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Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y212x y0 x1 x2 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula VabAxdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y212x y0 x1 x2 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a1 e b2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y212x Que é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos VabAxdx Essa área é dada por Axπr2 Axπ212x2 Axπ42x14x2 Substituindo na fórmula do volume V21π42x14x2dx Vπ2142x14x2dx Passo 5 Passo 5 Vamos integrar Vπ2142x14x2dxπ4xx2x31221 Aplicando os limites de integração Vπ42221234112113 Vπ8481241112 V1912π Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 1 x2 y 0 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Para y 1 x2 teremos uma curva com parábola para baixo devido ao sinal negativo do coeficiente angular passa por 1 no eixo y pelo coeficiente linear Como y 0 então A região delimitada é essa que está em verdinho Passo 2 A área é calculada por A πr2 Mas aqui o raio vai variar de acordo com a curva y 1 x2 então Ax π1 x22 Pra acharmos o volume a gente integra essa área V ab Ax dx V ab π1 x22 dx Os limites de integração a e b são os pontos de interseção entre y 1 x2 e y 0 1 x2 0 x 1 Então ficamos com V 11 π1 x22 dx V π 11 1 2x2 x4 dx Agora é só calcularmos a integral V π x 2x33 x55 11 Aplicamos os limites de integração π 1 2 x 133 155 1 2 x 133 155 π 1 23 15 1 23 15 π 1 23 15 815 π 1 23 15 815 Chegamos em V 1615π Passo 3 Agora vamos desenhar a região obtida Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y 1x x 1 x 2 y 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y 1x x 1 x 2 y 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 1 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com seção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y 1x Que é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a seção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Axdx Essa área é dada por Ax π 1x2 Ax πx2 Substituindo na fórmula do volume e calculando a integral V 12 πx2 dx π1x12 V π12 1 V π2 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y 25 x2 y 0 x 2 x 4 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y 25 x2 y 0 x 2 x 4 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 4 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y 25 x2 Que é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Ax dx Essa área é dada por Ax πr2 Ax π25 x22 Ax π25 x2 Substituindo na fórmula do volume V 24 π25 x2 dx V π 24 25 x2 dx Passo 5 Vamos integrar V π 24 25 x2 dx π 25x x33 24 V π 100 50 643 83 V 943 π Prontinho Passo 1 Fala aee tranquilo Bom galera nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo y Temos aqui a seguintes curvas x 2y x 0 y 9 Para isso utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume Agora vamos plotar as curvas dadas pra descobrir a região que queremos esboçar Tudo que está entre essas duas retas e o gráfico ok Em torno de y Pra calcular o volume do nosso sólido vamos usar a formula V ab Ay dy Repara que nesse caso a gente vai integrar com respeito a y porque a própria equação x 2y está em função de y Mas a gente também poderia fazer em função de x é só isolalo Olhando o gráfico a gente já consegue tirar os limites de integração Teremos b 9 a 0 Repara no gráfico que esses são os valores de y que delimitam a nossa região Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y ln x y 1 y 2 x 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V a b Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y ln x y 1 y 2 x 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 1 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com seção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y ln x Mas aqui a gente vai integrar com respeito a y então precisamos isolar o x x e y Essa é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a seção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V a b Aydy Essa área é dada por Ay πr 2 Ay πe y 2 Ay πe y 2 Substituindo na fórmula do volume V 1 2 πe y 2 dy Passo 2 Utilizando a definição de volume de sólido de revolução podemos escrever a seguinte integral V 0 9 π 2 y 2 dy R esolvendo a integral temos V 4π 0 9 y dy V 4π y 2 2 0 9 V 4π 9 2 2 0 2 V 162π Passo 3 Podemos esboçar graficamente o sólido da seguinte maneira Prontinho Só isso Passo 5 Vamos integrar V π 1 2 ey2 dy e2y 2 1 2 Aplicando os limites de integração V π2 e4 e2 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y x3 y x x 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V a b Ax dx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y x3 y x x 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 1 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a y x y x3 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa região sombreada é a arruela que representa a secção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V a b Ax dx Essa área é dada por Ax πr externo2 πr interno2 Ax πx2 πx32 Ax πx2 x6 Substituindo na fórmula do volume V 0 1 πx2 x6 dx Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 14x2 y 5 x2 E pede pra gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos duas parábolas onde y 14 x2 concavidade pra cima passa pela origem y 5 x2 concavidade pra baixo Vamos calcular os pontos de intersecção entre as curvas 14 x2 5 x2 54 x2 5 x sqrt4 2 Agora sim podemos plotar Passo 2 Uma área de disco circular região entre 2 curvas é calculada por Ax pi R2 pi r2 Onde os raios aqui são as alturas de cada curva Substituindo as nossas curvas Ax pi 14 x22 pi 5 x22 Ax pi 5 x22 pi 14 x22 Assim Ax pi 25 10x2 x4 116 x4 O volume é a integral dessa área ai E os limites de integração são os pontos em que as parábolas de cruzam Passo 5 Vamos integrar V pi 01 x2 x6 dx pi x33 x7701 V pi 13 17 4pi21 Prontinho Passo 3 Temos então a seguinte integral V 22 Axdx V 22 π25 10x2 1516 x4 dx Essa integral pode ser dividida em duas partes devido os intervalos iguais então V 2π 02 25 10x2 1516 x4 dx Resolvendo a integral temos V 2π 25x 103 x3 316 x502 V 2π 25 2 103 23 316 25 25 0 103 03 316 05 V 2π 50 803 6 V 1763 π Passo 4 Agora a gente desenha a região Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y2 x x 2y Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y2 x x 2y Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 0 e b 4 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a xy2 x2y Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela Passo 4 Para calcular o volume temos Vab Aydy Essa área é dada por Ayπrexterno2πrinterno2 Ayπ2y2πy22 Ayπ4y2y2 Substituindo na fórmula do volume V04 π4y2 y2 dy π 43 y3 y5504 Aplicando os limites de integração Vπ323 325 V64π15 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 14 x² x 2 y 0 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos uma parábola y 14 x² concavidade pra cima passa pela origem E duas retas x 2 vertical y 0 horizontal Ficamos com A área que a gente vai rotacionar em torno do eixo y é essazinha de azul Passo 2 Como estamos falando de uma área de rotação ela vai ser circular Ay πr² E como ela vai estar entre 2 funções então vamos subtrair uma da outra Ay πR² πr² Lembrando que cada função representa um raio logo Ay π2² π2y² Assim Ay π4 4y 4π1 y Podemos calcular o volume Os limites de integração vão ser os pontos de intersecção entre as curvas Temos y 14 x² y 0 y 0 y 14 x² x 2 y 14 2² 1 O nosso limite de integração superior vai ser y 1 e o inferior y 0 Passo 3 V 01 4π1 ydy V 4π 01 1 ydy Resolvendo a integral temos V 4π y y²2 ₀¹ V 4π 1 1²2 V 4π 12 V 2π Passo 4 Pra acabar vamos desenhar a região Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y x² x y² y 0 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos duas parábolas y x² concavidade pra cima passa pela origem x y² cavidade pra direita passa pela origem E uma reta y 0 Lembrando que seja S um sólido que está entre x a e x b Se a área da seção transversal de S no plano Px passando por x e perpendicular ap eixo x é Ax onde A é uma função contínua então o volume S é dado por V a b Axdx Após encontrar o volume iremos esboçar graficamente o sólido e a região Passo 2 Dadas as equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno do eixo y 1 é a seguinte Ali de verde a gente tem y 1 que é o eixo por onde vamos rotacionar a nossa figura Podemos ver na figura que a nossa integral terá limites 0 e 1 Passo 3 Pra calcular a área fazemos A πr² Nesse caso vamos ter dois raios diferentes já que temos uma área delimitada por duas curvas Aqui a gente tem que ter um cuidado a mais pois o eixo de rotação não é igual a zero Pra facilitar a gente olha o gráfico acima e olha a diferença entre cada curva e o eixo y 1 assim ficamos com r₁ 1 x r₂ 1 x² Para calcular a área temos Ax π1 x² π1 x²² O volume é dado pela integral da área V 0 1 Ax dx V 0 1 π1 x²² π1 x² dx V π 0 1 1 x⁴ 2x 1 x 2x dx V π 0 1 x⁴ 3x 2x dx Calculando a integral π x⁵5 3x²2 2x323₀¹ π x⁵5 3x²2 34 x52₀¹ π x⁵5 3x²2 34 x52₀¹ π 155 31²2 34 132 0⁵5 30²2 34 032 π 15 32 34 V 11π30 Passo 4 Esboçando o sólido e disco tipico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo y 1 temos Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y ex y 1 x 2 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y 2 obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y ex y 1 x 2 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a y 2 ex x 2 1 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 2 que é o eixo de rotação Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Axdy Essa área é dada por Ax π2 ex2 π2 12 Ax π4 e2x 4ex π Ax π3 e2x 4ex Substituindo na fórmula do volume e integrando V 02 π3 e2x 4ex π 3x 4ex e2x2 02 Aplicando os limites de integração V π 6 4e2 12e4 π 4 12 V π 52 4e2 12e4 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 1 sec x y 3 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y 1 da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos uma função trigonométrica y 1 sec x E uma reta horizontal y 3 Juntando as duas temos Os gráficos das funções trigonométricas tem um padrão e vão se repetindo ao longo do eixo x Aqui a gente vai trabalhar com o intervalo π π beleza Esses pontos onde as curvas se interceptam são 1 sec x 3 sec x 2 sec1 3 π3 π3 Esses vão ser os nossos limites de integração Passo 2 Agora vamos a integração Para um sólido que está entre x a e x b e possui área de seção transversal