Exercícios - Derivadas Parciais - 2023-2

Exercícios 11.5 1. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. a) f(x, y) = 2x²y em (1, 1, f(1, 1)). b) f(x, y) = x² + y² em (0, 1, f(0, 1)). c) f(x, y) = 3x³y - xy em (1, -1, f(1, -1)). d) f(x, y) = xex²⁻ʸ² em (2, 2, f(2, 2)). e) f(x, y) = arctg(x - 2y) em (1/2, f(1/2, 1/2)). f) f(x, y) = xy em (1/2, 1/2, f(1/2, 1/2)). 2. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (-1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico de f(x, y) = xy. 3. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x² + y². 4. z = 2x + y é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 3). Calcule ∂f/∂x(1, 1) e ∂f/∂y(1, 1). 5. 2x + y + 3z = 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 1). a) Calcule ∂f/∂x(1, 1) e ∂f/∂y(1, 1). b) Determine a equação da reta normal no ponto (1, 1, 1). 29. Dizemos que (x_0, y_0) é um ponto crítico ou estacionário de z = f(x, y) se (∂f/∂x)(x_0, y_0) = 0 e (∂f/∂y)(x_0, y_0) = 0. Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada. a) f(x, y) = x² + y² b) f(x, y) = 2x + y³ c) f(x, y) = x² - 2xy + 3y² + x - y d) f(x, y) = 3x² - 3y - 3x - 3y e) f(x, y) = 3x² + 8xy² - 14x - 16y f) f(x, y) = x⁴ + 4xy + y⁴ 30. Seja (x_0, y_0) um ponto de D_f. Dizemos que (x_0, y_0) é um ponto de máximo local de f (respectivamente, ponto de mínimo local) se existe uma bola aberta B de centro (x_0, y_0) tal que, para todo (x, y) ∈ B ∩ D_f, f(x, y) ≤ f(x_0, y_0) (respectivamente, f(x, y) ≥ f(x_0, y_0)). Prove que se (x_0, y_0) é um ponto interior de D_f e se f admite derivadas parciais em (x_0, y_0), então uma condição necessária para que (x_0, y_0) seja um ponto de máximo local ou de mínimo local é que (x_0, y_0) seja ponto crítico de f, isto é, que (∂f/∂x)(x_0, y_0) = 0 e (∂f/∂y)(x_0, y_0) = 0. 19. Determine uma função f(x, y) tal que ∂f/∂x = 3x²y² - 6y ∂f/∂y = 2x³y - 6x + y/(y² + 1) 20. Determine ∂f/∂x, ∂f/∂y sendo f(x, y) = { (x + y⁴)/(x² + y²) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) } 21. Seja f(x, y) = { 1/(x² + y² - 1) se x² + y² < 1, 0 se x² + y² ≥ 1 } a) Esboce o gráfico de f. b) Determine ∂f/∂x, ∂f/∂y 22. Seja f : R² → R dada por: f(x, 0) = 1 + x², f(0, y) = 1 + y² e f(x, y) = 0 se x ≠ 0 e y ≠ 0. a) Esboce o gráfico de f. b) Calcule ∂f/∂x(0, 0) e ∂f/∂y(0, 0). c) f é contínua em (0, 0)? Justifique. d) ∂f/∂x(0, 1) existe? ∂f/∂x(1, 0)? e) Qual o domínio de ∂f/∂x? 23. Seja f(x, y) = x² + y² e seja γ(t) = (t, t, z(t)), t ∈ R, uma curva cuja imagem está contida no gráfico de f. a) Determine z(t). b) Esboce os gráficos de f e γ. c) Determine a reta tangente a γ no ponto (1, 1, 2). d) Seja T a reta do item c; mostre que T está contida no plano de equação z = f(1, 1) = ∂f/∂x(1, 1)(x - 1) + ∂f/∂y(1, 1)(y - 1). 24. Seja f(x, y) = x² + y² e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável cuja imagem está contida no gráfico de f. Suponha, ainda, γ(0) = (1, 1, 2). Seja T a reta tangente a γ em γ(0). Mostre que T está contida no plano z = f(1, 1) = ∂f/∂x(1, 1)(x - 1) + ∂f/∂y(1, 1)(y - 1). Interprete geometricamente. 1. Determine as derivadas parciais a) f(x, y) = 5x^4y^2 + xy^3 + 4 b) z = cos xy c) z = \frac{x^3 + y^2}{x^2 + y^2} d) f(x, y) = e^{-x^2 - y^2} e) z = x^2 \ln (1 + x^2 + y^2) f) z = xy e^{xy} 6. A função p = p(V, T) é dada implicitamente pela equação pV = nRT, onde n e R são constantes não nulas. Calcule \frac{\partial p}{\partial V} e \frac{\partial p}{\partial T} . 7. Seja z = e^v \phi(x - y), onde \phi é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = z. 8. Seja A : D -> \mathbb{R} uma função diferenciável de uma variável real e seja f(x, u) = -(x^2 + 2z, A(u). Mostre que \frac{\partial f}{\partial x}(x, u) = 0. Exercícios 10.2 1. Calcule as derivadas parciais. a) f(x, y, z) = x e^{t - y - z} b) w = x^2 \arcsen \frac{y}{z} c) w = \frac{xyz}{x + y + z} d) f(x, y, z) = \sin(x^2 + y^2 + z^2) e) s = f(x, y, z, w) dada por s = xw \ln (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)