Aula 01: Estabilidade de Sistemas Amostrados - Controle Digital de Sistemas Dinâmicos

1 Controle Digital de Sistemas Dinâmicos Prof Dr Edgar Campos Furtado edgarufsjedubr UFSJCAP Sala 201 3 Aula 01 Estabilidade de Sistemas Amostrados ESA Parte I Revisão 00 Arquivo AULA01ESAIR00 Bibliografia 1 Cap 7 PHILLIPS CL e NAGLE HT Digital Control System Analysis and Design 3ª Edição 2 Cap 5 CHEN CT Linear System Theory and Design 3ª Edição 3 LAGES WF Notas de aula Disponível em httpwwweceufrgsbrfettereng04037stabilitypdf 28052018 4 ESA Objetivos da Aula 2 iN A motivacao para essa aula pode ser resumida na busca pela resposta a trés perguntas Como pode ser definida a estabilidade de sistemas amostrados Il Como obter a equacdo caracteristica Az de sistemas amostrados em malha fechada quando nao é possivel explicitar a Funcao de Transferéncia Discreta a Ill A partir da equagao caracteristica Az como realizar a analise de Estabilidade de um Sistema Amostrado ESA UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado x ESA Embasamento teorico 3 BA Considere um Sistema Discreto Linear Invariante no Tempo SDLIT com uma entrada e uma Saida SISO representado em espaco de estados por 0 xk1 Axk Buk yk Cxk Dufk em que A R B R1 C RD E R representam os pardmetros desse sistema x IR representa o vetor de estados u R e y R representam os sinais discretos no tempo de entrada e de saida do sistema respectivamente U y uk SDLIT yk Q t t UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Embasamento teorico 4 BA E possivel demonstrar que a Saida para o sistema Q é dada por k1 yk CA0 CAK1Bulm Duk m0 em que x0 R representa o vetor de estados iniciais condig6es iniciais do sistema Percebese que a Saida de 2 depende de duas parcelas k1 yk CAKxO CAK1Bum Duk p m0 Resposta ao estado nulo forada Resposta a entrada nula natural UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado ESA Embasamento teorico 5 BA Considerando condicées inicias nulas x0 0 entdo a saida de Q pode ser dada por k1 k yk CAK1Bum Duk glk mrm Duk m0 m0 OU seja a Saida 6 dada pelo somatorio de convolucao em que glk m CA1B rm ulm Nesse cenario se a entrada for limitada permanecer entre uma valor maximo e um valor minimo a saida Tr sera limitada pL UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Embasamento teorico 6 BA Um exemplo de funcao limitada é o degrau unitario 1 k0 u Limite maximo parak O uk P Y 0parak 0 1 i loop Lp t Nesse caso possivel estabelecer limites de f forma que a funcdao nao ira ultrapassalos para Limite minimo octo Assim podese representar uma funcado limitada como uk u parak Zk 01 2 Com isso temse o conceito de estabilidade BIBO BoundedInput BoundedOutput Um sistema é dito BIBO estavel se para uma entrada limitada a saida do sistema também é limitada UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Embasamento teorico 7 BA Considerando novamente a saida do sistema Q k k yk glk mrm Dulk glmrk m Dulkl m0 m0 A saida sera limitada se k k Lyf glmirk m Dulkl lglmilire mil Dulkl m0 m0 Supondo entrada limitada uk u 0 entdo k ylk tm Ighmll Dum m0 Uma vez que D é constante temse que é suficiente para a saida ser limitada que k k tm Iglm tmM lglml M m0 m0 sendo M o R um valor real positivo limite para o somatério de convolucdo UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 04 ESA Embasamento teorico 8 iN Além de suficiente também é necessario Considere a funcao sinal 0 seglm 0 rk m sgngm 1 se gm 0 1 se gm 0 A funcao definida anteriormente é claramente limitada Logo k k ylk ghmJrk m Dulk Ighm Ditp Assim k k Jim yfk Jim lglmll Dum Dum im lgtmll Desta forma a saida sera limitada se e somente se K Iglml 0 m0 