igual a A seu volume V é dado por V a to b Ax dx A área de uma coroa circular é dada por A πR² r² Onde R é o raio maior e r é o raio menor que são dados em relação a y 1 Vamos desenhar ela no gráfico pra ficar mais visível Assim o raio maior é dado por R 1 sec x 1 sec x E o raio menor é dado por r 3 1 2 Passo 3 Utilizando a definição de volume de sólido de revolução podemos escrever a seguinte integral V π3 to π3 π2² sec x² dx Vou trazer o gráfico pra pertinho de novo A área que a gente quer é essa verdinha Perceba a simetria da figura Com isso a gente pode calcular a integral no intervalo 0 π3 e depois dobrar Assim resolvendo a integral temos V 0 to π3 2π4 sec²x dx V 2π4x tan x0π3 V 2π 4π3 3 Passo 4 Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y sen x y cos x 0 x π4 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y 1 da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos duas funções trigonométricas Plotando elas e o eixo y 1 para o intervalo dado Lembrando que seja S um sólido que está entre x a e x b Se a área da seção transversal de S no plano Px passando por x e perpendicular ap eixo x é Ax onde A é uma função contínua então o volume S é dado por V a to b Ax dx Observando o gráfico percebemos que os limites de integração serão a 0 e b é igual a x no ponto de intersecção entre as curvas sin x e cos x A área Ax é dada por A πr₁² r₂² Onde r₁ é o raio maior e r₂ é o raio menor que são dados em relação a y 1 Na prática a diferença entre os raios é delimitada pelas curvas sin x e cos x Passo 1 Podemos calcular o volume através da fórmula V ab Ay dy Temos que a área é representada pela figura abaixo Sabemos então que a 1 e b 1 vamos calcular a área agora como rotacional em x 1 temos Ay πr2 π1 y22 π1 2y2 y4 Onde usamos os raios como as curvas limites Agora vamos esboçar o sólido e o disco Pronto agora só falta calcular o volume V ab Ay dy 11 π1 2y2 y4 dy π 11 1 2y2 y4 dy Passo 2 O raio maior vai ser igual a função r1 sen x 1 r2 cos x 1 Assim temos Ax π sen x 12 cos x 12 Ax π cos2 x 2 cos x sen2 x 2 sen x Ax π cos 2x 2 cos x 2 sen x Temos também um ponto de intersecção que vai determinar o limite superior de integração sen x cos x x π4 Agora sim podemos montar a integral V 0π4 π cos 2x 2 cos x 2 sen x dx Passo 3 Resolvendo a integral temos V π 12 sen 2x 2 sen x 2 cos x0π4 V π 12 sen 2π4 2 sen π4 2 cos π4 12 sen 20 2 sen 0 2 cos 0 V π 12 2 2 0 0 2 V π 22 32 Passo 4 Com a rotação vamos ter a seguinte região Prontinho Passo 2 Bem para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Agora é fácil achar as primitivas da função usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas kdx kx C xn dx xn1n1 C n 1 cfxdx c fxdx Agora é só aplicar 1 2y² y⁴dy y 2 y³3 y⁵5 C y 2y³3 y⁵5 C Passo 3 Pronto já encontramos a integral indefinida Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo ab fxdx Fb Fa Vamos lá V π 11 1 2y² y⁴dy πy 2y³3 y⁵511 π1 21³3 1⁵5 1 21³3 155 esposta V 16π15 Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes curvas y x y x Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x 2 obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou anurela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y x y x Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 1 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a y2ex x21 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 2 que é o eixo de rotação Agora vamos esboçar o sólido Passo 4 Para calcular o volume temos Vab Axdy Substituindo V01 π2y²²2y²dy Resolvendo Vπ01 y4 5y²4ydyπ y55 53 y³ 2y²01 Vπ15 53 2 V815 π Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes curvas y 14 x2 x 2 y 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Ax dx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y 14 x2 x 4y 2y x 2 y 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 0 e b 1 Nesse caso vai ser mais interessante integrar com respeito a y Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com seção transversal circular e o seu raio vai ser igual a x 2y x 2 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa região sombreada é o disco que representa a seção transversal da arruela Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Ax dy Essa área é dada por Ay π 22 2y2 Ay 4π1 y Substituindo na fórmula do volume e integrando V 02 4π1 y dy 4π y y2201 Aplicando os limites de integração V 4π 1 12 0 V 2π Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes curvas y x y 0 x 2 x 4 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Ax dx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y x y 0 x 2 x 4 Temos que a área é representada pela figura abaixo Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Ax dx Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno do eixo x com o raio sendo a nossa função y x Assim temos que Ax πr2 πx2 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xn dx xn1 n 1 C Logo πx2 dx π x2 dx π x3 3 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 πx2 dx π x3 301 V π 13 3 03 3 π 3 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a x 4 1 x 2 1 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 1 que é o eixo de rotação Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essas