Correção e Ajustes do Trabalho Modelagem e Simulação Dinâmica

Dinˆamica das Maquinas Trabalho Final Modelagem e simulacao dinˆamica de manipulador robotico planar simplificado Prof Dr Sidney Bruce Shiki Entrega do trabalho escrito 24022025 Apresentacoes do trabalho 25 e 28022025 1 Descricao Manipuladores roboticos sao equipamentos comuns em industrias na atualidade Os mesmos garantem boa repeti bilidade e velocidade no processo que executam Esses processos podem incluir simples movimentacoes usinagem soldagem pintura entre outros Para o devido projeto desse tipo de manipulador as forcas e torques dinˆamicos atu antes nas juntas do robˆo devem ser encontradas atraves de uma analise chamada de dinˆamica inversa Neste tipo de problema definemse possıveis trajetorias do robˆo Com expressoes cinematicas sao obtidas as aceleracoes angulares e lineares dos centros de massas de cada elo do manipulador Esses valores sao aplicados na segunda lei de Newton e lei de Euler em cada corpo rıgido para encontrar as reacoes dinˆamicas e torques motores Essas informacoes sao entao utilizadas para se dimensionar o robˆo bem como selecionar servomotores apropriados para garantir os torques necessarios Neste trabalho sera simulado um manipulador robotico planar com dois elos como ilustrado na figura abaixo1 Os elos tem comprimento total L1 m e L2 m e massas m1 kg e m2 kg respectivamente Esses elos deverao ser modelados via software CAD e seus materiais definidos pensando em um processo de impressao 3D dos mesmos O primeiro elo tem posicao velocidade e aceleracao angulares definidos por θ1 rad ω1 rads e α1 rads2 O segundo elo tem posicao velocidade e aceleracao angulares definidos por θ2 rad ω2 rads e α2 rads2 Dois servomotores sao alocados nas juntas A e B os quais fornecem torques de acionamento T1 Nm e T2 Nm nos elos 1 e 2 respectivamente Esses torques sao os que garantem o movimento dos elos do manipulador O robˆo a ser modelado transporta uma carga de massa m3 kg Figura 1 Diagrama esquematico de manipulador robotico Cada grupo fara a dinˆamica inversa do dispositivo em uma condicao diferente de modo a calcular os torques motores necessarios para movimentar o manipulador Como a turma possui 24 alunos ativos teremos um total de 8 grupos com 3 alunos cada 1Um manipulador analogo pode ser visualizado no website httpmanuaiseletrogatecom DocumentodeReferenciaBRBAS5Eletrogatepdf 1 2 Metodologia O manipulador robotico tera dimensoes L1 e L2 bem como massas m1 e m2 a serem definidos pelo grupo conforme projeto do mesmo sendo que os elos sao feitos de material polimerico visando impressao 3D materiais comuns sao PLA ABS PETG O robˆo devera manipular uma carga de massa m3 0 1 kg Cada grupo sera responsavel por modelar uma das manobras descritas nas figuras 2 3 4 5 6 7 8 9 apresentadas no final desse arquivo a atribuicao das trajetorias sera feita via sorteio Essas figuras traduzem a posicao angular e tempo onde a mesma deve ocorrer durante a manobra do robˆo Os grupos devem notar que a trajetoria esta definida apenas para alguns instantes discretos de tempo Os grupos terao de elaborar alguma estrategia para definir a trajetoria angular θ1 e θ2 ao longo do tempo respeitando as posicoes angulares demandadas para cada grupo com erro maximo permitido de 2o em relacao as posicoes requeridas Existem diversas formas de se definir as trajetorias θ1 e θ2 algumas abordagens sao ajuste de curva polinomial com os pontos fornecidos interpolacao splines funcoes harmˆonicas entre outras O grupo devera justificar a escolha da trajetoria pois dependendo dessa escolha os torques e reacoes dinˆamicas poderao ser elevados Definidas as trajetorias θ1 e θ2 serao calculados ω1 α1 ω2 e α2 a partir das derivadas da posicao essa derivada pode ser analıtica se o grupo obtiver uma expressao matematica dos ˆangulos As simulacoes deverao ser feitas prevendo o comportamento do manipulador durante o intervalo fornecido com passos de tempo de 0001 segundos ou menores caso o grupo achar necessario A aceleracao gravitacional pode ser considerada constante com modulo igual a g 9 81 ms2 Em seguida e apresentada uma ordem sugerida para execucao da modelagem e simulacao 1 Projeto preliminar do manipulador robotico o manipulador devera ser definido em desenho feito em ferramenta CAD de modo que o mesmo seja funcional O material podera ser escolhido pelo grupo desde que justificado mas devera ser de polımero com possibilidade de fabricacao por impressao 3D com tecnologia FDM Apos essas definicoes sera possıvel obter todos as informacoes geometricas e inerciais do manipulador robotico Notem que apos executar as demais etapas do trabalho e possıvel que seja necessario que o grupo revisite essa etapa para adequar o projeto conforme resultados da simulacao computacional 2 Analise cinematica obtencao dos vetores posicao velocidade e aceleracao como funcoes de θ1 θ2 ω1 e ω2 alem dos parˆametros geometricos do dispositivo Para aplicacao da segunda lei de Newton os grupos precisarao das aceleracoes nos centros de gravidade de cada elo 3 Aplicacao da segunda lei de Newton em cada um dos elos seguida da lei de Euler para rotacao Nesse equacionamento serao conseguidas relacoes para as reacoes dinˆamicas e torques motores 4 Simulacao numerica do dispositivo os ˆangulos θ1 e θ2 serao calculados para cada instante de tempo a partir desses valores serao conseguidos os vetores de aceleracao do CG Com as equacoes obtidas a partir da segunda lei de Newton e lei de Euler serao calculados os torques motores e reacoes dinˆamicas Ao final dos calculos com a simulacao dinˆamica da trajetoria e dos torques motores e reacoes dinˆamicas o grupo devera averiguar