Lista de Física 4

FSC 5114 Lista 2 1 Em um circuito LC oscilante L 200 mH e C 300 nF A carga máxima no capacitor é 2 mC Ache a corrente máxima 2 No circuito abaixo a chave está na posição a há muito tempo Ela então é mudada para a posição b a Calcule a frequência angular das oscilações de corrente resultantes b Qual será a amplitude dessas correntes oscilantes 3 Considere um circuito LC oscilante ideal A equação diferencial que descreve as oscilações é dada por d2qdt2 2q 0 a Mostre que uma combinação linear de funções seno e cosseno com freqüência angular é solução desta equação b Considere como solução desta equação a função qt Q sen t com as condições iniciais q0 q0 e i0 i0 Mostre que as constantes Q e são dadas por Q q02 i0212 e q0 e arc tg q0i0 4 Três indutores idênticos de indutância L e dois capacitores de capacitância C são ligados formando o circuito de duas malhas mostrado na Figura abaixo a Suponha que as correntes são as mostradas na parte a da figura Qual é a corrente no indutor do meio Escreva as equações das malhas e mostre que elas serão satisfeitas se a corrente oscilar com freqüência angular 1LC12 b Suponha agora que as correntes são as mostradas na parte b da figura Qual a corrente no indutor do meio Escreva as equações das malhas e mostre que elas serão satisfeitas se a corrente oscilar com freqüência angular 13LC12 5 Num circuito LC L 200 mH e C 40 µF No instante t 0 a corrente vale 6 mA a carga no capacitor é igual a 2 µC e o capacitor está sendo carregado Calcule a o ângulo de fase inicial b a carga máxima acumulada no capacitor c a corrente máxima e d a energia total neste circuito 6 a Em um circuito LC ideal calcule o valor da carga em função da carga máxima que existe no capacitor quando a energia total está distribuída 34 no capacitor e 14 no indutor b Em que instante de tempo esta condição acontecerá supondo que o capacitor está totalmente carregado no instante t 0 e que L 200 mH e C 30 µF 7 Considere um circuito RLC em série sem fonte externa com o capacitor inicialmente carregado Usando a lei das malhas obtenha a equação diferencial que descreve o comportamento da carga no circuito Mostre que para que a função AeBt seja a solução do circuito a constante B deve ser dada por B 2 22 0212 onde RL e 02 1LC 8 Uma bobina de indutância 500 mH e resistência desconhecida é ligada em série com um capacitor de 100 nF e com uma fonte CA cuja frequência é 700 Hz O ângulo de fase entre a fem aplicada e a corrente é 20 Calcule a resistência da bobina 9 Um gerador de CA com εm 110 V e operando a 340 Hz provoca oscilações em um circuito RLC em série que possui R 15 Ω L 350 mH e C 70 μF Determine a a reatância capacitiva XC b a impedância Z e a amplitude da corrente im c Um segundo capacitor com a mesma capacitância é então ligado em série com os demais componentes determine se os valores de XC Z e im aumentam diminuem ou permanecem os mesmos 10 Considere o circuito RLC em série com uma fonte de tensão alternada esquematizado na figura A fonte fornece tensão que varia no tempo conforme a equação εt 23 Vcos800 radst a Obtenha a amplitude da corrente e a diferença de fase da corrente em relação à tensão da fonte e então apresente a expressão que descreve a variação da corrente no circuito com o tempo b Obtenha a amplitude da tensão na resistência e a amplitude da tensão no indutor