Logica Elementar - Derivações e Modus Tollens

DESIDÉRIO MURCHO LÓGICA ELEMENTAR Raciocínio linguagem e realidade 70 3 DERIVAÇÕES As tabelas de validade ajudam a compreender os conceitos de validade e forma lógica e esse é o seu papel principal Examinando uma tabela tornase visível que quando um raciocínio é válido o conhecimento das condições de verdade é suficiente para saber que não tem premissas verdadeiras e conclusão falsa Apesar disso as tabelas tornamse entediantes quando o raciocínio a examinar tem quatro ou mais frases elementares A limitação mais séria porém é que não oferecem um método para chegar validamente à conclusão partindo das premissas e isso é o que realmente conta no raciocínio É aqui que entram as derivações que são processos de demonstração ou prova formal Uma derivação é uma maneira de chegar validamente a uma conclusão partindo das premissas e usando apenas raciocínios elementares cuja validade já é conhecida as regras de inferência Deste modo não se prova apenas que um dado raciocínio é válido mostrase como se chega validamente à conclusão partindo das premissas 31 Modus tollens Considerese de novo o raciocínio atribuído a Kant Temos o dever de promover o bem supremo Se o bem supremo não fosse possível não teríamos o dever de promovêlo Se Deus não existisse o bem supremo não seria possível Logo Deus existe 79 LÓGICA ELEMENTAR Quem sabe lógica vê facilmente que este raciocínio é válido porque se obtém a conclusão aplicando duas vezes uma forma muito comum de raciocínio válido chamada modus tollens A B B A Evidentemente uma tabela permite provar facilmente que os raciocínios desta forma são válidos Porém para provar que a conclusão do raciocínio atribuído a Kant resulta de duas aplicações do modus tollens é preciso começar por compreendêla muito bem E o primeiro aspecto importante é este tudo o que conta no modus tollens é haver uma condicional e também a contraditória da sua consequente isto basta para concluir validamente a contraditória da antecedente Uma vez que a ordem das premissas é irrelevante as duas primeiras premissas daquele raciocínio obedecem precisamente a este padrão a primeira premissa é a contraditória da consequente da condicional da segunda premissa Isto significa que se conclui por modus tollens a contraditória da antecedente Temos o dever de promover o bem supremo Se o bem supremo não fosse possível não teríamos o dever de promovêlo Logo o bem supremo é possível Chegase assim a uma conclusão intermédia raciocinando por modus tollens Juntese agora esta conclusão à terceira premissa do raciocínio original O bem supremo é possível Se Deus não existisse o bem supremo não seria possível Como é evidente surgem de novo os elementos necessários para uma nova aplicação do modus tollens a primeira frase é a contraditória da consequente da condicional Conclusão Deus existe É este processo que quem sabe lógica faz quase instantaneamente ao ver o raciocínio original E é isto que se explicita numa derivação usando MT como abreviatura de modus tollens 1 Temos o dever de promover o bem supremo Prem 2 Se o bem supremo não fosse possível não teríamos o dever de promovêlo Prem 3 Se Deus não existisse o bem supremo não seria possível Prem 4 O bem supremo é possível 1 2 MT 5 Deus existe 3 4 MT 1 2 3 1 2 Como se vê as derivações têm quatro colunas Na primeira numerase cada passo da derivação Na segunda formulase o raciocínio propriamente dito escrevese as premissas e as conclusões parciais até chegar à conclusão final no último passo Na terceira coluna justificase cada passo do processo especificase a regra usada e os passos a que foi aplicada ou declarase que é uma premissa Por fim na última coluna registase as premissas de que depende cada resultado derivado Sempre que se aplica uma regra a um ou mais passos ficase a depender das premissas de que dependem esses passos Os primeiros três passos deste exemplo são apenas as premissas e é isso que os justifica Porém o que justifica o passo 4 é um raciocínio por modus tollens que usa os passos 1 e 2 como premissas E no passo 5 uma nova aplicação da mesma regra de inferência usando agora os passos 3 e 4 como premissas permite chegar à conclusão final Ao concluir o passo 5 por modus tollens com base nos passos 3 e 4 ficase a depender de todas as premissas de que dependem estes passos Ora 3 é ele próprio uma premissa pelo que é isso que se regista na quarta coluna e 4 dependia das premissas 1 e 2 pelo que são essas dependências que agora são herdadas Como é evidente a derivação anterior não diz respeito apenas àquele raciocínio mas a todos os que tiverem a mesma forma lógica p q p r q r 81 Usase o martelo sintáctico para indicar que as frases da forma à sua direita são derivadas das frases das formas à sua esquerda Mais rigorosamente o martelo sintáctico indica que a fórmula da direita se obtém das da esquerda usando apenas as regras dadas e sem ter em consideração quaisquer aspectos semânticos Eis a derivação 1 p Prem 2 q p Prem 3 r q Prem 4 q 1 2 MT 5 r 3 4 MT 1 2 3 