Avaliação - 2024-1

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia de Produção Disciplina: Métodos Estatísticos Aplicados à Engenharia de Produção Prof. Manoel Fernando Martins 1. Identifique quais são as propriedades dos estimadores dos parâmetros populacionais e explique por que a média amostral é um estimador mais eficiente do que a mediana amostral para a média da população. Além disso, justifique por que o desvio-padrão amostral não é um estimador justo do desvio-padrão da população. 2. Uma característica importante na ração animal é a umidade da mistura. Para um certo fabricante, a umidade da mistura segue distribuição normal com média de 8,5% de umidade e variância igual a 14. Durante o processo de fabricação são retiradas amostras, de tamanho 4 sistematicamente, e calculada a média da umidade. Se a média amostral apresentar valor acima de 12% o processo é interrompido, qual é a probabilidade de parar o processo? 3. Uma empresa fabricante de margarina deseja estimar a quantidade de lipídios contida em cada 100 g do produto. Para tanto, retirou uma amostra de 12 potes e obteve os seguintes resultados em g: 80,4; 80,7; 73,5; 65,0; 74,0; 99,6; 72,5; 87,6; 67,9; 70,3; 92,5; 90,7. Estime os parâmetros para os valores observados. 4. Quer-se testar o efeito do tipo de embalagem sobre as vendas de um tipo de sabonete. As vendas foram verificadas durante quatro semanas em três regiões com diferentes potenciais de vendas supostamente idênticas. A tabela a seguir apresenta os resultados. Quais suas conclusões quanto a esse experimento? Semana Embalagem A Embalagem B Embalagem C 1 15 21 9 2 20 23 13 3 9 19 20 4 12 25 18 5) Dois grupos de semelhantes de pacientes, A e B, constantes de 18 e 20 indivíduos, respectivamente, foram dados ao primeiro um novo tipo de soporífero e, ao segundo, um tipo usual. Para os pacientes do grupo A, o número médio de horas de sono foi de 7,82, com o desvio padrão de 0,24 horas. Para os pacientes do grupo B, o número médio de horas de sono foi de 6,75, com desvio padrão de 0,30 horas. Os soporíferos agem da mesma forma? 6) Os dados a seguir correspondem às variáveis renda familiar e gastos com alimentação numa amostra de 6 famílias, representadas em uma determinada moeda. Faça uma análise considerando os conceitos de correlação e regressão. 5. Gastos com Alimentação (1) Renda Familiar (2) 1,50 3,00 6,00 10,00 15,00 30,00 25,00 50,00 60,00 70,00 80,00 200,00 As propriedades dos estimadores são: • Consistência: um estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, o valor estimado converge para o valor verdadeiro do parâmetro populacional. • Eficiência: um estimador é eficiente se possui a menor variância entre todos os estimadores não viesados para um determinado tamanho de amostra. • Não-viés: um estimador é não viesado se o valor esperado do estimador, a esperança, é igual ao valor verdadeiro do parâmetro populacional. A média amostral é um estimador mais eficiente do que a mediana amostral porque é um estimador com menor variância. A média amostral utiliza todas as informações dos dados. O desvio padrão amostral é viesado, ou seja, a esperança do estimador não é igual ao valor verdadeiro do parâmetro. Assim, para corrigir esse problema, ao fazer a variância, aplica-se uma correção (divide-se por n-1 em vez de n). Essa correção ajusta o problema da subestimação da