carga vez e meia superior à carga de projeto h 15 hd conduz a um acréscimo de cerca de 6 no coeficiente de vazão em relação a Co e portanto na vazão descanegada EXEMPLO 129 O vertedor de uma pequena barragem com perfil padrão WES de 100 m de largura altura P 60 m e paramento de montante vertical funciona com uma carga h 060 m Sabendo que o ponto de coordenadas X Y 1 0 0373 pertence ao perfil da soleira determine a vazão descarregada Como a carga relativa é pequena isto é a relação Ph 60060 1 O é grande a velocidade de aproximação é desprezível e utilizando a equação do perfil Equação 1298 vem Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 401 xl85 Y 2 hoss d 10185 0373 05 d 117 m Pela Equação 12100 o coeficiente de vazão correspondente à carga de trabalho vale 0148 c 221s hd o 60º14s 2215 20 soleira comprimida 117 portanto Q C L h 32 20100632 930 m3 s 1219 APLICAÇÕES As formulações e conceitos desenvolvidos nas seções anteriores são uti 1 izados em vários tipos de projetos na Engenharia Civil como contenção de cheias urbanas eclusas para navegação fluvial captação de água em projetos de abastecimento urbano ou industiial instalações hidráulico sanitárias etc Com o objetivo de fazer uso das formulações algumas aplicações práticas são desenvolvidas a seguir 12191 ECLUSA PARA NAVEGAÇÃO A usina hidrelétrica de lbitinga localizada no rio Tietê possui uma eclusa para permitir a navegação fluvial O enchimento da eclusa é feito através de oito comportas planas siste ma de admissão de água assumido para fazer a aplicação comandadas eletri camente com velocidade de abertura constante Com os dados fornecidos determine a a equação da altura dágua na eclusa em função do tempo durante a abertura das comportas de t O até t t tempo de abertura com pleta das comportas b o nível dágua na eclusa quando terminar a abertura das comportas e a equação da altura dágua na eclusa em função do tempo desde o término da abertura das comportas t t até o enchimento total da eclusa d o tempo gasto para encher a eclusa e Traçe o gráfico do nível dágua na eclusa contra o tempo Dados nível dágua rio reservatório 40400 m Há risco de cavitação no concreto de um vertedor extravasar se o escoamen to for tal que a soleira seja comprimida 40400 Reservatório Eclusa t O 379 70 1 Figura 1235 Aplicação 12191 nível dágua da eclusa 37970 m no tempo t O comportas oito de 1 x 1 m2 coeficiente de descarga C1 063 velocidade de abertura das comportas 0125 mmin eclusa comprimento 12900 m eclusa largura 1 1 1 O m Observaçiio Considere o nível dágua no reservatório e o coeficiente de descarga das comportas como constantes e assuma a lei dos pequenos orifícios durante toda a manobra A orientação elas alturas é dada na Figura 1235 a Cálculo da altura h2 no final da abertura das comportas que ocorre para t1 10125 8 min Como a área da comporta é função do tempo as equações ficam Comportas Q 8Cc1 AtJ 2g h Eclusa Q dVolclt Sdhclt Continuidade dh 8Cc1 Atj2gh S Atdt dt I Como a área de abertura das comportas varia linearmente com o tem po vem At A1tt 1 em que A1 é a área da comporta totalmente aberta e t1 o tempo de abertura igual a 8 min Substituindo em I temse A S A I S h tdt 1112 dh 1 J t dt J 1112 dh ti 8Cd fig ti o 8Cd fig h 2 2 A c 2g t Da1 h A d para 0S t S8min t is II Ao final dos 8 min substituindo os dados temse h2 936 m por tanto o nível dágua na eclusa é igual a 40400 936 39464 m Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 403 b A equação do NA x tempo desde o final da abertura das compor tas até o enchimento total da eclusa pode ser desenvolvida usando as mesmas equações observando que a área das comportas fica constan te e igual a A Assim que integrada fica h F 4c fig tti para t 8 t t III Para h O enchimento total substituindo os dados vem t 87223 s 1454 min As Equações II e III representam ava riação do nível dágua com o tempo e foram colocadas em gráfico como na Figura 1236 12192 ESVAZIAMENTO DE UM RESERVATÓRIO DE ABASTECIMENTO PREDIAL No projeto de Instalações Hidráulico Sanitárias de um prédio de apartamento um dos aspectos a serem considerados é o tempo necessário para o esvaziamento do reservató rio superior Em geral tal reservatório de for ma prismática com seção reta A e altura H é conectado no fundo a uma tubulação metá 400 395 e 390 g O 385 380 o 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Tempo s lica de um certo diâmetro como na Figura 1237 A tubulação de 20 m de comprimento possui um registro de gaveta aberto e um co Figura 1236 Curva de enchimento da eclusa tovelo 90 raio curto Determinar o diâmetro da tubulação para que o tempo de esvaziamento seja conforme a NB92 menor que 2 h Despreze a diferença de cotas entre o fundo do reservatório e a saída da tubulação Em um tempo genérico t a carga sobre a entrada do tubo vale y Assumindo que o problema possa ser tratado como um tubo curto des carregando livremente na atmosfera o Manual de Hidráulica Azevedo Netto recomenda para tubos de pequenos diâmetros os seguintes valores dos coefi cientes de vazão H y D L Figura 1237 Aplicação 12192 B Hdra BáSca Cap 12 Ourante o processo de enchimento de uma eclusa conceitualmente falando você acha que o coeficiente de vazão do orgão alimentador fica constante y 050 m H LJ IT2J tso m 020 m Figura 1238 Aplicação 12193 LD 300 200 150 100 90 80 70 60 50 40 30 20 Cd 033 039 042 047 049 052 054 056 058 064 070 073 A equação da continuidade pode ser escrita como Q dVol Ady cd A 2gy s dt dt oJLtY Valores para aplicação levando em conta os comprimentos equivalentes dos acessórios dados pela Tabela36 A4 m2 H 15 m L2m D l Le 178 m e p01tanto L1 378 m Para LtlD 3780025 151 tabela Cl 042 T 10734 s 298 h 20 h Adotando D 1 12 L101a1 467 m LtlD 4670038 123 tabela Cd 045 Portanto T 4336 s 120 h OK Este problema também pode ser tratado utilizandose a equação da ener gia a equação universal de perda de carga e as perdas de carga localizadas como escoamento não pennanente ver Seção 48 12193 DERIVAÇÃO DE ÁGUA EM PROJETOS DE ABASTECIMENTO Em um sistema de captação de água diretamente de um rio foi projetado com o intuito de elevação do tirante de água um muro como o da Figura 1238 que tem uma largura de 5 m igual à largura do rio e funciona como um vertedor retangular de parede espessa Nas proximidades do muro em uma seção a montante será constrnída uma obra de tomada de água cons tituída por 3 comportas quadradas de 050 m de lado para de Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 405 rivar uma vazão de 3 m3s em condições de descarga livre Calcular o tirante de água y necessário para efetuar a derivação a vazão que passa sobre o muro e a vazão total do rio As comportas funcionam como orifícios de grandes dimensões com supres são da contração da veia na parte inferior Para um coeficiente de vazão Cd 062 este é cmTigido pela Equação 1227 como Cct Cct 1 015 K em que K 052 025 Cct 0643 A vazão descmTegada é dada pela Equação 1220 como Para cada comporta fica o 232 o 732 1018978052 y y y 243 m 05 A vazão sobre o muro vertedor de soleira espessa é dada pela Equa ção 1294 e vale Qv Cct 1704 L H312 portanto Qv 086817045243 20015 209 m3s com Cct tirado da Tabela 127 A vazão total do rio será portanto de 509 m3s Neste exemplo partiuse da premissa de que os mifícios eram de gran des dimensões o que levou a um valor do tirante dágua y igual a 243 me um valor da carga sobre os orifícios igual a H 243 045 198 m o que re sulta em carga maior que três vezes a dimensão vertical do orifício podendo este ser tratado como de pequenas dimensões De fato para o mesmo valor de Cct 0643 a lei dos pequenos orifícios Equação 1210 fica Q cd Af 2gH 10 0643 052 f 2gy045 y 242m o que resulta praticamente no mesmo valor da altura dágua calculada Uma obra de derivação será realizada sobre um curso dagua a montante de uma zona residenclal a fim de prevenir inundações nos períodos de cheia A obra de derivação figura 2 será constituída por um vertedor tipo Creager livre com 3 m de largura carga de projeto hd 10 m e soleira na cota 5010 m colocado sobre o canal de descarga Sobre o curso dágua a jusante a vazão será controlada por uma queda livre seção de controle de seção retangular com largura de 50 me soleira radier na cota 5000 m Para uma altura dágua de 10 m sobre a soleira da queda1 determine a vazão derivada e a vazão a montante no rio Despreze as cargas cinéticas de aproximação para o vertedor e a queda e as perdas locais Obra ele derivação Qderivada 1 Vertedor Crcngcr dedvação Qjusante Residencial Figura 1 Montante Jusante Figura 2 Queda Fonte EPFL B Básc Cap 12 7 I 6 9 B 5 4 o 3 2 1 1 1 12194 BACIA DE DETENÇÃO EM SISTEMAS DE CONTROLE DE CHEIAS URBANAS Uma das estruturas utilizadas para o controle e atenuação da vazão de pico de um hidrograma em projetos de drenagem urbana ou mesmo em ba cias rurais é a implantação de uma bacia de detenção que propicie o arma zenamento temporário do volume de água que chega a uma determinada seção Ao projetista interessa saber o comportamento do órgão evacuador para as várias vazões de entrada de modo que a máxima vazão de saída da bacia de detenção seja compatível com as condições hidráulicas do canal de jusante 44 00 Uma dessas estruturas foi projetada para o controle de cheias na Av Pacaembu na cidade de São Paulo constando basicamente de um reserva tório na Praça Charles Miller de base retangular com um volume útil de 74000 m3 possuindo como descarregadores uma abertura retangular de 100 x 050 m no fundo orifício um vertedor retangular de 20 m de largura com soleira na cota 74240 me uma soleira superior para aten der a excessos de vazão na cota 74400 m como na Figura 1239 Figura 1239 Sistema extravasar da Praça Charles Miller O projeto hidrológico definiu como vazão com período de retomo de 25 anos o valor 43 m3 s enquanto a capacidade máxima de vazão da galeria existente na Av Pacaembu é de cerca de 13 m3s Nestas condições pedese determinar a curva de vazão da estrntura de descarga entre as cotas de 73775 e 74400 m o ft111 Chamando de y a altura dágua no reserva tório até a cota 74240 m temse a lei de vazão dada pelo orifício inferior tratado como de pe quenas dimensões Adotando conforme dado da projetista THEMAG Engenharia Ltda Canholi 9 um coeficiente de vazão constante Cd 062 corrigido pelo fato de o orifício estar junto ao fundo na forma o 2 4 6 8 10 12 14 Vazão m3s Figura 1240 Curva de vazão da bacia de detenção da Praça Charles Miller c cd c1 015 K 062 o 015 10130 065 Assim Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 407 Q0 c A fig J y 025 1439 J y 025 para 05 y 465 m Com o NA acima da cota 74240 m à lei de vazão anterior é adiciona da a lei do descarregador retangular cujo coeficiente de vazão assumido cons tante foi adotado pela projetista como C 215 portanto pela Equação 1299 Qv C L h 15 21520h15 em que h é a carga sobre a soleira logo Q Q0 Qv 1439jy025 430y46515 para 465 y 625 m As duas equações foram postas em forma gráfica como na Figura 1240 em que se destaca a mudança de comportamento da vazão quando en tra em operação o ve1tedor retangular para y 465 m evidenciando o efeito do valor do expoente 050 orifício ou 150 vertedor na lei de descarga 12195 DEFESA CONTRA INUNDAÇÕES Uma das alternativas no projeto de defesa contra inundações em nú cleos urbanos é a construção de barragens na parte alta da bacia hidrográfica no rio principal ou em seus afluentes Um destes exemplos encontrase no rio Itajaí dOeste a 4 km a montante da cidade de Taió em Santa Catarina dentro do sistema de proteção contra cheias da cidade de Blumenau Tal ba1rngem consta de um vertedor de superfície com lâmi na livre e 7 orifícios de 15 m de diâmetro com registro como descarregador de fundo com capacidade total de descarga de 1170 m3s Tal concepção permite o controle das vazões através da lei dos 01ifícios aplicada ao conduto curto instalado em cota baixa e da lei dos vertedores retangulares para cotas altas da água no reservatório Nesta linha de aplicação pretendese verificar qual será o nível dágua no reservatório quando a vazão total descarregada pela estrutura mos trada na Figura 1241 for de 62 m3s A estrutura é constituída por um des carregador retangular livre com crista na cota 10500 m de 12 m de largura com coeficiente de vazão C 2 1 O e três descatTegadores de fundo tipo tubo curto em concreto com entrada em aresta arredondada de 120 m de diâme tro e 90 m de comprimento descarregando livremente A máxima capacidade de vazão do descarregador de fundo antes do vertedor começar a operar é dada por NA Figura 1241 Aplicação 12195 g Qual o objetivo da construção da bacia de detenção na Praça Charles MIiier em São Paulo 300m Q 3Cd A J 2g H em que o coeficiente Cd é dado na Tabela 125 Q 30891t l 202 4jl96105100 2988 m3s Assim para a vazão de 62 m3s o vertedor também estará operando e a lei de descarga da estrutura como um todo é dada por 62 3 089 1t l202 4 J196 NA 100 21012 NA 1055 o que resulta em NA 106 1 O m 12196 CONTROLE DE CANAIS POR COMPORTA PLANA VERTICAL Uma comporta plana pode ser usada em um canal para controle de ní vel d água a montante ou posicionamento do ressalto hidráulico a sua jusante para uma determinada vazão constante A comporta plana e vertical mostrada na Figura 1242 de largura igual a 10 m e abertu ra 050 m tem coeficiente de contração igual a g Cc 061 e admite água em um canal retangu o00v70wí lar de mesma largura e declividade praticamente Figura 1242 Aplicação 12196 9 00 m nula Qual deve ser o mínimo diâmetro de uma tu bulação curta h01izontal de concreto com entrada ar redondada e saída livre de 90 m de comprimento para que o ressalto fo1mado não afogue a comporta a Cálculo da vazão unitária na comporta pelas Equações 1255 e 1256 Cd 0611 3005 002 0551 301505 daí fica q 055105 Jl9630 2113m 3sm b Condição limite para não haver afogamento da comporta de montan te Y1 Ycont Cc b Y1 0305 m altura conjugada do ressalto Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 409 Para Fr1 q2gyi3º5 40 a altura conjugada no regime fluvial vale y2 158 m e Verificação da condição de afogamento Pela Equação 1258 para não haver afogamento y 081 y 2 2 0 72 293 m como y 30 m o escoamento é livre e o coeficiente de vazão é o calculado d Cálculo do diâmetro da tubulação curta Q cd 1eD2 4 2gH 2113 cd 1eD2 4 196 158D2 Resolvendo por tentativas com auxilio da tabela 125 vem Dm CA Oím3s 030 073 0273 060 083 1175 075 086 1846 080 086 2079 090 087 2604 Portanto deveremos ter Dmín 090 m 1220 PROBLEMAS 57 1s y 120m 121 Através de uma das extremidades de um tanque retangular de 090 m de largura água é admitida com vazão de 57 1s No fundo do tanque existe um pequeno orifício circular de 7 O cm de diâmetro esco ando para a atmosfera Na outra extremidade existe um vertedor retangu lar livre de parede fina com altura P 120 m e largura da soleira igual a 090 m Determine a altura dágua Y no tanque e a vazão pelo vertedor na condição de equilíbrio Utilize a Equação 1275 Figura 1243 Problema 121 Y 129 m Q 00447 m3s 122 Um vertedor triangular com ângulo de abe1tura de 90 descarrega água com uma carga de O 15 m em um tanque que possui no fundo três orifícios circulares de parede delgada com 40 mm de diâmetro Na condição de equi líbrio determine a vazão e a profundidade da água no tanque Q 00122 m3s y 144 m B Hidolica Bãsca Cap 12 545 00 m X 530 00 m D2 r o Figura 1244 Problema 123 050m IQ1 Figura 1245 Problema 124 O 30 1 00 Figura 1246 Problema 125 123 Um reservatório de barragem com nível dágua na cota 54500 m está em conexão com uma câmara de subida de peixes através de um orifício circular com diâmetro D 1 050 m Essa câmara descarrega na atmosfera por outro orifício circular de diâmetro D2 070 m com centro na cota 53000 m Após certo tempo criase um regime perma nente níveis constantes Sabendose que os coeficientes de contração dos dois orifícios são iguais a Cc 061 e os coeficientes de velocida de iguais a Cv 098 calcular qual é a vazão de regime e o nível dágua na câmara de subida de peixes Q 180 m3s NA 53310 m 124 Os dois reservatórios mostrados na Figura 1245 estão em equi líbrio para uma vazão de entrada Q 0 65 1s O reservatório da esquer da possui um orifício no fundo de 1 O cm de diâmetro e coeficiente de vazão Cd 060 descarregando na atmosfera O da direita possui um vertedor triangular de parede fina com ângulo de abertura igual a 90º Com os dados da Figura 1245 determine as vazões descarregadas pelo orifício Q1 e pelo vertedor Q2 Use a fórmula de Thomson Q 212 1s Q2 438 1s 125 A estrutura descarregadora mostrada na Figura 1246 é constituída por um tubo de concreto com entrada em aresta viva de 030 m de diâmetro e 30 m de comprimento e por um vertedor retangular de parede fina com largura da soleira igual a 050 m e soleira na cota 080 m A estrutura encontrase na paite final de um canal retangular de 10 m de largura junto ao fundo e descar rega livremente Determine a a máxima vazão descarregada quando o vertedor ainda não en trou em operação b a cota do nível dágua no canal quando a vazão de chegada for igual a 030 m3s a Qmáx 0208 m 3s b NA 098 m 126 Um reservatório de seção quadrada de 10 m de lado possui um orifí cio circular de parede fina de 2 cm2 de área com coeficiente de velocidade Cv 097 e coeficiente de contração Cc 063 situado 20 m acima do piso con forme a Figura 1247 Inicialmente com uma vazão de alimentação Qc cons tante o nível dágua no reservatório mantémse estável na cota 40 m Nestas condições determine a a vazão Qe b a perda de carga no orifício Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores c a distância x da vertical passando na saída do orifício até o ponto onde o jato toca o solo alcance do jato d interrompendose bruscamente a alimentação Qe O no instante t O determinar o tempo necessário para o nível dágua no reser vatório baixar até a cota 30 m a Qe 077 1s b Lili 0118 ml c x 388 m d t 2552 min 127 Um vertedor retangular de parede fina com 10 m de largura sem contrações laterais é colocado juntamente com um vertedor triangular de 90 em uma mesma seção de modo que o vértice do vertedor triangular esteja 015 m abaixo da soleira do vertedor retangular Determinar a a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os verte dores forem iguais b a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e triangular for máxima Utilizar as fórmulas de Thomson e Francis a H 104 m b II 070 m 128 A altura dágua em um reservatório de grandes dimensões é igual a Y A que distância da superfície livre da água deve ser colocado um orifício ver tical de pequenas dimensões descarregando livremente para que o alcance do jato seja máximo H Y2 129 Um vertedor retangular de parede fina sem contrações laterais é co locado em um canal retangular de 050 m de largura No tempo t O a carga H sobre a soleira é zero e com o passar do tempo varia conforme a equação H 020t com H m e t min Determinar o volume de água que passou pelo vertedor após 2 minutos Vol 1116 m3 1210 A comporta plana e vertical A mostrnda na Figura 1248 tem coeficiente de contração igual a 061 e admite água em um canal retangular curto de declividade pratica mente nula Qual deve ser a mínima abertura de fundo na comporta B idêntica a A para que o ressalto não afogue a comporta A Figura 1247 Problema 126 bmrn 076 m Figura 1248 Problema 12 1 O 411 B Hdáli Bás Cap 12 Figura 1249 Problema 1211 11 m 1 020111 1 Figura 1250 Problema 1212 1211 Um reservatório de forma cônica cuja área superior é S e a área do orifício no fundo é S0 tem coeficiente de descarga suposto constante igual a Cd Qual o tempo necessário para seu esvaziamento total T2 S h 5 Cc1S0 J2g h 1212 Calcule a vazão teórica pelo vertedor de parede fina mostrado na Fi gura 1250 A carga sobre a soleira é ele O 15 m Utilize a Equação 1279 Q 4023 1s 1213 As seguintes observações foram feitas em laboratório durante um en saio em um vertedor retangular de largura L 080 m 0061 0122 0183 0244 0305 0366 0457 00240 00664 01203 01838 02554 03342 04639 Se a relação de descarga é dada por Q K L h determine os parâmetros K e n K 183 1 n 147 1214 Se a equação básica para um vertedor retangular de soleira fina sem contrações laterais Equação 1270 for usada para determinar a vazão por um vertedor de soleira espessa de igual largura qual deve ser o coeficiente de vazão Cd naquela equação Despreze a carga cinética de aproximação 1215 Considere uma eclusa de seção reta constante Ac e desnível H alimen tada por um orifício de pequenas dimensões de tírca A11 e coeficiente de vazão Cc1 suposto constante Demonstre que se o tempo ele abertura total do orifí cio tu for maior do que o tempo necessário para a equalização dos níveis dágua do reservatório e da eclusa e que se orifício é aberto de modo que a área da seção de passagem ela água aumente linearmente com o tempo então o tem po necessário para o enchimento total da eclusa vale T2 Ac to JH CclAoA Cap 12 Orifícios Tubos Curtos Vertedores 413 1216 Desejase substituir 4 orifícios de diâmetro d 2 cm por apenas um orifício equivalente trabalhando com uma carga H 3 m Sabese que para uma carga de 3 m temse os seguintes valores para Cd dados na tabela abai xo Determinar o diâmetro do orifício equivalente d cm 20 30 40 50 60 0634 0621 0611 0607 0608 d4JOcm 1217 Em um recipiente de parede delgada existe um pequeno orifício de se ção retangular junto ao fundo e afastado das paredes verticais Sabendose que a perda de carga no orifício é 5 da carga H determinar a velocidade real e o coeficiente de velocidade Cv Vr 4315 H Cv 0975 1218 A captação de água para o abastecimento de uma cidade na qual o consumo é de 250 1s va NA zão de demanda é feita em um curso dágua onde NA min 100 oo a vazão mínima verificada no período de estia gem é de 700 1s e a vazão máxima verificada no Barragem período das cheias é de 3800 1s Em decorrência de problemas de nível dágua na linha de sucção da estação de bombeamento durante a época da estiagem constrniuse a jusante do ponto de cap Seção da captação tação uma pequena barragem cujo vertedor de 3 m de soleira tem a forma de um perfil padrão WES Figura 1251 Problema 1218 que foi desenhado para uma carga de projeto hd 050 m Para o bom funcionamento das bombas o nível mínimo de água no ponto de captação deverá estar na cota 10000 m conforme a Figura 1251 Nestas condições perguntase a Em que cota estará a crista do vertedorextravasor b Durante a época das enchentes qual será a máxima cota do nível dágua a Ncrista 99817 m b NAmáx 100459 m Cap 12 NA Figura 1252 Problema 1219 o óh A B Figura 1253 Problema 1220 NA 120 rn D 30 crn Q 045 rn 600 rn D J r 1500 111 Figura 1254 Problema 1221 1219 Na instalação mostrada na Figura 1252 o vertedor é triangular com ângulo de abertura igual a 90 e o tubo de descarga é de concreto com entrada em aresta viva Detenninar o diâmetro do tubo de des carga Usar a fórmula de Thomson D 015 m 1220 Um tubo descarrega urna vazão Q em um re servatório A de onde passa ao reservatório B por um bocal de bordos arredondados e finalmente escoa para a atmosfera por um bocal cilíndrico externo conforme a Figura 1253 Depois de o sistema entrar em equilíbrio isto é os níveis dágua ficarem constantes determine a diferença de nível Llh entre os reservatórios A e B e a vazão Q Dados bocal de bordos arredondados A 0002 m2 Cct 098 bocal cilíndrico externo A 0001 m2 C1 082 Hn 080 m Llh O 12 m Q 30 1s 1221 Determinar qual deve ser o diâmetro do tubo de concreto com entrada em aresta viva e 15 rn de comprimento para que a vazão seja igual à que passa pelo tubo de ferro fundido de 30 cm de diâmetro Os tubos estão na horizontal e descarregam livremente na atmosfera D 030 rn 1222 Um vertedor retangular de parede fina com duas contrações laterais e largura da soleira igual a 180 m descarrega água em um canal retangular de 20 m de largura declividade de fundo lo 000 I mm rugosidade n 0020 que termina a 150 m a jusante do vertedor em urna queda bmsca A altura dágua imediatamente a montante da queda brusca vale 020 m Determine a carga sobre a soleira do vertedor O canal é de forte ou de fraca declividade Justifique h 03 I 3 m fraca declividade 13 ESCOAMENTO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO 131 GENERALIDADES Conforme foi definido anteriormente o escoamento permanente é gra dualmente variado quando os parâmetros hidráulicos variam de uma maneira progressiva ao longo da corrente Assim a construção de uma barragem em um canal de fraca decli vidade por exemplo interfere no tirante dágua criando uma sobrelevação