Exercício 41 Resolvido-2022 2

Exercício 41 A Cia. Souza Cruz S.A. processa fumo para produção de cigarros e para exportação. Para tanto dispõe de quatro fábricas, cujas capacidades e custos de produção e estocagem estão apresentados no quadro 1. Fábrica Processamento de Fumo Estoque Fumo Bruto Estoque Fumo Processado Capacidade Custos Capacidade Custos Capacidade Custos (ton.mês) (R$/ton) (ton.mês) (R$/ton) (ton.mês) (R$/ton) Blumenau 240.000 10,30 1.500.000 8,10 1.000.000 5,30 Rio Negro 180.000 12,40 750.000 7,20 800.000 4,10 Cruz Alta 160.000 9,70 1.250.000 7,60 1.000.000 4,60 Uberaba 170.000 10,50 1.000.000 5,40 900.000 3,80 Quadro 1 - Fábricas, capacidades de processamento e estocagem e custos O fumo bruto é obtido junto às colônias de produtores de fumo em quatro estados brasileiros, de acordo com o cronograma de colheita apresentado no quadro 2. Produção de Fumo Bruto (1.000 ton) Mês RS SC PR MS Jan 230 230 120 210 Fev 150 0 110 0 Mar 0 0 0 0 Abr 0 0 100 0 Mai 0 0 0 0 Jun 0 110 0 0 Jul 140 250 130 150 Ago 180 360 240 250 Set 260 380 370 260 Out 280 370 400 250 Nov 380 350 420 200 Dez 350 230 380 120 Quadro 2 - Cronograma de colheita, por estado A empresa como um todo, estima que as vendas, tanto para produção de cigarros quanto para exportação, atinjam os valores apresentados no quadro 3. Mês Previsão de Vendas (ton) Jan 300.000 Fev 500.000 Mar 700.000 Abr 900.000 Mai 800.000 Jun 800.000 Jul 700.000 Ago 600.000 Set 600.000 Out 500.000 Nov 500.000 Dez 400.000 Quadro 3 - Previsão de venda mensal de fumo processado Para movimentar o fumo bruto a empresa utiliza diversos modos de transporte, que após avaliados determinaram os custos por tonelada transportada apresentados no quadro 4. Custo de Transportes (R$/ton) De Para Cruz Alta Blumenau Rio Negro Uberaba RS 7,20 10,80 12,00 26,00 SC 6,80 3,60 4,00 25,20 PR 14,40 10,80 9,40 4,80 MS 18,40 16,00 14,80 4,20 Cruz Alta 8,40 8,40 7,20 Blumenau 4,80 Rio Negro 10,00 7,20 Uberaba 22,80 18,40 17,20 Quadro 4 - Custo de transporte de fumo entre regiões produtoras e fábricas O fumo bruto, em geral, percorre o caminho das regiões produtoras para as fábricas, podendo, entretanto ser movimentado entre fábricas, se houver necessidade ou se os custos assim o determinarem. As vendas poderão ser atendidas a partir de qualquer uma das fábricas, mas se houver necessidade, por razões de capacidade de estocamento e/ou por razões de custo, o fumo processado poderá ser movimentado de uma fábrica para outra. O custo do fumo bruto nas regiões de produção são cotados por uma tabela única da empresa, e por questões de incentivo ao plantio, a empresa mantém uma política de comprar toda a produção, mesmo que ela não seja utilizada no processamento das fábricas. Assim, as quantidades excedentes de produção, apesar de serem compradas, são destruídas na própria origem. Em relação a este problema pede-se: a) Formule um modelo de programação linear e resolva-o usando o computador b) Analise o resultado obtido e faça um relatório para a direção da empresa propondo melhorias com vistas a redução de custos. Lista de Exercícios Pesquisa Operacional Problema 1 Resposta O processo de produção consideram um modelo linear para mini- mizar o custo. A produção é feita nos estados RS, SC, PR e MS. As variáveis são: 1. Chegam em Cruz Alta as seguintes variáveis: