Projeto de Compensadores em Controle Digital de Sistemas Dinâmicos

1 Prof Edgar Campos Furtado edgarufsjedubr UFSJ CAP SALA 201 BLOCO 3 Controle Digital de Sistemas Dinâmicos Projeto de Compensadores Atraso de Fase AtF LGR Aula 12 00 Revisão A012CDSDPCAtFLGRR00 Arquivo 1 Cap 8 PHILLIPS C L e NAGLE H T Digital Control System Analysis and Design 3rd Ed Bibliografia Objetivos Objetivos UFSJ CAP Edgar C Furtado AULA12 2 I Apresentar a estrutura do compensador em Atraso de Fase II Em que situação se deve utilizar a estrutura atraso de fase III Projetar um compensador atraso de fase a partir de características desejadas da resposta no tempo O peso da evidencia de uma afirmação extraordinária deve ser proporcional à sua estranheza Pierre Simon Laplace A motivação para essa aula pode ser resumida em 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 3 WN Considere a estrutura de um compensador dada por 1ZZ Dz AZ De em que Z 0 zero do compensador p 0 polo do compensador p Z 1Z a 1 De Esta estrutura é chamada de atraso de fase AtF O ganho desta estrutura Dz é unitario 1zZZ 1 ZZ lim Dz lim lim 1 Z1 Z1aZDe z1 1Z Z De 1 De UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 4 iN Para entender a estrutura atraso de fase AtF considere duas situacdes no plano Z validas para D Ze Jv Jv Planozu jv Plano zu jv t JY JV 4 we ABN or Ze Pc Zc De Em ambos os casos para qualquer ponto Alem disso em ambos os casos para sobre o eixo imaginario z jv temse D Ze temse que 0Ov0 1Z Pr Pre a To 1 Logo temse que atraso de fase Pe Qu seja na estrutura atraso de fase UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado UES Projeto de Compensador AtF por LGR 5 Uma importante pergunta em controle em que casos utilizar a estrutura Atraso de Fase A estrutura atraso de fase é recomendada nos caso em que nao se deseja alterar significativamente a resposta dindmica em regime i transitorio mas sim reduzir o erro em regime permanente ou seja 3 Q Sy aumentar as constantes de erro ky ky ou Kg UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 6 iN Relembrando Considere o sistema descrito na forma realimentacdao unitaria Gs FILTRO AD DIGITAL DA PROCESSO Rs Es 7s Es Ms st Ms Cs rt elt 7 ert mt s mt ct Para Ds 1e Neste caso o erro de posicdo é k 2 z nulo si ipo 1 Gz ZGs Liat i nulo sistema tipo 1 e o erro de z 1 T71z p velocidade é constante Logo o compensador atuara de forma a as constantes de erro sao dadas por adequar 0 erro para entrada em constante degrau k lim Gz Pz fampa para o valor desejado constante rampa k lim 2 Gz k Mies G2 z1 T M241p rae O ganho estatico do processo é 4 21 constante parabola kg lim 2 Giz 0 k limz 1Gz UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 7 iN E necessdrio que o ganho do sistema Gz ou seja k quando inserido o compensador altere de valor passando a ser k Nesse caso a constante de erro para entrada em rampa do sistema compensado k 6 dada por z1 Koc lim Z p z Gz zZ1 T 1 Rye him a Gz lim Dz w Fao aay vC Irom 12 4 r M10 p a1 De Le 3 2s 2 vc aT 1p M10 p A constante de erro para entrada em rampa do sistema sem compensaao K é z1 k m 12 Kuse lim 2 G12 fo Z1 T T M10 p UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado VEN Projeto de Compensador AtF por LGR 8 IS Para manter a mesma condicao de operacao alteragdo minima no regime transitorio o ganho antes e depois da compensacao deve ser idéntico ou seja Ganho depots da Ganho antes da Compensao Compenscao aN ky k a Nesse caso temse m 1Z 720 2 T 1 n 4 Kye Pc M11 pj Kose 7 ee a n r W1 p k 1Z q Kye A Rye Kose 1 De Como na estrutura atraso de fase a 1 entao a constante de erro com compensacao k sera maior que a constante sem compensacao k Logo o erro em regime