Aula 11: Estabilidade de Sistemas Amostrados - Lugar Geométrico das Raízes

1 Controle Digital de Sistemas Dinâmicos Prof Dr Edgar Campos Furtado edgarufsjedubr UFSJCAP Sala 201 3 Aula 11 Estabilidade de Sistemas Amostrados ESA Parte II Lugar Geométrico das Raízes LGR Revisão 00 Arquivo AULA12ESAIILGRR00 Bibliografia 1 Cap 7 PHILLIPS CL e NAGLE HT Digital Control System Analysis and Design 3ª Edição 2 Cap 5 CHEN CT Linear System Theory and Design 3ª Edição ESALGR Objetivos da Aula ESALGR Objetivos da Aula UFSJ CAP Edgar C Furtado AULA11 A motivação para essa aula pode ser resumida na busca pela resposta a três perguntas 2 I É possível utilizar a técnicas desenvolvidas para sistemas de controle em tempo contínuo por exemplo critério de Routh Hurwitz em sistemas amostrados II Qual o efeito do aumento no tempo de amostragem sobre a estabilidade dos sistemas amostrados III Como analisar a resposta transitória a partir da variação de um parâmetro ganho de malha x ESA Transformacao Bilinear 3 BA Considere o seguinte mapeamento do plano Z para um novo plano W 2z1 w Tz1 em que w o jwy C é uma variavel complexa e o wy R O mapeamento inverso é 1 T2w Z 1T2w Essa transformacao de z w é chamada de transformacao bilinear ou de Tustin Arnold Tustin 18991994 O plano W é considerado uma aproximacao do plano S Com a transformacao bilinear podese correlacionar o plano Z com o plano S aproximado plano W UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado x ESA Transformacao Bilinear 4 BA Assim podese relacionar 0 plano Z com o plano W Iv joy oe eS yO W SEI Ce Pz1 ly fo G Eg Uo TEESE SS EES qo HEESESH 1 A 0 EES E SSSA gOS pe en are Gee u Ge Ae eee 8 Ow So pee 2z0j1wjs OO ELE af aC 7 3z714j0wo 2 4z0j0w O desenvolvimento para os pontos de 5 a 8 é semelhante ao dos pontos de 1a 4 UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado x ESALGR Transformagcao Bilinear 5 iN Observacées Frequéncia no plano S 1 Sobre o circulo de raio unitario no plano Z z 17 temse 2z1 2 eJT 1 2 eI OT2 JOT2 2 wT w sa OF J tan T oT Ser 1 TciT2 ier tp 2 zoeJoT Logo o limite de estabilidade em Z é mapeado no eixo imaginario do plano W Jy jw 2 Aregido de estabilidade no 4 3 plano W similar a regiao Le 1 erorantrnrs Jz de estabilidade no plano S Koes T Ee foe 2 8 Ws fo a ee Ta qed 4 Jeena Sea 2 Dw ANS Ck EEE ESSERE ss UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado x ESA Transformacao Bilinear 6 BA Observacoes 3 A frequéncia angular do Plano W se relaciona com a do Plano S por 2 wl Wy tan T 2 Para angulos pequenos tan Logo Freq Plano W Soni a 2Z Wy tan wo a oa TT 2 T2 4 Oerro de aproximacdo de frequéncias é menor que 4 se Freq Plano S 2s 2nT w W 20 10 Banda passante Selecao do de frequéncia do Periodo de sistema amostragem Assim a relacao anterior 6 uma referéncia para a selecdo do periodo de amostragem UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Regides de Estabilidade 7 BA Considere o sistema em malha Fechada A p Con analise de estabilidade pode ser feita com Ne CS base nas Eq Caracteristicas em cada plano jv Oy jw ALDSUEEISEEDEEEEDED PES E Pepe Depp Pe ey SS T DEIPIDIPIPIPISISIDIIpISDeDe En 4 Oo oe Veg Ow Ge Dy yO VES PSPS s VEE Ean y 6 Weed 2 es ire TO Az 1 GHz Aw 1 GHw As 1 GHs UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado ESA Regides de Estabilidade 8 iN Se a regido de estabilidade do plano W é similar a do plano S qual o objetivo da transformacao bilinear transformacgao W aplicada em um sistema descrito em Transformada Z Az aL Jw Jo O Of eee soo Ig oO as ET TD ow nN 6 2 Ls NS Suu u eeu J UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Regides