Lógica Proposional

Curso de Graduação a Distância Lógica II 4 créditos 80 horas Autor Elvézio Scampini Junior Flores Universidade Católica Dom Bosco Virtual wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Missão Salesiana de Mato Grosso Universidade Católica Dom Bosco Instituição Salesiana de Educação Superior Chanceler Pe Ricardo Carlos Reitor Pe José Marinoni PróReitora de Graduação e Extensão Profa Rúbia Renata Marques Diretor da UCDB Virtual Prof Jeferson Pistori Coordenadora Pedagógica Profa Blanca Martín Salvago Direitos desta edição reservados à Editora UCDB Diretoria de Educação a Distância 67 33123335 wwwvirtualucdbbr UCDB Universidade Católica Dom Bosco Av Tamandaré 6000 Jardim Seminário Fone 67 33123800 Fax 67 33123302 CEP 79117900 Campo Grande MS SCAMPINI JUNIOR Elvézio Flores Lógica II Elvézio Scampini Júnior Flores 2 ed rev e atual Campo Grande UCDB 2022 80 p Palavraschave 1 Lógica 2 Raciocínio 3 Boole 4 Dedução 0223 3 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 APRESENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Este material foi elaborado pelo professor conteudista sob a orientação da equipe multidisciplinar da UCDB Virtual com o objetivo de lhe fornecer um subsídio didático que norteie os conteúdos trabalhados nesta disciplina e que compõe o Projeto Pedagógico do seu curso Elementos que integram o material Critérios de avaliação são as informações referentes aos critérios adotados para a avaliação formativa e somativa e composição da média da disciplina Quadro de Controle de Exercícios tratase de um quadro para você organizar a realização e envio dos exercícios virtuais Você pode fazer seu ritmo de estudo sem ul trapassar o prazo máximo indicado pelo professor Conteúdo Desenvolvido é o conteúdo da disciplina com a explanação do professor sobre os diferentes temas objeto de estudo Indicações de Leituras de Aprofundamento são sugestões para que você possa aprofundar no conteúdo A maioria das leituras sugeridas são links da Internet para facilitar seu acesso aos materiais Atividades Virtuais atividades propostas que marcarão um ritmo no seu estudo assim como as datas de envio encontramse no Ambiente Virtual de Aprendizagem Como tirar o máximo de proveito Este material didático é mais um subsídio para seus estudos Consulte outros conteúdos e interaja com os outros participantes Portanto não se esqueça de Interagir com frequência com os colegas e com o professor usando as ferramentas de comunicação e informação do Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Usar além do material em mãos os outros recursos disponíveis no AVA aulas audiovisuais vídeoaulas fórum de discussão fórum permanente de cada unidade etc Recorrer à equipe de tutoria sempre que precisar orientação sobre dúvidas quanto a calendário exercícios ferramentas do AVA e outros Ter uma rotina que lhe permita estabelecer o ritmo de estudo adequado a suas necessidades como estudante organize o seu tempo Ter consciência de que você deve ser sujeito ativo no processo de sua aprendizagem contando com a ajuda e colaboração de todos 4 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Objetivo Geral Desenvolver nos alunos o conhecimento sobre a lógica matemática e o raciocínio dedutivo lógico através de sistemas e problemas lógicomatemáticos Definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência através dos critérios da lógica Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos SUMÁRIO UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO 11 11 Problemas e Desafios Lógicos 11 12 Metodologia 14 13 Problemas da Verdade e da Mentira 25 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS 36 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos 36 22 Operações Lógicas sobre Proposições 38 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole 49 24 Demonstrações das Propriedaes 57 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN 61 31 Histórico 61 32 Representações de Diagramas 61 33 Exemplos Resolvidos 63 REFERÊNCIAS 81 Avaliação A UCDB Virtual acredita que avaliar é sinônimo de melhorar isto é a finalidade da avaliação é propiciar oportunidades de açãoreflexão que façam com que você possa aprofundar refletir criticamente relacionar ideias etc A UCDB Virtual adota um sistema de avaliação continuada além das provas no final de cada módulo avaliação somativa será considerado também o desempenho do aluno ao longo de cada disciplina avaliação formativa mediante a realização das atividades Todo o processo será avaliado pois a aprendizagem é processual 5 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para que se possa atingir o objetivo da avaliação formativa é necessário que as atividades sejam realizadas criteriosamente atendendo ao que se pede e tentando sempre exemplificar e argumentar procurando relacionar a teoria estudada com a prática As atividades devem ser enviadas dentro do prazo estabelecido no calendário de cada disciplina Critérios para composição da Média Semestral Para compor a Média Semestral da disciplina levase em conta o desempenho atingido na avaliação formativa e na avaliação somativa isto é as notas alcançadas nas diferentes atividades virtuais e na prova da seguinte forma Somatória das notas recebidas nas atividades virtuais somada à nota da prova dividido por 2 Média Semestral Somatória Atividades Virtuais Nota da Prova 2 Assim se um aluno tirar 7 nas atividades e tiver 5 na prova MS 7 5 2 6 Atenção o aluno pode conseguir um ponto adicional Engajamento na nota das atividades virtuais Para ganhar o ponto do engajamento o estudante terá que percorrer todo o material didático da disciplina material textual e assistir a todos os vídeos fazer todos os Exercícios e enviar todas as atividades Antes do lançamento desta nota final será divulgada a média de cada aluno dando a oportunidade de que os alunos que não tenham atingido média igual ou superior a 70 possam fazer a Recuperação das Atividades Virtuais Se a Média Semestral for igual ou superior a 40 e inferior a 70 o aluno ainda poderá fazer o Exame Final A média entre a nota do Exame Final e a Média Semestral deverá ser igual ou superior a 50 para considerar o aluno aprovado na disciplina Assim se um aluno tirar 6 na Média Semestral e tiver 5 no Exame Final MF 6 5 2 55 Aprovado 6 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 FAÇA O ACOMPANHAMENTO DE SEUS EXERCÍCIOS Coloque na segunda coluna o prazo em que deve ser enviado o exercício consulte o calendário disponível no ambiente virtual de aprendizagem Coloque na terceira coluna o dia em que você enviou o exercício AVALIAÇÃO PRAZO DATA DE ENVIO Exercício Pontuado 1 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 2 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 3 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 4 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 5 Ferramenta Questionário 7 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 BOAS VINDAS Prezados acadêmicos quero dar as boas vindas espero que tenhamos um bom convívio durante este semestre de aula e que possamos juntos construir laços de empatia de modo a que nos sintamos extremamente à vontade para expor opiniões dúvidas questionamentos angústias etc Da minha parte farei o possível para colaborar no aprendizado e na formação de cada um de vocês com esse objetivo foram elaboradas várias aulas audiovisuais nesta disciplina material este que irá ajudar e muito no bom entendimento e na compreensão de todo o conteúdo Há duas vantagens principais conferidas pelo estudo da lógica Primeiro o indivíduo com conhecimento de lógica tem mais facilidade em organizar e apresentar suas ideias Ele distingue entre o essencial e o não essencial usando raciocínio claro e coerente para transmitir suas conclusões às outras pessoas Segundo a lógica facilita a análise das ideias apresentadas por outros O não iniciado frequentemente se perde em argumentos complexos e mesmo em casos mais simples confunde as premissas e as conclusões rejeitando ou aceitando argumentos através de reações não bem refletidas Se possível conto com a colaboração de vocês no que diz respeito ao acompanhamento da disciplina isto é não deixem para estudar todo o conteúdo de última hora mas procurem sim estar encaminhando os exercícios nos prazos estabelecidos isso será de grande importância para um bom desempenho e um resultado excelente ao final do semestre Atenciosamente 8 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Préteste A finalidade deste préteste é fazer um diagnóstico quanto aos conhecimentos prévios que você já tem sobre os assuntos que serão desenvolvidos nesta disciplina Não fique preocupado com a nota pois não será pontuado 1 Para fazer uma viagem Rio de Janeiro São Paulo Rio de Janeiro é possível usar como meio de transporte trem ônibus ou avião De quantos modos diferentes é possível escolher os meios de transporte se não se deseja usar na volta o mesmo meio de transporte utilizado na ida a 3 b 5 c 6 d 9 2 Em um campeonato de futebol cada equipe recebe dois pontos por vitória um ponto por empate e zero ponto por derrota Sabendo que ao final do campeonato cada equipe disputou 40 partidas e que uma determinada equipe obteve 24 pontos o número mínimo de derrotas sofridas por essa equipe foi a 15 b 16 c 24 d 28 3 Qual é a próxima palavra da sequência camiseta amor beleza acetona salada abacaxi mágico americano a natureza b maionese c basquete d publicação 4 Você é o professor de cinco alunos e eles colocamse a sua frente para receber uma série de exercícios Tente nomeálos da esquerda para a direita de acordo com as informações 1 Amauri está entre Marcelo e Lucas 2 Geraldo está à esquerda de Jeferson 3 Marcelo não está ao lado de Geraldo 4 Geraldo não está ao lado de Jeferson A sequência correta é a Geraldo Lucas Marcelo Amauri e Jeferson b Marcelo Jeferson Amauri Lucas Geraldo c Geraldo Jeferson Lucas Amauri Marcelo d Lucas Geraldo Amauri Jeferson Marcelo 5 A sequência 5 13 25 41 X 85 obedece a uma regra lógica O termo X dessa série é a 51 b 57 c 61 d 69 6 Movendose palitos de fósforo na figura I é possível transformála na figura II o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é 9 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a 1 b 2 c 3 d 4 7 O casal Silva tem vários filhos Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos Quantos filhos e filhas há na família a 12 b 10 c 9 d 7 8 Em uma estante há 10 livros cada um com 100 folhas Uma traça faminta come desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro Quantas folhas a traça faminta comeu a 802 b 998 c 1000 d 1018 9 Seu professor de Geometria pede para você calcular um lado de um triângulo escaleno usando a lei dos cosenos Qual das respostas abaixo não pode ser a correta a 7 b 00005 c d 127 10 Em um certo verão uma fábrica de sorvetes realizou uma promoção que previa a troca de dez palitos de sorvete por um sorvete de palito Nessa promoção um palito de sorvete corresponde a que fração do preço de um sorvete a 19 b 110 c 111 d 210 Submeta o Préteste por meio da ferramenta Questionário 10 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 INTRODUÇÃO Na presente disciplina serão apresentados diversos problemas motivando o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo e uma das suas finalidades se deve ao fato de que o prazer de ultrapassar desafios leva ao amadurecimento do estudante que acaba levando para toda a sua vida e para as demais disciplinas que serão estudadas no curso Na Unidade 1 será abordada a resolução de problemas e desafios lógicos Esses problemas foram retirados principalmente dos testes da Associação Nacional de Pós Graduação e Pesquisa em Administração ANPAD1 criados em 1987 Tratase de um exame nacional que avalia os conhecimentos das línguas portuguesa e inglesa e as habilidades em raciocínios lógico quantitativo e analítico Esse exame tem sido utilizado por diversas instituições como parte dos processos de seleção de cursos de pósgraduação stricto sensu e de cursos profissionalizantes de Administração Ciências Contábeis e áreas afins além de requisito básico em processos seletivos de diversas organizações Para simplificar foi escolhido como eixo o teste ANPAD pela beleza dos problemas apresentados entretanto também serão resolvidos problemas que caíram em diversos concursos públicos bem como exercícios interessantes de sites em geral Na unidade 2 será abordada a Álgebra de Boole aqui denominada por operações lógicas Assim teremos a oportunidade de definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência por meio dos critérios da lógica Na Unidade 3 serão apresentados os diagramas de Venn com objetivo de complementar os conhecimentos tratados na unidade anterior mas como uma visão espacial sendo utilizada para isso a Teoria de Conjuntos 1 Ver site httpwwwanpadorgbr 11 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO OBJETIVO DA UNIDADE Ensinar Matemática por meio de desafios despertando o interesse a curiosidade e o raciocínio lógico Desenvolver a criatividade aumentando a atenção e a concentração do aluno 11 Problemas e Desafios Lógicos Iniciaremos este texto com uma breve citação de um dos matemáticos que deu significado ao estudo da Lógica Segundo Polya 1944 Uma grande descoberta resolve um grande problema mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta Experiências tais numa idade suscetível poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a marca na mente e no caráter 111 A quem interessa a lógica Em primeiro lugar lógica não é psicologia no que diz respeito a ensinar como pensar Ela não descreve o que as pessoas pensam ou como uma pessoa chega a uma determinada conclusão o que ela faz é sugerir uma linha de pensamento de modo a colaborar a raciocinar corretamente sugerindo etapas lógicas que facilitam a determinação de uma resposta deste modo ela sugere caminhos que uma pessoa deve seguir para alcançar conclusões corretas A lógica se relaciona com todo pensamento ela é fundamental para todas as áreas e qualquer formação e isso não inclui apenas a matemática mas pode auxiliar em qualquer disciplina relacionada à filosofia engenharia direito contabilidade administração entre outras O estudo da lógica interessa a todos No dia a dia vivemos constantemente argumentando ora tentando convencer os outros de nossas conclusões ora sendo levados a concordar com nossos interlocutores 12 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 112 Método Dedutivo Vamos iniciar procurando compreender o conceito da dedução lógica para então utilizarmos o seu exercício O método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinadas premissas que são as verdades absolutas num problema Essencialmente os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar conclusões que devem necessariamente ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras bem como se o raciocínio respeita uma forma lógica válida Talvez o veículo que mais tenha contribuído para tornar famoso o método dedutivo foi a literatura popular com as publicações das obras de Sir Arthur Conan Doyle no qual o seu personagem principal o detetive Sherlock Holmes conseguia resolver casos mirabolantes através do método da dedução lógica2 Esse personagem também foi adaptado para o cinema algumas vezes alcançando diversos fãs3 Vale ressaltar que Doyle demonstrou que toda dedução lógica uma vez explicada tornase infantil pois a conclusão provoca espanto e admiração apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento investigativo ainda são desconhecidos Note que essa ideia é similar a empregada por George Pólya considerado por muitos o pai do raciocínio lógico que formulou as quatro etapas essenciais para a resolução de problemas 1ª etapa Compreender o problema 2ª etapa Traçar um plano 3ª etapa Colocar o plano em prática 4ª etapa Comprovar os resultados 113 Raciocínio Lógico O raciocínio lógico é uma ferramenta indispensável para a realização de muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas pois é fundamental para a estruturação do pensamento na resolução de problemas Se nos mantivermos atentos por exemplo unicamente às mensagens publicitárias que enchem as ruas e invadem nossas casas já teremos muitas oportunidades para exercícios de raciocínio lógico Quer ver A história abaixo confirma essa necessidade 2 Alguns romances policiais publicados pelo autor Um estudo em vermelho 1887 O signo dos quatro 1890 O cão dos Baskervilles 1902 O vale do Terror 1915 3 Sugiro assistir a alguns filmes envolvendo o personagem Sherlock Holmes tais como O enigma da pirâmide de 1985 Sherlock Holmes de 2009 Sherlock Holmes O jogo de sombras de 2011 13 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Problema Motivacional Segundo a tradição da tribo logicaetês ao atingirem a idade adequada para o casamento os homens devem submeterse a uma prova de competência lógica Somente os que superam este obstáculo têm permissão para casarse A prova é sempre decisiva vencêla é a certeza da glória perdêla significa o fim das esperanças Totelesáris um jovem índio desta tribo caiu de amores pela bela Masófis Desejando casarse com ela viu chegar a sua vez de enfrentar a prova prénupcial A ele foi proposto o seguinte desafio Baseado na resposta de um desses guardas Totelesáris deverá decidirse por uma das cabanas Como ele deve proceder para não ser devorado pelos jacarés Que pergunta ele deve fazer a um dos índios para ter certeza de que cairá nos braços de Masófis Parece que não há mesmo saída não é mesmo No entanto você pode estar certo de que é possível encontrar a cabana de Masófis fazendo uma só pergunta a um dos guardas mesmo sem saber se este guarda diz a verdade ou mente Vamos raciocinar juntos e ajudar Totelesáris a se livrar dos dentes dos jacarés Comecemos chamando de M o índio mentiroso e de V o índio que só diz a verdade Se perguntássemos a qualquer um deles Em que cabana se encontra Masófis M mentiria indicando a caba errada e V indicaria a cabana certa Mas como descobrir quem está falando a verdade Por esse caminho não chegaremos a nenhuma conclusão afinal não sabemos distinguir o índio que mente do índio que só fala a verdade No meio da aldeia há duas cabanas rigorosamente idênticas Dentro de uma delas o espera Masófis A outra no entanto apenas recobre um poço habitado por jacarés ferozes capazes de devorar qualquer um que ultrapasse a entrada Cada cabana tem apenas uma porta permanentemente fechada e vigiada por um índio que conhece perfeitamente o conteúdo da cabana que vigia Totelesáris deve escolher uma das cabanas e entrar se encontrar a sua amada poderá casarse com ela se entrar na dos jacarés será devorado instantaneamente Antes de realizar sua escolha ele terá permissão de fazer uma única pergunta ao índio que guarda a porta de uma das cabanas Mas Totelesáris deve ainda levar em conta outro pormenor um dos guardas mente sempre enquanto o outro só fala a verdade 14 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 E se fizéssemos a seguinte pergunta a cada um deles Se eu perguntasse ao seu colega qual a cabana de Masófis o que ele responderia Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V indicaria corretamente a cabana de Masófis M mentiria dizendo que V indicou a cabana dos jacarés deste modo a cabana indicada seria a dos jacarés 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria indicando a cabana dos jacarés V responderia a verdade indicando a mesma cabana apontada pelo mentiroso a dos jacarés afinal V não pode mentir então manteria a versão mentirosa de M Ora vejam só Fazendo essa pergunta a qualquer um dos guardas obteremos sempre uma única indicação a cabana dos jacarés É lógico então que Totelesáris deverá entrar na outra cabana para encontrar sua Masófis Este desafio então já foi vencido Veja que usando o raciocínio lógico poupamos Totelesáris de ser devorado pelos jacarés Mas e se o desafio fosse descobrir qual dos índios sempre mente e qual deles sempre diz a verdade que pergunta deveria ser feita Utilizando a mesma linha de raciocínio Totelesáris poderia fazer a seguinte pergunta a qualquer um dos índios Se eu perguntasse para o seu colega se ele fala a verdade ele responderia que sim ou que não Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V responderia que sim eu falo a verdade M responderia o contrário ou seja ele mentiria dizendo que V responderia que NÃO 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria respondendo que sim eu falo a verdade ou seja o contrário de sua realidade V responderia exatamente a mesma resposta que recebeu pois dizendo a verdade ele deve dizer o que ouviu respondendo portanto que SIM Deste modo Totelesáris saberia que se a resposta fosse NÃO então o índio na qual a pergunta foi feita é o mentiroso entretanto se a resposta fosse SIM esse índio seria aquele que fala a verdade 12 Metodologia Para desenvolver o raciocínio é fundamental permitir que você leitor escolha livremente o método caminho que deseja utilizar afinal a explicação prévia para um problema de raciocínio lógico retira a possibilidade de alguém pensar por si mesmo 15 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 aumentando as chances de você apresentar grandes dificuldades para resolver os próximos problemas Deste modo este material será composto por poucos problemas contendo uma resolução detalhada por escrito entretanto será apresentada uma série de exercícios propostos cuja solução será disponibilizada através de videoaulas sendo sugerido que você tente resolver antes de acessar ao vídeo contendo a resolução Como sugestão de etapas para uma melhor metodologia para resolver um problema sugerese primeiramente a realização de uma leitura detalhada dos enunciados dos exercícios para em seguida iniciar o processo de busca da solução Quando esta não é atingida é necessária uma leitura mais atenta para que você possa identificar algum detalhe que não foi percebido anteriormente e assim chegar à solução mais adequada Usando essa metodologia na resolução de exercícios de raciocínio você pode estruturar e dar ordem ao seu pensamento conseguindo atingir um nível de abstração mais elevado Pensando nesta metodologia sugiro mais uma vez que você tente resolver os problemas a seguir antes de consultar a explicação do problema ATENÇÃO Todos os exemplos contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e à mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 1 Confusão com os professores Ramirez aprontou uma baita confusão trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Júlio Márcio e Roberto Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio Portanto a Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio b Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio c Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto d Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto e O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio 16 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução Neste tipo de problema em que cada informação está sendo subdividida aconselhase a montagem de uma tabela para se ter uma visão melhor dos dados fornecidos no enunciado Veja NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO Lembrese que Ramirez aprontou uma baita confusão trocando as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores ficando cada um deles com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro logo nenhum deles possui um objeto próprio O enunciado ainda informa que o que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio então se faça a seguinte pergunta Qual é o único professor que poderia ter ficado com este material ou seja ter ficado com algo de Márcio e de Roberto Acertou quem respondeu Roberto Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Pensando no material que está com o professor Júlio podemos deduzir que não é a caixa de giz do professor Márcio afinal este material está com o Roberto Deste modo como Júlio deve ter em mãos algo do Márcio este só pode ser suas papeletas de aula assim sendo como Júlio também deve ter algo do Roberto este só poderia ser sua caixa de giz Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Por dedução Márcio só poderia ter ficado com a caixa de giz do Júlio afinal é a única caixa de giz que ainda não foi descoberta e a papeletas de aula do Roberto pelo mesmo motivo Deste modo podemos finalizar nossa tabela 17 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO JÚLIO ROBERTO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Analisando as alternativas concluise que a correta é a A Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio Observação O recurso que foi utilizado neste problema que é a montagem de uma tabela pode ser usado em muitos outros basta perceber a necessidade de se ter uma visão melhor dos dados do enunciado Exemplo 2 Teste de Admissão Uma empresa estava contratando um novo funcionário e uma das provas da seleção era responder à seguinte questão por escrito Você está dirigindo seu carro numa perigosa noite de tempestade Passa por um ponto de ônibus e vê três pessoas esperando por ele Uma velha senhora que parece estar à beira da morte Um médico que salvou sua vida no passado A pessoa que habita seus sonhos Você só pode levar uma pessoa no carro Quem você escolheria Justifique sua resposta Comentário Este teste é bem interessante É um tipo de teste de personalidade em que cada resposta possível tem um significado Você poderia pegar a velha senhora que estava para morrer Ficaria com a consciência tranquila Ou você pegaria o médico porque ele salvou sua vida no passado e esta seria a chance perfeita para retribuir este favor No entanto você ainda poderia saldar esta dívida em outra ocasião mas talvez não pudesse encontrar mais o amor da sua vida se deixasse passar essa chance Observe quantas variáveis estão presentes nesta decisão Solução A melhor alternativa frente a este problema é Entregar a chave do carro para o médico deixálo levar a velha senhora para o hospital e ficar esperando pelo ônibus com a pessoa dos meus sonhos Conclusão Às vezes ganharíamos muito mais se estivéssemos dispostos a abrir mão de nossas teimosas limitações Pense nisso 18 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 3 Escolha de Sapatos Há dez pares de sapatos vermelhos dez pares de sapatos azuis dez pares de sapatos brancos e dez pares de sapatos verdes numa gaveta Com base nessas informações responda as duas perguntas abaixo Problema 1 Se você introduzir a mão na gaveta no escuro qual é o menor número de sapatos que você tem que tirar para ter a certeza de que tirou dois sapatos da mesma cor Lembrese que está tudo escuro isto é você não pode contar com a sorte Problema 2 E para ter a certeza de que tirou um par esquerda e direita da mesma cor Solução Esse problema envolve uma teoria denominada Princípio da Casa dos Pombos4 PCP Para ter a certeza de que você tirou dois sapatos da mesma cor são necessárias cinco retiradas Note que se você tirar até quatro sapatos nada garante que você já tirou dois sapatos da mesma cor pois os quatro sapatos poderiam ter cores diferentes entretanto se você retirar mais um sapato certamente ele será de alguma cor que já apareceu anteriormente logo a resposta é cinco A quinta cor terá que combinar com uma das quatro já retiradas Aplicando o PCP note que há quatro cores diferentes isto é 4 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 5 pombos ou seja cinco sapatos Para ter a certeza de que você tirou um par de sapatos da mesma cor são necessárias quarenta e uma retiradas Imagine que pode acontecer de você retirar sapatos de um mesmo lado de cada uma das cores ou seja você por uma grande obra do acaso retira todos os sapatos do lado esquerdo isso totalizaria até 40 possibilidades e você ainda não teria 4 Retirado do site httpsptwikipediaorgwikiPrincC3ADpiodacasadospombos O Princípio do Pombal ou Princípio da Casa dos Pombos PCP é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas e se n m isto é se houver mais pombos do que casas então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo Matematicamente falando isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de outro conjunto B então uma função de A em B não pode ser injetiva É também conhecido como Teorema de Dirichlet ou Princípio das Gavetas de Dirichlet pois se supõe que o primeiro relato deste princípio foi feito por Dirichlet em 1834 com o nome de Schubfachprinzip Princípio das Gavetas O Princípio do Pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito Embora se trate de uma evidência extremamente elementar o princípio é útil para resolver problemas que pelo menos à primeira vista não são imediatos Para aplicálo devemos identificar na situação dada quem faz o papel dos objetos pombos e quem faz o papel das gavetas casas 19 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 retirado um par esquerda e direita da mesma cor mas se você retirar mais um com certeza esse fará par com alguma cor anterior Aplicando o PCP note que há quarenta sapatos de um mesmo lado isso considerando que há dez sapatos de um mesmo lado de cada cor e são quatro cores diferentes isto é 40 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 41 pombos ou seja quarenta e um sapatos Esse número para ser excessivo mas lembrese de que não podemos contar com a sorte em hipótese alguma por isso é melhor imaginar que você é uma pessoa azarada e que precisa do máximo de chances para se ter a certeza de algo Esse máximo será o mínimo proposto pelo problema Esse problema é bem mais simples mas ainda assim muitos diriam que é necessário retirar 61 sapatos o que na verdade é um grande absurdo pois seriam 61 sapatos caso o problema pedisse para retirar pelo menos um sapato de cada cor e 71 caso o objetivo fosse o de retirar pelo menos um par de sapatos de cada cor Neste tipo de problema pense sempre na pior possibilidade pois é este raciocínio que vai garantir o número mínimo de possibilidades necessárias para se alcançar um determinado objetivo Exemplo 4 Floresta com um milhão de árvores Uma floresta tem um milhão de árvores Nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa Podese afirmar que a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta b Somente por acaso haverá árvores com copas de igual total de folhas na floresta c Certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa d O número médio de folhas nas copas é de 150 mil e Nada do que foi dito pode ser concluído dos dados apresentados Solução A resposta correta é a alternativa A Vamos tentar imaginar uma