c Qual é a diferença de fase entre a tensão no indutor e a tensão no resistor d Um voltímetro mede a tensão eficaz quadrática média Qual seria a indicação de um voltímetro para a tensão entre os pontos a e b da figura 11 Considere um circuito RLC em série com R 30 Ω C 20 μF L 120 mH f 60 Hz e εm 80 V Quando a fem do gerador é máxima qual é a voltagem nos terminais a do gerador b do resistor c do capacitor e d do indutor e Calculando a soma algébrica dessas voltagens verifique se a lei das malhas é satisfeita 12 Um aparelho de arcondicionado ligado a uma linha de 120 V rms é equivalente a uma resistência de 20 Ω em série com uma reatância indutiva de 14 Ω a Calcule a impedância do arcondicionado b Qual é o valor da corrente rms c Calcule a potência média fornecida ao aparelho 13 A figura abaixo ilustra um gerador de CA ligado a uma caixa preta através de um par de terminais A caixa contém um circuito com elementos e distribuição desconhecidos Medidas efetuadas fora da caixa revelam que εt 100 V sen ωt e It 12 A sen ωt 30 a Qual é o fator de potência b A corrente está atrasada ou adiantada em relação à fem c O circuito dentro da caixa apresenta características indutivas ou capacitivas d O circuito dentro da caixa está em ressonância e Qual a potência média entregue pelo gerador à caixa 14 O circuito abaixo é alimentado por uma fonte de fem alternada εt 80V senωt e frequência f 50Hz Quando a chave está aberta a corrente no circuito está atrasada de 15o em relação à fem do gerador Com a chave na posição 1 a corrente está adiantada de 40o em relação à mesma fem Com a chave na posição 2 a corrente máxima é 35 A Encontre os valores de R L e C para este circuito Lista de Exercícios Soluções Resolução de Questões Questão 1 Em um circuito LC oscilante L 200 mH e C 300 nF A carga máxima no capacitor é Q 2 mC A corrente máxima deve ser encontrada Resolução A energia total armazenada no circuito oscilante é dada pela soma da energia armazenada no capacitor e no indutor A energia no capacitor é máxima quando a corrente é zero e é dada por U Q² 2C Quando o capacitor descarrega completamente toda a energia está no indutor e a corrente é máxima A energia no indutor é dada por U LI²max 2 Igualando as energias para o capacitor e o indutor temos Q² 2C LI²max 2 Resolvendo para Imáx Imáx Q 1LC Substituindo os valores Imáx 2 10³ 1 200 10³ 300 10⁹ Calculando o valor numérico Imáx 2 10³ 1 6 10⁵ 2 10³ 1 6 10⁵ Imáx 2 10³ 1 7746 10³ 0258 A Portanto a corrente máxima é Imáx 0258 A Questao 2 No circuito abaixo a chave esta na posicao a ha muito tempo Ela entao e mudada para a posicao b Valores do circuito Resistˆencia R 10 Ω Fonte de tensao V 140 V Capacitˆancia C 30 µF Indutˆancia L 100 mH a Calcule a frequˆencia angular das oscilacoes de corrente resultantes b Qual sera a amplitude dessas correntes oscilantes Resolucao a Para calcular a frequˆencia angular ω utilizamos a formula para um circuito LC que e dada por ω 1 LC Substituindo os valores de L 100 mH 100 103 H e C 30 µF 30 106 F ω 1 100 103 30 106 ω 1 3 106 ω 1 1732 103 57735 rads Portanto a frequˆencia angular das oscilacoes de corrente e ω 57735 rads b Para calcular a carga maxima Qmax usamos a conservacao da energia no circuito A energia total do circuito quando a chave estava na posicao a e armazenada no capacitor dada por U 1 2CV 2 Substituindo os valores