do nível dágua que pode ser sentida a quilômetros da barragem a montante da c01Tente A nova linha dágua originada a montante da barragem é chamada de curva de remanso Sendo y a altura dágua em uma determinada seção no escoamento variado e y0 a altura dágua no escoamento uniforme a diferen ça y y0 é chamada de remanso Dependendo das características do canal da vazão e das condições de extremidades tal diferença pode ser positiva ou ne gativa ficando a curva de remanso acima ou abaixo do nível normal Com referência à curva de remanso criada por uma barragem a eleva ção do nível dágua irá provocar inundação em terrenos ribeirinhos que deve rão ser desapropriados pela companhia proprietária da obra Este tipo de problema é comum em obras de aproveitamento hidrelétrico No presente ca pítulo será tratada somente a determinação das características do escoamen to gradualmente variado em canais prismáticos De uma maneira geral o escoamento gradualmente variado se estende a distâncias consideráveis da singularidade que lhe deu origem contrastando com o escoamento bruscamente variado que se manifesta em um trecho cur to do canal Neste capítulo será estudada a equação diferencial de tal escoamento suficiente para estabelecer as propriedades e características das curvas de re manso em canais com várias declividades e na seqüência a metodologia nu mérica para a determinação da linha d água 415 A água tinha subido alcançado a ladeira estava com vontade de chegar aos juazeiros do fim do pátio Vidas Secas Graciliano Ramos y e y o z Seção S 132 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO ESCOAMENTO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO A equação diferencial de tal movimento pode ser deduzida utilizando se algumas hipóteses simplificadoras LE a A declividade do canal é pequena de modo que a altura dágua me dida perpendiculaimente ao fundo do canal pode ser confundida com a altura medida na vertical b O canal é prismático isto é qualquer seção é constante em forma e dimensões e A distribuição de velocidade em uma seção é fixa isto é o coeficien te a de Coriolis é unitário Esta hipótese geralmente envolve peque no erro particularmente no caso em que a carga cinética é pequena quando comparada à altura dágua como é o caso do escoamento em canais de fraca declividade Isto ocorre devido ao fato de o fator de correção da velocidade estar muito próximo da unidade Valores deste fator sob várias condições têm sido encontrados variando entre 101 e 1 12 com média em tomo de 105 Se a distribuição desviase subs tancialmente da unidade então o fator de correção da velocidade deve ser considerado na derivação da equação do escoamento gradualmen te variado d A distribuição de pressão em uma seção é hidrostática isto é existe um certo paralelismo entre as linhas de corrente do escoamento À luz destas hipóteses e utilizandose da Figura 13 1 determinase a equação para uma seção qualquer como se segue LP A energia disponível por unidade de peso do líquido em uma seção S em relação a um re ferencial arbitrário vale X PHR 131 Figura 131 Elementos do escoamento variado yz Hzy zE 2g Diferenciando a equação anterior com res peito a x abscissa medida ao longo do canal e orientada no sentido do escoa mento temse dH dz dE dx dx dx 132 Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 417 Observando que a derivada dHdx é sempre negativa devido à orienta ção de x e que vale dHdx Ir em que Ir é a declividade da linha de ener gia e que dzdx definida como o seno do ângulo que o fundo do canal faz com a horizontal também é negativa e igual a dzdx lo em que 10 é a declividade de fundo a Equação 132 tornase dE I Ir dx 0 dE dy De acordo com as Equações 1041 e 1043 temse 1 Fr2 Combinandose as equações anteriores chegase a dy 10 Ir dx 1 Fr2 133 134 135 Esta equação é a equação diferencial do escoamento gradualmente va riado e deve ser observado que dydx é a declividade da superfície livre do líquido referida ao fundo do canal A sua integral y fx que é a equação da curva de remanso não é em geral explicitamente resolúvel porém vários métodos numéricos têm sido desenvolvidos para sua solução 133 CLASSIFICAÇÃO DOS PERFIS Assumindo como válida uma equação de resistência qualquer inicial mente destinada ao movimento uniforme para o cálculo da declividade da linha de energia Ir a Equação 135 pode ser discutida para vários valores de lo Assim adotandose a equação de Chézy e a expressão geral do núme ro de Froude a Equação 135 pode ser escrita como dy lo Q2c2A2Rh dx 1 Q2BgA3 136 Desta maneira a equação mostra que para uma dada vazão Q os ter mos Ir e Fr2 variam de forma inversamente proporcional à altura dágua y já que ambos têm uma forte dependência inversa com a área molhada A Isto é válido para todas as seções utilizadas normalmente em projetos de canais O escoamento gradualmente variado é não uniforme e variável Para a discussão das propriedades e características das curvas de reman so é necessário analisar os sinais do numerador e denominador da Equação l 35 e como estes sinais são afetados pela magnitude de y Inicialmente deve ser observado que o numerador da equação I0 Ir depende somente das grandezas relativas da altura dágua y e da altura n01mal y0 e que o denominador l Fr2 depende somente dos valores relativos da al tura dágua y e da altura crítica Yc A partir da equação de Chézy é fácil ver que Ir decresce à medida que o produto A 2 Rh cresce e como este produto aumen ta com o aumento da altura dágua concluise que Ir deve decrescer com o au mento da profundidade A variação de Fr2 com a altura dágua foi estudada no Capítulo 10 Desta forma podese chegar facilmente às seguintes conclusões se y y O I0 Ir escoamento uniforme se Y Yo Ir Iº se y Yo Ir lo 137 se y Yc Fr2 I se y Yc Fr2 l se y Yc Fr2 I condição crítica Estas relações são fundamentais para estudar o sinal da derivada dydx e as propriedades das curvas de remanso As curvas de remanso para uma dada vazão são classificadas em fun ção da declividade de fundo lo podendo ser divididas em cinco classes a se guir lo O canais de declividade fraca ou Moderada 10 Ic classe M Mild slope canais de declividade forte ou Severa I0 Ic classe S Steep slope canais de declividade crítica I0 Ic classe C Criticai slope lo O canais horizontais classe H Horizontal slope lo O canais em aclive classe A Adverse slope Considere inicialmente um canal de declividade fraca e portanto y0 Yc representado na Figura 132 na qual os níveis relativos às alturas y0 e Yc di videm o espaço em três regiões A B e C Pela Equação 135 e Expressões 137 podese concluir imediatamente Região A y Yo Yc Ir 10 e Fr l dydx O Região B Yo y Yc Ir I0 e Fr I dydx O Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 419 Região C Yo Yc y Ir lo e Fr 1 dydx O O sinal da derivada indica se a altura d água aumenta ou diminui ao longo da corrente em cada região crt A Y Yo Yc M dx lT1 l lonz B N N y0 Yo Y Yc 2 As propriedades das três curvas de remanso podem ser des critas como segue Região A curva M1 e Yc f NC Yoycy M3 Er dx Declividade fraca Quando y Yo l o lf e dydx O isto é a superfície da água é assintótica ao nível normal a montante Figura 132 Canal de fraca declividade curvas M Quando y 00 Fr O e d y dx 10 isto é a superfí cie da água é assintótica a uma horizontal a jusante observar o sis tema de referência utilizado Esse tipo de curva de remanso ocorre a montante de uma barragem Região B curva M2 Quando y y0 dydx O como antes Quando y Yc Fr 1 e dydx 00 a menos que Yo yc salvo em canais com declividade crítica a curva M2 atravessa quase perpendicularmente o nível crítico Nas proximidades do nível crítico as linhas de corrente não são mais retas e paralelas e portanto as hipóteses iniciais deixam de existir por isso esta curva nas proximidades do nível crítico é desenhada em linha pontilhada Este tipo de curva ocorre a montante de uma queda brusca Região C curva M3 Quando y O tanto Ir como Fr tendem para infinito então dydx ten de para algum limite finito de magnitude que depende da particular seção do canal Como tirantes dágua de alturas próximas a zero não têm interesse prá tico este limite perde o significado Para efeito prático a curva M3 que é cres cente no sentido do escoamento tem início em uma seção de altura finita por exemplo a seção contraída de um jato sob uma comporta Quando y Yc a curva tende a atravessar quase perpendicularmente o nível crítico porém diferentemente do que ocorre com a curva M2 uma vez que sendo o escoamento referente à curva M3 torrencial e como o canal é de fraca declividade poderá haver a formação de um ressalto com mudança brus ca da curva M3 para o escoamento uniforme ou talvez para uma curva M1 ou M2 Ocorrendo a formação do ressalto a sua altura conjugada no regime tor rencial será a máxima altura dágua atingida na curva M3 e portanto a altu ra crítica não é atingida como no caso da curva M2 Este tipo de curva ocorre em certas mudanças de inclinação e a jusante de comportas com abertura inferior à altura crítica para a vazão descarregada Escoamento torrencial jamais pode ocorrer em um canal de fraca declividade A Y Yc Yo lEs lrsi t dx NC Para um canal de forte declividade um procedimento análogo ao anterior determina as propriedades e características das curvas S representadas na Figura 133 Yc e Declividade foJ1e dx Região A curva S 1 A curva é convexa e crescente a montante nasce quase perpendicularmente ao nível crítico em geral após um ressalto e a jusante tende assintoticamente para uma horizontal Figura 133 Canal de forte declividade curvas S Esta curva ocorre a montante de barragem descarrega dora de estreitamentos como pilares de pontes e em certas mudanças de declividades A e Região B curva S2 A curva é côncava e decrescente a montante nasce quase perpendicu larmente ao nível crítico e a jusante tende rápida e assintoticamente ao nível normal Esta curva ocorre em um canal de forte declividade alimentado por um reservatório como discutido na Seção 108 Região C curva S3 A curva é convexa e crescente a jusante tende assintoticamente para o nível normal Esta curva ocorre a jusante de comportas e barragens descarregadoras Para um canal de declividade crítica as curvas podem ser consideradas como intermediárias às curvas Me S Região A curva C1 A curva é crescente com desenvolvimento praticamente horizontal par tindo do nível crítico a montante e tendendo a jusante para uma horizontal Horiz Região e curva C3 yyo Ycl t A curva é crescente partindo de uma altu 4 c dx ra d água finita e tendendo ao nível ctitico a jusan Nc Y Yo Yc te com desenvolvimento praticamente horizontal dx Declividade crítica Figura 134 Canal de declividade crítica curvas C A curva C2 que corresponderia a alturas de água compreendidas entre o regime unifonne e o crítico não existe já que no caso temse y Yo Yc Para canais retangulares largos tais que Rh y utilizando a equação de Chézy podese mostrar através da Equação 136 que todos os perfis em canais com declividade crítica são linhas retas e horizontais Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 421 Para canais horizontais a ausência da declividade não permite a existência do regime uniforme já que neste tipo de escoamento é necessária uma transformação integral da ener gia potencial em perda de carga por atrito ao longo do escoa mento para que o líquido não seja acelerado O nível crítico por só depender da geometria da seção e da vazão subsiste Yo oo yyc 2 i A dx NC As curvas de remanso são o caso limite das curvas M quando a declividade do canal tende progressivamente a zero Só existem os tipos H2 e H3 e ocorrem em situações análogas às dos tipos M2 e M3 Em canais de aclive ou contra declividade também não se define escoamento uniforme Os tipos A2 e A3 correspon dem aos tipos H2 e H3 e ocorrem em situações semelhantes Em cada uma das classes de curvas de remanso os respectivos tipos foram discutidos e analisados separadamen te Entretanto em um canal com algumas seções de contro le o perfil dágua pode ser desenhado pela composição dos vários tipos de perfis traçados a montante e a jusante de cada seção de controle Assim a Figura 137 mostra os tipos de curvas de remanso que ocorrem em um canal de fraca de clividade alimentado por um reservatório e ter C Yc yyc H3 Canal horizontal Figura 13S Canal horizontal curvas H Yo Y Yc eh A e Y Yc A3 dx Yc Canal ctn aclive Figura 136 Canal em contra declividade curvas A minando por uma queda brusca Deve ser observado primeiro que as curvas são da classe Me que o tipo M3 ocorre porque a abertura da NA M1 li Alturas conjugadas comporta é inferior à altura crítica A composi ção dos perfis discutida anteriormente leva ao esquema apresentado Lago Yo f Yc L Cabe ressaltar que se a distância entre a comporta e a queda for suficientemente longa haverá a formação do ressalto com uma mudan ça brusca do perfil MJ para M2 ou mesmo para Figura 137 Composição de perfis da linha dágua o escoamento uniforme A figura apresenta ainda a curva das alturas con jugadas que é o lugar geométrico correspondente às alturas conjugadas de cada uma das alturas dágua do perfil M3 Esta curva é de interesse na deter minação da localização do ressalto quando após este acontece uma curva M ou M2 Se após o ressalto o escoamento for unifo1me sua localização é mais fácil pois a altura conjugada no regime torrencial pode ser calculada pela Equação 1 111 NC Finalmente as características dos perfis que foram mostrados permite as seguintes observações 1 Em um canal uniforme um observador se deslocando no sentido da corrente vê a altura dágua diminuir desde que a linha dágua este ja compreendida entre o nível normal e crítico região B curvas M2 S2 H2 e A2 e aumentar desde que a linha dágua seja exterior a este intervalo regiões A e C 2 O conceito importante de seção de controle discutido na Seção 106 se aplica ao caso do escoamento gradualmente variado Assim o es coamento subcrítico possui um controle de jusante por exemplo cur vas M barragem e M2 queda brusca enquanto o escoamento supercrítico possui um controle de montante por exemplo curva M3 comporta de fundo 134 PERDA DE CARGA LOCALIZADA Existe uma diferenciação fundamental entre perda de carga localizada em um escoamento em conduto forçado e em conduto livre Nos condutos forçados a existência de uma singularidade qualquer provoca um decaimento local da linha de energia de maneira definitiva e esta perda de energia é irrecuperável No conduto livre existe um mecanismo de compensação entre ganho e perda de energia que é possível graças à deformabilidade da super fície livre o que não ocorre nos escoamentos a pressão Assim a existência de uma singularidade por exemplo uma comporta de fundo cria curvas de re manso a montante e a jusante de modo que a montante da comporta o líqui do ganha a energia necessária para transpor a singularidade havendo uma compensação exata entre o ganho de energia e a perda correspondente Este conceito pode ser evidenciado no escoamento apresentado na Figura 138 uti lizandose curva de energia específica Supondo que o canal seja de fraca declividade e suficientemente longo para que se estabeleça regime uniforme a montante da comporta existe pela formação da curva M1 um decréscimo na velocidade com conseqüente dimi nuição da perda de carga e o líquido recupera energia que será necessária para transpor a comporta e o ressalto Matematicamente isto pode ser mostrado através da Equação 133 da seguinte forma Para o perfil M temse y y0 e portanto dE Ir lo logo O Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 423 e a energia específica aumenta na direção cio escoamento Para o perfil M3 temse y y0 e por tanto clE Ir lo logo O clx e a energia específica diminui na direção cio escoamento Figura 138 Compensação energética Desta maneira a presença da comporta eleva o nível dágua a montan te e este acréscimo energético será gasto no trecho torrencial curva M3 e prin cipalmente no ressalto ele modo que a jusante do ressalto o escoamento retorna ao mesmo nível de energia original 135 SINGULARIDADES Vários tipos de singularidades corno mudança de declividade mudan ça de seção alteração da cota de fundo podem ocorrer em canais tais tran sições provocam o aparecimento de curvas de remanso Serão estudados três casos a seguir a Mudança brusca de declividade pas sando de uma declividade inferior à crítica para uma declividade superior à crítica conforme a Figura 139 Para um canal suficientemente longo em seções muito afastadas a montan te e a jusante ela seção O ocorrerá respectivamente escoamento unifor Figura 139 Mudança ele decliviclaclc de fraca para forte me subcrítico com altura normal y01 e escoamento uniforme super crítico com altura clágua Yo2 Yo1 A transição entre estas duas alturas normais será feita por duas curvas ele remanso M2 a montante ele O e S2 a sua jusante No trecho do escoamento variado a montante ele O temse y Yo 1 e Ir Io e a jusante ele O temse y Yo2 e Ir lo Assim em algum ponto nas prox imidades ela seção O temse Ir lt e escrevendo a Equação 135 como dy 1 Fr lc Ir O clx Em uma curva de remanso qual a característica que se verifica quando o perfil da superfície livre se aproxima do nível normal e como dy t O dx já que o líquido está sendo acelerado concluise que Fr 1 e o es coamento é crítico Na verdade a altura crítica não ocorre exatamente na seção em que ocorre a mudança de inclinação uma vez que nas vizinhanças desta seção há uma convergência dos filetes e a distribuição da pressão se afasta da hidrostática Na realidade o ponto correspondente ao escoa mento crítico encontrase um pouco a montante de seção O confor me visto na Seção 108 para muitas aplicações práticas podese considerar estas duas seções coincidentes b Mudança brusca de declividade passando de uma declividade su 7CC7r perior à crítica para outra inferior à crítica conforme a Figura 1310 i Y2 M3 Neste caso como a superfície dágua deve atravessar o nível crí tico necessariamente ocorrerá um ressalto O resultado dependerá dos valores das declividades a Figura 1310 Mudança de declividade de fone para fraca montante e a jusante Sendo y0 1 e y 02 as alturas uniformes corres pondentes aos trechos rápido e Qual deve ser a característica da declividade de fundo de um canal alimentado por uma comporta de fundo para que o escoamento torren cial na saída da comporta não seja seguido por um ressalto hidráulico lento respectivamente e y e y2 alturas conjugadas de Yo2 e Yo1 respectivamente a localização do ressalto pode ser descrita como segue Primeiramente devese observar pela Figura 113 gráfico da força es pecífica que as alturas conjugadas do ressalto variam uma em sentido in verso da outra isto é quando uma aumenta a outra diminui e viceversa Assim se y2 Yo2 o escoamento tonencial penetrará no canal de fraca declividade por meio de uma curva M3 para aumentar a altura conjugada no regime t01Tencial e o ressalto localizarseá na seção em que a altura dágua seja tal que sua conjugada seja Yo2 Se por outro lado y2 Yo2 o ressalto oconerá no trecho de inclinação forte seguido de uma curva de remanso do tipo S1 crescente até en contrar Yo2 Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 425 Uma terceira condição mais rara é aquela em que y0 1 e y02 são exa tamente as alturas conjugadas do ressalto neste caso não se estabe lecem curvas de remanso nos dois trechos e o ressalto acontece no ponto de mudança de declividade e Elevação da cota de fundo em um canal de fraca declividade Suponha uma mudança na cota de fundo de um canal bastante longo de magnitude tZ tal que altere as condições do escoamento a montan te criando uma curva de remanso Como o canal é de fraca decli vidade escoamento uniforme subcrítico a influência da elevação propagarseá para montante através de uma curva M 1 A energia es pecífica aumenta até que seja suficiente para vencer o desnível e o es coamento será crítico nas proximidades de mudança seguido de um curto trecho de transição até retornar novamente ao escoamento uniforme As curvas de energia específica da Figura 13 11 esclarecem o fenô meno Devese observar no esquema anterior que o desenvolvimento do petfil dágua seria completamente diferente se em vez de uma elevação permanente no fundo tivesse sido colocado em um trecho curto uma soleira de fundo um vertedor de parede expressa com a mesma altura de 1Z Neste caso após a seção de controle ocorreria escoa mento supercrítico retornando o escoa mento às condições subcríticas através de um ressalto conforme foi visto na Seção 1072 Este caso deverá ser ob jeto do Exemplo 133 Yo Figura 1312 Composição de perfis Figura 1311 Elevação de fundo y E Existem curvas de remanso que estabelecem a passagem suave do regime rápido a montante para o regime lento a jusante Outras composições de perfis poderão ser vistas na Figura 13 12 EXEMPLO 131 A vazão em um longo canal trapezoidal de 30 m de largura no fundo e taludes 2H l V com declividade constante é de 28 m3s Os cálculos pela fór mula de Manning indicam que a altura normal para aquela vazão é de 1 8 m Em uma certa seção A do canal a profundidade é de apenas 10 m A profun didade do escoamento a jusante de seção A será maior menor ou permanece rá a mesma Justifique Cálculo da altura crítica Para Q 28 m3s b 30 m e Z 2 o gráfico da Figura 1017 fornece Yc l50m Tipo de canal Como Yo 180 m Yc 150 m canal de fraca declividade curvas M Tipo de curva de remanso Na seção A y 10 m Yc Yo escoamento superc1ítico curva M3 Como a curva M3 é crescente a profundidade aumentará para jusante EXEMPLO 132 Um canal de seção retangular de 30 m de largura declividade I 0001 mim n 0014 escoa água de um lago cujo nível dágua está 280 m acima do nível de fundo do canal na seção de saída Desprezando a velocidade de aproximação e a perda de carga na entrada do canal determine a vazão No problema da descarga de um lago em um canal a declividade des te desempenha papel importante Conforme a Figura 1015 duas situações po dem oc01Ter Se o canal for de forte declividade I0 Ic ocorrerá escoamento crí tico na seção de entrada seguindose uma curva de remanso S2 que tende rapidamente ao escoamento uniforme torrencial Neste caso a seção de controle está estabelecida e a vazão pode ser calculada pe las equações do regime crítico Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 427 Se o canal for de fraca declividade lo Ic não se estabelece uma se ção de controle na entrada e a vazão deve ser calculada pela compa tibilidade das condições de energia e do escoamento uniforme Assim primeiramente supondo lo Ic temse 3 E Ec 280 m y e y e 187 m q y e g 2 J 1873 98 798 m 3sm Para escoar esta vazão em regime uniforme crítico a declividade seria R23 0014798 l 873018723 I 00046 tr Y t JT e mim e 1 I 6 74 e Conclusão 10 0001 mim lc fraca declividade não se estabele ce regime crítico na entrada do canal Para um canal de fraca declividade as equações a serem usadas são Q2 Energia E 280m y O 2 2g3y 0 nQ 3y Mannmg Ir 3y0 0 V 10 3 2y 0 Combinandose as duas equações pela eliminação de Q chegase a 280 Io 3 Y o 413 Yo 2gn2 3 2yo Observando que 187 m y0 280 m a equação anterior pode ser re solvida por tentativas fornecendo y0 256 me daí Q 167 m3s Uma resolução gráfica pode ser usada empregadose a curva da Figura 102 e a fórmula de Manning O ponto de crnzamento das duas curvas forne ce o valor da altura dágua conforme Figura 1313 a seguir Pode ocorrer curva de remanso tipo M2 em um canal de forte declividade Lago E 12 Q ½A R2l3 Q Yc Yo EXEMPLO 133 Em um canal retangular suficientemente longo escoa uma vazão de 85 m3s em regime uniforme com uma altura dágua Yo 15 me uma largura b 30 m Em uma determinada seção do canal um degrau de 060 m de altura é constrnído no fundo do canal e nesta mesma seção a largura é reduzida para 24 m Figura 1313 Solução gráfica do problema da alimentação de um canal de fraca declividade por um lago Sendo esta singularidade curta esquema tize os perfis das curvas de remanso esperados a montante e a jusante da singularidade identifican do e calculando todas as alturas dágua importantes Despreze as perdas na transição Um canal pode ser de declividade fraca para uma vazão e de declividade forte para outra a Tipo de escoamento em uma seção antes da singularidade 2 13 13 y e 35 ot 094 m y O 15 m escoamento fluvial Portanto somente curvas tipo M podem acontecer no canal b Cálculo da mínima energia específica necessária na seção do degrau para passar a vazão dada 213 213 Y c2 2 3 5 4 109 m 3 Ec2 y