floresta sem ter árvores de igual número de folhas ou seja árvores com copas de diferentes totais de folhas Teremos então 300001 tipos diferentes de copas de árvore uma copa nula sem nenhuma folha outra só com 1 folha outra com 2 folhas outra com 299999 folhas e finalmente uma com 300000 folhas limite 20 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 apresentado pelo enunciado Note que foram descritas todas as possibilidades de 0 a 300000 folhas Para até 300001 árvores poderemos encontrar copas distintas Se considerarmos uma árvore além dessas ela só poderá ter uma das seguintes copas com 0 folha ou com 1 folha ou com 2 folhas ou com 300000 folhas A repetição é inevitável Teremos assim pelo menos 1000000 300001 699999 árvores com copas que repetem o número de folhas de outras árvores obrigatoriamente Por isso a resposta é a alternativa a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta Uma resposta muito comum é a c que seria errada O engano que leva tantas respostas para uma alternativa errada é o de considerar que nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa leva à conclusão de que certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa Na verdade se todas as copas tivessem 300 mil folhas elas estariam dentro da condição proposta pelo enunciado mesmo que essa ocorrência fosse muito improvável ainda assim é possível por isso ela deve ser considerada Esse problema também envolve o Princípio da Casa dos Pombos PCP se tivermos mais pombos do que casas para abrigálos algumas casas terão necessariamente de ser compartilhadas por mais de um pombo Exemplo 5 Que número João pensou João e um grupo de amigos gostam de se reunir para fazer jogos de adivinhação Numa dessas reuniões João pensa em um número com quatro algarismos distintos e informa ao grupo que esse número obedece às seguintes condições não tem algarismos em comum com 3658 tem três algarismos em comum com 6194 tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Com essas informações o grupo já sabe qual é o número escolhido por João Agora é a sua vez qual foi o número escolhido por João Solução Para resolver este problema escreveremos todos os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 para em seguida analisarmos cada uma das condições 1ª condição Não tem algarismos em comum com 3658 Com esta informação se elimina os números 3 6 5 e 8 Sobram então 0 1 2 4 7 9 2ª condição Tem três algarismos em comum com 6194 Como o algarismo 6 já foi eliminado necessariamente 1 9 e 4 são algarismos do número pensado mas ainda falta um algarismo Observe que já estamos muito próximos da resposta 0 1 2 4 7 9 3ª condição Tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições Lembrando que os algarismos 9 e 4 já pertencem ao número pensado e nesta informação só há 2 algarismos em comum então podemos deduzir que os outros dois algarismos 3 e 0 não pertencem ao número pensado deste modo podemos eliminálos 1 2 4 7 9 Essa condição também informa que os dois algarismos comuns ocupam as mesmas posições logo o algarismo 9 ocupa a casa das centenas como em 3940 e o 4 ocupa o das dezenas como em 3940 Não sabemos ainda que posição ocupa o algarismo 1 outro algarismo comum já descoberto anteriormente Para o último algarismo restam apenas duas opções 2 ou 7 1 2 4 dezena 7 9 centena 4ª condição Tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Já sabíamos que o algarismo 1 era comum e como nesta informação há apenas um algarismo em comum então só pode ser o 1 Deste modo podemos descartar o algarismo 7 caso contrário haveria dois algarismos em comum Sobraram então 1 2 4 dezena 9 centena A condição ainda informa que a posição do algarismo comum nos dois números é diferente logo o algarismo 1 não pode ser a unidade como em 7831 sendo portanto o algarismo do milhar 1 milhar 2 4 dezena 9 centena 22 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como restou apenas o algarismo 2 então com certeza ele é comum e só pode ocupar a única posição desconhecida que é das unidades 1 milhar 2 unidades 4 dezena 9 centena Conclusão O número pensado por João é 1942 Exemplo 6 Quais são os números das cartas Há três cartas viradas sobre uma mesa Sabese que em cada uma delas está escrito um número inteiro positivo São dadas a Carlos Samuel e Tomás as seguintes informações todos os números escritos nas cartas são diferentes a soma dos números é 13 os números estão em ordem crescente da esquerda para a direita Primeiro Carlos olha o número na carta da esquerda e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Em seguida Tomás olha o número na carta da direita e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Por fim Samuel olha o número na carta do meio e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros qual é o número da carta do meio Solução Escrevendo todas as combinações possíveis que contemplam as condições do problema ou seja números inteiros diferentes que somam 13 e estão em ordem crescente da esquerda para a direita temos 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente 3 4 6 Soma 13 ordem crescente Carlos quando ergueu a carta da esquerda poderia ter visto ou o 1 ou o 2 ou o 3 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 1 23 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ou 2 já que com o algarismo 1 há quatro opções 1 2 10 1 3 9 1 4 8 1 5 7 e com o algarismo 2 há três opções 2 3 8 2 4 7 2 5 6 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar a opção 3 4 6 isso porque este é o único caso em que a carta da esquerda não se repete e se Carlos tivesse visto o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente Tomás quando ergueu a carta da direita poderia ter visto ou o 6 ou o 7 ou o 8 ou o 9 ou o 10 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 7 ou 8 já que com o algarismo 7 há duas opções 1 5 7 e 2 4 7 e com o algarismo 8 também há duas opções 1 4 8 e 2 3 8 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 2 10 1 3 9 2 5 6 isso porque estes são os únicos casos em que a carta da direita não se repete e se Tomás tivesse visto o 10 ou o 9 ou o 6 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Samuel ao levantar a carta do meio poderia ter visto ou o 3 ou o 4 ou o 5 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto o algarismo 4 já que com o algarismo 4 há duas opções 1 4 8 e 2 4 7 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 5 7 e 2 3 8 isso porque estes são os únicos casos em que a carta do meio não se repete e se Tomás tivesse visto o 5 ou o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas 24 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 As duas únicas opções que restaram são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Como o problema pergunta qual é a carta do meio e a carta do meio nos dois casos é a mesma podemos afirmar que é quatro Vale ressaltar que se o problema tivesse perguntado os algarismos das três cartas não teria sido possível apresentar uma única resposta ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado à resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você Pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 1 2 3 4 e 5 e os Exercícios Pontuados 11 e 12 25 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 13 Problemas da Verdade e da Mentira Verdade significa aquilo que está intimamente ligado a tudo que é sincero que é verdadeiro é a ausência da mentira Verdade é também a afirmação do que é correto do que é seguramente o certo e está dentro da realidade apresentada Mentira é a afirmação de algo que se sabe ou suspeita ser falso não contar a verdade ou negar o conhecimento sobre alguma coisa que é verdadeira A mentira é o ato de mentir enganar iludir ou ludibriar O termo mentira é utilizado como uma oposição ao que é verdade ou seja a mentira é o antônimo da verdade Nos problemas lógicos que envolvem uma mentira o significado é exatamente este quando uma afirmação é assumida como mentira ou falsa significa que o seu oposto pode ser considerado como uma verdade Uma metodologia que pode ser aplicada para resolver problemas deste contexto é a realização de hipóteses neste caso você levanta uma hipótese de que uma determinada afirmação é verdadeira ou falsa ou de que um determinado personagem é inocente ou culpado e analisa os demais dados do problema procurando manter esta hipótese válida Vão ocorrer duas possibilidades 1ª Possibilidade Você se depara com uma contradição que pode surgir de duas formas um resultado que anula a sua hipótese original ou a determinação de mais de uma resposta Neste caso se anula a hipótese original e se cria uma nova hipótese para o problema 2ª Possibilidade A hipótese original se encaixa perfeitamente aos demais dados de modo a ser possível concluir o problema Neste caso você encontrou a resposta para o problema Veja os exemplos a seguir o primeiro deles é um famoso problema do livro O homem que calculava de Malba Tahan Problema Motivacional Um Sheike testando os conhecimentos do Homem que calculava informoulhe que comprara de um mercador 5 lindas escravas duas com olhos negros e três com olhos azuis Informou que as escravas de olhos negros sempre dizem a verdade e que as escravas de olhos azuis nunca dizem a verdade As escravas foram introduzidas no salão com um véu que impedia completamente a percepção da cor de seus olhos 26 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Somente poderás interrogar três das cinco escravas com uma única pergunta a cada uma destas disse o Sheike Com o auxílio das três respostas obtidas o problema deverá ser solucionado com rigorosa justificativa lógica As perguntas devem ser de tal natureza que só as próprias escravas possam respondêlas com perfeito conhecimento Após certa meditação o Homem que calculava perguntou à primeira escrava De que cor são teus olhos A interpelada respondeu num dialeto que ninguém compreendeu Em seguida perguntou à segunda Dizeme em minha língua o que tua colega respondeu Os meus olhos são azuis A sua última pergunta se destinou à terceira escrava Dizeme em minha língua de que cor são os olhos dessas duas jovens que acabo de interrogar A primeira tem os olhos negros e a segunda olhos azuis respondeu a escrava Então o Homem que calculava solenemente disse A primeira tem olhos negros a segunda olhos azuis e a terceira olhos negros por eliminação as duas últimas possuem olhos azuis Levantados os véus para espanto de todos a resposta estava rigorosamente correta Interpelado pelo Sheike como ele havia conseguido tal proeza respondeu Com certeza a primeira escrava me responderia que seus olhos são negros pois se realmente fossem negros diria a verdade proclamando que são negros mas se fossem azuis mentiria dizendo que são negros logo não me preocupei com sua resposta e por este motivo não me importei dela ter respondido em seu próprio dialeto Como a segunda escrava respondeu que a primeira dissera ter olhos azuis isto a caracterizou como mentirosa pois se fosse uma escrava que só fala a verdade responderia que a primeira dissera ter olhos negros consequentemente os olhos da segunda escrava são azuis afinal só as escravas de olhos azuis mentem Assim descobri a cor dos olhos da segunda escrava mas ainda não sabia a cor dos olhos da primeira escrava A partir da resposta da terceira escrava que dissera que a primeira tinha os olhos negros e a segunda olhos azuis pude concluir que esta falava a verdade afinal sua resposta referente à segunda escrava confirma o que eu já deduzira anteriormente que a segunda possui olhos azuis Assim sendo a terceira disse a verdade logo seus olhos eram negros e por sua afirmação pude concluir que os olhos da primeira também eram negros afinal dizendo a verdade eu devo acreditar integralmente em sua afirmação Por fim como são 5 escravas 2 com olhos negros que eu já descobri quais eram e 3 com olhos azuis deduzi que as duas últimas só poderiam ter olhos azuis 27 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Conclusão A primeira tem olhos negros a segunda azuis a terceira olhos negros e as duas últimas olhos azuis ATENÇÃO Todos os exemplos a seguir contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 7 As rivais Três rivais Ana Bia e Cláudia trocam acusações 1 A Bia mente diz Ana 2 A Cláudia mente Bia diz 3 Ana e Bia mentem diz Cláudia Com base nestas três afirmações podese concluir que a Apenas Ana mente b Apenas Bia mente c Apenas Cláudia mente d Ana e Cláudia mentem e Ana e Bia mentem Solução A resposta correta é a alternativa D Iniciaremos formulando uma hipótese a de que Ana diz a verdade Se gerar uma contradição então por eliminação Ana não poderá dizer a verdade ou seja ela só poderá mentir sendo esta a segunda hipótese Hipótese 1 Ana diz a verdade Se Ana diz a verdade então Bia mente 1ª afirmação Se Bia mente então Cláudia diz a verdade note que pelo fato de Bia mentir o oposto de sua afirmação é que passa a ser verdadeira 2ª afirmação Mas Cláudia disse que Ana e Bia mentem o que gera uma CONTRADIÇÃO pois por suposição Ana diz a verdade 3ª afirmação Conclusão Hipótese inválida devemos formular uma nova hipótese Hipótese 2 Ana está mentindo Se Ana mente então Bia diz a verdade oposto de sua afirmação 1ª afirmação 28 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se Bia diz a verdade então Cláudia mente 2ª afirmação Mentindo então não é verdade que Ana e Bia mentem ou seja Ana ou Bia diz a verdade e como Bia realmente diz a verdade logo não temos contradição nenhuma mantendo a hipótese válida logo tudo o que foi deduzido por esta hipótese pode ser considerado correto Conclusão Bia diz a verdade e Ana e Cláudia mentem Exemplo 8 Quem quebrou o vaso da Vovó Ao ver o estrago na sala mamãe pergunta zangada Quem quebrou o vaso da vovó As repostas das crianças foram as seguintes Não fui eu disse André Foi o Carlinhos disse Bruna Não fui eu não mas foi a Duda falou Carlinhos A Bruna está mentindo falou Duda Considere a situação descrita acima para resolver as questões de números I II e III Questão I Sabendo que somente uma das crianças mentiu podese concluir que a André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso b Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso c Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso d Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso e Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso Questão II Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade podese concluir que a André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso b Bruna falou a verdade e André quebrou o vaso c Duda falou a verdade e André quebrou o vaso d Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso e Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso Questão III Sabendo que exatamente duas crianças mentiram podese concluir que a Carlinhos mentiu e André quebrou o vaso b André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso 29 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c Bruna diz a verdade e foi ela quem quebrou o vaso d Quem quebrou o vaso foi André ou Duda e Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso Solução Questão I A resposta correta é a alternativa B Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças mentiu podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André mentiu se gerar uma contradição então vamos supor que a Bruna mentiu e assim sucessivamente Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele logo não pode haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso seria o próprio André 1ª afirmação Sendo assim Bruna também estaria mentindo afinal ela apontou o Carlinhos mas sendo o André ele teria que ser inocente o que não pode acontecer pois pelo enunciado só um deles poderia mentir CONTRADIÇÃO Hipótese 2 Bruna mentiu Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos e todos os demais estariam dizendo a verdade pois só a Bruna mentiu 2ª afirmação Assim sendo é verdade que André não quebrou o vaso 1ª afirmação mas Duda sim afirmação de Carlinhos 3ª afirmação e realmente Bruna estaria mentindo afirmação de Duda 4ª afirmação Neste caso não teríamos nenhuma contradição logo Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Bruna mentiu e André Carlinhos e Duda falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi André Não André Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda V Não fui eu foi a Duda Foi Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo 30 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles A DUDA Questão II A resposta correta é a alternativa C Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças disse a verdade podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André disse a verdade se gerar uma contradição então é porque André não disse a verdade ou seja ele mentiu e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André mentiu e devemos encontrar uma outra criança para dizer a verdade Hipótese 1 André disse a verdade Se André falou a verdade então realmente não foi ele 1ª afirmação entretanto todos os demais deveriam mentir Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos 2ª afirmação Se Carlinhos mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Se Duda mentiu vale o oposto de sua afirmação então a Bruna deveria estar falando a verdade 4ª afirmação mas por hipótese Bruna é uma das que mentiram CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André mentiu e ainda não sabemos quem disse a verdade Como o André mentiu vale o oposto de sua afirmação deste modo podemos concluir que foi ele quem quebrou o vaso da Vovó 1ª afirmação Neste caso Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos 2ª afirmação devemos inocentálo afinal já descobrimos quem quebrou o vaso André Entretanto Carlinhos também mentiu caso contrário teria sido a Duda 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade e isso não gera contradição pois ela afirma que Bruna está mentindo 4ª afirmação Note que nesta hipótese apenas Duda estaria dizendo a verdade Conclusão Duda falou a verdade e André quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Duda falou a verdade e André Bruna e Carlinhos mentiram NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu M Foi sim o André Foi André 31 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Não foi a Duda Não Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles O ANDRÉ Questão III A resposta correta é a alternativa E Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que exatamente duas crianças mentiram Como primeira hipótese vamos supor que André mentiu a partir desta hipótese vamos ler todas as afirmações tentando manter esta hipótese válida ou seja apenas mais uma criança poderá mentir se gerar uma contradição então é porque André não mentiu isto é ele disse a verdade e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André disse a verdade e devemos encontrar duas crianças para mentir Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele quem quebrou o vaso 1ª afirmação não podendo haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso foi o André Assim sendo Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos devemos inocentálo pois já temos um culpado 2ª afirmação Entretanto Carlinhos também estaria mentindo caso contrário teria sido a Duda devemos inocentála para ser o André 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade pois ela afirma que Bruna está mentindo Mas isso gera uma contradição pois por hipótese exatamente duas crianças mentiram e não três como neste caso CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André disse a verdade Se André disse a verdade então com certeza não foi ele 1ª afirmação Supondo que Bruna também disse a verdade deve existir mais alguém dizendo a verdade além do André então Carlinhos quebrou o vaso 2ª afirmação Neste caso Carlinhos estaria mentindo confirmando que foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Por último Duda também estaria mentindo vale o oposto de sua afirmação pois nessa hipótese Bruna falou a verdade 4ª afirmação 32 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como não chegamos a nenhuma contradição concluise que André e Bruna falaram a verdade e Carlinhos e Duda mentiram e quem quebrou o vaso foi o Carlinhos A tabela abaixo apresenta um resumo referente a hipótese válida Carlinhos e Duda mentiram e André e Bruna falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi o André Não André Bruna Foi o Carlinhos V Foi o Carlinhos Foi Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Foi Carlinhos Foi Carlinhos Duda A Bruna está mentindo M A Bruna está falando a verdade Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava dizendo a verdade e foi acusado apenas um deles O CARLINHOS Observação 1 Cada questão deste problema poderia ser resolvida a partir da hipótese de que um deles quebrou o vaso neste caso deveríamos começar supondo que André quebrou o vaso e que os outros três são inocentes A seguir devemos ler suas informações e concluir se elas são verdadeiras ou falsas logo depois devemos confrontar com o enunciado de cada questão verificar por exemplo se na questão I só um deles estaria mentindo se satisfizer então realmente foi o André caso contrário crie uma nova hipótese a de que foi Bruna e repita o mesmo procedimento Observação 2 Independente da hipótese original de que alguém mentiu ou falou a verdade ou partindo pelo caminho de que alguém é o culpado é possível chegar a conclusão do problema basta estar concentrado no fato de que quem diz a verdade é porque sua afirmação é totalmente válida e quem mente significa que o oposto de sua afirmação é que é válida ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro 33 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 sempre mente Márcio para descobrir quem é o João e quem é o José desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar quem é quem basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe com quem está falando Qual é a pergunta capaz de determinar quem é João e quem é José Solução Este é um problema bem diferente mas muito interessante Não podemos esquecer que um dos irmãos sempre fala a verdade mas não sabemos qual deles enquanto que o outro sempre mente e também não sabemos quem é A primeira pergunta que normalmente vem em mente é Você é o João Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM mas se João fosse mentiroso ele diria NÃO mentindo a sua resposta correta A mesma pergunta feita para José que digamos diz a verdade ele responderia NÃO mas se José fosse mentiroso ele diria SIM mentindo a sua resposta Observe que se ouvirmos um SIM não sabemos se este SIM vem de João ou se este SIM vem do José afinal os dois podem responder a esta pergunta SIM ou NÃO e é por este motivo que esta pergunta não serve Se a pergunta for Você é o José Teríamos o mesmo problema A pergunta que deve ser feita pode parecer a princípio ser estranha e não resolver mas conforme será explicado a seguir é a única pergunta que gera uma mesma resposta evitando assim a dúvida que surgiu na hipótese anterior A pergunta capaz de descobrir quem é João e quem é José é João fala a verdade Agora será provado que esta pergunta satisfaz o problema Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM Entretanto se João fosse mentiroso ele pensaria a minha resposta é NÃO por que eu não digo a verdade mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário SIM Note que se esta pergunta for feita para João independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será SIM Agora devemos refletir sobre a pergunta João fala a verdade caso ela fosse feita a José 34 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se a pergunta for feita para José que por hipótese fale a verdade ele responderia NÃO afinal nesta hipótese quem fala a verdade é José logo João seria o mentiroso Entretanto se José fosse mentiroso é porque João fala a verdade logo ele pensaria João é quem fala a verdade então a resposta correta é SIM mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário NÃO Note que se esta pergunta for feita para José independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será NÃO Conclusão a pergunta que deve ser feita é João fala a verdade Se a resposta for SIM o interrogado é o João mas se a resposta for NÃO o interrogado é o José Observação Existem mais três perguntas corretas para este problema João mente ou José fala a verdade ou José mente O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado a resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 6 e 7 35 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos II João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro sempre mente Márcio para descobrir se João é quem fala a verdade ou se João é o que mente desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar esta resposta basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe se João fala a verdade ou mente Qual é a pergunta capaz de descobrir se João fala a verdade ou mente Observe que não queremos saber qual deles é o João e qual é o José mas sim quem fala a verdade e quem mente Resposta A pergunta que deve ser feita é Você é o João Se a resposta for sim é porque o João é quem fala a verdade e se for não é porque João é o mentiroso Observação Existe mais uma pergunta correta para este problema Você é o José O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles 36 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS OBJETIVO DA UNIDADE Analisar argumentos com a correspondente reordenação de modo que essas informações passem a fazer sentido Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas lugares coisas ou eventos fictícios Deduzir novas informações a partir de relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos O universo da Lógica Simbólica é formado por um conjunto de proposições na qual se entende por proposição toda sentença declarada por meio de palavras ou símbolos que satisfaz aos dois seguintes princípios É verdadeira ou é falsa Princípio do terceiro excluído Isto significa que toda sentença deverá ser verdadeira ou deverá ser falsa não existindo portanto uma terceira possibilidade Não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa Princípio da nãocontradição Este princípio vem ao encontro do anterior reforçando a ideia de que uma sentença nunca poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Tais princípios nos levam a admitir que só existem dois únicos valores possíveis para as proposições esses valores são denominados de valores lógicos O valor verdade para representar qualquer proposição verdadeira O valor falsidade para representar qualquer proposição falsa Por este motivo a Lógica Simbólica também pode ser denominada de Lógica Bivalente Existem duas notações para a designação dos valores lógicos das proposições Letra V inicial da palavra verdade para designar quando uma proposição é verdadeira F inicial da palavra falsidade para designar quando uma proposição é falsa Algarismo 1 é a designação do valor verdade 0 é a designação do valor falsidade OS As proposições normalmente são indicadas por letras minúsculas Seguem alguns exemplos de sentenças declarativas que por assumir um valor lógico podem ser definidas como proposições 37 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a O número 15 é ímpar verdade b O número 4 é primo5 falso c Existe homem honesto verdade d Todos os homens gostam de futebol falso e Algumas mulheres são torcedoras do Grêmio verdade f 5 3 7 falso g Se você não faltar às aulas de matemática então terá mais condições de resolver as listas de exercícios verdade Não são exemplos de proposições a Você gosta de matemática b Puxa vida que aula interessante c x 2 não sabemos o valor de x para analisar a inequação d 5 2 x não sabemos o valor de x para analisar a equação 211 Proposição Simples Proposição simples é toda proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma ou seja é composta por uma única sentença declarativa deste modo não se pode subdividila em partes menores tais que algumas delas seja uma nova proposição Seguem alguns exemplos de proposição simples a Elvézio adora lógica b Fluminenses são os cidadãos que nasceram no Rio de Janeiro c O time do São Paulo é tri campeão mundial Já a proposição Carlos é filho de Maria e de José não é simples pois é possível decompôla em duas outras proposições simples Carlos é filho de Maria e Carlos é filho de José 212 Proposição Composta Proposição composta é toda proposição que contém mais de uma proposição simples como parte integrante de si mesma podendo então ser subdividida em partes menores tais que cada uma destas partes deve ser analisada no que diz respeito ao valor lógico para que seja deduzido o valor lógico da proposição composta 5 Todo número que apresenta dois únicos divisores é denominado de número primo Exemplos 2 único número primo par 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 38 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 213 Proposições Equivalentes Por definição duas proposições p e q dizemse equivalentes se ambas são verdadeiras ou ambas são falsas ou seja se ambas possuem o mesmo valor lógico As seguintes notações indicam a equivalência entre duas proposições p e q p q ou p q ou p q Para simbolizar quando duas proposições p e q não são equivalentes usase as notações p q ou ou São exemplos de proposições equivalentes a p O São Paulo é um time paulista q O Flamengo é um time carioca Logo p q afinal ambas são verdadeiras b p 6 5 10 q O Brasil fica na Europa Logo p q afinal ambas são falsas 22 Operações Lógicas sobre Proposições Conectivos Lógicos Os conectivos fazem a ligação entre duas ou mais proposições formando as proposições compostas O valor lógico das proposições compostas depende não só do valor lógico de cada proposição integrante mas também do conectivo que as une As proposições compostas podem receber denominações especiais conforme o conectivo usado para ligar as proposições componentes Vejamos agora cada um desses conectivos 221 Conjunção e Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo e A conjunção p e q podem ser representadas simbolicamente por p q ou pq p q p q 39 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma conjunção é dita verdadeira somente quando ambas as proposições simples forem verdadeiras Ou seja a conjunção p q é verdadeira somente quando p é verdadeira e q é verdadeira também O valor lógico da conjunção de duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Exemplos a p Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul Vp 1 q Campo Grande localizase