de Estabilidade 9 BA Acontece que muitas técnicas desenvolvidas para Sistemas Dinamicos Lineares em Tempo Continuo sao baseadas na regiao de estabilidade definida no Plano S S Assim ao se escrever Q Alz 1T2w 2TT2w temse que a regiao de estabilidade 6 semelhante a do plano S Desta forma o critério de estabilidade de RouthHurwitz CRH pode ser utilizado Uma vez que o CRH pode ser utilizado para verificar se as raizes de Aw estado no semiplano esquerdo do plano W UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de RouthHurwitz CRH 10 BA 12 passo Obter a Eq Caracteristica Az 2 passo Representar a Eq Caracteristica como Alz 1T2w AWW byw bpyw byw bo 0 4 4T2w em que bi R sdo parametros 32 passo Montar a Tabela RH 42 passo Critério de analise sinal dos coeficientes da primeira coluna da Tabela RH Se NAO HA troca de sinal Sistema estavel Se HA troca de sinal Sistema instavel A quantidade de trocas de sinal é igual a quantidade de raizes de Aw no semiplano direito do plano W Seuma linha na tabela RH for NULA e NAO HA troca de sinal Estabilidade Marginal UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de RouthHurwitz CRH 11 BA Sobre a construcao da Tabela RH n eee Dn Pn2 Pna Obtido por w1 b Dn3 Dns ve inspecao em wt2 Ci Co C3 eee Aw wr3 ad dy eee Pardmetros wi it Calculados w ky 1 by on 1 by 4 1 bn ne Cc Co 5c3 toes Dn1 bn1 by3 Dn1 bn1 bys Dn1 bn1 bn7 1 by1 bn3 1 bn1 bys ad dy i eee Cy Cy C2 Cy Cy C3 UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado VEN ESA Critério de RouthHurwitz CRH 12 LUN Sobre a Estabilidade Marginal quando uma linha na Tabela RH é nula Devese analisar 0 polindmio auxiliar obtido com os coeficientes da linha nao nula anterior a linha nula Exemplo 1 Considere a linha w com todos os parametros nulos w bn bn2 bn4 1 w by1 bn3 bn5 wt4 Cy 5 C3 see w3 0 0 vee 1 Ww J1 w k O polinémio auxiliar é Aiw cyw cow 4 caw 0 As raizes de Aw estado contidas no conjunto de raizes de Aw sendo aquelas sobre O eixo imaginario no plano W UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de RouthHurwitz CRH 13 BA Exemplo 2 Considere o sistema em malha fechada Gs ZoH Gls Rs 1 173 1 Cs Oe TES ea US Fah Para T 01s qual a faixa de valores de k para se ter sistema estavel 12 Passo Determinar Az para 0 sistema em malha fechada Cz ky Gz Rz 1kGz Entretanto Z6s C 000484z 000468 Sh Glz 72 190572 0905 Assim Az 14kGz 0 Ala 1k 0004842z 00468 0 pole 72 1905z0905 Az z 000484k 1905z 0905 000468k 0 UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de RouthHurwitz CRH 14 iN 1T2w Exemplo 2 cont 22 passo Obter Aw a partir de Az com z TF2w Alz 14r2w Aw 381 000016kw 380 01872k w 381k 0 47TT2w 32 passo Construir a Tabela RH w 381000016k 381k wt 380 01872K 0 w Cy 1 381 000016k 381k 3 81k C 3 380 01872k 380 01872k 0 1 P 42 Passo Analisar o sinal dos pardmetros da primeira coluna da Tabela RH 381 000016K 0 Ky 23813 Devese analisara 380 01872k 0 ky 203 condicao para todos 381k 0 ky 0 positivos pois o ganho é assumido positivo Assim para estabilidade BIBO 0 k 203 UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de RouthHurwitz CRH 15 BA Exemplo 3 Considere o sistema em malha fechada Gs ZoH Gps Rs 1e7 1 Cs iG TES ee US Hah Para T 1s qual a faixa de valores de k para se ter sistema estavel 12 Passo Determinar Az para 0 sistema em malha fechada Cz ky GZ Rz 1kyGz Entretanto Z6s Cl 0368z 0264 Si GlZ 213687 0368 Assim Alz1kGlz0 Alz1k 22682 0204 0 a pole P72 136820368 Az z 0368k 1368z 0368 0264k 0 UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de RouthHurwitz CRH 16 iN 1T2w Exemplo 3 cont 22 passo Obter Aw a partir de