Funções Pares e Ímpares-Definições, Propriedades e Séries de Fourier

Funções Pares e Ímpares I Funções Pares e Ímpares 1 Definição Dizemos que f é uma função par se seu domínio contém o ponto x sempre que contiver o ponto x e se fx fx para todo x no domínio de f Analogamente f é uma função ímpar se seu domínio contém o ponto x sempre que contiver o ponto x e se fx fx para todo x no domínio de f Exemplos de frunções pares 1 x2n cos nx x Exemplos de funções ímpares x x2n1 sen nx 2 Propriedades a O produto de duas funções pares é par b O produto de duas funções ímpares é par c O produto de uma função par não nula por uma função ímpar é ímpar d A soma de duas funções pares é par e A soma de duas funções ímpares é ímpar f Se f é par então LL fxdx 2 0L fxdx 1 g Se f é ímpar então LL fxdx 0 2 3 Série de Fourier de função par Se f é uma função par e 2L periódica os coeficientes de Fourier de f são dados por a0 1L LL fxdx 2L 0L fxdx 3 an 1L LL fx cosnπL x dx 1 2L 0L fx cosnπL x dx n 1 4 bn 1L LL fx sennπL x dx 2 0 n 1 5 Logo a série de Fourier de uma função par f definida em L L e então estendida periodicamente a R tendo período 2L é dada por Fx a02 n1 an cosnπL x 6 em que os coeficientes a0 e an são dados por 3 e 4 Ou seja a série de Fourier de uma função par nas condições acima é uma série de cossenos Exemplo Seja fx π² x² π x π Segue que bn 0 a0 2π 0π π² x²dx 43 π² e bn 2π 0π π² x² cos nxdx 2π π² x²n sin nx0π 2n 0π x sin nxdx 4 1n1n² Portanto Fx 23 π² 4 n1 1n1n² cos nx O Teorema da convergência de Fourier implica que Fx x² π² em π π 4 Série de Fourier de função ímpar Se f é uma função ímpar e 2L periódica os coeficientes de Fourier de f são dados por a0 1L LL fx dx 2 0 7 an 1L LL fx cosnπL x dx 2 0 n 1 8 bn 1L LL fx sennπL x dx 1 2L 0L fx sennπL x dx n 1 9 Logo a série de Fourier de uma função ímpar f definida em L L estendida periodicamente a R tendo período 2L é dada por Fx n1 bn sennπL x 10 em que os coeficientes bn são dados por 9 Ou seja a série de Fourier de uma função ímpar nas condições acima é uma série de senos Exemplo Seja fx xx² L² x L L Segue que an 0 e bn 2L 0L xx² L² sinnπxLdx 2nπ xx² L² cosnπxL0L 0L 3x² L² cosnπxL 2Ln²π² 3x² L² sinnπxL0L 6 0L x sinnπxL 12L²n³π³ x cosnπxL0L 0L cosnπxL 1n 12L³n³π³ Logo Fx 12L³π³ n1 1nn³ sinnπxL O Teorema da convergência de Fourier implica que Fx xx² L² em L L II Séries em senos e cossenos de Fourier 1 Funções definidas em 0 L Se f é uma função definida no intervalo 0 L com L 0 será útil estendermos f ao intervalo L L para calcularmos a série de Fourier de f Há uma infinidade de extensões possíveis dentre as quais duas são particularmente interessantes extensões pares e ímpares a Definir uma função g de período 2L tal que gx fx 0 x L fx L x 0 A função g é a extensão periódica par de f A série de Fourier de g é Cx a02 n1 an cosnπxL com a0 2L 0L fxdx e an 2L 0L fxcosnπxLdx é uma série em cossenos que representa f em 0 L b Definir um função h de período 2L tal que hx fx 0 x L 0 x 0 L fx L x 0 A função