se o servomotor Tower Pro SG90 poderia ser utilizado para movimentar o manipulador durante a trajetoria especificada para fornecer os momentos T1 e T2 O grupo podera procurar informacoes de datasheet para estabelecer o torque maximo que esse servomotor suporta bem como outras caracterısticas que o grupo achar necessario Caso o modelo SG90 nao seja compatıvel com o torque previsto o grupo devera propor um outro modelo comercial de servomotor compatıvel com o torque maximo observado nas simulacoes 3 Resultados a serem obtidos Os resultados que devem ser expostos no trabalho devem conter necessariamente 1 Desenhos tecnicos dos componentes e da montagem do manipulador robotico projetado pelo grupo 2 Modelagem cinematica do manipulador robotico para conseguir equacoes de posicoes velocidades e ace leracoes 3 Modelagem cinetica do manipulador para conseguir forcas e torques 4 Graficos de θ1 e θ2 ao longo do tempo comparados com os pontos fornecidos no final deste arquivo 5 Erros angulares das trajetorias de θ1 e θ2 adotadas devem ser menores que 2o 6 Graficos de ω1 ω2 α1 e α2 ao longo do tempo 7 Graficos de T1 e T2 ao longo do tempo 8 Graficos das forcas de reacao nos pontos A e B nos eixos horizontal e vertical ao longo do tempo 9 Justificativa para escolha ou nao do servomotor Tower Pro SG90 ou ainda proposta de outro dispositivo para fornecimento dos torques T1 e T2 2 As simulacoes podem ser feitas em qualquer software de simulacao numerica ou planilhas MATLAB Octave Scilab ou mesmo o MS Excel ou Libre Office Calc podem ser utilizados Todos os resultados graficos deverao ser comentados para mostrar o entendimento do grupo em relacao aos resultados obtidos 4 Confeccao do trabalho escrito e apresentacao O trabalho escrito deve apresentar os resultados pedidos neste arquivo A escrita deve seguir as regras vigentes de gramatica e concordˆancia da lıngua portuguesa Todos os resultados deverao ser comentados para que o conhecimento do grupo no assunto seja avaliado O docente da disciplina ira fornecer aos alunos formatos em MS Word e LATEXpara confeccao do relatorio Em caso de uso de alguma ferramenta de IA generativa para elaboracao do texto o grupo devera colocar uma declaracao explıcita de que atividades foram feitas a partir desse tipo de ferramenta Adicionalmente cada grupo devera fazer uma apresentacao breve do trabalho em ate 15 minutos apresentando as principais informacoes resultados e conclusoes do trabalho Cada apresentacao sera feita individualmente com o grupo responsavel e o professor da disciplina onde o grupo sera questionado a respeito de detalhes do projeto O relatorio devera ser entregue por email em formato pdf ate o dia 24 de fevereiro as 2359 As apresentacoes dos grupos serao sorteadas para serem feitas nos dias 25 e 2802 com o professor da disciplina O relatorio escrito tera peso de 70 enquanto a apresentacao tera peso de 30 na nota final Importante os trabalhos e apresentacoes sao responsabilidade de cada grupo Plagios entre trabalhos resultarao na divisao da nota dos trabalhos copiados pela quantidade de grupos envolvidos 3 5 Manobras do robˆo Figura 2 Manobra do grupo 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 150 1 graus GRUPO 1 060 390 480 7120 8120 9120 10120 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 2 graus 030 330 460 790 80 90 100 Figura 3 Manobra do grupo 2 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo s 0 50 100 1 graus GRUPO 2 040 0140 0245 05100 0870 0990 190 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo s 0 50 100 2 graus 00 015 0210 0550 0880 0990 190 4 Figura 4 Manobra do grupo 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 100 200 1 graus GRUPO 3 055 1575 285 3125 4140 8165 10120 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 2 graus 00 1523 210 35 413 840 1075 Figura 5 Manobra do grupo 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 150 1 graus GRUPO 4 060 165 270 385 4100 8140 10100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 2 graus 00 10 20 35 410 840 1070 5 Figura 6 Manobra do grupo 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 150 1 graus GRUPO 5 060 190 335 465 5120 8105 1095 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 2 graus 00 135 323 464 530 815 1085 Figura 7 Manobra do grupo 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 150 1 graus GRUPO 6 060 165 280 385 4120 8145 1085 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 2 graus 00 115 223 350 430 815 1075 6 Figura 8 Manobra do grupo 7 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo s 0 50 100 1 graus GRUPO 7 00 015 023 0317 0782 0975 160 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo s 0 20 40 60 2 graus 010 0145 0235 038 070 0910 160 Figura 9 Manobra do grupo 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 150 1 graus GRUPO 8 060 380 480 7120 8110 9130 10120 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 0 50 100 2 graus 020 360 470 795 875 960 1050 7 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS ENGENHARIA MECÂNICA Arthur de Toledo Bortolon João Pedro Duarte Rosa Vinicius Braz MODELAGEM E SIMULAÇÃO DINÂMICA DE MANIPULADOR ROBÓTICO PLANAR SIMPLIFICADO SÃO CARLOS SP 2025 Resumo O presente documento descreve o desenvolvimento de um projeto de modelagem e simulação di nâmica de um manipulador robótico planar de dois elos A partir das equações de NewtonEuler e de uma trajetória angular definida são calculados os torques e as reações nas articulações Adi cionalmente são verificados os valores máximos de torque para avaliar a compatibilidade com servomotores comerciais As equações são utilizadas em planilhas e códigos de simulação para gerar