1 2 Uma vez mais a conclusão intermédia do passo 4 é derivada das premissas 1 e 2 por modus tollens e a conclusão final derivase aplicando a mesma regra à premissa 3 e ao resultado anteriormente derivado no passo 4 O passo 4 depende das premissas 1 e 2 porque o modus tollens foi aplicado a essas premissas já o 5 depende das premissas 3 1 e 2 porque o modus tollens foi aplicado à premissa 3 e ao passo 4 mas como este passo depende das premissas 1 e 2 são essas dependências que são agora herdadas Na quarta coluna registase apenas as premissas de que depende cada passo quando uma regra é aplicada a uma premissa é essa premissa que se regista mas quando se aplica a um passo que não seja uma premissa herdase as premissas de que esse passo depende Porque as regras como o modus tollens são expressas em toda a sua generalidade usando variáveis irrestritas de frase é crucial conseguir ver as formas lógicas mais gerais nas particulares Assim na primeira premissa do modus tollens vêse uma condicional aparentemente simples da forma A B Na verdade porém porque as variáveis aqui são irrestritas esta condicional tem um número infinito de casos como p q mas também p r q etc No raciocínio atribuído a Kant a condicional tem a forma q p o que significa que q está no lugar de A e p no de B Ora isto significa que é p que está no lugar de B todavia é evidente que as frases da forma p são equivalentes às da forma p Daí que o modus tollens se possa aplicar a este caso LÓGICA ELEMENTAR Apesar de toda esta flexibilidade o modus tollens só se aplica a duas frases completas e não a partes de frases Considerese o seguinte exemplo p q q s p Os raciocínios desta forma são inválidos e resultam de uma aplicação errada do modus tollens Na segunda premissa as frases da forma q fazem parte da disjunção e por isso não é válido usálas para concluir as da forma p a partir da condicional 32 Silogismo hipotético O silogismo hipotético SH é uma regra de inferência mais rigorosamente conhecida como transitividade da condicional ou raciocínio em cadeia O termo silogismo não é aqui usado no sentido particular da teoria de Aristóteles secção A4 mas no sentido genérico de raciocínio O termo hipotético resulta da designação antiga das condicionais que eram conhecidas como juízos hipotéticos Eis a sua forma lógica A B B C A C Esta regra oferece uma maneira alternativa de derivar a conclusão do raciocínio atribuído a Kant 1 p Prem 2 q p Prem 3 r q Prem 4 r p 2 3 SH 5 r 1 4 MT 2 3 1 2 3 83 A estratégia agora foi usar primeiro o silogismo hipotético para depois usar o modus tollens No passo 4 aplicouse o silogismo hipotético aos passos 2 e 3 na ordem inversa e concluiuse a condicional indicada Esta depende das premissas 2 e 3 porque foi a elas que se aplicou o silogismo hipotético O modus tollens aplicase agora a este passo 4 e ao 1 ficando por isso a depender das premissas 1 2 e 3 Esta derivação tem o mesmo número de passos da anterior mas em alguns casos conseguese derivações com menos passos se forem escolhidas estratégias mais econômicas 33 Dez regras simples Como se viu fazer derivações é uma questão de provar passo a passo que se obtém a conclusão usando apenas as regras de inferência disponíveis Estas são apenas raciocínios elementares dados como válidos mas cuja validade se prova caso se queira com tabelas de validade Diferentes sistemas de lógica oferecem diferentes conjuntos de regras de inferência Neste livro são oferecidos três grupos de regras que incluem as mais relevantes e comuns O primeiro desses grupos é o seguinte Eliminação da conjunção E A B A ou B Introdução da conjunção I A B A B Introdução da disjunção IV A A B Eliminação da bicondicional E A B A B ou B A Derivações Introdução da bicondicional I A B B A A B Modus ponens MP A B A B Modus tollens MT A B B A Dilema DIL A B A C B C C Silogismo disjuntivo SD A B A B Silogismo hipotético SH A B B C A C Estas regras não se aplicam a frases que façam parte de outras frases é inválido usar a eliminação da conjunção por exemplo para concluir uma frase da forma p q partindo de outra da forma p r q Por outro lado a ordem das premissas é sempre irrelevante Além disso porque a conjunção a disjunção e a bicondicional são comutativas tanto faz ter frases da forma A B como da forma B A por exemplo mas claro a condicional não é comutativa Lógica Elementar As derivações seguem sempre o mesmo padrão encontrar um caminho que permita chegar à conclusão partindo apenas das premissas e usando correctamente estas dez regras Considerese o seguinte exemplo p q r r p q 1 p q Prem 2 r Prem 3 r p Prem 2 3 MP 2 3 4 p 1 4 SD 1 2 3 5 q No passo 4 concluise p raciocinando por modus ponens a partir dos passos 2 e 3 como estes são premissas registase a dependência das premissas 2 e 3 No 5 concluise q aplicando o silogismo disjuntivo aos passos 1 e 4 o que permite chegar ao resultado final dependese agora da premissa 1 porque se aplicou a regra ao passo 1 que é uma premissa e também das premissas 2 e 3 porque a regra foi aplicada também ao passo 4 