Integrais Trigonometricas e Substituicao Trigonometrica - Calculo I

Integrais Trigonométricas e Substituição Trigonométrica Cálculo I 1º semestre de 2022 Integrais Trigonométricas Integrais Trigonométricas ESTRATÉGIA PARA CALCULAR senm x cosn x dx a Se a potência do cosseno é ímpar n 2k 1 guarde um fator cosseno e use cos2 x 1 sen2 x para expressar os fatores restantes em termos de seno senm x cos2k1 x dx senm x cos2 xk cos x dx senm x 1 sen2 xk cos x dx A seguir substitua u sen x b Se a potência do seno é ímpar m 2k 1 guarde um fator seno e use sen2 x 1 cos2 x para expressar os fatores restantes em termos de cosseno sen2k1 x cosn x dx sen2 xk cosn x sen x dx 1 cos2 xk cosn x sen x dx A seguir substitua u cos x Observe que se ambas as potências de seno e cosseno forem ímpares podemos usar a ou b c Se as potências de seno e cosseno forem pares utilizamos as identidades dos ângulosmetade sen2 x 12 1 cos 2x cos2 x 12 1 cos 2x Algumas vezes é útil usar a identidade sen x cos x 12 sen 2x Exercício 1 Calcule a integral trigonométrica න 𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 ímpar න 𝑠𝑒𝑛6𝑥 1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න 𝑢6 1 𝑢2 𝑑𝑢 න 𝑢6 𝑢8 𝑑𝑢 𝑢7 7 𝑢9 9 𝐶 𝑠𝑒𝑛7𝑥 7 𝑠𝑒𝑛9𝑥 9 𝐶 Guarde um fator cosseno e use Pitágoras para expressar os fatores restantes em função de seno Exercício 2 Calcule a integral trigonométrica න 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 ímpar න 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Substituição 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 න 1 𝑢2 𝑢2 𝑑𝑢 න 𝑢4 𝑢2 𝑑𝑢 𝑢5 5 𝑢3 3 𝐶 𝑐𝑜𝑠5𝑥 5 𝑐𝑜𝑠3𝑥 3 𝐶 Guarde um fator seno e use Pitágoras para expressar os fatores restantes em função de cosseno Exercício 3 Calcule a integral trigonométrica න 0 𝜋 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 pares න 0 𝜋 1 2 1 cos2𝑥 1 2 1 cos2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 2 1 cos2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 2 1 cos2𝑥 න 0 𝜋 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 1 2 1 4 න 0 𝜋 1 cos 2𝑥 1 2cos2𝑥 𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑑𝑥 1 8 න 0 𝜋 1 2cos2𝑥 𝑐𝑜𝑠22𝑥 cos2𝑥 2𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑐𝑜𝑠32𝑥 𝑑𝑥 1 8 න 0 𝜋 1 cos2𝑥 𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑐𝑜𝑠32𝑥 𝑑𝑥 1 8 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2 𝜋 0 න 0 𝜋 1 2 1 cos 4𝑥 𝑑𝑥 න 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 1 8 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2 1 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 4 𝜋 0 න 0 𝜋 1 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 Substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑢 2cos2𝑥 𝑑𝑥 න 0 𝜋 1 𝑠𝑒𝑛22𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 න 0 0 1 𝑢2 𝑑𝑢 2 0 1 8 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2 1 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛4𝑥 4 𝜋 0 1 8 𝜋 1 2 𝜋 1 8 𝜋 2 𝜋 16 ESTRATÉGIA PARA CALCULAR tgm x secn x dx a Se a potência da secante é par n 2k k 2 guarde um fator de sec²x e use sec²x 1 tg²x para expressar os fatores restantes em termos de tg x tgm x sec2k x dx tgm x sec²xk1 sec²x dx tgm x 1 tg²xk1 sec²x dx A seguir substitua u tg x b Se a potência da tangente for ímpar m 2k 1 guarde um fator de sec x tg x e use tg²x sec²x 1 para expressar os fatores restantes em termos de sec x tg2k1x secn x dx tg²xk secn1x tg x dx sec²x 1k secn1x sec x tg x dx A seguir substitua u sec x Exercício 4 Calcule a integral trigonométrica න 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐4𝜃 𝑑𝜃 න 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐4𝜃 𝑑𝜃 par න 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 න 𝑡𝑔2𝜃 1 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 Substituição 𝑢 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 න 𝑢2 1 𝑢2 𝑑𝑢 න 𝑢2 𝑢4 𝑑𝑢 𝑢3 3 𝑢5 5 𝐶 𝑡𝑔3𝜃 3 𝑡𝑔5𝜃 5 𝐶 Guarde um fator sec2x e use sec2x1tg2x para expressar os fatores restantes em termos de tgx Exercício 5 Calcule a integral trigonométrica න 𝑡𝑔3𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 න 𝑡𝑔3𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 ímpar න 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 න𝑠𝑒𝑐2𝜃 1𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 Substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃 න 𝑢2 1 𝑑𝑢 𝑢3 3 𝑢 C 𝑠𝑒𝑐3𝜃 3 𝑠𝑒𝑐𝜃 C Guarde um fator secx tgx e use tg2x sec2x 1 para expressar os fatores restantes em termos de secx Exercício 6 Calcule a integral trigonométrica න 𝑡𝑔3𝜃 𝑑𝜃 න 𝑡𝑔3𝜃 𝑑𝜃 ímpar න 𝑡𝑔2𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 න𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 න 𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 න 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 Substituição 𝑢 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 න 𝑡𝑔3𝜃 𝑑𝜃 𝑡𝑔2𝜃 2 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝜃 C Aqui apenas tg x ocorre então usamos tg2x