Exercicios Resolvidos-Calculo-Diferencial-e-Integral-Multiplicidade-de-Variaveis

interseção entre o gráfico e o plano consiste em infinitos pontos ou é vazia Mostremos que vale o primeiro caso O gráfico de f é a superfície z xy² x² y² 0 Fazendo z 0 temos xy² x² y² 0 xy² 0 x 0 ou y 0 ou seja essa interseção consiste nos pontos da forma 0y y ℝ ou x0 x ℝ isto é os eixos coordenados x e y e z respectivamente Portanto o plano z 0 não é tangente ao gráfico de f no ponto 000 Notemos que pelo item b um candidato a plano tangente no ponto 000 seria fx001 x0 y0 z0 0 001xyz 0 z 0 que é exatamente o plano em questão O fato desse plano não ser tangente ao gráfico de f no ponto 000 é porque f não é diferenciável em 00 Note que o gráfico no ponto 00 forma um bico Mostrase que f não é diferenciável em 00 de forma análoga ao item b do Exercício 8 9 a fxy 2xy x² b fxy 2xey2x2 2yxey2x2 c fxy 1y xy² yx x²y³ d fxy y x² y²² 2x x² y²² x x² y²² 2y x² y²² 10 a fxy yx b fxy 2x ln 2 2x ln 2 c fxy 2 sec²2y y tg2y y 2² sec²2y y² d fxy y 1 x² y² x 1 x² y² 11 a dzdt zx dxdt zy dydt y cosxy3 x cosxy2t 7t² cos 3t³ b dzdt zx dxdt zy dydt 2xcos 1 6ysen t 2 sen 2t c dzdt zx dxdt zy dydt 2x 1 x² y² 3 cos 3t 2y 1 x² y²3 sen 3t 0 12 a gt 3 fx 3t 2t² 1 4t fy 3t 2t² 1 b g0 3 fx 01 0 fy 01 3 13 1 13 Temos ft² 2t t³ 3t Assim ft² 2t 3t² 3 fx t² 2t2t fy t² 2t2 3t² 3 fx 1221 fy 122 31² 3 2 fx 12 2 fy 12 0 fx 12 fy 12 0 fx 12 fy 12 0 fx 12 fy 12 14 a Dvecv f91 fx 91cos π4 fy 91sen π4 142 b Dvecv f12 15 1 32 c vecu vecv vecv 113 23 e Dvecu f44 fx 44213 fy 44313 5813 d vecv vecv 17 14 e Dvecv f51 10017 e vecu vecv vecv 114 2 3 1 e Dvecu f105 2914 f vecu vecv vecv 135 315 e Dvecu f123 3e57 15 a fxxy 6xy² fxyxy fyxxy 6x²y fyyxy 2x²³ b fxxxy 2exy 1 2x² fxyxy fyxxy 4exy x y fyyxy 2exy 2y² 1 c fxxxy 21 x² y² fxyxy fyxxy 4xy 1 x² y²² fyyxy 21 x² y² 1 x² y²² d fxxxy 24x y⁴ fxyxy fyxxy 48x² y³ fyyxy 6y 48x² y² 16 Temos fx xy 2x x² y²² fy xy 2y x² y²² ²fx² xy 23x² y² x² y²³ ²fxy xy ²fyx xy 8xy x² y²³ ²fy² xy 23y² x² x² y²³ Agora basta verificar que as equações são válidas