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AVALIAÇÃO I - Física II Prof. Dr. Alex Eduardo de Bernardini Chame de a o maior número entre os dois últimos algarismos de seu RA. Chame de b o menor número entre os dois últimos algarismos de seu RA. Não tem problema se os dois forem iguais, a = b. Defina x = a + 2 e y = a - b + 1. Um fluido homogêneo tem suas mudanças de estado descritas no diagrama P-V (Pressão-Volume) ao ao lado: 1) (2.0) Calcule o trabalho ao longo do ciclo fechado CBAC (Use P = xy/V em AC). 2A) (1.0) De quanto varia a energia interna U ao longo do ciclo fechadao BACB. 2B) (1.0) Calcule a quantidade de calor Q (fornecida ou retirada do sistema) ao longo do ciclo fechado BACB. 3) (2.0) Qual seria o trabalho W e a quantidade de calor Q (fornecida ou retirada) ao longo da trajetória ABCA, se o trajeto CA fosse uma linha reta? Dica: Acima, as respostas acabam por ser INdependentes de V0. (Atenção aos sinais - e + , bem como à ordem das letras A,B,C !!!) 4) (2.0) Uma barra metálica retilínea de seção homogênea é formada de 04 segmentos de materiais diferentes, de comprimentos L0/a, L0/b, aL0 e bL0, e respectivas condutividades térmicas bk, ak, k/b e k/a. Qual é o valor da condutividade térmica da barra como um todo quando a=1/b? (Resposta independe de a e b!) 5) (1.0) Estão conectadas em série 03 barras de comprimento 3L0, 2L0 e L0, cada uma com respectivo coeficiente de dilatação térmica de α0/3, α0/2 e 2α0. Qual é o coeficiente de dilatação térmica total, αt? (1.0) Agora, imagine que "α0" NÃO SEJA MAIS UMA CONSTANTE! Suponha que α0 seja substituído por α0(T) = T/T02 + 1/T. Consequentemente αt também depende de T: αt(T). Neste caso, a relação diferencial entre o comprimento total e a temperatura é dado por (dL /L) = αt(T) dT. Neste caso, qual seria o valor do o comprimento final da barra caso a temperatura variasse de 2T0 para 4T0. Fórmulas Úteis dU = dQ – dW dW = P dV ΔQ/Δt = - k A (ΔT/L) Boa Prova! Avaliação I - Física II 1) O trabalho total é W = W_{CB} + W_{BA} + W_{AC}. Mas, W_{BA} = 0 pois é um processo isocórico. Já para W_{CB}, um processo isobárico, temos: W_{BC} = P \Delta V = \frac{X}{V_0} (XV_0 - yV_0) = x^2 - xy Por fim, W_{CA} = \int PdV = \int_{Xv_0}^{yv_0} \frac{xy}{V} dV = xy \ln \frac{y}{x}. Dai, W = x^2 - xy + xy \ln \frac{y}{x} 2)a) Como a energia interna é uma função de estado, ela não varia num ciclo fechado: \Delta U = 0 b) Pela 1ª Lei da Termodinâmica, \Delta U = Q - W . Logo, se \Delta U = 0, Q = W = x^2 - xy + xy \ln \frac{y}{x} Como o ciclo está no sentido horário, W > 0 , logo Q > 0 e o calor é fornecido. 3) Temos {Graph} O Trabalho total é W = -\left[ \frac{XV_0 - yV_0}{2} \right] \left[ \frac{X}{V_0} - \frac{y}{V_0} \right]. Negativo pois o ciclo está no sentido anti-horário. Logo, W = -\frac{(X-y)^2}{2}. Como \Delta U = 0, Q = W = -\frac{(X-y)^2}{2}. Como Q < 0, o calor é retirado do sistema. 4) No estado estacionário, todo calor que é conduzido pelo primeiro segmento, também é conduzido pelo segundo, terceiro e quarto segmento. Temos \dot{q} = \frac{k_1 A \Delta T_{01}}{L_1} = \frac{k_2 A \Delta T_{12}}{L_2} = \frac{k_3 A \Delta T_{03}}{L_3} = \frac{k_4 \Delta T_{34}}{L_4}. Mas, \dot{q} = \frac{k_{eq} A \Delta T_{04}}{L} . Logo, se somarmos \Delta T_{01} + \Delta T_{13} + \Delta T_{32} + \Delta T_{34} = \Delta T_{40} = \frac{\dot{q}}{A} \left( \frac{k_1}{L_1} + \frac{k_2}{L_2} + \frac{k_3}{L_3} + \frac{k_4}{L_4} \right) Dai, \dot{q} = \frac{k_{eq} A \dot{q}}{L} \left( \frac{L_1}{k_1} + \frac{L_2 + L_3}{k_2 k_3} + \frac{L_4}{k_4} \right). Isolando k_eq, temos: k_eq = \frac{L}{\left(\frac{L_1}{k_1} + \frac{L_2}{k_2} + \frac{L_3}{k_3} + \frac{L_4}{k_4}\right)} Aqui, L = \frac{L_0}{a} + \frac{L_0}{b} + a L_0 + b L_0; k_1 = b k \ ; \ k_2 = a k \ ; \ k_3 = \frac{k}{b} \ \text{e} \ k_4 = \frac{k}{a}. Se \ a = \frac{1}{b} \ , \ L_2 = L_3 = \frac{L_0}{b} \ \text{e} \ L_1 = L_4 = b L_0; k_1 = k_4 = b k \ \text{e} \ k_2 = k_3 = \frac{k}{b}. Daí, k_eq = \frac{L}{\frac{\frac{L_0}{k} + \frac{L_0}{k} + \frac{L_0}{k} + \frac{L_0}{k}}{k}} \Rightarrow k_eq = \frac{k L}{4 L_0} Mas, L = 2 b L_0 + 2 L_0. Logo, \ k_eq = \frac{k}{2} \left(b + \frac{1}{b}\right) 5) a) Inicialmente, \ L = 3 L_0 + 2 L_0 + L_0 = 6 L_0. Após uma variação \ \Delta T \ na \ temperatura, \Delta L = \frac{3 L_0 \alpha_0 \Delta T}{3} + \frac{2 L_0 \alpha_0 \Delta T}{2} + \frac{L_0 \alpha_0 \Delta T}{2} \ . \ \text{Logo,} \Delta L = \frac{5 L_0 \alpha_0 \Delta T}{2} = 6 L_0 \alpha_T \Delta T \ . \ \text{Logo,} \ \alpha_T = \frac{5 \alpha_0}{12} b) \ \text{Temos} \ \ \, \frac{d L}{L} = \alpha_T(T) \ d T \ . \ \text{Logo,} \frac{d L}{L} = \frac{5}{12} \left(\frac{T}{T_0^2} + \frac{1}{T}\right) d T \ . \ \text{Integrando:} \int_{6 L_0}^{L} \frac{d L}{L} = \frac{5}{12} \int_{2 T_0}^{4 T_0} \left(\frac{T}{T_0^2} + \frac{1}{T}\right) dT \ . \ \text{Logo,} \ln \frac{L}{6 L_0} = \frac{5}{12} \left[6 + \ln 2\right] \ . \ \text{Daí,} L = 6 L_0 \, e \, \frac{5}{12} \left[6 + \ln 2\right]