na região CentroOeste Vq 1 pq Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul e localizase na região CentroOeste Vpq 1 b p 30 1 Vp 1 q 22 4 Vq 0 pq 30 1 e 22 4 Vpq 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a conjunção p q corresponderá à interseção do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q 222 Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica ou Denominamos disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou A disjunção p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q P Q pq corresponde a PQ 40 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma disjunção inclusiva é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas Ou seja a disjunção inclusiva p q é falsa somente quando p é falsa e q é falsa também No entanto se p for verdadeira ou se q for verdadeira ou mesmo se ambas p e q forem verdadeiras então a disjunção inclusiva será verdadeira Em outras palavras para que a disjunção p ou q seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira O valor lógico da disjunção inclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplos a p A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande Vp 1 q A UCDB oferece o curso de medicina Vq 0 pq A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande ou oferece o curso de medicina Vpq 1 b p 31 1 Vp 0 q 2 1 Vq 0 pq 31 1 ou 2 1 Vpq 0 c p O grêmio é um time gaúcho Vp 1 q 5 2 7 Vq 1 pq O grêmio é um time gaúcho ou 5 2 7 Vpq 1 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção inclusiva p q corresponderá à união do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q P Q pq corresponde a PQ 41 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 223 Disjunção Exclusiva ou ou A palavra ou tem dois sentidos no caso anterior disjunção inclusiva para a proposição composta ser verdadeira pelo menos uma das proposições simples deve ser verdadeira Por outro lado temos o caso em que isto não ocorre disjunção exclusiva que nos faz lembrar na linguagem usual os momentos de ênfase para a tomada de decisões conforme definida a seguir Exemplo Um casal de namorados decide sair e de repente o rapaz pergunta para a namorada Escolha o local para nos alimentarmos ou pizzaria ou restaurante Este exemplo aponta claramente que apenas uma das opções deve ser escolhida Denominamos por disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou ou ou em casos em que o conectivo ou for empregado para determinar a escolha entre opções ou seja quando o ou der a ideia que a necessidade de se escolher alguma coisa A disjunção ou p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando apenas uma das duas proposições for verdadeira Ou seja a disjunção exclusiva p q é verdadeira quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes e falsa quando os valores lógicos das duas proposições forem iguais O valor lógico da disjunção exclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplo a Um marido ao saber que sua esposa está grávida e que ela está esperando um único bebê faz as seguintes declarações p A criança será um menino q A criança será uma menina p q A criança será ou um menino ou uma menina Vp q 1 42 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 b p 3 1 3 1 Vp 1 q 2 1 2 2 Vq 1 p q ou 3 1 3 1 ou 2 1 2 2 Vp q 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção exclusiva p q corresponderá à diferença entre a união e a interseção entre o conjunto P e o conjunto Q ou seja P Q P Q Observação Convencionaremos que neste texto quando nos referirmos à disjunção desacompanhada do adjetivo inclusiva ou exclusiva estaremos nos referindo à disjunção inclusiva Alguns autores para evitar esta confusão adotam a seguinte convenção o ou inclusivo é frequentemente substituído por eou e o ou exclusivo por ou ou Assim por exemplo se uma Universidade que oferece o curso de Ciências Contábeis deseja oferecer mais de uma opção para seus formandos esta pode empregar uma das seguintes colocações a Aqui vocês serão habilitados para serem contadores ou professores Neste caso o curso estaria oferecendo três opções ser apenas contador ser apenas professor ou ser contador e professor disjunção inclusiva b Aqui vocês serão habilitados para serem ou contadores ou professores Neste caso o curso estaria dando ênfase a uma das duas opções ser apenas contador ou ser apenas professor disjunção exclusiva 224 Condicional Condicional material Se p então q Denominamos condicional ou condicional material a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo Se então ou por uma de suas formas equivalentes P Q p q corresponde a P Q P Q 43 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 A condicional Se p então q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q A proposição p anunciada pelo uso da conjunção se é chamada de condição ou antecedente enquanto que a proposição q anunciada pelo advérbio então é chamada de conclusão ou consequente As seguintes expressões podem ser empregadas como forma equivalente a condicional Se p então q Se p q q se p Todo p é q p implica q p somente se q p é suficiente para q q é necessário para p Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição condicional p q corresponderá à inclusão do conjunto P no conjunto Q P está contido em Q ou seja P Q Uma condicional p q é falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa sendo verdadeira em todos os outros casos Ou seja para a condicional p q ser verdadeira a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa Vejamos um exemplo para esclarecer melhor o valor lógico de uma condicional Em um campeonato de futebol o time que terminar a primeira fase com o maior número de pontos terá a vantagem de jogar as duas partidas finais podendo empatálas ou vencer um dos dois jogos por qualquer placar Supondo que o São Paulo terminou a primeira fase em primeiro lugar é possível afirmar que Q pq corresponde a P Q P 44 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se o São Paulo vencer a primeira partida da final então ele será o campeão Preste bem atenção essa condicional afirma que se o São Paulo vencer a primeira partida já será campeão mas nada informa sobre os demais casos A princípio temos quatro possibilidades 1 O São Paulo vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta aliás perfeitamente satisfeita 2 O São Paulo vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional é falsa pois a previsão não aconteceu Essa também é bem visível e fácil de compreender afinal pela condicional seria um absurdo vencer a primeira e não ser o campeão 3 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato do São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo não contradiz a previsão feita afinal não foi afirmado nada sobre a possibilidade de ele perder podendo ainda ser ou não campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira 4 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato de o São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo novamente não contradiz a previsão feita Em outras palavras o São Paulo não vencendo a primeira partida pode significar que ele pode ou não ser o campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira O valor lógico da proposição condicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Observando a tabela verdade podese concluir que a proposição condicional p q é verdadeira quando o valor lógico da condição p é menor ou igual ao valor lógico da conclusão q Isto é p q é verdadeira se p q Ou ainda uma condicional é verdadeira quando a condição for falsa ou quando a conclusão for verdadeira Validando uma dessas duas possibilidades já é possível afirmar que a condicional seria válida 45 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo a p A Alemanha venceu a final da Copa do Mundo em 2014 Vp 1 q Alemanha é tetracampeã de futebol Vq 1 p q Se a Alemanha vencer a final da Copa do Mundo em 2014 então ela será tetracampeã de futebol Vp q 1 p q A Alemanha será tetracampeã de futebol se vencer a final da Copa do Mundo em 2014 Vp q 1 b p Todas as mulheres são formosas Vp 1 q Maria não é formosa Vq 0 p q Se todas as mulheres são formosas então Maria não é formosa Vp q 0 c p 6 é primo Vp 0 q 5 é ímpar Vq 1 p q Se 6 é primo então 5 é ímpar Vp q 1 d p 7 não é primo Vp 0 q 8 não é divisível por 4 Vq 0 p q Se 7 não é primo então 8 não é divisível por 4 Vp q 1 Observação Usualmente quando empregamos uma sentença do tipo Se p então q esperamos que exista entre p e q alguma forma de relacionamento ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito Nesse sentido aceitaríamos com facilidade por exemplo a proposição Se um número inteiro é par então ele é divisível por 2 Pois existe uma relação de causa e efeito entre as proposições No mesmo sentido tenderíamos a recusar proposições como Se Cristiano Ronaldo foi eleito o melhor jogador do mundo no ano de 2014 então a Alemanha será campeã da Copa do Mundo de 2014 Ou ainda Se um quadrado tem três lados então falase o japonês no Brasil Pois nelas falta algo que relacione a condição e a conclusão Provavelmente recusaríamos a primeira afirmando algo como O que é que tem a ver Cristiano Ronaldo jogador de Portugal ser eleito o melhor jogador do mundo com a Alemanha ser campeã da Copa do Mundo de 2014 e quanto à segunda é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como Para começar um quadrado não tem três lados E mesmo que tivesse isto não tem nada a ver com falarse ou não o japonês no Brasil No entanto essas duas proposições são verdadeiras 46 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para a Lógica não importa se existe ou não alguma relação entre p e q Existem portanto dois tipos de implicação 1 Quando existe interação entre p e q conhecida como implicação formal ou dedução 2 Quando não existe interação entre p e q conhecida como implicação material ou implicação Obs Toda implicação formal é material mas nem toda implicação material é formal 225 Bicondicional p se e somente se q Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se ou por uma de suas formas equivalentes A bicondicional p se e somente se q pode ser representada simbolicamente por p q p q Como o próprio nome e símbolo sugerem uma proposição bicondicional p se e somente se q equivale à proposição composta se p então q e se q então p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de p se e somente se q p se e só se q Todo p é q e todo q é p Todo p é q e reciprocamente Se p então q e reciprocamente p somente se q e q somente se p p é suficiente para q e q é suficiente para p q é necessário para p e p é necessário para q Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição bicondicional p q corresponderá à igualdade dos conjuntos P e Q ou seja P Q pq corresponde a P Q P Q 47 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma bicondicional p q é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico ou ambas são verdadeiras ou ambas são falsas sendo falsa quando p e q têm valores lógicos diferentes Ou seja a bicondicional p q equivale a duas proposições equivalentes Vejamos um exemplo que esclarece melhor a bicondicional Um número inteiro é divisível por 2 se e somente se ele é par Isso equivale a afirmar que Se um número inteiro é divisível por 2 então ele é par e se um número é par então ele é divisível por 2 Note que a condição verdadeira gera uma conclusão verdadeira independente de quem é a condição e de quem é a conclusão O valor lógico da proposição bicondicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Resumindo a proposição bicondicional p q pode ser denotada por p q é equivalente a p q Exemplo a p Os números 70 e 75 são divisíveis por 5 Vp 1 q Os números 70 e 75 terminam em 0 ou 5 Vq 1 p q Os números 70 e 75 serão divisíveis por 5 se e somente eles terminarem em 0 ou 5 Vp q 1 Um número inteiro é divisível por 5 se e somente se o algarismo das unidades for 0 ou 5 Se um número inteiro é divisível por 5 então o algarismo das unidades é 0 ou 5 e se o algarismo das unidades é 0 ou 5 então o número inteiro é divisível por 5 b p Neymar foi o melhor jogador do mundo em 2015 Vp 0 q Neymar foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vq 0 p q Neymar foi considerado o melhor jogador do mundo em 2015 se e somente se ele foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vp q 1 Todos os melhores jogadores do mundo num determinado ano são eleitos a Bola de Ouro neste mesmo ano 48 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c p 16 é um quadrado perfeito Vp 1 q O quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vq 0 p q 16 é um quadrado perfeito se e somente se o quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vp q 0 226 Negação Não p Denominamos negação de uma proposição qualquer p à proposição composta que se obtém a partir da proposição p acrescida do conectivo lógico não ou de outro equivalente A negação não p pode ser representada simbolicamente por p ou p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de não p Não é verdade que p É falso que p Uma proposição p e sua negação não p sempre terão valores lógicos opostos O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela tabela verdade p p 1 0 0 1 Como se pode observar na tabela verdade uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas Exemplo a p A UCDB oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 1 p A UCDB não oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 0 b p O curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Vp 0 p O curso de Administração possui a disciplina de Matemática Vp 1 p Não é verdade que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática p É falso dizer que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Se a proposição p for representada como conjunto através de um diagrama a negação p corresponderá ao conjunto complementar de P ou seja P 49 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 8 e 9 e o Exercício Pontuado 21 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole Em meados do século passado o inglês G Boole deu uma estruturação matemática à Lógica mostrando que as operações definidas no conjunto das proposições gozam de propriedades algébricas semelhantes às propriedades das operações definidas em conjuntos numéricos Esta estrutura foi chamada Álgebra de Boole Em decorrência foram demonstradas outras propriedades de grande importância como por exemplo a leia da dupla negação e as chamadas primeiras leis de De Morgan O universo da Lógica Formal ou seja o conjunto das proposições munido das operações de conjunção disjunção e negação define uma estrutura algébrica que se chama Álgebra de Boole Será visto neste instante essa estrutura algébrica isto é as propriedades formais das referidas operações Assim quaisquer que sejam os valores lógicos de p q e t temos as seguintes propriedades 231 Propriedades da Conjunção Multiplicação Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 1 p 1 p P p corresponde a P 50 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 0 p 0 0 232 Propriedades da Disjunção Soma Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 0 p 0 p 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 1 p 1 1 Como é fácil verificar há uma analogia entre a conjunção e a multiplicação de números bem como entre a disjunção e a adição Apenas não valem para os conjuntos numéricos munidos das operações citadas anteriormente a propriedade 4 para a disjunção a primeira das propriedades mistas 5 e a propriedade 7 Por este motivo a disjunção e a conjunção são denominadas de soma lógica e multiplicação lógica respectivamente 233 Propriedades Mistas 5 A disjunção é distributiva em relação à conjunção p q t p q p t 6 A conjunção é distributiva em relação à disjunção p q t p q p t 7 Para todo elemento p existe um e só um elemento x tal que p x 1 e p x 0 Este elemento x é precisamente a negação de p x p Em outras palavras p p 1 e p p 0 234 Lei da dupla negação p p 235 Primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q respectivamente traduzidas na linguagem coloquial por a negação da disjunção é a conjunção das negações a negação da conjunção é a disjunção das negações As leis de De Morgan podem também exprimir os seguintes fatos 51 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 negar que as proposições p e q são ambas verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma delas não é verdadeira ou seja que pelo menos uma delas é falsa negar que pelo menos uma das proposições p e q é verdadeira equivale a afirmar que ambas não são verdadeiras ou seja que ambas são falsas Ou ainda negar que todas as proposições são verdadeiras falsas significa afirmar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma delas é falsa verdadeira negar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma das proposições é verdadeira falsa significa afirmar que todas são falsas verdadeiras Exemplo a A negação de Todos os alunos gostam de matemática é Existe um aluno que não gosta de matemática ou Pelo menos um aluno não gosta de matemática ou ainda Algum aluno não gosta de matemática b A negação de Nenhum aluno está entendendo a matéria é Existe um aluno que está entendendo a matéria ou Pelo menos um aluno está entendendo a matéria ou ainda Algum aluno está entendendo a matéria c A negação de Existe um flamenguista feliz ou Algum flamenguista é feliz é Todos os flamenguistas não são felizes ou Nenhum flamenguista é feliz ou ainda Qualquer flamenguista é infeliz d A negação de Existe uma pessoa infeliz ou Alguém não é feliz é Todas as pessoas são felizes ou 52 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Nenhuma pessoa é infeliz ou ainda Qualquer pessoa é feliz e A negação de Adriana é bonita e simpática é Adriana não é bonita ou não é simpática f A negação de Adriana é bonita ou simpática é Adriana não é bonita nem simpática ou Adriana não é bonita e não é simpática Princípio da dualidade lógica Se numa propriedade qualquer nós trocamos a conjunção pela disjunção a disjunção pela conjunção o 0 por 1 o 1 por 0 deixando inalterada a negação obtémse uma propriedade válida no conjunto das proposições chamada dual da propriedade considerada Assim observase com facilidade que cada lei de De Morgan é dual da outra que também são duais as propriedades 1 2 e 5 da conjunção em relação às propriedades 1 2 e 5 da disjunção Propriedades da Equivalência Se duas proposições são equivalentes as suas negações também são equivalentes p q p q 236 Relação entre os Conectivos 1 A disjunção pode ser expressa em termos da negação e da conjunção p q p q Isso significa que afirmar que pelo menos uma proposição é verdadeira falsa é equivalente a negar que todas não são verdadeiras falsas Por exemplo afirmar que O Brasil deve ganhar pelo menos uma medalha nas Olimpíadas é equivalente a afirmar que Não é verdade que o Brasil não vai ganhar nenhuma medalha nas Olimpíadas Como um outro exemplo observe que a afirmação Existe homem que não é feliz é o mesmo que afirmar que Não é verdade que todos os homens são felizes 53 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 A conjunção pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q Isso significa que afirmar que todas as proposições são verdadeiras falsas é equivalente a negar que pelo menos uma não é verdadeira falsa Por exemplo afirmar que Todas as mulheres são simpáticas é equivalente a afirmar que Não é verdade que exista uma mulher que não é simpática Como um outro exemplo observe que a afirmação Nenhum homem dirige mal é o mesmo que afirmar que Não é verdade que pelo menos um homem dirija mal 3 A disjunção exclusiva pode ser expressa em termos da negação da conjunção e da disjunção p q p q p q 4 Condicional A condicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q p q 5 Bicondicional 51 A bicondicional pode ser expressa em termos da condicional e da conjunção p q p q q p 52 A bicondicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção exclusiva p q p q 53 A bicondicional pode ser expressa em termos da disjunção da negação e da conjunção p q p q p q De fato utilizando as leis de De Morgan e a lei da dupla negação temos para os dois primeiros casos p q p q p q p q p q p q e p q p q p q p q p q p q O terceiro caso é apenas a definição da disjunção exclusiva Para ilustrar como é intuitiva tal expressão observe que afirmar Ou como no almoço frango ou como no almoço carne é equivalente a afirmar que Como no almoço frango e não como carne ou não como no almoço frango e como carne 54 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 O quarto caso pode ser deduzido intuitivamente do fato de que p q é verdadeira se p q Observe que p é menor ou igual a q sempre que p assumir o valor lógico zero negação de p ou q assumir o valor lógico 1 afirmação de q A expressão 51 pode ser deduzida da definição da bicondicional isto é a expressão p se e somente se q é equivalente a se p então q e se q então p A expressão 52 pode ser deduzida de 51 e de 4 conforme é apresentado abaixo p q p q q p p q p q q p p q p q p q p q p q p q p q p q Já a expressão 53 pode ser deduzida do fato de que a bicondicional é verdadeira quando p e q assumirem valores lógicos iguais ou seja quando ambas as proposições forem verdadeiras ou quando ambas forem falsas Tais afirmações mostram que a disjunção a conjunção a disjunção exclusiva a bicondicional a condicional e a negação não são operações independentes Vale ainda enfatizar que na teoria da Lógica Simbólica os resultados não se alteram quando substituímos uma expressão por outra que lhe é equivalente 237 Negação da Condicional p q p q De fato partindo da definição e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida as leis de De Morgan e da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q Assim negar se p então q equivale a afirmar a condição p e negar a conclusão q Por exemplo a negação de Se você estudar então será aprovado na disciplina é Você estudou e não foi aprovado na disciplina 55 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 238 Negação da Bicondicional p q p q ou p q p q p q De fato partindo da expressão 52 e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida a lei da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q A segunda igualdade é apenas a aplicação da propriedade 3 Assim negar p se e somente se q equivale a afirmar que uma delas é verdadeira e a outra é falsa Por exemplo a negação de O Brasil será o pentacampeão do mundo se e somente se vencer a Copa do Mundo de 2002 é Ou o Brasil é o pentacampeão do mundo ou o Brasil venceu a Copa do Mundo de 2002 239 Negação da Disjunção Exclusiva p q p q ou p q p q p q Assim negar ou p ou q equivale a afirmar que ambas são verdadeiras ou ambas são falsas Por exemplo a negação de O senhor deseja ou frango ou carne é O senhor deseja frango se e somente se desejar carne 56 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2310 Recíproca Inversa e Contraposta de uma Condicional A partir da condicional p q é possível associar outras três relações denominadas recíproca inversa e contraposta da referida condicional A recíproca e a inversa de uma condicional dada não lhe são equivalentes enquanto a contraposta também chamada de contrapositiva lhe é equivalente Em outras palavras p q q p p q p q p q q p Por exemplo a partir da condicional Se um quadrilátero é um retângulo então ele é um paralelogramo É possível escrever a sua recíproca a sua inversa e a sua contraposta das seguintes formas Recíproca Se um quadrilátero é um paralelogramo então ele é um retângulo Inversa Se um quadrilátero não é um retângulo então ele não é um paralelogramo Contraposta Se um quadrilátero não é um paralelogramo então ele não é um retângulo Note que a única expressão equivalente é a contraposta pois se não é um paralelogramo então não pode ter lados opostos paralelos e consequentemente não pode ser um retângulo Já a recíproca e a inversa não são equivalentes pois existem quadriláteros que são paralelogramos losango e não são retângulos e existem quadriláteros que não são retângulos alguns losangos e são paralelogramos 2311 Transitividade da condicional p q q t p t p q q p a recíproca p q a inversa q p a contraposta 57 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 24 Demonstrações das Propriedades 241 Tabela Verdade A demonstração das propriedades das equivalências e das não equivalências enunciadas anteriormente podem ser reduzidas a uma simples verificação utilizando as tabelas das operações estudadas e agrupando os dados de todos os modos possíveis através das chamadas tabela verdade Para ilustrar provemos as primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q Para isto será necessário montar uma tabela e descrever todas as possibilidades de se combinar as proposições p e q Se o resultado da coluna que descreve as operações do primeiro membro for igual ao resultado da coluna que descreve o segundo membro logo está provada a igualdade ou se representarmos a igualdade numa última coluna ela então deverá ser válida em qualquer hipótese p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 e p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Como um outro exemplo provemos a transitividade da condicional Neste caso observe que a relação a ser demonstrada não é dada por uma igualdade sendo assim a expressão deverá ser válida para qualquer possibilidade de se combinar as proposições p q e t ou seja a última coluna deve ser verdadeira para todos os casos assumir o valor lógico 1 p q q t p t 58 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 p q t p q q t p q q t p t p q q t p t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 242 Tautologia Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma tautologia se ela for sempre verdadeira quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem As primeiras leis de De Morgan e a transitividade da condicional apresentadas em tabelasverdade anteriormente são exemplos de tautologia 243 Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contradição se ela for sempre falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem Por exemplo as proposições uma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e p se e somente se não p que podem ser representadas simbolicamente por p p e p p respectivamente são exemplos de contradição pois independente dos valores lógicos de p e da negação de p ela será sempre falsa Observe nas tabelas abaixo p p p p p p p p 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 244 Contingência Uma proposição composta não tautológica nem contra válida é chamada contingência ou proposição contingente ou ainda proposição indeterminada 59 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Em outras palavras uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contingência se ela for parte verdadeira e parte falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem 245 Argumento Um argumento é válido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão verdadeira e inválido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão falsa É considerada condição de um argumento a expressão que se encontra à esquerda do símbolo e conclusão a expressão que se encontra à direita do símbolo Entretanto para avaliar um argumento precisamos definir quais condições são consideradas premissas para isso basta verificar quais condições são verdadeiras com isso podemos dizer que toda condição verdadeira é uma premissa e são essas premissas que devem ser analisadas para verificar que tipo de conclusões ela gera Temos então dois casos Se toda premissa gerar uma conclusão verdadeira então a expressão lógica representa um argumento válido Se alguma premissa gerar uma conclusão falsa então a expressão lógica representa um argumento inválido Por exemplo vamos verificar se a expressão a seguir pode ser classificada como um argumento válido ou inválido Exemplo 1 p q q p p q p q p q 1 q q p 2 1 2 condição p p q conclusão 1 1 1 0 0 1 premissa 0 1 Válido 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 premissa 1 1 Válido 0 0 1 1 0 1 premissa 1 1 Válido Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição três geraram premissas afinal os casos 1 3 e 4 são condições verdadeiras Analisando cada um desses três casos podemos afirmar que todos os três geraram conclusões verdadeiras logo como toda premissa gera conclusão verdadeira o Argumento é Válido 60 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 2 p q p q p q p q p q 1 p p q 2 1 2 condição q p q conclusão 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 premissa 1 1 Válido 0 1 1 1 1 1 premissa 0 0 Não Válido 0 0 0 1 1 0 1 0 Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição dois geraram premissas afinal os casos 2 e 3 são condições verdadeiras Analisando cada um desses dois casos podemos afirmar que alguma dessas duas premissas Caso 3 gerou uma conclusão falsa logo como alguma premissa gera conclusão falsa o Argumento é Inválido Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 10 11 12 e 13 e o Exercício Pontuado 22 61 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN OBJETIVO DA UNIDADE Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos Analisar simbolismos por meio do diagrama de Venn Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias por meio do diagrama de Venn Um dos matemáticos que mais contribuíram para a resolução de problemas lógicos através do uso de diagramas foi John Venn que viveu na Inglaterra nascendo em 1834 e falecendo em 1923 Esse matemático percebeu que a representação de conjuntos através de diagramas facilita a visualização permitindo conclusões mais seguras e rápidas dentro de um problema 31 Histórico John Venn formouse em 1857 e dois anos depois foi ordenado um padre Em 1862 ele voltou à Universidade de Cambridge estudando e ensinando lógica e teoria da probabilidade Ele desenvolveu a lógica matemática de Boole e é melhor conhecido pelo seu diagrama de representar conjuntos e as suas uniões e interseções Venn considerou três discos R S e T como subconjuntos típicos de um conjunto U As interseções destes discos e seus complementos dividem U em 8 regiões não justapostas das quais a união dá 256 combinações de Boolean diferentes do conjunto original R S e T Escreveu a Lógica de Chance 1866 publicou Lógica Simbólica 1881 e Os Princípios da Lógica Empírica 1889 32 Representações de Diagramas Para representar dois ou mais diagramas existem possíveis formas de posicionálos a partir de condições impostas no problema Seguem as relações mais comuns entre dois conjuntos com as possíveis formas de representálos desde as formas mais