Prova de Física 4

2a Prova de Física D2 Prof Gilmar Eugênio Marques 13122012 1 a Considere luz incidente conforme figura com polarização p paralela ao plano de incidência Usando continuidade no plano da interface meiovidro encontramos as seguintes relações entre as amplitudes dos campos elétricos das ondas incidente refletida e transmitida E0i cos θi E0r cos θr E0t cos θt e magnéticos B0μ1 Borμ2 Botμ3 onde n1 n2 μ1 μ2 são os índices de refração e as permeabilidades magnéticas dos meios de incidência e transmissão Calcule os coeficientes de reflectividade rp E0rE0i e de transmissividade tp E0tE0i para esta polarização como função dos ângulos de Snell θi e θt b Para meios com índices ni 35 e nt 13 qual é o ângulo de Brewster polarização θp nesta interface aqui considere μi μt c Explique quando e como ocorrerá reflexão total para estes mesmos materiais e interface com ni max 35 e nt min 13 Qual será o ângulo crítico θc tan θB n2n1 2 Uma fonte luminosa puntiforme é colocada a uma distância h abaixo da superfície de uma lagoa larga e profunda com índices n 121 e o ar n 10 a Calcule o ângulo crítico de reflexão total e os coeficientes de Reflectância RθB e de Transmitância TθB para polarização p neste ângulo b Despreze a absorção de energia luminosa pela água e mas considere que a Reflectância total da luz R RSθRpθ para ângulos de incidência θ 20 θB nesta superfície é que RSθ e Rpθ tem valores constante e igual ao valor do coeficiente Rp20 Calcule então a fração f da energia luminosa que escapará para o ar diretamente através da superfície do lago como função do índice de refração da lagoa e do ar Quanto vale esta fração f para esta superfície específica Obs R r2 e T n cos θt 2n cos θi 3 Um feixe de luz de comprimento de onda λ incide ortogonalmente sobre um dispositivo de fenda única com largura a λ No experimento foi usado uma lente convergente com distância focal f 70 cm a Calcule as larguras angulares Δθm e linear Δym do máximo central de Difração b ESTIME o valor da semilargura do máximo principal de Difração Obs semilargura de um pico m é definido quando ImI0 ½ c Qual a separação linear entre o centro do máximo principal e o quarto mínimo secundário de Difração d Qual a relação entre as intensidades de difração dos máximos secundários de ordem m e a do máximo central m0 IθmI0 4 Considere os detalhes do experimento de MickelsonMorley mostrados na figura para testarem a idéia do éter Calcule a diferença entre os tempos para os dois raios luminosos percorrerem os dois caminhos indicados Calcule a diferença de fase entre estes raios para terem uma primeira interferência construtiva no centro do espectro Para d 15 m u 30 kmseg λ7000 A quantas franjas ocorreriam quando girar o aparato de 90 graus a Vamos definir rf E0rE0i e tf E0tE0i onde E0i E0r e E0t são respectivamente as amplitudes dos campos elétricos das ondas incidente refletida e transmitida A lei de Snell vem da continuidade da componente tangencial do vetor de onda na interface e se escreve como ni sin θi nt sin θt A partir das equações de Maxwell sabese que a componente tangencial do campo elétrico deve ser contínua na interface e que a componente tangencial de Bμ também deve ser contínua No caso μi μt isso equivale a dizer que a soma das amplitudes de B no meio de incidência deve igualar a amplitude de B no meio de transmissão no mesmo eixo tangencial ao se considerar as fases e direções adequadas para as ondas refletida e transmitida Para a polarização p o campo elétrico está no plano de incidência e faz em cada meio um ângulo com a direção de propagação Para cada onda plana em um meio de índice n a razão entre a amplitude do campo elétrico e a do campo magnético pode ser obtida considerando que para ondas planas em meios não magnéticos E0 η H0 e η Z0 n 1 onde Z0 é a impedância do vácuo De modo equivalente podese escrever B0 nc0 E0 onde c0 é a velocidade da luz no vácuo Supondo que as ondas se propagam sem perdas a relação entre E0 e B0 em cada meio pode ser escrita como B0i nic0 E0i B0r nic0 E0r