sec2x 1 para reescrever um fator tg 2x em termos de sec2x න 𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 න 𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 2 𝑡𝑔2𝜃 2 න 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 න 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 Substituição 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 න 𝑑𝑢 𝑢 𝑙𝑛 𝑢 𝐶 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠 1 𝐶 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝐶 න 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 Substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 න 𝑑𝑢 𝑢 𝑙𝑛 𝑢 𝐶 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝐶 Exercício 7 Calcule a integral trigonométrica න 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 2 Para calcular as integrais a sen mx cos nx dx b sen mx sen nx dx ou c cos mx cos nx dx use a identidade correspondente a sen A cos B 12 senA B senA B b sen A sen B 12 cosA B cosA B c cos A cos B 12 cosA B cosA B Exercício 8 Calcule a integral trigonométrica න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 න 𝑐𝑜𝑠3𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Substituição 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 2 න 𝑢3 𝑑𝑢 2 𝑢4 4 𝐶 𝑐𝑜𝑠4𝑥 2 𝐶 Substituição Trigonométrica Substituição Trigonométrica OBS 1 Observe a diferença entre a substituição u a 2 x 2 na qual a nova variável é uma função da antiga e a substituição x a sen a variável antiga é uma função da nova OBS 2 Podemos calcular a função inversa de x a sen desde que x defina uma função injetora Isso pode ser conseguido pela restrição de no intervalo 2 2 Exercício 9 Calcule a integral න 1 4𝑥2𝑑𝑥 න 1 4𝑥2𝑑𝑥 2 න 1 4𝑥2 4 𝑑𝑥 2 න 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒙 𝒂 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽 2 න 1 4 1 4 𝑠𝑒𝑛2𝜃 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 2 1 2 න 1 𝑠𝑒𝑛2𝜃 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 1 2 න 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 1 2 න 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 1 2 න 1 2 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 1 4 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 Substituição 𝑢 2𝜃 𝑑𝑢 2 𝑑𝜃 න 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽𝒅𝜽 𝟏 𝟐 න 𝒄𝒐𝒔𝒖 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒖 𝑪 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝑪 𝒙 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝒙 𝜽 𝟐𝒙 𝟏 𝑪𝑨 න 1 4𝑥2𝑑𝑥 1 4 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝒙 𝜽 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝟐 𝟐𝒙 𝑪𝑨 𝟏 𝟏𝟐 𝟐𝒙𝟐𝑪𝑨𝟐 𝑪𝑨 𝟏 𝟒𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟏 𝟒𝒙𝟐 න 1 4𝑥2𝑑𝑥 1 4 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝒙 𝟒𝒙 𝟏 𝟒𝒙𝟐 2 𝐶 1 4 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝟐𝒙 𝒙 𝟏 𝟒𝒙𝟐 2 𝐶 Retornando à variável original Exercício 10 Calcule a integralන 𝑑𝑥 𝑥2 16 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒙 𝒂 𝒕𝒈𝜽 𝟒 𝒕𝒈𝜽 𝒅𝒙 𝟒𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 𝒅𝜽 Retornando à variável original න 𝑑𝑥 𝑥2 16 න 4𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 16𝑡𝑔2𝜃 16 න 4𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 4 𝑡𝑔2𝜃 1 න 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 න 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝐶 𝑙𝑛 1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝐶 𝒙 𝟒 𝒕𝒈𝜽 𝒕𝒈𝜽 𝒙 𝟒 𝜽 𝒙 𝐻𝐼𝑃 4 𝑯𝑰𝑷𝟐 𝒙𝟐 𝟒𝟐 𝑯𝑰𝑷 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟒 𝒙𝟐 𝟏𝟔 න 𝑑𝑥 𝑥2 16 𝑙𝑛 1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝐶 𝑙𝑛 1 𝟒 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 𝟒 𝐶 𝑙𝑛 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 4 𝐶 𝑙𝑛 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 𝑙𝑛4 𝐶 𝑙𝑛 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 𝐶1 Exercício 11 Calcule a integralන 𝑥2 9 𝑥3 𝑑𝑥 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒙 𝒂 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒅𝒙 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒕𝒈𝜽 𝒅𝜽 න 𝑥2 9 𝑥3 𝑑𝑥 න 9𝑠𝑒𝑐2𝜃 9 27𝑠𝑒𝑐3𝜃 3 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 3 3 27 න 𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 1 3 න 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 1 3 න 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 1 3 න 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 1 6 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 Retornando à variável original 1 3 න 1 2 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 𝒙 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒐𝒖 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟑 𝒙 𝜽 𝑪𝑶 𝑥 3 𝒙𝟐 𝑪𝑶𝟐 𝟑𝟐 𝑪𝑶 𝒙𝟐 𝟗 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒙𝟐 𝟗 𝒙 න 𝑥2 9 𝑥3 𝑑𝑥 1 6 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 1 6 𝒔𝒆𝒄𝟏 𝒙 𝟑 2 𝒙𝟐 𝟗 𝒙 𝟑 𝒙 2 𝐶 1 6 𝒔𝒆𝒄𝟏 𝒙 𝟑 𝒙𝟐 𝟗 2𝑥2 𝐶 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟏 𝒙 𝟑