Unidade 1 1 lei da Termodinamica-2020 1

Universidade Federal de Santa Catarina Cursos de Engenharia Mecânica e de Produção Mecânica Departamento de Engenharia Mecânica Centro Tecnológico Unidade 1: 1a lei da termodinâmica Prof. Júlio César Passos Email: julio.passos@ufsc.br Revisada em 1o de dezembro de 2021. PLANO DA AULA • 1a Lei para sistemas fechados • Trabalho de expansão de um meio elástico • Trabalho de expansão de um gás perfeito • Calor específico • Equação de Mayer • Expansão não resistida • 1a Lei para sistemas abertos • Processo de estrangulamento adiabático • 1a Lei para processos em regime uniforme A 1ª Lei para sistemas fechados Consideremos três experimentos simples. 1o Experimento (tanque isolado) 2o Experimento 3o Experimento E  W 2 1 1 2 W E E E     E  Calor, 2 1 1 2 Q E E E     Q E  Calor, Q W 2 1 2 1 1 2 W Q E E E      gás gás gás W Q dE     1a Lei na forma diferencial: A 1ª Lei para sistemas fechados (cont.) 1a Lei, na forma diferencial: E m e /  W Q dU     g z V u e    2 2 1a Lei na forma específica: U m u /  Desprezando-se as variações de energia cinética e energia potencial macroscópicas: u e U E   ; w q du    Q m q /  W m w /  w q de    Representação esquemática Para a energia interna. In: S.R. Turns (2006) Nível microscópico . . . rot vibr trans U U U U    Cinética Cinética Potencial + Cinética O experimento de Joule O experimento de Joule: determinação do equivalente mecânico do calor W dU   termômetro H M 0,84 m x 0,34 m in Joule (1878) Atrito em líquidos Trabalho de expansão de um meio elástico W PdV   P V           2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 PdV A Adx F Fdx W W  V1 V2 F gás Processo de expansão (ou compressão) de um meio elástico (gás ou vapor) 1o caso: Cte PV  V Cte P           1 2 1 1 2 1 1 2 ln V V PV V dV Cte W 2 2 1 1 PV PV Cte   sist P P  em equilíbrio! A: área do pistão 2o caso: Processo politrópico de um meio elástico qualquer Processo politrópico (do grego, várias formas) de um gás ou vapor: Substituindo a equação, acima, na eq. do trabalho, ver Slide anterior, e resolvendo a integral, chega-se a: Cte PV n      n n n n P V PV sendo Cte n V Cte V W 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ; 1                    1 ; ; 1 1 1 1 2 2 ) 1( 1 1 1 ) 1( 2 2 2 1 2               n n com n PV V P n V PV V P V W n n n n Finalmente, substituindo-se as duas expressões para o termo Cte, na equação anterior, chega-se a: 3o caso: Processo de expansão politrópica de um gás perfeito: Cte PV n  1 ; ; 1 1 1 2 2 1 2         n n com n PV P V W 3.1. mRT PV  1 n 3.2. Outras equações equivalentes também podem ser obtidas, ao se substituir a equação de gás perfeito: na equação do trabalho para um processo politrópico, por exemplo:   1 ; ; ) 1( 1 2 1 2          n n com T T n mR W Cte mRT PV   3.3. Processo de expansão (ou compressão) isotérmica de um gás perfeito. Chega-se à mesma eq. do 1o caso, com n=1. Processo em equilíbrio mecânico W  PdV  PdV dU Q    Definição de entalpia: PV U H   1a Lei Na forma específica: Pv u h   (1) Eq. (1) VdP dH Q    Pdv du q    vdP dh q    (2) (3) (4) As Eqs. (3) e (4) são formas equivalentes para a 1a Lei. Importante: no equilíbrio mecânico: P=Psist Capacidade térmica e calor específico   C J K ou J C dT Q o/ / ;    C Capacidade térmica, C (kJ/K): Definição: É a quantidade de energia necessária para aumentar de 1 oC (ou 1 K) a temperatura de uma determinada quantidade de massa de um corpo. Calor específico, c (kJ/(kg K)) ou (kJ/(kg oC)) : o que equivale a uma capacidade térmica específica.   