Atividade sobre Subgrupo Normal e Grupo Quociente

1 Descreva todas as classes laterais à esquerda e à direita de H em G quando G Z6 e H 0 3 2 Sejam G um grupo finito e H K G Mostre que G H G KK H 3 Determine todos os subgrupos de Z7 4 Descreva o grupo quociente GH quando G Z8 e H 0 2 4 6 5 Verifique se H a 0 0 a a R é subgrupo normal de GL2R Álgebra 2 1 Temos que Z6 012345 e H 03 Então as classes laterais a esquerda são H 3 H 03 1 H 4 H 14 2 H 5 H 25 Já as classes laterais a direita são H H 3 03 H 1 H 4 14 H 2 H 5 25 2 Sejam G um grupo finito e H K G Então temos pelo Teorema de Lagrange que G K G K G K G K 1H G H G H K H G H G K K H 3 Temos que Z7 1 2 3 4 5 6 então seus subgrupos são 1 1 2 2 4 1 3 3 2 6 4 5 1 Z7 4 4 2 1 5 5 4 6 2 3 1 Z7 6 6 1 4 O grupo quociente GH terá dois elementos H e H 1 em que H é o conjunto dos números pares módulo 8 e H 1 é o conjunto dos números ímpares módulo 8 5 GL2R é o grupo das matrizes invertíveis 2x2 com entrada das reais Vamos mostrar que H é subgrupo normal de GL2R Observe que todo elemento de H é da forma A a 0 0 a a1 0 0 1 aI2 com a R Assim dado M GL2R qualquer temos que para todo A H MAM¹ MaIM¹ aMIM¹ aI A Portanto H é subgrupo normal de GL2R