utilizadas até as formas não convencionais entre dois diagramas 321 Todo A é B Neste caso todo o conjunto A deve estar dentro do conjunto B 62 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 322 Nenhum A é B Neste caso os dois conjuntos devem ser disjuntos isto é nenhuma parte de A deve estar dentro de B logo a única forma de representálos é em dois conjuntos separados 323 Algum A é B Neste caso uma parte de A deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente a interseção entre os conjuntos A e B e a não convencional no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A é comum ao conjunto B Observação Vale ressaltar que se Todo A é B então existe Algum A que é B isso significa que a expressão Algum A é B também pode ser representada pelos dois casos B A Forma mais empregada A B Forma não convencional A B Forma mais empregada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 63 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 descritos no item 321 entretanto como esta representação é análoga a Todo A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 324 Algum A não é B Neste caso uma parte de A não deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente que uma parte de A não está dentro de B esta representação é análoga a primeira forma de representar Algum A é B sendo assinalado a região que está fora de B e não na interseção entre A e B A forma não convencional é aquela no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A não é comum ao conjunto B esta parte é aquela que está fora de B Observação Vale ressaltar que se Nenhum A é B então existe Algum A que não é B isso significa que a expressão Algum A não é B também pode ser representada pelo caso descrito no item 322 entretanto como esta representação é análoga a Nenhum A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 33 Exemplos Resolvidos Vejamos alguns exemplos de exercícios que envolvem as operações lógicas mas que podem ser resolvidos através do uso de diagramas 331 Todo A é B Todos os bons estudantes são pessoas aplicadas Assim sendo quantas das afirmações abaixo são necessariamente verdadeiras I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 64 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 5 I III VI VII e XI Serão representados os conjuntos Bons Estudantes e Pessoas Aplicadas pela forma mais empregada e também pela forma não convencional isso porque o exemplo pergunta a respeito das afirmações necessariamente verdadeiras devem satisfazer ambas as formas de representação e não daquelas que podem ser eventualmente verdadeiras satisfaz uma das formas de representação pois neste caso haveria mais afirmações verdadeiras as afirmações II VIII IX e X Dizer que todos os bons estudantes são pessoas aplicadas equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas aplicadas acharemos todos os bons estudantes Logo Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante Verdadeiro bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira 65 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas Falso A 1ª representação fura esta afirmação III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes Verdadeiro IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa 66 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada Verdadeiro VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante Verdadeiro VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante Falso A 1ª representação fura esta afirmação IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso A 1ª representação fura esta afirmação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira Pessoas aplicadas bons estudantes bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 67 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante Falso A 2ª representação fura esta afirmação XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Verdadeiro Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações ela seja verdadeira 332 Todo A é B e Nenhum C é B Todo contador gosta de lógica Nenhum psicólogo gosta de lógica Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Algum contador é psicólogo II Nenhum contador é psicólogo III Alguém que não é contador é psicólogo IV Alguém que não é contador não é psicólogo V Todo aquele que não é contador não é psicólogo VI Todo aquele que não é contador é psicólogo VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 68 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 6 II III IV VIII IX e X Serão representados os conjuntos Contador Gosta de lógica e Psicólogos apenas pela forma mais empregada isso porque todas as afirmações do exemplo relacionam os conjuntos Contador ou Gosta de lógica com o conjunto Psicólogos não sendo necessário analisar afirmações que relacionam os conjuntos Contador e Gosta de lógica De acordo com o enunciado o conjunto Contador está totalmente dentro do conjunto Gosta de lógica pois Todo contador gosta de lógica O conjunto Psicólogos está completamente fora do conjunto Gosta de lógica pois Nenhum psicólogo gosta de lógica Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Algum contador é psicólogo Falso II Nenhum contador é psicólogo Verdadeiro Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo 69 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 III Alguém que não é contador é psicólogo Verdadeiro IV Alguém que não é contador não é psicólogo Verdadeiro V Todo aquele que não é contador não é psicólogo Falso Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa 70 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Todo aquele que não é contador é psicólogo Falso VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga Falso VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga Verdadeiro IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga Verdadeiro Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 71 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo Verdadeiro 333 Algum A é B e Nenhum C é B Alguns administradores atuam em marketing Nenhum advogado atua em marketing Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Alguns administradores são advogados II Alguns administradores não são advogados III Todo administrador é advogado IV Todo advogado é administrador V Nenhum administrador é advogado VI Nenhum advogado é administrador VII Alguns advogados são administradores VIII Alguns advogados não são administradores IX Pode existir algum advogado que é administrador X Pode existir algum advogado que não é administrador Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II IX e X Serão representados os conjuntos Administradores Atuam em marketing e Advogados apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo De acordo com o enunciado os conjuntos Administradores e Atuam em marketing possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Alguns administradores atuam em marketing O conjunto Advogado está completamente fora do conjunto Atuam em marketing pois Nenhum advogado atua em marketing Será designada a palavra Advogado por A Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 72 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que são válidas três hipóteses O conjunto Advogado completamente dentro do conjunto Administrador parcialmente dentro do conjunto Administrador e completamente fora do conjunto Administrador Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguns administradores são advogados Falso Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 73 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II Alguns administradores não são advogados Verdadeiro III Todo administrador é advogado Falso IV Todo advogado é administrador Falso Verdadeira Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa Administrador A A A Marketing Falsa 74 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 V Nenhum administrador é advogado Falso VI Nenhum advogado é administrador Falso VII Alguns advogados são administradores Falso VIII Alguns advogados não são administradores Falso Administrador A A A Marketing Falsa Falsa Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 75 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IX Pode existir algum advogado que é administrador Verdadeiro X Pode existir algum advogado que não é administrador Verdadeiro 334 Algum A é B e Todo C é B Algum Homem é Caridoso Todo Religioso é Caridoso Sabese que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras Administrador A A A Marketing Falsa Verdadeira Administrador A A A Marketing Verdadeira Administrador A A A Marketing 76 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 I Algum Homem é Religioso II Pode existir algum Homem que é Religioso III Algum Homem não é Religioso IV Algum Religioso é Homem V Algum Religioso não é Homem VI Todo Homem é Religioso VII Todo Religioso é Homem VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem IX Nenhum Homem é Religioso X Nenhum Religioso é Homem Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II III e VIII Serão representados os conjuntos Homens Caridosos e Religiosos apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo O fato de que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso implica que estes dois conjuntos não podem ser iguais devendo ser excluída esta hipótese Esta condição é fundamental para que a afirmação II seja verdadeira pois se ela não existisse valeria a hipótese de que todos os conjuntos são iguais o que invalidaria esta afirmação Os conjuntos Homens e Caridosos possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Algum Homem é Caridoso O conjunto Religioso está completamente dentro do conjunto Caridoso pois Todo Religioso é Caridoso Será designado a palavra Religioso por R Há 3 hipóteses O conjunto Religioso totalmente dentro do conjunto Homem parcialmente dentro do conjunto Homem e totalmente fora do conjunto Homem Cada afirmação será analisada da seguinte forma Homem R R R Caridoso 77 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir ou Pode Acontecer para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações seja verdadeira I Algum Homem é Religioso Falso II Pode existir algum Homem que é Religioso Verdadeiro III Algum Homem não é Religioso Verdadeiro Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Verdadeira Homem R R R Caridoso 78 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IV Algum Religioso é Homem Falso V Algum Religioso não é Homem Falso VI Todo Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa 79 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VII Todo Religioso é Homem Falso VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem Verdadeiro IX Nenhum Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Homem R R R Caridoso Falsa 80 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Nenhum Religioso é Homem Falso 335 Condição necessária ou suficiente Se chove então faz frio Assim sendo a Chover é condição necessária para fazer frio b Fazer frio é condição suficiente para chover c Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio d Chover é condição suficiente para fazer frio e Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover Solução A resposta correta é a alternativa D Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e suficiência e às relações destes conceitos com as proposições condicionais Numa proposição condicional Se A então B a ocorrência de A implica obrigatoriamente a ocorrência de B Então dizemos que A é uma condição suficiente para a ocorrência de B ou que A é suficiente para B Sabemos que a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A sem a ocorrência de B certamente A também não ocorreria Por este motivo dizemos que B é uma condição necessária para a ocorrência de A ou que B é necessária para A Portanto Chuva é condição suficiente para fazer frio e que Frio é condição necessária para chover Para finalizar seu estudo resolva os Exercícios 14 e 15 e o Exercício Pontuado 31 Homem R R R Caridoso Falsa 81 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 REFERÊNCIAS ANDRADE Primo Nunes de Elementos de lógica Rio de Janeiro 1972 CURY Márcia Xavier Introdução à Lógica São Paulo Érica 1996 DAGHLIAN Jacob Lógica e álgebra de Boole 4 ed São Paulo Atlas 1995 DUARTE Heron Márcio Ferreira Raciocínio Lógico e Quantitativo Brasília Ativa 1999 GONZALEZ Norton Questões de Raciocínio Lógico Quantitativo e Analítico Rio de Janeiro Moderna 2009 JACOB Daghlian Lógica e Álgebra de Boole São Paulo Saraiva 1995 KELLER Vicente BASTOS Cleverson Leite Aprendendo lógica 8 ed Rio de Janeiro Vozes 2000 KLEENE Stephen Cole Introducción a la metamatemática Madrid Tecnos 1974 LIMA Arlete Cerqueira Lógica Linguagem Salvador Centro Editorial e Didático da UFBA 1993 LOCIKS Júlio Raciocínio Lógico e Matemático Brasília Vestcon Editora 2002 MORGADO Augusto C CESAR Benjamin Raciocínio LógicoQuantitativo Série Provas e Concursos 4 ed São Paulo Campus 2009 MORTARI Cezar Augusto Introdução à lógica Franca SP Ed UNESP 2001 OLIVEIRA Marcos Barbosa de O cálculo proposicional Marília Ed UNESP 1983 PINTO Mario Elementos básicos de lógica Belo Horizonte UCMG 1981 Cadernos UCMG 8 PINTO Paulo Roberto Margutti Introdução à lógica simbólica Belo Horizonte UFMG 2006 SÁ Ilydio Pereira Raciocínio Lógico Concursos PúblicosFormação de Professores Rio de Janeiro Moderna 2008 SMULLYAN Raymond O enigma de Sherazade e outros incríveis problemas das mil e uma noites à lógica moderna Rio de Janeiro Jorge Zahar Editor 1998 TAHAN Malba O Homem que calculava 18 ed Rio de Janeiro Ed Record 2001 Curso de Graduação a Distância Lógica II 4 créditos 80 horas Autor Elvézio Scampini Junior Flores Universidade Católica Dom Bosco Virtual wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Missão Salesiana de Mato Grosso Universidade Católica Dom Bosco Instituição Salesiana de Educação Superior Chanceler Pe Ricardo Carlos Reitor Pe José Marinoni PróReitora de Graduação e Extensão Profa Rúbia Renata Marques Diretor da UCDB Virtual Prof Jeferson Pistori Coordenadora Pedagógica Profa Blanca Martín Salvago Direitos desta edição reservados à Editora UCDB Diretoria de Educação a Distância 67 33123335 wwwvirtualucdbbr UCDB Universidade Católica Dom Bosco Av Tamandaré 6000 Jardim Seminário Fone 67 33123800 Fax 67 33123302 CEP 79117900 Campo Grande MS SCAMPINI JUNIOR Elvézio Flores Lógica II Elvézio Scampini Júnior Flores 2 ed rev e atual Campo Grande UCDB 2022 80 p Palavraschave 1 Lógica 2 Raciocínio 3 Boole 4 Dedução 0223 3 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 APRESENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Este material foi elaborado pelo professor conteudista sob a orientação da equipe multidisciplinar da UCDB Virtual com o objetivo de lhe fornecer um subsídio didático que norteie os conteúdos trabalhados nesta disciplina e que compõe o Projeto Pedagógico do seu curso Elementos que integram o material Critérios de avaliação são as informações referentes aos critérios adotados para a avaliação formativa e somativa e composição da média da disciplina Quadro de Controle de Exercícios tratase de um quadro para você organizar a realização e envio dos exercícios virtuais Você pode fazer seu ritmo de estudo sem ul trapassar o prazo máximo indicado pelo professor Conteúdo Desenvolvido é o conteúdo da disciplina com a explanação do professor sobre os diferentes temas objeto de estudo Indicações de Leituras de Aprofundamento são sugestões para que você possa aprofundar no conteúdo A maioria das leituras sugeridas são links da Internet para facilitar seu acesso aos materiais Atividades Virtuais atividades propostas que marcarão um ritmo no seu estudo assim como as datas de envio encontramse no Ambiente Virtual de Aprendizagem Como tirar o máximo de proveito Este material didático é mais um subsídio para seus estudos Consulte outros conteúdos e interaja com os outros participantes Portanto não se esqueça de Interagir com frequência com os colegas e com o professor usando as ferramentas de comunicação e informação do Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Usar além do material em mãos os outros recursos disponíveis no AVA aulas audiovisuais vídeoaulas fórum de discussão fórum permanente de cada unidade etc Recorrer à equipe de tutoria sempre que precisar orientação sobre dúvidas quanto a calendário exercícios ferramentas do AVA e outros Ter uma rotina que lhe permita estabelecer o ritmo de estudo adequado a suas necessidades como estudante organize o seu tempo Ter consciência de que você deve ser sujeito ativo no processo de sua aprendizagem contando com a ajuda e colaboração de todos 4 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Objetivo Geral Desenvolver nos alunos o conhecimento sobre a lógica matemática e o raciocínio dedutivo lógico através de sistemas e problemas lógicomatemáticos Definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência através dos critérios da lógica Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos SUMÁRIO UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO 11 11 Problemas e Desafios Lógicos 11 12 Metodologia 14 13 Problemas da Verdade e da Mentira 25 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS 36 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos 36 22 Operações Lógicas sobre Proposições 38 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole 49 24 Demonstrações das Propriedaes 57 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN 61 31 Histórico 61 32 Representações de Diagramas 61 33 Exemplos Resolvidos 63 REFERÊNCIAS 81 Avaliação A UCDB Virtual acredita que avaliar é sinônimo de melhorar isto é a finalidade da avaliação é propiciar oportunidades de açãoreflexão que façam com que você possa aprofundar refletir criticamente relacionar ideias etc A UCDB Virtual adota um sistema de avaliação continuada além das provas no final de cada módulo avaliação somativa será considerado também o desempenho do aluno ao longo de cada disciplina avaliação formativa mediante a realização das atividades Todo o processo será avaliado pois a aprendizagem é processual 5 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para que se possa atingir o objetivo da avaliação formativa é necessário que as atividades sejam realizadas criteriosamente atendendo ao que se pede e tentando sempre exemplificar e argumentar procurando relacionar a teoria estudada com a prática As atividades devem ser enviadas dentro do prazo estabelecido no calendário de cada disciplina Critérios para composição da Média Semestral Para compor a Média Semestral da disciplina levase em conta o desempenho atingido na avaliação formativa e na avaliação somativa isto é as notas alcançadas nas diferentes atividades virtuais e na prova da seguinte forma Somatória das notas recebidas nas atividades virtuais somada à nota da prova dividido por 2 Média Semestral Somatória Atividades Virtuais Nota da Prova 2 Assim se um aluno tirar 7 nas atividades e tiver 5 na prova MS 7 5 2 6 Atenção o aluno pode conseguir um ponto adicional Engajamento na nota das atividades virtuais Para ganhar o ponto do engajamento o estudante terá que percorrer todo o material didático da disciplina material textual e assistir a todos os vídeos fazer todos os Exercícios e enviar todas as atividades Antes do lançamento desta nota final será divulgada a média de cada aluno dando a oportunidade de que os alunos que não tenham atingido média igual ou superior a 70 possam fazer a Recuperação das Atividades Virtuais Se a Média Semestral for igual ou superior a 40 e inferior a 70 o aluno ainda poderá fazer o Exame Final A média entre a nota do Exame Final e a Média Semestral deverá ser igual ou superior a 50 para considerar o aluno aprovado na disciplina Assim se um aluno tirar 6 na Média Semestral e tiver 5 no Exame Final MF 6 5 2 55 Aprovado 6 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 FAÇA O ACOMPANHAMENTO DE SEUS EXERCÍCIOS Coloque na segunda coluna o prazo em que deve ser enviado o exercício consulte o calendário disponível no ambiente virtual de aprendizagem Coloque na terceira coluna o dia em que você enviou o exercício AVALIAÇÃO PRAZO DATA DE ENVIO Exercício Pontuado 1 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 2 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 3 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 4 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 5 Ferramenta Questionário 7 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 BOAS VINDAS Prezados acadêmicos quero dar as boas vindas espero que tenhamos um bom convívio durante este semestre de aula e que possamos juntos construir laços de empatia de modo a que nos sintamos extremamente à vontade para expor opiniões dúvidas questionamentos angústias etc Da minha parte farei o possível para colaborar no aprendizado e na formação de cada um de vocês com esse objetivo foram elaboradas várias aulas audiovisuais nesta disciplina material este que irá ajudar e muito no bom entendimento e na compreensão de todo o conteúdo Há duas vantagens principais conferidas pelo estudo da lógica Primeiro o indivíduo com conhecimento de lógica tem mais facilidade em organizar e apresentar suas ideias Ele distingue entre o essencial e o não essencial usando raciocínio claro e coerente para transmitir suas conclusões às outras pessoas Segundo a lógica facilita a análise das ideias apresentadas por outros O não iniciado frequentemente se perde em argumentos complexos e mesmo em casos mais simples confunde as premissas e as conclusões rejeitando ou aceitando argumentos através de reações não bem refletidas Se possível conto com a colaboração de vocês no que diz respeito ao acompanhamento da disciplina isto é não deixem para estudar todo o conteúdo de última hora mas procurem sim estar encaminhando os exercícios nos prazos estabelecidos isso será de grande importância para um bom desempenho e um resultado excelente ao final do semestre Atenciosamente 8 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Préteste A finalidade deste préteste é fazer um diagnóstico quanto aos conhecimentos prévios que você já tem sobre os assuntos que serão desenvolvidos nesta disciplina Não fique preocupado com a nota pois não será pontuado 1 Para fazer uma viagem Rio de Janeiro São Paulo Rio de Janeiro é possível usar como meio de transporte trem ônibus ou avião De quantos modos diferentes é possível escolher os meios de transporte se não se deseja usar na volta o mesmo meio de transporte utilizado na ida a 3 b 5 c 6 d 9 2 Em um campeonato de futebol cada equipe recebe dois pontos por vitória um ponto por empate e zero ponto por derrota Sabendo que ao final do campeonato cada equipe disputou 40 partidas e que uma determinada equipe obteve 24 pontos o número mínimo de derrotas sofridas por essa equipe foi a 15 b 16 c 24 d 28 3 Qual é a próxima palavra da sequência camiseta amor beleza acetona salada abacaxi mágico americano a natureza b maionese c basquete d publicação 4 Você é o professor de cinco alunos e eles colocamse a sua frente para receber uma série de exercícios Tente nomeálos da esquerda para a direita de acordo com as informações 1 Amauri está entre Marcelo e Lucas 2 Geraldo está à esquerda de Jeferson 3 Marcelo não está ao lado de Geraldo 4 Geraldo não está ao lado de Jeferson A sequência correta é a Geraldo Lucas Marcelo Amauri e Jeferson b Marcelo Jeferson Amauri Lucas Geraldo c Geraldo Jeferson Lucas Amauri Marcelo d Lucas Geraldo Amauri Jeferson Marcelo 5 A sequência 5 13 25 41 X 85 obedece a uma regra lógica O termo X dessa série é a 51 b 57 c 61 d 69 6 Movendose palitos de fósforo na figura I é possível transformála na figura II o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é 9 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a 1 b 2 c 3 d 4 7 O casal Silva tem vários filhos Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos Quantos filhos e filhas há na família a 12 b 10 c 9 d 7 8 Em uma estante há 10 livros cada um com 100 folhas Uma traça faminta come desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro Quantas folhas a traça faminta comeu a 802 b 998 c 1000 d 1018 9 Seu professor de Geometria pede para você calcular um lado de um triângulo escaleno usando a lei dos cosenos Qual das respostas abaixo não pode ser a correta a 7 b 00005 c d 127 10 Em um certo verão uma fábrica de sorvetes realizou uma promoção que previa a troca de dez palitos de sorvete por um sorvete de palito Nessa promoção um palito de sorvete corresponde a que fração do preço de um sorvete a 19 b 110 c 111 d 210 Submeta o Préteste por meio da ferramenta Questionário 10 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 INTRODUÇÃO Na presente disciplina serão apresentados diversos problemas motivando o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo e uma das suas finalidades se deve ao fato de que o prazer de ultrapassar desafios leva ao amadurecimento do estudante que acaba levando para toda a sua vida e para as demais disciplinas que serão estudadas no curso Na Unidade 1 será abordada a resolução de problemas e desafios lógicos Esses problemas foram retirados principalmente dos testes da Associação Nacional de Pós Graduação e Pesquisa em Administração ANPAD1 criados em 1987 Tratase de um exame nacional que avalia os conhecimentos das línguas portuguesa e inglesa e as habilidades em raciocínios lógico quantitativo e analítico Esse exame tem sido utilizado por diversas instituições como parte dos processos de seleção de cursos de pósgraduação stricto sensu e de cursos profissionalizantes de Administração Ciências Contábeis e áreas afins além de requisito básico em processos seletivos de diversas organizações Para simplificar foi escolhido como eixo o teste ANPAD pela beleza dos problemas apresentados entretanto também serão resolvidos problemas que caíram em diversos concursos públicos bem como exercícios interessantes de sites em geral Na unidade 2 será abordada a Álgebra de Boole aqui denominada por operações lógicas Assim teremos a oportunidade de definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência por meio dos critérios da lógica Na Unidade 3 serão apresentados os diagramas de Venn com objetivo de complementar os conhecimentos tratados na unidade anterior mas como uma visão espacial sendo utilizada para isso a Teoria de Conjuntos 1 Ver site httpwwwanpadorgbr 11 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO OBJETIVO DA UNIDADE Ensinar Matemática por meio de desafios despertando o interesse a curiosidade e o raciocínio lógico Desenvolver a criatividade aumentando a atenção e a concentração do aluno 11 Problemas e Desafios Lógicos Iniciaremos este texto com uma breve citação de um dos matemáticos que deu significado ao estudo da Lógica Segundo Polya 1944 Uma grande descoberta resolve um grande problema mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta Experiências tais numa idade suscetível poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a marca na mente e no caráter 111 A quem interessa a lógica Em primeiro lugar lógica não é psicologia no que diz respeito a ensinar como pensar Ela não descreve o que as pessoas pensam ou como uma pessoa chega a uma determinada conclusão o que ela faz é sugerir uma linha de pensamento de modo a colaborar a raciocinar corretamente sugerindo etapas lógicas que facilitam a determinação de uma resposta deste modo ela sugere caminhos que uma pessoa deve seguir para alcançar conclusões corretas A lógica se relaciona com todo pensamento ela é fundamental para todas as áreas e qualquer formação e isso não inclui apenas a matemática mas pode auxiliar em qualquer disciplina relacionada à filosofia engenharia direito contabilidade administração entre outras O estudo da lógica interessa a todos No dia a dia vivemos constantemente argumentando ora tentando convencer os outros de nossas conclusões ora sendo levados a concordar com nossos interlocutores 12 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 112 Método Dedutivo Vamos iniciar procurando compreender o conceito da dedução lógica para então utilizarmos o seu exercício O método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinadas premissas que são as verdades absolutas num problema Essencialmente os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar conclusões que devem necessariamente ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras bem como se o raciocínio respeita uma forma lógica válida Talvez o veículo que mais tenha contribuído para tornar famoso o método dedutivo foi a literatura popular com as publicações das obras de Sir Arthur Conan Doyle no qual o seu personagem principal o detetive Sherlock Holmes conseguia resolver casos mirabolantes através do método da dedução lógica2 Esse personagem também foi adaptado para o cinema algumas vezes alcançando diversos fãs3 Vale ressaltar que Doyle demonstrou que toda dedução lógica uma vez explicada tornase infantil pois a conclusão provoca espanto e admiração apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento investigativo ainda são desconhecidos Note que essa ideia é similar a empregada por George Pólya considerado por muitos o pai do raciocínio lógico que formulou as quatro etapas essenciais para a resolução de problemas 1ª etapa Compreender o problema 2ª etapa Traçar um plano 3ª etapa Colocar o plano em prática 4ª etapa Comprovar os resultados 113 Raciocínio Lógico O raciocínio lógico é uma ferramenta indispensável para a realização de muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas pois é fundamental para a estruturação do pensamento na resolução de problemas Se nos mantivermos atentos por exemplo unicamente às mensagens publicitárias que enchem as ruas e invadem nossas casas já teremos muitas oportunidades para exercícios de raciocínio lógico Quer ver A história abaixo confirma essa necessidade 2 Alguns romances policiais publicados pelo autor Um estudo em vermelho 1887 O signo dos quatro 1890 O cão dos Baskervilles 1902 O vale do Terror 1915 3 Sugiro assistir a alguns filmes envolvendo o personagem Sherlock Holmes tais como O enigma da pirâmide de 1985 Sherlock Holmes de 2009 Sherlock Holmes O jogo de sombras de 2011 13 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Problema Motivacional Segundo a tradição da tribo logicaetês ao atingirem a idade adequada para o casamento os homens devem submeterse a uma prova de competência lógica Somente os que superam este obstáculo têm permissão para casarse A prova é sempre decisiva vencêla é a certeza da glória perdêla significa o fim das esperanças Totelesáris um jovem