c2 1 63 m 2 e Verificação se a singularidade afetará as condições do escoamento a montante Para não haver elevação na linha de energia é preciso que o escoa mento tenha na seção a montante do degrau uma energia no mínimo igual a E Ec2 JZ 163 060 223 m Como Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 429 E 1 50 35 302 168 m º Yo 2gy 196 152 Logo E 0 E e se estabelece uma curva tipo M1 a montante da sin gularidade e sobre o degrau temse Y2 Yc2 109 m ver Figura 1314 á Altura dágua imediatamente antes do degrau regime fluvial 85 302 223 m Y1 2 2 Y1 196 2 gyl Y1 Para 223 237 Yc 094 o gráfico da Figura 106 fornece 1l 228 y 1 214 m Yc e Altura dágua imediatamente após o degrau regime torrencial 85 302 2 23 m YJ 2 2 YJ 19 6 2 gy3 Y3 Na Figura 106 nas mesmas condições tirase 2i 05 y 3 04 7 m Yc f O retorno às condições de escoamento subcrítico fazseá através de um ressalto que segue um perfil M3 como no esquema mostrado na Figura 1314 LE 150 m Figura 1314 Exemplo 133 150 m B HWáoUoa Básica Cap 13 Quando no escoamento em um canal o perfil da superfície livre se aproxima do nível crítico que tipo de movimento ocorre o que acontece com os filetes líquidos 10000 Ç A Figura 1315 Exemplo 134 A altura Y4 conjugada de Yo 150 m é calculada pela Equação 1111 curva M3 I 8 85 30 2 981503 1 a y 054 m y3 047m EXEMPLO 134 9650 9400 Ç I 2 00008 mm Um canal trapezoidal de 40 m de largu ra de fundo e taludes 1 H 1 V coeficiente de rugosidade n 0015 e suficientemente longo em seus dois trechos de declividades diferen tes liga dois reservatórios em níveis constan tes como na Figura 1315 Assumindo que o trecho inicial seja de forte declividade desenhe o pe1fil das curvas de remanso e se ocorrer um ressalto hidráuli co verifique se ele se localiza a montante ou a jusante do ponto A Despreze as perdas na en trada do canal a Determinação da altura crítica e da vazão transportada Como E Ec 20 m b 40 m e Z 10 temse da Figura 1020 q ZEC 10 20 050 Hí Q b 40 2zJ 2gE 052 Q 26 m 3s Para C ZQ Zs 10 26 lO 026 gb 98 405 Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 431 na Figura I 017 vem b Jf 28 Yc 143 rn Zyc b Verificando se o 1 º trecho é de forte declividade Para o escoamento uniforme crítico temse b 4 1n 280 e com Z l a Tabela 82 fornece K 1 495 Yc 143 Fórmula de Manning M M n Q 2 138 0015 26 vs 3s Yo Yc 1T 1T K j Ic j lc Ic 00026 rnm Conclusão I0 Ic o canal é de forte declividade e o cálculo do item a é válido e Cálculo das alturas normais nos dois trechos com auxílio da Tabela 83 Trecho 1 K nQ OOl 5 26 0 108 Yoi 026 y 1 04111 8 J oi b I 0t 40 v 0008 b Trecho 2 K nQ 00 1526 0342 Y0 2 0498 2 b83 I 40813 j00008 b Yo2 20 m No primeiro trecho o escoamento é torrencial curva S2 e no segun do trecho o escoamento é fluvial curva M 1 porque a altura dágua na entrada do segundo reservatório é y 250 rn Yo2 20 rn B Hdálica Báska Cap 13 A d Localização do ressalto Cálculo da altura conjugada de y01 conforme Seção 115 Para M z Y 01 l0 104 O 26 e A m Zy º b 4 O 40 101042 524m2 104 B b 2Zy01 40 2 104 608 m A H 1111 086 rn B Q 26 V 4 96 m s 1 A 524 496 17 1 98 086 Do gráfico da Figura 1 1 4 tirase y 2 17 1 77 11 Y2 1 Ya1 Como a altura y2 conjugada de Yo1 é menor que Ya2 o ressalto ocorrerá a montante do ponto A seguido por uma curva tipo SI até o nível nonnal do segundo trecho e daí através de uma curva M atin ge o nível dágua 9650 m do reservatório inferior conforme Figura 131 6 EXEMPLO 135 Figura 1316 Linha dágua do Exemplo 134 Um canal retangular de 250 m de largura coeficiente de rugosidade n 0015 é alimentado por uma comporta plana H 150 m e b 030 m de mesma largura como na Figura 1317 O primeiro trecho do canal tem declividade L1 00024111111 e o se gundo 102 0006 mm Ambos os trechos são suficientemente longos para Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 433 que se estabeleçam condições de escoamento uniforme e no final do canal existe um vertedor retangular de parede fina com duas contrações laterais lar gura da soleira 240 m e altura da soleira 030 m Determine a os tipos de curva de remanso que ocorrem no canal esquematizando o perfil d água da comporta até o vertedor indicando as alturas nor mais e críticas b se ocorrer ressaltos no canal calcule suas alturas conjugadas e a carga sobre a soleira do vertedor Assuma descarga livre pela comporta e coeficiente de contração Cc 061 Cálculo da vazão de alimentação para o canal O coeficiente de descarga da comporta é dado pela Equação 1256 como 0611 H b 0611 l50030 0544 0072 0072 µ H 15b l50 15030 Q µbLJ2gH 0544030250jl96I50 221m3s Cálculo da altura crítica e das alturas n01mais com o auxílio da Tabela 83 Trecho 1 K nQ b 83 1v2 oi 0015221 0059 Yo1 021 I 1 y 01 053 m 2583 v00024 b Trecho 2 K nQ 0015 221 O 037 Y0 1 O 155 2 bs3 Ii 2583 0006 b y o2 039 m Por que não pode ocorrer escoamento permanente uniforme em um canal de declividade nula B HidcáHca Básica Cap 13 Conclusão O primeiro trecho é de fraca declividade curvas M e o se gundo é de forte declividade curvas S Determinação do perfil d água Próximo à comporta y 030 m Yc y 0 curva MJ seguida de um ressalto Próximo ao vertedor y 030 h em que h é a carga sobre a soleira Equação 1278 Q 1838L02hh312 221 1838240 02h Portanto h 065 me y 095 m Yc y 0 curva S precedida por um ressalto Esquema do perfil da linha dágua entre a comporta e o vertedor 095 m Figura 1317 Perfil da linha dágua do Exemplo 135 Cálculo das alturas conjugadas dos dois ressaltos Altura conjugada de Yo1 053 m Observe que a curva de remanso imediatamente após a comporta inicia em uma altura dágua Yco111 Cc b 061030 018 m Y 1 221 25 2 l 18 3 1 y1 034m018m curvaM3 053 2 98 053 Altura conjugada de y02 039 m Y2 1 221252 l 039 2 1 8 3 1 y2 047m095m 98 039 curva S 136 DETERMINAÇÃO DO PERFIL DÁGUA EM CANAIS PRISMÁTICOS Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 435 O escoamento permanente gradualmente variado vem sendo objeto de estudo por parte dos hidraulicistas por mais de 100 anos o que revela sua com plexidade e importância Complexidade 01iunda do próprio tratamento matemá tico das equações que regem o movimento e também do grande número de parâmetros hidráulicos sujeitos a sensíveis variações ao longo da corrente A importância do estudo é evidenciada pela interferência do perfil dágua sobre obras de engenharia como barragens irrigação operação e uti lização de reservatórios para os mais diversos fins drenagem urbana etc Assim foram desenvolvidos os mais vaiiados métodos para a integração da Equação 135 podendose destacar o trabalho clássico de Bakhmeteff que criou as condições iniciais para a determinação do perfil d água em canais regulares de qualquer forma geométrica evidentemente sob várias hipóteses e conhecendose os parâmetros de geometria do canal A determinação do perfil dágua em canais regulares pode ser feita atra vés de métodos de integração gráfica de métodos de integração direta e de métodos de soluções numéricas passo a passo conhecidos como step methods cada um deles com suas características vantagens e desvantagens Com o advento dos computadores o engenheiro passou a contar com uma ferramenta que o livrou dos tediosos cálculos inerentes à maioria dos mé todos Criouse a possibilidade de aumentar a acurácia dos métodos porém não se deve perder de vista o fato de que a excessiva precisão teórica é despro porcional às hipóteses assumidas 1361 STEP METHOD Conforme foi dito na Seção 131 na maioria dos casos a Equação 135 não admite uma solução explícita e devese lançar mão de métodos de in tegração numérica Entre estes métodos destacase o chamado direct step method que utilizando a equação da energia e um esquema de diferenças finitas para a Equação 133 permite o levantamento da linha dágua em um canal de seção e declividade constantes para uma dada vazão Escrevendo a Equação 13 3 de forma mais apropriada temse 138 Em forma de diferenças finitas fica B Hidcãlica Básica Cap 13 Q y2 f1E f1y f1x 2g 139 Iº Ir I0 Ir Na equação anterior tanto f1E quanto Ir para uma determinada vazão dependem de y A aplicação da Equação 139 a um trecho de um canal de comprimento f1x entre duas seções con secutivas 1 e 2 pode ser feita na seguinte forma E E f1x x x 2 1 2 I I o f 1310 Figura 1318 Computação da distância entre seções para altura dágua especificada na qual E2 e E1 são as energias específicas nas seções consideradas e Ir fx a declividade da linha de ener gia calculada pela fórmula de Manning na seção do trecho à qual corresponde uma altura d água média o ressalto hidráulico sempre ocorre na passagem de uma curva S3 para uma curva S1 1 Y 2 y1 y2 conforme a Figura 1318 Devese observar que f1x pode ser positivo ou negativo conforme a marcha de cálculo se dê ou não no sentido positivo do eixo dos x sentido da vazão O cálculo deve ter início em uma seção de controle e prosseguir no sen tido no qual o controle está sendo exercido isto é de montante para jusante se o escoamento for supercrítico 0x O e de jusante para montante se for subcrítico 0x O O cálculo de Ir é tão mais preciso quanto menor for o intervalo 0x Assumindo válido o uso de uma equação de resistência do movimento uniforme para o cálculo da declividade média da linha de energia o proces so de cálculo segue a seguinte sistemática a partir da altura d água inicial y 1 seção de controle arbitrase um valor para y2 calculase E1 e E2 e portanto o numerador da Equação 1310 com o valor médio da altura dágua no trecho 12 calculase Ir pela fórmula de Manning e daí determinase f1x distância en tre as duas seções pela Equação 13 1 O A partir da seção 2 repetese o pro cesso para a seção seguinte usandose os resultados anteriormente obtidos na seção 2 No processo numérico podese fixar em cada passo um valor constan te de f1y para o cálculo dos correspondentes 0x observando que a natureza da Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 437 curva influi no valor adotado para ly Assim no cálculo de uma curva M3 que é uma curva relativamente curta utilizase para melhorar a precisão do cál culo valores pequenos de ly enquanto se o perfil for M1 que é de longa ex tensão as seções poderão ser mais afastadas ly maior Os sinais do numerador e denominador da Equação 1310 deverão ser compatíveis com o tipo de curva de remanso e o correspondente sinal de lx deve ser coerente com o sentido relativo da marcha d cálculo Exemplificando no caso de um perfil M3 Para esta curva y Yo Ir Ia portanto o deno minador é negativo O numerador é sempre negativo uma vez que para esta curva a energia decresce no sentido da corrente e portanto decresce com y pois a curva é crescente ver Seção 134 Desta forma lx O o que confir ma que o cálculo procede de montante para jusante isto é no sentido em que o controle está sendo exercido Outra forma de resolução numérica da Equação 13 10 é determinar a declividade da linha de energia no trecho lx como a média aritmética das declividades da linha de energia calculada com as alturas dágua y1 e y2 nas extremidades do trecho Assim a Equação 13 l O pode ser escrita como 1311 Se a diferença de alturas d água nas extremidades do trecho for muito pequena ambos os métodos de cálculo produzem praticamente o mesmo va lor de Ir Se no entanto esta diferença não for pequena os valores de Ir de terminados pela altura dágua média no trecho e pela média das declividades da linha de energia são diferentes e naturalmente afetam o valor de Llx calcu lado pela Equação 1310 Segundo Reed e Wolfkill 46 citado por Ranga Raju 45 o primeiro método da altura dágua média é mais recomendado para o cálculo dos perfis MI e S2 enquanto o segundo é preferível no caso dos perfis M2 M SI e S3 O direct step method tem como desvantagens o fato de a altura dágua y não poder ser determinada para uma localização x predeterminada e ser in conveniente para aplicação em canais não prismáticos Maiores detalhes do método poderão ser vistos pelo acompanhamento dos exemplos numéricos a seguir 137 COMPUTAÇÃO DO PERFIL DÁGUA A maior ou menor precisão no cálculo da função y fx independen te do uso de um ou outro critério para o cálculo da declividade média da linha EI HdáHca Báska Cap 13 Ver diretório Canais no endereço ele trônico wwweescuspbrshs na área Ensino de Graduação de energia no trecho está na adoção do valor do incremento ou decremento 1y Quanto menor for a diferença entre as alturas dágua nas extremidades do tre cho menor será o correspondente valor de 1x e mais preciso será o procedi mento de cálculo Vários tipos de métodos numéricos para a integração da equação dife rencial do movimento permanente gradualmente variado são apresentados na literatura Chow 11 Chaudhry 10 como o método de Euler método de RungeKutta de 4ª ordem métodos tipo preditorcorretor etc Com o advento das planilhas eletrônicas a solução da Equação 131 O pode ser realizada via direct step method de forma prática e rápida Para as seções trapezoidais retangulares e circulares são apresentadas as planilhas de cálculo para a linha dágua pelo direct step method respec tivamente REMANSOXLS e REMCIRCXLS Nestes dois programas os parâmetros de vazão declividade rugosidade inclinação do talude e largura de fundo ou diâmetro são fixados no início da planilha e a altura dágua ini cial seção de controle e o incremento ou decremento 1y adotado pelo usuá rio Se houver qualquer alteração nos parâmetros fixados a linha dágua é imediatamente recalculada O uso dos programas aparece nos exemplos seguintes EXEMPLO 136 Um canal trapezoidal com 250 m de largura de fundo inclinação dos taludes 1 H 1 V declividade de fundo I0 0030 mim coeficiente de rugosidade n 0018 transporta uma vazão de 57 m3s Em uma determinada seção exis te uma comporta de fundo plana e vertical e a altura dágua a montante da comporta é igual a 240 m O escoamento no canal é uniforme a montante da influência da comporta Determine o perfil dágua a montante da comporta A altura dágua normal y0 pode ser calculada pela Tabela 83 Para K nQ OOl 3 57 0051 017 2 b83 12 2583 Jo030 b y 0 043 m A altura crítica Yc pode ser calculada pela Figura 1017 através do adimensional t na forma Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 439 b rZQ 157 s 0184 lf35 y 071 m 9825 Zy e Como Yc Yo o canal é de forte declividade e somente curvas tipo S podem ocorrer Como a altura dágua junto à comporta vale y 240 m Yc y0 ocor rerá uma mudança brusca dó escoamento uniforme torrencial para uma curva de remanso tipo S1 fluvial através de um ressalto hidráulico A altura conjugada de Yo no regime fluvial é dada pela Figura 1 14 como z y 10 043 2 25 2 M 0 017 eAmZy 0 10043 126111 b 25 043 A B b 2Zy0 25 2043 336 m H 111 0375 m B V Q 57 4 52 ms Frl vi 452 235 1 A 126 J98 0375 Do gráfico da Figura 114 tirase Y2 26 y2 112 m Y1 Yo1 O peifil do escoamento variado correspondente à curva S 1 pode ser com putado a partir da extremidade de jusante junto à comporta seção de contro le até a seção ele altura y2 1 12 m após o ressalto corno na Figura 1319 Para o cálculo de cada intervalo lx no pro grama REMANSOXLS foram escolhidas alturas dágua com um decremento ele 008 m iniciando em y 240 m até a altura final conforme a pla nilha de cálculo a seguir 240m No resultado cio cfüculo eleve ser observado que a distância entre o ressalto e a comporta é de cerca de 40 m e que os valores de lx são negati Figura 1319 Perfil da linha dágua no Exemplo 136 0 Imagine um canal de fraca declividade no qual existe uma comporia com abertura de fundo inferior à altura crítica para a vazão transportada Você acha possível a existência de uma curva de remanso tipo M2 a montante da comporta 1 y m 240 232 224 216 208 200 192 184 176 168 160 152 144 136 128 120 112 i vos indicando que a marcha de cálculo é feita no sentido em que o controle está atuando Como o escoamento a montante da comporta é fluvial a pertur bação causada propagarseá para montante Na planilha REMANSOXLS a curva de remanso é determinada pelo step method fi xandose nas células B4 a F4 os valores dos parâmetros ge ralmente conhecidos para este tipo de cálculo o coeficiente de rugosidade n a declividade de fundo l0 a vazão Q a largura de fundo b e a inclinação do talude Z Portanto qualquer outro exemplo é rapidamente calculado fixandose a altura dágua da seção de controle na célula H4 e adotandose na célula G4 o incremento decremento tiy Outro modo de utilização da planilha é quando a vazão é a incógnita e se tem duas alturas dágua no canal e a distância entre elas ver Problema 1318 Neste caso variase o valor da vazão na célula D4 até que o valor de x na coluna lO seja igual à distância entre as seções de alturas dágua conhecidas Planilha de cálculo do Exemplo 136 lo nvm l b ru t y m n Qm s z YlnlciJm 00ll 0090 70 250 100 008 24 Yncd m A nh É m t Em Rh m ARhl3 lf nvm tx m xm y m 1176 2412 000 240 236 1118 2333 007873 1250 1331 000006 263 263 232 228 I062 2255 007855 1218 1243 000007 262 525 224 22 1007 2176 007834 1185 1158 000008 262 787 216 212 953 2098 007810 1153 1077 000009 261 I048 208 204 900 2020 007780 1120 999 000011 260 1309 200 196 849 1943 007745 1087 924 000012 259 1568 192 188 799 1866 007702 1053 852 000014 258 1826 184 18 750 1789 007651 1020 784 000017 256 2082 176 172 702 1714 007587 0986 719 000020 255 2337 168 164 656 1639 007509 0951 657 000024 252 2589 160 156 611 1564 007412 0916 597 000029 250 2839 152 148 567 1491 007290 0881 541 000036 246 3085 144 14 525 1420 007135 0845 488 000044 241 3326 136 132 484 1351 006934 0809 438 000055 235 3562 128 124 444 1284 006672 0772 390 000069 228 3789 120 116 405 1221 006325 0734 346 000088 2 17 4006 112 Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 441 EXEMPLO 137 Uma galeria de águas pluviais de 120 m de diâmetro em concreto n 0014 e declividade de fundo lo 0003 mim transporta em regime uniforme uma certa vazão com altura dágua Yo 090 me termina em uma queda brus ca Classifique o tipo de curva de remanso que ocorre entre a seção em que o escoamento é uniforme e a saída da galeria e calcule a linha dágua A vazão é dada pela fórmula de Manning na forma da Equação 847 M y 090 D e pela Tabela 81 para 0 075 K 1 0624 K I D 120 Portanto M DK 0749 38 Q18lm3 s 0003 A altura crítica para aquela vazão é dada pelo gráfico da Figura 1015 Q 181 Y e O 6 115 O Yc 072 m D 120 D Logo como Yo Yc o canal é de fraca declividade e termjnando em uma queda brusca a altura dágua final é a altura crítica ver Seção 108 Entre a altura y0 090 m e a altura final Yc 072 m ocorrerá uma curva decrescen te tipo M2 Utilizandose a planilha REMCIRCXLS chegase ao resultado a seguir ob servando que o cálculo foi realizado iniciando em uma altura dágua de 074 m pois nas proximidades da queda a curvatura dos filetes torna a distribuição de pressão não hidrostática e portanto uma das hipóteses na dedução da equa ção diferencial do movimento é violada Observandose as planilhas de cálculo dos Exemplos 136 e 137 pode se verificar as diferenças entre as características das curvas tipo S e M2 No Exemplo 136 curva S 1 ocorreu uma variação total na altura d água de 128 m ao longo de cerca de 40 m enquanto no Exemplo 137 curva M2 a variação total da altura dágua foi de somente 0155 m em cerca de 158 m de extensão Planilha de cálculo do Exemplo 137 075 0745 3647 074 1052 0000 0339 036 000500 015 015 075 076 0755 3681 076 1053 0001 0341 037 000480 044 059 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 0895 0765 0775 0785 0795 0805 0815 0825 0835 0845 0855 0865 0875 0885 08925 3716 077 1054 0001 0343 037 000462 077 136 077 3751 078 1056 0002 0345 038 000445 115 252 078 3786 079 1058 0002 0347 039 000429 161 413 079 3821 080 1061 0002 0348 039 000414 216 628 080 3857 081 1063 0003 0350 040 000400 282 910 081 3892 082 1067 0003 0352 041 000387 364 1275 082 3928 083 1070 0003 0353 041 000374 469 1744 083 3965 085 1074 0004 0355 042 000362 606 2350 084 4001 086 1078 0004 0356 043 000351 794 3144 085 4038 087 1082 0004 0357 043 000341 1065 4209 086 4075 088 1087 0005 0359 044 000331 1488 5697 087 4113 089 1092 0005 0360 045 000322 2242 7939 088 4151 090 1097 0005 0361 045 000313 3956 11895 089 4170 090 1099 0003 0361 046 000307 3981 15876 0895 1371 LOCALIZAÇÃO DO RESSALTO HIDRÁULICO Confo1me discutido anterimmente as seções de controle do escoamento em canais podem se apresentar nas mais variadas situações como na entrada de um canal de forte declividade na saída de uma comporta de fundo no ponto de mudança de uma declividade fraca para uma forte etc A marcha de cálcu lo das curvas de remanso originadas nas seções de controle é feita de montante para jusante no escoamento torrencial curvas M3 Alturas conjugadas de M3 S2 S3 ou H3 ou de jusante para montante no escoa mento fluvial curvas M M 2 S1 ou H2 A presença de uma comporta em um canal com abertura de fundo inferior à altura crítica per mite controlar o escoamento fluvial a sua montante e o escoamento torrencial a sua jusante A presença de um ressalto hidráulico indica a mudança de regi me toITencial para fluvial Figura 1320 Localização do ressalto hidráulico entre duas seções de controle Considere o escoamento toITencial de uma cer ta vazão sob a comporta mostrada na Figura 1320 percorrendo um canal prismático de fraca declividade que termina em uma queda brusca Se o canal for suficientemente curto o escoamento atinge a ex tremidade de jusante ainda em regime torrencial segundo uma curva tipo M Em um canal mais longo como a declividade é fraca haverá a mudança de regime com o aparecimento de um ressalto entre as duas seções de controle a seção contraída da lâmina junto à comporta e a altura crítica na extremida de de jusante Neste caso o perfil da linha dágua é constituído por uma cur va M3 que precede o ressalto e uma curva M2 que o segue A localização do ressalto podeser feita primeiro calculando a curva M3 a partir da seção con traída junto à comporta em direção a jusante até ficar confirmado que a pro fundidade atingirá a altura crítica antes do final do canal no interior do ressalto Em seguida calculase a curva de remanso M2 a partir da profundi dade crítica na extremidade de jusante do canal prosseguindo o cálculo para montante As alturas conjugadas relativas a cada profundidade do perfil M 3 são calculadas pela Equação 1 1 1 O e traçadas graficamente como mostrado A interseção ela curva das alturas conjugadas com a curva M2 localiza a posição do rêssalto a menos ele seu comprimento em geral desprezível em face da extensão das curvas Mi e M2 O Exemplo 138 ilustra o procedimento de cálculo EXEMPLO 138 Considere um vertedor de barragem com soleira normal tipo Creager e coeficiente de descarga C 185 largura ele 50 m carga sobre a soleira h 120 m e que descarrega água em um canal retangular horizontal de mesma largura rugosidade n 0020 comprimento 120 m e que termina em uma queda brusca O nível dágua no reservatório está na cota 67820 e o fundo do canal na cota 67170 Determine o perfil da linha dágua indicando as curvas de remanso que ocorrem e calcule a que distância do pé do vertedor se loca liza o ressalto Despreze as perdas ele carga do escoamento pelo vertedor Cálculo da vazão descarregada pela Equação 1299 Q CLh15 185501 20 15 1216 m3s A vazão unitária e a altura crítica valem Q 1216 q 6 5 243 m3sm o 13 o 1i Y e r 0845 m B Hidcá Básca Cap 13 25 2 15 Conjugadas de H it E 05 o o 20 40 60 xm Figura 1321 Perfis do Exemplo 138 Considere o esquema da Figura 1320 O que acontecerá ao ressalto hidráulico se a declividade do canal aumentar H 80 A altura dágua no pé do vertedor pode ser calculada usando a equação da energia entre o nível dágua no reservatório e o fundo do canal que na au sência de perdas fica q 2 0301 67820 67170 y 650 y 2gy y2 cuja raiz no regime torrencial vale y 022 m e portanto o número de Froude ao pé do vertedor vale Fr 7 52 Usando a planilha REMANSOXLS calculase a curva H3 desde a seção de profundidade y 022 m até a seção de profundidade crítica Yc 0845 m e verificase que esta seção está a menos de 120 m do pé do vertedor Em seguida calculase a curva H2 desde a extremidade de jusante na qual y Yc 0845 m até uma abscissa da or dem de 100 m Para cada valor de y da curva H3 determinase a sua 100 120 altura conjugada levantando a curva tracejada da Figura 1321 O gráfico da Figura 1321 é o resultado das três cur vas e mostra que o ponto de cruzamento do perfil H2 com a curva das alturas conjugadas que é a localização do res salto ocorre a cerca de 40 m do pé do vertedor ver pla nilha EXEM138XLS no diretório Canais No caso específico de um vertedor de barragem