J kg K ou J kg C c dT Q m m C c o sist sist / / ; 1     dT q c m Q q sist       (5)  1  2 T mc T U Q v v     v v T u c        Calor específico, a volume constante: vc cte V U  Qv   T c T c T u q v v v       1 2 = Cte ou valor médio vc Valor médio: v v dT du c      Valor instantâneo: Da Eq. (1), após integração: Calor específico, a volume constante: (cont.) dv v u dT T u du T v               Partindo da relação funcional para a energia interna específica: Logo, ( , ) u T v u  v v T u dT du        Da 1a Lei, v v v v T u dT du dT q c Da Eq Pdv du q                   5), .( Eq. (6) vc Pdv du qP    P P T h c        Calor específico, à pressão constante: P c P = Cte ou valor médio c Valor médio: P P dT dh c      Valor instantâneo: P v u qP     Após integração: Da 1a Lei:     2 1 1 2 1 2 ; P P v P v u u qP          h h h Pv u P v u qP         1 2 1 1 1 2 2 2 h ; T c q p P     cte P U  QP F W Po Da Eq. (5): Calor específico, à pressão constante: dP p h dT T h dh T p                 Partindo da relação functional para a entalpia específica: Logo, ( , ) h T P h  P P T h dT dh        Da 1a Lei, P P P P T h dT dh dT q c Da Eq vdP dh q                   5), .( Eq. (7) cP cp e cv para Líquidos e Sólidos Da definição de entalpia: pv u h   Sendo muito pequeno, tem-se: c c c v P   v v P c c du dh u h      Exemplo: Água líquida a 25 oC Na tabela de propriedades da água saturada, com entrada em temperatura. kJ kg h kJ kg u kg m kg m v l l l l / ,83 104 / ,83 104 / 1000 / 0,001003 3 3       kJ kg c c v P /  ,418  Equação de Mayer: Da definição de entalpia: pv u h     d(RT) du d pv du dh     Das definições de cv, Eq. (6), e cp, Eq. (7):   R c c R c c R c c R dT c c d RT c dT dT c v P v P v P v P v P               0 0 ) ( (Equação de Mayer) para um gás perfeito: cp – cv = R v P c c k  , varia pouco com a temperatura. p/ Gases Monoatômicos, k=1,667 p/ Gases Diatômicos e o Ar, k=1,4 (8) R c c v P   (Equação de Mayer na base molar) Curiosidade: para o CO2 próximo à temperatura crítica cp Observam-se picos altos para o cp, em função da temperatura, na vizinhança da temperatura crítica. O valor do pico diminui à medida que a pressão aumenta. Processo de expansão não resistida Lucien Borel, chama este problema de experimento de Gay-Lussac - Joule 2 - estado final 1 - estado inicial Tanques rígidos (A e B), bem isolados e fechados      0 dU W dU Q   1a lei para sistemas fechados (A+B): 0 ;0   W Q   2 1 U U  1 1 1 1 A A A m u U U        2 2 2 2 2 2 2 B B A A B A m u m u U U U 2 2 2 1 2 A B A A sist m m m m m      2 1 2 1 T T u u A A    gás perfeito vácuo absoluto B A Da equação de gás perfeito 1 ; 1 RT m PV A  sist      2 2 RT m V P V sist B A 5,0 1 2    B A A V V V P P B A B A V V Exemplo 1: Sistemas fechados (P. 4.116, 5a ed., Çengel e Boles) Um tanque rígido (A) contendo 0,4 m3 de ar a 400 kPa e 30 oC está conectado por uma válvula a um arranjo cilindro e pistão (B) com zero de espaço morto. A massa do pistão é tal que é necessária uma pressão de 200 kPa para elevar o pistão. A válvula é, então, ligeiramente aberta e é permitido o escoamento de ar para o cilindro até que a pressão, no tanque, caia a 200 kPa. Durante o processo, calor é cedido pela vizinhança ao tanque de tal modo que todo o ar é mantido a 30 oC durante todo o tempo. Determine o calor transferido ao ar. ECE: Da Eq. (1): RT P V m m m A A A sist Ar 1 1 .    