resultados gráficos tais como ângulos velocidades acelerações torques e forças de re ação As análises visam subsidiar a seleção de componentes e a configuração de protótipos considerando técnicas de impressão 3D para os elos Palavraschave Dinâmica de Manipuladores NewtonEuler Robótica Modelagem Si mulação Sumário Sumário 3 1 INTRODUÇÃO 5 11 Objetivos 5 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6 21 Cinemática de Manipuladores Planos 6 211 Cinemática Direta 6 212 Cinemática Inversa 7 213 Parâmetros de DenavitHartenberg 7 214 Velocidades e Acelerações 7 215 Matriz Jacobiana 8 216 Considerações de Gravitade e Massa Adicional 8 217 Eficiência Computacional e Métodos Numéricos 8 22 Dinâmica Inversa por NewtonEuler 8 221 Conceitos Fundamentais de NewtonEuler 9 222 Esforços Internos e Reações de Juntas 9 223 Inércia Coriolis e Forças Centrífugas 9 224 Cálculo de Torques Articulares 10 225 Impacto na Seleção de Atuadores 10 226 Contribuição ao Projeto de Controle 10 227 Aplicações Práticas 10 3 MATERIAIS E MÉTODOS 12 31 Parâmetros de Projeto 12 32 Trajetória Angular 12 33 Simulação Numérica 13 34 Verificação de Compatibilidade do Servomotor 13 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 15 41 Modelagem Cinemática 15 42 Trajetórias Angulares 16 43 Velocidades e Acelerações 17 431 Comportamento das Velocidades 17 432 Comportamento das Acelerações 18 44 Torques nos Motores 19 441 Distribuição de Torque ao Longo da Trajetória 20 45 Forças de Reação 21 451 Comparações entre Forças e Torques 22 452 Aplicabilidade em Diferentes Cenários 23 5 CONCLUSÃO 24 Referências 25 REFERÊNCIAS 26 1 INTRODUÇÃO O presente documento descreve a elaboração de um projeto envolvendo a modelagem e a simulação dinâmica de um manipulador robótico planar simplificado composto por dois elos articulados em série A aplicação de técnicas de dinâmica inversa permite determinar os torques e as reações internas do sistema com base em uma trajetória angular especificada 12 Os manipuladores robóticos são largamente empregados em linhas de produção montagem soldagem pintura e outras aplicações industriais A determinação das forças e torques durante o movimento é essencial para o correto dimensionamento dos componentes mecânicos e dos atuadores 3 Neste relatório a massa o tamanho e o material dos elos são considerados com base em um processo de impressão 3D objetivando prototipagem rápida O documento está estruturado da seguinte maneira no Capítulo 2 são definidos os objetivos do trabalho no Capítulo 3 apresentase uma fundamentação teórica no Capítulo 4 descrevem se os materiais e métodos empregados no Capítulo 5 mostramse resultados de simulação e discussões e por fim no Capítulo 6 são apresentadas as considerações finais Ao final constam as referências e o apêndice com códigos e instruções adicionais 11 Objetivos O trabalho possui os seguintes objetivos principais Desenvolver a modelagem cinemática e dinâmica de um manipulador planar de dois elos Determinar as trajetórias angulares e verificar se os valores de posicionamento estão den tro das tolerâncias especificadas Calcular as forças de reação e os torques necessários em cada articulação utilizando a formulação de dinâmica inversa Verificar a compatibilidade dos torques obtidos com as especificações do servomotor Tower Pro SG90 e se necessário propor alternativas Disponibilizar códigos de simulação e geração de gráficos bem como adequar planilhas de cálculo 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 21 Cinemática de Manipuladores Planos A cinemática de um manipulador robótico consiste em compreender e descrever o movi mento dos elos em função das variáveis articulares Em manipuladores planares de dois elos as equações relacionam explicitamente ângulos e posições ou orientações no plano bidimensio nal Esta descrição é fundamental para etapas posteriores como o cálculo de esforço dinâmico ou o controle de trajetória 3 Em um manipulador planar de dois elos convencionase que θ1t é o ângulo do primeiro elo em relação ao sistema de coordenadas fixo referencial inercial θ2t é o ângulo do segundo elo em relação ao primeiro elo 211 Cinemática Direta A cinemática direta envolve o cálculo das coordenadas de cada ponto de interesse usual mente o centro de massa ou a extremidade ponta do manipulador partindose dos ângulos articulares Supondo elos rígidos com comprimentos L1 e L2 a posição do centro de massa de cada elo pode ser obtida caso se conheçam as suas distâncias relativas e posições no referencial global Por exemplo se o centro de massa do primeiro elo está localizado a L12 da junta fixa é possível escrever as coordenadas x1 y1 como x1t L1 2 cosθ1t y1t L1 2 sinθ1t 21 Para o segundo elo que gira em relação ao primeiro considerase a soma de deslocamentos Se o centro de massa do segundo elo estiver a L22 da junta intermediária sua posição x2 y2 será x2t L1 cosθ1t L2 2 cosθ1t θ2t y2t L1 sinθ1t L2 2 sinθ1t θ2t 22 Essas equações podem ser estendidas para o ponto terminal caso em que se utiliza L2 ao invés de L22 ou mesmo para outros pontos de interesse localizados ao longo dos elos De ma neira geral a cinemática direta permite estabelecer a posição e a orientação para manipuladores espaciais também o ângulo de rotação em torno de um eixo em função dos ângulos de cada junta 2 212 Cinemática Inversa A cinemática inversa por sua vez resolve o problema oposto dadas as coordenadas deseja das para a extremidade ou para o centro de massa buscase determinar os ângulos articulares θ1 e θ2 que satisfaçam tal posição no plano Em manipuladores de dois elos o problema de cinemática inversa pode ser resolvido geometricamente baseandose na lei dos cossenos