Prova - Pesquisa Operacional 2 2022 1

QUESTÃO 01 (3,5 pontos). O plano de produção diário de uma fábrica de tintas inclui lotes de tinta branca, amarela, vermelha e preta. São utilizadas as mesmas instalações para produzir as 4 cores de tinta, assim é preciso fazer uma limpeza entre os lotes de produção para evitar contaminação. A seguinte tabela apresenta os tempos de limpeza entre as diferentes cores. Formule um modelo para determinar a sequência ótima para a produção diária das quatro cores, que minimize o tempo total de limpeza necessário. Minutos de limpeza se a próxima tinta é da cor: Tinta atual Branca Amarela Preta Vermelha Branca - 10 17 15 Amarela 20 - 19 18 Preta 50 44 - 25 Vermelha 45 40 20 - QUESTÃO 02. Considere o modelo de planejamento da produção abaixo. Parâmetros: csit custo de preparação do prod. i no período t cpit custo de produção do produto i no período t hit custo de armazenagem do prod. i no período t dit demanda do produto i no período t Qt capacidade de produção no período t pi tempo de processamento do produto i Variáveis de decisão: xit quantidade do produto i produzida em t Iit estoque final do produto i no fim do período t yit variável binária que indica se ocorre setup para o produto i em t min ∑N i=1 ∑T t=1 (csityit + cpitxit + hitIit) sujeito a xit + Ii,t-1 - Iit = dit t = 1,…,T; i = 1,…,N (2) ∑N i=1 pixit ≤ Qt t = 1,…,T (3) piIit ≤ Qtyit t = 1,…,T; i = 1,…,N (4) yit, xit, Iit ≥ 0, yit ∈ {0,1} t = 1,…,T; i = 1,…,N (5) a) (1,5 pontos) Explique o modelo e indique exemplos de aplicação considerando: ambiente de produção e premissas. b) (1,5 pontos) Apresente uma extensão do modelo para considerar a utilização de horas extras e tempos de setup. QUESTÃO 03 (3,5 pontos). Considere que novas unidades básicas de saúde (UBS) devem ser abertas em uma cidade onde parte da população, dispersa em bairros mais distantes não tem acesso a este tipo de atendimento. Seja i ∈ I os bairros não atendidos, onde I = {b1, b2,…,b10}. A população dos bairros não atendidos (Wi) é conhecida. O poder público municipal fez levantamento de um conjunto de 4 locais candidatos (j) e neles novas UBSs podem ser construídas, bem como as distâncias entre cada bairro não atendido e os locais candidatos para abrir as UBSs (dij). A capacidade de abertura de cada UBS é uma decisão a ser tomada pelo poder público local, sendo que o Ministério da Saúde estabelece 4 portes {k1, k2, k3, k4} com diferentes capacidades (Qk) que são múltiplas entre si, ou seja, uma UBS de porte k2 corresponde a duas UBSs de porte k1. O número de UBSs que podem ser abertas (p) depende do porte ou da combinação entre eles, sendo que podem ser abertas no máximo o equivalente a uma UBS de porte k4 ou quatro UBSs de porte k1, e outras combinações intermediárias. Formule um modelo para definir quantas e quais UBSs devem ser abertas e quais bairros devem ser atendidos por estas UBSs, de forma que a distância total ponderada pela população seja a menor possível. Prova- Avaliação Pesquisa Operacional Problema 1 Resposta Explore que os custos são dados por Minutos de limpeza se a próxima tinta é da cor: Tinta atual Branca Amarela Preta Vermelha Branca - 10 17 15 Amarela 20 - 19 18 Preta 50 44 - 25 Vermelha 45 40 20 - (a) Vamos explicar o modelo como solicitado no item z = ∑N i=1 ∑T j=1 (csityit + cpitxit + hitIit) as variáveis são descritas por Parâmetros: csit custo de preparação do prod. i no período t cpit custo de produção do produto i no período t hit custo de estocar o prod. i no período t dit demanda do produto i no período t Qt capacidade de produção no período t pi tempo de processamento do produto i Variáveis de decisão: xit quantidade do produto i produzida em t Iit estoque final do produto i no fim do período t yit variável binária que indica se ocorre setup para o produto i em t Os índices i representa o produto entre 1,…,N e t entre os períodos 1,…,T. Assim o z é o somatório dos custos, onde temos que 1. Os valores csit é o custo de preparar o produto i no período t. Assim temos ∑N i=1 ∑T j=1 csityit que é o custo de preparação total. 2. Os valores cpit é o custo de produção do produto i no período t. Assim temos ∑N i=1 ∑T j=1 cpitxit que é o custo de preparação total. 3. Os valores hit é o custo de estocar o produto i no período t. Assim temos ∑N i=1 ∑T j=1 hitIit que é o custo de armazenagem total no período. Observe que vale a relação abaixo xit + Ii(t−1) − Tit = dit onde dit é a demanda do período t do produto i. 4. A capacidade de produção é limitada por Qt no período t, com pi é o tempo de produzir o produto i e a quantidade é ∑N i=1 pixit ≤ Qt 5. A capacidade de produzir um item i temos que pixit ≤ Qtyit 6. As quantidades são não negativas, ou seja, temos que yit, xit, Iit ≥ 0 7. Além disso é bom explicar que yit = 1 se preparamos a tinta i no período t e yit = 0 se não preparamos a tinta i no período t. (b) Para criar uma necessidade de um tempo de setup e a existência de horas extras. 1. O setup é o tempo de preparação dt do maquinário, ou seja, o tempo de funcionamento da tabela precisa abater o tempo ∑N i=1 pixit ≤ Qt − dt 2. Já a hora extra tem um custo que normalmente é maior, então precisamos incluir novas variáveis eit e modificar o z que é o custo z = ∑N i=1 ∑T j=1 (csityit + cpitxit + hitIit + cxiiteit) e inclui a expressão das horas extras de produção xit + eit + Ii(t−1) − Tit = dit ∑N i=1 pixit ≤ Q't pixit ≤ Qtyit Observe que Q't são as horas extras no período. Observe que precisamos adaptar que yit = 1 se preparamos a tinta i no período t somando xit + eit > 0 e yit = 0 se não preparamos a tinta i no período t somando xit + eit = 0. Problema 2 Resposta A função objetivo é dada por ter custos de atender as cidades que são dij onde i representa uma cidade e j é outra cidade e as populações para os bairros e wk é a população da cidade k. z = \sum_{i=1}^{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{d_{ij}}{w_{i}} x_{ij} visto que \frac{d_{ij}}{w_{i}} é a relação distância sobre a população. A variável x_{ij} significa que j indica onde está instalada e i é o conjunto de bairros que serão atendidos pela unidade j. 1. Quais as quantidades q_{ij} entregues pelas unidades j aos bairros i e temos \sum_{i=1}^{N} q_{ij} \leq Q_{j} 2. Assim os custos de transporte ponderados associa x_{ij} = 1 se q_{ij}>0 e x_{ij} = 0 se q_{ij} = 0. 3. Vamos ainda exigir que cada bairro i seja atendido por pelo menos uma unidade \sum_{j=1}^{N} x_{ij} = 1 4. Precisa definir a capacidade instalada nos bairros y_{1} + \ldots + y_{N} = 4 porque y_{i} = 1, Q_{t} = k_{s}(s = 1, 2, 3, 4) se tem UBS instalada e y_{i} = 0, Q_{t} = 0 caso contrário. Por outro lado, também é