W dU Q     Ar T const. Q A B VA=0,4 m3 PA= 400 kPa TAr= 30 oC=Cte Pressão para movimentar o pistão= 200 kPa Podemos tratar o ar como gás perfeito (GP). Cálculo da massa do Sistema (=massa de ar) kg msist ,1839 303,15 ,287 0 0,4 400 .     2 1 2 1 W U Q    ) ( 1 2 . u u m U sist    Como TAr=Cte= 30 oC e para um GP u=u(T), então 0 1 2    U u u 3 . 0,8 200 303,15 0,287 ,1839 m P RT m V Ar sist Ar      3 2 0,4 0,4 0,8 m VB    Considerando um processo isobárico em quase equilíbrio, no setor B. 2 1 2 1 W Q  2 0 1 2 200 2 B V V PdV W B    No estado final, todo o sistema estará a 200 kPa e 30 oC kJ V W B 80 0,4 200 200 2 2 1      kJ Q 80 2 1  Admitindo-se que a hipótese de “quase equilíbrio, no setor B”, seja muito forte, poderemos considerar p=200 kPa como sendo a pressão externa sobre o pistão. 2 1 2 . ,4 0 . 0 0 . 1 2 80 0,4 200 . 2 2 Q kJ V P dV P dV P W B ext V ext V ext B B           1a Lei para Sistemas Abertos (ou Volume de Controle) Aplicando-se o Teorema de Transporte de Reynolds para se obter a: ( ) ( ) t m m t m VC e sist   Equação de Conservação da massa (ECM) (ou da Continuidade): Por definição, a massa do sistema é constante: ) ( ) ( t t m m t t m VC s sist       Cte msist  s e VC VC m m t m t t m      ( ) ) ( ( t), e aplicando o limite de   t  0 s e VC m m dt dm  . . (9) Equação de Conservação da massa (cont.) Para volumes de controle, com N entradas e M saídas:       M i s N i e VC m m dt dm 1 1 . . Caso particular importante: regime permanente:  0; dt dmVC .     M i s N i e m m 1 1. (10) (11) Equação de Conservação da Energia (ECE) Para volumes de controle, com várias entradas e saídas: EVC (t) ) ( t EVC t   Q Q W W  mee  s me gz V u e    2 2 1a Lei para sistemas fechados: 1 2 E E E W Q      No instante inicial: ( ) ) 2 ( ) ( 2 1 t E gz V m u E t E VC e e      No instante final: s s VC gz V m u t t E t E t E ) 2 ( ) ( ) ( 2 2          (12) Substituindo E1 e E2, na Eq. (12), e Equação de Conservação da Energia (cont.) W Q gz V m u gz V m u dt dE s s e e VC             ) 2 ( ) 2 ( 2 2 . . . . Fazendo W=WVC+Wesc . . . e e e e esc esc e m Pv W dt dW    ., , s s s esc s esc s m P v W dt dW   ., , . . ; . . (13) Substituindo as Eqs. (14), (15’) e (15’’) em (13), chega-se a: (14) (15’) (15’’) VC s s e e VC W Q gz V Pv m u gz V Pv m u dt dE               ) 2 ( ) 2 ( 2 2  h h  VC s s e e VC W Q gz V m h gz V m h dt dE             ) 2 ( ) 2 ( 2 2 . . . . . . . . (17) (16) Equação de Conservação da Energia (cont.) . . . . VC s M s e N e VC W Q gz V m h gz V m h dt dE                 ) 2 ( ) 2 ( 2 1 1 2 1 1 No regime permanente: 0 ) 2 ( ) 2 ( ; 0 2 1 1 2 1 1              VC s M s e N e VC W Q gz V m h gz V m h dt dE No regime permanente, com Q=0 e W=0:, Trocador de calor adiabático: s M s e N e gz V m h gz