Anéis e Divisões de Polinômios

1 Dados fx 1 5x ex3 gx x 7x2 hx 1 3x2 x4 Zx calcule a fx gx fx gx e hx gx b fxgx fxhx e gxhx 2 Determine o quociente e o resto da divisão de fx x2 1 por gx x 1 em Z2x 3 Calcule o resto da divisão de fx x10 x9 x8 x7 x6 x5 x4 x4 x3 x2 x 1 por x 1 4 Decomponha fx x3 3x2 x 3 em fatores irredutiveis em Cx Rx Qx e Zx 5 Calcule o mdcfx gx em Rx para fx x3 6x2 x 4 e gx x5 6x 1 1 a fx gx 1 5x ex3 x 7x2 1 0 5 1x 0 7x2 e 0x3 1 6x 7x2 ex3 fx gx 1 5x ex3 x 7x2 1 0 5 1x 0 7x2 e 0x3 1 4x 7x2 ex3 hx gx 1 3x2 x4 x 7x2 1 0 0 1x 3 7x2 1 0x4 1 x 4x2 x4 b fxgx 1 5x ex3x 7x2 1x 17x2 5xx 5x7x2 ex3x ex37x2 x 7x2 5x2 35x3 ex4 7ex5 x 2x2 35x3 ex4 7ex5 fxhx 1 5x ex31 3x2 x4 11 13x2 1x4 5x1 5x3x2 5xx4 ex31 ex33x2 ex3x4 1 3x2 x4 5x 15x3 5x5 ex3 3ex5 ex7 1 5x 3x2 e 15x3 x4 5 3ex5 ex7 gxhx x 7x21 3x2 x4 x1 x3x2 xx4 7x21 7x23x2 7x2x4 x 3x3 x5 7x2 21x4 7x6 x 7x2 3x3 21x4 x5 7x6 2 fx x2 1 x2 I x2 I2 x Ix I gxx I logo o resto é zero 3 x10 x9 x8 x7 x6 x5 2x4 x3 x2 x 1 x 1 x9 2x8 3x7 4x6 5x5 6x4 8x3 9x2 10x 11 x10 x9 2x3 x8 x7 x6 x5 2x4 x3 x2 x 1 2x9 2x8 3x8 x7 x6 x5 2x4 x3 x2 x 1 3x8 3x7 4x7 x6 x5 2x4 x3 x2 x 1 4x7 4x6 5x6 2x4 x3 x2 x 1 5x6 5x5 6x5 2x4 x3 x2 x 1 6x5 6x4 8x4 x3 x2 x 1 8x4 8x3 9x3 x2 x 1 9x3 9x2 10x2 x 1 10x2 10x 11x 1 11x 11 12 Logo o resto é 12 fx x3 3x2 x 3 x3x2 1 x3x ix i Pois x3 3x2 x 3 x3 3x2 x 3 x 3 0 E i2 1 i2 1 1 1 0 Logo a decomposição em Cx é x3x ix i em Rx é x3x2 1 em Qx é x3x2 1 em Zx é x3x2 1 Primeiro x3 6x2 x 4 x3x2 5x 4 e x2 5x 4 é irredutível em R Mas x5 6x 1 x3x4 x3 x2 x 5 4 logo x1 não divide x5 6x 1 e x5 6x 1 x2 5x 4x3 5x2 29x 165 935x 661 logo x2 5x 4 não divide x5 6x 1 Portanto o mdc fx gx 1