pretendese que o res salto se forme o mais perto possível do descarregador e para isto estruturas como soleiras de jusante são constrnídas para fixar o ressalto dentro da bacia de dissipação ver Figura 1110 138 FORMAS DA SUPERFÍCIE DA ÁGUA As curvas integrais do escoamento gradualmente variado Equação 136 foram mostradas em função da declividade de fundo para uma determinada vazão na Seção 133 e apresentam as seguintes propriedades a As curvas são tangentes assintóticas à linha de profundidade normal Y Yo b As curvas são ortogonais à linha de profundidade crítica y Yc e Se a profundidade cresce continuamente y oo as curvas tendem assintoticamente a uma linha horizontal dydx I0 d O escoamento a montante e a jusante da profundidade crítica não re úne mais as condições simplificadoras admitidas na dedução da Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 445 Equação 136 pois o escoamento não é retilíneo e paralelo Assim as partes correspondentes das curvas de remanso apresentadas em tracejado na Seção 133 são mais teóricas do que reais e A Figura 1322 mostra vários exemplos da ocorrência das curvas de remanso em diversas situações juntamente com a presença cio res salto hidráulico e da indicação da seção de controle Comporia Seção de controle Nível critico Nível normal Comporta Comporta I l 11 3 f t t asa Alargamento de seção j b2b1 1 Figura 1322 Exemplos diversos de curvas ele remanso El Hdran ª Cap 13 139 PROBLEMAS 131 Mostre que em um canal de forma qualquer a equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado Equação 135 pode ser escrita como 132 Em um canal retangular e horizontal com largura de 15 m a altura do escoamento decresce de 090 m pma 060 m em uma distância de 150 m As sumindo que a declividade da linha de energia é dada por Ir OOl V22gy de termine a vazão Observe que a vazão unitária é dada por q Vy cte Q 166 m3s 133 Em um canal retangular de largura de fundo igual a 10 m e vazão de 4 1 O m3s a altura nmmal para esta vazão é de 080 m Admitindo escoamento uniforme determine a O tipo de regime e a energia específica para aquela vazão b Se em uma determinada seção for colocada no fundo do canal uma estrutura curta degrau de 050 m de altura desprezando a perda de carga verifique se o escoamento a montante do degrau foi modifica do Justifique Se houve modificação determine a altura dágua ime diatamente a montante do degrau c Na hipótese do aparecimento de um eventual ressalto hidráulico a montante do degrau calcule as alturas conjugadas e o tipo de curva de remanso que se estabelece entre o ressalto e o degrau a toJTencial E 214 m b foi modificado y 209 m c ressalto com Y1 080 me Y2 171 m curva S1 134 Um canal retangular de 150 m de largura transporta em regime uni forme uma certa vazão com uma altura dágua igual a 040 me número de Fronde igual a 071 Em uma determinada seção existe um bueiro de concre to com entrada em aresta viva descanegando livremente de 060 m de diâ metro e 30 m de comprimento Sendo a rugosidade do canal n 0018 determine Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 447 a a vazão transportada b a declividade de fundo c a altura dágua imediatamente antes do bueiro d as alturas conjugadas de um eventual ressalto justifique a ocorrên cia ou não e o perfil da linha dágua indicando os tipos de curva de remanso os níveis normal e crítico a Q 084 m3s b 10 00038 mim c y 10 m d não há ressalto e curva M1 de Yo 040 m até y 10 m 135 Em um canal retangular bastante longo com declividade de fundo 10 2 mkm mgosidade n 0015 e largura 30 m existe uma comporta plana ve1ti cal de igual largura cuja carga a montante é H 18 me abertura no fundo b 030 m Suficientemente afastado da comporta instalouse um ve1tedor retangular de parede fina com duas contrações laterais largura da soleira igual L 280 m e altura p 040 m Verifique a possibilidade da ocorrência de um ressalto hi dráulico Se houver calcule as alturas conjugadas e trace o perfil dágua en tre a comporta e o vertedor indicando claramente os tipos de curvas de remanso que ocorrem os níveis normal e crítico e a altura dágua imediata mente a montante do vertedor Há ressalto Y1 0357 m Y2 Yo 0585 m perfil curva M3 ressalto curva M de y 0 0585 m até y 112 m 136 Um canal retangular suficientemente longo de 10 m de largura lo 0001 mim n 0015 transporta em regime permanente e uniforme uma certa vazão com uma altura dágua igual a 050 m Em uma determinada seção necessitase de uma altura dágua igual a 080 me para isso instalouse um vertedor retangular de parede delgada com largura igual à largura do canal Detennine a a vazão transportada b a altura p da soleira do vertedor c o tipo de curva de remanso que ocorre a montante do vertedor Justi fique a Q 042 m3s b p 043 m c curva MI B HcMoa Báska Cap 13 Figura 1323 Problema 139 137 Um reservatório é controlado por uma comporta plana e vertical com abertura de fundo igual a 040 m e carga a montante igual a 328 m A água é descarregada em um trecho de canal com declividade de fundo 101 001 mim e coeficiente de rugosidade de Manning n 0020 Este primeiro trecho é segui do por outro no qual a altura dágua normal é y02 10 m Considerando oca nal bastante largo e os trechos 1 e 2 suficientemente longos para permitir a ocorrência do regime uniforme determine a a vazão unitária b a profundidade normal do trecho 1 c os tipos de regime nos dois trechos d a linha dágua desde a comporta até a altura normal do trecho 2 indi cando claramente as curvas de remanso existentes e calculando as al turas conjugadas de um eventual ressalto a q 180 m3sm b Yo1 054 m c trecho 1 torrencial trecho 2 fluvial d curva S3 ressalto com y1 054 me y2 0869 m curva S1 até Yo2 10 m 138 Um longo canal retangular de 05 m de largura n 0018 10 00047 mim transporta uma certa vazão Colocandose no canal um vertedor retangu lar de parede espessa de 010 m de altura a altura dágua imediatamente an tes do vertedor passou a ser y 025 m e após o vertedor formouse um ressalto Determinar a a vazão no canal b As alturas conjugadas do ressalto c o tipo de curva ele remanso a montante do vertedor a Q 0055 m3s b y1 0077 me y2 Yo 0143 m c curva M1 de Yo 0143 m até y 025 m i Cmpoca H i 139 Um canal trapezoidal bastante longo com largura de fundo igual a 120 m taludes lVlH n 0018 e declividade de fundo igual a 0001 mm termina com uma queda brusca em um reservatório prismático de 20 m de largura controlado por uma comporta plana e vertical de mesma largura com abertura de fundo igual a O 15 m descatrngando livremente Sendo a altura clágua na seção A igual a 030 m determine a a vazão descarregada Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 449 b o tipo de curva de remanso a montante da seção A c a altura H a montante da comporta a Q 071 m3s b curva M2 c H 094 m 1310 Um canal retangular de 120 m de largura transporta em regime uni forme uma certa vazão com altura dágua igual a 025 me número de Froude igual a 20 Em uma determinada seção existe um bueiro de concreto com entrada em aresta viva de 060 m de diâmetro e 30 m de comprimento des carregando livremente Sendo a rugosidade do canal n 0015 determine a a vazão transportada b a declividade de fundo c a altura dágua imediatamente antes do bueiro d a possibilidade de oconência de um ressalto hidráulico se houver calcu le as alturas conjugadas e a perda de carga e o perfil da linha dágua indicando os tipos de curvas de remanso e os níveis normal e crítico a Q 094 m3s b l0 0022 mim Figura 1324 Problema 1310 c y 118 m d ressalto com y1 Yo 025 me y2 0593 m E 007 rn e ressalto e curva S1 de y2 0593 m até y 118 m 1311 Um reservatório de grandes dimen sões descarrega em um canal retangular largo e longo de declividade de fundo l0 0005 mim n 0020 Suficientemente afastada da saída do reservatório existe uma pequena bar ragem de elevação com perfil tipo Creager e coeficiente de vazão igual a 195 Desprezan do a perda de carga na entrada do canal e com os dados da Figura 1325 determine a a vazão unitária b a altura dágua próxima da barragem 120 m Figura 1325 Problema 1311 c o perfil da linha dágua no canal indicando os tipos de curvas de re manso as alturas conjugadas de um eventual ressalto hidráulico e os níveis normal e crítico 11 30rn l 120m B HdMca Bãska Cap 13 a q 224 m3sm b y 230 m c curva S2 ressalto com Y1 y0 076 me Y2 084 m curva S I de y2 084 m até y 230 m 1312 Um longo canal retangular de 20 m de largura rugosidade n 0015 e declividade de fundo I0 00004 mm possui na extremidade de jusante uma comporta plana e vertical de mesma largura e coeficiente de vazão dado pela Equação 1256 Quando a abertura da comporta for b 048 m determine qual deve ser a vazão no canal para que a montante da comporta não ocorra curva de remanso nem tipo M1 nem tipo M2 Q 262 m3s 1313 Uma comporta plana e vertical descarrega água em um canal retan gular de 150 m de largura suficientemente longo para que se estabeleça re gime uniforme rugosidade n 0018 A comporta tem a mesma largura do canal abertura de fundo b 030 m coeficiente de contração da lâmina C 060 cuga a montante H 180 m e descarrega livremente Determine a a vazão descarregada no canal b a energia específica disponível na seção contraída da lâmina c a declividade de fundo do canal para que a altura conjugada do ressalto a jusante da comporta no regime torrencial seja igual a 035 m d a perda de carga no ressalto e o tipo de curva de remanso que se forma entre a comporta e o ressalto Uustifique a Q 147 m3s b E 170 m c lo 374 103 mm d E 002 m e curva M3 1314 Em uma determinada seção de um longo canal retangular de 20 m de largura rugosidade n 0020 e declividade de fundo I0 0002 mm a al tura dágua é igual a O 18 me o número de Froude vale 328 Suficientemen te distante e a jusante desta seção existe uma comporta plana vertical de largura igual à do canal com abertura no fundo b 025 m descarregando li vremente a Verifique a possibilidade ele ocorrência de um ressalto hidráulico no canal Calcule se for o caso suas alturas conjugadas b Verifique a possibilidade de ocorrência ele uma curva de remanso a montante da comporta Justifique qual o tipo de curva Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 451 c Existe a possibilidade de alterar a abertura da comporta para que ela funcione sem provocar o aparecimento de alguma curva de remanso a sua montante a há y 022 m Y2 065 m b curva Mi c não há 1315 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 10 m taludes IHIV transporta uma certa vazão em regime uniforme com altura dágua igual a 10 me o número de Fraude do escoamento igual a 070 Em uma certa seção existe uma barragem cujo descarregador é constituído por 3 tubos de concreto com entrada em aresta viva de 060 m de diâmetro 60 m de com primento colocados horizontalmente no fundo do canal e descarregando livre mente na atmosfera a Determine a vazão transportada b Determine a altura dágua imediatamente a montante da barragem c Ocorre um ressalto hidráulico a montante da barragem Justifique d Ocorre curva de remanso no canal Justifique qual a Q 358 m3s b y 179 m c não ocorre ressalto d curva M íl Ponte r c J Tosom L 1200 m 1316 Em uma seção de um canal trapezoidal de 100 m de largura de fundo inclinação dos ta ludes 2H 1 V declividade de fundo lo 0001 mi me coeficiente de rugosidade n 0020 a cota de fundo é de 88650 m Para uma vazão máxima es perada de 600 m3s o nível dágua nesta seção al cança a cota de 88950 m Desejase construir uma ponte a 1200 m a montante da seção confor me a Figura 1326 de modo a garantir uma folga de 050 m entre o nível dágua no canal e o tabu leiro da ponte Determine a cota mínima do tabu leiro da ponte Utilize a planilha REMANSOXLS adotando um decremento iy 005 m Figura 1326 Problema 1316 Cota 89045 m 1317 Na Figura 1327 a profundidade do escoamento imedia tamente a jusante da comporta é de 060 m e a velocidade média na seção de 12 mls Para um canal bastante largo com rugosidade n 0018 em contra declividade com I 0005 mim determi ne a altura dágua na extremidade de jusante 60 m da comporta y 0854 m Figura 1327 Problema 1317 88950 111 88650 111 Q 150m 500m Figura 1328 Problema 13 l 8 t 0002 mim Figura 1329 Problema 1320 160 m 1318 Em um distrito de irrigação existe um canal trapezoidal uniforme com largura de fundo b 60 rn inclinação dos ta ludes Z 2 declividade de fundo l 0 00005 mim e coeficiente de rugosidade da fórmula de Manning n 0018 Querendose determinar a vazão mediramse as profundidades em duas se ções distantes 500 rn entre si Na seção de jusante a altura d água é igual a y l 60 me na seção de montante y2 150 m con forme a Figura 1328 Sendo o escoamento fluvial determine a vazão usando a planilha REMANSOXLS Q 1476 m3s 1319 Num canal trapezoidal com largura de fundo b 20 m inclinação dos taludes Z 15 declividade de fundo l0 0002 mim rugosidade equivalente das paredes e fundo E 0003 m cimentado transporta urna vazão Q 12 m3s Existindo na extremidade de jusante um reservatório cuja supe1fície livre está na cota 1 60 m sendo zero a cota de fundo do canal na saída determine a a curva de remanso que ocorre no canal b a cota do nível dágua em urna seção situada a 100 ma montante da entrada do reservatório a curva MJ b cota 1632 m 98 50 m e 1320 Urna comporta plana vertical e de mesma largura controla a entrada de água em um canal retangular de 20 rn de largura decli vidade de fundo l 0 0002 mim rugosidade n 0020 suficientemente longo e que desemboca em um reservatório com NA na cota 9850 rn confo1me a Figura 1329 a Dete1mine vazão descarregada b Determine tipo de declividade do canal forte ou fraca Justifique c Esboce o perfil dágua da comporta até o re servatório de jusante indicando claramente as curvas de remanso existentes e as alturas normal e crítica d Ocorrendo um ressalto hidráulico determine as alturas conjugadas a perda de carga e o comprimento e Sendo o coeficiente de contração da lâmina sob a comp01ta igual à Cc 060 calcule a que distância da seção contraída se formará o ressalto Cap 13 Escoamento Permanente Gradualmente Variado 453 a Q 261 m3s b fraca Yc Yo c curva M i ressalto curva Mi d y 1 0294 m Y2 Yo 095 m LlE 0253 m Lj 46 m e lx 127 m 1321 Um reservatório descarrega água através ele 2 tubos circulares ele con creto com entrada em aresta viva ele 3 m ele comprimento e 030 m ele diâme tro todos horizontais e assentados na mesma cota em um canal trapezoidal ele 060 m ele largura ele fundo taludes IH 1 V clecliviclacle I0 0001 111m n 0020 que termina 115 m a jusante ela saída cios tubos em uma queda brus ca A altura d água imediatamente antes ela queda brusca é igual a 035 m Determine a a vazão descarregada b o tipo ele clecliviclacle cio canal fraca ou forte c a carga H sobre os tubos d o tipo ele curva de remanso que se forma a montante da queda brus ca justifique a Q 0526 1113s b fraca declividade c H 1 1 O m d curva M2 1322 Um pequeno canal trapezoidal com 05 m de largura de fundo taludes 111 1 V declividade de fundo 10 0030 mm coeficiente de rugosidade n 0020 transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de 030 m3s Em uma determinada seção existe um vertedor trapezoidal tipo Cipolletti com largura ela soleira igual a 10 m e altura p 10 m a DeLermine o tipo de declividade do canal forte ou fraca b Determine a altura dágua imediatamente antes cio vertedor c Ocorrendo um ressalto hidráulico a montante cio vertedor determine suas alturas conjugadas d Esboce o perfil ela linha dágua a montante do vertedor indicando claramente as curvas ele remanso que ocorrem a forte declividade b y 1 30 m c y1 Yo O 195 me y2 035 m d Yo ressalto curva SI de y 035 m até y 130 m 1323 Considere um canal de grande declividade com uma seção qualquer conforme a Figura 1330 A carga total H em uma seção correspondente à Equação 7 1 7 no caso é descrita como h Q2 H z na qual cos0 2gA h é a profundidade do canal na seção considerada medida perpen dicularmente ao fundo do canal EI Hidffilica Báca Cap 13 A é a área molhada da seção transversal do canal 0 o ângulo fo1mado entre o fundo do canal e a hori zontal Q 2gA LE Q a vazão no canal em regime permanente Figura 1330 Problema 1323 Figura 1331 Problema 1324 X Para o sistema de referência zx adotado mostre que a equação diferencial da linha dágua para canais de grande declividade é dada por dh dx tg0 11 2 Fr cose em que 11 dH é a declividade dx da linha de energia 1324 Em alguns açudes existentes na região semiárida do Estado do Cea rá os vertedores são colocados em uma lateral do reservatório com soleira em cota bem especificada com uma folga em relação à cota de coroamento da bar ragem mesmo para um nível dágua no reservatório correspondente à vazão máxima de projeto a ser descarregada Tais estruturas são normalmente canais retangulares curtos com largura da ordem de grandeza do comprimento ter minando em queda brnsca ou transição em forte declividade Os vertedores têm baixas declividades algumas vezes simplesmente abertos em rocha por dinamitação sem revestimento Fator importante no projeto da estrutura glo bal é dete1minar a curva cotadescarga do vertedor isto é a relação entre o NA no reservatório e a vazão descarregada que geralmente tem a forma q cxHP em que a e P são parâmetros a determinar por regressão q a vazão unitária e H a carga sobre a soleira na entrada do vertedor como na Figura 13 31 Deter minar a relação cotadescarga do vertedor observando que por ser canal de fraca declividade irá se estabelecer no vertedor uma curva de remanso tipo M2 com altura dágua na saída igual a Yc Variar a altura dágua na saída de 05 ma 15 m de 1 O em 1 O cm e calcular em cada caso a curva de remanso pelo step method variando as alturas dágua nas seções de I em 1 cm até o comprimento L Para cada valor de Yc temse a vazão q e pela curva de remanso o valor de H correspondente a uma abscissa L Dete1minar para os I O pares de valores q e H os parâmetros a e p por regressão Use uma planilha eletrônica para desenvolver o step method adaptada da planilha REMANSOXLS Dados n 0040 lo 00005 mim L 62 m e b largura 30 m q 126 H186 14 ESCOAMENTO VARIÁVEL EM CANAIS 141 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores desenvolveramse as formulações matemáticas para vários aspectos de escoamentos permanentes em canais Entretanto a grande maioria dos escoamentos livres se dá normalmente em condições de re gime variado e não permanente nos quais as características mudam em fun ção do tempo e do espaço Se as alterações sofridas pelo escoamento são de pequena magnitude e ocorrem de modo progressivo podese supor como simplificação que o es coamento seja permanente ao menos em intervalos curtos de tempo aplican dose as conceituações já apresentadas Há entretanto situações físicas em que esta suposição não é admissível como por exemplo ondas de cheia em canais rios ou sistemas de drenagem alterações de nível e vazão produzidas pela par tida ou parada de bombas ou turbinas hidráulicas ondas originadas por mano bras de comportas em canais de irrigação rompimentos de diques ou barragem etc O tratamento matemático deste tipo de escoamento é bem mais comple xo mesmo em situações mais simples como a propagação de uma onda de cheia em um canal prismático e retilíneo no qual não ocorra extravasamento da seção nem aporte lateral de vazão 142 DEFINIÇÕES Uma onda é definida como uma variação temporal e espacial da altura do escoamento tirante de água e da taxa de vazão O comprimento de onda L é a distância entre duas cristas sucessivas a amplitude a da onda é a altura entre o nível máximo da superfície livre e o nível dágua em repouso e a al tura H é a diferença de cotas entre as cristas e os cavados As ondas podem ser classificadas de várias maneiras como ondas ca pilares nas quais o fator preponderante na propagação é a tensão superficial e ondas de gravidade cuja ação preponderante é a atração gravitacional São 455 Mas tenha cuidado A pororoca só dá em rios e canais de pouca profundidade O sinhô evite águas rasas procure lugares fundos com mais de 7 metros lntão não haverá perigo A pororoca dá no meio da maré enchente quando rios e Igarapés não agüentam a pressão da maré nas suas bocas e transbordam numa onda de 15 a 25 metros1 com força e velocidade incríveis Velejando o Brasil Geraldo Tollens Linck chamadas de águas profundas se a relação entre o comprimento de onda L e a profundidade da água y distância entre o fundo do canal e o nível dágua estático for menor que 20 e de águas rasas caso contrário Uma onda é chama da de onda oscilatória se não existe transporte de massa na direção de propaga ção são em geral ondas provocadas pelos ventos e importantes em Hidráulica Marítima Ondas de translação são aquelas que envolvem deslocamento de mas sas líquidas da sua posição original como ondas de cheias em rios e canais As ondas de translação podem ser classificadas como onda solitária que tem um tramo de ascensão e outro de depleção e um único pico e trem ou siste ma de ondas que é um grupo de ondas sucessivas Uma onda de translação que tenha o tramo de depleção frente de onda de modo íngreme é chamada de surto ou vagalhão Em relação às ondas em canais estas são ditas ondas positivas se a altura dágua atrás da onda intumescência é maior que a altura dágua no es coamento não perturbado no canal e ondas negativas se a altura dágua atrás da onda intumescência é menor que a altura dágua no escoamento não per turbado no canal ver Figura 141 Conforme foi discutido na Seção 105 a celeridade da onda c é defini da como a velocidade relativa de propagação em relação ao meio líquido en quanto a velocidade ou celeridade absoluta da onda V w é a velocidade medida em relação às margens do canal A relação entre estas duas velocidades no es coamento unidimensional é dada pela Equação 1030 na forma 141 na qual o sinal positivo é usado se a onda se propaga no sentido do escoamento e o sinal negativo é usado se a onda se propaga no sentido contrário ao escoa mento Para ondas de gravidade de pequena amplitude tratadas no Capítulo 1 O negligenciando os efeitos de viscosidade e tensão superficial a expressão da celeridade desenvolvida por Airy Henderson 28 é dada por C gL h 2ny tan 2n L 142 em que L é o comprimento de onda e y a altura do escoamento não perturbado No caso de ondas de águas profundas em que y L a tangente hi perbólica tende ao valor 1 tanh 2nyL 1 e a celeridade tomase c h 143 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 457 1 Para ondas de águas rasas em que L y a tangente hiperbólica tende ao valor do arco tanh 2nyL 2nyL e então a celeridade de tais ondas é expressa por cm 144 Observe que a expressão é mesma deduzidana Seção 105 O tratamento matemático das ondas de translação no escoamento não perma nente em canais pode ser dividido em dois grupos No caso das ondas de cheias em que o escoamento é considerado como len tamente variável serão utilizadas as equa ções deduzidas na Seção 144 enquanto se o escoamento não estacionário for rapida mente variado se manifestando por uma brusca alteração na profundidade da água como por exemplo gerado pelo fechamen to rápido de uma comporta equações bem mais simples serão deduzidas na próxima Seção 143 ONDAS DE TRANSLAÇÃO ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO 1431 NOTAÇÃO O escoamento não estacionário e ra a Onda positiva de jusante v Escoamento inicial lyO Intumescência Q QHQ lQ O e Onda positiva de montante Intumescência QlQ lQO v Escoamento inicial Q b Onda negativa de montante lyO Intumescência 1 Escoamento inicial Q H Q Q tQ o d Onda negativa de j uantc v ly o Escoamento Intumescência inicial 1 Q 1 lQ o QlQ pidamente variado caracterizase por uma Figura 141 Geração de ondas por variação brusca õQ de vazão superfície livre com uma brusca variação na profundidade da água A variação bmsca na linha dágua é provocada por uma variação bmsca de vazão LiQ que fo1ma uma descontinuidade Lly chamada de frente da onda Após esta descontinuidade de comprimento desprezível o corpo da onda se desenvolve paralelamente à super fície da água do escoamento estabelecido inicial ver Figura 141 Como con seqüência no corpo da onda a vazão é igual a Q LiQ Há quatro diferentes tipos de ondas nesta condição conforme a Figura 141 Favre 20 páginas 3344 e Graf 26 página 32 B HidcáUce Básica Cap 14 A bc1tura da comporta Onda negativa Onda positiva de jusante de montante tQ O a Se a perturbação é provocada por uma variação da vazão LlQ em uma seção situada a montante a onda propagarseá no sentido da corrente e é chamada de onda de