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Embasamento teorico 9 iN Percebese entado que a estabilidade BIBO esta associada a funcado gm que deve ser limitada ou absolutamente somavel para k Considerando novamente a saida do sistema para D 0 ou seja k yl glmjulk ml m0 E possivel demonstrar que k Z yl 2 glmlu ke m Yl GzUlzI m0 Nesse caso considere Kp j21 2 Gz aN Hj1z z em que k R representa o ganho do processo e zi1 e 2 representam os conjuntos de zeros e polos de G respectivamente UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Embasamento teorico 10 iN Assumindose que Uz possa ser escrita como um polinémio racional em z temse Yz GzUz Z Z Z Z Yz aa sf tea z ZZ4 ZZgq z Zq z Zam Expansao em fragoes parciais com parcelas do denominador de Uz Expansao em fragoes parciais com parcelas do denominador de Gz sendo que zi2 representam polos com multiplicidade unitaria de G za a quantidade de polos com multiplicidade maior que um 2 3 n de G Y representa os termos da expansao em fra6es parciais com parcelas do denominador de Uz UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Embasamento teorico 11 BA Assim para se ter estabilidade BIBO 4 Z Z Z Z ZZ4 ZZq z Zqp z Zam deve gerar parcelas limitadas para k oo De fato o resultado da transformada Z inversa e k k k n1 k 21 o Z kZq ton tk Zan Pela equacao anterior percebese que se Z ya 1 polos com multiplicidade unitaria de G e Zq i 1 polos com multiplicidade maior que um 2 3 n de G entdo k lgk m M m0 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado Wn ESA Embasamento teorico 12 UX Assim podese definir a Regiao de Estabilidade para Sistemas Amostrados Qualquer ponto no Plelebeleletebebelereleieteteneteterebeietepetetetige ten felebebebelebebelebeleleteeleteietebenetetetetete IV plano Z pode ser PIANO Z ESEEEEEEEEEEEEEEESEEEEEEEEEEEEEEESEEEEEEEEEEEEEESEEEEE representado por ee Resido de le EEstabilidade BIBO ZUt JV OU jc HUHUHN HIG J eee ag To regiao de z 226 sendo od Instabilidade B180 pissing QE Iz Ju2 v2 ag Le Beene pS A ae v com py tan7 as pu u Gong poe aay x Estabilidade Marginal ooo no converge nem EEE EE EES caf RELEESTESETTLTSSEEEETETEESEEEES Logo aestabilidade n eres localizac3o no plano Z PEEDEIDIEDEEEIDIDPEIED EDIE DESDEDED PDD Ep DED PELE PED EEE dos polos de Gz UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Embasamento teorico 13 iN E importante ressaltar que Yz GzUz Z Z Z Z Yz 7 4 7 IZ 27 71 7 Za z 2q 2 Za Expansao em fragdes parciais com parcelas do denominador de Uz Gera a parcela da resposta forgada em regime PERMANENTE Expansao em fragoes parciais com parcelas do denominador de Gz Gera a parcela da resposta forgada em regime TRANSITORIO Os polos de Gz z2 e za 5 usados para analisar a estabilidade BIBO sao obtidos pela EQUACAO CARATERISTICA de Gz UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado Wn ESA Sistemas Discretos em Malha Fechada 14 1 Considere 0 caso em Malha Fechada e LOH R y TT A estabilidade BIBO do sistema dependera da resposta transitoria especificamente da Equacao Caracteristica que pode ser obtida da Funcao de Transferéncia Discreta Cz Gz Clz T z lz Rz 1 GHz Ou seja Az 1 GHz Entretanto em alguns casos nao é possivel obter a funcdao de transferéncia discreta do sistema em malha fechada Entao como proceder a analise de estabilidade By UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado Wn ESA Sistemas Discretos em Malha Fechada 15 LUN Para os sistemas discretos em malha fechada que nao sao possiveis de se obter a FTD Funcdao de Transferéncia Discreta dois procedimentos sdo propostos para responder a essa pergunta ou seja obter Az A partir da equacdo que define a saida do sistema Cz Vv Nesse caso a ideia é analisar a