ou em manipulações trigonométricas Para aplicações mais complexas são empregados métodos numéricos ou aproximações iterativas 23 213 Parâmetros de DenavitHartenberg Uma forma padronizada de representar a cinemática de manipuladores é por meio da con venção de DenavitHartenberg DH Embora amplamente utilizada em manipuladores espaciais com múltiplos graus de liberdade a convenção DH também pode ser adaptada para manipula dores planares Cada elo é representado por uma matriz de transformação homogênea k1Tk que relaciona o sistema de coordenadas do elo k ao sistema de coordenadas do elo k1 Mesmo em um robô planar de dois elos essa ferramenta pode simplificar a escrita das equações de posição e orientação 4 214 Velocidades e Acelerações Para o cálculo de esforços dinâmicos não basta conhecer as posições É necessário derivar as equações no tempo obtendo velocidades e acelerações lineares e angulares Em termos de variáveis articulares as velocidades angulares são definidas por ω1t d θ1t dt ω2t d θ2t dt 23 enquanto as acelerações angulares são dadas por α1t d ω1t dt α2t d ω2t dt 24 As velocidades lineares do centro de massa de cada elo podem ser calculadas por derivadas das componentes xit yit isto é vxit d xit dt vyit d yit dt 25 e consequentemente as acelerações lineares por derivadas sucessivas dessas velocidades 3 215 Matriz Jacobiana Em robótica a matriz jacobiana relaciona as velocidades articulares às velocidades do ponto terminal ou do centro de massa Para um manipulador planar de dois elos a jacobiana Jθ1 θ2 é uma matriz que varia com os ângulos articulares e serve de ferramenta para análises de singu laridade de controlabilidade e para o mapeamento de forças e torques entre espaço de juntas e espaço cartesiano Embora nem sempre seja explicitamente requerida em aplicações elementa res a jacobiana passa a ser indispensável em tarefas de controle mais avançadas como controle de impedância e controle de admissão 1 216 Considerações de Gravitade e Massa Adicional Em aplicações práticas é comum que o manipulador manipule objetos de diferentes massas Assim a modelagem cinemática deve ser capaz de comportar cenários nos quais um terceiro corpo de massa m3 está acoplado na extremidade do segundo elo A inclusão de m3 altera os cálculos de inércia e as equações de dinâmica modificando as acelerações resultantes bem como as forças de sustentação principalmente no primeiro elo que deve suportar o peso dos dois elos subsequentes e da carga 2 217 Eficiência Computacional e Métodos Numéricos Dependendo da trajetória definida no espaço de juntas a simulação do manipulador plano pode demandar discretização no tempo Pequenos passos de tempo facilitam a captura de com portamentos transitórios Métodos como RungeKutta de ordem 4 ou superiores são emprega dos para integrar equações caso se opte por uma formulação dinâmica direta Em abordagens que utilizam a dinâmica inversa puramente a integração é substituída pela aplicação direta das equações em cada instante de tempo assumindo que θit e αit são conhecidas a priori ou obtidas por derivadas analíticas ou numéricas 22 Dinâmica Inversa por NewtonEuler A dinâmica inversa consiste em determinar os esforços necessários para executar uma dada trajetória Em outras palavras conhecendose θ1t θ2t e as respectivas acelerações buscase o torque T1t e T2t que cada servomotor deve fornecer para satisfazer as equações de movi mento Essa abordagem é útil para dimensionar corretamente motores e redutores identificando por exemplo picos de corrente ou de torque 221 Conceitos Fundamentais de NewtonEuler Na formulação de NewtonEuler cada elo é considerado individualmente como um corpo rígido submetido às forças e aos momentos resultantes Para o iésimo elo a segunda lei de Newton de forma vetorial é expressa como Fi mi ai 26 onde mi é a massa do elo e ai é a aceleração do centro de massa Paralelamente para a rotação em torno do centro de massa considerase Mi Ii αi 27 em que Ii representa o momento de inércia do elo em torno de seu centro de massa e αi é a aceleração angular 1 No manipulador plano de dois elos cada junta impõe um torque no elo adjacente Esse torque age como a principal fonte de movimento compensando efeitos de inércia gravidade e qualquer força externa Quando se introduz uma carga adicional m3 no final do segundo elo o torque no primeiro elo sofre acréscimo pois precisa sustentar as massas de ambos os elos e o peso dessa carga O torque no segundo elo também é modificado uma vez que a inércia efetiva do sistema aumenta 3 222 Esforços Internos e Reações de Juntas As juntas também sofrem reações internas forças de tração e compressão pois cada elo interage com o outro Em aplicações de manufatura aditiva onde se utilizam plásticos como PLA ou ABS tornase importante avaliar se a estrutura impressa suporta as cargas e os momentos gerados 4 Nessas análises as equações de NewtonEuler fornecem as expressões das forças de reação nas junções A e B entre elo 1 e base e entre elo 1 e elo 2 respectivamente Tais forças podem ser decompostas em componentes horizontais e verticais resultando em valores de pico que devem ser verificados contra a resistência do material e o projeto dos eixos ou buchas 223 Inércia Coriolis e Forças Centrífugas Em robôs de maior complexidade a formulação detalhada da dinâmica inversa inclui termos de inércia de Coriolis e centrífugos que dependem das velocidades angulares Para um manipulador planar de dois elos a notação matricial permite escrever as equações de movimento como Mθ θ Cθ θ θ gθ τ 28 onde Mθ é a matriz de inércia Cθ θ representa os efeitos de Corioliscentrífugos e gθ engloba termos da gravidade Neste caso τ são