Lista Eletromagnetismo Clássico

Problema 1 Uma fina barra de dielétrico de seção reta A estendese ao longo do eixo x de x 0 a x L A polarização da barra dáse ao longo de seu comprimento e é dada por Px ax2 b a Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade b Mostre que a carga total de polarização se anula Problema 2 Determine o campo elétrico vecE vetor deslocamento vecD e o vetor polarização vecP de uma carga pontual q submersa em um meio isotrópico homogêneo de extensão infinita Considere o meio dielétrico como linear e caracterizado por uma constante dielétrica kappa Problema 3 Um condutor longo e cilíndrico de raio a tem duas cavidades cilíndricas cada uma com diâmetro a por todo seu comprimento Uma corrente I é direcionada para fora da página e é uniforme por uma seção transversal do material condutor Determine o campo magnético no ponto P1 e P2 Problema 4 Uma partícula de massa m e carga q se desloca com velocidade vecvt dvecrdt em uma região preenchida com um campo elétrico estático e um campo magnético constante Mostre que 12mv2 qVr 12mv02 qVr0 onde V é o potencial elétrico r0 e v0 são a posição inicial e a velocidade inicial da partícula Figura 1 Problema 1 Uma fina barra de dielétrico de seção reta A estendese ao longo do eixo x de x 0 a x L A polarização da barra dáse ao longo de seu comprimento e é dada por Px ax2 b a Encontre a densidade volumétrica da carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade b Mostre que a carga total de polarização se anula a A polarização está ao longo de x e vale vecPx Pxxhatx ax2 bhatx A densidade volumétrica de carga ligada ou de polarização é dada por rhob abla cdot vecP fracdPxdx fracddxax2 b 2ax Isso significa que em qualquer ponto interno da barra existe carga ligada negativa para x 0 e positiva para x 0 variando linearmente com x Nas superfícies terminais em x 0 e x L surge uma densidade superficial de carga ligada definida por sigmab vecP cdot hatn onde hatn é o versor normal à superfície apontando para fora da barra No extremo x 0 a normal externa é hatn hatx de modo que sigmab0 Px01 a cdot 02 b b No extremo x L a normal externa é hatn hatx de modo que sigmabL PxL1 aL2 b Resumindo rhobx 2ax sigmab0 b sigmabL aL2 b b Para verificar que a carga total de polarização se anula basta somar a contribuição volumétrica e as contribuições superficiais A carga volumétrica ligada é Qbvol int0L rhobx A dx int0L 2ax A dx 2aA int0L x dx 2aA fracL22 aAL2 As cargas superficiais nos extremos valem Qbsurf0 sigmab0 A bA QbsurfL sigmabL A aL2 bA aL2A bA de modo que Qbsurftotal Qbsurf0 QbsurfL bA aL2 A bA aL2 A Somandose as duas contribuições obtémse Qbtotal Qbvol Qbsurftotal aL2 A aL2 A 0 o que mostra que a carga total de polarização se anula Problema 2 Determine o campo elétrico vecE vetor deslocamento vecD e o vetor polarização vecP de uma carga pontual q submersa em um meio isotrópico homogêneo de extensão infinita Considere o meio dielétrico como linear e caracterizado por uma constante dielétrica kappa A presença de uma carga pontual q em um meio dielétrico isotrópico e homogêneo de constante dielétrica kappa mantém a simetria esférica do problema Isso permite escolher como superfície gaussiana uma esfera de raio r centrada na carga Pelo comportamento linear do meio a permissividade elétrica é varepsilon kappa varepsilon0 A lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico vecD diz que ointS vecD cdot dvecA Qlivre encerrada onde a única carga livre é q Num elemento de área radial dvecA hatr r2 sin heta d heta dphi a integral fica Dr 4 pi r2 q de onde se obtém vecDr fracq4pi r2 hatr O campo elétrico vecE está relacionado a vecD por vecD varepsilon vecE Longrightarrow vecEr