h é então a extenção periódica ímpar de f A série de Fourier de h é Sx bn sen nπxL com bn 2L 0L fxsen nπxL dx é uma série em senos que representa f em 0 L Em particular pelo Teorema de Fourier segue que Cx f0 se x 0 fx se 0 x L e f é contínua em x fx fx2 se 0 x L e f é descontínua em x fL se x L e Sx 0 se x 0 fx se 0 x L e f é contínua em x fx fx2 se 0 x L e f é descontínua em x 0 se x L 2 Exemplo Considere a função fx x2 definida em 0 L Desenvolver a função f i em série de cossenos e ii em série de senos Solução i Temos a0 2L 0L x2 dx 23 L2 e an 2L 0L x2 cosnπxL dx integrando por partes 2X 4L2 1n n2 π2 n 1 Logo a série em cossenos de Fourier de f é Cx L23 4L2π2 1nn2 cosnπxL ii Temos bn 2L 0L x2 sennπxL dx integrando por partes 2X 2L2 1n1 nπ 4L2 n3 π3 1n 1 n 1 Logo a série em senos de Fourier de f é Sx 2L2 π 1n1n 2n3 π3 1n 1 sennπxL III Outras séries de Fourier 1 Série em cosenos mista de Fourier Seja f 0 L R e considere a extensão de f simétrica com relação a y x L ao intervalo 0 2L dada por fcx fx 0 x L f2L x L x 2L Agora a série em cosenos de Fourier de fc em 0 2L é Cmx c02 cn cosnπx2L onde c0 22L 02L fcx dx e cn 22L 02L fcx sinnπx2L dx Primeiro note que c0 1L 0L fx dx 1L L2L f2Lx dx 1L 0L fx dx 1L 0L fy dy 0 Para n 1 cn 1L 0L fx cosnπx2L dx L2L f2Lx cosnπx2L dx Fazendo a mudanca de variável y 2L x obtemos L2L f2Lx cosnπx2L dx L0 fy cosnπ2Ly2L dy 0L fx cosnπ2Lx2L dx Como cosnπ2Lx2L 1n cosnπx2L segue que L2L f2Lx cosnπx2L dx 1n 0L fx cosnπx2L dx Logo cn 1 1nL 0L fx cosnπx2L dx 2L 0L fx cos2m1πx2L dx n 2m 1 0 n 2m Portanto a série de fourier em cosenos de fc em 0 2L é Cmx cn cos2n1πx2L com cn 2L 0L fx cos2n1πx2L dx Em particular se f é contínua em 0 L temos que fx cn cos2n1πx2L para x 0 L 2 Exemplo Calcule a série em cosenos mista de Fourier de fx x L em 0 L Solução Os coeficientes são dados por cn 2L 0L x L cos2n1πx2L dx 42n1π x L sin2n1πx2L0L 0L sin2n1πx2L dx 42n1π 0L sin2n1πx2L dx 8L2n12 π2 cos2n1πx2L0L Portanto Cmx 8Lπ2 12n12 cos2n1πx2L 3 Série em senos mista de Fourier Seja f 0 L R e considere a extensão de f simétrica com relação a x L ao intervalo 0 2L dada por fsx fx 0 x L f2L x L x 2L Agora a série em senos de Fourier de fs em 0 2L é Smx dn sinnπx2L onde dn 22L 02L fsx sinnπx2L dx 1L 0L fx sinnπx2L dx L2L f2L x sinnπx2L dx Fazendo a mudança de variável y 2L x obtemos L2L f2L x sinnπx2L dx L0 fy sinnπ2L y2L dy 0L fx sinnπ2L x2L dx Desde que sinnπ2L x2L 1n1 sinnπx2L segue que L2L f2L x sinnπx2L dx 1n1 0L fx sinnπx2L dx Logo dn 1 1n1L 0L fx sinnπx2L dx 2L 0L fx sin2m1πx2L dx n2m1 0 n2m Portanto a série de fourier em senos de fs em 0 2L é Smx n1 dn sin2n1πx2L com dn 2L 0L fx sin2n1πx2L dx Em particular se f é contínua em 0 L temos que fx n1 dn sin2n1πx2L para x 0 L 4 Exemplo Calcule a série em senos mista de Fourier de fx x em 0 L Solução Os coeficientes são dados por dn 2L 0L x sin2n1πx2L dx 42n1π x cos2n1πx2L 0L 0L cos2n1πx2L dx 42n1π 0L cos2n1πx2L dx 8L2n 12 π2 sin2n 1πx2L 0L 1n1 8L2n 12 π2 Portanto Smx 8Lπ2 n1 1n12n 12 sin2n 1πx2L