Az comz TF2w Alz 14r2w Aw 1 00381kw 0924 0386k w 0924k 0 47T2w oO j 32 passo Construir a Tabela RH w2 1 00381k 0924k wt 0924 0386K 0 w Cy 1 1 00381K 0924k 0924k t 00381k 0924 0386k Qf A NEED 42 Passo Analisar o sinal dos pardmetros da primeira coluna da Tabela RH 100381k 0 ky 262 Devese analisar a 0924 0386k 0 ky 2393 condicao para todos 0924k 0 ky 0 positivos pois o ganho é assumido positivo Assim para estabilidade BIBO 0 k 2393 UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Critério de RouthHurwitz CRH 17 BA Considere novamente o exemplo 3 Para estabilidade marginal pela Tabela RH temse w 1 00381k 0924k w 090883 221113 wt 0924 0386k 0 wt 0 0 w 0924k w 221113 wnnennnnnnnn Ky 2393 oo O polindédmio auxiliar é linha ndo nula imediatamente anterior Aw 090894w 221113 4j oe 4 15598 us wore W142 I lo 99894 2 727 Nesse caso a frequéncia de oscilacdo da resposta no tempo do sistema sera 2 WT 2 155981 w tan7 w tan 45998 1 w 13247 rads T 2 1 2 Os resultados com a aplicacao do critério de Jury foram similares UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 ESA Tempo de Amostragem e Estabilidade 18 BA Comparando os resultados dos exemplos 2 e 3 Exemplo Periodo de Faixa de Ganho para P Amostragem Estabilidade BIBO Quanto maior T menor 36 T 01s 0 ky 203 a faixa de estabilidade para ky 32 T 1s 0 kp 2393 A reducao da faixa de estabilidade com o aumento do tempo de amostragem é devido ao atraso de fase introduzido pelo segurador de ordem zero 1eS 2 mw j22 Gzous Gzons Gzonp Go sin E ae S SJW W Ws 1 I Ou seja 2 mw Resposta em Frequéncia do ZoH IGzonUw sin a Ws 7G r Quanto maior T maior o atraso LGzoyGa PJ Quanto mai zou J Ws 2 de fase inserido pelo ZoH UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado UFSJ CAP Edgar C Furtado Considere o sistema em MF LGR Embasamento Teórico LGR Embasamento Teórico 19 AULA11 Após garantir a Estabilidade BIBO do Sistema Amostrado o que acontece com o sistema se houver variação do ganho de malha dentro da faixa estável adição de novos polos em malha fechada adição de zeros em malha aberta sobre os polos em malha fechada Em síntese como adequar a resposta do sistema em regime transitório para um padrão desejado VEN LGR Embasamento Teorico 20 LUN A resposta dessas perguntas esta fundamentada na analise da Eq Caracteristica do sistema Az De fato a resposta em regime transitorio 6é dependente das raizes de Az Logo é fundamental entender como as raizes de Az variam no plano Z a medida que o ganho de malha varia Essa analise pode ser feita pela técnica Lugar Geométrico das Raizes LGR Observacdes sobre o LGR para sistemas amostrados e A construcao do LGR para sistemas amostrados no plano Z é idéntica a construcao do LGR para sistemas continuos no plano S e A diferenca consiste na interpretacao Por exemplo No plano S a regiao de estabilidade 6 o semiplano esquerdo no plano Z é o circulo de raio unitario Assumese ganho de malha positivo 0 ky UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado LGR Embasamento Teorico 21 BA Considere o caso ZOH k G T P s Para construcao do LGRé fundamental obter GoyZ A Eq Caracteristica é Az0 1kGHz0 14z 0 em que Gopz kGHz O LGR é baseado em dois critérios Critério de Magnitude GopIz 1 a GopIZ 1j0 de Fase UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 1 LGR Procedimento para Construcao 22 BA 1 passo Escrever Az de forma e evidenciar polos zeros e ganho de malha de GZ Ti21 2 Az0 1 fee 0 Mj1z z Gop z 22 passo Representar com simbolos diferentes no plano Z os zeros z em geral O e os polos 2 em geral X bem como o LGR sobre o eixo real Para ganho positivo o LGR