índio desta tribo caiu de amores pela bela Masófis Desejando casarse com ela viu chegar a sua vez de enfrentar a prova prénupcial A ele foi proposto o seguinte desafio Baseado na resposta de um desses guardas Totelesáris deverá decidirse por uma das cabanas Como ele deve proceder para não ser devorado pelos jacarés Que pergunta ele deve fazer a um dos índios para ter certeza de que cairá nos braços de Masófis Parece que não há mesmo saída não é mesmo No entanto você pode estar certo de que é possível encontrar a cabana de Masófis fazendo uma só pergunta a um dos guardas mesmo sem saber se este guarda diz a verdade ou mente Vamos raciocinar juntos e ajudar Totelesáris a se livrar dos dentes dos jacarés Comecemos chamando de M o índio mentiroso e de V o índio que só diz a verdade Se perguntássemos a qualquer um deles Em que cabana se encontra Masófis M mentiria indicando a caba errada e V indicaria a cabana certa Mas como descobrir quem está falando a verdade Por esse caminho não chegaremos a nenhuma conclusão afinal não sabemos distinguir o índio que mente do índio que só fala a verdade No meio da aldeia há duas cabanas rigorosamente idênticas Dentro de uma delas o espera Masófis A outra no entanto apenas recobre um poço habitado por jacarés ferozes capazes de devorar qualquer um que ultrapasse a entrada Cada cabana tem apenas uma porta permanentemente fechada e vigiada por um índio que conhece perfeitamente o conteúdo da cabana que vigia Totelesáris deve escolher uma das cabanas e entrar se encontrar a sua amada poderá casarse com ela se entrar na dos jacarés será devorado instantaneamente Antes de realizar sua escolha ele terá permissão de fazer uma única pergunta ao índio que guarda a porta de uma das cabanas Mas Totelesáris deve ainda levar em conta outro pormenor um dos guardas mente sempre enquanto o outro só fala a verdade 14 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 E se fizéssemos a seguinte pergunta a cada um deles Se eu perguntasse ao seu colega qual a cabana de Masófis o que ele responderia Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V indicaria corretamente a cabana de Masófis M mentiria dizendo que V indicou a cabana dos jacarés deste modo a cabana indicada seria a dos jacarés 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria indicando a cabana dos jacarés V responderia a verdade indicando a mesma cabana apontada pelo mentiroso a dos jacarés afinal V não pode mentir então manteria a versão mentirosa de M Ora vejam só Fazendo essa pergunta a qualquer um dos guardas obteremos sempre uma única indicação a cabana dos jacarés É lógico então que Totelesáris deverá entrar na outra cabana para encontrar sua Masófis Este desafio então já foi vencido Veja que usando o raciocínio lógico poupamos Totelesáris de ser devorado pelos jacarés Mas e se o desafio fosse descobrir qual dos índios sempre mente e qual deles sempre diz a verdade que pergunta deveria ser feita Utilizando a mesma linha de raciocínio Totelesáris poderia fazer a seguinte pergunta a qualquer um dos índios Se eu perguntasse para o seu colega se ele fala a verdade ele responderia que sim ou que não Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V responderia que sim eu falo a verdade M responderia o contrário ou seja ele mentiria dizendo que V responderia que NÃO 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria respondendo que sim eu falo a verdade ou seja o contrário de sua realidade V responderia exatamente a mesma resposta que recebeu pois dizendo a verdade ele deve dizer o que ouviu respondendo portanto que SIM Deste modo Totelesáris saberia que se a resposta fosse NÃO então o índio na qual a pergunta foi feita é o mentiroso entretanto se a resposta fosse SIM esse índio seria aquele que fala a verdade 12 Metodologia Para desenvolver o raciocínio é fundamental permitir que você leitor escolha livremente o método caminho que deseja utilizar afinal a explicação prévia para um problema de raciocínio lógico retira a possibilidade de alguém pensar por si mesmo 15 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 aumentando as chances de você apresentar grandes dificuldades para resolver os próximos problemas Deste modo este material será composto por poucos problemas contendo uma resolução detalhada por escrito entretanto será apresentada uma série de exercícios propostos cuja solução será disponibilizada através de videoaulas sendo sugerido que você tente resolver antes de acessar ao vídeo contendo a resolução Como sugestão de etapas para uma melhor metodologia para resolver um problema sugerese primeiramente a realização de uma leitura detalhada dos enunciados dos exercícios para em seguida iniciar o processo de busca da solução Quando esta não é atingida é necessária uma leitura mais atenta para que você possa identificar algum detalhe que não foi percebido anteriormente e assim chegar à solução mais adequada Usando essa metodologia na resolução de exercícios de raciocínio você pode estruturar e dar ordem ao seu pensamento conseguindo atingir um nível de abstração mais elevado Pensando nesta metodologia sugiro mais uma vez que você tente resolver os problemas a seguir antes de consultar a explicação do problema ATENÇÃO Todos os exemplos contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e à mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 1 Confusão com os professores Ramirez aprontou uma baita confusão trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Júlio Márcio e Roberto Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio Portanto a Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio b Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio c Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto d Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto e O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio 16 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução Neste tipo de problema em que cada informação está sendo subdividida aconselhase a montagem de uma tabela para se ter uma visão melhor dos dados fornecidos no enunciado Veja NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO Lembrese que Ramirez aprontou uma baita confusão trocando as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores ficando cada um deles com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro logo nenhum deles possui um objeto próprio O enunciado ainda informa que o que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio então se faça a seguinte pergunta Qual é o único professor que poderia ter ficado com este material ou seja ter ficado com algo de Márcio e de Roberto Acertou quem respondeu Roberto Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Pensando no material que está com o professor Júlio podemos deduzir que não é a caixa de giz do professor Márcio afinal este material está com o Roberto Deste modo como Júlio deve ter em mãos algo do Márcio este só pode ser suas papeletas de aula assim sendo como Júlio também deve ter algo do Roberto este só poderia ser sua caixa de giz Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Por dedução Márcio só poderia ter ficado com a caixa de giz do Júlio afinal é a única caixa de giz que ainda não foi descoberta e a papeletas de aula do Roberto pelo mesmo motivo Deste modo podemos finalizar nossa tabela 17 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO JÚLIO ROBERTO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Analisando as alternativas concluise que a correta é a A Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio Observação O recurso que foi utilizado neste problema que é a montagem de uma tabela pode ser usado em muitos outros basta perceber a necessidade de se ter uma visão melhor dos dados do enunciado Exemplo 2 Teste de Admissão Uma empresa estava contratando um novo funcionário e uma das provas da seleção era responder à seguinte questão por escrito Você está dirigindo seu carro numa perigosa noite de tempestade Passa por um ponto de ônibus e vê três pessoas esperando por ele Uma velha senhora que parece estar à beira da morte Um médico que salvou sua vida no passado A pessoa que habita seus sonhos Você só pode levar uma pessoa no carro Quem você escolheria Justifique sua resposta Comentário Este teste é bem interessante É um tipo de teste de personalidade em que cada resposta possível tem um significado Você poderia pegar a velha senhora que estava para morrer Ficaria com a consciência tranquila Ou você pegaria o médico porque ele salvou sua vida no passado e esta seria a chance perfeita para retribuir este favor No entanto você ainda poderia saldar esta dívida em outra ocasião mas talvez não pudesse encontrar mais o amor da sua vida se deixasse passar essa chance Observe quantas variáveis estão presentes nesta decisão Solução A melhor alternativa frente a este problema é Entregar a chave do carro para o médico deixálo levar a velha senhora para o hospital e ficar esperando pelo ônibus com a pessoa dos meus sonhos Conclusão Às vezes ganharíamos muito mais se estivéssemos dispostos a abrir mão de nossas teimosas limitações Pense nisso 18 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 3 Escolha de Sapatos Há dez pares de sapatos vermelhos dez pares de sapatos azuis dez pares de sapatos brancos e dez pares de sapatos verdes numa gaveta Com base nessas informações responda as duas perguntas abaixo Problema 1 Se você introduzir a mão na gaveta no escuro qual é o menor número de sapatos que você tem que tirar para ter a certeza de que tirou dois sapatos da mesma cor Lembrese que está tudo escuro isto é você não pode contar com a sorte Problema 2 E para ter a certeza de que tirou um par esquerda e direita da mesma cor Solução Esse problema envolve uma teoria denominada Princípio da Casa dos Pombos4 PCP Para ter a certeza de que você tirou dois sapatos da mesma cor são necessárias cinco retiradas Note que se você tirar até quatro sapatos nada garante que você já tirou dois sapatos da mesma cor pois os quatro sapatos poderiam ter cores diferentes entretanto se você retirar mais um sapato certamente ele será de alguma cor que já apareceu anteriormente logo a resposta é cinco A quinta cor terá que combinar com uma das quatro já retiradas Aplicando o PCP note que há quatro cores diferentes isto é 4 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 5 pombos ou seja cinco sapatos Para ter a certeza de que você tirou um par de sapatos da mesma cor são necessárias quarenta e uma retiradas Imagine que pode acontecer de você retirar sapatos de um mesmo lado de cada uma das cores ou seja você por uma grande obra do acaso retira todos os sapatos do lado esquerdo isso totalizaria até 40 possibilidades e você ainda não teria 4 Retirado do site httpsptwikipediaorgwikiPrincC3ADpiodacasadospombos O Princípio do Pombal ou Princípio da Casa dos Pombos PCP é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas e se n m isto é se houver mais pombos do que casas então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo Matematicamente falando isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de outro conjunto B então uma função de A em B não pode ser injetiva É também conhecido como Teorema de Dirichlet ou Princípio das Gavetas de Dirichlet pois se supõe que o primeiro relato deste princípio foi feito por Dirichlet em 1834 com o nome de Schubfachprinzip Princípio das Gavetas O Princípio do Pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito Embora se trate de uma evidência extremamente elementar o princípio é útil para resolver problemas que pelo menos à primeira vista não são imediatos Para aplicálo devemos identificar na situação dada quem faz o papel dos objetos pombos e quem faz o papel das gavetas casas 19 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 retirado um par esquerda e direita da mesma cor mas se você retirar mais um com certeza esse fará par com alguma cor anterior Aplicando o PCP note que há quarenta sapatos de um mesmo lado isso considerando que há dez sapatos de um mesmo lado de cada cor e são quatro cores diferentes isto é 40 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 41 pombos ou seja quarenta e um sapatos Esse número para ser excessivo mas lembrese de que não podemos contar com a sorte em hipótese alguma por isso é melhor imaginar que você é uma pessoa azarada e que precisa do máximo de chances para se ter a certeza de algo Esse máximo será o mínimo proposto pelo problema Esse problema é bem mais simples mas ainda assim muitos diriam que é necessário retirar 61 sapatos o que na verdade é um grande absurdo pois seriam 61 sapatos caso o problema pedisse para retirar pelo menos um sapato de cada cor e 71 caso o objetivo fosse o de retirar pelo menos um par de sapatos de cada cor Neste tipo de problema pense sempre na pior possibilidade pois é este raciocínio que vai garantir o número mínimo de possibilidades necessárias para se alcançar um determinado objetivo Exemplo 4 Floresta com um milhão de árvores Uma floresta tem um milhão de árvores Nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa Podese afirmar que a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta b Somente por acaso haverá árvores com copas de igual total de folhas na floresta c Certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa d O número médio de folhas nas copas é de 150 mil e Nada do que foi dito pode ser concluído dos dados apresentados Solução A resposta correta é a alternativa A Vamos tentar imaginar uma floresta sem ter árvores de igual número de folhas ou seja árvores com copas de diferentes totais de folhas Teremos então 300001 tipos diferentes de copas de árvore uma copa nula sem nenhuma folha outra só com 1 folha outra com 2 folhas outra com 299999 folhas e finalmente uma com 300000 folhas limite 20 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 apresentado pelo enunciado Note que foram descritas todas as possibilidades de 0 a 300000 folhas Para até 300001 árvores poderemos encontrar copas distintas Se considerarmos uma árvore além dessas ela só poderá ter uma das seguintes copas com 0 folha ou com 1 folha ou com 2 folhas ou com 300000 folhas A repetição é inevitável Teremos assim pelo menos 1000000 300001 699999 árvores com copas que repetem o número de folhas de outras árvores obrigatoriamente Por isso a resposta é a alternativa a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta Uma resposta muito comum é a c que seria errada O engano que leva tantas respostas para uma alternativa errada é o de considerar que nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa leva à conclusão de que certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa Na verdade se todas as copas tivessem 300 mil folhas elas estariam dentro da condição proposta pelo enunciado mesmo que essa ocorrência fosse muito improvável ainda assim é possível por isso ela deve ser considerada Esse problema também envolve o Princípio da Casa dos Pombos PCP se tivermos mais pombos do que casas para abrigálos algumas casas terão necessariamente de ser compartilhadas por mais de um pombo Exemplo 5 Que número João pensou João e um grupo de amigos gostam de se reunir para fazer jogos de adivinhação Numa dessas reuniões João pensa em um número com quatro algarismos distintos e informa ao grupo que esse número obedece às seguintes condições não tem algarismos em comum com 3658 tem três algarismos em comum com 6194 tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Com essas informações o grupo já sabe qual é o número escolhido por João Agora é a sua vez qual foi o número escolhido por João Solução Para resolver este problema escreveremos todos os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 para em seguida analisarmos cada uma das condições 1ª condição Não tem algarismos em comum com 3658 Com esta informação se elimina os números 3 6 5 e 8 Sobram então 0 1 2 4 7 9 2ª condição Tem três algarismos em comum com 6194 Como o algarismo 6 já foi eliminado necessariamente 1 9 e 4 são algarismos do número pensado mas ainda falta um algarismo Observe que já estamos muito próximos da resposta 0 1 2 4 7 9 3ª condição Tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições Lembrando que os algarismos 9 e 4 já pertencem ao número pensado e nesta informação só há 2 algarismos em comum então podemos deduzir que os outros dois algarismos 3 e 0 não pertencem ao número pensado deste modo podemos eliminálos 1 2 4 7 9 Essa condição também informa que os dois algarismos comuns ocupam as mesmas posições logo o algarismo 9 ocupa a casa das centenas como em 3940 e o 4 ocupa o das dezenas como em 3940 Não sabemos ainda que posição ocupa o algarismo 1 outro algarismo comum já descoberto anteriormente Para o último algarismo restam apenas duas opções 2 ou 7 1 2 4 dezena 7 9 centena 4ª condição Tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Já sabíamos que o algarismo 1 era comum e como nesta informação há apenas um algarismo em comum então só pode ser o 1 Deste modo podemos descartar o algarismo 7 caso contrário haveria dois algarismos em comum Sobraram então 1 2 4 dezena 9 centena A condição ainda informa que a posição do algarismo comum nos dois números é diferente logo o algarismo 1 não pode ser a unidade como em 7831 sendo portanto o algarismo do milhar 1 milhar 2 4 dezena 9 centena 22 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como restou apenas o algarismo 2 então com certeza ele é comum e só pode ocupar a única posição desconhecida que é das unidades 1 milhar 2 unidades 4 dezena 9 centena Conclusão O número pensado por João é 1942 Exemplo 6 Quais são os números das cartas Há três cartas viradas sobre uma mesa Sabese que em cada uma delas está escrito um número inteiro positivo São dadas a Carlos Samuel e Tomás as seguintes informações todos os números escritos nas cartas são diferentes a soma dos números é 13 os números estão em ordem crescente da esquerda para a direita Primeiro Carlos olha o número na carta da esquerda e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Em seguida Tomás olha o número na carta da direita e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Por fim Samuel olha o número na carta do meio e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros qual é o número da carta do meio Solução Escrevendo todas as combinações possíveis que contemplam as condições do problema ou seja números inteiros diferentes que somam 13 e estão em ordem crescente da esquerda para a direita temos 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente 3 4 6 Soma 13 ordem crescente Carlos quando ergueu a carta da esquerda poderia ter visto ou o 1 ou o 2 ou o 3 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 1 23 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ou 2 já que com o algarismo 1 há quatro opções 1 2 10 1 3 9 1 4 8 1 5 7 e com o algarismo 2 há três opções 2 3 8 2 4 7 2 5 6 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar a opção 3 4 6 isso porque este é o único caso em que a carta da esquerda não se repete e se Carlos tivesse visto o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente Tomás quando ergueu a carta da direita poderia ter visto ou o 6 ou o 7 ou o 8 ou o 9 ou o 10 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 7 ou 8 já que com o algarismo 7 há duas opções 1 5 7 e 2 4 7 e com o algarismo 8 também há duas opções 1 4 8 e 2 3 8 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 2 10 1 3 9 2 5 6 isso porque estes são os únicos casos em que a carta da direita não se repete e se Tomás tivesse visto o 10 ou o 9 ou o 6 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Samuel ao levantar a carta do meio poderia ter visto ou o 3 ou o 4 ou o 5 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto o algarismo 4 já que com o algarismo 4 há duas opções 1 4 8 e 2 4 7 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 5 7 e 2 3 8 isso porque estes são os únicos casos em que a carta do meio não se repete e se Tomás tivesse visto o 5 ou o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas 24 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 As duas únicas opções que restaram são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Como o problema pergunta qual é a carta do meio e a carta do meio nos dois casos é a mesma podemos afirmar que é quatro Vale ressaltar que se o problema tivesse perguntado os algarismos das três cartas não teria sido possível apresentar uma única resposta ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado à resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você Pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 1 2 3 4 e 5 e os Exercícios Pontuados 11 e 12 25 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 13 Problemas da Verdade e da Mentira Verdade significa aquilo que está intimamente ligado a tudo que é sincero que é verdadeiro é a ausência da mentira Verdade é também a afirmação do que é correto do que é seguramente o certo e está dentro da realidade apresentada Mentira é a afirmação de algo que se sabe ou suspeita ser falso não contar a verdade ou negar o conhecimento sobre alguma coisa que é verdadeira A mentira é o ato de mentir enganar iludir ou ludibriar O termo mentira é utilizado como uma oposição ao que é verdade ou seja a mentira é o antônimo da verdade Nos problemas lógicos que envolvem uma mentira o significado é exatamente este quando uma afirmação é assumida como mentira ou falsa significa que o seu oposto pode ser considerado como uma verdade Uma metodologia que pode ser aplicada para resolver problemas deste contexto é a realização de hipóteses neste caso você levanta uma hipótese de que uma determinada afirmação é verdadeira ou falsa ou de que um determinado personagem é inocente ou culpado e analisa os demais dados do problema procurando manter esta hipótese válida Vão ocorrer duas possibilidades 1ª Possibilidade Você se depara com uma contradição que pode surgir de duas formas um resultado que anula a sua hipótese original ou a determinação de mais de uma resposta Neste caso se anula a hipótese original e se cria uma nova hipótese para o problema 2ª Possibilidade A hipótese original se encaixa perfeitamente aos demais dados de modo a ser possível concluir o problema Neste caso você encontrou a resposta para o problema Veja os exemplos a seguir o primeiro deles é um famoso problema do livro O homem que calculava de Malba Tahan Problema Motivacional Um Sheike testando os conhecimentos do Homem que calculava informoulhe que comprara de um mercador 5 lindas escravas duas com olhos negros e três com olhos azuis Informou que as escravas de olhos negros sempre dizem a verdade e que as escravas de olhos azuis nunca dizem a verdade As escravas foram introduzidas no salão com um véu que impedia completamente a percepção da cor de seus olhos 26 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Somente poderás interrogar três das cinco escravas com uma única pergunta a cada uma destas disse o Sheike Com o auxílio das três respostas obtidas o problema deverá ser solucionado com rigorosa justificativa lógica As perguntas devem ser de tal natureza que só as próprias escravas possam respondêlas com perfeito conhecimento Após certa meditação o Homem que calculava perguntou à primeira escrava De que cor são teus olhos A interpelada respondeu num dialeto que ninguém compreendeu Em seguida perguntou à segunda Dizeme em minha língua o que tua colega respondeu Os meus olhos são azuis A sua última pergunta se destinou à terceira escrava Dizeme em minha língua de que cor são os olhos dessas duas jovens que acabo de interrogar A primeira tem os olhos negros e a segunda olhos azuis respondeu a escrava Então o Homem que calculava solenemente disse A primeira tem olhos negros a segunda olhos azuis e a terceira olhos negros por eliminação as duas últimas possuem olhos azuis Levantados os véus para espanto de todos a resposta estava rigorosamente correta Interpelado pelo Sheike como ele havia conseguido tal proeza respondeu Com certeza a primeira escrava me responderia que seus olhos são negros pois se realmente fossem negros diria a verdade proclamando que são negros mas se fossem azuis mentiria dizendo que são negros logo não me preocupei com sua resposta e por este motivo não me importei dela ter respondido em seu próprio dialeto Como a segunda escrava respondeu que a primeira dissera ter olhos azuis isto a caracterizou como mentirosa pois se fosse uma escrava que só fala a verdade responderia que a primeira dissera ter olhos negros consequentemente os olhos da segunda escrava são azuis afinal só as escravas de olhos azuis mentem Assim descobri a cor dos olhos da segunda escrava mas ainda não sabia a cor dos olhos da primeira escrava A partir da resposta da terceira escrava que dissera que a primeira tinha os olhos negros e a segunda olhos azuis pude concluir que esta falava a verdade afinal sua resposta referente à segunda escrava confirma o que eu já deduzira anteriormente que a segunda possui olhos azuis Assim sendo a terceira disse a verdade logo seus olhos eram negros e por sua afirmação pude concluir que os olhos da primeira também eram negros afinal dizendo a verdade eu devo acreditar integralmente em sua afirmação Por fim como são 5 escravas 2 com olhos negros que eu já descobri quais eram e 3 com olhos azuis deduzi que as duas últimas só poderiam ter olhos azuis 27 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Conclusão A primeira tem olhos negros a segunda azuis a terceira olhos negros e as duas últimas olhos azuis ATENÇÃO Todos os exemplos a seguir contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 7 As rivais Três rivais Ana Bia e Cláudia trocam acusações 1 A Bia mente diz Ana 2 A Cláudia mente Bia diz 3 Ana e Bia mentem diz Cláudia Com base nestas três afirmações podese concluir que a Apenas Ana mente b Apenas Bia mente c Apenas Cláudia mente d Ana e Cláudia mentem e Ana e Bia mentem Solução A resposta correta é a alternativa D Iniciaremos formulando uma hipótese a de que Ana diz a verdade Se gerar uma contradição então por eliminação Ana não poderá dizer a verdade ou seja ela só poderá mentir sendo esta a segunda hipótese Hipótese 1 Ana diz a verdade Se Ana diz a verdade então Bia mente 1ª afirmação Se Bia mente então Cláudia diz a verdade note que pelo fato de Bia mentir o oposto de sua afirmação é que passa a ser verdadeira 2ª afirmação Mas Cláudia disse que Ana e Bia mentem o que gera uma CONTRADIÇÃO pois por suposição Ana diz a verdade 3ª afirmação Conclusão Hipótese inválida devemos formular uma nova hipótese Hipótese 2 Ana está mentindo Se Ana mente então Bia diz a verdade oposto de sua afirmação 1ª afirmação 28 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se Bia diz a verdade então Cláudia mente 2ª afirmação Mentindo então não é verdade que Ana e Bia mentem ou seja Ana ou Bia diz a verdade e como Bia realmente diz a verdade logo não temos contradição nenhuma mantendo a hipótese válida logo tudo o que foi deduzido por esta hipótese pode ser considerado correto Conclusão Bia diz a verdade e Ana e Cláudia mentem Exemplo 8 Quem quebrou o vaso da Vovó Ao ver o estrago na sala mamãe pergunta zangada Quem quebrou o vaso da vovó As repostas das crianças foram as seguintes Não fui eu disse André Foi o Carlinhos disse Bruna Não fui eu não mas foi a Duda falou Carlinhos A Bruna está mentindo falou Duda Considere a situação descrita acima para resolver as questões de números I II e III Questão I Sabendo que somente uma das crianças mentiu podese concluir que a André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso b Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso c Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso d Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso e Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso Questão II Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade podese concluir que a André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso b Bruna falou a verdade e André quebrou o vaso c Duda falou a verdade e André quebrou o vaso d Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso e Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso Questão III Sabendo que exatamente duas crianças mentiram podese concluir que a Carlinhos mentiu e André quebrou o vaso b André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso 29 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c Bruna diz a verdade e foi ela quem quebrou o vaso d Quem quebrou o vaso foi André ou Duda e Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso Solução Questão I A resposta correta é a alternativa B Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças mentiu podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André mentiu se gerar uma contradição então vamos supor que a Bruna mentiu e assim sucessivamente Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele logo não pode haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso seria o próprio André 1ª afirmação Sendo assim Bruna também estaria mentindo afinal ela apontou o Carlinhos mas sendo o André ele teria que ser inocente o que não pode acontecer pois pelo enunciado só um deles poderia mentir CONTRADIÇÃO Hipótese 2 Bruna mentiu Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos e todos os demais estariam dizendo a verdade pois só a Bruna mentiu 2ª afirmação Assim sendo é verdade que André não quebrou o vaso 1ª afirmação mas Duda sim afirmação de Carlinhos 3ª afirmação e realmente Bruna estaria mentindo afirmação de Duda 4ª afirmação Neste caso não teríamos nenhuma contradição logo Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Bruna mentiu e André Carlinhos e Duda falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi André Não André Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda V Não fui eu foi a Duda Foi Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo 30 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles A DUDA Questão II A resposta correta é a alternativa C Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças disse a verdade podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André disse a verdade se gerar uma contradição então é porque André não disse a verdade ou seja ele mentiu e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André mentiu e devemos encontrar uma outra criança para dizer a verdade Hipótese 1 André disse a verdade Se André falou a verdade então realmente não foi ele 1ª afirmação entretanto todos os demais deveriam mentir Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos 2ª afirmação Se Carlinhos mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Se Duda mentiu vale o oposto de sua afirmação então a Bruna deveria estar falando a verdade 4ª afirmação mas por hipótese Bruna é uma das que mentiram CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André mentiu e ainda não sabemos quem disse a verdade Como o André mentiu vale o oposto de sua afirmação deste modo podemos concluir que foi ele quem quebrou o vaso da Vovó 1ª afirmação Neste caso Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos 2ª afirmação devemos inocentálo afinal já descobrimos quem quebrou o vaso André Entretanto Carlinhos também mentiu caso contrário teria sido a Duda 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade e isso não gera contradição pois ela afirma que Bruna está mentindo 4ª afirmação Note que nesta hipótese apenas Duda estaria dizendo a verdade Conclusão Duda falou a verdade e André quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Duda falou a verdade e André Bruna e Carlinhos mentiram NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu M Foi sim o André Foi André 31 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Não foi a Duda Não Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles O ANDRÉ Questão III A resposta correta é a alternativa E Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que exatamente duas crianças mentiram Como primeira hipótese vamos supor que André mentiu a partir desta hipótese vamos ler todas as afirmações tentando manter esta hipótese válida ou seja apenas mais uma criança poderá mentir se gerar uma contradição então é porque André não mentiu isto é ele disse a verdade e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André disse a verdade e devemos encontrar duas crianças para mentir Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele quem quebrou o vaso 1ª afirmação não podendo haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso foi o André Assim sendo Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos devemos inocentálo pois já temos um culpado 2ª afirmação Entretanto Carlinhos também estaria mentindo caso contrário teria sido a Duda devemos inocentála para ser o André 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade pois ela afirma que Bruna está mentindo Mas isso gera uma contradição pois por hipótese exatamente duas crianças mentiram e não três como neste caso CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André disse a verdade Se André disse a verdade então com certeza não foi ele 1ª afirmação Supondo que Bruna também disse a verdade deve existir mais alguém dizendo a verdade além do André então Carlinhos quebrou o vaso 2ª afirmação Neste caso Carlinhos estaria mentindo confirmando que foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Por último Duda também estaria mentindo vale o oposto de sua afirmação pois nessa hipótese Bruna falou a verdade 4ª afirmação 32 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como não chegamos a nenhuma contradição concluise que André e Bruna falaram a verdade e Carlinhos e Duda mentiram e quem quebrou o vaso foi o Carlinhos A tabela abaixo apresenta um resumo referente a hipótese válida Carlinhos e Duda mentiram e André e Bruna falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi o André Não André Bruna Foi o Carlinhos V Foi o Carlinhos Foi Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Foi Carlinhos Foi Carlinhos Duda A Bruna está mentindo M A Bruna está falando a verdade Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava dizendo a verdade e foi acusado apenas um deles O CARLINHOS Observação 1 Cada questão deste problema poderia ser resolvida a partir da hipótese de que um deles quebrou o vaso neste caso deveríamos começar supondo que André quebrou o vaso e que os outros três são inocentes A seguir devemos ler suas informações e concluir se elas são verdadeiras ou falsas logo depois devemos confrontar com o enunciado de cada questão verificar por exemplo se na questão I só um deles estaria mentindo se satisfizer então realmente foi o André caso contrário crie uma nova hipótese a de que foi Bruna e repita o mesmo procedimento Observação 2 Independente da hipótese original de que alguém mentiu ou falou a verdade ou partindo pelo caminho de que alguém é o culpado é possível chegar a conclusão do problema basta estar concentrado no fato de que quem diz a verdade é porque sua afirmação é totalmente válida e quem mente significa que o oposto de sua afirmação é que é válida ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro 33 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 sempre mente Márcio para descobrir quem é o João e quem é o José desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar quem é quem basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe com quem está falando Qual é a pergunta capaz de determinar quem é João e quem é José Solução Este é um problema bem diferente mas muito interessante Não podemos esquecer que um dos irmãos sempre fala a verdade mas não sabemos qual deles enquanto que o outro sempre mente e também não sabemos quem é A primeira pergunta que normalmente vem em mente é Você é o João Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM mas se João fosse mentiroso ele diria NÃO mentindo a sua resposta correta A mesma pergunta feita para José que digamos diz a verdade ele responderia NÃO mas se José fosse mentiroso ele diria SIM mentindo a sua resposta Observe que se ouvirmos um SIM não sabemos se este SIM vem de João ou se este SIM vem do José afinal os dois podem responder a esta pergunta SIM ou NÃO e é por este motivo que esta pergunta não serve Se a pergunta for Você é o José Teríamos o mesmo problema A pergunta que deve ser feita pode parecer a princípio ser estranha e não resolver mas conforme será explicado a seguir é a única pergunta que gera uma mesma resposta evitando assim a dúvida que surgiu na hipótese anterior A pergunta capaz de descobrir quem é João e quem é José é João fala a verdade Agora será provado que esta pergunta satisfaz o problema Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM Entretanto se João fosse mentiroso ele pensaria a minha resposta é NÃO por que eu não digo a verdade mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário SIM Note que se esta pergunta for feita para João independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será SIM Agora devemos refletir sobre a pergunta João fala a verdade caso ela fosse feita a José 34 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se a pergunta for feita para José que por hipótese fale a verdade ele responderia NÃO afinal nesta hipótese quem fala a verdade é José logo João seria o mentiroso Entretanto se José fosse mentiroso é porque João fala a verdade logo ele pensaria João é quem fala a verdade então a resposta correta é SIM mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário NÃO Note que se esta pergunta for feita para José independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será NÃO Conclusão a pergunta que deve ser feita é João fala a verdade Se a resposta for SIM o interrogado é o João mas se a resposta for NÃO o interrogado é o José Observação Existem mais três perguntas corretas para este problema João mente ou José fala a verdade ou José mente O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado a resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 6 e 7 35 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos II João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro sempre mente Márcio para descobrir se João é quem fala a verdade ou se João é o que mente desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar esta resposta basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe se João fala a verdade ou mente Qual é a pergunta capaz de descobrir se João fala a verdade ou mente Observe que não queremos saber qual deles é o João e qual é o José mas sim quem fala a verdade e quem mente Resposta A pergunta que deve ser feita é Você é o João Se a resposta for sim é porque o João é quem fala a verdade e se for não é porque João é o mentiroso Observação Existe mais uma pergunta correta para este problema Você é o José O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles 36 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS OBJETIVO DA UNIDADE Analisar argumentos com a correspondente reordenação de modo que essas informações passem a fazer sentido Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas lugares coisas ou eventos fictícios Deduzir novas informações a partir de relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos O universo da Lógica Simbólica é formado por um conjunto de proposições na qual se entende por proposição toda sentença declarada por meio de palavras ou símbolos que satisfaz aos dois seguintes princípios É verdadeira ou é falsa Princípio do terceiro excluído Isto significa que toda sentença deverá ser verdadeira ou deverá ser falsa não existindo portanto uma terceira possibilidade Não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa Princípio da nãocontradição Este princípio vem ao encontro do anterior reforçando a ideia de que uma sentença nunca poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Tais princípios nos levam a admitir que só existem dois únicos valores possíveis para as proposições esses valores são denominados de valores lógicos O valor verdade para representar qualquer proposição verdadeira O valor falsidade para representar qualquer proposição falsa Por este motivo a Lógica Simbólica também pode ser denominada de Lógica Bivalente Existem duas notações para a designação dos valores lógicos das proposições Letra V inicial da palavra verdade para designar quando uma proposição é verdadeira F inicial da palavra falsidade para designar quando uma proposição é falsa Algarismo 1 é a designação do valor verdade 0 é a designação do valor falsidade OS As proposições normalmente são indicadas por letras minúsculas Seguem alguns exemplos de sentenças declarativas que por assumir um valor lógico podem ser definidas como proposições 37 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a O número 15 é ímpar verdade b O número 4 é primo5 falso c Existe homem honesto verdade d Todos os homens gostam de futebol falso e Algumas mulheres são torcedoras do Grêmio verdade f 5 3 7 falso g Se você não faltar às aulas de matemática então terá mais condições de resolver as listas de exercícios verdade Não são exemplos de proposições a Você gosta de matemática b Puxa vida que aula interessante c x 2 não sabemos o valor de x para analisar a inequação d 5 2 x não sabemos o valor de x para analisar a equação 211 Proposição Simples Proposição simples é toda proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma ou seja é composta por uma única sentença declarativa deste modo não se pode subdividila em partes menores tais que algumas delas seja uma nova proposição Seguem alguns exemplos de proposição simples a Elvézio adora lógica b Fluminenses são os cidadãos que nasceram no Rio de Janeiro c O time do São Paulo é tri campeão mundial Já a proposição Carlos é filho de Maria e de José não é simples pois é possível decompôla em duas outras proposições simples Carlos é filho de Maria e Carlos é filho de José 212 Proposição Composta Proposição composta é toda proposição que contém mais de uma proposição simples como parte integrante de si mesma podendo então ser subdividida em partes menores tais que cada uma destas partes deve ser analisada no que diz respeito ao valor lógico para que seja deduzido o valor lógico da proposição composta 5 Todo número que apresenta dois únicos divisores é denominado de número primo Exemplos 2 único número primo par 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 38 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 213 Proposições Equivalentes Por definição duas proposições p e q dizemse equivalentes se ambas são verdadeiras ou ambas são falsas ou seja se ambas possuem o mesmo valor lógico As seguintes notações indicam a equivalência entre duas proposições p e q p q ou p q ou p q Para simbolizar quando duas proposições p e q não são equivalentes usase as notações p q ou ou São exemplos de proposições equivalentes a p O São Paulo é um time paulista q O Flamengo é um time carioca Logo p q afinal ambas são verdadeiras b p 6 5 10 q O Brasil fica na Europa Logo p q afinal ambas são falsas 22 Operações Lógicas sobre Proposições Conectivos Lógicos Os conectivos fazem a ligação entre duas ou mais proposições formando as proposições compostas O valor lógico das proposições compostas depende não só do valor lógico de cada proposição integrante mas também do conectivo que as une As proposições compostas podem receber denominações especiais conforme o conectivo usado para ligar as proposições componentes Vejamos agora cada um desses conectivos 221 Conjunção e Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo e A conjunção p e q podem ser representadas simbolicamente por p q ou pq p q p q 39 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma conjunção é dita verdadeira somente quando ambas as proposições simples forem verdadeiras Ou seja a conjunção p q é verdadeira somente quando p é verdadeira e q é verdadeira também O valor lógico da conjunção de duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Exemplos a p Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul Vp 1 q Campo Grande localizase na região CentroOeste Vq 1 pq Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul e localizase na região CentroOeste Vpq 1 b p 30 1 Vp 1 q 22 4 Vq 0 pq 30 1 e 22 4 Vpq 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a conjunção p q corresponderá à interseção do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q 222 Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica ou Denominamos disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou A disjunção p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q P Q pq corresponde a PQ 40 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma disjunção inclusiva é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas Ou seja a disjunção inclusiva p q é falsa somente quando p é falsa e q é falsa também No entanto se p for verdadeira ou se q for verdadeira ou mesmo se ambas p e q forem verdadeiras então a disjunção inclusiva será verdadeira Em outras palavras para que a disjunção p ou q seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira O valor lógico da disjunção inclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplos a p A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande Vp 1 q A UCDB oferece o curso de medicina Vq 0 pq A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande ou oferece o curso de medicina Vpq 1 b p 31 1 Vp 0 q 2 1 Vq 0 pq 31 1 ou 2 1 Vpq 0 c p O grêmio é um time gaúcho Vp 1 q 5 2 7 Vq 1 pq O grêmio é um time gaúcho ou 5 2 7 Vpq 1 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção inclusiva p q corresponderá à união do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q P Q pq corresponde a PQ 41 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 223 Disjunção Exclusiva ou ou A palavra ou tem dois sentidos no caso anterior disjunção inclusiva para a proposição composta ser verdadeira pelo menos uma das proposições simples deve ser verdadeira Por outro lado temos o caso em que isto não ocorre disjunção exclusiva que nos faz lembrar na linguagem usual os momentos de ênfase para a tomada de decisões conforme definida a seguir Exemplo Um casal de namorados decide sair e de repente o rapaz pergunta para a namorada Escolha o local para nos alimentarmos ou pizzaria ou restaurante Este exemplo aponta claramente que apenas uma das opções deve ser escolhida Denominamos por disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou ou ou em casos em que o conectivo ou for empregado para determinar a escolha entre opções ou seja quando o ou der a ideia que a necessidade de se escolher alguma coisa A disjunção ou p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando apenas uma das duas proposições for verdadeira Ou seja a disjunção exclusiva p q é verdadeira quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes e falsa quando os valores lógicos das duas proposições forem iguais O valor lógico da disjunção exclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplo a Um marido ao saber que sua esposa está grávida e que ela está esperando um único bebê faz as seguintes declarações p A criança será um menino q A criança será uma menina p q A criança será ou um menino ou uma menina Vp q 1 42 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 b p 3 1 3 1 Vp 1 q 2 1 2 2 Vq 1 p q ou 3 1 3 1 ou 2 1 2 2 Vp q 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção exclusiva p q corresponderá à diferença entre a união e a interseção entre o conjunto P e o conjunto Q ou seja P Q P Q Observação Convencionaremos que neste texto quando nos referirmos à disjunção desacompanhada do adjetivo inclusiva ou exclusiva estaremos nos referindo à disjunção inclusiva Alguns autores para evitar esta confusão adotam a seguinte convenção o ou inclusivo é frequentemente substituído por eou e o ou exclusivo por ou ou Assim por exemplo se uma Universidade que oferece o curso de Ciências Contábeis deseja oferecer mais de uma opção para seus formandos esta pode empregar uma das seguintes colocações a Aqui vocês serão habilitados para serem contadores ou professores Neste caso o curso estaria oferecendo três opções ser apenas contador ser apenas professor ou ser contador e professor disjunção inclusiva b Aqui vocês serão habilitados para serem ou contadores ou professores Neste caso o curso estaria dando ênfase a uma das duas opções ser apenas contador ou ser apenas professor disjunção exclusiva 224 Condicional Condicional material Se p então q Denominamos condicional ou condicional material a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo Se então ou por uma de suas formas equivalentes P Q p q corresponde a P Q P Q 43 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 A condicional Se p então q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q A proposição p anunciada pelo uso da conjunção se é chamada de condição ou antecedente enquanto que a proposição q anunciada pelo advérbio então é chamada de conclusão ou consequente As seguintes expressões podem ser empregadas como forma equivalente a condicional Se p então q Se p q q se p Todo p é q p implica q p somente se q p é suficiente para q q é necessário para p Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição condicional p q corresponderá à inclusão do conjunto P no conjunto Q P está contido em Q ou seja P Q Uma condicional p q é falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa sendo verdadeira em todos os outros casos Ou seja para a condicional p q ser verdadeira a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa Vejamos um exemplo para esclarecer melhor o valor lógico de uma condicional Em um campeonato de futebol o time que terminar a primeira fase com o maior número de pontos terá a vantagem de jogar as duas partidas finais podendo empatálas ou vencer um dos dois jogos por qualquer placar Supondo que o São Paulo terminou a primeira fase em primeiro lugar é possível afirmar que Q pq corresponde a P Q P 44 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se o São Paulo vencer a primeira partida da final então ele será o campeão Preste bem atenção essa condicional afirma que se o São Paulo vencer a primeira partida já será campeão mas nada informa sobre os demais casos A princípio temos quatro possibilidades 1 O São Paulo vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta aliás perfeitamente satisfeita 2 O São Paulo vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional é falsa pois a previsão não aconteceu Essa também é bem visível e fácil de compreender afinal pela condicional seria um absurdo vencer a primeira e não ser o campeão 3 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato do São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo não contradiz a previsão feita afinal não foi afirmado nada sobre a possibilidade de ele perder podendo ainda ser ou não campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira 4 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato de o São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo novamente não contradiz a previsão feita Em outras palavras o São Paulo não vencendo a primeira partida pode significar que ele pode ou não ser o campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira O valor lógico da proposição condicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Observando a tabela verdade podese concluir que a proposição condicional p q é verdadeira quando o valor lógico da condição p é menor ou igual ao valor lógico da conclusão q Isto é p q é verdadeira se p q Ou ainda uma condicional é verdadeira quando a condição for falsa ou quando a conclusão for verdadeira Validando uma dessas duas possibilidades já é possível afirmar que a condicional seria válida 45 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo a p A Alemanha venceu a final da Copa do Mundo em 2014 Vp 1 q Alemanha é tetracampeã de futebol Vq 1 p q Se a Alemanha vencer a final da Copa do Mundo em 2014 então ela será tetracampeã de futebol Vp q 1 p q A Alemanha será tetracampeã de futebol se vencer a final da Copa do Mundo em 2014 Vp q 1 b p Todas as mulheres são formosas Vp 1 q Maria não é formosa Vq 0 p q Se todas as mulheres são formosas então Maria não é formosa Vp q 0 c p 6 é primo Vp 0 q 5 é ímpar Vq 1 p q Se 6 é primo então 5 é ímpar Vp q 1 d p 7 não é primo Vp 0 q 8 não é divisível por 4 Vq 0 p q Se 7 não é primo então 8 não é divisível por 4 Vp q 1 Observação Usualmente quando empregamos uma sentença do tipo Se p então q esperamos que exista entre p e q alguma forma de relacionamento ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito Nesse sentido aceitaríamos com facilidade por exemplo a proposição Se um número inteiro é par então ele é divisível por 2 Pois existe uma relação de causa e efeito entre as proposições No mesmo sentido tenderíamos a recusar proposições como Se Cristiano Ronaldo foi eleito o melhor jogador do mundo no ano de 2014 então a Alemanha será campeã da Copa do Mundo de 2014 Ou ainda Se um quadrado tem três lados então falase o japonês no Brasil Pois nelas falta algo que relacione a condição e a conclusão Provavelmente recusaríamos a primeira afirmando algo como O que é que tem a ver Cristiano Ronaldo jogador de Portugal ser eleito o melhor jogador do mundo com a Alemanha ser campeã da Copa do Mundo de 2014 e quanto à segunda é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como Para começar um quadrado não tem três lados E mesmo que tivesse isto não tem nada a ver com falarse ou não o japonês no Brasil No entanto essas duas proposições são verdadeiras 46 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para a Lógica não importa se existe ou não alguma relação entre p e q Existem portanto dois tipos de implicação 1 Quando existe interação entre p e q conhecida como implicação formal ou dedução 2 Quando não existe interação entre p e q conhecida como implicação material ou implicação Obs Toda implicação formal é material mas nem toda implicação material é formal 225 Bicondicional p se e somente se q Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se ou por uma de suas formas equivalentes A bicondicional p se e somente se q pode ser representada simbolicamente por p q p q Como o próprio nome e símbolo sugerem uma proposição bicondicional p se e somente se q equivale à proposição composta se p então q e se q então p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de p se e somente se q p se e só se q Todo p é q e todo q é p Todo p é q e reciprocamente Se p então q e reciprocamente p somente se q e q somente se p p é suficiente para q e q é suficiente para p q é necessário para p e p é necessário para q Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição bicondicional p q corresponderá à igualdade dos conjuntos P e Q ou seja P Q pq corresponde a P Q P Q 47 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma bicondicional p q é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico ou ambas são verdadeiras ou ambas são falsas sendo falsa quando p e q têm valores lógicos diferentes Ou seja a bicondicional p q equivale a duas proposições equivalentes Vejamos um exemplo que esclarece melhor a bicondicional Um número inteiro é divisível por 2 se e somente se ele é par Isso equivale a afirmar que Se um número inteiro é divisível por 2 então ele é par e se um número é par então ele é divisível por 2 Note que a condição verdadeira gera uma conclusão verdadeira independente de quem é a condição e de quem é a conclusão O valor lógico da proposição bicondicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Resumindo a proposição bicondicional p q pode ser denotada por p q é equivalente a p q Exemplo a p Os números 70 e 75 são divisíveis por 5 Vp 1 q Os números 70 e 75 terminam em 0 ou 5 Vq 1 p q Os números 70 e 75 serão divisíveis por 5 se e somente eles terminarem em 0 ou 5 Vp q 1 Um número inteiro é divisível por 5 se e somente se o algarismo das unidades for 0 ou 5 Se um número inteiro é divisível por 5 então o algarismo das unidades é 0 ou 5 e se o algarismo das unidades é 0 ou 5 então o número inteiro é divisível por 5 b p Neymar foi o melhor jogador do mundo em 2015 Vp 0 q Neymar foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vq 0 p q Neymar foi considerado o melhor jogador do mundo em 2015 se e somente se ele foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vp q 1 Todos os melhores jogadores do mundo num determinado ano são eleitos a Bola de Ouro neste mesmo ano 48 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c p 16 é um quadrado perfeito Vp 1 q O quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vq 0 p q 16 é um quadrado perfeito se e somente se o quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vp q 0 226 Negação Não p Denominamos negação de uma proposição qualquer p à proposição composta que se obtém a partir da proposição p acrescida do conectivo lógico não ou de outro equivalente A negação não p pode ser representada simbolicamente por p ou p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de não p Não é verdade que p É falso que p Uma proposição p e sua negação não p sempre terão valores lógicos opostos O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela tabela verdade p p 1 0 0 1 Como se pode observar na tabela verdade uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas Exemplo a p A UCDB oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 1 p A UCDB não oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 0 b p O curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Vp 0 p O curso de Administração possui a disciplina de Matemática Vp 1 p Não é verdade que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática p É falso dizer que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Se a proposição p for representada como conjunto através de um diagrama a negação p corresponderá ao conjunto complementar de P ou seja P 49 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 8 e 9 e o Exercício Pontuado 21 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole Em meados do século passado o inglês G Boole deu uma estruturação matemática à Lógica mostrando que as operações definidas no conjunto das proposições gozam de propriedades algébricas semelhantes às propriedades das operações definidas em conjuntos numéricos Esta estrutura foi chamada Álgebra de Boole Em decorrência foram demonstradas outras propriedades de grande importância como por exemplo a leia da dupla negação e as chamadas primeiras leis de De Morgan O universo da Lógica Formal ou seja o conjunto das proposições munido das operações de conjunção disjunção e negação define uma estrutura algébrica que se chama Álgebra de Boole Será visto neste instante essa estrutura algébrica isto é as propriedades formais das referidas operações Assim quaisquer que sejam os valores lógicos de p q e t temos as seguintes propriedades 231 Propriedades da Conjunção Multiplicação Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 1 p 1 p P p corresponde a P 50 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 0 p 0 0 232 Propriedades da Disjunção Soma Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 0 p 0 p 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 1 p 1 1 Como é fácil verificar há uma analogia entre a conjunção e a multiplicação de números bem como entre a disjunção e a adição Apenas não valem para os conjuntos numéricos munidos das operações citadas anteriormente a propriedade 4 para a disjunção a primeira das propriedades mistas 5 e a propriedade 7 Por este motivo a disjunção e a conjunção são denominadas de soma lógica e multiplicação lógica respectivamente 233 Propriedades Mistas 5 A disjunção é distributiva em relação à conjunção p q t p q p t 6 A conjunção é distributiva em relação à disjunção p q t p q p t 7 Para todo elemento p existe um e só um elemento x tal que p x 1 e p x 0 Este elemento x é precisamente a negação de p x p Em outras palavras p p 1 e p p 0 234 Lei da dupla negação p p 235 Primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q respectivamente traduzidas na linguagem coloquial por a negação da disjunção é a conjunção das negações a negação da conjunção é a disjunção das negações As leis de De Morgan podem também exprimir os seguintes fatos 51 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 negar que as proposições p e q são ambas verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma delas não é verdadeira ou seja que pelo menos uma delas é falsa negar que pelo menos uma das proposições p e q é verdadeira equivale a afirmar que ambas não são verdadeiras ou seja que ambas são falsas Ou ainda negar que todas as proposições são verdadeiras falsas significa afirmar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma delas é falsa verdadeira negar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma das proposições é verdadeira falsa significa afirmar que todas são falsas verdadeiras Exemplo a A negação de Todos os alunos gostam de matemática é Existe um aluno que não gosta de matemática ou Pelo menos um aluno não gosta de matemática ou ainda Algum aluno não gosta de matemática b A negação