que já dependia delas As derivações correctas terminam com a conclusão original e o último passo não depende de outras premissas que não as originais Eis mais um exemplo p q p r q s r 1 p q Prem 2 p 1 E 1 3 p r 2 IV 1 4 q 1 E 1 5 p r q 3 4 I 1 6 p r q s r 5 IV 1 No passo 2 aplicouse a eliminação da conjunção para derivar p do passo 1 como o passo 1 era uma premissa indicouse na coluna das dependências que o passo 2 depende da premissa 1 Partindo DERIVAÇÕES deste resultado derivouse p V r no passo 3 usando a introdução da disjunção ficouse agora a depender à mesma da premissa 1 porque esta regra foi aplicada ao passo 2 que depende dessa premissa No passo 4 aplicouse de novo a eliminação da conjunção para derivar q do passo 1 que se junta agora no passo 5 ao resultado do passo 3 usando a introdução da conjunção Finalmente no passo 6 derivouse o que se desejava aplicando a introdução da disjunção ao passo 5 Notese que esta regra permite acrescentar qualquer forma neste caso acrescentouse s r porque era isso que se queria mas é válido acrescentar qualquer outra Isto significa que sempre que a conclusão almejada é uma disjunção basta derivar uma das disjuntas porque a outra se deriva trivialmente com a regra da introdução da disjunção como no seguinte caso p q p q V r A pergunta a fazer aqui é qual das duas disjuntas será mais fácil derivar Ora nas premissas deste caso não ocorre sequer r pelo que é forçoso derivar q Como é evidente as duas premissas permitem concluir imediatamente q por modus ponens Isto é tudo o que é preciso para fazer a derivação 1 p q Prem 2 p Prem 3 q 1 2 MP 1 2 4 q V r 3 IV 1 2 Vejase agora um uso errado já mencionado da eliminação da conjunção 1 p Λ q r Prem 2 p r 1 EΛ 1 O passo 2 é uma aplicação errada da eliminação da conjunção porque a aplica à antecedente de uma condicional Como todas as regras simples é inválido aplicála a frases que fazem parte de LÓGICA ELEMENTAR outras só é válido aplicála a conjunções da forma A Λ B e não a frases que tenham outras formas ainda que contenham conjunções No exemplo anterior p Λ q r não é uma conjunção mas uma condicional cuja antecedente é uma conjunção o operador principal não é a conjunção mas a condicional Vejase também um uso errado do modus ponens 1 p q Prem 2 q 1 MP 1 Esta aplicação do modus ponens é um erro esta regra só se aplica validamente a duas frases uma da forma A B e outra da forma A para então se concluir uma terceira da forma B Em contraste eis uma aplicação válida desta regra p q q p 1 p q Prem 2 q Prem 3 q p 1 E 1 4 p 2 3 MP 1 2 Como se vê concluiuse validamente p aplicando o modus ponens aos passos 2 e 3 que estão na ordem inversa à usada aquando da apresentação da regra Recordese que quando uma regra se aplica a duas ou mais formas a ordem em que surgem na derivação é irrelevante porque a ordem das premissas de um raciocínio é irrelevante no que respeita à validade Vejase agora um exemplo curioso p q p Λ r s q 1 p q Prem 2 p Λ r Prem 3 s Prem 4 p 2 EΛ 2 5 q 1 4 MP 1 2 DERIVAÇÕES A terceira premissa não foi usada para derivar a conclusão Quando isto acontece não há erro não é preciso usar todas as premissas Desde que se chegue ao resultado pretendido sem usar mais premissas que as iniciais e aplicando bem as regras a derivação será correcta Reparese que numa derivação conseguese sempre usar uma premissa a mais de que não se precisa No exemplo anterior caso se insistisse em usar todas as premissas bastaria no passo 6 juntar s a q com a introdução da conjunção para no passo seguinte se usar a eliminação da conjunção obtendose de novo q que agora já dependeria da premissa 3 Precisamente porque numa derivação se consegue fazer isto sempre nunca vale a pena fazêlo 34 Regras de substituição As regras seguintes aplicamse correctamenta a quaisquer frases façam ou não parte de outras Além disso é correcto substituir uma frase da forma da direita pela da esquerda e viceversa daí o uso do trigrama Negação dupla ND A A Leis de De Morgan DM¹ A V B A Λ B A Λ B A V B Negação da condicional Neg A B A Λ B Negação da bicondicional Neg A B A Λ B V A Λ B ¹ Augustus De Morgan foi um lógico e matemático britânico do século XIX LÓGICA ELEMENTAR Definição de condicional Def A B A B Definição de disjunção Def A B A B Contraposição CP² A B B A Comutatividade Com A B B A A B B A A B B A Idempotência A A A A A A Considerese o seguinte exemplo p q r p q r 1 p q r Prem 2 p q Prem 3 p q r 1 DM 1 4 r 2 3 MP 2 1 Neste caso foi usada uma regra de substituição no passo 3 para transformar usando De Morgan a antecedente da condicional do passo 1 Reparese que a regra de De Morgan tanto permite a substituição de frases da forma A B pelas da forma A B como 2 Também conhecida como transposição Notese que a contraposição é mais forte do que esta formulação dado qualquer raciocínio válido que tenha A e B como premissas e C como conclusão é válido concluir A B partindo de C DERIVAÇÕES viceversa Notese uma vez mais que as frases das formas A e A dão equivalentes regra da negação dupla Assim nesta