Slide - Programação Linear Formulação de Modelos Pt 2- 2020-1

03 Programação Linear Formulação de Modelos 2020 Prof Sérgio F Mayerle 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 2 of 20 Problema de transportes Problema de contratação e treinamento de pessoal Problema de gestão financeira Problema de carregamento de veículos 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 3 of 20 Problema de transportes Uma empresa produz televisores em 3 fábricas São Paulo João Pessoa e Manaus Os pontos principais de revenda com as respectivas encomendas mensais a produção máxima mensal em cada fábrica e os custos de transportes das fábricas até as revendas para cada aparelho são apresentados no quadro abaixo Rio de Janeiro Salvador Aracajú Maceió Recife Capacidade unidmês São Paulo R 100 R 200 R 300 R 350 R 400 10000 João Pessoa R 400 R 200 R 150 R 120 R 100 5000 Manaus R 600 R 400 R 350 R 300 R 200 6000 Encomendas unidmês 6000 5000 2000 1000 3000 Determinar o número de unidades produzidas em cada fábrica e entregues a cada revenda a fim de minimizar o custo de transporte 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 4 of 20 Variáveis de decisão ijx quantidade mensal produzida na fábrica i e transportada para a revenda em j z Custo mensal total de transporte Restrições restrições de capacidade das fábricas restrição de atendimento das encomendas não negatividade Objetivo Minimizar o custo mensal total de transporte Modelo Matemático 3 5 1 1 5 1 3 1 13 15 0 ij ij i j ij i j ij j i ij Min z c x s a x Q i x D j x i j 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 5 of 20 Entrada LINGO MODEL Z MIN 1 X11 2 X12 3 X13 35 X14 4 X15 4 X21 2 X22 15 X23 12 X24 1 X25 6 X31 4 X32 35 X33 3 X34 2 X35 PRODSP x11 X12 X13 X14 X15 10000 PRODJP x21 X22 X23 X24 X25 5000 PRODMA x31 X32 X33 X34 X35 6000 DEMRJ X11 X21 X31 6000 DEMSV X12 X22 X32 5000 DEMAR X13 X23 X33 2000 DEMMA X14 X24 X34 1000 DEMRE X15 X25 X35 3000 END 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 6 of 20 Resultado LINGO Variable Value Reduced Cost X11 6000000 0000000 X12 4000000 0000000 X13 0000000 1500000 X14 0000000 2300000 X15 0000000 3000000 X21 0000000 3000000 X22 1000000 0000000 X23 2000000 0000000 X24 1000000 0000000 X25 1000000 0000000 X31 0000000 4000000 X32 0000000 1000000 X33 0000000 1000000 X34 0000000 08000000 X35 2000000 0000000 Row Slack or Surplus Dual Price Z 2520000 1000000 PRODSP 0000000 1000000 PRODJP 0000000 1000000 PRODMA 4000000 0000000 DEMRJ 0000000 2000000 DEMSV 0000000 3000000 DEMAR 0000000 2500000 DEMMA 0000000 2200000 DEMRE 0000000 2000000 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 7 of 20 Problema de contratação e treinamento de pessoal A diretora de pessoal de uma empresa de aviação comercial deve decidir quantas aeromoças deverão ser treinadas e contratadas nos próximos seis meses As necessidades expressas pelo número de aeromoçashorasdevôo são as seguintes 80000 em janeiro 90000 em fevereiro 70000 em março 100000 em abril 90000 em maio e 110000 em junho Leva um mês de treinamento antes que uma aeromoça possa ser posta em um vôo regular assim uma garota deve ser contratada pelo menos 1 mês antes que ela seja realmente necessária Cada moça treinada requer requer 100 horas de supervisão de uma aeromoça experiente durante o mês de treinamento de modo que são disponíveis 100 horas a menos para o serviço de vôo por aeromoças