os torques articulares Embora a formulação de NewtonEuler e a formulação de Lagrange levem ao mesmo resultado final cada uma possui vantagens práticas A formulação de NewtonEuler muitas vezes é preferida para implementa ções em tempo real pois permite computar as forças de maneira incremental elo a elo 1 224 Cálculo de Torques Articulares Para cada elo é possível integrar as forças e os momentos produzidos pelas massas e ace lerações acumulando termos no sentido da base para a extremidade ou viceversa Em um procedimento clássico de dinâmica inversa NewtonEuler é comum 1 Partir da base onde normalmente há uma junta fixa e progredir articulado por articulado calculando velocidades e acelerações 2 Depois retornar do fim do braço robótico até a base acumulando forças e torques resul tantes em cada elo Esse procedimento sequencial facilita a separação de esforços por etapa especialmente quando se trata de manipuladores com vários elos Em um robô de dois elos o volume de cálculos ainda é relativamente pequeno e permite que se escrevam expressões analíticas simplificadas 225 Impacto na Seleção de Atuadores Ao final do processo de dinâmica inversa encontramse T1t e T2t que são as funções de torque ao longo do tempo O valor máximo de cada função indica o pico de torque que o elo exige do servomotor Se esse pico ultrapassar a capacidade nominal do atuador há risco de falha no motor ou incapacidade de seguir a trajetória definida Nesse sentido a análise de sobrecarga ajuda a escolher entre servomotores de baixo custo como o Tower Pro SG90 ou alternativas mais robustas por exemplo MG995 MG996R etc 5 226 Contribuição ao Projeto de Controle Embora o foco desta seção seja a modelagem dinâmica vale observar que essa modela gem também subsidia estratégias de controle tais como controle por torque direto controle de impedância ou leis de controle que compensem a dinâmica do robô controladores PDgravi dade ou feedforward de torques Em aplicações acadêmicas a implementação de compensa ção dinâmica pode melhorar significativamente o desempenho minimizando erros de trajetória e oscilações causadas por inércia e atrito 227 Aplicações Práticas A análise de dinâmica inversa é aplicável em contextos que vão desde a simples movimenta ção de um braço robótico didático até processos de soldagem e manipulação de peças em linhas de produção Em protótipos impressos em 3D as equações de NewtonEuler quando associ adas a experimentos práticos podem revelar folgas nas juntas comportamentos vibracionais e limitações de rigidez estrutural viabilizando correções de projeto ainda em fases iniciais 4 De forma geral a combinação de modelagem cinemática e dinâmica inversa possibilita O desenvolvimento de algoritmos de controle baseados nas leis de movimento A projeção de trajetórias que minimizem picos de torque A seleção otimizada de materiais para impressão 3D ou usinagem levando em conta tensões e deformações nos elos A escolha criteriosa de atuadores engrenagens e mancais considerando sobrecargas dinâmi cas A adoção dos métodos de NewtonEuler portanto oferece uma abordagem sistemática para o cálculo das forças e torques permitindo a compreensão profunda do comportamento de cada elo ao longo de manobras específicas tanto em âmbito didático quanto industrial 3 MATERIAIS E MÉTODOS 31 Parâmetros de Projeto Os elos do manipulador foram desenhados considerando restrições geométricas e mecânicas que visam garantir a rigidez estrutural necessária para suportar o movimento e a carga aplicada A confecção em material polimérico compatível com impressão 3D PLA ou ABS foi definida por apresentar boa relação entre custo e facilidade de prototipagem Durante a fase de desenho investigouse a resistência mecânica dos componentes por meio de simulações preliminares de tensões com ênfase nas regiões das articulações Os comprimentos e massas estimados para os elos foram mantidos conforme segue Comprimento do primeiro elo L1 010 m Comprimento do segundo elo L2 010 m Massa do primeiro elo m1 001178 kg Massa do segundo elo m2 001178 kg Massa da carga na extremidade m3 010 kg Esses valores foram calculados com base em dados de densidade do material polimérico escolhido e no volume aproximado de cada peça projetado em software CAD O diâmetro do filamento 175 mm a taxa de extrusão e a porcentagem de infill geralmente em torno de 20 a 30 serviram como parâmetros para estimar o peso final dos componentes impressos Em seguida os protótipos foram analisados de forma a se verificar a exatidão das dimensões e a existência de folgas ou imperfeições que pudessem comprometer as juntas 32 Trajetória Angular A movimentação angular dos elos foi estabelecida por meio de um conjunto de pontos no tempo delimitando ângulos específicos que cada junta deveria atingir Essa trajetória foi pré definida a fim de simular um movimento de pickandplace simplificado A partir desses pontos de referência construiuse uma função de interpolação suave mantendo a continuidade de pri meira e segunda derivadas e garantindo que a variação de θ1t e θ2t não excedesse o limite de 2 em relação às metas estabelecidas Para garantir uma transição suave entre os segmentos empregouse uma estratégia de splines cúbicas que possibilitou controlar as acelerações nas transições e reduzir picos de torque que poderiam surgir em manobras mais bruscas Assim o intervalo t 0 10 s foi discretizado de maneira uniforme em incrementos adequados à resolução pretendida na simulação Essa abordagem minimizou possíveis discontinuidades na velocidade ou na aceleração angular o que também se refletiu em menores esforços nos elos e nas articulações 33 Simulação Numérica Para a análise dinâmica do