Projeto de Compensadores PID - Aula 13

1 Controle Digital de Sistemas Dinâmicos Prof Dr Edgar Campos Furtado edgarufsjedubr Sala 2172 Aula 13 Projeto de Compensadores PID DB Revisão 00 Arquivo AULA13PCPIDR00 Bibliografia 1 Cap 8 PHILLIPS C L e NAGLE H T Digital Control System Analysis and Design 3ª Edição x Projeto Compensador PID por DB 2 BA O compensador PID consiste em uma estrutura baseada na soma de trés parcelas que atua de forma paralela na manipulacao o sinal de entrada DZ ai AD numérica ZoH Processo Ez Mz2 tear 0 Le Ky numerica C P2s O sinais P e P constituem sinais de perturbacao De fato o projeto do compensador PID consiste no calculo dos ganhos Kk proporcional k integral cumulativo kq derivativo antecipativo UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 3 BA Em tempo continuo 6 comum representar essa estrutura matematicamente como Cf det mt Kyet k etdtkg adh to Ou 1 det et mt fe 7 eae Ta to em que 7 kk o tempo integral e Tg Kgky 0 tempo derivativo Em termos de funcao de transferéncia temse k k 24 P ai Ms k Ki kis kas gis x Es 2 gs s Ou 1 1 2 Ms itur kTas rs m Es Ts Ol S UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado x Projeto Compensador PID por DB 4 BA No contexto do tempo discreto o projeto de compensadores PID no dominio da frequéncia pode ser baseado no modelo matematico obtido da transformacao bilinear k k 24 P ai Mw k ka w t ka wt zs Kaw yo1W yo2 ky kgu a 2 Ovywww Ew Ww Ww Ww dB O PID possui dois zeros finitos Wyo1 wo1 wo2 Wyo2 um polo na origem Logo a implementacao pratica do PID é problematica uma vez que o ganho Phase aumenta de forma ilimitada a medida que WwW 90 a Resposta em frequéncia tipica de um 90 ee compensador PID UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 5 BA Dois desmembramentos sao importantes na estrutura anterior I Compensador PI Ml ki kypwtk ki1wayo ky Ew Ww Ww Ww eM que Wyo kj Ky dB Paraw K Wyo dB Paraw Wyo dB 20 logk Owo Oy 20 log Ky E importante observar que essa estrutura representa um compensador atraso de Phase fase com o polo fixado em zero Ow 45 mcf Resposta em frequéncia tipica de um 99 ene compensador PI UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 4 Projeto Compensador PID por DB 6 BA Il Compensador PD MW et kgwk1 w Ew Pe PN wo eM que Wyo KyKg dB Paraw K Wyo GB 20 logk Paraw Wwo dB o On 20 log Ky E importante observar que a estrutura anterior representa um compensador Avanco de fase com o polo fixado em Phase infinito 90 o bonne nena e 45 cf Resposta em frequéncia tipica de um compensador PD 0 UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado x Projeto Compensador PID por DB 7 BA O principal desafio do PID consiste na implementacdo da derivacgao e da integracao numérica Considere a regra trapezoidal de integracao T mk 1T mkT 5 tele 1T ekT Aplicando a transformada z temse T zMz Mz 32 Ez Ez et MzT 7 Ez 2tz1 KT elk 1T Esse um dos possiveis métodos de integracao numérica também conhecido como aproximagao kT k4 DT bilinear UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 4 Projeto Compensador PID por DB 8 BA Considere a regra retangular de derivagao elkT elk 1T miler CETL elle DT kT k 1T Aplicando a transformada z temse Ez z71Ez Mz Z F Mz z1 cit Ez TZ Esse um dos possiveis LA elkT meétodos de derivacdo numérica elk DT também conhecido como Backward differences k1T kT t UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 9 BA De fato utilizando backward difference a equacao do diferenciador apresenta um zero e um polo ou seja Mz z1 Mz Mw w w DS FF CS FX 5 Ez Tz Ez17aw Ew 1T2w 1Wway 2TT 2w ao se analisar a equacao em w observase um zero em w0 eum polo em w Wy 2T Em geral e esse polo esta fora da banda passante do sistema pode ocorrer problemas com amplificacao do ruido UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 10 BA Assim uma forma de se implementar o PID é Mz tk T z1 tk z1 Ez 2z1 Tz Integracao por Derivacao por aproximacao backward bilinear differences Nesse caso evitase 0 problema com condicionamento numérico do polo do PID A equacao anterior apos transformacao bilinear se torna Mz Mw k w Mz OW i Lk Ez1T2w Ew Ww 1 wW 1T2w UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 4 Projeto Compensador PID por DB 11 BA Desconsiderando a influéncia do polo wy temse mW pw k ttt