de C 30 µF 30 106 F e V 140 V U 1 2 30 106 1402 U 05 30 106 19600 0294 J Agora sabemos que a energia no capacitor tambem pode ser expressa como 2 U Q²max 2C Igualando as duas expressões para a energia e resolvendo para Qmáx 0294 Q²max 2 30 10⁶ Q²max 0294 60 10⁶ Q²max 1764 10⁵ Qmáx 1764 10⁵ 42 10³ C Agora que temos a carga máxima podemos calcular a amplitude da corrente oscilante Imáx utilizando a relação entre Qmáx e ω Imáx Qmáx ω Substituindo os valores de Qmáx 42 10³ C e ω 57735 rads Imáx 42 10³ 57735 Imáx 243 A Portanto a amplitude da corrente oscilante é Imáx 243 A Questão 3 Considere um circuito LC oscilante ideal A equação diferencial que descreve as oscilações é dada por d²qdt² ω²q 0 a Mostre que uma combinação linear de funções seno e cosseno com frequência angular ω é solução desta equação Resolução Para mostrar que a combinação linear de seno e cosseno é solução consideremos uma função qt do tipo qt A cosωt B sinωt Derivamos qt duas vezes em relação ao tempo para encontrar a segunda derivada dqdt Aω sinωt Bω cosωt E a segunda derivada d²qdt² Aω² cosωt Bω² sinωt Agora substituímos a expressão de qt e sua segunda derivada na equação diferencial dada d²qdt² ω²q Aω² cosωt Bω² sinωt ω² A cosωt B sinωt Simplificando Aω² cosωt Bω² sinωt Aω² cosωt Bω² sinωt 0 Portanto mostramos que qt A cosωt B sinωt é de fato uma solução da equação diferencial b Considere como solução da equação a função qt Q sinωt ϕ com as condições iniciais q0 q₀ e i0 i₀ Mostre que as constantes Q e ϕ são dadas por Q q₀² i₀ ω² e ϕ arctan ωq₀ i₀ Resolução Sabemos que a corrente it no circuito é dada por it dqdt Qω cosωt ϕ Para t 0 as condições iniciais nos fornecem q0 Q sinϕ q₀ i0 Qω cosϕ i₀ Agora isolamos Q a partir dessas equações Primeiro elevando ao quadrado e somando as duas expressões q₀² i₀ ω² Q² sin²ϕ Q² cos²ϕ Q² Logo Q q₀² i₀ ω² Agora para encontrar ϕ dividimos as duas equações para obter tanϕ q₀ i₀ ω Portanto ϕ arctan ωq₀ i₀ Questao 4 Trˆes indutores idˆenticos de indutˆancia L e dois capacitores de capacitˆancia C sao ligados formando o circuito de duas malhas mostrado na Figura abaixo scale05circuitpng Figure 1 Circuitos com duas malhas e trˆes indutores idˆenticos a Queremos encontrar a corrente no indutor do meio para a configuracao de cor rentes mostrada na parte a da figura e calcular a frequˆencia angular ω Equacoes de malha Para a malha da esquerda temos a seguinte equacao pela Lei das Malhas de Kirchhoff LdI1 dt LdIm dt q C Para a malha da direita a equacao e LdI2 dt LdIm dt q C Somando as duas equacoes temos LdI1 dt LdI2 dt 2LdIm dt 0 Sabemos que as correntes I1 e I2 sao iguais devido a simetria do circuito I1 I2 Substituindo isso na equacao LdI1 dt LdI1 dt 2LdIm dt 0 Simplificando 2LdI1 dt 2LdIm dt 0 Dividindo por 2L dI1 dt dIm dt 0 Portanto a derivada da corrente no indutor do meio e igual a menos a derivada da corrente na malha 6 dIm dt dI1 dt Integrando ambos os lados em relacao ao tempo temos Im I1 constante Sabemos que a constante de integracao e zero pois as correntes sao inicial mente iguais Logo Im 0 Portanto a corrente no indutor do meio e Im 0 conforme esperado Calculo da frequˆencia angular ω A equacao diferencial para a carga q no capacitor em um circuito LC e dada por Ld2q dt2 q C 0 Esta e uma equacao diferencial harmˆonica simples A solucao dessa equacao e uma funcao oscilatoria com