montante a Se o transitório for produzido por um aumento na vazão LlQ O a linha dágua estará acima do nível dágua inicial Lly O e a pertur bação é dita onda positiva de montante ver Figura 14 lc a2 Se o transitório for produzido por uma diminuição na vazão LlQ O a linha dágua estará abaixo do nível dágua inicial Lly O e a perturbação é dita onda negativa de montante ver Figura 141 b b Se a perturbação é provocada por uma variação da vazão LlQ em uma seção situada a jusante a onda propagarseá no sentido contrário da corrente e é chamada de onda de jusante bl Se o transitório for produzido por um aumento na vazão LlQ O a linha dáguà estará acima do nível dágua inicial Lly O e a pertur bação é dita onda positiva de jusante ver Figura 14 ld b2 Se o transitório for produzido por uma diminuição na vazão LlQ O a linha dágua estará abaixo do nível dágua inicial Lly O e a perturbação é dita onda negativa de jusante ver Figura 14 la Fechamento da compmta Onda positiva Onda negativa de jusante de montante lQO A Figura 142 apresenta os quatro tipos de onda em um escoamento rapidamente variado provocados pela abertura ou fecha mento de uma comporta plana e vertical em um canal 1432 ALTURA E VELOCIDADE DE UMA ONDA Figura 142 Exemplo dos quatro tipos de ondas de translação Nesta Seção serão derivadas equações que permitem a determinação da altura da onda Lly e da celeridade absoluta Vro devido a uma súbita mudança na vazão O equacionamento é idêntico ao desenvolvido na Seção 105 para perturbações de pequena amplitude As hipóteses adotadas são praticamente as mesmas como canal horizontal sem atrito distribuição de pressão hidrostática e distri buição uniforme de velocidade em ambas as seções a montante e jusante da perturbação descontinuidade abrupta na altura dágua de comprimento des prezível e aspecto constante e superfície da água atrás da onda paralela à li nha dágua não perturbada Seja conforme a Figura 143a o escoamento não permanente rapida mente variado provocado pela abertura brusca de uma comporta plana sobre um escoamento uniforme inicial de velocidade média V A velocidade média V2 da água e o aumento da profundidade Lly a montante da descontinuidade Cap 14 Escoamento Variável em Canais 459 são provocados pelo aumento da vazão Q A Figura 143a mos tra a visão de um observadores tacionário postado na margem enquanto a Figura 143b mostra a visão de um observador que se desloca para jusante com veloci dade igual à celeridade absoluta da onda Vro comporta u yAy yAy Figura 143 Transformação do escoamento variável em permanente A altura da onda e a sua celeridade podem ser determinadas pela apli cação da equação da continuidade e do teorema da quantidade de movimento ao volume de controle da Figura 143b transformando o escoamento variável em escoamento permanente pela sobreposição de um campo de velocidade Vro à situação original da Figura 143a Na condição de escoamento permanente e fluido incompressível as equações ficam a Equação da continuidade Jvdà O V2 V0JA2 V1 VroA1 sc b Teorema da quantidade de movimento 145 Para um canal horizontal e sem atrito tensão de cisalhamento nula nas paredes e fundo as únicas forças que atuam sobre o volume de controle são devidas às distribuições de pressão hidrostática nas seções 2 e 1 assim IF F2 F1 yy2 A 2 yy1A JvpV dà 146 SC na qual I Fx é a soma das forças externas sobre o volume de controle na di reção positiva x e y a altura vertical desde a superfície livre até o centróide da seção de escoamento YY2 A2 YY1 A V2 VJJpV2 VI A2 VI VlpV1 VlA1 YY2A2 fy1ApV2Vw2 A2 pV1 VwfA1 Substituindo o termo V2 V ro da Equação 145 na expressão anterior desenvolvendo e simplificando fica 0 i i j csY v v Ai Cap 14 147 Como no caso da Figura I 43 tratase de uma onda positiva de montan te sua celeridade Vw é superior à velocidade do escoamento não perturbado V 1 pois a onda se desloca para jusante Assim a Equação 147 fica gA2 Y2 A2 yl A1 A1A2 A 1 148 Por comparação com a Equação 141 o termo dentro da raiz na Equa ção 148 é a celeridade relativa da onda então c gA2 Y2 A2 yl AI AI A2 Ai 149 A altura da onda fy y2 y 1 provocada pela mudança brusca na vazão pode ser determinada pela seguinte relação entre alturas cio escoamento e ve locidades nas seções 1 e 2 obtida eliminandose o parâmetro Yw nas Equações 145 e 147 na forma 14 10 Conhecendose os valores de y e V ou Q1 para uma determinada variação na vazão passando ele Q 1 para Q2 podese determinar os valores de y2 e V2 pela Equação 14 10 e Q2 V2 A2 através de um processo de tentativa e erro A celeridade absoluta Yw pode ser determinada pela Equação 148 para uma onda positiva de montante No caso particular importante do canal ser retangular as expressões são simplificadas como segue Sendo b a largura do canal A1 by1 A2 by2 y1 y1 2 e y2 y22 substituindo essas relações na Equação 149 e simplificando vem c 141 1 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 461 Observe que para ondas de pequena amplitude na qual y1 y2 y a Equação 1411 tomase a Equação 144 A celeridade absoluta é dete1minada substituindo A1 by1 e A2 by2 na Equação 145 e simplificando tornase 1412 Ainda no caso da seção retangular eliminandose Vroentre as Equações 147 e 1412 chegase a 1413 Esta equação representa a relação entre as velocidades inicial e final e as alturas dágua a montante e a jusante da onda Levandose em conta que extraindo a raiz quadrada da Equação 141 3 obtémse duas soluções uma para a onda positiva se propagando para montan te e outra para jusante com o mesmo argumento usado para chegar à Equa ção 148 podese escrever a Onda positiva de montante Vro V1 c sentido da conente gyz yiy y 2yl Y2 1414 b Onda positiva de jusante V ro V 1 c sentido contrário da corrente gyz y1y y 2yl Y2 1415 Para o caso de uma onda negativa y O um desenvolvimento aná logo leva às seguintes relações a Onda negativa de montante V ro V 1 c sentido da corrente gyz yy yf 2y Y2 1416 b Onda negativa de jusante V 00 V 1 c sentido contrário da corrente EXEMPLO 141 gy2 yiy y 2yl Y2 1417 Um canal retangular de 20 m de largura transporta uma vazão de 160 m3s com altura d água igual a 10 m Determinar a altura de uma onda vagalhão e sua celeridade absoluta e relativa se a vazão é subitamente ele vada para 350 m3s na extremidade de montante do canal Pela Figura 14lc para Q Q2 Q1 190 m3s a montante tratase de uma onda positiva de montante A velocidade no escoamento não perturbado vale V 9L 160 o 80 1 ms byl 210 Na seção 2 temse 0 2 bY2 V2 350 y2 V2 175 V2 175 Y2 Substituindo na Equação 1414 fica 080 175 Y2 98y2 10ylO y2 1214 m 210 y2 Portanto a altura da onda vale y Y2 Y1 1214 10 0214 m e Pela Equação 1411 a celeridade relativa vale 98 1214 lOl214 363 ms 210 CªtP14EscoamentoVariávelemCanais1463 A celeridade absoluta é dada pela Equação 1412 ou diretamente da Equação 141 com o sinal conveniente V00 V c 080 363 443 ms EXEMPLO 142 Um canal retangular de 30 m de largura e lâmina dágua igual a 090 m alimenta uma estação elevatória que recalca uma vazão nominal de 20 m3s Havendo uma intenupção súbita das bombas qual a altura e celeridade abso luta da onda de translação no canal que se propaga para montante Com a paralisação total das bombas temse Q 20 3s portanto na seção de jusante Q2 O e V2 O No escoamento não perturbado temse Q 1 20 vi 074m s by 1 3090 Para uma onda positiva de jusante pela Equação 1415 vem 074 98 y2 090 y 0902 Y2 1137 m 2090y2 c Portanto a altura da onda será y y2 y 1 1137 090 0237 m Pela Equação 1411 a celeridade relativa vale 93 lI 37 O 90 1137 3 55 ms 2090 A celeridade absoluta vale V ro V c 074 355 281 ms 1433 ONDA DE TRANSLAÇÃO NEGATIVA Uma onda de translação negativa é caracterizada pelo abaixamento da superfície líquida em relação ao nível do escoamento não perturbado assu mindo uma forma alongada com uma gradual inclinação da linha dágua Ocorre a jusante de uma comporta em uma manobra de fechamento ou a mon tante em uma manobra de abertura Uma onda positiva apresenta uma frente de onda em forma escarpada com a parte superior da frente se propagando mais rapidamente que a inferior mas se estabelece um equilíbrio entre os dois níveis e a onda positiva guarda uma forma estável que se assemelha a um Uma onda da translação positiva em um canal retangular com profundidade no escoamento não perturbado Y 120 m e velocidade média V 190 ms pode subir o canal com uma celeridade absoluta de 380 ms Uma onda de translação negativa de montante pode se propagar em senti do contrário à corrente ressalto hidráulico móvel Já na onda negativa a parte superior da frente que se propaga com velocidade mais alta que a parte inferior tem a tendência de se afastar desta A forma de uma onda negativa não permanece estável mas va ria em função do tempo à medida que a onda se afasta da comporta Uma análise simplificada das características de uma onda negativa pode ser feita utilizandose a equação da continuidade e o teorema da quantidade de movimento assumindo a formação de uma perturbação elementar em um ca nal liso A integração da equação gerada foméce o perfil da superfície líquida como função do tempo e a velocidade de deslocamento da onda como função da profundidade ou como uma função da posição no canal e do tempo A partir de um desenvolvimento análogo ao efetuado na Seção 105 podese combinar as Equações 1021 e 1022 para achar a equação diferencial que relaciona a profundidade do escoamento à velocidade média na seção Em forma de diferenciais totais a combinação das duas equações leva a 1418 e daí 1419 o que leva a duas soluções 1420 A integração da Equação 1420 fornece a relação entre a velocidade média em uma seção e sia profundidade na fo1ma Vy 2fgy Cte 1421 O sinal superior corresponde às ondas elementares negativas que se propagam no sentido do escoamento inicial ver Figura 141 b e o sinal infe rior corresponde às ondas em sentido contrário ver Figura 14ld Para a determinação da constante de integração adotando como ante riormente o índice 1 para a seção do canal ainda não atingida pela perturba ção isto é para V V 1 e y y 1 a constante é calculada e a Equação 1421 to1i1ase Cap 14 Escoamento Variável em Canais 465 1422 Utilizandose as Equações 141 e 144 obtémse a celeridade absoluta para as pequenas ondas como VroY Vgy V1 3gy 2 fgy 1423 Esta celeridade é a velocidade de propagação do elemento de altura lly da intumescência Para o caso de onda negativa de montante conforme a Figura 144 a Equação 1423 é escrita como 1424 Assumindo como referência espacial a abscissa x O posição da com porta no tempo t O a posição da onda a jusante da comporta em um tempo t qualquer é dada por x V roYt portanto 1425 Fechamento da compo11a A equação anterior é a expressão do lugar geomé trico dos pontos da superfície livre da onda em cada tempo t A velocidade Vy em função do espaço x e do tempo t pode ser obtida eliminandose y nas Equações 1424 e 1425 iE ç t V Y Y V1 2 xy 2 Vy v gyl 3 3 t 3 1 Figura 144 Onda negativa de montante 1426 Considerandose uma onda negativa de jusante ver Figura 14ld a equação correspondente à Equação 1423 fica sendo 1427 EXEMPLO 143 Adaptado de Graf 26 página 78 Em uma instalação hidroelétrica o canal de admissão de água para a turbina é retangular com largura b 100 m Para um escoamento permanen te e unifmme com uma vazão Q 40 m3s a altura dágua normal vale y1 Yo 158 m Quando ocotTe uma redução de carga na máquina a comp011a pia na e vertical a montante da turbina é parcialmente fechada de modo instantâneo fixando a vazão de admissão em Qr 05 m3s a Determine as características das ondas de montante e de jusante que partem da seção da comporta b Determine a forma da frente destas ondas Devido ao fechamento parcial da comporta a situação hidráulica no ca nal é equivalente aquela mostrada na Figura 142b com uma onda positiva de jusante e outra negativa de montante a1 Cálculo da onda positiva de jusante Para o escoamento não perturbado uniforme a velocidade V 1 vale Q Y1by1 40 V1 4015810 253 ms Na seção da comporta a vazão é bruscamente reduzida para 05 m3s e a equação da continuidade fica Qr Q2 Y2 by2 05 V2 0510yz 005yz Pela Equação 1415 onda positiva de jusante y2 y vem 253 005 Y2 98y2 158y 1582 yz 271 m 2158y2 Portanto a altura da onda vale 1y Yz y 113 m A celeridade relativa da onda é dada pela Equação 1411 c 93 271 2 71 I 58 60 ms 2158 Onda positiva de jusante A celeridade absoluta é dada pela Equação 1412 ou diretamente da Equação 141 com o sinal conveniente V00 347 ms Escoamento uniforme óyI 13 m Q 40 111315 y1 y0 158 m y2 271 m Figura 145 Exemplo 143 onda positiva de jusante V ro V 1 c 253 60 347 ms A Figura 145 mostra as características do escoa mento com a onda positiva de jusante de altura 1y 113 m se propagando para montante com uma frente escarpada e razoavelmente estável Cap 14 Escoamento Variável em Canais 467 a2 Cálculo da onda negativa de montante Pela Equação 1416 onda negativa de montante y2 y1 com as mes mas condições iniciais da Seção anterior vem 005 253 Y2 98 y2 l58 y1582 Y2 078 m 2158y2 Portanto a altura da onda vale 1y y2 y1 080 m A celeridade relativa da onda é dada pela Equação 1411 c 93 07S O 78 1 58 2 39 ms 2 158 Onda negativa de montante Vro 492 ms Escoamento unifonne A celeridade absoluta é dada pela Equação 1412 ou diretamente da Equação 141 com o sinal conve niente Ay 080 m Qr 05 1113s 01s y 1 i8 m Q 40 m3s y1 1n Vro V1 c 253 239 492 ms A Figura 146 mostra as caracte1ísticas do escoa mento com a onda negativa de montante de altura Figura 146 Exemplo 143 onda negativa de montante 1y 080 m se propagando para jusante com uma frente instável e que vai se abatendo achatando b2 Determinação da forma da frente da onda negativa Para uma onda negativa de montante a celeridade absoluta em função da profundidade é dada pela Equação 1424 As celeridades para a parte superior y y1 158 m e o pé da frente de onda y y2 078 m são determinadas pela equação anterior como paray y1 158 m V rol 253 3J 98 158 2 J 98 158 647 ms para y Y2 078 m vro2 253 3J 98 078 2J 98158 295 ms Para profundidades intermediárias entre y2 O 78 m e y 158 m as celeridades são calculadas da mesma forma conforme Tabela 141 Em segui da podese determinar a posição x de cada profundidade y no tempo t após o fechamento parcial da comporta através da Equação 1425 Cap 14 Uma onda de translação negativa é uma onda positiva invertida ou uma onda positiva movendose para trás Arbitrandose os tempos t podese levantar a forma da onda negativa de montante x fy pela equação citada Fixandose três diferentes tempos t 1 O 60 e 120 s após o fechamento da comporta a forma da onda é calculada na Tabela 141 através da planilha EXEMl43XLS ver diretório Variável e mostrada na Figura 147 Observe a mudança do aspecto da frente de onda alongamento da frente com o passar do tempo 16 14 12 I 08 06 04 02 o o v 647 ms t 120 s v 503 ms v 295 ms Y 122 m yy 158m X 604m l 00 200 300 400 500 600 700 ROO 900 1000 Distância x m Figura 147 Forma da frente da onda negativa Tabela 141 Determinação da forma da frente de onda negativa de montante Distânéiá da comporta xm para três tcmnos diferentes Profundidade ym Celeridade VOmsY t 10 s t 60 s t120 s 158 647 647 3879 7758 152 624 624 3743 7486 146 601 601 3605 7209 14 577 577 3463 6927 134 553 553 3319 6638 128 529 529 3171 6342 122 503 503 3020 6040 116 478 478 2865 5730 11 451 45 1 2706 5412 104 424 424 2543 5085 098 396 396 2374 4749 092 367 367 2201 4402 086 337 337 2022 4043 08 306 306 1836 3672 078 295 295 1773 3545 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 469 144 EQUAÇÕES HIDRODINÂMICAS O escoamento em um canal é dito não permanente ou variável se a profundidade da água assim como os outros parâmetros hidráulicos va riam com o tempo O escoamento não permanente é em geral também não uniforme ou variado As leis básicas da Mecânica as quais servem de base para os estu dos relativos aos transitórios hidráulicos em escoamentos livres são a equação da continuidade conservação da massa e a equação dinâmica quantidade de movimento Tais relações podem ser obtidas a partir de um conjunto de hipóteses algumas delas já utilizadas na Seção 82 como escoamento unidimensional distribuição de pressão hidrostática canal de baixa declividade canal prismático e de declividade constante fluido incompressível com vazão dada por Q Vxt Axt e perda de carga no regime variável computada por uma equação de resistência do regime permanente e uniforme 1441 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE Considere o volume de controle elementar de comprimento dx no qual o escoamento se processa da seção I para a seção 2 como mostrado na Figura 148 Sendo x uma abscissa medida ao longo do canal A a área da seção reta y altura ou tirante dágua B largura do canal na superfície li vre p massa específica da água e V velocidade média na seção 1 a equa ção da continuidade pode ser escrita de uma maneira geral na forma r a J J pVdA p dVol Se Ot Ve isto é a vazão em massa através da superfície de controle SC é igual à diminuição por unidade de tempo da massa pdVol no interior do volume de controle VC Na hipótese do fluido ser incompressível p cte a equa ção da conservação da massa fica reduzida à conservação do volume na forma r a J J VdA dVol Se Ot Ve 1429 1428 Figura 148 Volume de controle elementar Aplicando a Equação 1429 ao volume de controle da Figura 148 observando que o produto escalar na parte da superfície de controle corres pondente à seção 1 é negativo e que não há aporte lateral de vazão vem Cap 14 a a V A Vx A aVx Adx atVolJvc a a V Adx Volvc ax 1430 1431 A variação de volume é o resultado de uma modificação na superfí cie livre oyot entre as duas seções distanciadas de dx durante o intervalo de tempo dt e que corresponde a Bdx oy at na qual B é a largura na superfície livre e oy V representa a velocidade at y com que está se movimentando verticalmente a superfície livre de água Portanto a variação do volume fica sendo oy Bdx êA dx at at Substituindo este resultado na Equação I 431 a equação da conti nuidade tornase V A êA O A êVx V êA êA O 0X X Ot 0X X 0X Ot 1432 Como para canais de fraca declividade a componente V x pode ser considerada igual à velocidade média na seção V QA vem 1433 Na equação anterior A e V são variáveis dependentes e x e t variá veis independentes A Equação 1433 também pode ser escrita na forma 1434 e como a equação da continuidade assume também a forma Cap 14 Escoamento Variável em Canais 471 A a V V df B a y o a x ax at 1435 Se uma vazão lateral suplementar sai ou entra no canal entre as duas seções I e 2 a Equação 1434 é modificada como a Q aA q 0 ax at 1436 na qual 9r é a vazão suplementar por unidade de comprimento das margens com o sinal negativo se for influxo entrada e positivo se for efluxo saída 1442 EQUAÇÃO DINÂMICA A aplicação do Teorema da Quantidade de Movimento ao fluido que no instante t ocupa um volume de controle genérico é dada por Ll J VpV dÃJ VpdVol sc at vc 1437 isto é o somatório de todas as forças que atuam sobre o fluido contido no volume de controle VC é igual ao fluxo por unidade de tempo da quantida de de movimento através da superfície de controle SC mais a variação por unidade de tempo da quantidade de movimento da massa no interior do volu me de controle As forças aplicadas ao volume de controle da Figura 149 são a resul tante da força de pressão hidrostática nas seções 1 e 2 a componente da for ça gravitacional no sentido da escoamento e a força de atrito nas paredes e fundo do canal Estas três forças foram determinadas na Seção 82 e valem respectivamente a pressão dF y A êy dx no sentido contrário a x ax b gravidade Wx y A dx y AI0 dx no sentido de x ax e atrito F 10 P dx no sentido contrário de x sendo P o perí metro molhado da seção A força de atrito pode ser escrita em função de Ir declividade da linha de energia assumindo válida para o escoamento não permanente a Equação 85 e a equação generalizada de DarcyWeisbach na forma F P Figura 149 f pVAdx ena VC Fa lctw CD X Volume de controle pfV2 V2 A dx V2 F P dx pf dx yf A ydHA ª 8 8 Rh 4R11 2g Como a declividade da linha de energia é dada por dH Ir dx vem Fª y Ir Adx Portanto a força resultante sobre o volume de controle no sentido do movimento vale 1438 O lado direito da Equação 1437 pode ser determina do por partes calculandose as duas integrais tendo em vista o volume de controle da Figura 149 observandose o sinal do produto escalar da primeira integral As integrais são determinadas como i VpVdà pV2 A pV2 A pV2 A dx sc dX i d dA av VpVdA pV2 A dx pV2dx 2pVA dx SC dX dX dX i aA av V p V dA p V V 2 A dx e dx dx 1439 a J a av aA Vp d Vol pV Adx p A Vdx O t V C J t d t J t 1440 Somando as Equações 1439 e 1440 para ter a variação total do momentum vem aA av av aA pVV2A dx pA Vdx êJx ôx êJt êJt Mas pela equação da continuidade Equação 1433 temse Cap 14 Escoamento Variável em Canais 473 A av vªA dA dX dX dt Substituindo esta expressão na anterior e operando fica av av pAVdx a x at Finalmente comparando com a Equação 1438 temse ay av av y Al0 Irdx pAV dx dX dX dt Dividindo todos os termos por p A dx a expressão final fica 1441 1442 1443 As Equações 1435 e 1443 estabelecidas pela primeira vez por Saint Venant1 em 1870 constituem um sistema de duas equações em derivadas parciais em x e t que descrevem sob as hipóteses fixadas os escoamentos não permanentes em canais A integração exata das equações de SaintVenant é muito complicada e sua solução analítica só é possível em casos muito espe ciais Existem entretanto diferentes técnicas numéricas para sua resolução Os termos da Equação 1443 podem ser rearranjados de modo a se in dicar o significado de cada termo para um particular tipo de escoamento na forma Ir I ôy o dX v av I av g ax g ôt 1444 Permanente uniforme 1 Permanente não uniforme Não permanente não uniforme No caso do escoamento permanente não unifo1me em que ôVôt O a Equação 1444 se reduz ao resultado do Problema 131 mostre 1 Adémas JeanClaude Barrá conde de SaintVenant engenheiro francês 17971886 145 SIMPLIFICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DE SAINTVENANT As equações completas do escoamento não pennanente variado Equações 1435 e 1444 requerem para sua resolução elaboradas técnicas numéricas bem como uma grande quantidade de dados hidráulicos do canal p1incipalmente se forem aplicadas aos cursos dágua naturais ou ao escoamento superficial em uma bacia hidrográfica Para a dedução das equações algumas hipóteses simplificadoras foram adotadas fluido incompressível escoamento unidimensional no qual a velo cidade média é representativa da variação espacial na seção e o sentido predo minante do escoamento é longitudinal distribuição hidrostática de pressão na vertical desprezandose eventuais efeitos de componentes de aceleração verti cal variação gradual das seções transversais e ausência de singularidades como contrações pilares de ponte soleiras de fundo etc e finalmente assumindo que a declividade da linha de energia possa ser calculada por uma equação estabelecida para o regime permanente e uniforme como a fórmula de Manning ou Chézy Observandose cada um dos termos da Equação 1444 estes podem ser considerados como a representação de um gradiente ou declividade O primei ro termo é a declividade energética que leva em conta o atrito O segundo e terceiro termos representam a declividade da linha dágua Ia e são termos de gravidade e pressão O quarto e quinto termos representam a declividade de vido à variação da velocidade no espaço e no tempo e são termos de inércia A situação hidráulica do curso dágua como declividade largura da seção existência de várzeas etc impõe uma importância relativa a cada um dos termos da equação dinâmica geral Equação 1444 Segundo Henderson 28 para rios com declividade de fundo I0 0002 mim os dois termos de inércia na equação são em geral muito pequenos podendo ser desprezados com o objetivo de diminuir a dificuldade matemática da resolução do proble ma Também confmme Cunge et al 14 baseados na observação de uma onda de cheia no rio Reno mostram que a ordem de grandeza dos termos de inér cia é 105 enquanto que a dos termos de atrito e gravidade é 103 Assim des prezandose os termos devido às acelerações local e convectiva termos de inércia a Equação 1444 é simplificada como cJy dX 1445 Esta equação associada à equação da continuidade Equação 1434 for ma a base do modelo hidráulico de propagação de ondas de cheias denominado modelo de difusão ou não inercial Tais modelos são aplicados nos casos em Cap 14 