derivação substituise p q sem mais delongas por p q em vez de p q Regressando ao raciocínio atribuído a Kant é agora fácil ver que há uma terceira maneira de derivar a conclusão 1 p Prem 2 q p Prem 3 r q Prem 4 p q 2 CP 2 5 q 1 4 MP 1 2 6 r 3 5 MT 3 1 2 A contraposição permite inferir p q partindo de q p e foi isso que se fez no passo 4 com base no 2 Isso permitiu então usar o modus ponens e de seguida o modus tollens 35 Reductio A reductio ad absurdum redução ao absurdo é uma das três regras em que se usa suposições premissas temporárias usadas para fazer uma subderivação Depois de se chegar ao resultado parcial desejado eliminase a dependência dessa suposição usando uma destas três regras Eis um exemplo da aplicação da reductio a que se chama também introdução da negação p q p q p 1 p q Prem 2 p q Prem 3 p Sup reductio 4 q 1 3 MP 1 3 5 q 2 3 MP 2 3 6 q q 4 5 IΛ 1 3 2 7 p 36 reductio 1 2 LÓGICA ELEMENTAR No passo 3 foi introduzida a suposição com vista à reductio é comum usar a contraditória da conclusão como neste caso mas isso não é obrigatório A ideia é apenas usar uma suposição qualquer que irá gerar uma contradição da forma A A Duas aplicações do modus ponens permitem concluir q no passo 4 e q no 5 Isto significa que se encontrou a contradição desejada que é então explicitada no passo 6 Agora resta aplicar a reductio no passo 7 Para negar a suposição do passo 3 invocase o raciocínio que parte dela e chega à contradição do 6 Dependese então de todas as premissas de que depender a contradição excepto da suposição introduzida com vista a esta aplicação da reductio Eis a forma desta regra Reductio B A A B De uma suposição derivase uma contradição qualquer concluise então negando a suposição da qual se deixa de depender Este modo de raciocinar é conhecido desde a Antiguidade grega e é usado em geometria e noutros ramos da matemática assim como no pensamento comum e filosófico A ideia é sempre a mesma supõese a negação do que se quer provar mostrase que dessa suposição se deriva uma contradição e isso permite concluir validamente que a negação dessa suposição é verdadeira Considerese outro exemplo p r p r r 1 p r Prem 2 p r Prem 3 r Sup reductio 4 p 2 3 MT 2 3 5 r 1 4 MP 1 2 3 6 r r 3 5 IΛ 3 1 2 7 r 36 reductio 1 2 DERIVAÇÕES Notese que no passo 5 já se tem a conclusão Contudo reparese na quarta coluna o passo 5 depende da suposição 3 Nenhuma derivação está correcta se a última linha depender de uma suposição pois isso significa que em vez de se derivar o que se queria derivouse outra coisa com mais uma premissa Por isso é preciso continuar a derivação até eliminar a dependência dessa suposição Quando se chega ao passo 7 surge de novo a conclusão mas a diferença é que agora depende apenas das duas premissas iniciais a dependência da suposição foi eliminada Vejase mais uma derivação por reductio p r s r s p 1 p r s Prem 2 r Prem 3 s Prem 4 p Sup reductio 5 r s 1 4 MP 1 4 6 r s 5 DM 1 4 7 r s 2 3 I 2 3 8 r s r s 6 7 I 1 4 2 3 9 p 48 reductio 1 2 3 Como se vê desde que se tenha uma frase qualquer da forma A por mais complexa que seja e a sua negação A é válido aplicar a reductio Vejase um último exemplo p q p q q r 1 p q Prem 2 p q Prem 3 q r Sup reductio 4 q 3 E 3 5 p 1 4 MT 1 3 6 p 2 4 MT 2 3 7 p p 5 6 I 1 3 2 8 q r 37 reductio 1 2 A reductio é uma variação do modus tollens Tratase de mostrar que se uma dada suposição fosse verdadeira então uma contradição seria verdadeira mas dado que nenhuma contradição é verdadeira concluise validamente que a suposição era afinal falsa Porque o uso de suposições insere uma subderivação que terá de ser fechada para eliminar a suposição alguns sistemas de derivação adoptam indicações gráficas para ajudar os estudantes a não cometer falácias Em rigor a quarta coluna dispensa o uso desses indicadores gráficos e é mais versátil mas é útil ver como funciona um desses sistemas gráficos os outros são semelhantes p q s q p 1 p q s Prem 2 q Prem 3 p Sup reductio 4 q s 1 3 MP 1 3 5 q 4 E 1 3 6 q q 2 5 I 2 1 3 7 q 36 reductio 2 1 36 Introdução da condicional A segunda das três regras que envolvem suposições é a introdução da condicional I Vejase um exemplo da sua aplicação p q p r q s r s 1 p q Prem 2 p r Prem 3 q s Prem 4 r Sup I 5 p 2 4 MT 2 4 6 q 1 5 SD 1 2 4 7 s 3 6 MP 3 1 2 4 8 r s 47 I 3 1 2 DERIVAÇÕES No passo 4 foi introduzida uma suposição que é a antecedente da condicional a que se deseja chegar O objectivo agora é derivar a sua consequente Quando se consegue esse resultado parcial basta formar no passo seguinte uma condicional cuja antecedente é a suposição introduzida e cuja consequente é o resultado parcial a que se chegou O passo 8 depende então de todas as premissas e suposições de que depender o passo 7 excepto da própria suposição do passo 4 E é sempre assim que se usa a introdução da condicional Eis a sua forma Introdução da condicional I A B A B Com base numa suposição A derivase B concluise então A B sem depender já dessa suposição A condicional obtida ao aplicar a regra tem por antecedente a