regulares Cada aeromoça experiente pode trabalhar até 150 horas em um mês e a empresa dispõe de 605 aeromoças no começo de janeiro A política da empresa é não demitir ninguém Porém no fim de cada mês aproximadamente 10 das aeromoças pedem demissão para se dedicarem a outras atividades e para se casarem Uma aeromoça experiente custa a empresa R 1500000 por mês enquanto que na fase de treinamento o custo é de somente R 900000 já incluindo os encargos legais Formule um modelo de programação linear para determinar a política ótima de contratação e treinamento da empresa e utilize um pacote de programação linear para obter a solução ótima Interprete a solução encontrada 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 8 of 20 Variáveis de decisão tx Quantidade de aeromoças treinadas no mês t ty Quantidade de aeromoças experientes no início do mês t Z Custo total de pessoal no período de planejamento Restrições Atendimento das necessidades de horas de vôo de cada mês Número inicial de aeromoças experientes Não negatividade na contratação de aeromoças Objetivo Minimizar o custo total de pessoal no período de planejamento Modelo Matemático 6 1 1 1 15000 9000 605 09 15 150 100 16 0 16 t t t t t t t t t t Min z y x s a y y y x t y x H t x t 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 9 of 20 Entrada LINGO MODEL Z MIN 15000 Y1 15000 Y2 15000 Y3 15000 Y4 15000 Y5 15000 Y6 9000 X1 9000 X2 9000 X3 9000 X4 9000 X5 9000 X6 N01 Y1 605 N02 Y2 09 Y1 X1 N03 Y3 09 Y2 X2 N04 Y4 09 Y3 X3 N05 Y5 09 Y4 X4 N06 Y6 09 Y5 X5 H01 150 Y1 100 X1 80000 H02 150 Y2 100 X2 90000 H03 150 Y3 100 X3 70000 H04 150 Y4 100 X4 100000 H05 150 Y5 100 X5 90000 H06 150 Y6 100 X6 110000 END Resultado LINGO Variable Value Reduced Cost Y1 6050000 0000000 Y2 6180957 0000000 Y3 5834298 0000000 Y4 7002315 0000000 Y5 6805556 0000000 Y6 7333333 0000000 X1 7359574 0000000 X2 2714361 0000000 X3 1751447 0000000 X4 5034722 0000000 X5 1208333 0000000 X6 0000000 3234322 Row Slack or Surplus Dual Price Z 06283327E08 1000000 N01 0000000 6900000 N02 0000000 9000000 N03 0000000 1562500 N04 0000000 1838542 N05 0000000 1953559 N06 0000000 2001483 H01 3390426 0000000 H02 0000000 6625000 H03 0000000 9385417 H04 0000000 1053559 H05 0000000 1101483 H06 0000000 2334322 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 10 of 20 Problema de gestão financeira No início de cada mês depois de receber o salário do mês anterior o Sr McMoney aplica parte do que ganhou R 1000000 em investimentos Excepcionalmente no dia 1 de janeiro de 2021 ele poderá aplicar uma quantia maior R 3000000 que irá obter do resgate de outros investimentos e remunerações extras de final de ano Ele dispõe de três alternativas a Alternativa 1 aplicação sempre no início do mês com prazo mensal e rendimento de 100 ao mês já descontados os impostos b Alternativa 2 aplicação sempre no início do mês com prazo bimestral e rendimento de 221 ao bimestre já descontados os impostos c Alternativa 3 aplicação sempre no início do mês com prazo trimestral e rendimento de 364 ao trimestre já descontados os impostos Se for interessante o Sr McMoney poderá utilizar um empréstimo bancário mensal com juros de 15 ao mês Sabese que parte do dinheiro aplicado deverá ser utilizado para pagar dívidas contraídas pelo Sr McMoney durante anos anteriores conforme mostra o quadro abaixo Data Pagamento de Dívidas 01022021 R 2500000 01052021 