permanente para uma entrada em rampa sera menor com o sistema compensado do que com o sistema sem compensacao UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado WN Projeto de Compensador AtF por LGR 9 VN Desta forma podese estabelecer um Dz i procedimento para projeto do compensador O2 Pe Atraso de Fase ou seja a 1Z 1 pe z 1 Dp 1 Listar as especificacdes do sistema de controle e traduzilas em localizacao de um conjunto de raizes dominantes 2 Esbocar o lugar das raizes sem compensacao e determinar SE 0 posicionamento desejado das raizes do sistema sem compensacao é obtido 3 Calcular o ganho na localizacao desejada e a constante de erro 4 Comparar a constante de erro do sistema sem compensacao com a constante de erro desejada Calcular o acréscimo em termos de qa entre polos e zeros do compensador 5 Determinar a posiao adequada do polo e do zero do compensador A diferenca angular entre o polo e o zero deve ser inferior a 2 6 Determinar o novo ganho do processo apos a compensacao UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 10 iN Exemplo 1 Considere o processo tipo 1 com retroacao unitaria e T 1s dado por 1 k0368z 0717 WS Gap Gla z1z 0368 Projetar um compensador de forma que o sistema compensado tenha o seguinte desempenho k 15 MUP 684 012 eT 305s 12 Passo Para 012 e T 305s erro de 2 as raizes dominantes no plano S tém parametros T t 305 0131 vist 1093 1 Gin n 9 On O12 Mapeando do plano S parao plano Z Posicao em que o sistema r eSOnT r 0874 tem que operar no plano Z rad z42 0408 0773 60TV17 1085 12 J UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 1 Projeto de Compensador AtF por LGR 11 WN 22 Passo Esbocar o LGR para o sistema sem compensacao k0368z 0717 Gz z1z 0368 Regido de interesse z 1 0368 Z2 04084j0773 2 ie al k15 O LGR foi gerado 10 7 ee oh NS considerando 0773 Ok15 05 v O L OQ a I x 05 f 0773 10 Me y 15 anand 25 200 155 10 0408 O 0408 10 15 i UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 12 BN 22 Passo cont E importante observar se o sistema sem compensacao passa pela regido de interesse 0120 Wn 1093 212 0408 j0773 Essa caracteristica 6 essencial para o projeto do compensador AtF pois nao ha interesse em alterar o regime transitorio Neste caso o sistema passa pela regiao de interesse no LGR conforme foi mostrado na figura anterior Isso atende a dois critérios de projeto MUP e Ts Mas o ultimo critério é atendido k 15 quando o sistema opera proximo a regiao de interesse polos de MF raizes de Az 0408 j0773 UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado on Projeto de Compensador AtF por LGR 13 iN 32 Passo Calcular o ganho e a constante de erro para o sistema sem compensacao O ganho do LGR é calculado sem 0 compensador ou seja Gz 1 Sone car 4 z 1 0368 z0408j0773 lz 1z 0368 0 3682 40717 Le Iz TY Z0408j0773 A constante de erro de velocidade é T 1s Z1 zZ1 150368z 0717 ky tim ZY 6 2 tim ZT PP O8OHE O7ID ys z1 6oT zl 6T z 1z 0368 Assim para k 15 o sistema passa pela regido de interesse Z 2 0408 j0773 mas o valor da constante k 15 foi uma coincidéncia o ganho ser igual a constante de erro de velocidade é inadequado desejado k 15 UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 14 iN 32 Passo cont Considere a entrada kT 0kT 50 rIkT 3 50 kT 100 A resposta do sistema em preto para a entrada em azul 6 mostrada a seguir 55 50 c kT kT 40 300 ric 20 et ff vest ffl 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 kT Parcela de entrada em Rampa Parcela de entrada em Degrau UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado on Projeto de Compensador AtF por LGR 15 iN 32 Passo cont Para k 15 temse que o erro de acompanhamento em regime permanente e 06667 e UYU ik 15 O grafico