XRS,1,i, XSC,1,i, XPR,1,i, XMS,1,i, XBLU,1,i, XRNE,1,i, XUBE,1,i XRS,2,i, XSC,2,i, XPR,2,i, XMS,2,i, XCRU,2,i, XRNE,2,i, XUBE,2,i XRS,3,i, XSC,3,i, XPR,3,i, XMS,3,i, XCRU,3,i, XBLU,3,i, XUBE,3,i XRS,4,i, XSC,4,i, XPR,4,i, XMS,4,i, XCRU,4,i, XBLU,4,i, XRNE,4,i No mês i onde i ∈ {1, 2, . . . , 12}. A função custo no mês, que é a nossa função objetivo, é dada por zi = 7, 2XRS,1,i + 6, 8XSC,1,i + 14, 4XPR,1,i + 23, 4XMS,1,i + + 8, 4XBLU,1,i + 10XRNE,1,i + 22, 8XUBE,1,i + + 10, 8XRS,2,i + 3, 6XSC,2,i + 10, 8XPR,2,i + 16, 4XMS,2,i + + 8, 4XCRU,2,i + 7, 2XRNE,2,i + 18, 4XUBE,2,i + + 12XRS,3,i + 4XSC,3,i + 9, 2XPR,3,i + 14, 8XMS,3,i + + 10XCRU,3,i + 7, 2XBLU,3,i + 17, 2XUBE,3,i + + 26XRS,4,i + 25, 2XSC,4,i + 21, 6XPR,4,i + 10, 8XMS,4,i + + 22, 8XCRU,4,i + 18, 4XBLU,4,i + 17, 2XRNE,4,i Este acima é o custo de transporte, porém existem custos de estocagem e de produção. A estocagem é feita em cada uma das fábricas e os estoque iniciais são supostamente nulos. As variáveis QBLU,1, . . . , QBLU,11 são os estoque (sobra da produção do respectivo mês que ficará estocado). Os outros são: QRNE,1, . . . , QRNE,11 QCRU,1, . . . , QCRU,11 QUBE,1, . . . , QUBE,11 1 O estoque também pode ser em fumo já processado e transformado em ci- garros EBLU,1, . . . , EBLU,11 ERNE,1, . . . , ERNE,11 ECRU,1, . . . , ECRU,11 EUBE,1, . . . , EUBE,11 Ainda teremos as quantidades processadas PBLU,1, . . . , PBLU,11 PRNE,1, . . . , PRNE,11 PCRU,1, . . . , PCRU,11 PUBE,1, . . . , PUBE,11 As restrições de processamento, chegada e estocagem nos dá: QBLU,i + XRS,1,i+1 + XSC,1,i+1 + XPR,1,i+1 + XMS,1,i+1+ +XCRU,1,i+1 + XRNE,1,i+1 + XUBE,1,i+1 − PBLU,i+1 − QBLU,i+1 = 0 QBLU,0 = QBLU,12 = 0 QCRU,i + XRS,1,i+1 + X,1,i+1 + XPR,1,i+1 + XMS,1,i+1+ +XBLU,1,i+1 + XRNE,1,i+1 + XUBE,1,i+1 − PCRU,i+1 − QCRU,i+1 = 0 QCRU,0 = QCRU,12 = 0 QRNE,i + XRS,1,i+1 + X,1,i+1 + XPR,1,i+1 + XMS,1,i+1+ +XBLU,1,i+1 + XCRU,1,i+1 + XUBE,1,i+1 − PRNE,i+1 − QRNE,i+1 = 0 QRNE,0 = QRNE,12 = 0 QUBE,i + XRS,1,i+1 + X,1,i+1 + XPR,1,i+1 + XMS,1,i+1+ +XBLU,1,i+1 + XRNE,1,i+1 + XCRU,1,i+1 − PUBE,i+1 − QUBE,i+1 = 0 QUBE,0 = QUBE,12 = 0 Para todo i em {1, . . . , 12}. Estas relações contabilizam valores processados considerando o que chegou a fábrica e o que estava estocado. Do que é processado, apenas uma parte é consumida. Contabilizamos este valor fazendo PCRU,i + ECRU,i−1 − ECRU,i = CP1,i 2 PBLU,i + EBLU,i−1 − EBLU,i = CP2,i PRNE,i + ERNE,i−1 − ERNE,i = CP3,i PUBE,i + EUBE,i−1 − EUBE,i = CP4,i com as exigências CP1,1 + . . . + CP4,1 = 300.000 CP1,2 + . . . + CP4,2 = 500.000 CP1,3 + . . . + CP4,3 = 700.000 CP1,4 + . . . + CP4,4 = 900.000 CP1,5 + . . . + CP4,5 = 800.000 CP1,6 + . . . + CP4,6 = 800.000 CP1,7 + . . . + CP4,7 = 700.000 CP1,8 + . . . + CP4,8 = 600.000 CP1,9 + . . . + CP4,9 = 600.000 CP1,10 + . . . + CP4,10 = 500.000 CP1,11 + . . . + CP4,11 = 500.000 CP1,12 + . . . + CP4,12 = 400.000 Além disso temos as limitações de capacidade produtiva e de estocagem PBLU,i ≤ 240.000 PRNE,i ≤ 180.000 PCRU,i ≤ 160.000 PUBE,i ≤ 170.000 QBLU,i ≤ 1.500.000 QRNE,i ≤ 750.000 QCRU,i ≤ 1.250.000 QUBE,i ≤ 1.000.000 EBLU,i ≤ 1.000.000 ERNE,i ≤ 800.000 ECRU,i ≤ 1.000.000 EUBE,i ≤ 900.000 (a) O problema de programação linear, caso não restrinjamos a demanda mensal não pode ser resolvido no Excel e nem no Lingo. (b) Na ausência da resposta anterior, ficou inviável conluir. 3