Lista de Exercícios - Cálculo de Derivadas Parciais e Aplicações

13 O comprimento l a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo Em certo instante as dimensões da caixa são l 1m e w h 2m l e w aumentam a uma taxa de 2ms ao passo que h diminui à taxa de 3ms Nesse instante determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando a O volume b A área da superfície c O comprimento da diagonal 14 Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis Se z fxy onde x r cos θ e y r sen θ Capítulo 3 Derivadas Parciais 13 a determine zr e zθ b mostre que ²zx² ²zy² ²zr² 1r² ²zθ² 15 Determine a derivada direcional de fxy yex no ponto 04 na direção do ângulo θ 2π3 16 a Determine o gradiente de fxy 5xy² 4x³y b Calcule o gradiente no ponto P 12 c Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u 513 i 1213 j 17 Determine a derivada direcional de fxyz xez ye² zex no ponto 000 na direção de v 5i 7j 2k 18 Determine a derivada direcional de fxy xy em P 28 na direção de Q 54 19 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre a fxy y²x 24 b fxyz x² y² z² 362 20 Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função fxy x² y² 2x 4y é i j 21 Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por Vxyz 5x² 3xy xyz a Determine a taxa de variação do potencial em P 345 na direção do vetor u i j k b Em que direção V varia mais rapidamente em P c Qual a taxa máxima de variação em P 22 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função a fxy x³ y³ x²y 4 b fxy x² y²ex² x² 23 Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D a fxy 1 4x 5y D é a região triangular fechada com vértices 00 20 e 03 b fxy x² y² x²y 4 D xy x 1 y 1 14 19 Capítulo 3 Derivadas Parciais 14 24 Determine os pontos do cone z² x² y² que estão mais próximo do ponto 420 25 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita às restriçãoões dadas a fxyz 2x 6y 10z x² y² z² 35 b fxyz x 2y x y z 1 y² z² 4