V m h ) 2 ( ) 2 ( 2 1 1 2 1 1          Desprezando-se as variações de energia cinética e potencial, chega-se a: s M s e N e m h m h      1 1 1 1 . . . . . . . . (18) (19) (19’) (19’’) . . Processo de estrangulamento adiabático s M s e N e V m h V h m 2 ) ( 2 ) ( 2 1 1 2 1 1        EC  0 Desprezando-se as variações de energia cinética: . (N=M=1) Válvula fechada Válvula aberta Simplificações: Regime permanente:  0 EP  0 dt dEVC Escoamento horizontal, variação de energia potencial nula: Processo adiabático:  0 Q O escoamento por uma válvula, ou filtro, etc. pode ser considerado adiabático. ; Sem trabalho: WVC  0 . . . s e m  m ;. . 2 2 2 2 s s e e V h V h     s e  h  h Trocador de calor (TC) com mistura  0 EC TC com mistura das correntes 1 e 2 Simplificações: Regime permanente;  0 EP Processo adiabático;  0 Q VC  0 W . e 3 3 2 2 1 1 m h m h m h   ECE ECM 3 2 1 m m m   . . . . . . 1 2 3 .. . s M s e N e m h m h      1 1 1 1 . . Trocador de calor (TC) sem mistura EC  0  0 EP Processo adiabático;  0 Q VC  0 W . e ECM .. . 1 3 2 4 Regime permanente . . . 2 1 m m  4 3 m m  . 1a Lei, Eq. (19’) 4 4 2 2 3 3 1 1 m h m h m h m h    s s e e m h m h    . ) ( ) ( 3 4 3 2 1 1 h m h h m h    . . . . . . . Imagens de trocador de calor do tipo casco e tubo (sem mistura) Trocador de calor (TC) do tipo casco e tubo (shell and tube), com uma passagem pelo casco e duas pelos tubos.. TC do tipo casco e tubo (shell and tube), com uma passagem pelo casco e uma pelos tubos. Chicanas (ou defletores do escoamento) (Baffles, em inglês) Exemplo 2: Trocador de calor sem mistura 0,5 kg/s de vapor d’água, à pressão de 2 bar e título de 95%, deve ser condensado em um trocador de calor sem mistura, bem isolado. O fluido de resfriamento é a água extraída de um rio que, por questões ambientais, não pode sofrer aquecimento superior a 3 oC, e que entra, no TC, à 15 oC. Esboce o processo de condensação do vapor em um diagrama T-v. Calcular a vazão de água e a taxa de calor cedido pelo vapor à água. Propriedades termodinâmicas: Vapor saturado (tabela com entrada em pressão): P3=2 bar=2x105 Pa=200 kPa, T3=T4=Tsat(200 kPa)= 120,21 oC, hl= 504,71 kJ/kg, hlv= 2201,6 kJ/kg, h3= hl+x3hlv= 504,71 +0,95X2201,6= 2596,23 kJ/kg, h4= hl= 504,71 kJ/kg Água (líquido saturado, tabela com entrada em temperatura): T1=15 oC, h1= 62,98 kJ/kg; T2=18 oC, (interpolando) h2= 75,54 kJ/kg; cpl= 4,18 kJ/kgK Água T2= 18 oC Vapor, x3=95% (condensado) Líquido Saturado, x4=0 T3= 120,21 oC T4= 120,21 oC TC: Condensador ECM ECE: Da Eq. (19’), ver slide anterior. ? 2 1 m.  m  .    s s e e m h m. h . kg s m m / 0,5 4 3  .  . 4 4 2 2 3 3 1 1 m h m h m h m h    . . . . ) ( ) ( 4 3 3 1 2 1 h m h h m h    . . .     kg s h h h m h m / 83,26 -62,98 75,54 2596,23-504,71 ,5 0 ) ( ) ( 1 2 4 3 3 1       . T(oC) v (m3/kg) x 0 1 0,95 x x 4 3 120,21 T(oC) 120,21 15 18 vapor comprimento do TC Cálculo da variação de entalpia da água, utilizando o calor específico médio: kJ kg T T c h h h pl / 12,54 4,18 (18 15) ) ( 1 2 1 2          Neste caso: kg s m / 1  83,39 . O que equivale a uma diferença muito pequena, de apenas 0,15%. O comprimento do TC poderia ser obtido por meio dos procedimentos, equações e correlações empíricas da disciplina de Transmissão