variabilidade. Dados: μ = 8,5% σ² = 14 Probabilidade: P(X̅ > 12%) = P (Z > 12 − 8,5 √14/4 ) = P(Z > 1,87) = 1 − P(Z < 1,87) = 1 − 0,9693 = 0,0307 = 3,07% A probabilidade de que o processo seja interrompido é de aproximadamente 3,07%. - Estimação da média x̅ = 80,4+. . . +90,7 12 = 954,7 12 = 79,5583 g - Estimação da variância s² = (80,4 − 79,5583)²+. . . +(90,7 − 79,5583)² 12 − 1 = 1310,969 11 = 119,179 g² - Estimação do desvio padrão s = √119,179 = 10,9169 g - Hipóteses H0: não há diferença entre as médias de vendas com cada embalagem H1: há alguma diferença entre as médias de vendas com cada embalagem - ANOVA x̅A = 14 x̅B = 22 x̅C = 15 x̅̅ = 17 SQTotal = (15²+. . . + 18²) − 204² 4 ∙ 3 = 3780 − 3468 = 312 SQEntre = 4 ∙ [(14-17)² + (22-17)² + (15-17)²] = 152 SQDentro = 312 − 152 = 160 GLTotal = 12 − 1 = 11 GLEntre = 3 − 1 = 2 GLDentro = 11 − 2 = 9 Quadro ANOVA Fonte de Variação GL SQ QM Fcalc Fcrit (tabelado) Entre 2 152 76 4,28 4,26 Dentro 9 160 17,778 Total 11 312 Considerando nível de significância de 5% (α = 0,05), temos o Fcrit = 4,26. Dessa forma, ao nível de significância de 5%, rejeita-se a hipótese nula. Há evidências de que existem diferenças significativas nas médias de vendas entre pelo menos dois dos três tipos de embalagens, ou seja, o tipo de embalagem tem um efeito significativo sobre as vendas do sabonete. Entretanto vale ressaltar que o Fcalc é muito próximo do Fcrit. - Hipóteses H0: 𝜇novo ≤ 𝜇usual (o novo soporífero não aumenta o número médio de horas de sono) H1: 𝜇novo > 𝜇usual (o novo soporífero não aumenta o número médio de horas de sono) - Estatística de teste Considerando que as variâncias são homogêneas, temos: sp = √(18 − 1) ∙ 0,24² + (20 − 1) ∙ 0,30² 18 + 20 − 2 = 0,2733 tcalc = (7,82-6,75) 0,2733 ∙ √ 1 18 + 1 20 = 12,05 ~ t(36) - Região crítica (α = 5%) Considerando nível de significância de 5%, temos: tcrit = 1,688 - Conclusão Como tcalc > tcrit, temos que a estatística de teste pertence à região de rejeição de H0. Dessa forma, ao nível de significância de 5%, rejeita-se a hipótese nula. Há evidências de que o soporífero novo resulta em maior quantidade média de horas de sono se comparado ao soporífero usual. Considerando a renda familiar como a variável preditora (x) e gasto com alimentação como a variável a ser predita (y), temos o seguinte diagrama de dispersão: O diagrama de dispersão indica uma correlação linear positiva entre as variáveis, ou seja, quanto maior a renda familiar, maiores os gastos com alimentação. - Dados x y x² y² xy 3 1,5 9 2,25 4,5 10 6 100 36 60 30 15 900 225 450 50 25 2500 625 1250 70 60 4900 3600 4200 200 80 40000 6400 16000 Total 363,00 187,50 48409,00 10888,25 21964,50 - Coeficiente de correlação r = 6 ∙ 21964,50 − 363 ∙ 187,50 √6 ∙ 48409 − 363² ∙ √6 ∙ 10888,25 − 187,50² = 63724,50 69195,68 = 0,9209 O coeficiente de correlação linear de Pearson foi de 0,9209, o que indica forte correlação linear positiva entre a renda familiar e os gastos com alimentação. - Regressão linear Seja y = a + bx, temos: b = 6 ∙ 21964,50 − 363 ∙ 187,50 6 ∙ 48409 − 363² = 63724,50 158685 = 0,401579 a = 187,50 6 − 0,401579 ∙ 363 6 = 6,9545 Dessa forma, a equação de regressão é dada por: Gastos com alimentação ̂ = 6,9545 + 0,401579 ∙ Renda Familiar 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 50 100 150 200 250 Gastos com alimentação Renda familiar Diagrama de dispersão