Substituicao Trigonometrica - Calculo Integral - Exercicios Resolvidos

Substituição Trigonométrica Cálculo I 1º semestre de 2021 Substituição Trigonométrica Expressão Substituição Identidade a² x² x a sen θ π2 θ π2 1 sen²θ cos²θ a² x² x a tg θ π2 θ π2 1 tg²θ sec²θ x² a² x a sec θ 0 θ π2 ou π θ 3π2 sec²θ 1 tg²θ Exercício 6 Calcule a integral 1 4𝑥2𝑑𝑥 1 4𝑥2𝑑𝑥 2 1 4𝑥2 4 𝑑𝑥 2 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 𝒂𝟐 𝒙𝟐 𝒙 𝒂 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽 2 1 4 1 4 𝑠𝑒𝑛2𝜃 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 2 1 2 1 𝑠𝑒𝑛2𝜃 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 1 2 1 2 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 1 4 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 Retornando à variável original 𝒙 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝒙 𝜽 𝟐𝒙 𝟏 𝑪𝑨 1 4 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝒙 𝜽 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝟐 𝟐𝒙 𝑪𝑨 𝟏 𝟏𝟐 𝟐𝒙𝟐𝑪𝑨𝟐 𝑪𝑨 𝟏 𝟒𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟏 𝟒𝒙𝟐 1 4𝑥2𝑑𝑥 1 4 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝒙 𝟒𝒙 𝟏 𝟒𝒙𝟐 2 𝐶 1 4 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝟐𝒙 𝒙 𝟏 𝟒𝒙𝟐 2 𝐶 Exercício 7 Calcule a integral 𝑑𝑥 𝑥2 16 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒙 𝒂 𝒕𝒈𝜽 𝟒 𝒕𝒈𝜽 𝒅𝒙 𝟒𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 𝒅𝜽 Retornando à variável original 𝑑𝑥 𝑥2 16 4𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 16𝑡𝑔2𝜃 16 4𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 4 𝑡𝑔2𝜃 1 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝐶 𝑙𝑛 1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝐶 𝒙 𝟒 𝒕𝒈𝜽 𝒕𝒈𝜽 𝒙 𝟒 𝜽 𝒙 𝐻𝐼𝑃 4 𝑯𝑰𝑷𝟐 𝒙𝟐 𝟒𝟐 𝑯𝑰𝑷 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟒 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝑑𝑥 𝑥2 16 𝑙𝑛 1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝐶 𝑙𝑛 1 𝟒 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 𝟒 𝐶 𝑙𝑛 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 4 𝐶 𝑙𝑛 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 𝑙𝑛4 𝐶 𝑙𝑛 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒙 𝐶1 Exercício 8 Calcule a integral 𝑥2 9 𝑥3 𝑑𝑥 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒙 𝒂 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒅𝒙 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒕𝒈𝜽 𝒅𝜽 𝑥2 9 𝑥3 𝑑𝑥 9𝑠𝑒𝑐2𝜃 9 27𝑠𝑒𝑐3𝜃 3 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 3 3 27 𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 1 3 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 1 3 𝑡𝑔2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 1 6 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 Retornando à variável original 1 3 1 2 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 𝒙 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒐𝒖 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟑 𝒙 𝜽 𝑪𝑶 𝑥 3 𝒙𝟐 𝑪𝑶𝟐 𝟑𝟐 𝑪𝑶 𝒙𝟐 𝟗 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒙𝟐 𝟗 𝒙 𝑥2 9 𝑥3 𝑑𝑥 1 6 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 𝐶 1 6 𝒔𝒆𝒄𝟏 𝒙 𝟑 2 𝒙𝟐 𝟗 𝒙 𝟑 𝒙 2 𝐶 1 6 𝒔𝒆𝒄𝟏 𝒙 𝟑 𝒙𝟐 𝟗 2𝑥2 𝐶 𝜽 𝒔𝒆𝒄𝟏 𝒙 𝟑