de Nenhum aluno está entendendo a matéria é Existe um aluno que está entendendo a matéria ou Pelo menos um aluno está entendendo a matéria ou ainda Algum aluno está entendendo a matéria c A negação de Existe um flamenguista feliz ou Algum flamenguista é feliz é Todos os flamenguistas não são felizes ou Nenhum flamenguista é feliz ou ainda Qualquer flamenguista é infeliz d A negação de Existe uma pessoa infeliz ou Alguém não é feliz é Todas as pessoas são felizes ou 52 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Nenhuma pessoa é infeliz ou ainda Qualquer pessoa é feliz e A negação de Adriana é bonita e simpática é Adriana não é bonita ou não é simpática f A negação de Adriana é bonita ou simpática é Adriana não é bonita nem simpática ou Adriana não é bonita e não é simpática Princípio da dualidade lógica Se numa propriedade qualquer nós trocamos a conjunção pela disjunção a disjunção pela conjunção o 0 por 1 o 1 por 0 deixando inalterada a negação obtémse uma propriedade válida no conjunto das proposições chamada dual da propriedade considerada Assim observase com facilidade que cada lei de De Morgan é dual da outra que também são duais as propriedades 1 2 e 5 da conjunção em relação às propriedades 1 2 e 5 da disjunção Propriedades da Equivalência Se duas proposições são equivalentes as suas negações também são equivalentes p q p q 236 Relação entre os Conectivos 1 A disjunção pode ser expressa em termos da negação e da conjunção p q p q Isso significa que afirmar que pelo menos uma proposição é verdadeira falsa é equivalente a negar que todas não são verdadeiras falsas Por exemplo afirmar que O Brasil deve ganhar pelo menos uma medalha nas Olimpíadas é equivalente a afirmar que Não é verdade que o Brasil não vai ganhar nenhuma medalha nas Olimpíadas Como um outro exemplo observe que a afirmação Existe homem que não é feliz é o mesmo que afirmar que Não é verdade que todos os homens são felizes 53 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 A conjunção pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q Isso significa que afirmar que todas as proposições são verdadeiras falsas é equivalente a negar que pelo menos uma não é verdadeira falsa Por exemplo afirmar que Todas as mulheres são simpáticas é equivalente a afirmar que Não é verdade que exista uma mulher que não é simpática Como um outro exemplo observe que a afirmação Nenhum homem dirige mal é o mesmo que afirmar que Não é verdade que pelo menos um homem dirija mal 3 A disjunção exclusiva pode ser expressa em termos da negação da conjunção e da disjunção p q p q p q 4 Condicional A condicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q p q 5 Bicondicional 51 A bicondicional pode ser expressa em termos da condicional e da conjunção p q p q q p 52 A bicondicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção exclusiva p q p q 53 A bicondicional pode ser expressa em termos da disjunção da negação e da conjunção p q p q p q De fato utilizando as leis de De Morgan e a lei da dupla negação temos para os dois primeiros casos p q p q p q p q p q p q e p q p q p q p q p q p q O terceiro caso é apenas a definição da disjunção exclusiva Para ilustrar como é intuitiva tal expressão observe que afirmar Ou como no almoço frango ou como no almoço carne é equivalente a afirmar que Como no almoço frango e não como carne ou não como no almoço frango e como carne 54 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 O quarto caso pode ser deduzido intuitivamente do fato de que p q é verdadeira se p q Observe que p é menor ou igual a q sempre que p assumir o valor lógico zero negação de p ou q assumir o valor lógico 1 afirmação de q A expressão 51 pode ser deduzida da definição da bicondicional isto é a expressão p se e somente se q é equivalente a se p então q e se q então p A expressão 52 pode ser deduzida de 51 e de 4 conforme é apresentado abaixo p q p q q p p q p q q p p q p q p q p q p q p q p q p q Já a expressão 53 pode ser deduzida do fato de que a bicondicional é verdadeira quando p e q assumirem valores lógicos iguais ou seja quando ambas as proposições forem verdadeiras ou quando ambas forem falsas Tais afirmações mostram que a disjunção a conjunção a disjunção exclusiva a bicondicional a condicional e a negação não são operações independentes Vale ainda enfatizar que na teoria da Lógica Simbólica os resultados não se alteram quando substituímos uma expressão por outra que lhe é equivalente 237 Negação da Condicional p q p q De fato partindo da definição e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida as leis de De Morgan e da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q Assim negar se p então q equivale a afirmar a condição p e negar a conclusão q Por exemplo a negação de Se você estudar então será aprovado na disciplina é Você estudou e não foi aprovado na disciplina 55 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 238 Negação da Bicondicional p q p q ou p q p q p q De fato partindo da expressão 52 e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida a lei da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q A segunda igualdade é apenas a aplicação da propriedade 3 Assim negar p se e somente se q equivale a afirmar que uma delas é verdadeira e a outra é falsa Por exemplo a negação de O Brasil será o pentacampeão do mundo se e somente se vencer a Copa do Mundo de 2002 é Ou o Brasil é o pentacampeão do mundo ou o Brasil venceu a Copa do Mundo de 2002 239 Negação da Disjunção Exclusiva p q p q ou p q p q p q Assim negar ou p ou q equivale a afirmar que ambas são verdadeiras ou ambas são falsas Por exemplo a negação de O senhor deseja ou frango ou carne é O senhor deseja frango se e somente se desejar carne 56 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2310 Recíproca Inversa e Contraposta de uma Condicional A partir da condicional p q é possível associar outras três relações denominadas recíproca inversa e contraposta da referida condicional A recíproca e a inversa de uma condicional dada não lhe são equivalentes enquanto a contraposta também chamada de contrapositiva lhe é equivalente Em outras palavras p q q p p q p q p q q p Por exemplo a partir da condicional Se um quadrilátero é um retângulo então ele é um paralelogramo É possível escrever a sua recíproca a sua inversa e a sua contraposta das seguintes formas Recíproca Se um quadrilátero é um paralelogramo então ele é um retângulo Inversa Se um quadrilátero não é um retângulo então ele não é um paralelogramo Contraposta Se um quadrilátero não é um paralelogramo então ele não é um retângulo Note que a única expressão equivalente é a contraposta pois se não é um paralelogramo então não pode ter lados opostos paralelos e consequentemente não pode ser um retângulo Já a recíproca e a inversa não são equivalentes pois existem quadriláteros que são paralelogramos losango e não são retângulos e existem quadriláteros que não são retângulos alguns losangos e são paralelogramos 2311 Transitividade da condicional p q q t p t p q q p a recíproca p q a inversa q p a contraposta 57 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 24 Demonstrações das Propriedades 241 Tabela Verdade A demonstração das propriedades das equivalências e das não equivalências enunciadas anteriormente podem ser reduzidas a uma simples verificação utilizando as tabelas das operações estudadas e agrupando os dados de todos os modos possíveis através das chamadas tabela verdade Para ilustrar provemos as primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q Para isto será necessário montar uma tabela e descrever todas as possibilidades de se combinar as proposições p e q Se o resultado da coluna que descreve as operações do primeiro membro for igual ao resultado da coluna que descreve o segundo membro logo está provada a igualdade ou se representarmos a igualdade numa última coluna ela então deverá ser válida em qualquer hipótese p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 e p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Como um outro exemplo provemos a transitividade da condicional Neste caso observe que a relação a ser demonstrada não é dada por uma igualdade sendo assim a expressão deverá ser válida para qualquer possibilidade de se combinar as proposições p q e t ou seja a última coluna deve ser verdadeira para todos os casos assumir o valor lógico 1 p q q t p t 58 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 p q t p q q t p q q t p t p q q t p t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 242 Tautologia Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma tautologia se ela for sempre verdadeira quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem As primeiras leis de De Morgan e a transitividade da condicional apresentadas em tabelasverdade anteriormente são exemplos de tautologia 243 Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contradição se ela for sempre falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem Por exemplo as proposições uma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e p se e somente se não p que podem ser representadas simbolicamente por p p e p p respectivamente são exemplos de contradição pois independente dos valores lógicos de p e da negação de p ela será sempre falsa Observe nas tabelas abaixo p p p p p p p p 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 244 Contingência Uma proposição composta não tautológica nem contra válida é chamada contingência ou proposição contingente ou ainda proposição indeterminada 59 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Em outras palavras uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contingência se ela for parte verdadeira e parte falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem 245 Argumento Um argumento é válido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão verdadeira e inválido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão falsa É considerada condição de um argumento a expressão que se encontra à esquerda do símbolo e conclusão a expressão que se encontra à direita do símbolo Entretanto para avaliar um argumento precisamos definir quais condições são consideradas premissas para isso basta verificar quais condições são verdadeiras com isso podemos dizer que toda condição verdadeira é uma premissa e são essas premissas que devem ser analisadas para verificar que tipo de conclusões ela gera Temos então dois casos Se toda premissa gerar uma conclusão verdadeira então a expressão lógica representa um argumento válido Se alguma premissa gerar uma conclusão falsa então a expressão lógica representa um argumento inválido Por exemplo vamos verificar se a expressão a seguir pode ser classificada como um argumento válido ou inválido Exemplo 1 p q q p p q p q p q 1 q q p 2 1 2 condição p p q conclusão 1 1 1 0 0 1 premissa 0 1 Válido 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 premissa 1 1 Válido 0 0 1 1 0 1 premissa 1 1 Válido Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição três geraram premissas afinal os casos 1 3 e 4 são condições verdadeiras Analisando cada um desses três casos podemos afirmar que todos os três geraram conclusões verdadeiras logo como toda premissa gera conclusão verdadeira o Argumento é Válido 60 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 2 p q p q p q p q p q 1 p p q 2 1 2 condição q p q conclusão 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 premissa 1 1 Válido 0 1 1 1 1 1 premissa 0 0 Não Válido 0 0 0 1 1 0 1 0 Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição dois geraram premissas afinal os casos 2 e 3 são condições verdadeiras Analisando cada um desses dois casos podemos afirmar que alguma dessas duas premissas Caso 3 gerou uma conclusão falsa logo como alguma premissa gera conclusão falsa o Argumento é Inválido Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 10 11 12 e 13 e o Exercício Pontuado 22 61 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN OBJETIVO DA UNIDADE Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos Analisar simbolismos por meio do diagrama de Venn Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias por meio do diagrama de Venn Um dos matemáticos que mais contribuíram para a resolução de problemas lógicos através do uso de diagramas foi John Venn que viveu na Inglaterra nascendo em 1834 e falecendo em 1923 Esse matemático percebeu que a representação de conjuntos através de diagramas facilita a visualização permitindo conclusões mais seguras e rápidas dentro de um problema 31 Histórico John Venn formouse em 1857 e dois anos depois foi ordenado um padre Em 1862 ele voltou à Universidade de Cambridge estudando e ensinando lógica e teoria da probabilidade Ele desenvolveu a lógica matemática de Boole e é melhor conhecido pelo seu diagrama de representar conjuntos e as suas uniões e interseções Venn considerou três discos R S e T como subconjuntos típicos de um conjunto U As interseções destes discos e seus complementos dividem U em 8 regiões não justapostas das quais a união dá 256 combinações de Boolean diferentes do conjunto original R S e T Escreveu a Lógica de Chance 1866 publicou Lógica Simbólica 1881 e Os Princípios da Lógica Empírica 1889 32 Representações de Diagramas Para representar dois ou mais diagramas existem possíveis formas de posicionálos a partir de condições impostas no problema Seguem as relações mais comuns entre dois conjuntos com as possíveis formas de representálos desde as formas mais utilizadas até as formas não convencionais entre dois diagramas 321 Todo A é B Neste caso todo o conjunto A deve estar dentro do conjunto B 62 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 322 Nenhum A é B Neste caso os dois conjuntos devem ser disjuntos isto é nenhuma parte de A deve estar dentro de B logo a única forma de representálos é em dois conjuntos separados 323 Algum A é B Neste caso uma parte de A deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente a interseção entre os conjuntos A e B e a não convencional no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A é comum ao conjunto B Observação Vale ressaltar que se Todo A é B então existe Algum A que é B isso significa que a expressão Algum A é B também pode ser representada pelos dois casos B A Forma mais empregada A B Forma não convencional A B Forma mais empregada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 63 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 descritos no item 321 entretanto como esta representação é análoga a Todo A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 324 Algum A não é B Neste caso uma parte de A não deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente que uma parte de A não está dentro de B esta representação é análoga a primeira forma de representar Algum A é B sendo assinalado a região que está fora de B e não na interseção entre A e B A forma não convencional é aquela no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A não é comum ao conjunto B esta parte é aquela que está fora de B Observação Vale ressaltar que se Nenhum A é B então existe Algum A que não é B isso significa que a expressão Algum A não é B também pode ser representada pelo caso descrito no item 322 entretanto como esta representação é análoga a Nenhum A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 33 Exemplos Resolvidos Vejamos alguns exemplos de exercícios que envolvem as operações lógicas mas que podem ser resolvidos através do uso de diagramas 331 Todo A é B Todos os bons estudantes são pessoas aplicadas Assim sendo quantas das afirmações abaixo são necessariamente verdadeiras I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 64 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 5 I III VI VII e XI Serão representados os conjuntos Bons Estudantes e Pessoas Aplicadas pela forma mais empregada e também pela forma não convencional isso porque o exemplo pergunta a respeito das afirmações necessariamente verdadeiras devem satisfazer ambas as formas de representação e não daquelas que podem ser eventualmente verdadeiras satisfaz uma das formas de representação pois neste caso haveria mais afirmações verdadeiras as afirmações II VIII IX e X Dizer que todos os bons estudantes são pessoas aplicadas equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas aplicadas acharemos todos os bons estudantes Logo Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante Verdadeiro bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira 65 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas Falso A 1ª representação fura esta afirmação III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes Verdadeiro IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa 66 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada Verdadeiro VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante Verdadeiro VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante Falso A 1ª representação fura esta afirmação IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso A 1ª representação fura esta afirmação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira Pessoas aplicadas bons estudantes bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 67 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante Falso A 2ª representação fura esta afirmação XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Verdadeiro Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações ela seja verdadeira 332 Todo A é B e Nenhum C é B Todo contador gosta de lógica Nenhum psicólogo gosta de lógica Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Algum contador é psicólogo II Nenhum contador é psicólogo III Alguém que não é contador é psicólogo IV Alguém que não é contador não é psicólogo V Todo aquele que não é contador não é psicólogo VI Todo aquele que não é contador é psicólogo VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 68 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 6 II III IV VIII IX e X Serão representados os conjuntos Contador Gosta de lógica e Psicólogos apenas pela forma mais empregada isso porque todas as afirmações do exemplo relacionam os conjuntos Contador ou Gosta de lógica com o conjunto Psicólogos não sendo necessário analisar afirmações que relacionam os conjuntos Contador e Gosta de lógica De acordo com o enunciado o conjunto Contador está totalmente dentro do conjunto Gosta de lógica pois Todo contador gosta de lógica O conjunto Psicólogos está completamente fora do conjunto Gosta de lógica pois Nenhum psicólogo gosta de lógica Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Algum contador é psicólogo Falso II Nenhum contador é psicólogo Verdadeiro Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo 69 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 III Alguém que não é contador é psicólogo Verdadeiro IV Alguém que não é contador não é psicólogo Verdadeiro V Todo aquele que não é contador não é psicólogo Falso Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa 70 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Todo aquele que não é contador é psicólogo Falso VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga Falso VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga Verdadeiro IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga Verdadeiro Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 71 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo Verdadeiro 333 Algum A é B e Nenhum C é B Alguns administradores atuam em marketing Nenhum advogado atua em marketing Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Alguns administradores são advogados II Alguns administradores não são advogados III Todo administrador é advogado IV Todo advogado é administrador V Nenhum administrador é advogado VI Nenhum advogado é administrador VII Alguns advogados são administradores VIII Alguns advogados não são administradores IX Pode existir algum advogado que é administrador X Pode existir algum advogado que não é administrador Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II IX e X Serão representados os conjuntos Administradores Atuam em marketing e Advogados apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo De acordo com o enunciado os conjuntos Administradores e Atuam em marketing possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Alguns administradores atuam em marketing O conjunto Advogado está completamente fora do conjunto Atuam em marketing pois Nenhum advogado atua em marketing Será designada a palavra Advogado por A Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 72 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que são válidas três hipóteses O conjunto Advogado completamente dentro do conjunto Administrador parcialmente dentro do conjunto Administrador e completamente fora do conjunto Administrador Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguns administradores são advogados Falso Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 73 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II Alguns administradores não são advogados Verdadeiro III Todo administrador é advogado Falso IV Todo advogado é administrador Falso Verdadeira Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa Administrador A A A Marketing Falsa 74 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 V Nenhum administrador é advogado Falso VI Nenhum advogado é administrador Falso VII Alguns advogados são administradores Falso VIII Alguns advogados não são administradores Falso Administrador A A A Marketing Falsa Falsa Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 75 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IX Pode existir algum advogado que é administrador Verdadeiro X Pode existir algum advogado que não é administrador Verdadeiro 334 Algum A é B e Todo C é B Algum Homem é Caridoso Todo Religioso é Caridoso Sabese que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras Administrador A A A Marketing Falsa Verdadeira Administrador A A A Marketing Verdadeira Administrador A A A Marketing 76 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 I Algum Homem é Religioso II Pode existir algum Homem que é Religioso III Algum Homem não é Religioso IV Algum Religioso é Homem V Algum Religioso não é Homem VI Todo Homem é Religioso VII Todo Religioso é Homem VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem IX Nenhum Homem é Religioso X Nenhum Religioso é Homem Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II III e VIII Serão representados os conjuntos Homens Caridosos e Religiosos apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo O fato de que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso implica que estes dois conjuntos não podem ser iguais devendo ser excluída esta hipótese Esta condição é fundamental para que a afirmação II seja verdadeira pois se ela não existisse valeria a hipótese de que todos os conjuntos são iguais o que invalidaria esta afirmação Os conjuntos Homens e Caridosos possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Algum Homem é Caridoso O conjunto Religioso está completamente dentro do conjunto Caridoso pois Todo Religioso é Caridoso Será designado a palavra Religioso por R Há 3 hipóteses O conjunto Religioso totalmente dentro do conjunto Homem parcialmente dentro do conjunto Homem e totalmente fora do conjunto Homem Cada afirmação será analisada da seguinte forma Homem R R R Caridoso 77 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir ou Pode Acontecer para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações seja verdadeira I Algum Homem é Religioso Falso II Pode existir algum Homem que é Religioso Verdadeiro III Algum Homem não é Religioso Verdadeiro Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Verdadeira Homem R R R Caridoso 78 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IV Algum Religioso é Homem Falso V Algum Religioso não é Homem Falso VI Todo Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa 79 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VII Todo Religioso é Homem Falso VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem Verdadeiro IX Nenhum Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Homem R R R Caridoso Falsa 80 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Nenhum Religioso é Homem Falso 335 Condição necessária ou suficiente Se chove então faz frio Assim sendo a Chover é condição necessária para fazer frio b Fazer frio é condição suficiente para chover c Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio d Chover é condição suficiente para fazer frio e Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover Solução A resposta correta é a alternativa D Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e suficiência e às relações destes conceitos com as proposições condicionais Numa proposição condicional Se A então B a ocorrência de A implica obrigatoriamente a ocorrência de B Então dizemos que A é uma condição suficiente para a ocorrência de B ou que A é suficiente para B Sabemos que a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A sem a ocorrência de B certamente A também não ocorreria Por este motivo dizemos que B é uma condição necessária para a ocorrência de A ou que B é necessária para A Portanto Chuva é condição suficiente para fazer frio e que Frio é condição necessária para chover Para finalizar seu estudo resolva os Exercícios 14 e 15 e o Exercício Pontuado 31 Homem R R R Caridoso Falsa 81 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 REFERÊNCIAS ANDRADE Primo Nunes de Elementos de lógica Rio de Janeiro 1972 CURY Márcia Xavier Introdução à Lógica São Paulo Érica 1996 DAGHLIAN Jacob Lógica e álgebra de Boole 4 ed São Paulo Atlas 1995 DUARTE Heron Márcio Ferreira Raciocínio Lógico e Quantitativo Brasília Ativa 1999 GONZALEZ Norton Questões de Raciocínio Lógico Quantitativo e Analítico Rio de Janeiro Moderna 2009 JACOB Daghlian Lógica e Álgebra de Boole São Paulo Saraiva 1995 KELLER Vicente BASTOS Cleverson Leite Aprendendo lógica 8 ed Rio de Janeiro Vozes 2000 KLEENE Stephen Cole Introducción a la metamatemática Madrid Tecnos 1974 LIMA Arlete Cerqueira Lógica Linguagem Salvador Centro Editorial e Didático da UFBA 1993 LOCIKS Júlio Raciocínio Lógico e Matemático Brasília Vestcon Editora 2002 MORGADO Augusto C CESAR Benjamin Raciocínio LógicoQuantitativo Série Provas e Concursos 4 ed São Paulo Campus 2009 MORTARI Cezar Augusto Introdução à lógica Franca SP Ed UNESP 2001 OLIVEIRA Marcos Barbosa de O cálculo proposicional Marília Ed UNESP 1983 PINTO Mario Elementos básicos de lógica Belo Horizonte UCMG 1981 Cadernos UCMG 8 PINTO Paulo Roberto Margutti Introdução à lógica simbólica Belo Horizonte UFMG 2006 SÁ Ilydio Pereira Raciocínio Lógico Concursos PúblicosFormação de Professores Rio de Janeiro Moderna 2008 SMULLYAN Raymond O enigma de Sherazade e outros incríveis problemas das mil e uma noites à lógica moderna Rio de Janeiro Jorge Zahar Editor 1998 TAHAN Malba O Homem que calculava 18 ed Rio de Janeiro Ed Record 2001 Curso de Graduação a Distância Lógica II 4 créditos 80 horas Autor Elvézio Scampini Junior Flores Universidade Católica Dom Bosco Virtual wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Missão Salesiana de Mato Grosso Universidade Católica Dom Bosco Instituição Salesiana de Educação Superior Chanceler Pe Ricardo Carlos Reitor Pe José Marinoni PróReitora de Graduação e Extensão Profa Rúbia Renata Marques Diretor da UCDB Virtual Prof Jeferson Pistori Coordenadora Pedagógica Profa Blanca Martín Salvago Direitos desta edição reservados à Editora UCDB Diretoria de Educação a Distância 67 33123335 wwwvirtualucdbbr UCDB Universidade Católica Dom Bosco Av Tamandaré 6000 Jardim Seminário Fone 67 33123800 Fax 67 33123302 CEP 79117900 Campo Grande MS SCAMPINI JUNIOR Elvézio Flores Lógica II Elvézio Scampini Júnior Flores 2 ed rev e atual Campo Grande UCDB 2022 80 p Palavraschave 1 Lógica 2 Raciocínio 3 Boole 4 Dedução 0223 3 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 APRESENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Este material foi elaborado pelo professor conteudista sob a orientação da equipe multidisciplinar da UCDB Virtual com o objetivo de lhe fornecer um subsídio didático que norteie os conteúdos trabalhados nesta disciplina e que compõe o Projeto Pedagógico do seu curso Elementos que integram o material Critérios de avaliação são as informações referentes aos critérios adotados para a avaliação formativa e somativa e composição da média da disciplina Quadro de Controle de Exercícios tratase de um quadro para você organizar a realização e envio dos exercícios virtuais Você pode fazer seu ritmo de estudo sem ul trapassar o prazo máximo indicado pelo professor Conteúdo Desenvolvido é o conteúdo da disciplina com a explanação do professor sobre os diferentes temas objeto de estudo Indicações de Leituras de Aprofundamento são sugestões para que você possa aprofundar no conteúdo A maioria das leituras sugeridas são links da Internet para facilitar seu acesso aos materiais Atividades Virtuais atividades propostas que marcarão um ritmo no seu estudo assim como as datas de envio encontramse no Ambiente Virtual de Aprendizagem Como tirar o máximo de proveito Este material didático é mais um subsídio para seus estudos Consulte outros conteúdos e interaja com os outros participantes Portanto não se esqueça de Interagir com frequência com os colegas e com o professor usando as ferramentas de comunicação e informação do Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Usar além do material em mãos os outros recursos disponíveis no AVA aulas audiovisuais vídeoaulas fórum de discussão fórum permanente de cada unidade etc Recorrer à equipe de tutoria sempre que precisar orientação sobre dúvidas quanto a calendário exercícios ferramentas do AVA e outros Ter uma rotina que lhe permita estabelecer o ritmo de estudo adequado a suas necessidades como estudante organize o seu tempo Ter consciência de que você deve ser sujeito ativo no processo de sua aprendizagem contando com a ajuda e colaboração de todos 4 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Objetivo Geral Desenvolver nos alunos o conhecimento sobre a lógica matemática e o raciocínio dedutivo lógico através de sistemas e problemas lógicomatemáticos Definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência através dos critérios da lógica Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos SUMÁRIO UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO 11 11 Problemas e Desafios Lógicos 11 12 