B0t ntc0 E0t A continuidade da componente tangencial de E na interface levando em conta que a onda refletida se propaga com o mesmo ângulo θi porém em sentido oposto dá E0i cos θi E0r cos θi E0t cos θt A continuidade de B tangencial dividido por μ mas aqui μ é igual nos dois meios resulta em B0i Bor B0t Substituindo B0i nic0 E0i e similares segue nic0 E0i nic0 E0r ntc0 E0t o que reduz a ni E0i E0r nt E0t Reescrevendo as relações acima de forma direta E0i cos θi E0r cos θi E0t cos θt ni E0i E0r nt E0t Dividese a segunda equação por E0i para relacionar rf E0r E0i e tf E0t E0i ni 1 rf nt tf Isolando tf tf nint 1 rf Na primeira equação também dividida por E0i cos θi 1 rf tf cos θt Substituise tf na expressão anterior cos θi 1 rf nint 1 rf cos θt Multiplicando tudo por nt nt cos θi 1 rf ni cos θt 1 rf Expandese nt cos θi nt cos θi rf ni cos θt ni cos θt rf b 𝜃𝐵 arctan 35 13 𝜃𝐵 6962 a 𝜃𝐶 arcsin08264 5574 𝜃𝐵 arctan 10 121 3957 b 𝜃𝑡 arcsin121 sin20 2445 Então temos 𝑟𝑝20 10 cos 20 121 cos2445 10 cos 20 121 cos2445 𝑟𝑝20 00821281 Então 𝑅𝑝20 𝑟𝑝20 2 008212812 000674503 ou cerca de 062 de reflectância para polarização p Se se assume 𝑅𝑠𝜃 𝑅𝑝20 e 𝑅𝑝𝜃 𝑅𝑝20 a reflectância total para esses ângulos fica 𝑅𝜃 𝑅𝑠𝜃 𝑅𝑝𝜃 2𝑅𝑝20 2 000674503 00134901 O quociente 𝑛𝑡 2 𝑛𝑖 2 surge porque mesmo que o cone no meio de incidência seja até 𝜃𝑐 o ângulo de saída no ar é maior e redistribui a potência Como 𝑅𝜃 00134901 e 𝑛𝑡 𝑛𝑖 1 121 𝑓 1 00134901 12 1212 06738 Assim cerca de 674 da energia luminosa que atinge a interface vinda de dentro da água em todas as direções possíveis abaixo de 𝜃𝐶 consegue escapar diretamente para o ar segundo a aproximação dada a b Resolvendo numericamente 𝛽 139155737825151 𝜃1 2 arcsin0442 2629 c d 4 Considere os detalhes do experimento de MickelsonMorley mostrados na figura para testarem a ideia do éter Calcule a diferença entre os tempos para os dois raios luminosos percorrerem os dois caminhos indicados Calcule a diferença de fase entre estes raios para terem uma primeira interferência construtiva no centro do espectro Para d 15 m u 30 kmseg λ 7000 A quantas franjas ocorreriam quando girar o aparato de 90 graus Para analisar o experimento de MichelsonMorley no modelo clássico do éter consideramse dois braços idênticos de comprimento d Um braço está orientado paralelo à suposta velocidade v do aparato relativa ao éter e o outro perpendicular A ideia era medir a diferença de tempo e portanto de fase acumulada pelos feixes ao irem e voltarem pelos dois braços Para o braço paralelo a v assumese que a luz leva t dc v dc v no percurso de ida e volta pois na ida a velocidade efetiva da luz seria c v e na volta c v Somando t d 1c v 1c v dc v c vc vc v 2 c dc² v² Para o braço perpendicular o raio precisa seguir um caminho inclinado durante o tempo Se t é o tempo de ida para metade do percurso então c² t² d² v t² pois a luz se desloca por uma hipotenusa enquanto o espelho avança transversalmente com velocidade v Isso fornece t dc² v² No percurso de ida e volta fenda e espelho fica tidavolta 2 dc² v² Para velocidades muito menores que c expandese em potência de vc Ao primeiro termo não nulo em v²c² obtémse t 2 dc 1 v²c² t 2 dc 1 12 v²c² A diferença de tempos é portanto Δt t t 2 dc v²c² 12 v²c² d v²c³ No enunciado são dados d 15 m v 30 000 ms λ 7000 Å 70 10⁷ m c 30 10⁸ ms Substituindo Δt 15 m30 10⁴ ms²30 10⁸ ms³ 50 10¹⁶ s A diferença de percurso óptico entre os dois braços no arranjo fixo é ΔL c Δt 30 10⁸ ms 50 10¹⁶ s 15 10⁷ m A diferença de fase correspondente é Δφ 2πλ ΔL 2π 15 10⁷70 10⁷ 2π 0214 135 rad ou cerca de 0215 de 2π um pouco menos de um quarto de ciclo Finalmente quando o aparato é girado de 90 o braço que estava paralelo passa a ficar perpendicular e viceversa mudando o sinal de Δt A variação total na diferença de percurso do ângulo inicial a 90 é aproximadamente ΔLrotação 2 ΔL 30 10⁷ m pois invertese qual braço está sujeito ao efeito de v na orientação paralela O número de franjas que andariam no interferômetro ao se completar essa rotação é N ΔLrotaçãoλ 30 10⁷70 10⁷ 043