Integração por Partes - Aula de Cálculo I com Exercícios Resolvidos

20ª aula Integração por partes Cálculo I 1º semestre de 2024 1 Tópicos da aula Integrais indefinidas por partes Integrais definidas por partes Integração por partes Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração Por exemplo a Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação Aquela que corresponde à Regra do Produto para a derivação é chamada integração por partes A Regra do Produto afirma que se f e g forem funções deriváveis então 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 Integrando ambos lados da equação acima na notação para integrais indefinidas temos න 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 Utilizando a propriedade da soma de integrais podemos reescrever como න 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 Agora rearranjando as parcelas temos a Fórmula de integração por partes න 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 න 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Talvez seja mais fácil lembrar na seguinte notação Seja u f x e v g x Então as diferenciais são du fxdx e dv gxdx e assim pela Regra da Substituição a fórmula para a integração por partes tornase Não sei resolver න 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 න 𝑣𝑑𝑢 Sei resolver Exemplo 1 Encontre න 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 න 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶 E se tivéssemos escolhido ao contrário 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑥2 2 න 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥2 2 න 𝑥2 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Mais complicada que a integral original Se combinarmos a fórmula de integração por partes com a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo poderemos calcular integrais definidas por partes Calculando ambos os lados da Fórmula 1 entre a e b supondo que f e g contínuas e usando o Teorema Fundamental do Cálculo obtemos න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ሿ 𝑏 𝑎 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Exemplo 2 Encontre න 1 2 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 𝑥 ሿ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 1 න 1 2 𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 න 1 2 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 ሿ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 2 1 න 1 2 𝑑𝑥 ሿ 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑥 2 1 2 𝑙𝑛2 2 1 𝑙𝑛1 1 2 𝑙𝑛2 2 1 2 𝑙𝑛2 1 𝑙𝑛4 1 Exemplo 3 Encontre න 𝑡2𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑢 𝑡2 𝑑𝑢 2𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑒𝑡 𝑡2 𝑒𝑡 න 2𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑢 2𝑡 𝑑𝑢 2 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑒𝑡 න 𝑡2𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑡2 𝑒𝑡 2𝑡𝑒𝑡 2𝑡𝑒𝑡 න 2𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑡2𝑒𝑡 2𝑡 𝑒𝑡 2𝑒𝑡 𝐶 𝑒𝑡 𝑡2 2𝑡 2 𝐶 Exemplo 4 Encontre න 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑒𝑥 𝑑𝑢 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 න 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑒𝑥 𝑑𝑢 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Integral original Passar somando 2 න 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝐶 න 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 Exemplo 5 Encontre න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 න 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑑𝑥 න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 2 න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 𝐶 Integral original Passar somando Exemplo 6 Encontre න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 𝐶 Era possível resolver mais facilmente usando a relação trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 cos2𝑥 2 න 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 න 1 cos2𝑥 2 𝑑𝑥 1 2 𝑥 1 2 න cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2 𝐶 Mas como Exemplo 7 Encontre 𝑢 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑙𝑛𝑥 2 න 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑥2 න 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑥2 2 𝐶 න 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Era possível resolver por substituição 𝑈 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑈 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑈 𝑑𝑈 𝑈2 2 𝐶 𝑙𝑛𝑥2 2 𝐶 𝑙𝑛𝑥 2 න 𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Integral original Passar somando න 0 2 32t2e42t dt Exemplo 9 Encontre 𝑢 𝑡2 𝑑𝑢 2𝑡 𝑑t 𝑑𝑣 e42t 𝑑𝑡 𝑣 e42t 42 32 𝑡2 e42t 42 2 0 න 0 2 2𝑡 e42t 42 𝑑𝑡 32 1 42 22 e84 2 42 න 0 2 𝑡e42t 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑢 𝑑t 𝑑𝑣 e42t 𝑑𝑡 𝑣 e42t 42 න 0 2 𝑡e42t 𝑑𝑡 t e42t 42 2 0 න 0 2 e42t 42 𝑑𝑡 32 න 0 2 t2e42t dt න 0 2 𝑡e42t 𝑑𝑡 t e42t 42 2 0 න 0 2 e42t 42 𝑑𝑡 2 e84 42 1 42 න 0 2 e42t 𝑑𝑡 2 e84 42 1 42 e42t 42 2 0 2 e84 42 1 422 e84 1 32 න 0 2 t2e42t dt 32 1 42 22 e84 2 42 න 0 2 𝑡e42t 𝑑𝑡 32 42 4e84 4 e84 42 2 422 e84 1 32 42 208 e84 42 2 422 e84 1 32 42 208 e84 42 2 422 e84 1 32 42 8936 e84 2 42 2 086 න 0 2 32t2e42t dt 086 Exemplo 10 Encontre න 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 1 2 න 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 cos2𝑥 2 න 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 1 2 𝑥 cos 2𝑥 2 න cos2𝑥 2 𝑑𝑥 1 2 𝑥 cos 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 4 𝐶 𝑥 cos 2𝑥 4 sen 2𝑥 8 𝐶 Desafio Encontre 𝑢 𝑥 𝑒2𝑥 𝑑𝑢 1 𝑒2𝑥 𝑥 𝑒2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑒2𝑥 1 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 1 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑣 න 1 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 න 𝑥 𝑒2𝑥 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 න 𝑥 𝑒2𝑥 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 Resolver separadamente por substituição 𝑈 1 2𝑥 𝑑𝑈 2𝑑𝑥 න 1 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 න 1 𝑈2 𝑑𝑈 2 1 2 න 𝑈2 𝑑𝑈 1 2 𝑈1 1 1 2 1 2𝑥 1 21 2𝑥 𝑥 𝑒2𝑥 1 21 2𝑥 න 𝑒2𝑥 1 2𝑥 21 2𝑥 𝑑𝑥 න 𝑥 𝑒2𝑥 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑒2𝑥 21 2𝑥 𝑒2𝑥 4 𝐶 න 𝑥 𝑒2𝑥 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑒2𝑥 2 1 2𝑥 𝑒2𝑥 4 𝐶 2𝑥𝑒2𝑥 1 2𝑥𝑒2𝑥 4 1 2𝑥 𝐶 2𝑥𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 2𝑥𝑒2𝑥 4 1 2𝑥 𝐶 න 𝑥 𝑒2𝑥 1 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑒2𝑥 4 1 2𝑥 𝐶 Exemplo Encontre න 𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 න 𝑡𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑒𝑡 𝑡𝑒𝑡 න 𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑡𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑡 1 𝐶 න 𝑒𝑡𝑑𝑡 Exemplo Encontre න 𝑙𝑛 3 𝑡𝑑𝑡 𝑢 𝑙𝑛 3 𝑡 𝑑𝑢 1 3 𝑡 1 3 𝑡 Τ 2 3𝑑𝑡 1 3𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝑡 𝑡𝑙𝑛 3 𝑡 න 𝑡 1 3𝑡 𝑑𝑡 න 𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑡𝑙𝑛 3 𝑡 1 3 𝑡 𝐶 𝑡 𝑙𝑛 3 𝑡 1 3 𝐶