Calculo 4 - Lista 1 de Exerc cios

C´alculo 4 - Lista 1 de Exerc´ıcios Prof. Fabio Silva Botelho October 29, 2021 1 Exerc´ıcios 1. Calcule os limites indicados. (a) lim n→∞ 3n2 + 2n − 9 2 + 12n + n2, (b) lim n→∞ −4n 2 − 7n, (c) lim n→∞ 2n n + 4√n, (d) lim n→∞ 1 √n + 1, (e) lim n→∞ √ n + 10 − √n, (f) lim n→∞ √ n2 + 5n − n, (g) lim n→∞ √ n2 + 7n − √ n2 + 2n 2. Calcule lim n→∞ 3n + 1 7n + 3 e utilizando a defini¸c˜ao de limite prove formalmente o seu resultado. 3. Calcule as somas das s´eries indicadas ou indique quando elas s˜ao divergentes. 1 (a) ¥ (3) 2 n=0 (b) ¥ (5) 3 n=2 () . de" n=1 (a) . df + (-0)"). n=1 (c) s- 1 ra (4k + 1)(4k + 5) f) - Sra”, onde0<a<l. n=1 4. Lembrando que od In(1 + a) = [ Tig dx, e relambrando que para 0 < |z| < 1 temos que 1 1 = ao —] nn lta 1-(-2) d| "en, mostre que (a) = k+1 a 1 _ _ — n(l+a) = 5° (-1) 7 k=1 (b) n k n+1 _ —1 ref nase »| yet <5 2 (c) Com tais resultados, calcule a soma da série = 1 dD k=1 k (d) Calcule também a soma da série 1 1 4 1 1 4 2 2-22 3-23 4-24 (e) Considerando que l+a “1 In | —— ] =2 — jd n ($=) / 1-r com 0 < ja| < 1 mostre que l+a Sekt In { ——]=25 ——. " (; - *) 2 aEFI k=0 5. Mostre que as seguintes séries alternadas sao convergentes (a) — 1 1)" d| "— (b) = 1 So(-yy sen (;) n=1 n (c) oo 3 n —1)’——_.. d| ) n?a+5 (a) - S(t n=2 n 6. Prove formalmente que a série Ye 3 n=1 n é convergente. 3 7. Prove que lim a, = 0, n—-oo onde 7” dn = —. n! Dica: Prove que 77 0O<a,<=—-, ifn> 7. 7! n 8. Prove que lim apn = +00, n—-oo onde dn =n(V/n+1— Jn), Vn EN. 9. Sejam a,b > 0 e seja Cn = Va" +b", Vn EN. Mostre que lim c, = max{a, b}. n—-oo 10. Sejam ay,..,a, > 0 e seja Cn = Vay t+::-+az, Vn EN. Mostre que lim c, = max{aj,--- , ax}. Noo 11. Seja {x,} tal que z;=le 3 n =3 ———JTJ Yn EN. En4+1 + z, + 10 n (a) Mostre que existe 0 < c < 1, tal que lPn42 ~~ Ln+41| < Cl@n41 ~~ Ln|, Yn € N, e conclua que {x,,} é convergente. (b) Calcule lim 2p. nN—->0o 12. Seja {z,} C R uma sequéncia tal que x; = le x 1 ntl = 34+— 4+ ——, Vn EN. Trt =9F oS io 4 (a) Mostre que existe 0 < c < 1, tal que lPn42 ~~ Ln+41| < Cl@n41 ~~ Ln|, Yn € N, e conclua que {x,,} é convergente. (b) Calcule lim 2. nN—->0o 13. Seja {a,} CR tal que x; = V2 e Inti = V24+ 4%, Vn EN. Mostre que {z,,} é convergente e calcule o seu limite. Dica: Prove primeiro por inducéo que V2 < x, < 2,Vn EN. 14. Seja {x,} C R tal que 7; = a ondea>O0e Inst = VA4t4n, Vn EN. Mostre que {z,} é convergente e calcule o seu limite. 15. Seja {a,,} tal que a, >0e an lim 2“ =a <1. n>00 On Mostre que existe 0 <<c< len € N tal que An41 < Can, Vn > no. Prove também, que nesse caso, lim a, = 0. Noo 16. Seja a > 0. Prove que lim “ =0. noo n! Mostre também que n! lim — = 0. noo nN” 17. Seja {a,} C R uma sequéncia decrescente. Suponha que }*~°, a, é convergente. Sob tais hipdteses, prove que lim na, = 0. nN—->0o 5 18. Seja a € R tal que 0 < |a| < 1. Usando o testes da razao e da raiz, mostre que dona" n=1 é convergente. 19. Sejam}>~* , a, e D7, by séries tais que a, > 0, Vn Ee Ne . an a (a) Mostre que existe no € N tal que se n > ng, entao b,, > 0. (b) Mostre que )>*_, an é convergente se, e somente se, )>~~, b, 6 convergente. 20. Sejam S°*, dn e S7~, bn séries tais que b, > 0, Vn Ee Ne an lim —=c>0, ondeceER. noo by (a) Mostre que existe no € N tal que se n > no, entao ay, > 0. (b) Mostre que }>~°, a, é convergente se, e somente se, )>~, b, 6 convergente. 21. Sejam {a,} C Re {b,} C R sequéncias tais que a lim = —4. noo bp, Prove que )>~~, |a,| 6 convergente se, e somente se, )>~~, |b,| 6 convergente. 22. Seja {a,} uma sequéncia tal que lim a, =aeER. n—-oo Mostre que an lim t=!" = a, Novo N “ 23. Seja {yn} C R tal que y, > 0, Yn € N. Suponha que Sn = se n=1 Suponha também que {z,} Cc R é tal que _ In lim — =a. n—-oo Un Prove que lim c, = a, n> OCo onde ry tag+---+2 Cc, = 4 Vn €N. Yr + Y2 Fer + Yn 6 24. Sejam {xn} ⊂ R e {yn} ⊂ R sequˆencias tais que lim n→+∞ xn = a ∈ R e lim n→∞ xn yn = b ∈ R, onde b ̸= 0. Prove que lim n→∞ cn = b, onde cn = x1 + x2 + · · · + xn y1 + y2 + · · · + yn , ∀n ∈ N. 7