Escoamento Variável em Canais 475 que não há grande variação espacial e temporal da velocidade no processo de propagação Se além dos termos de inércia for também desprezado o termo de pres são âylâx O a equação do momentum assume a sua forma mais simplificada possível como lo Ir 1446 com a declividade da linha de energia Ir sendo calculada pela fórmula de Manning Esta equação associada à equação da continuidade Equação 1434 for ma a base do modelo hidráulico de propagação de ondas de cheias denominado modelo onda cinemática A utilização da Equação 1434 juntamente com a Equação 1444 em sua forma completa sem desprezar nenhum termo constitui o modelo de propa gação de cheia denominado modelo hidrodinâmico Tal metodologia propicia uma maior precisão na descrição do escoamento à custa de uma maior difi culdade numérica de resolução das equações diferenciais e mais necessidade de dados que os modelos de difusão e onda cinemática 1451 ONDA CINEMÁTICA Partindose de uma equação de resistência válida para o escoamento permanente e uniforme dada pela expressão de Chézy a equação dinâmica Equação 1444 pode ser escrita como v cRf e R r ay v av av h o ÔX g ÔX g Ôt 1447 Para o escoamento permanente e uniforme a equação simplificase na forma VC 1448 Portanto a relação entre a velocidade média V ou a vazão Q e a pro fundidade y ou o raio hidráulico Rh é dada por ver Figura 1410 a relação biunívoca pela Equação 1448 b relação não biunívoca em forma de laço pela Equação 1447 A lar gura do laço indica a importância relativa dos termos de inércia e de pressão na Equação 1447 y Escoamento unifonne onda cinemática Escoamento variável tonda dinâmica Qniáx Q A relação Q fy é chamada de relação cotadescarga ou curva chave e possui as seguintes características a no escoamento não permanente a mesma vazão Q ocorre para duas profundidades y diferentes conforme o nível dágua esteja subin do ou descendo onda de cheia em ascensão ou depleção Este fato ocorre pela influência do termo de aceleração local 1giNéh b o nível máximo de água atingido não corresponde à máxima va zão que ocorre antes deste nível ser atingido Figura 1410 Representação de uma curva ele descarga em laço c a linha tracejada intermediária corresponde ao escoamento unifor me modelo onda cinemática O conceito de onda cinemática foi introduzido por Lighthill e Whitham 36 como sendo uma onda na qual a vazão Q é somente função da profundidade y o que implica que os outros termos de declividade na Equação 1444 sejam desprezíveis e como conseqüência I0 lf Conside rando a existência de uma onda com estas características e utilizando a equa ção da continuidade Equação 1434 vem 1449 sendo B a largura na superfície a equação anterior pode ser reescrita como 1450 Da teoria da diferenciação parcial podese escrever dy ôy dx ôy dt ôx dt ôt 1451 Imaginando um observador que se desloca no sentido da onda com uma velocidade igual à celeridade da onda do seu ponto de vista tanto a vazão Q quanto a profundidade y permanecem constantes Assim a Equação 1451 tor nase 1452 Da comparação entre as Equações 1450 e 1452 concluise que Cap 14 Escoamento Variável em Canais 477 dx e dQ dQ dt K B dy dA 1453 O termo CK é denominado celeridade da onda cinemática que de acor do com a Equação 1453 só admite valores positivos diferentemente da ce leridade das ondas de gravidade V w V c que pode assumir valores positivos no sentido da corrente e negativos sentido contrário à corrente Como ambos A e Q são funções de x e t podese escrever a seguinte equação usando a regra da cadeia da derivação dA dA aQ aQ dA dt aQ at at dQ 1454 Substituindo a Equação 1454 na Equação 1449 e desenvolvendo fica A onda cinemática possui as seguintes propriedades a A onda cinemática propagase somen te para jusante direção positiva de x b O aspecto da onda cinemática não mu da ao longo do percurso não havendo atenuação na altura da onda ver Figu ra 1411 1455 I v n t I e e A velocidade da propagação é dada por Figura 1411 Propagação da onda cinemática C dQ dQ K dA B dy A Equação 1453 também pode ser colocada na forma e dV A V A av K dA dA 1456 Demonstrase que o termo dVldA é sempre positivo portanto a veloci dade da onda cinemática é superior à velocidade média do regime uniforme y V B Hidcálica Básra Cap 14 A aplicabilidade do modelo onda cinemática como uma aproximação válida para a equação dinâmica completa é dada por Woolhiser e Liggett 59 na forma gLIO 20 Kf y2 1457 na qual Vms é a velocidade média no regime uniforme Iomm a de clividade de fundo do canal e Lm o comprimento do trecho do canal em estudo EXEMPLO 144 Qual a relação entre a velocidade da onda cinemática CK e a velocida de média V em um canal retangular suficientemente largo Rh y de de clividade de fundo I0 e coeficiente de rugosidade de Manning n Para um canal retangular largo a fórmula de Manning é escrita como av av Pela Equaçao 1455 vem CK V A ôA V y ôy 21 21 2 5 Logo CK V y Jf y13 V Jf y23 V V V 3n 3n 3 3 EXEMPLO 145 Para um canal retangular nas mesmas condições do exemplo anterior se uma onda de gravidade se propaga para jusante com velocidade V ro igual à velocidade de uma onda cinemática CK mostre que o número de Fraude no escoamento não perturbado vale 15 A condição do enunciado impõe que Vro V c CK V 3 Logo c fgy V e da definição de número de Fraude vem 3 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 479 V 3 Fr ffl 2 Para uma seção retangular de largura b a expressão da celeridade da onda cinemática dada pela Equação 1453 pode ser determinada a partir da fórmula de Manning da seguinte forma Q 1 º b y fr 23 n b2y 1458 Efetuando a derivada da vazão em relação a y e simplificando obtémse uma expressão geral da celeridade da onda cinemática em canais retangulares e 2 dQ JCb23 y2f5b 6y K b dy n 3b2y 513 1459 EXEMPLO 146 Em um canal retangular em concreto n 0015 de largura b 40 m e declividade de fundo 0 00015 mim escoa em regime uniforme uma va zão de Qo 1023 m3s com altura dágua Yo 120 m Durante a passagem de uma onda de cheia a vazão aumenta linearmente até um valor Qp 50 m3s no tempo tp 20 min e decresce também linearmente até o valor inicial da va zão nos 60 min seguintes Usando o modelo onda cinemática determine o hidrograma de cheia em uma seção a L 2000 m de distância da seção inicial Como o hidrograma de cheia é triangular as relações tempovazão são dadas por funções lineares na forma para t 20min Q Q 0 QpQo t 1023 1988t tp para20t80min Q Q QP Qºtt P 60 P 50 06628 t20 para t 80 min Q Q 0 1023 m3s 50 5 30 o Ver diretório Variável no endereço eletrônico wwweescscuspbrshs na área Ensino de Graduação Utilizando a planilha CINEMÁTICAXLS montase o hidrograma na seção x O pelas expressões lineares anteriores e para cada vazão deter minase o parâmetro K2 nQb813 l 0 112 ver Seção 841 A planilha calcula o valor da relação yb dada pela Equação 849 e então o valor de y As várias vazões do hidrograma inicial de forma individual são propagadas para jusante cada uma com sua própria celeridade calculada pela Equação 1459 função de y Para cada valor da celeridade CK calculase o tempo de percurso da onda tt LCK o tempo de chegada da onda vazão individual é a soma do tempo de partida coluna 1 com o tempo de percurso coluna 7 conforme a planilha a seguir g lmlm bm 00015 4 t s Q m 3s nartidal o 1023 300 20 17 600 3011 900 4005 1200 50 1500 4669 1800 4337 2100 4006 2400 36 74 2700 3343 3000 3012 3300 26 8 3600 2349 3900 2017 4200 16 86 4500 13 55 4800 10 23 5100 1023 Planilha de cálculo do Exemplo 146 PElt5PAGACÃOPECHEIÀItóNOACiNEMATICA z n Lm o 0015 2000 nQlb6131l0 1112 yb ym CK mls Llts Ts nercurso chenadal 0098 0300 1 200 3019 66238 662 O 194 0491 1 965 3430 58313 883 0289 0667 2 667 3 629 55114 1151 O 385 0835 3 340 3 746 533 89 1434 0480 0999 3 997 3823 52320 1723 O 449 0945 3 780 3 800 526 26 2026 0417 0890 3561 3 775 529 79 2330 0 385 0835 3341 3 746 53387 2634 0353 0780 3118 3 713 53866 2939 0321 0724 2 894 3 574 54432 3244 0289 0667 2668 3 629 55112 3551 0257 0609 2 437 3 575 559 45 3859 0226 0551 2204 3 510 56981 4170 O 194 0491 1 965 3430 583 13 4483 O 162 0430 1720 3 329 60076 4801 O 130 O 367 1467 3198 625 35 5125 0098 0300 1200 3 019 662 38 5462 0098 0300 1 200 3 019 662 38 5762 Na mesma planilha colocase em gráfico o hidro grama original e o propagado conforme Figura 1412 Observe que não há atenuação do pico de vazão do hi drograma propagado há somente um deslocamento no tempo Ofl O modelo onda cinemática a despeito de suas limi tações pela simplicidade muitas vezes é incorporado a modelos de transformação chuvavazão em projetos de drenagem urbana na simulação do escoamento em canais coletores pluviais ou mesmo sobre os teITenos da bacia Neste caso em geral a relação biunívoca entre a vazão e a altura dágua ou área molhada é dada por o 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Tempo s Figura 1412 Hidrogramas do Exemplo 146 1460 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 481 em que ex e m são parâmetros da onda cinemática para a geometria parti cular do canal Como restrição de aplicação o modelo onda cinemática não é reco mendável em situações de escoamento com influência de jusante como remansos provocados por estrangulamentos lagos barragens etc uma vez que o termo relativo à pressão ôylôx foi desprezado 146 PROPAGAÇÃO DE CHEIAS EM RIOS A propagação de uma onda de cheia em um curso dágua natural é um processo muito mais complexo que em um canal prismático e retilíneo Mesmo que no trecho do rio em estudo não haja afluentes a variação espacial da geometria da calha da declividade e do próprio coe ficiente de rugosidade torna a descrição do fenômeno bem mais difícil A aplicação das equações gerais de SaintVenant exige um esforço matemá tico e de levantamento de dados que muitas vezes torna seu uso impraticá vel Do ponto de vista prático muitas vezes lançase mão de métodos aproximados genericamente denominados modelos hidrológicos ou de armazenamento que não levam em conta a equação da quantidade de movimento Equação 1444 desprezando portanto os efeitos dos termos de pressão inércia atrito e gravidade Neste tipo de modelo somente é con siderado no processo de propagação e atenuação da onda o efeito do arma zenamento temporário na calha principal e nas áreas de inundação Os modelos que usam as equações completas de SaintVenant são denominados modelos hidráulicos Os métodos hidrológicos são baseados nos conceitos de prisma de armazenamento e cunha de armazenamento que ocorrem no trecho do canal du rante a passagem de uma onda de cheia O aspecto físico do problema é revelado pela comparação do es coamento permanente e uniforme e Prisma de armazenamento 1 O Escoamento permanente e uniforme A Quais as propriedades da onda cinemática unha de armazenamento 2 Prismn de annazenamcnto D o IO Escoamento variável E 1 o escoamento decorrente da passa gem da onda pelo mesmo canal Considerando a Figura 1413a e denotando por I a vazão afluente ao trecho e por O a vazão efluente na condição de regime permanente e uniforme I O a declividade da linha dágua é paralela ao fundo e a Figura 1413 Passagem da onda de cheia no canal B Hidcàolica Básca Cap 14 trecho é relativamente fácil de ser obtido por uma equação S fO Por ou tro lado na propagação da cheia pelo trecho o escoamento é não uniforme como mostra a Figura 1413b e a linha dágua tem declividade diferente da declividade do fundo além de se alterar se a cheia estiver na fase ascensional ou em depleção Na situação de escoamento não permanente temse I t O e A tA2 1461 MÉTODO MUSKINGUM A descrição do processo da propagação da onda de cheia pelo canal no método hidrológico é baseada exclusivamente na equação da continuidade e relações aproximadas entre o armazenamento na calha e as vazões de entra da I e de saída O A equação da continuidade em forma de diferenças finitas aplicada ao volume de controle da Figura 1413b é escrita como I O L1S 1 t 1461 Como tanto I quanto O variam com o tempo então para um dado in tervalo de tempo L1t podem ser aproximados pela média aritmética dos valores no início e no final do intervalo Por outro lado a variação no annazenamento S positiva ou negativa pode ser expressa como a diferença dos armaze namentos no final e no início do intervalo Assim a Equação 1461 pode ser discretizada como oi 01 Ss 2 t 1462 O método Muskingum foi desenvolvido por McCarthy em 1938 a par tir de trabalhos e controle de cheias desenvolvidos na bacia do rio Muskingum nos Estados Unidos e utiliza a equação da continuidade Equação 1461 e relações entre o armazenamento S e as vazões de entrada I e de saída O no tre cho O armazenamento dentro do trecho do rio em um dado tempo é expresso por bx 1mnl x0 111n s a mn 1463 na qual as vazões de entrada e saída são relacionadas com ay1 pela fó1mula de Manning com a e n constantes O armazenamento no trecho é relaciona do com bym com b e inconstantes e y a altura dágua O parâmetro x é um Cap 14 Escoamento Variável em Canais 483 fator de ponderação que espeilha a influência relativa de I e O na determinação do armazenamento no trecho O método Muskingum assume mn 1 e ba K resultando em uma relação linear simples entre armazenamento e vazões na forma S K I I 1 x O 1464 em que K tem unidade de tempo e é denominada constante de tempo de trânsito para o trecho representando o tempo médio de deslocamento da onda entre o início e o fim do trecho O fator de ponderação x varia entre 0 e 05 com valor típico para muitas correntes naturais igual a x 02 O procedimento numérico para o cálculo da propagação é feito usando a equação da continuidade na forma de diferenças finitas para cada intervalo de tempo Δt adotado Substituindo a Equação 1464 na Equação 1462 e desenvolvendo fica Ii Ii1 2KΔt x Ii1 1 x Oi1 Oi 2KΔt x Ii1 1 x Oi1 Oi1 1465 Resolvendo a Equação 1465 para Oi1 obtémse Oi1 C0 Ii1 C1 Ii C2 Oi 1466 com C0 05 Δt K x K 1 x 05 Δt C1 05 Δt K x K 1 x 05 Δt 1467 C2 K1 x 05 Δt K1 x 05 Δt C0 C1 C2 1 Na Equação 1466 pode ser visto que se K x Ii Ii1 e Oi são conhecidos esta pode ser facilmente resolvida para Oi1 Este valor é usado como Oi no início do próximo intervalo de tempo Δt e assim sucessivamente Cap 14 Ver diretório Variável no endereço ele trônico wwweescscuspbrshs na ãrea Ensino de Graduação Qual a premissa básica do método Muskingum No processo de propagação da cheia para que não haja possibilida de da vazão estimada O ser negativa a relação entre os parâmetros K x e o intervalo de tempo 6t deve satisfazer LH 1 x 2K 1468 No uso do método os parâmetros K e 0t devem ter a mesma unida de horas ou dias O processo numérico do cálculo da propagação ela cheia em um trecho cio canal conhecidos as vazões de entrada I e os parâmetros K e x e fixado o intervalo de tempo 0t tornase bem simples com o uso de uma planilha eletrô nica como o programa MUSKINGUM 1 XLS conforme Exemplo 147 O método Muskingum assim como o método ela onda cinemática não leva em conta efeitos de jusante como remanso provocado por bam1gens obs truções etc Também não há garantia de que uma cheia de maior envergadura que a cheia medida irá se comportar ele maneira igual isto é terá os mesmos valores de K e x EXEMPLO 147 As vazões medidas a cada seis horas na seção ele um rio são dadas na tabela abaixo Sendo os parâmetros do método Muskingum para um trecho a jusante da seção dados por K 12 h e x O 1 propague a cheia usando um intervalo ele tempo tt 6 h e assumindo para t O vazões iguais no início e fim do trecho 6 12 18 24 30 36 42 48 54 I nls 28 57 212 280 221 169 133 102 76 56 Fixando nas células A4 B4 C4 e G4 ela planilha os valores de K x 0t e 0 2 11 28 m3s os coeficientes C0 C 1 e C2 são calculados diretamente pela Equação 1467 e a planilha calcula pela Equação 1466 o hidrograma ele cheia no final do trecho Observe que na propagação a onda foi atenuada com o pico passando de 280 m 3s para 19741 m 3 s e atrasado em 12 h Outras simulações podem ser feitas rapidamente alterandose na planilha os valores de K ex Cap 14 Escoamento Variável em Canais 485 Planilha de cálculo do Exemplo 147 PB OR 0tCflf êPJp CliEIAS 4oívlE10Q0J MlJSINjfUMl K hdia X l1 t hdia Co e C2 0 2 inicial m3s 12 01 6 0130 0304 0565 28 Tempo h 1 m3s Col2 C1l1 C201 0 2 m3s o 28 2800 6 57 743 852 1583 3178 12 212 2765 1735 1796 6296 18 280 3652 6452 3559 13663 24 221 2883 8522 7723 19127 30 169 2204 6726 10811 19741 36 133 1735 5143 11158 18036 42 102 1330 4048 10194 15573 48 76 991 31 04 8802 12898 54 56 730 23 13 7290 10333 14611 DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES K Ex No método Muskingum o parâmetro K é usualmente estimado pelo tempo de trânsito de uma onda de cheia através de um trecho do rio enquan to o valor do parâmetro x é escolhido em geral entre 01 e 03 Entretanto se ambos os hidrogramas na entrada e saída do trecho do rio forem conhecidos através do levantamento das vazões durante um episódio de cheia melhor esti mativa de K e x pode ser feita por um método gráfico simples O volume acumulado S é grafado contra a vazão ponderada xl 1 xO para vários valores de x e o gráfico que mais se aproximar de uma fun ção linear é o que provê o melhor valor de x O método Muskingum assume que esta relação é uma linha reta com coeficiente angular igual a K dado pela resolução da Equação 1469 na forma K 0SLltI I ilO Ü 11 xli I 1 xOi O 1469 Normalmente um rio deve ser dividido em vários trechos para a apli cação do método Muskingum cada um deles podendo ter valores diferentes de K ex A planilha MUSKINGUM2XLS pode ser usada para a determinação rápida dos parâmetros do método K ex de um trecho de um rio conhecen dose os hidrogramas da cheia em duas seções distintas conforme o Exemplo 148 B HidraLilica Oáslca Cap 14 6000 5000 4000 0 a 3000 s 1 2000 1000 50 100 150 200 250 300 XI 1 XO m3s EXEMPLO 148 O levantamento de vazões em duas seções de um rio no intervalo de 6 horas é mostrado na tabela abaixo Determine o valor do parâmetro de trânsito K e o parâmetro de ponderação x mais indicados para a cheia registrada i Tênipó hf o 6 12 18 24 30 36 42 iif Inis 30 120 286 412 373 306 246 198 U in 3sY 30 39 45 93 181 237 264 261 Tempo h 48 54 60 66 72 78 84 90 H nis 165 141 123 108 93 81 72 63 I üm3s i 246 225 202 184 174 153 135 117 Na planilha MUSKINGUM2XLS foi fixado na célula A4 o valor de x assumido em cada tentativa e na célula B4 o valor do intervalo de tempo das medições na unidade dia ou hora conforme o caso O armazenamento coluna 5 é calculado com os valores médios das vazões de entrada e saída do trecho no intervalo t Para cada valor de x adotado colocandose em gráfico as co lunas 4 e 6 rapidamente verificase a linearidade dos valores dando um clique com o botão direito do mouse colocado sobre os pontos Abrindo o item in serir linha ele tendência escolhese o modelo linear e se tem a equação ela reta de regressão e o coeficiente de determinação O coeficiente angular da reta é o valor ela constante de trânsito K conforme Equação 1469 Para os três va lores escolhidos ele x x O 1 x 02 ex 03 a Figura 14 14 indica a melhor linearidade para x 02 coeficiente de determinação R2 09964 portanto pel2 equação da reta K 2464 h 6000 6000 5000 4000 i 0 3000 s y 2464x 10062 y 24512x 10205 09964 g 5000 4000 f 3000 s 1 2000 2000 1000 1000 X 02 X 03 o o o 50 100 150 200 250 300 o 50 100 150 200 250 300 XI 1XO m 3s XI 1 XO m 3s Figura 1414 Gráficos para a determinação de K ex Cap 14 Escoamento Variável em Canais 4g7 A tabela a seguir mostra os cálculos para x 02 Planilha de cálculo do Exemplo 148 MÉ10DO MUSKINGUM DETERMINA CÃO DOS PARÂMETROS K E x X LT h ou dia 02 6 Tempo h I ms O ms X 1XO S 10 LT dia ms msh dia o 30 30 300 oo 6 120 39 552 2430 12 286 45 932 9660 18 412 93 1568 16800 24 373 181 2194 15330 30 306 237 2508 7830 36 246 264 2604 1530 42 198 261 2484 2430 48 165 246 2298 4320 54 141 225 2082 4950 60 123 202 1862 4890 66 108 184 1688 4650 72 93 174 1578 4710 78 81 153 1386 4590 84 72 135 1224 4050 90 63 117 1062 3510 147 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE SAINTVENANT rs msh dia 00 2430 12090 28890 44220 52050 53580 51150 46830 41880 36990 32340 27630 23040 18990 15480 As Equações 1435 e 1443 formam um conjunto de equações diferen ciais parciais do tipo hiperbólico que devido à presença de termos não linea res só admite soluções analíticas em problemas muito simplificados Normalmente se lança mão de métodos numéricos de diferentes tipos para a so lução das equações As técnicas numéricas de discretização do domínio mais comumente utilizadas são o método das características métodos de diferen ças finita e método dos elementos finitos Nesta seção serão discutidos o mé todo das características e métodos de diferenças finitas mais comumente utilizados na simulação do escoamento variável com superfície livre 1471 MÉTODO DAS CARACTERÍSTICAS Um dos métodos mais eficientes para o cálculo ou modelagem de um escoamento transitório em canais é o método das características que relacio na as derivadas com as celeridades de propagação das ondas O método está embasado no conceito da propagação das ondas dinâmicas expressa pela No método Muskingum qual a dimen são do parãmetro K Cap 14 celeridade relativa c As equações diferenciais a derivadas parciais são trans formadas em um sistema de equações diferenciais ordinárias por meio da as sociação entre as variáveis independentes x e te a celeridade relativa de propagação das ondas A equação da continuidade Equação 1435 observando que a derivada parcial da área A em relação à variável x pode ser escrita na forma êA dAêy B êy ax d yêx êx 1470 na qual B é a largura do canal na superfície livre tornase 1471 Uma combinação linear das Equações 1443 e 1471 pode ser obtida multiplicandose a Equação 147 1 por um multiplicador desconhecido À O e somandose à Equação 1443 o que resulta em ay ay A av av av ay À ÀVÀV cr T 11 at ax B ax ax a i ºêx o que desenvolvida fica av A av ªY g ôy VÀ À V gT Ir ôt B ôx at À ôx º 1472 Os dois termos entre colchetes ela equação anterior correspondem às derivadas totais ele dV dt e dyclt as quais são cV êy clx ôV d t êxdt ôt d y ôydx ôy dt ôxclt ôt Comparando as Equações 1472 1473 e 1474 vem 1473 1474 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 489 VÀ A VK À g B dt B À A 1475 A celeridade relativa de uma onda de água rasa em um canal de forma qualquer é dada pela Equação 1029 como C J gHm g 1476 Multiplicandose as Equações 1475 e 1476 obtémse a relação entre o multiplicador desconhecido À e a celeridade da onda c À c Substituindo a Equação 1477 na Equação 1475 fica dx V Vc d t ro Finalmente a Equação 1472 fica sendo dV g dy I I g suJe1ta a dt c dt º r V c dt dV g dy gI Ir sujeita a dt c dt º dx V c dt 1477 1478 1479 1480 Portanto as duas equações diferenciais parciais foram transformadas em um par de equações diferencias ordinárias nas variáveis dependentes V e y A Equação 1479 é chamada de característica positiva e a Equação 1480 carac terística negativa Em um plano x t a Equação 1479 é válida ao longo da curva característica positiva C enquanto a Equação 1480 é válida ao longo da curva característica negativa e ver Figura 14 15 p e A e B 1 3 X Figura 1415 Curvas características B Hdálica Bása Cap 14 Deve ser observado que enquanto as Equações de partida 1443 e 1471 são válidas para quaisquer valores de x e t as Equações transformadas 1479 e 1480 são válidas somente ao longo das curvas características Multiplicando as Equações 1479 e 1480 por dt e integrando ao longo das características AP e BP obtémse p p p J dV J dy g J 10 Ir dt A A A 1481 p p p J dV J dy g J 10 Ir dt A A A 1482 No cálculo das integrais os valores de c e Ir ao longo das característi cas devem ser conhecidos isto é V e y ao longo das características devem ser conhecidos pois c e Ir são funções de V e y Entretanto V e y são as incógni tas do problema a serem detenninadas portanto algum tipo de aproximação deve ser utilizado para calcular as integrais Assim assumese que os valores de c e Ir computados usando V e y no tempo anterior pontos A e B são váli dos ao longo de toda a linha característicaAP e BP respectivamente Com esta aproximação as Equações 1481 e 1482 podem ser transformadas em 1483 1484 nas quais os subscritos se referem aos pontos da grade de domínio no plano x t em que as variáveis são calculadas A resolução simultânea das Equações 1483 e 1484 conhecendose os valores da V e y nos pontos A e B fornece os valores destas variáveis no ponto P As equações podem ser rearranjadas para o cálculo das incógnitas Vr e YP na forma