regiões sombreadas são discos que representam seções transversais do sólido Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 2 α 2 e b 4Isso mesmo vamos separar a integral em duas Uma correspondente a essa parte cilíndrica e outra a parte cônica Além disso nesse caso vai ser mais interessante integrar com respeito a y Passo 4 Utilizando a definição de volume de sólido de revolução podemos escrever a seguinte integral V 02 π4 12 2 12 dy 24 π4 12 y 12 dy Resolvendo a integral temos V π8y02 24 π8 2y y2 dy 16π π 8y y2 y3324 V 16π π 32 16 643 16 4 83 V 763 π Prontinho Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Aydy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 0 Assim a área do disco é igual a Ay πr2 π12 y2 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fxdx xn dx xn1n1 C Logo π1 y2 dy π 1 y2 dy π y y33 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 π1 y2 dy π y y33 01 V π 1 13 0 03 2π3 Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Aydy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 1 Assim a área do disco é igual a Ay π L fy2 π1 y2 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fxdx xn dx xn1n1 C Logo π1 y2 dy π 1 2y y2 dy π y 2y22 y33 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 π1 y2 dy π y 2y22 y33 01 V π 1 1 13 0 0 0 π3 Passo 1 Eaeae belezinha Bom a questão quer que calculemos o volume de R1 em azul em torno de BC linha vermelha Para isso temos que saber a relação entre volume e área Bom o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Axdx Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Passo 2 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta y 1 Assim a área do disco é igual a Ax π 1 02 1 x2 Passo 3 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xn dx xn1n1 C Logo π 1 1 x2 dx π 1 1 2x x2 dx π x2 x33 C Passo 4 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 π 1 1 x2 dx V π x3 x33 01 V π 1 13 V 2π3 Passo 4 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V ₀¹ π1 x² dx π x 2x323 ₀¹ V π 1 23 π3 Entendeu direitinho Responde aee Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ₐᵇ Ay dy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R₂ que é delimitada pela função y x y4 x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 0 Assim a área do disco é igual a Ay πR² πy4² πy⁸ Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xⁿ dx xn1n1 C Logo πy⁸ dy π y⁸ dy π y⁹9 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V ₀¹ πy⁸ dy π y⁹9₀¹ V π 19 π9 Passo 1 Eaee belezinha Bom queremos encontrar o volume gerado pela rotação ao redor da seguinte reta R₂ em torno de OA Na seguinte figura Para isso devemos saber que o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ₐᵇ Ax dx Agora vamos lá Passo 2 Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R₂ que é delimitada pela função y x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta y 0 Assim a área do disco é igual a Ax πR² πr² π 1² x² Passo 3 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xⁿ dx xn1n1 C Logo π 1 x² dx π 1 x² dx π x x3232 C Passo 1 Opa bora lá O enunciado nos dá a seguinte figura E pede pra a gente encontrar o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta R2 em torno de AB Pra isso vamos usar a seguinte expressão V ab Aydy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R2 que é delimitada pela função y 4x y⁴ x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 1 Assim a área do disco é igual a Ay πR² πy² π1² 1 y⁴² π1 1 y⁸ 2y⁴ y⁸ πy⁸ 2y⁴ Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fx dx xⁿ dx xⁿ¹n1 C Logo πy⁸ 2y⁴ dy π y⁸ 2y⁴ dy π y⁹9 2y⁵5 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 πy⁸ 2y⁴ dy π y⁹9 2y⁵5⁰¹ V π 19 25 13π45 O resultado final é V 13π45 Passo 1 Opa bora lá O enunciado nos dá a seguinte figura E pede pra a gente encontrar o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta R2 em torno de BC Pra isso vamos usar a seguinte expressão V ab Axdx Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R2 que é delimitada pela função y 4x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta y 1 Assim a área do disco é igual a Ax πR² π1 4x² π1 2x14 x12 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fx dx xⁿ dx xⁿ¹n1 C Logo π1 2x14 x12 dx π 1 2x14 x12 dx π x 8x545 2x323 C
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Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y212x y0 x1 x2 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula VabAxdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y212x y0 x1 x2 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a1 e b2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y212x Que é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos VabAxdx Essa área é dada por Axπr2 Axπ212x2 Axπ42x14x2 Substituindo na fórmula do volume V21π42x14x2dx Vπ2142x14x2dx Passo 5 Passo 5 Vamos integrar Vπ2142x14x2dxπ4xx2x31221 Aplicando os limites de integração Vπ42221234112113 Vπ8481241112 V1912π Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 1 x2 y 0 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Para y 1 x2 teremos uma curva com parábola para baixo devido ao sinal negativo do coeficiente angular passa por 1 no eixo y pelo coeficiente