frequˆencia angular ω 1 LC Portanto a frequˆencia angular para essa configuracao e ω 1 LC b Agora para a configuracao da parte b da figura onde as correntes sao opostas queremos encontrar a corrente no indutor do meio e calcular a frequˆencia angular ω Equacoes de malha Para a malha da esquerda temos LdI1 dt LdIm dt q C Para a malha da direita LdI2 dt LdIm dt q C No entanto agora sabemos que I1 I2 pois as correntes estao em direcoes opostas Vamos somar as equacoes novamente 7 LdI1 dt LdI1 dt 2LdIm dt 0 Isso se simplifica para LdI1 dt LdI1 dt 2LdIm dt 0 Portanto 2LdIm dt 0 Integrando encontramos que Im 1 2I1 I2 Substituindo I2 I1 temos Im 1 2I1 I1 I1 Portanto a corrente no indutor do meio e Im 2I1 Calculo da frequˆencia angular ω Agora a equacao diferencial do sistema muda devido ao fator 3 no denominador pois temos trˆes indutores no circuito equivalente A equacao diferencial para a carga q agora e 3Ld2q dt2 q C 0 A solucao dessa equacao e uma funcao oscilatoria com frequˆencia angular ω 1 3LC Portanto a frequˆencia angular para essa configuracao e ω 1 3LC 8 Questao 5 Num circuito LC temos L 200 mH e C 40 µF No instante t 0 a corrente vale i0 6 mA a carga no capacitor e igual a q0 2 µC e o capacitor esta sendo carregado Vamos seguir o passo a passo para calcular a a energia total U b a carga maxima acumulada no capacitor Q c o ˆangulo de fase ϕ d a corrente maxima Imax a Calculo da energia total U Sabemos que a energia total armazenada no circuito LC e dada pela soma da energia armazenada no capacitor e no indutor A energia total U e dada por U UC UL Onde UC q2 2C e UL Li2 2 Substituindo os valores de q0 2 106 C C 40 106 F L 200 103 H e i0 6 103 A UC 2 1062 2 40 106 4 1012 8 105 5 108 J UL 200 103 6 1032 2 200 36 106 2 36 105 J Portanto a energia total e U 5 108 36 105 3605 105 J b Calculo da carga maxima Q Agora usamos a formula da energia total para encontrar a carga maxima Q U Q2 2C Resolvendo para Q Q 2UC Substituindo os valores de U 3605 105 J e C 40 106 F 9 Q 2 3605 105 40 106 2884 109 17 105 C Portanto a carga máxima Q é aproximadamente 170μC c Cálculo do ângulo de fase ϕ Agora que temos a carga máxima Q podemos calcular o ângulo de fase ϕ usando a relação entre a carga inicial q0 e Q q0 Q cosϕ Resolvendo para ϕ cosϕ q0 Q 2 106 17 105 01176 Portanto ϕ arccos01176 1452 rad O ângulo de fase é ϕ 1452 rad d Cálculo da corrente máxima Imáx A corrente máxima Imáx pode ser calculada a partir da energia armazenada no indutor UL onde UL L Imáx² 2 Resolvendo para Imáx Imáx 2U L Substituindo os valores de U 3605 105 J e L 200 103 H Imáx 2 3605 105 200 103 Imáx 721 105 02 3605 104 0019 A Portanto a corrente máxima Imáx é aproximadamente 190 mA Questão 6 Enunciado a Em um circuito LC ideal calcule o valor da carga em função da carga máxima que existe no capacitor quando a energia total está distribuída 34 no capacitor e 14 no indutor b Em que instante de tempo esta condição acontecerá supondo que o capacitor está totalmente carregado no instante t 0 e que L 200 mH e C 30 µF Resolução Cálculo da carga no capacitor Sabemos que a energia total em um circuito LC ideal oscila entre o capacitor e o indutor A energia armazenada no capacitor é dada por UC q2 2C E a energia armazenada no indutor é UL L i2 2 A energia total é a soma das energias armazenadas no capacitor e no indutor Utotal UC UL Dado que 34 