existe sempre em uma secao do eixo real a esquerda de uma quantidade impar de polos e zeros 32 passo se a quantidade de polos n é maior que a de zeros m anmQO entao havera polos que irdo evoluir para a zeros no infinito segundo assintotas com Centroide no Eixo Real Angulo da assintota r varia on a TT quantidade de Si12 Qi1 Zi 1802r 1 angulos para as 07 rc sreEN gulos p a a assintotas desejadas UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 1 LGR Procedimento para Construcao 23 BA 42 passo Determinar o ganho para se ter estabilidade marginal Critério de Jury aplicado em Az ou critério RH aplicado em Aw Nao aplicar os critério em GoZ ou Gop w 52 passo Determinar os pontos de saida dos polos do eixo real AGopZ 0 dz 62 passo Determinar o adngulo de saidachegada para poloszeros complexos Angulo de Saida do polo k Angulo de Chegada no zero k m n n m One 82 Opi 180 Ore Opi 82 180 j1 i1 i1 j1 tK jtk sendo 6p 0 angulo do késimo polo e 62 0 angulo do késimo zero UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 LGR Exemplo de Construcgao 24 BA Exemplo 4 Considere o sistema em malha fechada Gs ZoH Gls Rs 1 173 1 Cs Oe TES ea US Fah Para T 1s qual a faixa de valores de k para se ter sistema estavel 12 Passo Escrever Az de forma e evidenciar polos zeros e ganho de malha de G2Z Cz ky Gz Rz 1kGz Entretanto Z6s Cl 0368z 0264 Si GlZ 213687 0368 pooa 27 GoplZ Assim z 0717 Ajz 1 Ajz 1 368k 0 z kyGlz0 Alz 0368 ees eer UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 LGR Exemplo de Construcgao 25 iN Exemplo 4 cont 2 Passo Representar poloszeros de GZ e 0 LGR sobre o eixo real Jv z 0717 Gop Z 0368k opl2 0368kp ie 1 z 0368 al 2 Zero Z 0717 yo ON 7 Polos Zp1 1 Zy2 0368 1 4 0717 0368 10 w 7 7 a ma ae fe UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 LGR Exemplo de Construcgao 26 BA Exemplo 4 cont 32 Passo Determinar a quantidade de polos que irdo aos zeros no infinito para k oo z 0717 GoyZ 0368k oplz Yip ie 1z 0368 e Numero de Zeros 1 e Numero de Polos 2 Logoa211 Como a 0 entao devese calcular o centroide e o dngulo da assintota que indicara a direao em que o polo com zero no infinito tendera para k oo X12 2712 1 0368 0717 0g F 2085 a 1 1802r 1 180 Qq TT 180 a r0 apenas uma assintota UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 LGR Exemplo de Construcgao 27 BA Exemplo 4 cont 42 Passo Determinar o ganho para estabilidade marginal z 0717 Az 1 GopzZ 1 0368k 0 IZ op kp ie 1z 0368 Jv Aplicando o critério de Jury em Az obtémse 0 Ky 2393 k 2393 A estabilidade marginal ocorre para k 2393 woe ee 7 0970 aN 03682393z 0717 Alz 1 4 CBEST OTD 97 kp2393 z 1z 0368 3 0244 As raizes de Az lkp2393 Sao 11 oh ly 0717 0368 10 uw 249 0244 j0970 j que representam o ponto de cruzamento com o Yo S 0970 Uf circulo de raio unitario S Lp pe 1 UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 LGR Exemplo de Construcgao 28 BA Exemplo 4 cont 5 Passo Determinar os pontos de saida dos polos do eixo real G 2 0368k z 0717 z 0 oP Pz 1z 0368 iv Assim kp 2395 AGoplZ 0 z14334z 1349 0 wot el dz 7 0970 oN N Os pontos de saida sao a Z 064778 e k0196 Z 208248 I 0244 3 06478 2 1 Sh 4 508 0717 0368 10 u k15036 Substituindose z 2 em Az obtémse y 7 N 7 Alz k 0196 70970 U7 Az kp 15036 Tee UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado VEN LGR Exemplo de Construcgao 29 LUN Exemplo 4 cont 62 Passo Determinar o angulo de saidachegada para poloszeros complexos z 0717 GopZ 0368k wecereen eee opl2 Miep z 1z 0368 en Tee jv oo oe ky 2393 Z o Ad oye Observase que nao ha polos y a 0970 OTN zeros complexos Logo nao ha yo ON e I e necessidade do calculo do POON