suposição introduzida com vista à aplicação desta regra A consequente contudo está em qualquer passo da derivação nem sempre está depois da suposição Como é evidente esta regra é particularmente proveitosa quando a conclusão da derivação é ela própria uma condicional Neste caso basta supor a antecedente da conclusão com o objectivo de chegar à consequente Depois uma aplicação da introdução da condicional é tudo o que é preciso para chegar à conclusão final É o que acontece neste exemplo q p s s p r r q 1 q p s Prem 2 s p r Prem 3 r Sup I 4 s 1 E 1 5 p r 2 4 MP 2 1 6 p 3 5 MT 3 2 1 7 q p 1 EΛ 1 8 q 6 7 MT 3 2 1 9 r q 38 I 2 1 A introdução da condicional também se usa quando a concluçã é uma bicondicional p Λ q p q 1 p Λ q Prem 2 p Sup I 3 q 1 EΛ 1 4 p q 23 I 1 5 q Sup I 6 p 1 EΛ 1 7 q p 56 I 1 8 p q 4 7 I 1 A estratégia foi tratar a conclusão desejada como uma conjunção de condicionais fezse então a introdução da condicional pensando primeiro numa das condicionais e depois na outra No último passo bastou introduzir a bicondicional Esta regra também se us de maneira encadeada p q r q p r 1 p q r Prem 2 q Sup I 3 p Sup I 4 q r 1 3 MP 1 3 5 r 2 4 MP 2 1 3 6 p r 35 I 2 1 7 q p r 26 I 1 Uma vez que a própria conclusão tem duas condicionais enc deadas começase por supor a antecedente da primeira e depois a da segunda Vejase mais um exemplo DERIVAÇÕES p q r p q p r 1 p q r Prem 2 p q Sup I 3 p Sup I 4 q r 1 3 MP 1 3 5 q 2 3 MP 2 3 6 r 4 5 MP 1 3 2 7 p r 36 I 1 2 8 p q p r 27 I 1 Neste caso a conclusão é uma condicional complexa constituída por uma antecedente que também é uma condicional assim como a consequente Começase por usar como suposição a antecedente da primeira condicional p q depois usase como suposição a antecedente da restante condicional p Daqui em diante o objectivo é chegar à consequente r Uma vez alcançado este resultado resta eliminar sucessivamente cada uma das duas suposições usando a introdução da condicional Vejase agora um caso que levanta alguma perplexidade p q p 1 p Prem 2 q Sup I 3 q p 21 I 1 Em rigor não foi da suposição que se derivou p Por isso não parece uma aplicação correcta da introdução da condicional mas é Isto porque seria fácil no passo 3 juntar p com q usando a introdução da conjunção depois usando a eliminação da conjunção chegarse ia de novo a p que agora teria sido derivada de q Uma vez que se consegue fazer sempre esta manobra nunca vale a pena fazêla e a derivação abreviada é perfeitamente adequada LÓGICA ELEMENTAR 37 Eliminação da disjunção A eliminação da disjunção EV é a última das três regras que envolvem suposições não deve ser confundida com o silogismo disjuntivo a que por vezes se dá confusamente esta designação Como é evidente eliminar validamente a disjunção não é o seguinte p q p Qualquer raciocínio verofuncional com esta forma é inválido Ao invés a eliminação da disjunção é uma versão especial de uma regra que já foi usada e que é intuitiva o dilema A forma da regra é a seguinte Eliminação da disjunção EV A B A C B C C Dada uma disjunção supõese cada uma das disjuntas depois de se obter o mesmo resultado C de ambas concluise C e ficase a depender da disjunção mas não das suposições Ao derivar C de A não se depende de B e ao derivar C de B não se depende de A Eis uma aplicação da regra p Λ r q Λ r s r Λ s 1 p Λ r q Λ r Prem 2 s Prem 3 p Λ r Sup EV 4 r 3 EΛ 3 5 q Λ r Sup EV 6 r 5 EΛ 5 98 DERIVAÇÕES 7 r 1 34 56 Ev 1 8 r s 2 7 IA 2 1 No passo 3 introduziuse como suposição da eliminação da disjunção a primeira disjunta do passo 1 Daqui obtevese r porque era o que se desejava extrair da disjunção No passo 5 foi introduzida então outra suposição a segunda disjunta do passo 1 O objectivo é chegar de novo a r o que se conseguiu no passo 6 No passo 7 concluise então r sem depender de qualquer das duas suposições mas dependendo da disjunção original do passo 1 Quando se aplica a eliminação da disjunção ficase a depender de todas as premissas de que depender a disjunção original e de todas as premissas de que depender cada um dos resultados parciais excepto das duas suposições As duas suposições têm de ser exactamente iguais a cada uma das disjuntas da disjunção que se pretende eliminar Assim se a disjunta tiver a forma lógica p r s supõese primeiro p r e depois s Além disso os dois resultados parciais a que se chega partindo das suposições têm de ser iguais De modo que ao usar a eliminação da disjunção escrevese sempre três vezes o mesmo Vejase outro exemplo p q q r p r q 1 p q q r Prem 2 p r Prem 3 p q q r 1 Def 1 4 p q Sup Ev 5 p r 2 DM 2 6 p 5 E 2 7 q 4 6 MP 4 2 8 q r Sup Ev 9 r 5 E 2 10 q 8 9 SD 8 2 11 q 3 47 810 Ev 1 2 A estratégia foi olhar para a primeira premissa e ver que transformandoa numa disjunção é fácil concluir o que se quer isto 99 LÓGICA ELEMENTAR porque por De Morgan a segunda premissa fornece os meios para concluir q tanto da primeira como da segunda disjunta Vejase outro exemplo p q r p q p r 1 p q r Prem 2 q r 1 E 1 3 q Sup Ev 4 p 1 E 1 5 p q 3 4 IA 3 1 6 p q p r 5 IV 3 1 7 r Sup