da energia total está no capacitor e 14 está no indutor temos UC 34 Utotal e UL 14 Utotal Sabemos que Utotal Qmáx2 2C onde Qmáx é a carga máxima Assim substituímos a expressão de UC q2 2C 34 Qmáx2 2C Multiplicando ambos os lados por 2C temos q2 34 Qmáx2 Resolvendo para q q Qmáx 34 32 Qmáx Portanto a carga no capacitor é q 32 Qmáx Cálculo do instante de tempo Agora precisamos determinar o instante de tempo em que essa condição ocorre A carga no capacitor oscila de acordo com a função qt Qmáx cosωt Sabemos que a carga no capacitor é q 32 Qmáx no instante que procuramos Portanto temos 32 Qmáx Qmáx cosωt Cancelando Qmáx 32 cosωt Tomando o arcocosseno de ambos os lados ωt arccos32 Sabemos que arccos32 π6 então ωt π6 A frequência angular ω é dada por ω 1LC Substituindo L 200 mH 200 103 H e C 30 µF 30 106 F ω 1200 103 30 106 16 106 40825 rads Agora podemos calcular o tempo t π6ω π640825 128 103 s 128 ms Portanto o instante de tempo é aproximadamente t 128 ms Questão 7 Enunciado Considere um circuito RLC em série sem fonte externa com o capacitor inicialmente carregado Usando a lei das malhas obtenha a equação diferencial que descreve o comportamento da carga no circuito Mostre que para que a função AeBt seja a solução do circuito a constante B deve ser dada por B γ2 γ22 ω02 onde γ RL e ω02 1LC Resolução A lei das malhas de Kirchhoff para o circuito RLC nos dá VR VL VC 0 As quedas de tensão em cada componente são Resistor R VR Rit Indutor L VL L ditdt Capacitor C VC qtC Sabemos que it dqtdt Substituindo na equação da malha R dqtdt L d2qtdt2 qtC 0 Essa é a equação diferencial de segunda ordem que descreve o comportamento da carga qt Podemos reescrever a equação como L d2qtdt2 R dqtdt qtC 0 Dividindo todos os termos por L d2qtdt2 RL dqtdt 1LC qt 0 Sabemos que γ RL e ω02 1LC logo a equação tornase d2qtdt2 γ dqtdt ω02 qt 0 A solução dessa equação diferencial de segunda ordem tem a forma qt AeBt Substituindo essa forma na equação diferencial obtemos B2AeBt γBAeBt ω02 AeBt 0 Dividindo ambos os lados por AeBt B2 γB ω02 0 Essa é uma equação quadrática em B Resolvendoa B γ γ2 4ω02 2 Simplificando B γ2 γ22 ω02 Portanto mostramos que a constante B é dada por B γ2 γ22 ω02 onde γ RL ω02 1LC Questão 8 Enunciado Uma bobina de indutância L 500 mH e resistência desconhecida é ligada em série com um capacitor de C 100 nF e uma fonte CA cuja frequência é f 700 Hz O ângulo de fase entre a fem aplicada e a corrente é 20 Calcule a resistência da bobina Resolução O circuito é composto por uma bobina indutor um capacitor e uma resistência desconhecida todos em série A impedância total Z do circuito em série é dada por Z R2 XL XC2 Onde R é a resistência da bobina que queremos determinar XL 2πfL é a reatância indutiva XC 12πfC é a reatância capacitiva Sabemos que o ângulo de fase ϕ entre a tensão e a corrente é dado por tanϕ XL XC R Dado que ϕ 20 podemos calcular R Primeiro calculamos XL e XC XL 2πfL 2π 700 500 103 219896 Ω XC 12πfC 12π 700 100 109 227496 Ω Agora substituímos esses valores na equação de tanϕ tan20 XL XC R Sabemos que tan20 0364 então 0364 219896 227496R 76R Resolvendo para R R 76 0364 20879 Ω Portanto a resistência da bobina é aproximadamente R 2088 Ω Questão 9 Enunciado Um gerador de CA com εm 110 V e operando a 340 Hz provoca oscilações em um circuito RLC em série que possui R 15 Ω L 350 mH e C 70 μF