Avaliaçaõ Antiga Resolvida-2022 2

(2) Precisamos demonstrar as auto-funções do poço infinito. Tomando a Eq. de Schrödinger independente do tempo: ĤΨ = EΨ -ℏ²/2m * ∂²/∂x²Ψ + VΨ = EΨ ∂²Ψ/∂x² + 2mE/ℏ²Ψ = 0 Ψ = Ψ(x) (1 dimensão) e k = √(2mE/ℏ²) Queremos soluções oscilantes: Ψ(x) = Asen(kx) + Bcos(kx) Condições de contorno: Ψ(0) = Ψ(a) = 0 ∴ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ(a) = 0 ⇒ Asen(ka) = 0 ⇒ ka = nπ ∴ √(2mE/ℏ²) a = nπ ⇒ En = n²π²ℏ²/2m a² (letra c) Ψn(x) = Asen(nπx/a) (Auto-funções) Normalizando Ψn : ∫₀ᵃ Ψn*Ψn dx = ||A||² ∫₀ᵃ sen²(nπx/a) dx = 1 ||A||² = 2/a ⇒ A = √(2/a) Ψn(x) = √(2/a) sen(nπx/a) (a) (b) Ψ₃ Ψ₂ Ψ₁ |Ψ₃|² |Ψ₂|² |Ψ₁|² 2nm 2nm E E E₃ E₂ E₁ E₃ E₂ E₁ (C) Temos En = 25eV: 25e = ℏ²/2m (nπ/a)² ⇒ n² = 2ma²25e/ℏ²π² ⇒ n² = 2·10⁻³⁰(2·10⁻⁹)²25·1,602176634·10⁻¹⁹ ─────────────────────────────── (6,62607015·10⁻³⁴)²/4 n² ≈ 291,94 ⇒ n ≈ 17,1 Podemos dizer que E₁₇ possui energia muito próxima de 25eV, ainda que nunca será exato. (3)(a) T = \left[1 + \frac{{\sinh^2\left(\sqrt{\frac{{2m}}{{\hbar^2}}(V_0-E)}\cdot a\right)}}{{4\frac{E}{V_0}\left(1-\frac{E}{V_0}\right)}}\right]^{-1} Tomando o limite do coef. de transmissão quando E \rightarrow V_0 \lim_{{E \rightarrow V_0^+}} T = \left[1 + \lim_{{E \rightarrow V_0^+}} \frac{{\sinh^2(k a)}}{{4\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})}}\right]^{-1} = \left[1 + \frac{1}{4\cdot 1\cdot (1-1^+)}\right]^{-1} = \left[1 + \frac{1}{4\cdot 1\cdot 0}\right]^{-1} = \left[1 + (\infty)\right]^{-1} = 0 O desenvolvimento é para fins de entendimento, mas o resultado deveria ser direto Analogamente, \lim_{{E \rightarrow V_0^-}} T = \left[1 + \lim_{{E \rightarrow V_0^-}} \frac{{\sinh^2(k a)}}{{4\frac{E}{V_0}(1-\frac{E}{V_0})}}\right]^{-1} = \left[1 + \frac{1}{4\cdot 1\cdot 0^+}\right]^{-1} = \left[1 + \infty\right]^{-1} = 0 \lim_{{E \rightarrow V_0}} T = 0 \quad (Não \ há \ transmissão) (b) E = 1eV, V = 2eV, a = 0,5nm T = \left[1 + \frac{{\sinh^2\left(k\cdot 0,5\cdot 10^{-9}\right)}}{{4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)}}\right]^{-1} = \left[1 + \sinh^2\left(\sqrt{2\cdot 9,1\cdot 10^{31}\cdot (2-1)e\frac{2\pi}{6,63\cdot 10^{34}}\cdot \frac{1}{2}\cdot 10^{-9}}\right)\right]^{-1} =[1 + \sinh^2(2,557)]^{-1} = [1 + 4,157]^{-1} \approx 0,024 T \approx 2,4\%.