R 3100000 01092021 R 1700000 01112021 R 1000000 Determine o melhor plano de investimento ao longo do ano de 2021 e responda o que se pede construa e apresente o plano de investimentos quanto o Sr McMoney terá e 1º de janeiro de 2022 o empréstimo bancário é interessante Por que 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 11 of 20 Variáveis de decisão Os empréstimos pagam taxas efetiva de 15 ao mês Considerando as três alternativas de aplicação temse Alternativa Meses de Aplicação Taxa de Aplicação Taxa de Empréstimo 1 1 100 150 2 2 221 302 3 3 364 457 Assim nenhuma alternativa de aplicação paga a taxa efetiva de um eventual empréstimo e o fluxo de caixa positivo não exige que se faça empréstimos Assim esta variável não será considerada no modelo Sejam as variáveis x t k Quantia aplicada na alternativa k no início do mês t tS Quantia disponível no início do mês t após o resgate e aplicações Restrições Balanço de capital em cada mês Não negatividade Objetivo Maximizar a disponibilidade de capital ao final do período de planejamento 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 12 of 20 Modelo Matemático 12 121 112 103 1 11 12 13 2 1 11 21 22 23 3 2 21 12 31 32 33 4 3 31 22 13 41 101 10221 10364 30000 15000 101 10000 101 10221 10000 101 10221 10364 Max z S x x x s a S x x x S S x x x x S S x x x x x S S x x x x 42 43 5 4 41 32 23 51 52 53 6 5 51 42 33 61 62 63 7 6 61 52 43 71 72 73 8 7 7 21000 101 10221 10364 10000 101 10221 10364 10000 101 10221 10364 10000 101 x x S S x x x x x x S S x x x x x x S S x x x x x x S S x 1 62 53 81 82 83 9 8 81 72 63 91 92 93 10 9 91 82 73 101 102 103 11 10 101 92 83 11 10221 10364 7000 101 10221 10364 10000 101 10221 10364 101 10221 10364 x x x x x S S x x x x x x S S x x x x x x S S x x x x 1 112 113 12 11 111 102 93 121 122 123 11 12 13 121 122 123 1 12 10000 101 10221 10364 0 0 x x S S x x x x x x x x x x x x S S 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 13 of 20 Entrada LINGO MODEL Z MAX S12 101 X121 10221 X112 10364 X103 M01 S01 30000 X011 X012 X013 M02 S02 15000 S01 101 X011 X021 X022 X023 M03 S03 10000 S02 101 X021 10221 X012 X031 X032 X033 M04 S04 10000 S03 101 X031 10221 X022 10364 X013 X041 X042 X043 M05 S05 21000 S04 101 X041 10221 X032 10364 X023 X051 X052 X053 M06 S06 10000 S05 101 X051 10221 X042 10364 X033 X061 X062 X063 M07 S07 10000 S06 101 X061 10221 X052 10364 X043 X071 X072 X073 M08 S08 10000 S07 101 X071 10221 X062 10364 X053 X081 X082 X083 M09 S09 7000 S08 101 X081 10221 X072 10364 X063 X091 X092 X093 M10 S10 10000 S09 101 X091 10221 X082 10364 X073 X101 X102 X103 M11 S11 S10 101 X101 10221 X092 10364 X083 X111 X112 X113 M12 S12 10000 S11 101 X111 10221 X102 10364 X093 X121 X122 X123 END Resultado LINGO Variable Value Reduced Cost S12 0000000 01000000E01 X121 1000000 0000000 X112 1036400 0000000 X103 3990321 0000000 S01 0000000 01142321E01 X011 2514894 0000000 X012 0000000 02287718E02 X013 4851065 0000000 S02 0000000 01576148E01 X021 0000000 04495878E02 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 14 of 20 X022 0000000 04495878E02 X023 1040042 0000000 S03 0000000 01333663E01 X031 0000000 02204402E02 X032 1000000 0000000 X033 0000000 02204402E02 S04 0000000 01102201E01 X041 0000000 0000000 X042 0000000 04381356E02 X043 1502764 0000000 S05 0000000 01733489E01 X051 0000000 06486226E02 X052 0000000 04337976E02 X053 0000000 04337976E02 S06 