Determine a a reatância capacitiva XC b a reatância indutiva XL c a impedância Z e a amplitude da corrente im d Um segundo capacitor com a mesma capacitância é então ligado em série com os demais componentes determine se os valores de XC Z e im aumentam diminuem ou permanecem os mesmos A reatância capacitiva XC é dada por XC 1 2πfC Substituindo os valores XC 1 2π 340 70 106 1 014918 671 Ω A reatância indutiva XL é dada por XL 2πfL Substituindo os valores XL 2π 340 035 74770 Ω A impedância total Z é dada por Z R2 XL XC2 Substituindo os valores Z 152 74770 6712 225 740992 225 54806618 54829118 74051 Ω A corrente im é dada por im εm Z Substituindo os valores im 110 74051 01485 A Se adicionarmos um segundo capacitor com a mesma capacitância C 70 μF a capacitância equivalente Ceq será 1Ceq 1C 1C 2C Portanto a nova capacitância Ceq é Ceq C2 35μF Agora recalculamos a reatância capacitiva com a nova capacitância XC 12πfCeq 12π 340 35 106 1007459 1342 Ω Com XC a nova impedância será Z R² XL XC² 15² 74770 1342² 225 73428² 225 53917123 539396 A nova corrente será im εmZ 11073422 01498 A XC 671 Ω XL 74770 Ω Z 74051 Ω im 01485 A Após adicionar o segundo capacitor XC 1342 Ω Z 73422 Ω im 01498 A Questão 10 Enunciado Considere o circuito RLC em série com uma fonte de tensão alternada esquematizado na figura A fonte fornece tensão que varia no tempo conforme a equação εt 23Vcos800 radst Amplitude da corrente e diferença de fase da corrente A amplitude da corrente Im no circuito RLC é dada por Im εmZ Onde εm 23V é a amplitude da tensão e Z é a impedância total do circuito dada por Z R² XL XC² As reatâncias XL e XC são calculadas como XL ωL 800 3 103 24 Ω XC 1ωC 1800 1 103 125 Ω A impedância total é Z 2² 24 125² 4 11525 51525 227 Ω A amplitude da corrente é então Im 23227 152 A A diferença de fase φ entre a tensão da fonte e a corrente é dada por tanφ XL XCR 1152 0575 Portanto φ arctan0575 2999 A expressão para a corrente no circuito é it Im cosωt φ 152 cos800t 2999 Amplitude da tensao na resistˆencia e no indutor A amplitude da tensao na resistˆencia VR e VR ImR 152 2 304 V A amplitude da tensao no indutor VL e VL ImXL 152 24 365 V Diferenca de fase entre a tensao no indutor e no resistor A tensao no indutor VL esta defasada em 90 em relacao a corrente enquanto a tensao no resistor VR esta em fase com a corrente Portanto a diferenca de fase entre VL e VR e 90 Tensao eficaz entre os pontos a e b A tensao eficaz entre os pontos a e b e a tensao total do circuito A expressao da tensao fornecida pela fonte e εt 2 3 cos800t A tensao eficaz Vrms e dada por Vrms Vm 2 2 3 2 2 6 2 6 V 245 V 19 Questão 11 Enunciado Considere um circuito RLC em série com R 30Ω C 20μF L 120mH f 60Hz e εm 80V Quando a fem do gerador é máxima qual é a voltagem nos terminais do gerador do resistor do capacitor e do indutor Calcule a soma algébrica dessas voltagens para verificar se a lei das malhas é satisfeita A frequência angular ω é ω 2πf 2π 60 377 rads A reatância indutiva XL é XL ωL 377 120 103 4524 Ω A reatância capacitiva XC é XC 1ωC 1377 20 106 1326 Ω A impedância total Z é Z R² XL XC² 30² 4524 1326² 900 8736² 900 76311 85311 923 A corrente máxima Im é Im εmZ 809238 0866A A tensão no resistor VR é VR ImR 0866 30 2598 V A tensão no indutor VL é VL ImXL 0866 4524 3919 V A tensão no capacitor VC é VC ImXC 0866 1326 11485 V Verificando