Equação característica positiva V p Cp CA Yr Equação característica negativa Vr Cn CA yr 1485 1486 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 491 nas quais as quantidades conhecidas são combinadas em duas constantes Cp e Ci dadas por CP V A e A y A g lo Ir A tp t A cn vil C13 Yu g ºº IB tp t13 e g c 1487 Note que Cp e Cn são constantes durante o intervalo de tempo tp tA e tr t13 respectivamente embora possam variar de um intervalo a outro A aplicação de qualquer método numérico para a modelação de escoa mento variável em um canal exige o conhecimento das condições iniciais que descrevem a altura do escoamento velocidade ou vazão em todos os pontos do canal no tempo t O Também são necessárias as chamadas condições de fronteira ou condições de contorno que se referem à altura velocidade ou vazão nas extremidades de montante e jusante do trecho de canal para todo tempo t O Discretizando o trecho do canal em N tramas de comprimento Llx as equações características desenvolvidas podem ser aplicadas em cada tempo t em todo o domínio do problema desde a seção x1 Llx até XNI NlLlx Há necessidade de mais uma equação característica positiva entre as se ções XN1 e XN condição de contorno de jusante e outra equação característi ca negativa entre as seções x 1 e x0 condição de contorno de montante 1472 MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS O processo numérico de resolução de equações diferenciais ordinárias ou parciais consiste em substituir os termos que contenham derivadas por apro ximações de diferenças finitas e resolver as equações algébricas resultantes Considere uma função fx contínua definida em um certo intervalo e x0 um ponto conhecido e pertencente à função A expansão através de série de Taylor da função fx no entorno do ponto x0 é dada por Llx2 f x 0 Llx fx 0 Llx f x 0 21f x 0 Llx 3 fx OLlx4 3 o 1488 Cap 14 No método das características em que condições a curva caracteristica positiva é uma linha reta fx y fx X0 ÔX X0 X0 ÔX X Figura 1416 Aproximação por dife renças finitas tx f 111x Otx1 3 o 1489 em que Otlx4 representa os termos restantes da série que contêm potências de tx maiores ou iguais à quarta ordem Rcarntjando cada equação e dividindo ambos os membros por tx sendo Otx os termos restantes da série que contêm potências de tx maiores ou iguais a um fica fxo f xº tx fxº Otx tx 1 490 149 1 Se forem desprezados os termos relativos ao erro Otx obtémse as se guintes expressões para as aproximações por diferenças finitas 1492 fxu f xJ fº tx 1493 A Equação 1492 é chamada ele dere11rafi11i1a progressiva enquanto a Equação 1493 é chamada ele dfere11çaf1i11ta 1ef1cssiva A111bos os esquemas são ditos de primeira ordem isto é os erros increntes e111 ambas as equações são de primeira ordem Do ponto de vista da representação geométrica do con ceito de derivada conforme a Figura 1416 a tangente à curva no ponto ele abscissa Xo é o valor de fx0 enquanto as Equações 1492 e 1493 indicam res pectivamente a declividade das retas que passam por PB na diferença finita pro gressiva e AP na diferença finita regressiva Outra possibilidade de aproximação do valor ela derivada no ponto por diferenças finitas é através da declividade da linha que passa por AB que pode ser determinada eliminandose fx 0 nas Equações 1492 e 1493 o que leva a fx fx 0 tx fx 0 tx º 2tx 1494 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 493 A Equação 1494 é chamada de diferença finita centrada e é um esque ma de aproximação de segunda ordem isto é com precisão melhor que os an teriores o que pode ser verificado geometricamente na Figura 1416 Na aplicação da técnica de diferenças finitas a um problema físico qual quer o domínio do problema região dos valores assumidos pela variável in dependente geométrica é discretizado por uma grade de pontos ou grade computacional Por exemplo na modelação unidimensional do transitório em um canal por meio de métodos de diferenças finitas o comprimento do canal é dividido em tramos normalmente de comprimento uniforme L1x e as extre midades de cada tramo representa um nó da grade ou nó computacional Se o trecho do canal é dividido em N l tramos o primeiro nó extremidade de montante tem índice 1 e o último nó extremidade de jusante tem índice N O primeiro e o último nó são chamados de nós de fronteira e os restantes de nós interiores O processo computacional é feito em intervalos discretos de tempo e a diferença entre dois valores de tempo consecutivos é chamada de in tervalo de tempo computacional Para um problema hidrodinâmico unidimensional em um canal a formulação do problema é expressa pela 1 I i 1 ÓI 1 óx i l i2 L 1 iP j k 1 JR j óx4óxk i1 i i 1 equação da continuidade e pela equação da quantidade de movimento aproximadas por técnicas de discretização do domínio A Figura 1417 mostra uma grade de pontos cujo objetivo consiste em determinar os valores de yxitk e Vxitk nos pontos do domínio unidimensional O x L caracterizados por Xi 12 N e nos tempos tk 12 M Neste caso o domínio foi discretizado em intervalos de comprimento L1x e o tempo t em intervalos L1t de modo que x i 1 L1x e lk k lL1t Figura 1417 Grade computacional Conhecendo em um tempo t qualquer a velocidade V e a altura dágua y em todos os pontos da grade horizontal podese determinar seus valores no tempo t L1t Quando t O corresponde às condições iniciais do proble ma que devem ser conhecidas Com a finalidade de simplificar a notação das equações discretizadas o seguinte critério é adotado na representação das variáveis dependentes O subscrito denota os pontos da grade na direção de x e o sobrescrito denota os pontos da grade na direção de t assim Vk referese à velocidade média do es coamento na iésima seção do canal no késimo nível de tempo O sobrescri to k corresponde ao nível de tempo no qual as condições do escoamento são conhecidas e o sobrescrito k 1 ao nível de tempo no qual as condições do escoamento são desconhecidas p k 1 M k iNliNx B HidffiUca Básica Cap 14 Dependendo do tipo de diferença finita regressiva centrada ou progres siva a ser usado na solução de determinado problema dois diferentes esque mas podem ser elaborados Se a aproximação por diferença finita da derivada espacial derivada parcial em relação a x for expressa em termos de valores das variáveis no nível de tempo conhecido as equações resultantes podem ser resolvidas diretamente para cada nó computacional em cada tempo Este es quema é chamado de esquema explícito Se por outro lado a aproximação por diferença finita da derivada espacial for expressa em termos de valores das va riáveis no nível de tempo desconhecido as equações algébricas do sistema in teiro são resolvidas simultaneamente e o esquema é dito esquema implícito No esquema implícito obtémse um sistema de equações algébricas li neares ou não lineares envolvendo as variáveis Vxitk e yxitk que é resol vido por métodos conhecidos de eliminação de Gauss de GaussSeidel NewtonRaphson etc 1473 ESQUEMA EXPLÍCITO Na solução de problemas transitórios em escoamentos livres há vários métodos que seguem esquemas explícitos de aproximação entre eles o esque ma difusivo No esquema difusivo as seguintes aproximações são adotadas c1 v vi vi e X 2L1x 1495 eV ykl aVk 1aVk Vk 2 1 1 11 1 I clt Lit 1496 em que O s a 1 é um parâmetro de ponderação chamado fator de relaxação Substituindo estas aproximações na equação da continuidade Equação 1471 e na equação da quantidade de movimento Equação 1443 temse 1 k k Ykayk aYi1Yi1 LitVkk k 1 t 2 2 L1X i Y iI Y i1 A k k k B i ViI VH 1497 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 1498 As Equações 1497 e 1498 são aplicadas para produzir os valores das variáveis dependentes somente nos nós interiores isto é i 23 N 1 Os nós de fronteira i 1 e i N são dependentes das condições de contorno nas extremidades do canal Um método numérico é considerado eficiente para a resolução de um determinado sistema de equações diferenciais se ele for estável e se observar acuracidade ao longo da solução Um esquema numérico é dito estável se um erro introduzido na solução não se desenvolve no processo computacional ao longo do tempo a ponto de perder as condições físicas impostas e comprome ter a solução O esquema é dito instável se o erro é rapidamente amplificado com o tempo mascarando a solução em poucos intervalos de tempo A acuracidade é a capacidade de o método reproduzir os termos das equações diferenciais sem introdução de te1mos extras espúrios os quais podem ser suficientemente sig nificativos a ponto de afetar a solução Estas características são obtidas discretizandose a malha computa cional em termos de 0x e 0t de modo bem refinado No esquema difusivo do sistema numérico explícito a condição necessária para haver estabilidade é dada pela relação chamada de condição de estabilidade de Courant na forma A ÓX ti t I máxJVc 1499 em que máxI V c é o maior valor absoluto previsto para a velocidade ab soluta da onda dada por V jgH01 1474 ESQUEMA IMPLÍCITO No esquema implícito as derivadas parciais em relação ao espaço são substituídas por aproximações de quocientes de diferenças finitas em termos das variáveis no nível de tempo desconhecido Dependendo das aproximações por diferenças finitas e coeficientes usados várias formulações de esquemas implícitos são usadas na técnica de modelagem do escoamento variável em canais Um destes esquemas mais utilizados para a análise do escoamento não permanente com superfície livre é o esquema de Preissmann ver Ligget e Cunge 35 495 B Hidffilioa Básica Cap 14 t k k k 1 1 p J 1 f 0 t Ejl 1 7 e l 1 1 i 1 i i I Figura 1418 Esquema de diferenças finitas Um esquema de diferenças finitas do tipo explícito só será estável se os passos de tempo e espaço Lit e Lix forem tais que ao longo do processo nu mérico satisfaçam à condição de Courant Isto leva muitas vezes à necessidade de adoção de passos de tempo muito pequenos como será discutido no próximo exemplo numérico Para fugir desta condição de estabilidade podese utilizar um esquema de diferen ças finitas implícito Seja uma função fxt contínua e derivável como a velocidade média V ou a altura dágua y Esta função e suas derivadas são aproximadas incor rendose em um erro de tnmcamento segundo o esquema mostrado na Figu ra 1418 por diferenças finitas na forma fxt a 0qfI qftI 1 0qf1 1qft élx a10 fkI fkI 1 0fk fk Lix iJ 11 éf a l lfkl fk l 1fkl fk élt Lit I 11 11 I 1 1 14100 em que 0 e l são fatores de ponderação no tempo e no espaço respectivamen te assumindo valores entre O e 1 X Para l 05 as Equações 14100 constituem o esquema clássico de Preissmann o que resulta em a se 0 O o esquema é completamente explícito b se 0 1 o esquema é completamente implícito e se 0 05 o esquema é implícito centrado a quatro pontos Para assegurar que o esquema seja numericamente preciso e estável recomendase usar um valor do coeficiente de ponderação 055 0 1 Em aplicações típicas valores de 0 entre 06 e 07 têm sido usados Substituindose as aproximações das Equações 14100 com l 05 nas Equações 1471 e 1444 e simplificando obtêmse as equações Cap 14 Escoamento Variável em Canais 497 kI k yk1 ykrecvk1vk1CI SVk VkJ Y1 Y11 1 1 Llx 11 1 11 1 llt AkI AkI recli Y1 c1 Sl1lJ8 C 13 B X 11 1 CI ecAk Ak J Sv1 vt1 c1 SCV1 vtJO B 11 B 2g0l1l11 0Cl1 l Llx 0VkI VklJ0Vk Vk llX 11 1 HI 1 0CV71vt100V1Vkl VkI yk VkI Vk 11 HI 1 1 2gLltl0 gLlt0lr1 Irt110IrI Ir 14101 14102 Nas Equações 14101 e 14102 há quatro incógnitas no nível de tempo k 1 que são ykI kI ykI e ykI j Y iI Hl Cada nó da grade computacional tem duas incógnitas V e y e escreven do as equações para os nós da grade i 12 N N número de trechos fonnase um conjunto de 2N equações As Equações 14101 e 14102 não podem ser escritas para o nó N 1 uma vez que não existe o nó N 2 Por tanto há um total de 2N 1 incógnitas e existe a necessidade de buscar mais duas equações para a resolução do sistema As duas equações complementa res vêm das condições de fronteira nas extremidades de montante e jusante do canal O sistema de equações algébricas não lineares resultante nas variáveis Vxtk e yxtk pode ser resolvido pelos métodos clássicos já mencionados 148 O PROGRAMA EXEPLICM1 EXE O programa computacional para a resolução das equações completas de aintVenant aplicado ao cálculo de uma onda de cheia em um canal pris Existe alguma restrição quanto ao valor a ser adotado para o passo de tempo õt no esquema de diferenças finitas implícito Ver diretório Variável no endereço tletrônico wwweescscuspbrshs na área Ensino de Graduação mático retangular trapezoidal ou triangular utilizando o esquema explícito de diferenças finitas é discutido no Exemplo 149 Este programa que consta da referência Graf 26 páginas 50 a 71 foi traduzido adaptado e utilizado conforme permissão dos autores Prof W H Grafe Prof M S Altinakar da Escola Politécnica Federal de Lausane Tratase de um programa na linguagem Fortran para a resolução de problemas transitórios em canais no caso particular em que a condição de contorno de montante é um hidrograma de cheia conhecido aproximado por uma forma triangular A condição de contorno de jusante é simplesmente uma relação alturavazão dada pela fórmula de Manning no regime uniforme O exemplo numérico desenvolvido foi reproduzido exatamente como consta na referência citada página 50 EXEMPLO 149 Extraído de Graf 26 Em um canal prismático retangular de 5 m de largura em concreto coeficiente de rugosidade n 0020 o escoamento é uniforme com uma pro fundidade Yo 120 m Durante a passagem de uma onda de cheia a vazão aumenta linearmente desde o valor correspondente ao regime uniforme até uma vazão de pico Qp 50 m3s em um tempo t 20 min e decresce linear mente até o valor inicial em um tempo t 60 min A declividade de fundo do canal é 10 0001 mim e o comprimento do trecho a ser estudado é L 3 km Utilizando o programa ExeplicMl exe determine a o hidrograma da cheia em duas estações L 15 km seção média do trecho e L2 3 km extremidade de jusante b em que tempo ocorrem as vazões máximas nas estações L1 e L2 c qual a atenuação da profundidade máxima da água nas duas estações d o tempo necessário para que as condições do escoamento voltem ao regime permanente uniforme na estação L2 A Condições iniciais No método explícito tratado na Seção 1473 a profundidade e a veloci dade média em cada nó da grade computacional podem ser calculadas pelas Equações 1497 e 1498 respectivamente adotando um valor para o coeficien te de ponderação a utilizandose os valores conhecidos no passo de tempo an terior Para iniciar os cálculos é necessário conhecer o valor da profundidade inicial Yo variável HO no programa e da velocidade média inicial V O variá vel VO no programa em cada nó no tempo t O isto é antes do início da cheia Ca p 14Esc oamentoVar 1á velemCa nais 499 Na condição de regime inicial uniforme t 0 a altura dágua y0 120 m é constante ao longo do eixo x espaço e portanto a velocidade média a vazão e o tipo de escoamento fluvial ou torrencial podem ser determinados para a geometria dada a partir da fórmula de Manning 38 Pela Equação 839 y0 e M F b 5 Para Z O e m 4167 na Tabela 82 K 1548 y O 120 M 0020Q 38 portanto ooo I 120 1548 Q 8245 m3s Q 8245 A velocidade média vale Y0 1374 ms A 5 120 O número de Froude vale Fr 2 J 1374 040 fluvial vgy 0 98120 B Discretização das equações Para a resolução via esquema explícito o domínio da solução no espa çotempo é representado sob forma de uma matriz de duas dimensões nas variáveis Vxtk e yxtk ou em termos das variáveis originais do programa UIJ e HlJ em que J é o número da linha tempo e I o número da colu na espaço Segundo o esquema da grade computacional da Figura 14 17 o trecho do canal é dividido em I NN estações nós e NN 1 subtrechos No pro grama o número de subtrechos é fixado em MAXDIV 100 e portanto o número máximo de nós estações é NNMAX MAXDIV 1 1 O 1 O cálculo da profundidade e da velocidade média a cada tempo nas estações internas i 2 a i NN 1 pode ser feito com as Equações 1497 e 1498 com o coeficiente de ponderação adotado a 1 o que no caso da seção retangular transforma as equações em O que significa fator de relaxação B Hidálka Básica cp 14 Em princípio a necessidade de memó ria computacional é maior no método implícito ou no método explicito Q ns 50 8245 f o 20 80 T mín Figura 1419 Condição de contorno de montante kI k Llt Vk k k kVk vk Yi Yi 2 Llx i YiJ Yi1 yi i1 i1 VkI yk Llt Vk Vk vk k k I I kLlt 2 Llx i iI i1 g YiI Yi1 g o fi Estas equações não podem ser aplicadas ao nó i 1 e ao nó i NN uma vez que não existem os nós i O e i NN 1 O cálculo para estes nós de extremidades são feitos utilizandose as condições de contorno do proble ma C Condição de contorno de montante Na extremidade de montante estação i 1 conhecese o hidrograma de cheia isto é a variação da vazão com o tempo conforme o enunciado e a Figura 1419 Na estação i 1 a vazão é conhecida em cada tempo t através dos dois segmentos de reta da Figura 1419 Conforme a Figura 1417 entre os nós 1 e 2 podese escrever e a profundidade correspondente ao ponto P é dada por kI k Llt k k k k k k Yi Yi Llx Vi YiJ yi yi ViJ Vi seçao retangular Portanto a profundidade da água no passo de tempo k 1 é calculada e a velocidade média também pois QkI ykI i 1 AkI 1 e a área Ai depende da profundidade lJ e da geometria da seção do canal D Condição de contorno de jusante Na extremidade de jusante i NN a situação é inversa da extremida de de montante Conforme a Figura 1417 entre os nós NN 1 e NN podese escrever Cap 14 Escoamento Variável em Canais SOl e a profundidade correspondente ao ponto P é dada por kl k tit k k k k V k V k I Y Y tix V Y y1 Y iJ seçao retangu ar A vazão na estação i NN no passo de tempo k 1 não é conhecida mas admitindose válida a fórmula de Manning a velocidade pode ser calcu lada como ykl 2 R kI 23 l 12 1 h1 o n em que o raio hidráulico depende da profundidade e da geometria da seção do Q kI ykI AkI canal Assim Com esta condição de contorno de jusante está admitindose implici tamente a validade da curva alturavazão Q fy0 isto é escoamento uni forme nesta estação E Utilização do programa e análise de resultados No diretório Variável são apresentados o programa fonte ExeplicMl For que pode ser alterado pelo usuário e depois compilado no ambiente Fortran e o programa executável ExeplicM1 Exe que pode rodar diretamente em qualquer ambiente Windows ou DOS com saída em DOS que pode ser lida no apli cativo EDIT O programa é dotado de uma caixa de diálogo para entrada de dados conforme a Tabela 142 e visualização dos primeiros cálculos nas con dições iniciais O primeiro ponto importante referese ao passo de tempo a ser especi ficado pelo usuário No exemplo adotouse um valor Dt O 10 s muito me nor que o valor 6242 s ditado pela condição de estabilidade de Courant calculada para as condições iniciais É interessante que o usuário insira dife rentes combinações de Dx e Dt para se dar conta de que os valores de Dt ne cessários para assegurar uma solução estável se situem sensivelmente abaixo da condição de estabilidade de Courant inicial A obrigação de utilizar peque nos passos de tempo para assegurar uma solução estável é uma desvantagem da utilização do esquema explícito No exemplo mostrado um valor de Dt 020 s gera na seção média do canal uma instabilidade nos cálculos enquanto para Dt 025 s a condição de Courant é violada e o processamento pára Deve ser notado que o valor do passo de tempo segundo a condição de Courant não é constante mas varia de um tempo a outro e de uma estação a outra segundo os novos valores da velocidade e da celeridade das ondas que é função da profundidade A condição de Courant é continuamente verificada para cada novo ponto calculado Em caso de violação da condição uma men sagem de erro é mostrada e o programa pára Outro ponto a ser observado é relativo ao resultado dos cálculos e sua escrita em um arquivo de saída Evidentemente registro das profundidades velocidades e vazões em todos os nós em cada passo de tempo é impraticável Deste modo o usuário deve escolher três seções estações para os quais de seja conhecer a solução no tempo No exemplo foram escolhidos ós nós 1 51 e 101 que representam a seção inicial a seção média e a seção final do tre cho de 3000 m O número máximo de subtrechos adotado pelo programa é 100 e como conseqüência temse 101 nós estações O usuário deve também fixar a freqüência de escrita dos resultados como um número inteiro de pas sos de tempo Dt No exemplo fixouse o valor 1200 e como Dt O 10 s os resultados são escritos a cada I 20 s 2 min Outro valor a ser adotado pelo usuário é o tempo total de processamento que no caso foi fixado em Tmáx 12500 s O arquivo de saída do programa é mostrado na Tabela 143 na qual os valores máximos da vazão altura dágua e velocidade para as três estações escolhidas estão marcadas com o sinal de asterisco Uma representação gráfica dos resultados é mostrada nas Figuras 1420 e 1421 Da análise dos valores da Tabela 143 e também dos gráficos das Figu ras 1420 e 142i as questões propostas no enunciado podem ser respondidas a As estações com L 15 km e L2 3 km correspondem aos nós 5 I e 101 Os hidrogramas Qt para estas duas estações e também para a estação I que representa a extremidade de montante do canal são mostrados na Figura 1420b A evolução da profundidade e da velo cidade pode ser observada nas Figuras 1420a e c b Pela Tabela 143 no nó I x 00 m a vazão máxima Qmáx 50 m3s e a velocidade máxima V máx 266 ms ocorrem ambas no tempo t I 200 s após o início da cheia enquanto a profundidade máxima Ymãx 391 m manifestase 360 s mais tarde no tempo t I 560 s Para o nó 5 I x I 500 m observase que a velocidade máxima V máx 253 ms ocorre no tempo t 1440 s antes da ocorrência da vazão máxima Qmáx 4231 m3s no tempo t 1680 s e também da profundidade máxima Ymáx 371 m no tempo t 2280 s A Figura 1421 mostra o aspecto em forma de laço relação não uní voca da curva Qx fy curva chave conforme discutido na Seção 1451 Cap 14 Escoamento Variável em Canais S03 Na estação I O 1 x 3000 m os valores máximos da vazão Qmáx 3845 m3s da profundidade Ymáx 372 me velocidade Vmáx 207 ms ocor rem simultaneamente no tempo t 2400 s Em relação à Figura 1420c é interessante observar que no nó 1 no tempo t 4800 s a velocidade decresce até V 106 rns valor sen sivelmente abaixo da velocidade inicial V I 375 ms cmTesponden te ao regime uniforme Isto ocorre devido ao fato de que até o estado da cheia deixar de in fluir no nó 1 com a vazão descendo para Q Q0 825 m3s a onda continua influindo nos nós de jusante O escoamento é de certa fonna freado conservando uma altura dágua y 155 m superior àquela re lativa ao escoamento uniforme As condições de escoamento unifor me no nó 1 só são restabelecidas no tempo t 8760 s e A atenuação dos valores máximos da profundidade da vazão e da ve locidade de uma estação a outra pode ser vista nas Figuras 1420a b e c Os valores numéricos podem ser lidos no arquivo de saída do programa e são Nó 1 51 101 xm o 1500 3000 Ymáx m 3912 3714 3719 Qmáx m3s 50 4231 3845 Vmáx rns 266 253 207 Há uma atenuação importante entre os nós 1 e 51 3912 3714 O 198 m na profundidade máxima indicando uma característica difusiva da cheia neste trecho Já entre os nós 51 e 101 não há pra ticamente diferença entre as alturas máximas indicando o caráter cinemático da onda neste trecho â O retorno ao escoamento uniforme em uma estação significa que os valores da vazão velocidade e profundidade tornamse iguais aos valores iniciais Q0 825 m3s V O 1375 rns e y0 120 m Na es tação 51 x 1500 m estas condições são atingidas aproximadamen te no tempo t 11160 s Tabela 142 Quadro de enlrada de dados para o programa ExeplicM l exe Programa de cálculo para escoamentos não permanentes sistema de unidades métrico Leitura dos dados relativos ao canal O canal pode ter uma seção trapezoidal retangular Z O ou ttiangular b 0 Largura de fundo do canal b m 50 Inclinação dos taludes Z OO Declividade de fundo cio canal lf 0001 Coeficiente de Manning n m13 s 0020 Profundidade no escoamento uniforme hn m 120 Comprimento total do canal Lt m 3000 Utilizando a fórmula de Manning A vazão do escoamento uniforme vale Qo m3s 8249 Leitura dos dados relativos às condições limites montante Admitese um hidrograma triangular definido por três parâmetros Tempo de ascensão ts 1200 Vazão de pico Qmax m3s 50 Tempo de depleção ls 3600 Atenção para t t t 4800000 s admitese que Q Qo Leitura cios dados relativos ao passo de espaço Dx O comprimento cio canal é Lt