Lista Questoes Calc4 Resolvida-2022 1

Questão 1 Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sen^{10}(n^{2}x)}{n^{6} + x^{2}}. (a) Mostre que tal série é uniformemente convergente em \mathbb{R}. (b) Seja r > 0. Mostre que \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\sen^{10}(n^{2}x)}{n^{6} + x^{2}} \right)' é uniformemente convergente em [-r, r]. Conclua, justificando sua resposta, que \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sen^{10}(n^{2}x)}{n^{6} + x^{2}} \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\sen^{10}(n^{2}x)}{n^{6} + x^{2}} \right)', \forall x \in [-r, r], \forall r > 0. Questão 2 Seja 0 < \delta < 1 e seja \{f_{n} : [\delta, 1] \rightarrow \mathbb{R}\} onde f_{n}(x) = \frac{(3n + 5)x^{4} + x}{nx + 2}, \forall x \in [\delta, 1], \forall n \in \mathbb{N}. (a) Calcule (informalmente) h(x) tal que f_{n}(x) \rightarrow h(x), \forall x \in [\delta, 1] e prove formalmente que tal convergência é uniforme em [\delta, 1]. (b) Calcule \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{\delta}^{1} f_{n}(x) \, dx. Questão 3 Considere a série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8n}{2n^{2} + 1} x^{n}. (a) Obtenha o raio de convergência R > 0 de tal série. (b) Obtenha todo o sub-conjunto da reta real onde tal série é convergente. Questão 4 Seja f_{n} : [1, 8] \rightarrow \mathbb{R} uma sequência de funções onde f_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} k^{2} e^{-3kx}. Seja f : [1, 8] \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x), \forall x \in [1, 8]. Mostre que f é contínua em [1, 8]. Sugestão: Basta mostrar que a série em questão é uniformemente convergente em [1, 8]. Para isso use o teste da razão em x = 1. Questão 5 Utilizando o método de separação de variáveis, resolva a equação do calor \begin{cases} a \, u_{xx}(x,t) = u_{t}(x,t), \ \ \ \ \text{em } [0, L] \times [0, +\infty)\\ u(0, t) = u(L, t) = 0, \ \ \ \ \forall t \in [0, +\infty)\\ u(x, 0) = f(x), \ \ \ \ \forall x \in [0, L] \end{cases} Aqui a > 0, f é de classe C^{2} em [0, L] e tal que f(0) = f(L) = 0. 3) a) Teste da razao. U_n = \frac{8n}{2^n 2^{n+1}} x^n U_{n+1} = \frac{8(n+1)}{2^{(n+1)}2+1} x^{n+1} L:= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{8(n+1)x^{n+1}}{2^{(n+1)}3!} \cdot \frac{2n2^{n+1}x^n}{8n} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{2n2^{n+1}2^{n+1}}{2^{(n+1)+1}3} \cdot \frac{x}{n} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \left( \frac{x^2}{n^2} \right) \cdot \left(\frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} \cdot x \right) \right| = \frac{2}{2} |x| < 1 \cdots |x| < 1 Logo R = 1 b) verificando as extremidades: p/ x = 1: \lim_{n \rightarrow \infty} U_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{8n}{2n2^{n+1}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{8}{n} \cdot \frac{1}{n^2} = 0 \cdots converge. logo, converge p/ x \in [-1, 1] * Análogo p/ x := 1 \ (U_n \rightarrow 0 \text{ quando } n\rightarrow \infty) 4) teste da razao. U_k = K^3 \cdot e^{-3k} x U_{n+1} = (K^{(n+1)} e^{-3k(n+1)} x L := \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \frac{(K^{(n+1)} e^{-3k(n+1)} x}{K^3 e^{-3k} x} \right| = \lim_{k \rightarrow \infty} \left| \left(1 + \frac{3}{K} - \frac{3}{k^2} \cdot \frac{1}{k^3} \right) \cdot (e^{-3k}) \right| = |e^{-3k}| = e^{-3k} < 1 \rightarrow \cdots p/ x \in [1,0] e uniformemente convergente. como a sugestão sugere. 5) \alpha U_{x,t}(x,t) = U_x(x,t) u(0,t) = u(L,t) = 0 \forall t \in (0, +\infty) u(x,0) = f(x) \ x \in (0, L) \alpha > 0 \ \xi \epsilon \ C^2\ f(0) = f(L) = 0 u = XT - \alpha X''T = XT' \rightarrow \frac{X''}{X} = \frac{T'}{\alpha XT} = -\lambda \rightarrow \begin{cases} X'' + \alpha\lambda X = 0\\ T'' + \alpha\lambda T = 0 \end{cases} \lambda < 0 \ (solucao trivial) \lambda = 0 \ (solucao trivial) \lambda > 0 X'' + dx = 0 \rightarrow r^2 + d = 0 \rightarrow r = \pm i \sqrt{d} \rightarrow X = C_3 \cos \mu x \ + \ C_4 \sin \mu x X(0) : 0 \ C_3 \cdot 0 X(L)=0 \rightarrow C_3 \sin LU = 0 \rightarrow LU = n\pi ,\ n=0,1,\\ \rightarrow u= n\pi / L T'' + \alpha\lambda T = 0 \rightarrow T'' + \left(\frac{\alpha (n\pi/L)^2}{L} \right)^2 = 0 \rightarrow \eta(t) = C_5 \cos \left(\frac{n\pi}{L} x t \right) + C_6 \sin \left(\frac{n\pi}{L} x t \right) f(t) = f(x) = \cos \left(\frac{n\pi}{L} x t \right) \rightarrow U(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{b_1 \sin n\pi/L x}{\eta(t)}