Ev 8 p r 4 7 IA 1 7 9 p q p r 8 IV 1 7 10 p q p r 2 36 79 Ev 1 A estratégia neste caso foi ver que não é difícil chegar ora à primeira disjunta da conclusão ora à segunda caso se parta da disjunção extraída da premissa Uma vez que ao obter uma das disjuntas da conclusão a outra é fácil de obter por introdução da disjunção a estratégia tornase evidente No passo 5 obtevese a primeira disjunta da conclusão e acrescentouse a segunda no passo 6 simetricamente no passo 8 obtevese a segunda disjunta da conclusão e acrescentouse a primeira 38 Verdades lógicas Reparese no seguinte contraste 1 p q q p 2 p q q p Em 1 o martelo indica que as frases da forma à sua direita se derivam das frases da forma da esquerda Em 2 indica que as frases 100 DERIVAÇÕES da forma à direita se derivam sem depender de outras frases No primeiro caso são representados todos os raciocínios válidos daquela forma no segundo todas as verdades lógicas daquela forma Uma vez que a negação de uma verdade lógica é uma falsidade lógica isto é uma contradição a reductio oferece uma maneira óbvia de derivar verdades lógicas p p 1 p p Sup reductio 2 p p 1 DM 1 3 p p 12 reductio Como se vê o último passo não depende de quaisquer premissas nem de suposições É isto que prova que as frases daquela forma são verdades lógicas Outra regra usada para provar verdades lógicas é a introdução da condicional pois como se viu a expressão condicional de qualquer raciocínio válido é uma verdade lógica Considerese qualquer raciocínio da forma seguinte 1 A A B A sua expressão condicional é a seguinte 2 A A B Porque os raciocínios da forma 1 são válidos as frases da forma 2 são verdades lógicas E para provar que o são basta usar a antecedente da condicional como premissa para chegar à sua consequente Depois uma aplicação da regra da introdução da condicional devolve o resultado desejado Eis outro exemplo p q q r p r 1 p q q r Sup I 2 p q 1 E 1 101 39 Deus e o mal Considerese de novo a interpretação do raciocínio atribuído por Hume a Epicuro Se Deus existe e não pode impedir o mal é impotente Se Deus existe e não quer impedir o mal é malévolo Mas Deus não é impotente nem malévolo Logo se Deus existe pode e quer impedir o mal Se Deus existe pode e quer impedir o mal Se Deus pode e quer impedir o mal o mal não existe Ora o mal existe Logo Deus não existe Como se vê tratase de dois raciocínios encadeados a primeira premissa do segundo é a conclusão do primeiro E agora já se consegue provar que são válidos Interpretação p Deus existe q Deus pode impedir o mal r Deus é impotente s Deus quer impedir o mal t Deus é malévolo u O mal existe 102 DERIVAÇÕES Formas lógicas 1 p q r p s t r t p q s 2 p q s q s u u p Derivação 1 1 p q r Prem 2 p s t Prem 3 r t Prem 4 r 3 EΛ 3 5 p q 1 4 MT 1 3 6 p q 5 DM 1 3 7 t 3 EΛ 3 8 p s 2 7 MT 2 3 9 p s 8 DM 2 3 10 p Sup I 11 q 6 10 SD 1 3 10 12 s 9 10 SD 2 3 10 13 q s 11 12 IΛ 1 3 10 2 14 p q s 1013 I 1 3 2 Derivação 2 1 p q s Prem 2 q s u Prem 3 u Prem 4 q s 2 3 MT 2 3 5 p 1 4 MT 1 2 3 Só agora vale a pena discutir cuidadosamente as premissas Vale a pena discutilas porque se provou que são raciocínios válidos por isso se todas as premissas forem verdadeiras Deus não existe Por outro lado o raciocínio de Kant também é válido o que significa que se todas as suas premissas forem verdadeiras Deus existe Qual dos dois raciocínios tem premissas mais duvidosas Agora vale a pena fazer esta discussão 103 310 Sintaxe e derivação As derivações são sistemas sintácticos de prova que são por vezes inteiramente estipulados como meras manipulações de entidades físicas correntes eléctricas ou registos electrónicos num ecrã ou numa fita magnética Estes sistemas são também por vezes desenvolvidos de maneira inteiramente abstracta sem pretender dar conta do raciocínio real tornandose assim meramente um jogo de manipulações dessas entidades mesmo que se lhes atribua uma semântica formal dado que isto não é uma semântica no sentido comum do termo secção 217 Alguns sistemas de prova são axiomáticos e esses são os mais antigos já eram usados na geometria da Antiguidade e são ainda muito usados na matemática O que caracteriza um sistema axiomático de lógica é ter dois pontos de partida Por um lado algumas fbf são escolhidas como axiomas e é delas que se vai tentar então derivar todas as outras De um ponto de vista puramente sintáctico os axiomas são arbitrários na prática porém correspondem a verdades lógicas consideradas tão evidentes que não carecem de prova³ Só por si os axiomas são inferencialmente inertes não permitem derivar sem usar regras de inferência seja o que for Carroll 1895 Para se derivar as outras fbf que se deseja é preciso recorrer a um segundo ponto de partida sequências de fbf que funcionam como regras de manipulação que permitem transformar umas fbf noutras Outros sistemas de prova não são axiomáticos porque só têm um tipo de ponto de partida regras de manipulação Estas são de dois tipos as primitivas e as derivadas sendo que estas últimas se derivam das primeiras Um sistema de