linear Como y 0 então A região delimitada é essa que está em verdinho Passo 2 A área é calculada por A πr2 Mas aqui o raio vai variar de acordo com a curva y 1 x2 então Ax π1 x22 Pra acharmos o volume a gente integra essa área V ab Ax dx V ab π1 x22 dx Os limites de integração a e b são os pontos de interseção entre y 1 x2 e y 0 1 x2 0 x 1 Então ficamos com V 11 π1 x22 dx V π 11 1 2x2 x4 dx Agora é só calcularmos a integral V π x 2x33 x55 11 Aplicamos os limites de integração π 1 2 x 133 155 1 2 x 133 155 π 1 23 15 1 23 15 π 1 23 15 815 π 1 23 15 815 Chegamos em V 1615π Passo 3 Agora vamos desenhar a região obtida Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y 1x x 1 x 2 y 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y 1x x 1 x 2 y 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 1 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com seção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y 1x Que é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a seção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Axdx Essa área é dada por Ax π 1x2 Ax πx2 Substituindo na fórmula do volume e calculando a integral V 12 πx2 dx π1x12 V π12 1 V π2 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y 25 x2 y 0 x 2 x 4 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y 25 x2 y 0 x 2 x 4 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 4 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y 25 x2 Que é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Ax dx Essa área é dada por Ax πr2 Ax π25 x22 Ax π25 x2 Substituindo na fórmula do volume V 24 π25 x2 dx V π 24 25 x2 dx Passo 5 Vamos integrar V π 24 25 x2 dx π 25x x33 24 V π 100 50 643 83 V 943 π Prontinho Passo 1 Fala aee tranquilo Bom galera nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo y Temos aqui a seguintes curvas x 2y x 0 y 9 Para isso utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume Agora vamos plotar as curvas dadas pra descobrir a região que queremos esboçar Tudo que está entre essas duas retas e o gráfico ok Em torno de y Pra calcular o volume do nosso sólido vamos usar a formula V ab Ay dy Repara que nesse caso a gente vai integrar com respeito a y porque a própria equação x 2y está em função de y Mas a gente também poderia fazer em função de x é só isolalo Olhando o gráfico a gente já consegue tirar os limites de integração Teremos b 9 a 0 Repara no gráfico que esses são os valores de y que delimitam a nossa região Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y ln x y 1 y 2 x 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V a b Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y ln x y 1 y 2 x 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 1 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com seção transversal circular e o seu raio vai ser igual a reta y ln x Mas aqui a gente vai integrar com respeito a y então precisamos isolar o x x e y Essa é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a seção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V a b Aydy Essa área é dada por Ay πr 2 Ay πe y 2 Ay πe y 2 Substituindo na fórmula do volume V 1 2 πe y 2 dy Passo 2 Utilizando a definição de volume de sólido de revolução podemos escrever a seguinte integral V 0 9 π 2 y 2 dy R esolvendo a integral temos V 4π 0 9 y dy V 4π y 2 2 0 9 V 4π 9 2 2 0 2 V 162π Passo 3 Podemos esboçar graficamente o sólido da seguinte maneira Prontinho Só isso Passo 5 Vamos integrar V π 1 2 ey2 dy e2y 2 1 2 Aplicando os limites de integração V π2 e4 e2 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y x3 y x x 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V a b Ax dx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y x3 y x x 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 1 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a y x y x3 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa região sombreada é a arruela que representa a secção transversal no sólido Passo 4 Para calcular o volume temos V a b Ax dx Essa área é dada por Ax πr externo2 πr interno2 Ax πx2 πx32 Ax πx2 x6 Substituindo na fórmula do volume V 0 1 πx2 x6 dx Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 14x2 y 5 x2 E pede pra gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos duas parábolas onde y 14 x2 concavidade pra cima passa pela origem y 5 x2 concavidade pra baixo Vamos calcular os pontos de intersecção entre as curvas 14 x2 5 x2 54 x2 5 x sqrt4 2 Agora sim podemos plotar Passo 2 Uma área de disco circular região entre 2 curvas é calculada por Ax pi R2 pi r2 Onde os raios aqui são as alturas de cada curva Substituindo as nossas curvas Ax pi 14 x22 pi 5 x22 Ax pi 5 x22 pi 14 x22 Assim Ax pi 25 10x2 x4 116 x4 O volume é a integral dessa área ai E os limites de integração são os pontos em que as parábolas de cruzam Passo 5 Vamos integrar V pi 01 x2 x6 dx pi x33 x7701 V pi 13 17 4pi21 Prontinho Passo 3 Temos então a seguinte integral V 22 Axdx V 22 π25 10x2 1516 x4 dx Essa integral pode ser dividida em duas partes devido os intervalos iguais então V 2π 02 25 10x2 1516 x4 dx Resolvendo a integral temos V 2π 25x 103 x3 316 x502 V 2π 25 2 103 23 316 25 25 0 103 03 316 05 V 2π 50 