Angulo de saidachegada 0196 0244 106478 2 1 ho tf 14 208 0717 0368 Lo u k15036 bh ye e iN a Assim 0 esbogo do LGRpara 0970 esse Caso é N so Uy we UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado UES LGR Exemplo de Construcgao 30 ay AN Exemplo 4 cont LGR gerado em software de simulacdao de sistemas dinamicos para 0368kz 0717 Gopz 0368kpz 0717 45 1 z 1z 0368 125 Ganho de malha 0 ky 151 ge a 0 7 5 Fo o he 0 5 f 05 i f 075 N a 10 ee 125 15 25 208 15 100717 0 0368064 10 15 u UFSJ CAP AULA11 Codigo para Grafico Edgar C Furtado ESAIlLGREX04ROOm 4 LGR Exemplo de Construcgao 31 BA Exemplo 5 Considere o sistema em malha fechada Gs ZOH Gs Rs C k 1 173 1 Cs T P 5 ss1 Para T 01s determinar o LGR para variacao de ky jv 12 Passo Escrever Az de forma e evidenciar polos 1 zeros e ganho de malha de GZ veo SN z 0967 a Ajz 1 000484k 0 IZ Yip Ee 1z 0905 i Gop Z 7 1 0 110 22 Passo Representar poloszeros de nee mee GopZ 0 LGR sobre o eixo real v af UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado 4 LGR Exemplo de Construcgao 32 BA Exemplo 5 cont 32 Passo Determinar a quantidade de polos que irdo aos zeros no infinito para k a mn211 Logo 1 0905 0967 180 oq 2872 0 180 1 1 r0 apenas uma assintota 42 Passo Determinar 0 ganho para estabilidade marginal Aplicando o critério de Jury em Az obtemse 0 k 203 As raizes de AZk203 S40 Z12 09033 j04288 52 Passo Determinar os pontos de saida dos polos do eixo real AGopZ 3 a 0 00199z 00386z 00548 0 Z 09522 ky 02439 e z 28919 k 15860 62 Passo Determinar o angulo de saidachegada para poloszeros complexos Nao é necessario uma vez que GZ nao possui polos zeros complexos UFSJ CAP AULA11 Edgar C Furtado Wn LGR Exemplo de Construcgao 33 J Exemplo 5 cont Esboco do LGR em comparacado com o gerado em software de simulacgao de sistemas dindmicos para 6 2 000484kz 0967 Zz ee ee P z 1z 0905 Ganho de malha 0 k 1600 een J 20 ee nt a mh 175 4 a oF dee SN 15 a Uc S ON 125 704288 Q 4203 10 at is Ta Se 075 ye SE k02439 of 09522 j ene 09033 iY 025 i 2 1 ad vo ke vveennnnnmnnnnennefentnnnnmnnnen tne fe 28914 0967 0905 pe us 025 i k15860 ial 05 A 04288 ue vo NL Ue 125 s SL en 15 J mA 1 a 175 ws wn 20 tte eee 35 25 15 09669 0 0368 09 15 UFSJ CAP AULA11 Codigo para Grafico Edgar C Furtado ESAIlLGREX05ROOm Wn LGR Linhas Guias no Plano Z para e w 34 J Em alguns softwares computacionais o LGR para sistemas amostrados é exibido com linhas guias associadas ao coeficiente de amortecimento e a frequéncia natural w Um ponto no plano Z z u jv 7261 possui um par wy dado por Ty e71 Wn1 rT 0 Wil 1 Uf Plano Z com as linhas guias de Plano Z com as linhas guias de w i 12 w 12 piT 10 00 10 w 58 piT w 38 piT t eS ies w 34 piT w 14 piT 03 on cabs 08 We 78 pit Forel w 18 pT C06 07 sue SS fe vo i NC 4 Jv 9 Free za w 0 piT Se w 1 piT SH Pepi Me 05 og eee w 18 pT w 34 piT w 14 piT 10 10 w 58 piT i w 38 piT w 12 pilT 12 12 15 10 05 0 05 10 15 15 10 05 0 05 10 15 UFSJ CAP AULA11 Codigo para Grafico Edgar C Furtado ESAIlLGRLINHASGUIASROOm Wn LGR Linhas Guias no Plano Z para e w 35 J Plano Z com as linhas guias de e wy Exemplo 6 O ponto z no LGR 12 w 12 piT esta associado ao par 10 w 58 pilT eer ee w 38 piT oe C01 ee 01 Wn 03 a w 34 piT re C02 w 14 piT re i 03 oy 05 C 04 Pgs Esse par representa uma w 8 piIT cate 1 w 18 pilT resposta em regime transitorio i a eh A para T 1 comcaracteristicas iol dabore berets i oF oa at w 0 pi a wT RS MUP 100eV1 3723 eel 4 6 98 05 w 78 piT z if Q w 18 piT t 1698 s w 34 pT wa 14 pilT 0 Ww 58 piT ree 38 piT w 12 pilT 12 15 10 05 0 05 10 15 u UFSJ CAP AULA11 Codigo para Grafico Edgar C Furtado ESAIILGRLINHASGUIASROOm