a soma algébrica das tensões εm VR VL VC 2598 3919 11485 4968 V Portanto a soma das tensões indica que há uma defasagem entre as tensões do indutor capacitor e resistor e a lei das malhas é satisfeita Questão 12 Enunciado Um aparelho de arcondicionado ligado a uma linha de 120V rms é equivalente a uma resistência de 20Ω em série com uma reatância indutiva de 14Ω a Cálculo da Impedância A impedância Z do circuito série é dada por Z R² XL² Substituindo os valores Z 20² 14² 400 196 596 2441Ω b Cálculo da Corrente RMS A corrente RMS Irms é dada por Irms εrms Z Substituindo os valores Irms 120 2441 492 A c Potência Média Fornecida ao Aparelho A potência média P fornecida ao aparelho é dada por P Irms² R Substituindo os valores P 492² 20 242 20 4844W Portanto a potência média fornecida ao aparelho é de 4844 W Questao 13 Enunciado A figura ilustra um gerador de CA ligado a uma caixa preta atraves de um par de terminais A caixa contem um circuito com elementos e distribuicao desconhecidos Medidas efetuadas fora da caixa revelam que εt 100 V sinωt e It 12 A sinωt 30 a Fator de Potˆencia O fator de potˆencia fp e dado por fp cosϕ onde ϕ e a defasagem entre a tensao e a corrente Neste caso temos ϕ 30 Logo fp cos30 0866 b A corrente esta adiantada ou atrasada em relacao a fem Como a defasagem ϕ 30 e positiva a corrente esta adiantada em relacao a fem c O circuito dentro da caixa e predominantemente indutivo ou capacitivo A corrente esta adiantada em relacao a fem o que indica que o circuito e predominantemente capacitivo d O circuito dentro da caixa esta em ressonˆancia Para que o circuito estivesse em ressonˆancia a defasagem ϕ teria que ser zero Como ϕ 30 o circuito nao esta em ressonˆancia e Potˆencia media fornecida pelo gerador a caixa A potˆencia media Pmed fornecida pelo gerador e dada por Pmed 1 2εmIm cosϕ 22 onde εm 100 V Im 12 A ϕ 30 Substituindo os valores Pmed 1 2 100 12 cos30 1 2 100 12 0866 Pmed 5196 W Portanto a potˆencia media fornecida pelo gerador e de aproximadamente 5196 W 23 Questao 14 A tensao alternada e dada por εt 80 sinωt f 50 Hz ω 2πf 100π rads Temos os seguintes casos Quando a chave esta aberta a corrente esta atrasada de 15 em relacao a fem Quando a chave esta na posicao 1 a corrente esta adiantada de 40 em relacao a fem Quando a chave esta na posicao 2 a corrente maxima e Imax 35 A Chave aberta atraso de 15 Sabemos que a defasagem ϕ e relacionada pela seguinte equacao tanϕ XL XC R Para o atraso de 15 temos ϕ 15 e portanto tan15 XL XC R Substituindo tan15 temos 02679 XL XC R Sabemos que XL ωL e XC 1 ωC Portanto temos a equacao 02679 ωL 1 ωC R Chave na posicao 1 adianto de 40 Para o adiantamento de 40 temos tan40 XL XC R Substituindo tan40 08391 XL XC R 24 Chave na posição 2 corrente máxima 35 A Sabemos que a corrente máxima é dada por Imax εmax Z onde Z é a impedância total do circuito dada por Z R² XL XC² Sabemos que a corrente máxima é Imax 35 A e a tensão máxima é εmax 80 V Substituindo na equação da corrente 35 80 Z Z 80 35 2286 Ω Agora podemos relacionar a impedância com os valores de R XL e XC Z R² XL XC² Substituindo Z 2286 Ω temos 2286 R² XL XC² Com as equações obtidas nos três casos podemos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de R L e C Estas equações formam um sistema que pode ser resolvido numericamente para encontrar os valores exatos de R L e C