Dw Ww Ew Pw 4 A resposta em frequéncia desse controlador é Kj DGowy Kp J kKqoy 0 DGa20 w Em termos de projeto em frequéncia a questao se resume a determinar ky kj e Kg de forma que DGy1G Gow1 12180 Pm em uma dada frequéncia wy UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado x Projeto Compensador PID por DB 12 BA Considerando k DGoy Ky j Kar at IDGwy26 D Gaycos 0 jsen 0 WwW GUoy a IGGayIZy Entao 6 180 y IDGowDGGow 1 Assim k IDG 6 t 6 Ww cos 8 cos 0 P wt IGGaw1 k Djay4 sen 4 0 Wy1 Ww sen sen owt Ow1 wt IG Gow UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 13 BA Nessa metodologia os critérios de projeto sao Frequéncia de operaao Wy Margem de fase A partir dessas informacoes podese calcular O angulo de operacdo do processo W ZG JW Il Oganho do processo na frequéncia desejada Gja Ill O angulo do compensador PID 6 180 d y Entao por fim determinase os parametros do compensador PID k t 0 cos 9 P IG Gow k Ki 9 dw SENG Ww1 IG Gow UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 4 Projeto Compensador PID por DB 14 BA Considerando novamente a influéncia do polo w 2T temse Mw k Ww D k k Ew w kp w aT A resposta em frequéncia desse controlador é Djw k on kqw Ow kp J TJ a a qw c Kawa 27 4 Kam 2T ke P 2T w2 2T h wyil IDGo28 UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 15 BA Neste caso os parametros do compensador podem ser calculados por kqw12T 1 ky radu 27 cos 0 2T oy lGGowI kqyi2T ik 1 9 NG 2T why Ww IG Gow Observase a maior dificuldade nesse caso uma vez que nenhum parametro pode ser determinado de forma unica Ou seja é preciso arbitrar um parametro sendo os outros calculados a partir desse ponto Ressaltase que se a frequéncia de operacao Wy 2T podese desconsiderar o polo na parcela derivativa e utilizar a equacao aproximada para o projeto do PID UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 16 BA A titulo de curiosidade caso o interesse seja na estrutura PD os pardmetros para k 0 kqws42T 1 ky Kat GT cos 8 2T oy lGUGowl kgyi2T ik 1 TAD A SENG 2T y1 Ww IG Gow podem ser unicamente determinado por k sen 0 co es IG Gow 2Tw1 2 k cos 0 kai P1GGow 2y UF e UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado Projeto Compensador PID por DB 17 BA Exemplo 1 Considere o processo tipo 1 com retroacdo unitaria e T 005s dado por 1 ww Ge Gun ZG Gs aE ss 105s 1 0010 0010 1000 400 909 0050 0050 1997 260 944 arvni 0100 0100 994 199 987 Arespostaem frequencia 9399 9200 488 138 1073 0300 0300 316 999 1156 0360 0360 257 821 1205 0400 6400 228 FAS 1237 Projetar um compensador PI 0500 0500 174 479 1313 0600 0600 137 273 1385 0700 0700 1105 087 1453 0800 0800 09064 085 1516 0900 0900 07533 246 1575 1000 1000 06330 397 1630 1200 1200 04576 679 1729 1370 1371 03550 899 1803 1500 1501 02950 106 1854 2000 2001 01584 160 2014 3000 3006 0059 24 222 A transformada z desse processo se torna 5000 5026 00151 367 5443 Z1 0005z 152 2Z 05Z ctall F200 2 4 0 T005 Z z1 z1 z09512 z09048 UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado Wn Projeto Compensador PID por DB 18 J Exemplo 1 cont Requisitos de projeto Margem de fase 55 Erro em regime para entrada em rampa unitaria e 05 Osistema ira operar em um frequéncia de wy 04 rads A partir dessas informagdes podese obter ee w ww Ge Ge Jan Ge re 0 0010 0010 1000 400 909 GGw1 GUY04 2282 1237 0050 0050 1997 260 944 0100 0100 994 199 987 0200 0200 488 138 1073 Assim 0300 0300 316 999 1156 ssim 0360 0360 257 821 1205 0 4 20 0400 6400 228 FAS 1237 6 180 55 1237 3587 13 05u0 0500 174 479 1313 0600 0600 137 273 1385 0700 0700 1105 087 1453 cos 9 cos13 0800 0800 09064 085 1516 Ky 0439 0900 0900 07533 246 1575 IG Gay1 228 1000 1000 06330 397 1630 1200 1200 04576 679 1729 1370 1371 03550 899 1803 1500 1501 02950 106 1854 fe SNF ows SINK 1304 4 gg 39g 2000 201 O1s4 1602014 Lo IGGw a 228 3000 3006 00590 246 2223 wi 5000 5026 00151 367 2443 UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado 0 Projeto Compensador PID por DB 19 BA Exemplo 1 cont Assim o controlador PI pode ser dado por Dw Kyw Kk 0439w 000398 0003981 w000907 ws w 7 w 7 w Assim a frequéncia do zero do compensador é Wyo 000907 Para determinar a equacao do filtro digital devese fazer Diz Dw 0439 000398 9 Z Z W 2z1 VU ya a Yo w757 2 z1 z1 Dz 0439 00000995 UFSJ CAP AULA13 Edgar C Furtado