do erro e rkT ckT é mostrado a seguir compare com a fig Anterior 20 15 Loe 0667 Me aan gece nc cc acess acccc csp ecescccc sesh assac ccna tN ts on seseee U ee vee ee O e E99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 kT Erro permanente 0 6667 Rampa Erro permanente 0 Degrau UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 16 iN 42 Passo Obter a a partir da comparacao entre as constantes de erro de velocidade do sistema com e sem compensacao Para sistema sem compensacao k 15 Para sistema com compensado k 15 Logo k 15 aa10 Kysc 15 52 Passo Para a 10 e arbitrando p 0999 temse que 1Z a Tp 1a1p 1101 0999 z 0990 PC O polo do compensador é colocado bem proximo ao polo do sistema sistema tem um polo em z 1 Logo fazendose p 1 tem que que o proprio polo do sistema tendera a cancelar o zero do compensador nao alterando a caracteristica da resposta transitoria apresentada pelo sistema antes da compensacao UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 17 iN 62 Passo Ajuste do ganho do processo O ganho do processo no ponto de operacdo é k 15 Para manter esse equivaléncia conforme premissa basica temse que apos a compensacao determinar 0 novo ganho do processo Ky k a k ak 1015 k 15 Desta forma Gz k0368z 0717 150368z 0717 Diz 1 z 0990 71 C0368 Dao0368 PO 79 0999 Logo z 0990 0368z 0717 DlzGz 15 Z 0 O88 4 0707 z 0999 z 1z 0368 UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado 04 Projeto de Compensador AtF por LGR 18 iN Por fim verificase a ultima especificagdo k 15 ou seja Kye lim z 1DzGz Za z 0990 0368z 0717 limz 1 15 2 0990 0368 0717 Z1 z 0999 z Liz 0368 z 0990 0368 z 0717 lim15 Z1 z 0999 z 0368 15 10 1 Ky 15 Desta forma 0 compensador projetado estrutura atraso de fase atende as especificacdes de controle desejadas Regime transitorio MUP 686 012 e Tempo de acomodagao T 305s Regime Permanente k 15 UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado on Projeto de Compensador AtF por LGR 19 iN Lugar Geométrico das Raizes Sistema Compensado grafico gerado para 0 k 15 Regiao de interesse 15 poo mantida TTR a KL k19 Z42 0408j0773 19 a ee 0773 f 05 X DzGz Vv QO 9 x z 0990 k X z 0999 05 x 0368z 0717 0773 z1z0368 10 NS oH 15 255 200 15 100 0408 O 0408 10 1 u UFSJCAP AULA Edgar C Furtado on Projeto de Compensador AtF por LGR 20 BN Aproximacao do Lugar Geométrico das Raizes do Sistema Compensado proximo ao polo e zero do compensador 025 DzGz 00125 Polo Compensador k z 0990 y 7 N 4 Polo Processo z 0999 v 0 oe kK z a NL 4 z 1z 0368 00125 Zero Compensador 0025 0975 099 10 10125 1025 u UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado on Projeto de Compensador AtF por LGR 21 iN Comparativo do LGR sem e com compensacao para 0 k 15 LGRs semelhantes Resposta Transitoria semelhante a a mS a 7 SK 10 rae a 10 va 0773 0773 a 05 05 f ji v Or OS x x v Or O oe 05 f 05 j 0773 pe 0773 x 10 SS x 10 NS an ae es 25 20 155 10 0408 O 0408 10 15 25 20 15 10 0408 O 0408 10 15 Uu Uu k0368z 0717 z 0990 0368 z 0717 Gz DzGz k z 1z 0368 z 0999 z 1z 0368 UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado iN Checkpoint 22 iN Checkpoint O que foi visto Definiuse uma estrutura para 0 compensador atraso de fase em quea1 Pc Zc 1zZ 4 Dz a A4Z De 1 pe ll A estrutura em Atraso de Fase pressup6e que o sistema sem compensacao atende aos requisitos de controle em regime transitorio sendo necessario adequar apenas a resposta em regime permanente Ill Para definido do compensador ha duas equacoes e trés incdgnitas a Dp e Z devese arbitrar uma das incdognitas Neste caso arbitrase o valor do polo do compensador Z suficientemente proximo ao polo existente do sistema em z 1 calculandose as outras incognitas UFSJ CAP AULA12 Edgar C Furtado