parcela do denominador de Cz que é independente da entrada Rs A partir do diagrama de fluxo de sinal DFS com algumas adequacoes Vv Nesse caso a ideia é gerar a funcdo de transferéncia de malha aberta Gz aberta no amostrador ideal E importante ressaltar que a Eq Caracteristica Az também pode ser obtida a partir da representacdo do sistema em espaco de estados UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Obtendo Az a partir de Cz 16 Wn Z Z Para ilustrar a obtencdo de Az a partir de Cz Exemplo 1 Considere o sistema amostrado em malha fechada RS CS o pina a Qe 9 Ndo é possivel obter a FTD Assim a equacao de saida é R GG G1G S ak Ls Z IZ 2 Ls 64a4e 142 t e IZ A parcela do denominador que independe da entrada Rs 6 a Eq Caracteristica Logo GG Ajz 1 z 1 5 2 2 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado On ESA Obtendo Az a partir do DFS 17 iN Procedimento para obtengao de Az a partir do DFS 12 Passo Considerar RS 0 Justificativa Az independe da entrada 22 Passo Considerar a saida do amostrador ideal como sinal de entrada E s E s e a entrada do amostrador com sinal de saida Es Es Justificativa Considerando o sinal de entrada apos o amostrador ideal saida do amostrador impdese que o novo sinal de entrada foi amostrado Logo é possivel obter uma funcao de transferéncia discreta 32 Passo Obter o diagrama de fluxo de sinal considerando os passos 12 e 22 42 Passo Obter a Funcdo de Transferéncia de Malha Aberta Gz EzEz 5 Passo Obter a Equacdo Caracteristica Az 1 Gz UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado On ESA Obtendo Az a partir do DFS 18 BA Exemplo 2 Considere novamente o sistema amostrado em malha fechada Rs Cs pina Qe Aplicando o procedimento anterior 12 e 22 Passos Realizados em vermelho no diagrama a seguir ZoH Rs Es 7 Es Cs RsO Es Tj s en UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado On ESA Obtendo Az a partir do DFS 19 BA Exemplo 2 cont 32 Passo Obtencdo do diagrama de fluxo de sinal ZOH Rs Es 7 Es Cs RsO Es T s eS 1 1 O O O C Cs UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Obtendo Az a partir do DFS 20 BA Exemplo 2 cont 42 Passo Obter a Funcdo de Transferéncia Goz EZEZ 1 1 O O O 2 J Cs A partir do diagrama é possivel obter s GsEj s CsG2s Es Es Cs Assim G1sG2s Es GsEjs EosG2s Eos Eos 5 Ei 2 Go s G1G2 Eoz G1G2 A 2 1B fe 5 Goplel e UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado On ESA Obtendo Az a partir do DFS 21 BA Exemplo 2 cont 52 Passo Obter a Equacdo Caracteristica Az 1 Gpz G1G2 Az1Gz Alz 1ZI Z op Z Z ea Exemplo 3 Considere o sistema amostrado em malha fechada ZOH e ZOH RS ES E 8 ES E2S CS S C2 OT eus 1 Gas S T S T Nesse caso existe dois amostradores ideais Devese assumir OS novos sinais de entrada e saida em relacao ao amostrador ideal mais préximo ao sinal de entrada UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado On ESA Obtendo Az a partir do DFS 22 BA Exemplo 3 cont 12 e 22 Passos Implementado em vermelho no diagrama a seguir ZOH ZOH RS ES E S ES E2S CS S Tex 1 ef eas S RSO ES T S a T 32 Passo Obtencao do diagrama de fluxo de sinal 1 GiS E2S E2S GS CS ES Ej S Hs 1 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Obtendo Az a partir do DFS 23 Exemplo 3 cont 42 Passo Obter a Funcdo de Transferéncia Gz EZEZ 1 GiS E2S E2S GS CS ES Ej S Hs 1 A partir do diagrama é possivel obter te s GSE s G2sHsE3s Es G2sE3s Assim E3s GEfs GHSEs Eis ES ers 1 GHs Ez G z Ez G E G 2 Gola Ba a pF Gople Taha UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado On ESA Obtendo Az a partir do DFS 24 BA Exemplo 3 cont 52 Passo Obter a Equacdo Caracteristica Az 1 Gpz G Zz Ajz1GoyzZ Alz1 2 oplz Alz 5 Exemplo 4 Considere o sistema amostrado em