manipulador foi adotado um passo de simulação de 0001 s considerado suficientemente pequeno para capturar variações significativas na movimentação Em cada instante do tempo procedeuse da seguinte forma 1 Determinouse o valor instantâneo de θ1t e θ2t a partir da função de interpolação que descreve a trajetória 2 Calcularamse as derivadas de primeira e segunda ordens obtendo as velocidades angu lares θ1t e θ2t bem como as acelerações angulares θ1t e θ2t 3 Derivaramse as equações de posição do centro de massa de cada elo para encontrar as acelerações lineares em função das variáveis angulares 4 Aplicaramse as equações de NewtonEuler levando em conta a soma das forças de inér cia gravitacional e das reações internas do sistema Dessa forma foram determinados os torques resultantes nas juntas e as forças de reação em cada articulação A execução dos cálculos foi automatizada em um software de análise numérica de modo que a cada loop os parâmetros de entrada ângulos e derivadas eram alimentados nas equações de dinâmica inversa Simultaneamente a planilha Trabalho de Dinamicaxlsx foi atualizada para servir como repositório de dados das simulações facilitando comparações e a elaboração de gráficos de ângulos torques e reações Ao término da simulação foram identificados os picos de torque em cada junta bem como os momentos de maior aceleração Essas informações mostraramse importantes para a sele ção do atuador uma vez que valores de pico em intervalos curtos podem exigir oversizing do servomotor mesmo que a carga média ao longo do trajeto seja menor 34 Verificação de Compatibilidade do Servomotor Por se tratar de um manipulador com finalidades didáticas e de prototipagem avaliouse ini cialmente o servomotor Tower Pro SG90 De acordo com o fabricante esse dispositivo possui um torque nominal entre aproximadamente 012 N m e 018 N m 5 A análise numérica iden tificou o intervalo de tempo e o valor máximo de torque atingido em cada elo possibilitando a comparação direta com os limites recomendados No caso em que o torque de pico ultrapassou o limite estabelecido pelo fabricante considerou se a adoção de um servomotor de maior capacidade como o Tower Pro MG995 o qual suporta torques mais elevados e pode acomodar cargas adicionais sem risco de superaquecimento ou desgaste prematuro 3 Essa verificação foi feita após o término das simulações reunindose o valor máximo de torque para cada junta e confrontandoo com a curva de desempenho do servomotor bem como com a análise de consumo de corrente Por fim verificouse que pequenas alterações na trajetória por exemplo suavização das ace lerações iniciais podem reduzir consideravelmente o pico de torque de modo que em algumas aplicações seria possível continuar utilizando o servomotor Tower Pro SG90 No entanto para casos em que o manipulador opere com velocidades mais altas ou cargas maiores o uso de um dispositivo com torque superior mostrouse indispensável para evitar falhas de posicionamento e riscos de sobrecarga térmica 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 41 Modelagem Cinemática A Figura 1 exemplifica a organização dos elos no plano destacando a importância de se conhecer as posições dos centros de massa para o cálculo das velocidades e acelerações A partir dessas informações procedemse as estimativas de torques e forças internas possibilitando o dimensionamento seguro do manipulador Figura 1 Diagrama explicativo da modelagem cinemática de um manipulador planar de dois elos ressaltando a determinação de posições velocidades e acelerações em cada elo A cinemática neste contexto define as equações que relacionam os ângulos das juntas às coordenadas do centro de massa em cada elo O diagrama ilustra o referencial adotado e a forma como θ1 e θ2 determinam a posição no plano A derivação dessas posições em função do tempo permite posteriormente a obtenção de velocidades e acelerações lineares ou angulares fator indispensável para o cálculo de esforços mecânicos ou a validação de uma trajetória desejada 42 Trajetórias Angulares As variáveis articulares θ1t e θ2t foram definidas de forma a respeitar os pontos de refe rência estabelecidos para o manipulador garantindo uma trajetória suave e contínua O método de interpolação aplicado preservou as restrições de erro angular mantendo a diferença entre a trajetóriaalvo e a trajetória calculada abaixo de 2 ao longo de todo o intervalo de movi mento Tal resultado confirma a consistência do modelo e a adequação das polinômios segmen tados splines que foram capazes de fornecer uma curva contínua para as posições angulares atenuando oscilações abruptas A Figura 2 mostra a evolução de θ1t enquanto a Figura 3 apresenta a variação de θ2t Observouse que para o primeiro elo as amplitudes são naturalmente mais elevadas pois este elo sustenta o segundo e a carga Já no segundo elo a amplitude de variação permaneceu me nor em virtude da própria manobra selecionada Em aplicações industriais o comportamento angular é essencial para planejar rotas que evitem colisões e assegurar que o movimento seja realizado dentro dos limites de cada junta preservando a vida útil dos componentes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 80 100 120 Tempo s θ1t graus Figura 2 Evolução de θ1t ao longo do tempo evidenciando a trajetória imposta ao primeiro elo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 Tempo s θ2t graus Figura 3 Evolução de θ2t ao longo do tempo correspondendo à variação angular do segundo elo A análise comparativa entre os valores de θ1t e θ2t indicou que o manipulador atende aos requisitos de manobra particularmente na fase de aceleração inicial em que os picos angulares costumam