de Calor. Cálculo da taxa de calor cedido pelo vapor à água: 2596,23) 0,5 (504,71   vaporágua  Q Neste caso, o calor é positivo pois o VC que contém a corrente de água fria, recebe calor. Observação: A vazão da água de resfriamento foi calculada utilizando-se um único volume de controle envolvendo todo o trocador de calor, ou seja, as duas correntes de fluido: quente (vapor) e frio (água). Para se calcular a taxa de calor que é transferido do vapor à água, deve-se utilizar um volume de controle envolvendo a corrente quente (vapor) ou a corrente fria (água), conforme mostrado no esquema da figura, abaixo. Qvapor-água água vapor 3 4 2 1 ) ( 3 4 3 h m h W Q VC    . . . ) ( 1 2 1 h m h W Q VC    . . . Da Eq. (19), para uma só corrente: kW Q água vapor  1045,76  O sinal negativo é coerente com a convenção de sinais quando o calor sai do VC vapor. Utilizando-se um volume de controle que envolve a corrente de água: kW h m h Qágua 1045,75 62,98) (75,54 83,26 ) ( 1 2 1       É interessante observar que na nossa primeira solução, com um único VC envolvendo as correntes de fluido quente e frio, . De fato, . . . .  0 Q.  0  água vapor Q Q. . Propriedades do CO2; Tab. A20 ) ( e s VC h m h W Q    . . . Da Eq. (19), para uma só corrente: Exemplo 3: Compressão de CO2 (P. 5.52, 5a ed., Çengel e Boles) Dióxido de carbono entra em um compressor adiabático a 100 kPa e 300 K, com vazão de 0,5 kg/s, e sai a 600 kPa e 450 K. Despreze as variações de energia cinética e determine: a) a vazão volumétrica de dióxido de carbono, na entrada do compressor; b) a potência consumida. Comp. W. Pe= 100 kPa Te= 300 K, Ps= 600 kPa Ts= 450 K, Compressor de CO2 he= 9431 kJ/mol, Massa molar: M=44,01 kg/kmol hs=15483 kJ/mol, R=0,1889 kJ/kg.K kW WComp 68,77 9431) (15483 ,01 44 1 0,5       a) e e  mv kg m P RT v e e / 0,5667 100 300 0,1889 ; 3     b) . . kW WComp 68,77  s m e / 0,28 0,5667 0,50 3    . Processos em regime (transiente) uniforme Integrando as equações de conservação: da Massa, Eq. (9), e da Energia, Eq.(17). Exemplo de aplicação: carregamento (ou enchimento) de um tanque  VC t t VC m m dt dt dm 1 2 2 1        ECM, caso geral: e t t e m dt dt dm       2 1 s t t s m dt dt dm       2 1 ;   s e VC m m m m    1 2 (20)          M i i s N i e i VC m m m m 1 , 1 , 1 2 (21) Para um volume de controle com N entradas e M saídas: Processos em regime (transiente) uniforme (cont.)    VC VC t t VC m e m e E E dt dt dE 1 1 2 2 1 2 2 1          ECE, caso geral: 1 2 1 1 1 2 gz V u e    Com: 2 2 2 2 2 2 gz V u e     VC e e s s VC m e m e gz V m h gz V m h W Q 1 1 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 (            (22) Processos em regime (transiente) uniforme Tanque vazio, no instante inicial: 2 2 0 ; u e EP     Processo adiabático:  0 Q Exemplo de aplicação: carregamento de um tanque, inicialmente, vazio, termicamente bem isolado. VC  0 W  0 EC ECM 0 0; 1 1   E m e VC m m  , 2 Processo de carregamento: s  0 m ECE   VC e VC e e u h m u m h 2, 2 2    Exemplo 4: Regime uniforme. (P. 5.122, 5a ed., Çengel e Boles) Uma linha transportando vapor d’água superaquecido, a 400 oC, está conectada por meio de uma válvula a um tanque rígido e bem isolado, contendo 2 m3 de vapor saturado a 1 MPa. A