Transformada Inversa de Laplace e Solução de Equações Diferenciais Ordinárias - Questões e Respostas

Semana 3 1 Expresse a transformada inversa de Laplace como uma integral Fs 1s 1²s² 4 2 Use a transformada de Laplace e expresse a solução dos problemas como uma integral y k²y gt y0 0 y0 0 Semana 4 3 Calcule a transformada inversa de Laplace Fs s 2 ess² 4s 3 4 Resolva o seguinte problema y y gt y0 2 y0 1 gt 1 0 t π2 1 t π2 Semana 5 5 Resolva o seguinte problema y y δ2πtcost y0 0 y0 0 6 Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução y 4y 2δπ4 y0 12 y0 0 Semana 6 7 Prove que ππ cosmtsenntdt 0 mn 0 8 Esboçar o gráfico e determinar a serie de Fourier das seguinte função fx x π fx 2π fx x R Meu Guru Questão 1 Fs 1s1² s² 4 Fs 1s1s1s4is4i Faremos separação de frações As1² Bs4i Cs4i As² 4 Bs4is1 Cs1s4i 1 Se s 1 s 1 0 A14 1 A 15 Se s 4i s² 16 12 A C 8i 1 4i 1 125 C 8i 1 4i 1 C 32 8i 5 125 C 17532 8i Se s 4i s² 16 125 8i B 1 4i 1 B 175 132 8i Por fim a transformada inversa será ft L¹F 12πi γ iγ i est Fs ds ft 12πi γ iγ i est 15s1² Bs4i Cs4i ds Questão 2 y k² y gt y0 0 y0 0 gt 1 0 t π2 1 t π2 Lg 0 gt est dt 0π2 est dt π2 est dt ests 0π2 ests π2 1 eπ2 ss 0 eπ2 ss Lg 1 eπ2 ss Ly Fs Ly s² Fs s y0 y0 s² Fs s² Fs k² Fs 1 eπ2 ss Fs 1 eπ2 ss² k² s Portanto a solução da EDO será yt L¹F γ iγ i ds2πi est 1 eπ2 s s s² k² Questão 3 Fs s2es s2 4s 3 s2 4s 3 0 Δ 16 413 4 s 4 2 2 s 3 s 1 Ou seja Fs s2 es s3s1 Separando frações 1 s3s1 As3 Bs1 s1A s3B 1 Se s1 B13 1 B 12 Se s3 2A 1 A 12 Fs s2 es 12s3 12s2 Fs 5 es 2s3 5 es 2s2 es s3 es s2 Transformadas inversas L1 e5s s α eαtτ Utτ função degrau L1 s Gs ddt L1 Gs ft L1 Fs ddt 12 e3t1 ut1 ddt 12 e2t1 ut1 e3t1 ut1 e2t1 ut1 ft 32 e3t1 e2t1 e3t1 e2t1 ut1 e3t1 2 e2t1 2 ddt ut1 ft e3t12 ut1 e3t1 2 e2t1 2 δt1 função delta 4 ft e3t12 ut1 e3t1 2 e2t1 2 δt1 Questão 4 y y gt y0 2 y0 1 gt 1 0 t π2 1 t π2 L gt 1 e5π2s Ly Fs Ly s2 Fs s 2 1 s2 F 2s 1 Fs 1 e5π2s Fs s2 1 2s 1 1s e5π2s Fs 2s 1 s2 1 1 e5π2 s2 1s Fs 2s s2 1 1s2 1 1s 1s2 1 e5π2s2 1 L1 ss2 1 cos t ut L1 1s ut L1 1s2 1 sen t ut L1 e5π2 s ut π2 L1Fs Gs ₀ᵗ fτ gtτ dτ convolução yt L1 Fs 2cos t sen t ut ₀ᵗ uτ sentτ utτ dτ ₀ᵗ uτ π2 sentτ utτ dτ 5 Questão 5 y y δt 2π cost y0 0 y0 0 L cost δt 2π ₀ cost δt 2π est dt cos2π e2πs e2πs Ly F Ly s2 F s0 0 Então s2 1 F e2πs Fs e2πs s2 1 L1 e2πs δt 2π L1 1s2 1 sen t ut yt L1 Fs L1 e2πs 1s2 1 ₀ᵗ δτ 2π sentτ utτ dτ yt sent 2π ut 2π Questão 6 y 4y 2 δt π4 y0 12 y0 0 L δt π4 eπs4 Ly F L y s2 F 52 0 s2 4 F 52 2 eπs4 Fs 2 eπs4 s2 4 12 s s2 4 yt L1 F 2 ₀ᵗ δτ π4 sen2tτ dτ 12 cos2t ut yt 2 sen2t π2 12 cos2t ut Obs Para equações do tipo y k² y ft Além da função e solução particular temos as soluções homogêneas y k² y 0 yt A coskt B senkt Q5 yHt A cost B sent Q6 yHt A cos2t B sen2t Gráfico para a Questão 6 y x from 26 to 26 Questão 7 from π to π cosmt sennt dt Vamos usar a identidade cosmt sennt 12 senntmt senntmt 12 from π to π sennmt dt from π to π sennmt dt 12 cosnmtnm from π to π cosnmtnm from π to π 12 n senmt sennt n cosmt cosnt n²m² from π to π 12 1n²m²n cos mπ cosnπ n cosmπ cosnπ 0 cosx cosx cosab cos a cos b sen b cos a Questão 8 fx x π fx 2π fx x R Série de Fourier fx a02 Σ an CosnπxL bn SennπxL L π a0 1π from π to π x π dx 1π x²2 πx from π to π 1π π²2 π²2 π² a0 2π an 1π from π to π x Cosnπxπ dx 1π from π to π π Cosnx dx 1π nx Sennx Cosnxn² from π to π πn Sennx from π to π an 1π Cosπn Cosπnn² 0 bn 1π from π to π x Sennx dx from π to π Sennx dx 1π Sennx n x Cosnxn² from π to π Cosnxn from π to π bn 1πn² Cosnπnπ nπ Cosnπ 2n Cosnπ bn 2 Cosnπn 2 1n n Por fim fx π Σ from n1 to 21n n Sennx