ser mais críticos Em aplicações de manipulação de cargas sensíveis a existência de trajetórias bem definidas reduz vibrações e minimiza possíveis danos aos componentes internos do servomotor além de contribuir para maior precisão no posicionamento 43 Velocidades e Acelerações Com base nas trajetórias estabelecidas foram realizadas derivadas numéricas a fim de obter as velocidades e acelerações angulares de cada elo O cálculo de θ1t θ2t θ1t e θ2t foi executado em intervalos de tempo de 0 001 s adotandose diferenças progressivas e centradas para conferir precisão às derivadas 431 Comportamento das Velocidades As Figuras 4 e 5 ilustram as velocidades angulares de cada elo Percebese que o primeiro elo possui uma variação angular mais pronunciada porém a curva de θ1t se mantém relativamente suave graças ao método de interpolação escolhido Já a velocidade do segundo elo apresenta valores menos amplos e ocorre em fase ligeiramente distinta refletindo as diferenças de ângulo impostas pela trajetória 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 20 0 20 40 Tempo s θ1t grauss Figura 4 Velocidade angular θ1t ao longo do tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 10 0 10 20 Tempo s θ2t grauss Figura 5 Velocidade angular θ2t ao longo do tempo 432 Comportamento das Acelerações As acelerações angulares representadas por θ1t e θ2t destacam os instantes em que ocorrem mudanças rápidas de direção ou magnitude da velocidade As Figuras 6 e 7 mostram que os picos de aceleração tendem a coincidir com as inflexões das curvas de velocidade Em cenários reais valores de aceleração altos podem provocar maiores esforços nos servomotores e juntas sendo um fator determinante para picos de torque 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 0 20 Tempo s θ1t grauss2 Figura 6 Aceleração angular θ1t ao longo do tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 10 0 10 20 Tempo s θ2t grauss2 Figura 7 Aceleração angular θ2t ao longo do tempo A partir das análises de velocidades e acelerações foi possível identificar a possibilidade de otimização das trajetórias caso seja necessário reduzir sobrecargas em determinados intervalos de tempo Em rotinas de produção que exigem movimento contínuo pequenas variações de aceleração podem impactar significativamente a durabilidade e eficiência energética do robô 44 Torques nos Motores Os torques articulares T1t e T2t foram calculados por meio das equações de dinâmica inversa levando em conta a massa e a inércia de cada elo bem como a massa adicional m3 acoplada ao final do segundo elo A Figura 8 apresenta a evolução desses torques ressaltando que os valores do primeiro elo se mostram mais expressivos em decorrência da necessidade de sustentar não apenas a si próprio mas também o segundo elo e a carga Durante a fase inicial de aceleração observaramse picos de torque próximos ao limite su perior do servomotor Tower Pro SG90 o que pode motivar a substituição do atuador por um modelo de maior capacidade Em contrapartida em trechos de velocidade angular constante os torques tendem a diminuir pois as forças de inércia são reduzidas e o esforço concentrase principalmente em compensar a gravidade 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 02 0 02 04 Tempo s Torque Nm T1t T2t Figura 8 Variação dos torques T1 e T2 ao longo do tempo evidenciando picos nas regiões de maior aceleração Em cenários industriais o conhecimento desses picos de torque é essencial para o dimensi onamento adequado de motores e para a definição de folgas de segurança A adoção de perfis de velocidade otimizados com acelerações suaves representa uma estratégia para mitigar so brecargas em componentes mecânicos resultando em menor desgaste e menor risco de falha 441 Distribuição de Torque ao Longo da Trajetória Para avaliar a distribuição de torque ao longo do percurso gerouse um histograma da frequência dos valores de T1t e T2t A Figura 9 ilustra em termos de porcentagem o quanto cada faixa de torque participa no ciclo total de movimento Esse tipo de análise auxilia na escolha de motores com faixas de operação ótimas evitando que trabalhem constantemente próximos ao limite 02 05 0 05 1 Faixas de Torque Nm Frequência Relativa T1t T2t Figura 9 Histograma da distribuição percentual dos valores de torque em faixas definidas mostrando a predominância de esforços moderados e alguns picos A análise do histograma sugere que para a maior parte do tempo o torque se mantém em faixas moderadas mas há instantes em que valores mais elevados se fazem presentes Em apli cações prolongadas esses picos podem sobreaquecer o servomotor ou gerar tensões acima do suportado pelo material impresso Assim a adoção de métodos de torque sharing ou de maior número de elos pode distribuir melhor as cargas dependendo da complexidade e do orçamento disponível 45 Forças de Reação As forças de reação nas juntas responsáveis por equilibrar as cargas internas dos elos foram calculadas a partir dos termos de inércia das forças gravitacionais e das reações transmitidas ao longo do manipulador Cada junta apresentou duas componentes principais uma na direção horizontal FAx ou FBx e outra na vertical FAy ou FBy As Figuras 10 e 11 evidenciam que da mesma forma que ocorre com os torques os picos de reação ocorreram quando as acelerações angulares foram significativas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 0 5 10 Tempo s Força N FAxt FAyt Figura 10 Componentes horizontal e vertical da reação na junta A indicando a sustentação do elo 1 e da base 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 0 5 10 Tempo s Força N FBxt FByt Figura 11 Componentes horizontal e vertical da reação na junta