válvula é aberta, e assim permanece, até que a pressão e temperatura do vapor no tanque atingem 2 MPa e 300 oC, respectivamente. Determinar a massa de vapor que entrou no tanque e a pressão da linha de vapor. Vapor superaquecido: P2=2 MPa (Tsat=212,38 oC), T2= 300 oC: v2= 0,12551 m3/kg, u2=2773,2 kJ/kg. Propriedades termodinâmicas: Vapor saturado: P1=1 MPa, T1=Tsat= 179,88 oC: v1=vv= 0,19436 m3/kg, u1=uv=2582,8 kJ/kg, kg v V m 10,29 19436 ,0 2 1 1    Solução kg v V m 15,93 12551 ,0 2 2 2    ECM Da Eq. (20):   kg m m m VC e ,5 64 1 2      s e VC m m m m    1 2 400 oC 1 MPa Vapor sat. Estado inicial 1 1 2 2 m u m u m h e e   ECE Da Eq. (22):  VC e e s s VC m e m e gz V m h gz V m h W Q 1 1 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 (            Como 2 2 1 1 ; 0 ;0 u e u e EP EC          linha e e h m m u m u h     1 1 2 2   kJ kg he / 3120 6, 64 ,5 15,93 2773,2 10,29 2582,8      Procurando nas tabelas de vapor superaquecido, para C Tlinha 400  verifica-se que a pressão está próxima de 9 MPa. Mediante interpolação linear, chega-se a: MPa Plinha  ,8 94 Procurando a pressão da linha de vapor superaquecido, nas tabelas de vapor superaquecido (Tabelas A6, in Çengel, 5a ed.). Como a pressão da linha de vapor deverá ser maior ou igual à pressão final no tanque, vamos começar a análise a partir da pressão de 2 MPa. Na tabela, abaixo, são apresentados os valores de entalpia do vapor superaquecido da água, à 400 oC, para valores crescentes de pressão, até se chegar ao valor de entalpia menor do que 3120,6 kJ/kg. Verifica-se, portanto, que a pressão da linha deve estar entre 8 e 9 MPa. Por meio de uma interpolação linear, chega-se à pressão de 8,94 MPa. ? ; 400 / 6, 3120     linha Linha e P C T kJ kg h h  MPa Plinha ,8 94  P (MPa) h (kJ/kg) 2 3248,4 3 3231,7 5 3196,7 8 3139,4 9 3118,8 3120,6 Falta demonstrar que a entalpia do vapor que entra no tanque é igual à da linha. Na válvula, não havendo acúmulo de massa, também não haverá de energia. Tem-se um processo de estrangulamento isoentálpico. Ver simplicações da ECE, Eqs. (19, 19’ e 19’’), transparências 24 e 25. e linha h h  Referências Bejan, A., 2006, Advanced engineering thermodynamics, 3rd ed., John Wiley & Sons. Borel, L., 1991, Thermodynamique et Energétique, 3ème ed., Presse Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, Suiça.. Çengel, Y.A., Boles, M.A., 2006, Termodinâmica, 5a ed., McgrawHill, Capítulos 1-5. Cole, S., Lições de Termodinâmica Clássica. Faires, V.M., 1966, Termodinâmica, Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro. Fermi, E., 1937, Thermodynamics, Dover Publications, New York. Moran, M.J. and Shapiro, H.N., 1995, Fundamentals of Engineering Thermodynamics, John Wiley & Sons, New York, 3rd ed. Sonntag, R.E., Borgnakke, C., and Van Wylen, G.L., 1998, Fundamentals of Thermodynamics, John Wiley & Sons, New York, 5th ed. Textos sobre História da Termodinâmica Bejan, A., 2006, Advanced engineering thermodynamics, 3rd ed., John Wiley & Sons. Ver 1.7-Historical background. Passos, J.C., 2009, Os experimentos de Joule e a Primeira Lei da Termodinâmica, Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 31, p. 3603-1 – 3603-8. https://doi.org/10.1590/S1806-11172009000300013