fracvecDrvarepsilon fracq4 pi varepsilon0 kappa r2 hatr A polarização do meio é definida como 𝑃 𝐷 𝜀0 𝐸 e substituindo 𝐷 e 𝐸 vem 𝑃𝑟𝑞4𝜋𝑟² 𝑟𝜀0 𝑞4𝜋𝜀0𝜅𝑟² 𝑟𝑞4𝜋𝑟² 11𝜅𝑟𝜀0𝜅1𝜅 𝑞4𝜋𝜀0𝑟² 𝑟𝜀0𝜅1 𝐸𝑟 Resumindo os resultados 𝐷𝑟𝑞4𝜋𝑟² 𝑟 𝐸𝑟𝑞4𝜋𝜀0𝜅𝑟² 𝑟 𝑃𝑟𝜀0𝜅1 𝐸𝑟 Essas expressões mostram que o dielétrico reduz o campo 𝐸 pela razão 1𝜅 enquanto 𝐷 continua determinado apenas pela carga livre conforme a lei de Gauss e a polarização aparece proporcional a 𝐸 com fator 𝜀0𝜅1 Problema 3 Um condutor longo e cilíndrico de raio a tem duas cavidades cilíndricas cada uma com diâmetro a por todo seu comprimento Uma corrente I é direcionada para fora da página e é uniforme por uma seção transversal do material condutor Determine o campo magnético no ponto P1 e P2 A geometria do problema sugere usar superposição imaginar primeiro um cilindro cheio de raio a que transporta uma corrente total 2 I uniformemente distribuída e depois remover duas correntes de cada cavidade cada uma de intensidade I2 centradas em 0 a2 e 0 a2 A densidade de corrente no material é J 2 I π a² pois a área efetiva do condutor é π a² 2π a2² 12 π a² Num ponto genérico externo ao cilindro cheio distância r a ao centro o campo magnético vale 𝐵cheio𝑟 μ0 2 I 2πr 𝜑 μ0 I π r 𝜑 onde 𝜑 é o versor azimutal em torno do eixo do cilindro Cada cavidade pode ser tratada como um fio cilíndrico de corrente I2 mas com sinal negativo na superposição Para um ponto externo à cavidade a contribuição de módulo Bcavidade μ0 I2 2π R μ0 I 4π R aponta num sentido azimutal em torno do centro da cavidade onde R é a distância desse centro até o ponto avaliado Em P1 que fica sobre o eixo vertical a uma distância r a do centro global todos os azimutes confluem no mesmo eixo horizontal 𝑥 As distâncias da carga da cavidade superior e da inferior ao ponto são respectivamente r a2 e r a2 Assim 𝐵P1 μ0 I π r μ0 I 4π r a2 μ0 I 4π r a2 𝑥 Isso pode ser reunido num único quociente 𝐵P1 μ0 I 2π r r² 14 a² r² 12 a² 𝑥 Em P2 que está sobre o eixo horizontal a r a do centro global o campo do cilindro cheio é puramente 𝑦 𝐵cheioP2 μ0 I π r 𝑦 As duas cavidades geram contribuições que têm componente x nula por simetria e somamse em y Cada uma delas está a uma distância R1 r² a2² de P2 de modo que a resultante das duas antes do sinal negativo é 𝐵cavtotalP2 μ0 I r 2π r² 14 a² 𝑦 Subtraindose pela superposição dos sinais obtémse 𝐵P2 μ0 I π r 𝑦 μ0 I r 2π r² 14 a² 𝑦 μ0 I 2π 2r r r² 14 a² 𝑦 Em resumo com r a 𝐵P1 μ0 I r² 12 a² 2π r r² 14 a² 𝑥 𝐵P2 μ0 I 2π 2r r r² 14 a² 𝑦 Problema 4 Uma partícula de massa m e carga q se desloca com velocidade 𝑣t d𝑟dt em uma região preenchida com um campo elétrico estático e um campo magnético constante Mostre que 12 m v² qVr 12 m v0² qVr0 onde V é o potencial elétrico r0 e v0 são a posição inicial e a velocidade inicial da partícula A força total sobre a partícula é dada pela força de Lorentz 𝐹 q 𝐸 q 𝑣 𝐵 O trabalho diferencial realizado por essa força ao deslocar a partícula de 𝑟 a 𝑟 d𝑟 é dW 𝐹 d𝑟 q 𝐸 d𝑟 q𝑣 𝐵 d𝑟 Como d𝑟 𝑣 dt a segunda parcela fica q𝑣 𝐵 𝑣 dt 0 porque o produto escalar de um vetor com seu produto vetorial é nulo Assim somente o campo elétrico realiza trabalho dW q 𝐸 d𝑟 q 𝐸 𝑣 dt q 𝐸 d𝑟 Por definição de potencial elétrico Vr temse E V logo dW q V d r q dV Esse trabalho se converte em variação de energia cinética dW d12 m v² pela segunda lei de Newton Igualando as expressões para dW d12 m v² q dV Integrando entre a posição inicial r0 onde a velocidade vale v0 e o potencial é V r0 e uma posição r genérica 12 mv0²12 mv² d12 m v² q VrVr0 dV As integrais são triviais resultando em 12 m v² 12 m v0² qVr V r0 Reagrupando termos 12 m v² q Vr 12 m v0² q Vr0 o que demonstra a conservação da soma da energia cinética com a energia potencial elétrica