dedução natural só tem como regras primitivas regras de introdução e eliminação dos operadores verofuncionais no caso da lógica verofuncional O sistema desenvolvido neste livro só tem regras mas nem todas são primitivas 3 Isto não significa porém que os axiomas são irrefutáveis Caso de um axioma se derive algo que há boas razões para considerar que é falso isso é em si uma boa razão para rejeitálo 104 DERIVAÇÕES Quando se faz um sistema de derivações seja ele axiomático ou não emergem alguns aspectos interessantes O primeiro e mais evidente é este qual será o sistema mínimo de pontos de partida sejam eles apenas regras ou regras com axiomas que permitam chegar a todos os resultados que se quer Tradicionalmente era comum considerar que a lógica clássica se baseava em três leis do pensamento⁴ 1 Nãocontradição A Λ A 2 Terceiro excluído A A 3 Identidade a a Hoje sabese três coisas Primeiro não é possível fazer um sistema apropriado de lógica só com estes pontos de partida O modus ponens por exemplo é crucial mas é insuscetível de ser derivado daquelas supostas leis fundamentais Segundo não é preciso usar essas supostas leis fundamentais para fazer um sistema apropriado de lógica Ao invés essas três supostas leis fundamentais são afinal resultados de outros princípios mais fundamentais são teoremas não axiomas e não são regras de inferência Terceiro conseguese fazer sistemas com diferentes pontos de partida pelo que está longe ser claro se existem realmente leis fundamentais únicas da lógica clássica ou se pelo contrário há diferentes conjuntos mínimos de regras ou de regras juntamente com axiomas nenhum deles mais fundamental do que os outros ⁴ A ideia aqui seria importar para a lógica o conceito de lei que tanto impacto teve na física a partir do século XVII Isto porque durante muito tempo parecia que a marca da cientificidade seria a descoberta de leis no mesmo sentido das leis da física Porém não só não é isso que dá cientificidade à física como o próprio conceito de lei tal como é usado nessa ciência é problemático porque começa logo mal como uma metáfora baseada na legislação humana um pouco como se Deus tivesse ordenado aos corpos celestes e aos átomos que se comportassem de certas maneiras O crucial das leis da física é serem descrições muitíssimo gerais de regularidades proporções e relações não são leis em qualquer sentido normativo Já as supostas leis tradicionais da lógica são apenas afinal verdades lógicas elementares 105 DERIVAÇÕES também todas as falsidades lógicas e todas as frases logicamente indeterminadas Aplicando estes conceitos modernos à ideia tradicional das três leis da lógica vêse que as primeiras duas não são independentes pelo menos em alguns sistemas porque resultam uma da outra por De Morgan negação dupla e comutatividade E sabese que nenhum sistema clássico consistente só com esses três pontos de partida é completo além de se saber que muitos sistemas consistentes e completos não têm qualquer uma daquelas três supostas leis fundamentais como ponto de partida 311 Validades vácuas Uma breve reflexão mostra que é válido qualquer raciocínio com premissas inconsistentes ou cuja conclusão seja uma verdade lógica secção 215 Isto é algo desconcertante mas não tanto porque ao desenvolver qualquer teoria se chega amiúde a resultados surpreendentes e contraintuitivos como a diferença entre peso e massa na física ou a profunda relação entre a velocidade e o decorrer do tempo Contudo vale sempre a pena ver se há maneiras de evitar resultados indesejáveis que não obriguem a aceitar outros resultados tão ou mais indesejáveis No caso das validades vácuas é fácil mudar a definição de validade para bloqueálas basta exigir que as premissas não sejam inconsistentes e que a conclusão não seja uma verdade lógica O que é menos fácil e obriga a abandonar a lógica clássica é bloquear as derivações vácuas Considerese o caso dos raciocínios válidos com premissas inconsistentes p Λ p q 1 p Λ p Prem 2 p 1 EΛ 3 p q 2 IV 4 p 1 EΛ 5 q 4 SD 107 É a metalógica que se ocupa de temas deste género suas contribuições é mostrar que a pergunta do primeiro parágraf da página anterior esconde na verdade dois aspectos diferen O primeiro diz respeito ao conceito de independência o segundo de completude Um sistema de regras de inferência é independen sse nenhuma regra se deriva das outras o sistema deste livro não é independente Por exemplo caso se tenha o modus ponens o modus tollens a contraposição e a negação dupla como regras iniciais o sistema não é independente porque usando a segunda co e a quarta obtémse a primeira e obtémse a segunda usando a pr meia a terceira e a quarta Num sistema sintáctico de deriv ações então comum ter regras primitivas que são escolhidas de mo serem independentes e regras derivadas que se obtêm das p r a s Isto corresponde à diferença entre axiomas e teoremas últimos derivamse dos primeiros Um segundo conceito é o de consistência Um sistema de r règles de inferência ou de regras com axiomas é consistente sse nele n se deriva