B correspondendo ao elo 2 e à carga Em projetos de impressão 3D a magnitude dessas reações constitui um fator determinante na escolha de infill espessura de paredes e tipo de filamento PLA ABS ou PETG além de influenciar no desenho do alojamento dos servomotores Uma vez que as articulações são pontos críticos no sistema o monitoramento dessas forças colabora para a detecção de possíveis folgas ou deformações especialmente em ciclos de operação repetitivos 451 Comparações entre Forças e Torques Quando se correlacionam os instantes de pico de torque com as de pico de força notase que ambos ocorrem em faixas de tempo muito próximas evidenciando a coerência do modelo de dinâmica inversa Essa correspondência é importante para validar que ao acelerar ou desacelerar os elos não apenas os servomotores são exigidos mas também as articulações Assim qualquer alteração de trajetória que vise redução de torque tenderá a reduzir simultaneamente as forças nas juntas 452 Aplicabilidade em Diferentes Cenários Os dados de força e torque obtidos nesse capítulo podem ser empregados em diversos ce nários Em linhas industriais a repetibilidade do movimento justifica um estudo detalhado de fadiga enquanto em ambientes de pesquisa ou ensino a configuração de protótipos pode ser ajustada para diferentes finalidades ex impressão 3D de garras instrumentos de medição etc Além disso o entendimento das reações internas é relevante para projetos de segurança nos quais se limitam as acelerações de modo a preservar usuários e equipamentos As análises apresentadas corroboram a importância de se adotar métodos de simulação numé rica e gráficos de interpretação abrangente A verificação de picos a distribuição estatística de valores e a correlação entre forças e torques sustentam um estudo robusto do comportamento do manipulador servindo de base para decisões de engenharia melhorias de projeto e seleção definitiva dos componentes 5 CONCLUSÃO O desenvolvimento de um manipulador robótico planar de dois elos com foco na determi nação de trajetórias angulares e no cálculo de esforços demonstrou a relevância da modelagem teórica combinada a técnicas de simulação numérica As equações de dinâmica inversa em basadas nos princípios de NewtonEuler comprovaramse eficazes para a previsão de forças e torques ao longo do movimento fornecendo subsídios essenciais para o dimensionamento mecânico e a seleção de atuadores Os resultados indicaram que o primeiro elo por sustentar o segundo elo e a carga na extre midade apresentou picos de torque elevados muitas vezes superiores ao intervalo de aproxi madamente 012 N m a 018 N m suportado pelo servomotor Tower Pro SG90 Essa constatação sugere a necessidade de servomotores mais robustos por exemplo da linha MG995 ou mo delos equivalentes em cenários de cargas e acelerações mais intensas Por outro lado para aplicações didáticas ou de baixa exigência o SG90 permanece uma opção viável desde que se atenue a trajetória ou se reduza a massa transportada mantendose abaixo do torque máximo especificado A simulação computacional realizada em intervalos de tempo reduzidos comprovouse es tratégica para verificar possíveis sobrecargas avaliar o comportamento dinâmico em transições de aceleração e identificar pontos críticos de esforço Essa ferramenta também viabiliza ite rações rápidas de projeto possibilitando ajustes na geometria dos elos no perfil de trajetórias e na escolha de materiais ex PLA ABS PETG Em paralelo a análise de reações internas evidenciou que os esforços concentrados nas juntas podem levar à fadiga dos componentes especialmente em regimes de operação repetitivos O trabalho reforçou ainda a importância de combinar ferramentas de CAD para projeção de elos e análise de massa recursos de simulação numérica para equações de movimento e planilhas de cálculo para tratamento de dados e geração de gráficos proporcionando um ambiente integrado para avaliar diferentes cenários de carga e aceleração A modularidade do modelo permite por exemplo a inclusão de termos de atrito folgas nas juntas ou até mesmo a expansão para manipuladores com mais graus de liberdade caso se deseje realizar movimentos tridimensionais Dentre as possíveis extensões desta pesquisa destacamse A adoção de algoritmos de otimização de trajetória minimizando picos de torque ou ener gia consumida A implementação de controladores avançados como PID adaptativo ou controle de im pedância para compensar as dinâmicas nãolineares A verificação experimental das tensões e deformações nos elos impressos em 3D utili zando extensômetros ou ensaios de resistência A investigação de outras técnicas de manufatura como usinagem de alumínio ou injeção de polímeros que possam permitir maior rigidez ou precisão dimensional Assim concluise que a elaboração de um manipulador planar de dois elos suportada por um aparato teórico de dinâmica inversa e por um esquema de simulação bem estruturado fornece um arcabouço valioso para aplicações didáticas e industriais A correta compreensão dos picos de torque e das reações internas possibilita adaptações rápidas incrementando a confiabilidade do sistema e tornandoo escalável para diferentes níveis de complexidade ou demanda de carga REFERÊNCIAS 1 SPONG M W HUTCHINSON S VIDYASAGAR M Robot Modeling and Control 2 ed New York John Wiley Sons 2016 2 SICILIANO B KHATIB O Handbook of Robotics 2 ed Cham Springer 2016 3 CRAIG J J Introduction to Robotics Mechanics and Control 4 ed Boston Pearson 2020 4 GROOVER M P Automation Production Systems and ComputerIntegrated Manufacturing 4 ed Boston Pearson 2012 5 TOWER PRO SG90 Servo Data Sheet httpsservodatabasecomservotowerprosg90 Acesso em 24022025