803 6 V 1763 π Passo 4 Agora a gente desenha a região Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y2 x x 2y Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y2 x x 2y Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 0 e b 4 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a xy2 x2y Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa é a curva que limita a nossa região Agora vamos esboçar o sólido e o disco Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela Passo 4 Para calcular o volume temos Vab Aydy Essa área é dada por Ayπrexterno2πrinterno2 Ayπ2y2πy22 Ayπ4y2y2 Substituindo na fórmula do volume V04 π4y2 y2 dy π 43 y3 y5504 Aplicando os limites de integração Vπ323 325 V64π15 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 14 x² x 2 y 0 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos uma parábola y 14 x² concavidade pra cima passa pela origem E duas retas x 2 vertical y 0 horizontal Ficamos com A área que a gente vai rotacionar em torno do eixo y é essazinha de azul Passo 2 Como estamos falando de uma área de rotação ela vai ser circular Ay πr² E como ela vai estar entre 2 funções então vamos subtrair uma da outra Ay πR² πr² Lembrando que cada função representa um raio logo Ay π2² π2y² Assim Ay π4 4y 4π1 y Podemos calcular o volume Os limites de integração vão ser os pontos de intersecção entre as curvas Temos y 14 x² y 0 y 0 y 14 x² x 2 y 14 2² 1 O nosso limite de integração superior vai ser y 1 e o inferior y 0 Passo 3 V 01 4π1 ydy V 4π 01 1 ydy Resolvendo a integral temos V 4π y y²2 ₀¹ V 4π 1 1²2 V 4π 12 V 2π Passo 4 Pra acabar vamos desenhar a região Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y x² x y² y 0 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos duas parábolas y x² concavidade pra cima passa pela origem x y² cavidade pra direita passa pela origem E uma reta y 0 Lembrando que seja S um sólido que está entre x a e x b Se a área da seção transversal de S no plano Px passando por x e perpendicular ap eixo x é Ax onde A é uma função contínua então o volume S é dado por V a b Axdx Após encontrar o volume iremos esboçar graficamente o sólido e a região Passo 2 Dadas as equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno do eixo y 1 é a seguinte Ali de verde a gente tem y 1 que é o eixo por onde vamos rotacionar a nossa figura Podemos ver na figura que a nossa integral terá limites 0 e 1 Passo 3 Pra calcular a área fazemos A πr² Nesse caso vamos ter dois raios diferentes já que temos uma área delimitada por duas curvas Aqui a gente tem que ter um cuidado a mais pois o eixo de rotação não é igual a zero Pra facilitar a gente olha o gráfico acima e olha a diferença entre cada curva e o eixo y 1 assim ficamos com r₁ 1 x r₂ 1 x² Para calcular a área temos Ax π1 x² π1 x²² O volume é dado pela integral da área V 0 1 Ax dx V 0 1 π1 x²² π1 x² dx V π 0 1 1 x⁴ 2x 1 x 2x dx V π 0 1 x⁴ 3x 2x dx Calculando a integral π x⁵5 3x²2 2x323₀¹ π x⁵5 3x²2 34 x52₀¹ π x⁵5 3x²2 34 x52₀¹ π 155 31²2 34 132 0⁵5 30²2 34 032 π 15 32 34 V 11π30 Passo 4 Esboçando o sólido e disco tipico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo y 1 temos Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes retas y ex y 1 x 2 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y 2 obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y ex y 1 x 2 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 2 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a y 2 ex x 2 1 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 2 que é o eixo de rotação Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Axdy Essa área é dada por Ax π2 ex2 π2 12 Ax π4 e2x 4ex π Ax π3 e2x 4ex Substituindo na fórmula do volume e integrando V 02 π3 e2x 4ex π 3x 4ex e2x2 02 Aplicando os limites de integração V π 6 4e2 12e4 π 4 12 V π 52 4e2 12e4 Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y 1 sec x y 3 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y 1 da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos uma função trigonométrica y 1 sec x E uma reta horizontal y 3 Juntando as duas temos Os gráficos das funções trigonométricas tem um padrão e vão se repetindo ao longo do eixo x Aqui a gente vai trabalhar com o intervalo π π beleza Esses pontos onde as curvas se interceptam são 1 sec x 3 sec x 2 sec1 3 π3 π3 Esses vão ser os nossos limites de integração Passo 2 Agora vamos a integração Para um sólido que está entre x a e x b e possui área de seção transversal igual a A seu volume V é dado por V a to b Ax dx A área de uma coroa circular é dada por A πR² r² Onde R é o raio maior e r é o raio menor que são dados em relação a y 1 Vamos desenhar ela no gráfico pra ficar mais visível Assim o raio maior é dado por R 1 sec x 1 sec x E o raio menor é dado por r 3 1 2 Passo 3 Utilizando a definição de volume de sólido de revolução podemos escrever a seguinte integral V π3 to π3 π2² sec x² dx Vou trazer o gráfico pra pertinho de novo A área que a gente quer é essa verdinha Perceba a simetria da figura Com isso a gente pode calcular a integral no intervalo 0 π3 e depois dobrar Assim resolvendo a integral temos V 0 to π3 2π4 sec²x dx V 2π4x tan x0π3 V 2π 4π3 3 Passo 4 Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema O enunciado nos dá as seguintes curvas y sen x y cos x 0 x π4 E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y 1 da região delimitada pelas curvas acima Depois disso temos que esboçar a região Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas Temos duas funções trigonométricas Plotando elas e o eixo y 1 para o intervalo dado Lembrando que seja S um sólido que está entre x a e x b Se a área da seção transversal de S no plano Px passando por x e perpendicular ap eixo x é Ax onde A é uma função contínua então o volume S é dado por V a to b Ax dx Observando o gráfico percebemos que os limites de integração serão a 0 e b é igual a x no ponto de intersecção entre as curvas sin x e cos x A área Ax é dada por A πr₁² r₂² Onde r₁ é o raio maior e r₂ é o raio menor que são dados em relação a y 1 Na prática a diferença entre os raios é delimitada pelas curvas sin x e cos x Passo 1 Podemos calcular o volume através da fórmula V ab Ay dy Temos que a área é representada pela figura abaixo Sabemos então que a 1 e b 1 vamos calcular a área agora como rotacional em x 1 temos Ay πr2 π1 y22 π1 2y2 y4 Onde usamos os raios como as curvas limites Agora vamos esboçar o sólido e o disco Pronto agora só falta calcular o volume V ab Ay dy 11 π1 2y2 y4 dy π 11 1 2y2 y4 dy Passo 2 O raio maior vai ser igual a função r1 sen x 1 r2 cos x 1 Assim temos Ax π sen x 12 cos x 12 Ax π cos2 x 2 cos x sen2 x 2 sen x Ax π cos 2x 2 cos x 2 sen x Temos também um ponto de intersecção que vai determinar o limite superior de integração sen x cos x x π4 Agora sim podemos montar a integral V 0π4 π cos 2x 2 cos x 2 sen x dx Passo 3 Resolvendo a integral temos V π 12 sen 2x 2 sen x 2 cos x0π4 V π 12 sen 2π4 2 sen π4 2 cos π4 12 sen 20 2 sen 0 2 cos 0 V π 12 2 2 0 0 2 V π 22 32 Passo 4 Com a rotação vamos ter a seguinte região Prontinho Passo 2 Bem para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Agora é fácil achar as primitivas da função usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas kdx kx C xn dx xn1n1 C n 1 cfxdx c fxdx Agora é só aplicar 1 2y² y⁴dy y 2 y³3 y⁵5 C y 2y³3 y⁵5 C Passo 3 Pronto já encontramos a integral indefinida Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo ab fxdx Fb Fa Vamos lá V π 11 1 2y² y⁴dy πy 2y³3 y⁵511 π1 21³3 1⁵5 1 21³3 155 esposta V 16π15 Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes curvas y x y x Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x 2 obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Axdx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou anurela típicos que represente a secção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y x y x Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 1 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a y2ex x21 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 2 que é o eixo de rotação Agora vamos esboçar o sólido Passo 4 Para calcular o volume temos Vab Axdy Substituindo V01 π2y²²2y²dy Resolvendo Vπ01 y4 5y²4ydyπ y55 53 y³ 2y²01 Vπ15 53 2 V815 π Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes curvas y 14 x2 x 2 y 0 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Ax dx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y 14 x2 x 4y 2y x 2 y 0 Temos que a área é representada pela figura abaixo Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são a 0 e b 1 Nesse caso vai ser mais interessante integrar com respeito a y Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com seção transversal circular e o seu raio vai ser igual a x 2y x 2 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essa região sombreada é o disco que representa a seção transversal da arruela Passo 4 Para calcular o volume temos V ab Ax dy Essa área é dada por Ay π 22 2y2 Ay 4π1 y Substituindo na fórmula do volume e integrando V 02 4π1 y dy 4π y y2201 Aplicando os limites de integração V 4π 1 12 0 V 2π Prontinho Passo 1 Opa bora resolver esse problema Temos uma região limitada pelas seguintes curvas y x y 0 x 2 x 4 Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo x obtemos um sólido O enunciado pede pra a gente encontrar o volume desse sólido Para isso vamos usar a seguinte fórmula V ab Ax dx Além disso precisamos esboçar a região o sólido e um disco ou arruela típicos que represente a seção transversal Vamos colocar a mão na massa Passo 2 Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas y x y 0 x 2 x 4 Temos que a área é representada pela figura abaixo Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Ax dx Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno do eixo x com o raio sendo a nossa função y x Assim temos que Ax πr2 πx2 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xn dx xn1 n 1 C Logo πx2 dx π x2 dx π x3 3 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 πx2 dx π x3 301 V π 13 3 03 3 π 3 Passo 3 Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a x 4 1 x 2 1 Percebe que aqui a gente tem dois raios Um interno e um externo Além disso a gente pegou a função dada e diminuiu de 1 que é o eixo de rotação Agora vamos esboçar o sólido e a arruela Essas regiões sombreadas são discos que representam seções transversais do