fbf da forma A Λ A Na lógica clássica qualquer sist que não seja consistente é trivial porque nele se deriva qualquer fbf Isto acontece devido a um aspecto característico desta l óc o princípio da explosão segundo o qual qualquer fbf se deriv A Λ A Uma maneira de evitar a exigência de consistência é faz uma lógica paraconsistente que começa por rejeitar o princípio da explosão bloqueando assim a trivialização de qualquer sist reglas que não seja consistente Finalmente um terceiro conceito conecta a sintaxe e a sema tica dos sistemas lógicos Um sistema de regras de inferência completo se nele se deriva todas as verdades lógicas e uma vez que qualquer validade se transforma numa verdade lógica ist inclui as validades Ou seja é completo sse se A então A A for uma verdade lógica então derivase no sistema Em contr partida um sistema é sólido sound ou correcto sse se A ent A se se deriva no sistema então é uma verdade lógica Eviden mente caso um sistema não seja consistente e aceite o princípio explosão é trivialmente completo mas não é sólido precisament porque deriva tudo o que inclui todas as verdades lógicas ma 106 LÓGICA ELEMENTAR Para bloquear esta derivação é preciso restringir pelo menos uma das regras usadas e não é fácil ver qual seria pois todas parecem perfeitamente razoáveis Por outro lado é preciso garantir que ao restringila não se deixa de conseguir derivar validades que não sejam vácuas O mesmo acontece no caso dos raciocínios cujas conclusões são verdades lógicas q p p 1 q Prem 2 p Sup 3 p Λ q 1 2 IΛ 1 2 4 p 3 EΛ 1 2 5 p p 24 I 1 Os raciocínios com premissas inconsistentes e os que têm verdades lógicas como conclusão não são os únicos casos de validades algo inesperadas também os raciocínios estritamente circulares são válidos ainda que não sejam cogentes Além disso qualquer frase implica validamente um número infinito de outras Tomese o caso talvez mais evidente as frases da forma p Λ q implicam validamente as da forma p e também as da forma q Porém implicam também as das seguintes formas p r q r p s r p q Λ p q p q Λ q p Uma vez que qualquer frase implica validamente um número infinito de outras não é assim tão surpreendente insistir que um raciocínio tenha num certo sentido mais de uma conclusão Quando se raciocina de facto não se visa geralmente mais de uma conclusão mas é verdadeiro que as premissas de qualquer raciocínio implicam validamente um número infinito de conclusões independentemente de quem raciocina ter essas outras conclusões em mente ou não 312 Exercícios 1 Faça uma lista dos conceitos fundamentais deste capítulo e expliqueos 2 Indique a quais das frases das formas seguintes a eliminação da conjunção se aplica ou não validamente Justifique 1 p Λ q Λ r 2 p q Λ r 3 p q Λ r 4 p q Λ r 3 Identifique a forma lógica dos seguintes raciocínios 1 Se os libertistas tiverem razão temos livrearbítrio Mas não temos livrearbítrio Logo eles não têm razão 2 Se temos livrearbítrio os libertistas têm razão Ora eles têm razão Logo temos livrearbítrio 3 Se os animais nãohumanos sentem dor são dignos de protecção moral Mas eles não sentem dor Logo não são dignos de protecção moral 4 Se Deus existe a vida tem sentido Ora Deus existe Logo a vida tem sentido 5 Se os defensores do véu da ignorância tiverem razão o igualitarismo resulta do cálculo egoísta Se o igualitarismo resultar do cálculo egoísta é imoral Logo se os defensores do véu da ignorância tiverem razão o igualitarismo é imoral 6 Ou os libertários têm razão ou os liberais Mas os primeiros não têm razão Logo temna os segundos 7 Os cépticos têm razão ou não Se têm razão sabese algo Se não têm razão sabese algo Logo em qualquer caso sabese algo 4 Para cada uma das formas lógicas seguintes formule um raciocínio verofuncional que tenha essa forma 1 Falácia da afirmação da consequente 2 Dilema 3 Modus tollens 4 Silogismo hipotético 5 Modus ponens 6 Falácia da negação da antecedente 7 Silogismo disjuntivo 5 Derive usando apenas as dez regras simples 1 p q r p Λ r q r 2 p Λ q r Λ s p Λ r 3 p q q r r p p r 4 p p Λ r q p 7 p q p r r q V p 8 p V q Λ r p s q Λ r s q s Λ q 9 p r Λ q r r p Λ q 10 p r q q r p r r r 11 p r q q p p p r 12 p p V q Λ r 13 p Λ q r q Λ r 14 p Λ q q Λ r V q Λ p 15 p q V r p Λ q V r Λ p 16 p Λ q Λ r v s 17 p q Λ p p V q 18 p q Λ p p q 19 p V r q p q 20 p Λ q q V r s s 21 p p V q r r Λ p q s 22 p p r p r 23 p q Λ p p V q 6 Derive usando também as regras de inserção 1 p q V s q r p 2 p r V s r Λ q s p 3 p V q p r 4 p Λ q p Λ r q 5 p q p r p Λ q p V r s s 7 r p r V s s p 8 r p p V q s r V q 9 p Λ q r r p q 10 s p p q s r r 11 s p p p V q q s p s p 12 q p Λ s s p r r q 13 r V s p r s p Λ s 14 p q r Λ s q r 15 p V r q p q q Λ s q r 16 p V q Λ p p V q Λ p 17 p V q q s p s p 18 p q r p Λ q r 19 p q r q r p Derivações 9 Derive usando a eliminação da disjunção 1 p r q r q r 2 p q q r q s 3 p q p p r 4 p q p r r q r 5 p q q r q p r r s r s 8 p q q p l p 9 p q p r q r r 10 p q p s s q s 11 p q p r q t r t 12 p q p r r p q 10 Derive 1 p p 2 p p 3 q p p 4 p p q 5 p q p q