m 300000 Numero máximo de trechos autorizado para o programa MAXDIV 100 O valor mínimo de Dx é dado por Lt MAXDIV 3000m nota importante1 se você tem necessidade de mais trechos modifique o valor do parâmetro MAXDIV no programa principal Você esta de acordo com este valor responda s cr ou n Leitura dos dados relativo ao passo de tempo Dt A vazão no escoamento uniforme é Qo m3s 8249 A velocidade media do escoamento é Uo ms Q S 1375 A celeridade das ondas de gravidade é Co Ins ghn05 343 l A condição de estabilidade de Courant exige que Dt Dx absuo co O valor máximo de Dt é dado por Dtmax Dx absUo co 6242 s Qual é o valor de Dt s 0 1 O Qual a duração dos cálculos Tmax s 12500 Você tem 101 estações ao longo do canal Você deseja imprimir os resultados Escreva os números de 3 estações em formato livre 1 51 101 Com que freqüência você quer escrever os resultados número de passos de tempo 1200 Nome do arquivo de saída RESPDAT Cap 14 Escoamento Variável em Canais 505 Tabela 143 Arquivo de saída do programa ExeplicMlexe RESULTADO DOS CÁLCULOS DO ESCOAMENTO NAO PERMANENTE COM O METODO gxPLICITO DADOS RELATIVOS AO CANAL E AO ESCOAMENTO UNIFORME LARGURA DO FUNDO DO CANAL JNCLINACAO DOS TALUDES DECLIVIDADE DE FUNDO DO CANAL B m m Jf 5000 COEFICIENTE DE MANNING n m13 s 0200 000 PROFUNDIDADE PARA ESCOA UNIFORME hn m 1200 00100 COMPRIMENTO TOTAL DO CANAL LT m 3000000 VAZAO INICIAL Q0 m3s 8249 VELOCIDADE INICIAL U0 ms 1375 CELERIDADE DAS ONDAS DE GRAVIDADE C0 ms 3431 DEFINICAO DO HIDROGRAMA TRIANGULAR TEMPO DE ASCENSAO t s 120000 VAZAO DE PICO QMAX m3s 50000 TEMPO DE DEPLECAO t s 360000 NUMERO DE TRECHOS NDIV 100 COMPRIMENTO DOS TRECHOS DX m 30000 NUMERO DE NOS NN NDIV 1 101 PASSO DE TEMPO DTs 100 DURACAO DOS CALCULOS TMAX s 12500000 FREQUENCIA DE ESCRITA pas 1200 ESTACAO I ESTACAO 2 ESTACAO 3 TEMPO NO NUMERO l X 000 NO NUMERO 51 X 1500000 NO NUMERO 101 X 3000000 T Q H u Q H u Q H u s m3s m ns m3s m 1ns 1113s m ms 00 8249 1200 1375 8249 1200 1375 8249 1200 1375 12010 12428 141 O 1763 8249 1200 1375 8249 1200 1375 24001 16599 1662 1998 8249 1200 1375 8249 1200 1375 36001 20775 1927 2156 8669 1219 1422 8249 1200 1375 48002 24950 2195 2274 10553 1322 1596 8249 1200 1375 60000 29125 2461 2367 13455 1494 1801 8250 1200 1375 72007 33302 2726 2443 17050 1714 1989 8454 1220 1385 84004 37476 2988 2509 21018 1961 2143 9244 1298 1424 96001 41650 3248 2565 25173 2221 2267 10877 1455 1495 108008 45828 3505 2615 29421 2487 2366 13388 1686 1588 120005 49999 3761 2659 33701 2753 2448 16587 1968 1686 132002 48608 3853 2523 37993 3019 2517 20232 2277 1777 144010 47215 3898 2423 41010 3247 2526 24138 2598 1858 156007 45824 3912 2343 42004 3397 2473 28174 2922 1929 168004 44433 3905 2276 42309 3506 2414 31462 3180 1978 180001 43041 3883 2217 42141 3585 2351 33895 3370 2012 192008 41649 3849 2164 41649 3643 2287 35671 3507 2034 204005 40258 3806 2115 40948 3684 2223 36918 3603 2050 216006 38866 3756 2070 40178 3707 2168 37743 3666 2059 228007 37474 3700 2026 39358 3714 2120 38230 3703 2065 240009 36082 3639 1983 38497 3705 2078 38445 3719 2067 Tabela 143 Arquivo de saída do programa ExeplicMlexe continuação 252001 34691 3574 1941 37605 3685 2041 38438 3719 2067 264002 33299 3504 1901 36679 3654 2008 38250 3704 2065 276004 31907 3428 1861 35714 3613 1977 37913 3679 2061 288006 30516 3348 1823 34710 3564 1948 37450 3643 2056 300008 29124 3263 1785 33671 3508 1920 36879 3599 2049 312009 27732 3174 1748 32597 3445 1892 36214 3549 2041 324001 26341 3080 1710 31495 3377 1865 35470 3491 2032 336003 24949 2983 1673 30366 3304 1838 34657 3429 2022 348004 23557 2882 1635 29214 3226 181 1 33784 3361 2010 360006 22165 2778 1596 28044 3145 1784 32859 3289 1998 372008 20773 2671 1556 26857 3059 1756 31891 3214 1985 3840 10 19381 2560 1514 25657 2971 1727 30885 3135 1970 396001 17991 2446 1471 24447 2880 1698 29848 3054 1955 408003 16599 2329 1425 23228 2785 1668 28783 2970 1938 420005 15207 2209 1377 22003 2689 1637 27696 2884 1921 432006 13815 2086 1325 20774 2590 1604 26590 2795 1902 444008 12423 1958 1269 19544 2489 1571 25471 2706 1883 456010 11031 1828 1207 18314 2386 1535 24340 2614 1862 468001 9641 1692 1139 17089 2281 1498 23203 2522 1840 480003 8249 1552 1063 15869 2 175 1459 22061 2428 1817 492005 8249 1476 1118 14658 2067 1419 20918 2334 1792 504007 8249 1417 1164 13459 1957 1375 19777 2239 1767 516008 8249 1371 1204 12574 1859 1353 18641 2143 1740 540002 8249 1307 1263 11401 1699 1342 16459 1957 1682 552003 8249 1285 1284 10937 1632 1340 15525 1875 1656 564005 8249 1267 1302 10536 1573 1340 14682 1801 1630 576007 8249 1254 1316 10189 1520 1340 13923 1734 1606 588009 8249 1243 1327 9889 1474 1342 13239 1672 1583 600000 8249 1235 1336 9631 1434 1344 12627 1617 1562 612002 8249 1228 1344 9410 1399 1346 12078 1567 1542 624004 8249 1223 1349 9221 1368 1348 11588 1521 1523 636005 8249 1218 1354 906 1 1342 1350 111 51 1481 1506 648007 8249 1215 1358 8925 1320 1353 10765 1444 1491 660009 8249 1212 1361 8811 1301 1355 10423 1412 1476 672000 8249 1210 1363 8716 1285 1357 10122 1383 1464 684002 8249 1209 1365 8636 1271 1359 9858 1358 1452 696004 8249 1207 1367 8569 1259 1361 9627 1336 1442 708006 8249 1206 1368 8514 1249 1363 9426 1316 1432 720007 8249 1205 1369 8468 1241 1364 9252 1299 1424 732009 8249 1204 1370 8430 1234 1366 9101 1284 1417 744001 8249 1204 1370 8399 1229 1367 897 1 1272 1411 756002 8249 1203 137 1 8373 1224 1368 8860 1261 1406 768004 8249 1203 1371 8351 1220 1369 8765 1251 1401 780006 8249 1203 1372 8333 1217 1370 8684 1243 1397 792008 8249 1202 1372 83 19 1214 1371 8615 1236 1393 804009 8249 1202 1372 8307 12 11 137 1 8556 1231 1390 816001 8249 1202 1373 8297 1209 1372 8507 1226 1388 828010 8249 1202 1373 8288 1208 1372 8465 1222 1386 840003 8249 1202 1373 8282 1207 1373 8430 1218 1384 852005 8249 1202 1373 8276 1205 1373 8400 1215 1383 Cap 14 Escoamento Variável em Canais S07 Tabela 143 Arquivo de saída do programa ExeplicMJ exe continuação 864008 8249 1202 1373 8271 l205 l373 876001 8249 1201 1373 8267 1204 1374 888004 8249 1201 1373 8264 1203 1374 900007 8249 l201 1373 8262 l203 1374 912000 8249 1201 1373 8259 1202 1374 924003 8249 1201 1373 8258 l202 1374 936006 8249 1201 1373 8256 1201 1374 948009 8249 l201 1373 8255 1201 1374 960002 8249 1201 1373 8254 1201 IJ74 972005 8249 1201 1373 8253 1201 1375 984008 8249 1201 1373 8253 1201 1375 996001 8249 1201 1373 8252 1201 1375 1008004 8249 1201 1373 8252 1201 1375 1020007 8249 1201 1373 8252 1200 1375 1032010 8249 1201 1373 8251 1200 1375 IOWJ03 8249 1201 1373 8251 1200 1375 1056005 8249 1201 1373 8251 1200 1375 1068008 8249 1201 1373 8251 1200 1375 1080001 8249 1201 1373 8251 1200 1375 1092004 8249 1201 1373 8251 1200 1375 1104007 8249 1201 1373 8251 1200 1375 1116000 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1128003 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1140006 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1152009 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1164002 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1176005 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1188008 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1200001 8249 1201 1373 8250 1200 1375 1212004 8249 1201 1373 8250 l200 1375 1224007 8249 1201 1374 8250 l200 1375 1236010 8249 l201 1374 8250 1200 1375 1248003 8249 1201 l374 8250 1200 l375 FIM NORMAL DO PROGRAMA A importância da escolha do passo de tempo necessário para produzir uma solução estável é mostrada na Figura 1422 O programa foi rodado para Dt 020 s a condição de Courant em nenhum momento foi violada porém na estação 51 seção média ocorreu oscilação numérica principalmente nos valores da vazão e da velocidade 8375 8354 8337 8322 8310 8300 8291 8284 8278 8274 8269 8266 8263 8261 8260 8258 8257 8255 8254 8254 8254 8253 8253 8253 8253 8252 8252 8252 8252 8252 8252 8252 8252 1213 1381 1211 1380 1209 l379 1207 1379 1206 l378 1205 1377 1204 1377 1204 1377 1203 1376 1202 1376 1202 1376 1202 1376 1201 1376 1201 1375 1201 1375 1201 1375 1201 1375 1201 1375 1201 1375 1200 1375 1200 375 1200 1375 1200 1375 1200 1375 1200 1375 1200 1375 1200 1375 1200 1375 l2X 1375 1200 1375 1200 1375 1200 IJ75 l200 1375 Cap 14 a Nó 1 X 00 m b Nó 51 X 1500 m c Nó 101 x 3000 m 35 I 2s 15 11 o 2000 4000 6000 0000 10000 2000 ooo 6000 0000 10000 t s 1 s Figura 1420 Gráfico das relações yx ft Qx ft e Yx fl 4 Ym ym 35 25 15 05 y0 120m o Jjl o 10 20 30 40 50 Q m 3s Figura 1421 Relação Qx fy para o nó 51 x 1500 m 2000 6000 0000 ts a Nó 1 X 00 m b Nó 51 x 1500 m e Nó 101 x 3000 m 10000 1 1 O 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 OClOO 10000 1 s º i30 o 20 l V I 7 J J Í 10 l 1 t 1000 2000 3000 4000 5000 6000 000 8000 9000 10000 ts Figura 1422 Gráfico das relações yx ft Qx ft e Vx ft com um passo de tempo Lit 020 s Cap 14 Escoamento Variável em Canais 509 149 PROBLEMAS 141 Uma comporta plana e vertical alimenta um canal retangular com uma vazão tal que a altura dágua no canal é igual a 10 me a velocidade média é de 060 ms A descarga de água é bruscamente aumentada em 100 pela aber tura da comporta Determine a variação ocorrida na altura do escoamento e a velocidade de propagação ela onda para jusante Liy 0147 m V00 408 ms 142 A altura clágua e a velocidade média do escoamento em um estuário largo valem respectivamente 220 m e 060 ms Um vagalhão provocado pela subida da maré de 10 m ele altura penetra no estuário deslocandose para montante Estime a velocidade com que a onda se desloca e a descarga líqui da em uma seção após a passagem ela frente ele onda por esta seção Voo 560 ms q 2 428 m2s 143 A velocidade absoluta ele propagação de uma frente de onda em um ca nal retangular largo é de 50 ms A velocidade média e a altura dágua no canal no escoamento não perturbado valem respectivamente 080 ms e 160 m Determine a altura da vaga que se desloca para montante Liy 101 m 144 As condições de escoamento em um canal retangular são mantidas por uma comporta parcialmente fechada na extremidade ele jusante A altura dágua no canal é de 15 me a velocidade média de 090 ms A comporta é subitamente abaixada em O 15 m Determine a altura da onda que se propaga para montante e sua velocidade Assuma que o coeficiente de descarga ela comporta antes e depois ela manobra é constante independente da carga e vale CD 056 Liy 013 m V00 3 I 8 ms 145 Um rio escoa uma certa vazão com altura clágua igual a 240 111 e ve locidade média de 090 111s quando encontra uma onda de maré com um au mento brusco na lâmina dágua para 360 m Determine a velocidade com que a onda se propaga para montante e a magnitude e a direção da velocidade da água atrás da onda V00 574 ms V2 13 1 ms para montante Figura 1423 Problema 141 O 146 As condições iniciais do escoamento uniforme são iguais às do Problema 141 Determine a variação ocorrida na altura do escoamento e a velocidade de propagação da onda para montante se uma comporta na extremidade de jusante for súbita e totalmente fechada Liy 020 m Voo 30 ms 147 Mostre que para uma seção retangular em que a largura de fundo é igual à altura dágua o parâmetro m da onda cinemática Equação 1460 é igual a 43 usando a fórmula de Manning e igual a 54 usando a fórmula de Chézy 148 Partindo da Equação 1460 mostre que a equação da onda cinemática Equação 1455 pode ser escrita como na qual V é velocidade média 149 Em um projeto de drenagem urbana a seção reta de um curso dágua natural foi levantada topograficamente e assumida representativa de um cer to trecho do canal Por análise de regressão a relação entre o perímetro e a área da seção foi obtida como P 1277 Aº384 Se a declividade do trecho vale lo 000015 mim e o coeficiente de rugosidade de Manning estimado em n 0040 mostre que a Equação 1460 é dada por Q 0056 Af4 107 1410 Uma chuva distribuída sobre uma bacia hidrográfica mostrada na Fi gura 1423 provoca simultaneamente nas seções A e B o hidrograma mostrado na tabela abaixo Usando o método Muskingum de propagação de cheias determine a máxima vazão combinada e o tempo de ocorrência na seção C Para o trecho AC os valores do tempo de trânsito e do coeficiente de ponderação valem K 6 h e x 022 Adote Lit 3 h Qp 174 m3s tp 18 h T h o 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 5 15 45 79 90 98 91 82 73 62 51 39 21 Cap 14 Escoamento Variável em Canais 511 1411 Os hidrogramas de entrada e saída de um certo trecho de um rio são dados na tabela abaixo Utilizando as planilhas MUSKINGUM I XLS e MUSKINGUM2XLS determine os valores de K ex mais convenientes para o trecho e com estes valores propague o hidrograma dado na segunda tabe la determinando a vazão ele pico e o tempo de ocorrência K 228 d ias x 022 Q 11 237 m3s tr 6 dias Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ilia l m Js 15 55 120 200 165 120 95 72 53 48 42 36 Ó ms 14 22 41 80 125 138 130 120 110 82 68 55 Tenwo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 clfa1 1 I m1 30 91 200 330 270 195 160 120 90 85 73 66 1412 Em um canal prismático trapezoidal de 2 m ele largura de fundo em concreto coeficiente ele rugosidade n 0020 inclinação cios taludes IV 1 H o escoamento é uniforme com uma profundidade y0 140 m Dtfrante a pas sagem de uma onda de cheia a vazão aumenta linearmente desde o valor cor respondente ao regime uniforme até uma vazão de pico Q11 40 m3s em um tempo t 1 O min e decresce linearmente até o valor inicial em um tempo t 30 min A declividade de fundo do canal é lo 0001 mm e o comprrmen to cio trecho a ser estudado é L 2 km Utilizando o programa ExeplicM I exe determine a as vazões máximas em duas estações L 1 km seção méd ia do trecho e L2 2 km extremidade ele jusante b em que tempo ocorrem as vazões máximas nas estações L e L2 c qual a atenuação ela profundidade máxima ela água entre as estações L0 00 km seção inicial e L 1 km seção média cio trecho d o tempo necessário para que as condições do escoamento voltem ao regime permanente uniforme na estação L2 a Q11 3240 m3s Qp2 2878 m3s b T11 960 s T 112 1440 s c ty O 16 m d T 7320 s B 1B BIBLIOGRAFIA PARTE li l ABECASIS F M M Soleiras Descarregadoras Memória 175 Labora tório Nacional de Engenharia Civil Lisboa 1961 2 ACKERS P WHITE W R PARKINS J A e HARRISON A J M Weirs and Flumes for Flow Measurement John Wiley Sons Ch icherster 1989 3 ARCARO V PORTO R M Solução explícita da equação da energia específica para canais retangulares Revista de Hidrologia e Recursos Hídricos v 32 173180 juldez 1981 4 AVILA G S Hidráulica General v 1 Editorial Limusa México 1974 5 AZEVEDO NETTO J M VILELA S M Manual de Hidráulica Edi tora Edgard Blucher São Paulo v II 5il ed 1972 825 p 6 AZEVEDO NETTO J M ALVAREZ G A Manual de Hidráulica Editora Edgard Blucher São Paulo v I 6ª ed 1973 333p 7 BALLOFFET A GOTELLI L M MEOLI G A Hidráulica Biblio teca Ediar de Engenharia Buenos Aires 2ª ed 1952 8 BOS M G ed Discharge mesurement structures International 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estreitamentos 71 Altura dágua ou tirante dágua 222 Altura de escoamento da seção 222 Altura estática de recalque 124 Altura estática de sucção 124 Altura geométrica 124 AI Lura geométrica de elevação 19 Altura hidráulica ou altura média 223 Altura manométiica de recalque 124 Altura manométrica de sucção 124 Altura manométrica total 124 Altura normal 238 Altura ou carga total de elevação 124 Altura torai de elevação da bomba 17 Altura total de recalque 124 Altura total de sucção 124 Alturas ou profundidades conjugadas 336 Análise de tubulações 77 Análise dimensional 13 Anéis ou malhas 170 Área molhada 222 Associação de bombas em série e paralelo 145 B Bacia de detenção 406 Bacia de dissipação 444 Bocal cilíndtico externo 365 Bocal cilínd1ico interno 368 Bomba afogada 123 Bomba não afogada 123 Bombas centrífugas 132 Bombas de escoamento axial 133 Bombas de escoamento misto 133 Bombas tipos e características rotação específica 132 e Caixa de passagem 96 Cálculo de canais em regime uniforme 248 Canais de declividade crítica 418 Canais de declividade forte 418 Canais de declividade fraca 418 Canais de fonna qualquer 314 Canais de seção composta 277 Canais cm aclive 418 Canais fechados 258 Canais horizontais 418 Canal retangular largo 230 Característica do sistema 140 Característica negativa 489 Característica positiva 489 Carga de posição 9 Carga de pressão 221 Carga de pressão atmosférica local 94 Carga de pressão dinâmica 170 Carga de pressão disponível 10 Carga de pressão estática 176 Carga de projeto 398 Carga sobre a soleira 309 Cavitação 153 Celeridade absoluta da onda 456 Celeridade da onda 456 Celeridade da onda cinemática 477 Coeficiente básico de vazão 399 Coeficiente da hora de maior consumo do dia de maior consumo 172 Coeficiente de Boussinesq 12 227 Coeficiente de cavitação de Thomas 158 Coeficiente de contração Cc 73 352 Coeficiente de Coriolis 11 227 Coeficiente de forma 249 Coeficiente de potência 21 135 Coeficiente de pressão 21 135 139 Coeficiente de vazão 21 113 135 139 355 Coeficiente de velocidade 355 Coeficiente dinâmico 249 Coeficiente do dia de maior consumo 171 Comportas de fundo planas 374 Comprimento de equivalente 84 Comprimento de mistura de Prandll 517 distribuições de velocidade 32 Comprimento de mistura 33 Comprimento do ressalto 345 Computação do pertil dágua 437 Condição de estabilidade de Courant 495 Condições de fronteira ou condições de contorno 491 Conduto equivalente a outro 102 Conduto equivalente a um sistema 102 Condutos de seção não circular 58 Condutos equivalentes 1 O 1 Condutos principais 169 Condutos secundários 169 Conjunto elevatório 123 Conservação da água 81 Constante de tempo de trânsito 483 Constante de von Kármán 34 Construção de canais 275 Corpo da onda 457 Cota de consumo per capita 171 Cota piezométrica 9 Cotovelos e curvas 75 Cunha de armazenamento 481 Curva caractetística adimcnsional 138 Curva característica de uma bomba 136 Curva característica de uma instalação 139 Curva de remanso 415 D Declividade da linha de energia 223 243 Declividade de fundo 223 Declividade de projeto 278 Declividade piezométrica ou declividade da linha dágua 223 Descarregador Bazin 383 Descarregadores de barragens 397 Detenninação do perfil dágua em canais prismáticos 435 Diagrama de Moody 46 Diagrama em colina 138 Diâmetro econômico 129 Diâmetro equivalente 58 Diâmetro hidráulico 58 Diferença finita centrada 493 Diferença finita progressiva 492 Diferença finita regressiva 492 Difusores 74 Dimensionamento econômico da tubulação de recalque 125 Distribuição de pressão 230 Distribuição de vazão em marcha 97 Distribuição hidrostática de pressão 233374 Distribuições de velocidade 32 E Eclusa para navegação 401 Eficiência do ressalto 345 Elementos hidráulicos da seção circular 256 Energia ou carga cinética 9 Energia ou carga de pressão 9 Equação da energia 4 Equação de BordaCarnot 72 Equação de DarcyWeisbach 14 Equação de Francis 387 Equação de Mariottc 125 Equação de Weisbach 385 Equação diferencial do escoamento permanente gradualmente variado 416 Equação dinâmica 47 l Equações de resistência 53 238 Equações de SaintYcnant 473 Equações hidrodinâmicas 469 Escoamento bidimensional 3 cm pressão 4 em superfície livre 4 forçado 4 laminar 3 28 não permanente 4 não uniforme 4 pennanentc 4 turbulento 3 30 unidimensional 3 uniforme 4 variado 4 variável 4 Escoamento crítico 226 Escoamento laminar 3 28 Escoamento paralelo 232 Escoamento quasepennanentc 114 Escoamento sob carga vaiiável 362 Escoamento subcrítico ou fluvial 226 Escoamento supercrítico ou torrencial 226 Escoamento lllrbulcnto 30 Escoamento turbulento hidraulicamente liso 31 Escoamento turbulento hidraulicamente misto ou de transição 31 Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso 31 Escoamento turbulento rugoso 246 Escoamentos cm superfície livre 221 Esquema implícito 495 Experiência de Nikuradse 36 Extremidades mortas 170 F Fator de atrito da tubulação f 14 Fator de atrito f 47 Fator de ponderação x 483 Fator de relaxação 494 Força da gravidade 240 Força de atrito 242 Força de pressão 241 Força específica 336 Fórmula de Blasius 37 50 Fórmula de Bresse 129 Fórmula de Chézy 240 Fórmula de ColcbrookWhite 44 Fórmula de FairWhippleHsiao 56 Fónnula de HagenPoiseuille 30 Fórmula de HazenWilliams 53 Fórmula de Manning 243 260 Fórmula de SwameeJain 48 Fórmula universal de perda de carga 14 29 Fórmulas empíricas para o escoamento turbulento 52 Frente da onda 457 Golpe de aríete 95 G Grade de pontos ou grade computacional 493 H Harpa de Nikuradse 36 I Inclinação dos taludes 278 Influência relativa das perdas ele carga localizadas 78 Intervalo de tempo computacional 493 L Largura de topo 222 Lei da raiz sétima de Prandtl 44 Lei de distribuição universal de velocidade 34 Lei de Newton da viscosidade 28 Lei dos orifícios 113355 Lei universal de distribuição de velocidade 35 Linha de carga absoluta 94 Linha de carga efetiva 94 Linha de corrente 8 Linha de energia 9 10 Linha piezométrica 9 221 Localização do ressalto bidráulicii 442 M Máxima tensão de cisalhamento 278 Medidores Venturi 74 Método das características 487 Método dos comprimentos equivalentes 84 Método Muskingum 482 485 Métodos de diferenças finitas 49 I Modelo de difusão ou não inercial 474 Modelo hidrodinâmico 475 Modelos hidráulicos 481 Mosaicos de utilização 149 Movimento permanente gradualmente variado 97 N NPSH disponível I 55 157 NPSH requerido 157 Nós de fronteira 493 Número ele cavitação 158 Número ele Euler 14 Número de Froude 225 Número de Reynolds ele rugosidade 31 Número de Reynolds 14 225 o Ocorrência da profundidade crítica 311 Onda cinemática 475 Onda de jusante 458 Onda de montanLe 458 Onda negativa de jusante 462 Onda negativa de montante 461 Onda oscilatória 456 Onda positiva de jusante 461 Onda positiva de montante 461 Ondas capilares 455 Ondas de gravidade 455 Ondas de translação 456 Orifícios 351 Orifícios afogados 360 p Parâmetros de forma 249 Perda de carga em orifícios 356 Perda de carga no ressalto 336 344 Perda de carga unitária 16 Perda de energia ou perda de carga 9 Perdas de carga localizadas 69 Perímetro molhado 222 Plano de carga absoluto 94 Plano de carga efetivo 94 Ponto de operação ou ponto de funcionamento 141 Potência do conjunto elevatório 125 Potência hidráulica 17 Pressão atmosférica 157 Pressão de vapor 157 Prisma de annazenamento 481 Problema dos três reservatórios 107 Programa CANAIS3EXE 262 Programa COEFEXE 230 Programa EXEMPLICl EXE 497 Programa REDEMEXE 181 Propagação de cheias em rios 481 Q Queda bruta 19 Queda útil da turbina 17 R Raio hidráulico 15 222 Razão de aspecto 250 Razão de aspecto m 254 Rede malhada 169 Rede ramificada 169 Redes de disttibuição de água 79 169 Redes malhadas método de Hardy Cross 178 Redes ramificadas 173 Registro de gaveta 76 Relação cotadescarga ou curva chave 476 Relações de semelhança 135 Remanso 415 Resistência do sistema 140 Ressalto hidráulico 224 335 Rotação específica 133 Rotação nominal 135 Rugosidade absoluta equivalente 246 Rugosidade equivalente da seção 276 Rugosidade relativa 14 s Seção contraída 73 Seções de mínimo perímetro molhado 254 Sifões 11 O Singularidades 423 Sistema em paralelo 103 Sistema cm sé1ic l 03 Sistema próbásico l3 Sistemas elevatórios 123 Sistemas hidráulicos de tubulações 93 Soleira nonnal 398 Step method 435 Subcamada limite laminar 30 Submergência 150 T Tensão de cisalhamcnto 28 Tensão de trabalho admissível do mate1ial 126 Tensão de vapor 1 1 O Tensão média de cisalhamcnto 15 239 Tensão tangencial 27 Tensões de Reynolds 33 Teorema de Bernoulli 7 Teorema de Tonicelli 354 Teorema dos ns 13 Teoria dos grandes orifícios 358 Traçado da tubulação 94 Tubo de Pitot 42 Tubos curtos cpm descarga livre 370 Tubos lisos 38 Tubos rugosos 39 iode aoalílíoo B Tubulação de recalque 123 127 Tubulação de sucção 123 V Valores da rngosidade absoluta equivaleme 49 Valores do coeficiente K 71 Valores do coeficiente K para diversos acessórios 77 Válvula de borboleta 76 Vazão de adução 171 Vazão de distribuição 172 Vazão equivalente 99 Vazão equivalente ou vazão fictícia 99 Vazão fictícia 174 Vazão unitária de dist1ibuição 97 Velocidade de atrito 15 16 38 243 Velocidade de cisalhamcnto 16 Velocidade econômica 130 Velocidade média temporal 32 Velocidades e vazõcs máximas cm redes de abastecimento 173 Ventosas 95 Vertedor Cipoletti 391 Vertedor de soleira espessa horizontal 396 Vertedor retangular de parede espessa 308 Vertedor retangular lateral 391 Vertedores 381 Vertedoresextravasores 398 Viscosidade de redemoinho 32 Viscosidade de turbulência 32