sólido Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são α 0 e b 2 α 2 e b 4Isso mesmo vamos separar a integral em duas Uma correspondente a essa parte cilíndrica e outra a parte cônica Além disso nesse caso vai ser mais interessante integrar com respeito a y Passo 4 Utilizando a definição de volume de sólido de revolução podemos escrever a seguinte integral V 02 π4 12 2 12 dy 24 π4 12 y 12 dy Resolvendo a integral temos V π8y02 24 π8 2y y2 dy 16π π 8y y2 y3324 V 16π π 32 16 643 16 4 83 V 763 π Prontinho Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Aydy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 0 Assim a área do disco é igual a Ay πr2 π12 y2 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fxdx xn dx xn1n1 C Logo π1 y2 dy π 1 y2 dy π y y33 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 π1 y2 dy π y y33 01 V π 1 13 0 03 2π3 Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Aydy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 1 Assim a área do disco é igual a Ay π L fy2 π1 y2 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fxdx xn dx xn1n1 C Logo π1 y2 dy π 1 2y y2 dy π y 2y22 y33 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 π1 y2 dy π y 2y22 y33 01 V π 1 1 13 0 0 0 π3 Passo 1 Eaeae belezinha Bom a questão quer que calculemos o volume de R1 em azul em torno de BC linha vermelha Para isso temos que saber a relação entre volume e área Bom o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ab Axdx Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R1 que é um segmento de reta indo do ponto 00 ao ponto 11 Passo 2 Antes de tudo vamos encontrar essa função Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta Ela pode ser dada como y ax b Já que temos dois pontos podemos definir facilmente uma reta não é Vamos substituir cada ponto de uma vez Primeiro o ponto 00 0 a0 b b 0 Sabemos o valor do termo independente da equação Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora Vamos substituir o segundo ponto 1 a1 0 a 1 Assim temos que a equação da reta é y x Voltando para a questão esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta y 1 Assim a área do disco é igual a Ax π 1 02 1 x2 Passo 3 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xn dx xn1n1 C Logo π 1 1 x2 dx π 1 1 2x x2 dx π x2 x33 C Passo 4 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 π 1 1 x2 dx V π x3 x33 01 V π 1 13 V 2π3 Passo 4 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V ₀¹ π1 x² dx π x 2x323 ₀¹ V π 1 23 π3 Entendeu direitinho Responde aee Passo 1 O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ₐᵇ Ay dy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R₂ que é delimitada pela função y x y4 x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 0 Assim a área do disco é igual a Ay πR² πy4² πy⁸ Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xⁿ dx xn1n1 C Logo πy⁸ dy π y⁸ dy π y⁹9 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V ₀¹ πy⁸ dy π y⁹9₀¹ V π 19 π9 Passo 1 Eaee belezinha Bom queremos encontrar o volume gerado pela rotação ao redor da seguinte reta R₂ em torno de OA Na seguinte figura Para isso devemos saber que o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão V ₐᵇ Ax dx Agora vamos lá Passo 2 Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R₂ que é delimitada pela função y x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta y 0 Assim a área do disco é igual a Ax πR² πr² π 1² x² Passo 3 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfx dx c fx dx xⁿ dx xn1n1 C Logo π 1 x² dx π 1 x² dx π x x3232 C Passo 1 Opa bora lá O enunciado nos dá a seguinte figura E pede pra a gente encontrar o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta R2 em torno de AB Pra isso vamos usar a seguinte expressão V ab Aydy Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R2 que é delimitada pela função y 4x y⁴ x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta x 1 Assim a área do disco é igual a Ay πR² πy² π1² 1 y⁴² π1 1 y⁸ 2y⁴ y⁸ πy⁸ 2y⁴ Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fx dx xⁿ dx xⁿ¹n1 C Logo πy⁸ 2y⁴ dy π y⁸ 2y⁴ dy π y⁹9 2y⁵5 C Passo 3 Agora é tranquilo pessoal Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1 Nossos limites de integração aqui serão a 0 e b 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho Assim fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo V 01 πy⁸ 2y⁴ dy π y⁹9 2y⁵5⁰¹ V π 19 25 13π45 O resultado final é V 13π45 Passo 1 Opa bora lá O enunciado nos dá a seguinte figura E pede pra a gente encontrar o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta R2 em torno de BC Pra isso vamos usar a seguinte expressão V ab Axdx Na nossa questão queremos saber o volume gerado pela rotação da região R2 que é delimitada pela função y 4x Esse volume é calculado pelo método dos discos onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação No nosso caso estamos rotacionando a área em torno da reta y 1 Assim a área do disco é igual a Ax πR² π1 4x² π1 2x14 x12 Passo 2 Galerinha vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração Assim usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas cfxdx c fx dx xⁿ dx xⁿ¹n1 C Logo π1 2x14 x12 dx π 1 2x14 x12 dx π x 8x545 2x323 C