malha fechada a seguir Determinar a Equacdao Caracteristica Rs Cs Cc C ate E s T Es Aplicando o procedimento para obtencao da Eq Caracteristica 12 e 22 Passos Implementado em vermelho no diagrama anterior UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Obtendo Az a partir do DFS 25 BA Exemplo 4 cont 32 Passo Obtencdo do diagrama de fluxo de sinal Rs xls Cs Gs Cc C a E s T Es Gs O o Cs Hs evos Diz Es Eos 1 O O O O UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Obtendo Az a partir do DFS 26 iN a Exemplo 4 cont 42 Passo Obter a Funcdo de Transferéncia Goz EZEZ Gs O o Cs H2s es Diz s Eos 1 O O O O A partir do diagrama é possivel obter Eos H2seeSDzE s Hy sEsGs G1 Hpe oS Eo z GHz os E DzE s G z mD z os Te Gh DIETS BE Goplel Gg mPa 52 Passo Obter a Equacdo Caracteristica Az 1 Goz GHzos Az 1 Gop Z Az 1 ewan zmDz UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Obtendo Az a partir do EE 27 BA Equacao Caracteristica a partir da representacao em espaco de estados Considere o sistema em espaco de estados a seguir 0 xk1 Axk Buk ylk Cxk Dulk em que A R B R1C R D R sao os parametros x IR representa o vetor de estados u y IR sao os sinais de entrada e saida respectivamente Assim Yz C Adjzl ABD DetzIA Te plz cet ay1B p AU 8 FP Det A Rz DetzI A em que Adj 6a matriz Adjunta J R é a identidade e Det o determinante Nesse caso por inspecao da funcao de transferéncia temse que a Eq Caracteristica é Az Detzl A UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Obtendo Az a partir do EE 28 BA Exemplo 5 Considere o sistema Q A B x4k 1 fo pe r0 Q fs kK1 k ol Xk H ulk x1k vik fo PE ote rae x2k em que A R2B R1C R2 D R sdo os parametros x R representa o vetor de estados u y R sao os sinais de entrada e saida respectivamente Assim a Eq Caracteristica pode ser determinada como aye 1 O7 sO 1 Alz DetzI A 0 Det z F 1 b 0 Azzz210 Az z22z10 De fato Yz 4 1 0 sO 11 70 ag OIA B 0 0 1 z 1 I A 0 Yz Z Riz z22z41 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado Wn ESA Métodos de Analise de Estabilidade 29 LUN A partir de Az é possivel analisar a estabilidade de sistemas amostrados Os principais métodos de analise de estabilidade para sistemas amostrados sao Il Critério de Jury ou teste de Jury CJ Y Aplicado diretamente em Az ll Critéiro de RouthHurwitz CRH Vv Primeiro é necessario aplicar uma transformacdo em Az para depois aplicagdo do CRH Observacoes e Atransformacao citada no CRH é chamada de transformacao bilinear Os métodos acima sao usados para indicar se o sistema é ou nao estavel ou seja se as raizes de Az estao ou nao na regido de estabilidade Também podem ser utilizados para avaliar a estabilidade em funcao da mudanca de coeficientes pardmetros do processo que interferem nas raizes de Az UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 30 BA 12 passo Representar a Eq Caracteristica como Az az An1z 1 aZ a 0 em que ai Rsdo parametros ea 0 Lyi0 2 passo Verificar as condicdes preliminares Alz 0 Z1 1 Az 0 Z1 do dy Se alguma condicao anterior nao for verdadeira Sistema Instavel 32 passo Sendo todas as condicoes anteriores verdadeiras Construir a Tabela Jury 42 passo A partir da Tabela de Jury verificar as condicdes bo bnsI Col Ien2l Io ls mo mzI UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado ESA Critério de Jury Tabela de Jury 31 BA A Tabela de Jury sera necessaria somente se Os critérios do 22 passo forem TODOS verdadeiros Ograu de Az forn 3Sen 2a Tabela de Jury tera 3 elementos apenas Tabela de Jury 70 al Ze 73 Pee ae gn Obtido por Ao a A a3 ves An2 An1 An inspecao em Az An An1 An2 An3 a2 ay Ao Parametros bo by bp b3 bn2 by1 Calculados by1 Dn2 ng 4 ve b bo Co Cy C2 C3 Cn2 Critério de Cnh2 ss