0000000 01074125E01 X061 3245851 0000000 X062 0000000 02151141E02 X063 6754149 0000000 S07 0000000 01482052E01 X071 0000000 04227476E02 X072 0000000 04227476E02 X073 2885296 0000000 S08 0000000 01254044E01 X081 0000000 02072800E02 X082 0000000 0000000 X083 1000000 0000000 S09 0000000 01036400E01 X091 0000000 0000000 X092 0000000 02075590E02 X093 0000000 0000000 S10 0000000 01430000E01 X101 0000000 04079000E02 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 15 of 20 X102 0000000 04079000E02 S11 0000000 01210000E01 X111 0000000 02000000E02 X113 0000000 1022100 X122 0000000 1010000 X123 0000000 1010000 Row Slack or Surplus Dual Price Z 6204873 1000000 M01 0000000 1153744 M02 0000000 1142321 M03 0000000 1126560 M04 0000000 1113223 M05 0000000 1102201 M06 0000000 1084866 M07 0000000 1074125 M08 0000000 1059304 M09 0000000 1046764 M10 0000000 1036400 M11 0000000 1022100 M12 0000000 1010000 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 16 of 20 Problema de carregamento de veículos Um navio tem três compartimentos de carga proa centro e popa As capacidades limites são Compartimento Capacidade ton Volume m3 Proa 20000 30000 Centro 30000 40000 Popa 15000 20000 A empresa de navegação proprietária do navio pode aceitar toda ou parte das seguintes cargas Carga Quantidade ton Densidade tonm3 Receita Rton A 60000 080 600000 B 40000 110 800000 C 20000 070 500000 Para preservar o equilíbrio do navio o peso em cada compartimento deve ser proporcional a sua capacidade em toneladas Formule um modelo para determinar como carregar o navio de modo a maximizar a receita total Variáveis de decisão ijx quantidade de produto i alocado no compartimento j em ton fator de proporcionalidade no carregamento do navio z Receita total com o transporte Restrições restrições de capacidade do compartimento em ton restrições de capacidade do compartimento em m3 restrição de disponibilidade de cargas restrição de proporcionalidade de carga nos compartimentos não negatividade Objetivo Maximizar a receita total com o transporte 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 17 of 20 Modelo Matemático 3 1 3 1 13 13 0 13 0 1 C i ij i A j C ij j i A C i ij j i A ij i j ij Max z R x s a x P j d x V j x Q i A C x i A C j 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 18 of 20 Entrada LINGO MODEL Z MAX 6000 XA1 6000 XA2 6000 XA3 8000 XB1 8000 XB2 9000 XB3 5000 XC1 5000 XC2 5000 XC3 RP01 XA1 XB1 XC1 20000 Alfa RP02 XA2 XB2 XC2 30000 Alfa RP03 XA3 XB3 XC3 15000 Alfa RV01 080 XA1 110 XB1 070 XC1 30000 RV02 080 XA2 110 XB2 070 XC2 40000 RV03 080 XA3 110 XB3 070 XC3 20000 RQA XA1 XA2 XA3 60000 RQB XB1 XB2 XB3 40000 RQC XC1 XC2 XC3 20000 RALF Alfa 1 END 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 19 of 20 Resultado LINGO Variable Value Reduced Cost XA1 0000000 0000000 XA2 2500000 0000000 XA3 0000000 1000000 XB1 2000000 0000000 XB2 5000000 0000000 XB3 1500000 0000000 XC1 0000000 1000000 XC2 0000000 1000000 XC3 0000000 2000000 ALFA 1000000 0000000 Row Slack or Surplus Dual Price Z 04850000E09 1000000 RP01 0000000 6000000 RP02 0000000 6000000 RP03 0000000 7000000 RV01 8000000 0000000 RV02 1450000 0000000 RV03 3500000 0000000 RQA 3500000 0000000 RQB 0000000 2000000 RQC 2000000 0000000 RALF 0000000 04050000E09 03 Programação Linear Formulação de Modelos EPS7005 Pesquisa Operacional 2020 Prof Sérgio F Mayerle Page 20 of 20 F I M 2020 Prof Sérgio Mayerle