Exercicios sobre Grupos e Subgrupos

1 Verifique se R é grupo quando x y x y 1 2 Construa a tabela de operações para Z4 3 Determine o inverso de cada elemento de Z7 4 Considere os seguintes elementos de S4 f1 1 2 3 4 1 2 4 3 e f2 1 2 3 4 2 3 4 1 Calcule f1 f2 e f2 f1 e responda S4 é abeliano 5 Desenhe cada um dos elementos de R4 inicie com um quadrado de vértices 1 2 3 e 4 que pode ser chamado de e depois desenhe os quadrados correspondentes a a a2 e a3 Construa também a tabela de operações de R4 Grupos e Subgrupos 1 Para confirmar se R é um grupo precisamos verificar se i a operação é associativa ii se existe elemento neutro e iii se cada elemento possui inverso i x y z x y 1 z x y 1 z 1 x y z 1 1 x y z 1 x y z ii O elemento neutro será 1 pois x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 x iii Dado x R temos que o inverso de x é x 2 pois x x 2 x x 2 1 1 1 é o elemento neutro x 2 x x 2 x 1 1 Portanto R é um grupo 2 Tabela de operações de Z4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Obs 40 2351 3362 3 Considere Z7 onde Z7 1 2 6 os inversos são 1 1 1 O inverso de 1 e 1 6 1 6 6 1 1 1 O inverso de 6 é 6 2 3 8 1 2 4 1 O inverso de 2 é 4 3 5 15 1 O inverso de 3 é 5 Ƚo 4 é inverso de 2 e 2 é inverso de 4 Ƚo 5 é inverso de 3 e 3 é inverso so de 5 4 Temos que f1 f2 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 3 1 f2 f1 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 4 3 1 2 3 4 2 3 1 4 Observo que f1 f2 f2 f1 portanto S4 não é abeliano 5 Os elementos de R4 são e a a2 a3 Tabela de operações e a a2 a3 0 e a a2 a3 1 1 2 4 3 3 2 2 1 1 9