Cn3C C4 Cs nee Co parada do calculo Linha com apenas 3 lo ly lp ls elementos l l ly lo mo mM my UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury Tabela de Jury 32 BA Calculo dos pardmetros da Tabela de Jury 190 an 20 4n1 190 Ank 4 bo q an bt a a oa a ts k 0120 1 bo naa bo nna bo oat Co cy yee Ce k012n 2 0 b bo bn1 by i bn1 by Co Cn2 Co 866 n3 Co n2k dy dy Joni die k 012n 3 0 Cn2 Co 1 n2 4 k Cn2 Ck lo ls lo ol 1 2 Mo fi if LP lg LI lg lk a O1e Exemplo de ldgica de construgdo dos determinantes parametros bo b e C3 bo primeira e ultima coluna da linha dos pardmetros ai b primeira e penultima coluna da linha dos parametros ai C3 primeira e antepenultima coluna da linha dos parametros b UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 33 BA Exemplo 6 Considere o sistema em malha fechada Gs Toh Gals Rs 1 173 1 Cs Oe TES ea Pia Para T 1s qual a faixa de valores de k para se ter sistema estavel 12 Passo Determinar Az para 0 sistema em malha fechada Cz ky Gz Rz 1kGz Entretanto Z6s Cl 0368z 0264 Si GlZ 213687 0368 Assim Alz1kGlz0 Alz1k 22682 0204 0 a pole P72 136820368 Az z 0368k 1368z 0368 0264k 0 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 34 BA Exemplo 6 cont 22 Passo A partir de Az aplicar critério de Jury 12 passo Representar Az com a 0 coeficiente da maior poténcia em z Az z 0368k 1368z 0368 0264k 0 2 passo Verificar as condicdes preliminares A1 0 A1 1 0368k 13681 0368 0264k 0 0632k 0 k 0 1A1 0 11 0368k 13681 0368 0264k 0 0104k 2736 0 Ky 26308 ao ay 0368 0264k 1 Kp 2393 ek 5 182 Logo as condicoes sao verdadeiras no intervalo 0 ky 2393 32 passo Construir a Tabela Jury Como n 2 nao necessario construir a Tabela de Jury Logo a faixa de ganho para o sistema ser estavel é 0k 2393 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado ESA Critério de Jury 35 BA Para o exemplo anterior se Ky 2393 temse Az z 03682393 1368z 0368 02642393 0 Az z 0488z10 Os polos serdo Z12 0244 j0970 124 7591241325radrzZ atl Nesse caso o sistema sera marginalmente estavel ou seja para uma entrada limitada o sistema nao vai convergir nem divergir conforme resposta ao degrau 225 Logo a frequéncia 20 0 g Q Q de oscilacdo é 175 I i 15 y 7 2nf CLK 55 O 1325 AE if inl sn ln dll i ala i asl i T a G 075 f 475Hz 05 025 a 4 oe cb iS Z 012345 67 8 9 1011121314151617181920 225 25 t kT s UFSJ CAP AULA10 Cédigo para Grafico Edgar C Furtado ESAEX06RO1m ESA Critério de Jury 36 Bn Resposta ao degrau unitario do sistema para k 1 15 14 o 125 Bf iar yr Wo os Gr 4p O c k 075 t 05 025 OC 012345 67 8 9 1011121314151617181920 225 25 t kT s Nesse caso Az z z 0632 0 Os polos serdo Z12 05 j0618 07952 0891 rad As caracteristicas da resposta transitoria Inr 0249 MUP 44 Os resultados 40 J nr 62 coerentes com o grafico 1 On eV nr 6 092 rads ty 1746s da resposta temporal UFSJ CAP AULA10 Cédigo para Grafico Edgar C Furtado ESAEX06RO1m Wn ESA Critério de Jury 37 Exemplo 7 Considere um sistema em malha fechada com Eq Caracteristica Alz z 18z7 105z 020 0 Verifique se esse sistema é estavel 12 passo Representar Az com a 0 coeficiente da maior poténcia em z Alz z 18z 105z 020 0 2 passo Verificar as condicdes preliminares A1 0 A1 1 181 1051 02 0 005 O ok 1A1 0 11 181 1051 02 0 405 0 ok dp az 02 1 ok Logo as condicdes sao verdadeiras Como n 3entdo é necessario construir a Tabela de Jury UFSJCAP UA Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 38 BA Exemplo 7 cont 32 passo Construir a Tabela Jury au ae Ze Zz Obtido por 02 105 18 1 Az 1 18 105 02 Mo m4 uy Sera preciso calcular somente uma linha uma vez que essa linha tera apenas 3 elementos que é o critério de parada de calculo da Tabela de Jury Assim 02 1 02 18 Mo 1 ool 096 Mm 1 ros 159 02 