Homomorfismo e Isomorfismo de Grupos

Verifique se cada uma das funções abaixo é um homeomorfismo de grupo a f R R fx x b f R R fx x a a R e a 0 Sejam G Z4 e H 0 2 Descreva o homomorfismo projeção canônica f G GH explicite Nf e Imf Identifique via isomorfismo os grupos abaixo a Z15Z 3Z 15Z b 3Z 15Z fab3abH3a3bH3aH3bHfafb Assim podemos determinar o núcleo de f fxH 3xHH15Z 3x 15Z 3x15K com KZ x5K x 5Z Logo Nf5Z Além disso observe que f é sobrejetiva pois os elementos de 3ZH são da forma 3KH com KZ ou seja para todo elemento 3KH existe KZ tal que fK3KH Logo Imf 3ZH Portanto pelo Teorema de Isomorfismo Z5Z 3Z15Z 4 Considere fZ Q tal que fxx1 Temos que f0011 Ou seja f manda o elemento neutro de Z no elemento neutro de Q No entanto f não é homomorfismo Vamos exibir um contracexemplo Sejam 12 Z temos f12f3314 623 1121f1f2 5 Temos que I360135 é um grupo cíclico de orden 36 Então os subgrupos de I36 serão subgrupos cíclicos de ordem d onde d é um divisor de 36 Observe que os divisores de 36 são 1234691218 e 36 assim os subgrupos de I36 serão 0 ordem 1 0 018 ordem 2 18 01224 ordem 3 12 Mostre que f Z Q fx x 1 mando o elemento neutro de Z no elemento neutro de Q porém f não é homomorfismo 091827 ordem 4 9 0612182430 ordem 6 6 048121620242832 ordem 9 4 03691215182124273033 ordem 12 3 0246810121416182022242628303234 ordem 24 2 01234343536 ordem 36 1 Z36 Determine todos os subgrupos de Z36