Otimização com Restrições - Problemas Resolvidos de Cálculo Vol 2

ax by4 1 328 Um Curso de Cálculo Vol 2 A área do triângulo OMN é A 2ab O problema consiste em minimizar A 2ab com a restrição a2 b24 1 2a3b 2ab2 λ2a b2 ou 1a3b λ 4ab3 λ a2 b24 1 a2 b24 1 Das duas primeiras equações segue b 2a Substituindo na última equação obtemos a 22 A equação da reta que resolve o problema é 2x y 22 PROBLEMA 2 Seja fx y z diferenciável no aberto A R3 e seja B x y z A gx y z 0 onde g é suposta de classe C1 em A e g x y z 0 0 0 em B Qual uma condição necessária para que x0 y0 z0 B seja extremamente local da f em B Raciocinando geometricamente como no Problema 1 chegase à condição a condição necessária para x0 y0 z0 B ser extremamente local de f em B é que exista λ0 tal que fx0 y0 z0 λ0 g x0 y0 z0 Deixamos para o leitor a prova desta afirmação Deste modo os candidatos a extremantes locais de f em B são os x y z A que tornam compatível o sistema fx y z λ g x y z g x y z 0 EXEMPLO 5 Determine o ponto do elipsóide x2 2y2 3z2 1 cuja soma das coordenadas seja máxima Solução Queremos maximizar fx y z x y z com a restrição x2 2y2 3z2 1 fx y z λ g x y z g x y z 0 q 1 1 λ 2r 4y 6z x2 2y2 3z2 1 0 g x y z Como λ deve ser diferente de zero da 1ª equação tiramos x 12λ y 14λ e z 16λ Substituindo na última equação obtemos 14λ2 216λ2 336λ2 1 ou λ 1124 Máximos e Mínimos 329 Os candidatos a extremantes são