105 As raizes de m2 1 a 069 Az estavam ps on na regiao de oO 42 passo A partir da Tabela de Jury verificar a condicao estabilidade mo mz 096 069 ok Conclusao Sistema estavel no sentido BIBO De fato Az z 08z 05 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 39 BA Exemplo 8 Considere um sistema em malha fechada com Eq Caracteristica Alz z 12z 007z 03z 008 0 Verifique se esse sistema é estavel 12 passo Representar Az com a 0 coeficiente da maior poténcia em z Alz z 12z 007z2 03z 008 0 2 passo Verificar as condicdes preliminares A1 0 A1 1 121 00712 031 008 0 009 0 ok 1A1 0 11 121 0071 031 008 0 189 0 ok dao a3 008 1 ok Logo as condicdes sao verdadeiras Como n 4 entao é necessario construir a Tabela de Jury UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 40 iN Exemplo 8 cont 32 passo Construir a Tabela Jury ge zi Zz a z Obtido por 008 03 007 12 10 inspecdo em Az 10 12 007 03 008 lo ly ly ls l l L lo Mo m mM 008 1 lo 1 cal 0994 0994 0204 9 oye 908 220 1176 o 9204 0994 077 1 1 03 7 0994 0076 1194 1 7008 007 9 ge m1 0204 1176 7 2 4 007 0994 1176 9 aac F908 03 9204 20204 0076 3 1 120 42 passo A partir da Tabela de Jury verificar as condicées As raizes de Az ides Io lz 0994 0204 ok na regiao de estabilidade mo mz 10946 0315 ok po ee Conclusdo Sistema BIBO estavel De fato Az z 08z 04z 05z 05 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 41 BA Exemplo 9 Considere o sistema em malha fechada Gs Dz ZoH Gps Rs C kz Lig eet 1 Cs yoy 1 P 5 s1 Para T 01se k 100T 10 qual a faixa de valores de K para sistema estavel 12 Passo Determinar Az para o sistema em malha fechada Cz dD zGz Rz 1DzGz Entretanto 171 kj kpz Kp D eo mem ww 2GsGlzl ar Dll ee Assim Az 1DzGz z GQe1k ky 1 e17 61 1 ek 0 Substituindo os valores Az z 00952k 0953z 0905 00952k 0 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 42 BA Exemplo 9 cont 22 Passo A partir de Az aplicar critério de Jury 12 passo Representar Az com a 0 coeficiente da maior poténcia em z Az z 00952k 0953z 0905 00952k 0 2 passo Verificar as condicdes preliminares A1 0 A1 1 00952k 09531 0905 00952k 0 Ok 0952 independente de k condiao ok 1A1 0 11 0953 00952k 1 0905 00952k 0 01904k 2858 0 k 150105 ao ap 0905 00952k 1 ky 200105e k 09979 Logo as condioes sao verdadeiras no intervalo 09979 ky 150105 32 passo Construir a Tabela Jury Como n 2 nao necessario construir a Tabela de Jury Logo a faixa de ganho positivo para o sistema ser estavel é 0k 150105 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de Jury 43 BA Observacoes pertinentes sobre o exemplo 8 Ocompensador digital para esse exemplo é um PI Proporcional Integral A parte integral é usada para adequar as caracteristicas em regime permanente De fato o sistema compensado apresenta constante de velocidade z1 z1k kzkJ1e k ky lim DzGz lim ki kpz T71 z1 T z1 T z1 ZeE T Logo o erro em regime permanente é 1 T e ky A parte proporcional é usada para adequar as caracteristicas em regime transitorio Por isso que apos ajustado k conforme mostrado no exemplo 8 passase a analise de estabilidade em funcao de k para se conhecer a faixa de variado do mesmo de forma que o sistema seja estavel A definigao de ky dentro da faixa estavel depende de critérios para a resposta em regime transitorio UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado Wn ESA Critério de Jury 44 1 Uma consequéncia do critério de Jury 6 0 caso Az z aZ az OF E possivel provar que o sistema é estavel se e 1 Az 1 lag 1 a Essas condicdes definem uma regiao no plano do parametros a X az dada por ag aglay 1 agtla oe coe ag 1 ASS SAAT AAA AAA ATA qq hhh 4 RAR HH4 RQ 6860984 RRQ ONWY TD RRQQQ QQ QOL 1 ay MQQQQ MAYO SON 7 a 1 UFSJ CAP AULA10 Edgar C Furtado