Metodologia 14 13 Problemas da Verdade e da Mentira 25 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS 36 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos 36 22 Operações Lógicas sobre Proposições 38 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole 49 24 Demonstrações das Propriedaes 57 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN 61 31 Histórico 61 32 Representações de Diagramas 61 33 Exemplos Resolvidos 63 REFERÊNCIAS 81 Avaliação A UCDB Virtual acredita que avaliar é sinônimo de melhorar isto é a finalidade da avaliação é propiciar oportunidades de açãoreflexão que façam com que você possa aprofundar refletir criticamente relacionar ideias etc A UCDB Virtual adota um sistema de avaliação continuada além das provas no final de cada módulo avaliação somativa será considerado também o desempenho do aluno ao longo de cada disciplina avaliação formativa mediante a realização das atividades Todo o processo será avaliado pois a aprendizagem é processual 5 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para que se possa atingir o objetivo da avaliação formativa é necessário que as atividades sejam realizadas criteriosamente atendendo ao que se pede e tentando sempre exemplificar e argumentar procurando relacionar a teoria estudada com a prática As atividades devem ser enviadas dentro do prazo estabelecido no calendário de cada disciplina Critérios para composição da Média Semestral Para compor a Média Semestral da disciplina levase em conta o desempenho atingido na avaliação formativa e na avaliação somativa isto é as notas alcançadas nas diferentes atividades virtuais e na prova da seguinte forma Somatória das notas recebidas nas atividades virtuais somada à nota da prova dividido por 2 Média Semestral Somatória Atividades Virtuais Nota da Prova 2 Assim se um aluno tirar 7 nas atividades e tiver 5 na prova MS 7 5 2 6 Atenção o aluno pode conseguir um ponto adicional Engajamento na nota das atividades virtuais Para ganhar o ponto do engajamento o estudante terá que percorrer todo o material didático da disciplina material textual e assistir a todos os vídeos fazer todos os Exercícios e enviar todas as atividades Antes do lançamento desta nota final será divulgada a média de cada aluno dando a oportunidade de que os alunos que não tenham atingido média igual ou superior a 70 possam fazer a Recuperação das Atividades Virtuais Se a Média Semestral for igual ou superior a 40 e inferior a 70 o aluno ainda poderá fazer o Exame Final A média entre a nota do Exame Final e a Média Semestral deverá ser igual ou superior a 50 para considerar o aluno aprovado na disciplina Assim se um aluno tirar 6 na Média Semestral e tiver 5 no Exame Final MF 6 5 2 55 Aprovado 6 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 FAÇA O ACOMPANHAMENTO DE SEUS EXERCÍCIOS Coloque na segunda coluna o prazo em que deve ser enviado o exercício consulte o calendário disponível no ambiente virtual de aprendizagem Coloque na terceira coluna o dia em que você enviou o exercício AVALIAÇÃO PRAZO DATA DE ENVIO Exercício Pontuado 1 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 2 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 3 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 4 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 5 Ferramenta Questionário 7 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 BOAS VINDAS Prezados acadêmicos quero dar as boas vindas espero que tenhamos um bom convívio durante este semestre de aula e que possamos juntos construir laços de empatia de modo a que nos sintamos extremamente à vontade para expor opiniões dúvidas questionamentos angústias etc Da minha parte farei o possível para colaborar no aprendizado e na formação de cada um de vocês com esse objetivo foram elaboradas várias aulas audiovisuais nesta disciplina material este que irá ajudar e muito no bom entendimento e na compreensão de todo o conteúdo Há duas vantagens principais conferidas pelo estudo da lógica Primeiro o indivíduo com conhecimento de lógica tem mais facilidade em organizar e apresentar suas ideias Ele distingue entre o essencial e o não essencial usando raciocínio claro e coerente para transmitir suas conclusões às outras pessoas Segundo a lógica facilita a análise das ideias apresentadas por outros O não iniciado frequentemente se perde em argumentos complexos e mesmo em casos mais simples confunde as premissas e as conclusões rejeitando ou aceitando argumentos através de reações não bem refletidas Se possível conto com a colaboração de vocês no que diz respeito ao acompanhamento da disciplina isto é não deixem para estudar todo o conteúdo de última hora mas procurem sim estar encaminhando os exercícios nos prazos estabelecidos isso será de grande importância para um bom desempenho e um resultado excelente ao final do semestre Atenciosamente 8 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Préteste A finalidade deste préteste é fazer um diagnóstico quanto aos conhecimentos prévios que você já tem sobre os assuntos que serão desenvolvidos nesta disciplina Não fique preocupado com a nota pois não será pontuado 1 Para fazer uma viagem Rio de Janeiro São Paulo Rio de Janeiro é possível usar como meio de transporte trem ônibus ou avião De quantos modos diferentes é possível escolher os meios de transporte se não se deseja usar na volta o mesmo meio de transporte utilizado na ida a 3 b 5 c 6 d 9 2 Em um campeonato de futebol cada equipe recebe dois pontos por vitória um ponto por empate e zero ponto por derrota Sabendo que ao final do campeonato cada equipe disputou 40 partidas e que uma determinada equipe obteve 24 pontos o número mínimo de derrotas sofridas por essa equipe foi a 15 b 16 c 24 d 28 3 Qual é a próxima palavra da sequência camiseta amor beleza acetona salada abacaxi mágico americano a natureza b maionese c basquete d publicação 4 Você é o professor de cinco alunos e eles colocamse a sua frente para receber uma série de exercícios Tente nomeálos da esquerda para a direita de acordo com as informações 1 Amauri está entre Marcelo e Lucas 2 Geraldo está à esquerda de Jeferson 3 Marcelo não está ao lado de Geraldo 4 Geraldo não está ao lado de Jeferson A sequência correta é a Geraldo Lucas Marcelo Amauri e Jeferson b Marcelo Jeferson Amauri Lucas Geraldo c Geraldo Jeferson Lucas Amauri Marcelo d Lucas Geraldo Amauri Jeferson Marcelo 5 A sequência 5 13 25 41 X 85 obedece a uma regra lógica O termo X dessa série é a 51 b 57 c 61 d 69 6 Movendose palitos de fósforo na figura I é possível transformála na figura II o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é 9 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a 1 b 2 c 3 d 4 7 O casal Silva tem vários filhos Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos Quantos filhos e filhas há na família a 12 b 10 c 9 d 7 8 Em uma estante há 10 livros cada um com 100 folhas Uma traça faminta come desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro Quantas folhas a traça faminta comeu a 802 b 998 c 1000 d 1018 9 Seu professor de Geometria pede para você calcular um lado de um triângulo escaleno usando a lei dos cosenos Qual das respostas abaixo não pode ser a correta a 7 b 00005 c d 127 10 Em um certo verão uma fábrica de sorvetes realizou uma promoção que previa a troca de dez palitos de sorvete por um sorvete de palito Nessa promoção um palito de sorvete corresponde a que fração do preço de um sorvete a 19 b 110 c 111 d 210 Submeta o Préteste por meio da ferramenta Questionário 10 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 INTRODUÇÃO Na presente disciplina serão apresentados diversos problemas motivando o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo e uma das suas finalidades se deve ao fato de que o prazer de ultrapassar desafios leva ao amadurecimento do estudante que acaba levando para toda a sua vida e para as demais disciplinas que serão estudadas no curso Na Unidade 1 será abordada a resolução de problemas e desafios lógicos Esses problemas foram retirados principalmente dos testes da Associação Nacional de Pós Graduação e Pesquisa em Administração ANPAD1 criados em 1987 Tratase de um exame nacional que avalia os conhecimentos das línguas portuguesa e inglesa e as habilidades em raciocínios lógico quantitativo e analítico Esse exame tem sido utilizado por diversas instituições como parte dos processos de seleção de cursos de pósgraduação stricto sensu e de cursos profissionalizantes de Administração Ciências Contábeis e áreas afins além de requisito básico em processos seletivos de diversas organizações Para simplificar foi escolhido como eixo o teste ANPAD pela beleza dos problemas apresentados entretanto também serão resolvidos problemas que caíram em diversos concursos públicos bem como exercícios interessantes de sites em geral Na unidade 2 será abordada a Álgebra de Boole aqui denominada por operações lógicas Assim teremos a oportunidade de definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência por meio dos critérios da lógica Na Unidade 3 serão apresentados os diagramas de Venn com objetivo de complementar os conhecimentos tratados na unidade anterior mas como uma visão espacial sendo utilizada para isso a Teoria de Conjuntos 1 Ver site httpwwwanpadorgbr 11 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO OBJETIVO DA UNIDADE Ensinar Matemática por meio de desafios despertando o interesse a curiosidade e o raciocínio lógico Desenvolver a criatividade aumentando a atenção e a concentração do aluno 11 Problemas e Desafios Lógicos Iniciaremos este texto com uma breve citação de um dos matemáticos que deu significado ao estudo da Lógica Segundo Polya 1944 Uma grande descoberta resolve um grande problema mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta Experiências tais numa idade suscetível poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a marca na mente e no caráter 111 A quem interessa a lógica Em primeiro lugar lógica não é psicologia no que diz respeito a ensinar como pensar Ela não descreve o que as pessoas pensam ou como uma pessoa chega a uma determinada conclusão o que ela faz é sugerir uma linha de pensamento de modo a colaborar a raciocinar corretamente sugerindo etapas lógicas que facilitam a determinação de uma resposta deste modo ela sugere caminhos que uma pessoa deve seguir para alcançar conclusões corretas A lógica se relaciona com todo pensamento ela é fundamental para todas as áreas e qualquer formação e isso não inclui apenas a matemática mas pode auxiliar em qualquer disciplina relacionada à filosofia engenharia direito contabilidade administração entre outras O estudo da lógica interessa a todos No dia a dia vivemos constantemente argumentando ora tentando convencer os outros de nossas conclusões ora sendo levados a concordar com nossos interlocutores 12 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 112 Método Dedutivo Vamos iniciar procurando compreender o conceito da dedução lógica para então utilizarmos o seu exercício O método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinadas premissas que são as verdades absolutas num problema Essencialmente os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar conclusões que devem necessariamente ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras bem como se o raciocínio respeita uma forma lógica válida Talvez o veículo que mais tenha contribuído para tornar famoso o método dedutivo foi a literatura popular com as publicações das obras de Sir Arthur Conan Doyle no qual o seu personagem principal o detetive Sherlock Holmes conseguia resolver casos mirabolantes através do método da dedução lógica2 Esse personagem também foi adaptado para o cinema algumas vezes alcançando diversos fãs3 Vale ressaltar que Doyle demonstrou que toda dedução lógica uma vez explicada tornase infantil pois a conclusão provoca espanto e admiração apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento investigativo ainda são desconhecidos Note que essa ideia é similar a empregada por George Pólya considerado por muitos o pai do raciocínio lógico que formulou as quatro etapas essenciais para a resolução de problemas 1ª etapa Compreender o problema 2ª etapa Traçar um plano 3ª etapa Colocar o plano em prática 4ª etapa Comprovar os resultados 113 Raciocínio Lógico O raciocínio lógico é uma ferramenta indispensável para a realização de muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas pois é fundamental para a estruturação do pensamento na resolução de problemas Se nos mantivermos atentos por exemplo unicamente às mensagens publicitárias que enchem as ruas e invadem nossas casas já teremos muitas oportunidades para exercícios de raciocínio lógico Quer ver A história abaixo confirma essa necessidade 2 Alguns romances policiais publicados pelo autor Um estudo em vermelho 1887 O signo dos quatro 1890 O cão dos Baskervilles 1902 O vale do Terror 1915 3 Sugiro assistir a alguns filmes envolvendo o personagem Sherlock Holmes tais como O enigma da pirâmide de 1985 Sherlock Holmes de 2009 Sherlock Holmes O jogo de sombras de 2011 13 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Problema Motivacional Segundo a tradição da tribo logicaetês ao atingirem a idade adequada para o casamento os homens devem submeterse a uma prova de competência lógica Somente os que superam este obstáculo têm permissão para casarse A prova é sempre decisiva vencêla é a certeza da glória perdêla significa o fim das esperanças Totelesáris um jovem índio desta tribo caiu de amores pela bela Masófis Desejando casarse com ela viu chegar a sua vez de enfrentar a prova prénupcial A ele foi proposto o seguinte desafio Baseado na resposta de um desses guardas Totelesáris deverá decidirse por uma das cabanas Como ele deve proceder para não ser devorado pelos jacarés Que pergunta ele deve fazer a um dos índios para ter certeza de que cairá nos braços de Masófis Parece que não há mesmo saída não é mesmo No entanto você pode estar certo de que é possível encontrar a cabana de Masófis fazendo uma só pergunta a um dos guardas mesmo sem saber se este guarda diz a verdade ou mente Vamos raciocinar juntos e ajudar Totelesáris a se livrar dos dentes dos jacarés Comecemos chamando de M o índio mentiroso e de V o índio que só diz a verdade Se perguntássemos a qualquer um deles Em que cabana se encontra Masófis M mentiria indicando a caba errada e V indicaria a cabana certa Mas como descobrir quem está falando a verdade Por esse caminho não chegaremos a nenhuma conclusão afinal não sabemos distinguir o índio que mente do índio que só fala a verdade No meio da aldeia há duas cabanas rigorosamente idênticas Dentro de uma delas o espera Masófis A outra no entanto apenas recobre um poço habitado por jacarés ferozes capazes de devorar qualquer um que ultrapasse a entrada Cada cabana tem apenas uma porta permanentemente fechada e vigiada por um índio que conhece perfeitamente o conteúdo da cabana que vigia Totelesáris deve escolher uma das cabanas e entrar se encontrar a sua amada poderá casarse com ela se entrar na dos jacarés será devorado instantaneamente Antes de realizar sua escolha ele terá permissão de fazer uma única pergunta ao índio que guarda a porta de uma das cabanas Mas Totelesáris deve ainda levar em conta outro pormenor um dos guardas mente sempre enquanto o outro só fala a verdade 14 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 E se fizéssemos a seguinte pergunta a cada um deles Se eu perguntasse ao seu colega qual a cabana de Masófis o que ele responderia Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V indicaria corretamente a cabana de Masófis M mentiria dizendo que V indicou a cabana dos jacarés deste modo a cabana indicada seria a dos jacarés 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria indicando a cabana dos jacarés V responderia a verdade indicando a mesma cabana apontada pelo mentiroso a dos jacarés afinal V não pode mentir então manteria a versão mentirosa de M Ora vejam só Fazendo essa pergunta a qualquer um dos guardas obteremos sempre uma única indicação a cabana dos jacarés É lógico então que Totelesáris deverá entrar na outra cabana para encontrar sua Masófis Este desafio então já foi vencido Veja que usando o raciocínio lógico poupamos Totelesáris de ser devorado pelos jacarés Mas e se o desafio fosse descobrir qual dos índios sempre mente e qual deles sempre diz a verdade que pergunta deveria ser feita Utilizando a mesma linha de raciocínio Totelesáris poderia fazer a seguinte pergunta a qualquer um dos índios Se eu perguntasse para o seu colega se ele fala a verdade ele responderia que sim ou que não Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V responderia que sim eu falo a verdade M responderia o contrário ou seja ele mentiria dizendo que V responderia que NÃO 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria respondendo que sim eu falo a verdade ou seja o contrário de sua realidade V responderia exatamente a mesma resposta que recebeu pois dizendo a verdade ele deve dizer o que ouviu respondendo portanto que SIM Deste modo Totelesáris saberia que se a resposta fosse NÃO então o índio na qual a pergunta foi feita é o mentiroso entretanto se a resposta fosse SIM esse índio seria aquele que fala a verdade 12 Metodologia Para desenvolver o raciocínio é fundamental permitir que você leitor escolha livremente o método caminho que deseja utilizar afinal a explicação prévia para um problema de raciocínio lógico retira a possibilidade de alguém pensar por si mesmo 15 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 aumentando as chances de você apresentar grandes dificuldades para resolver os próximos problemas Deste modo este material será composto por poucos problemas contendo uma resolução detalhada por escrito entretanto será apresentada uma série de exercícios propostos cuja solução será disponibilizada através de videoaulas sendo sugerido que você tente resolver antes de acessar ao vídeo contendo a resolução Como sugestão de etapas para uma melhor metodologia para resolver um problema sugerese primeiramente a realização de uma leitura detalhada dos enunciados dos exercícios para em seguida iniciar o processo de busca da solução Quando esta não é atingida é necessária uma leitura mais atenta para que você possa identificar algum detalhe que não foi percebido anteriormente e assim chegar à solução mais adequada Usando essa metodologia na resolução de exercícios de raciocínio você pode estruturar e dar ordem ao seu pensamento conseguindo atingir um nível de abstração mais elevado Pensando nesta metodologia sugiro mais uma vez que você tente resolver os problemas a seguir antes de consultar a explicação do problema ATENÇÃO Todos os exemplos contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e à mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 1 Confusão com os professores Ramirez aprontou uma baita confusão trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Júlio Márcio e Roberto Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio Portanto a Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio b Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio c Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto d Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto e O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio 16 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução Neste tipo de problema em que cada informação está sendo subdividida aconselhase a montagem de uma tabela para se ter uma visão melhor dos dados fornecidos no enunciado Veja NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO Lembrese que Ramirez aprontou uma baita confusão trocando as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores ficando cada um deles com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro logo nenhum deles possui um objeto próprio O enunciado ainda informa que o que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio então se faça a seguinte pergunta Qual é o único professor que poderia ter ficado com este material ou seja ter ficado com algo de Márcio e de Roberto Acertou quem respondeu Roberto Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Pensando no material que está com o professor Júlio podemos deduzir que não é a caixa de giz do professor Márcio afinal este material está com o Roberto Deste modo como Júlio deve ter em mãos algo do Márcio este só pode ser suas papeletas de aula assim sendo como Júlio também deve ter algo do Roberto este só poderia ser sua caixa de giz Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Por dedução Márcio só poderia ter ficado com a caixa de giz do Júlio afinal é a única caixa de giz que ainda não foi descoberta e a papeletas de aula do Roberto pelo mesmo motivo Deste modo podemos finalizar nossa tabela 17 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO JÚLIO ROBERTO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Analisando as alternativas concluise que a correta é a A Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio Observação O recurso que foi utilizado neste problema que é a montagem de uma tabela pode ser usado em muitos outros basta perceber a necessidade de se ter uma visão melhor dos dados do enunciado Exemplo 2 Teste de Admissão Uma empresa estava contratando um novo funcionário e uma das provas da seleção era responder à seguinte questão por escrito Você está dirigindo seu carro numa perigosa noite de tempestade Passa por um ponto de ônibus e vê três pessoas esperando por ele Uma velha senhora que parece estar à beira da morte Um médico que salvou sua vida no passado A pessoa que habita seus sonhos Você só pode levar uma pessoa no carro Quem você escolheria Justifique sua resposta Comentário Este teste é bem interessante É um tipo de teste de personalidade em que cada resposta possível tem um significado Você poderia pegar a velha senhora que estava para morrer Ficaria com a consciência tranquila Ou você pegaria o médico porque ele salvou sua vida no passado e esta seria a chance perfeita para retribuir este favor No entanto você ainda poderia saldar esta dívida em outra ocasião mas talvez não pudesse encontrar mais o amor da sua vida se deixasse passar essa chance Observe quantas variáveis estão presentes nesta decisão Solução A melhor alternativa frente a este problema é Entregar a chave do carro para o médico deixálo levar a velha senhora para o hospital e ficar esperando pelo ônibus com a pessoa dos meus sonhos Conclusão Às vezes ganharíamos muito mais se estivéssemos dispostos a abrir mão de nossas teimosas limitações Pense nisso 18 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 3 Escolha de Sapatos Há dez pares de sapatos vermelhos dez pares de sapatos azuis dez pares de sapatos brancos e dez pares de sapatos verdes numa gaveta Com base nessas informações responda as duas perguntas abaixo Problema 1 Se você introduzir a mão na gaveta no escuro qual é o menor número de sapatos que você tem que tirar para ter a certeza de que tirou dois sapatos da mesma cor Lembrese que está tudo escuro isto é você não pode contar com a sorte Problema 2 E para ter a certeza de que tirou um par esquerda e direita da mesma cor Solução Esse problema envolve uma teoria denominada Princípio da Casa dos Pombos4 PCP Para ter a certeza de que você tirou dois sapatos da mesma cor são necessárias cinco retiradas Note que se você tirar até quatro sapatos nada garante que você já tirou dois sapatos da mesma cor pois os quatro sapatos poderiam ter cores diferentes entretanto se você retirar mais um sapato certamente ele será de alguma cor que já apareceu anteriormente logo a resposta é cinco A quinta cor terá que combinar com uma das quatro já retiradas Aplicando o PCP note que há quatro cores diferentes isto é 4 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 5 pombos ou seja cinco sapatos Para ter a certeza de que você tirou um par de sapatos da mesma cor são necessárias quarenta e uma retiradas Imagine que pode acontecer de você retirar sapatos de um mesmo lado de cada uma das cores ou seja você por uma grande obra do acaso retira todos os sapatos do lado esquerdo isso totalizaria até 40 possibilidades e você ainda não teria 4 Retirado do site httpsptwikipediaorgwikiPrincC3ADpiodacasadospombos O Princípio do Pombal ou Princípio da Casa dos Pombos PCP é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas e se n m isto é se houver mais pombos do que casas então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo Matematicamente falando isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de outro conjunto B então uma função de A em B não pode ser injetiva É também conhecido como Teorema de Dirichlet ou Princípio das Gavetas de Dirichlet pois se supõe que o primeiro relato deste princípio foi feito por Dirichlet em 1834 com o nome de Schubfachprinzip Princípio das Gavetas O Princípio do Pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito Embora se trate de uma evidência extremamente elementar o princípio é útil para resolver problemas que pelo menos à primeira vista não são imediatos Para aplicálo devemos identificar na situação dada quem faz o papel dos objetos pombos e quem faz o papel das gavetas casas 19 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 retirado um par esquerda e direita da mesma cor mas se você retirar mais um com certeza esse fará par com alguma cor anterior Aplicando o PCP note que há quarenta sapatos de um mesmo lado isso considerando que há dez sapatos de um mesmo lado de cada cor e são quatro cores diferentes isto é 40 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 41 pombos ou seja quarenta e um sapatos Esse número para ser excessivo mas lembrese de que não podemos contar com a sorte em hipótese alguma por isso é melhor imaginar que você é uma pessoa azarada e que precisa do máximo de chances para se ter a certeza de algo Esse máximo será o mínimo proposto pelo problema Esse problema é bem mais simples mas ainda assim muitos diriam que é necessário retirar 61 sapatos o que na verdade é um grande absurdo pois seriam 61 sapatos caso o problema pedisse para retirar pelo menos um sapato de cada cor e 71 caso o objetivo fosse o de retirar pelo menos um par de sapatos de cada cor Neste tipo de problema pense sempre na pior possibilidade pois é este raciocínio que vai garantir o número mínimo de possibilidades necessárias para se alcançar um determinado objetivo Exemplo 4 Floresta com um milhão de árvores Uma floresta tem um milhão de árvores Nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa Podese afirmar que a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta b Somente por acaso haverá árvores com copas de igual total de folhas na floresta c Certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa d O número médio de folhas nas copas é de 150 mil e Nada do que foi dito pode ser concluído dos dados apresentados Solução A resposta correta é a alternativa A Vamos tentar imaginar uma floresta sem ter árvores de igual número de folhas ou seja árvores com copas de diferentes totais de folhas Teremos então 300001 tipos diferentes de copas de árvore uma copa nula sem nenhuma folha outra só com 1 folha outra com 2 folhas outra com 299999 folhas e finalmente uma com 300000 folhas limite 20 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 apresentado pelo enunciado Note que foram descritas todas as possibilidades de 0 a 300000 folhas Para até 300001 árvores poderemos encontrar copas distintas Se considerarmos uma árvore além dessas ela só poderá ter uma das seguintes copas com 0 folha ou com 1 folha ou com 2 folhas ou com 300000 folhas A repetição é inevitável Teremos assim pelo menos 1000000 300001 699999 árvores com copas que repetem o número de folhas de outras árvores obrigatoriamente Por isso a resposta é a alternativa a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta Uma resposta muito comum é a c que seria errada O engano que leva tantas respostas para uma alternativa errada é o de considerar que nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa leva à conclusão de que certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa Na verdade se todas as copas tivessem 300 mil folhas elas estariam dentro da condição proposta pelo enunciado mesmo que essa ocorrência fosse muito improvável ainda assim é possível por isso ela deve ser considerada Esse problema também envolve o Princípio da Casa dos Pombos PCP se tivermos mais pombos do que casas para abrigálos algumas casas terão necessariamente de ser compartilhadas por mais de um pombo Exemplo 5 Que número João pensou João e um grupo de amigos gostam de se reunir para fazer jogos de adivinhação Numa dessas reuniões João pensa em um número com quatro algarismos distintos e informa ao grupo que esse número obedece às seguintes condições não tem algarismos em comum com 3658 tem três algarismos em comum com 6194 tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Com essas informações o grupo já sabe qual é o número escolhido por João Agora é a sua vez qual foi o número escolhido por João Solução Para resolver este problema escreveremos todos os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 para em seguida analisarmos cada uma das condições 1ª condição Não tem algarismos em comum com 3658 Com esta informação se elimina os números 3 6 5 e 8 Sobram então 0 1 2 4 7 9 2ª condição Tem três algarismos em comum com 6194 Como o algarismo 6 já foi eliminado necessariamente 1 9 e 4 são algarismos do número pensado mas ainda falta um algarismo Observe que já estamos muito próximos da resposta 0 1 2 4 7 9 3ª condição Tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições Lembrando que os algarismos 9 e 4 já pertencem ao número pensado e nesta informação só há 2 algarismos em comum então podemos deduzir que os outros dois algarismos 3 e 0 não pertencem ao número pensado deste modo podemos eliminálos 1 2 4 7 9 Essa condição também informa que os dois algarismos comuns ocupam as mesmas posições logo o algarismo 9 ocupa a casa das centenas como em 3940 e o 4 ocupa o das dezenas como em 3940 Não sabemos ainda que posição ocupa o algarismo 1 outro algarismo comum já descoberto anteriormente Para o último algarismo restam apenas duas opções 2 ou 7 1 2 4 dezena 7 9 centena 4ª condição Tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Já sabíamos que o algarismo 1 era comum e como nesta informação há apenas um algarismo em comum então só pode ser o 1 Deste modo podemos descartar o algarismo 7 caso contrário haveria dois algarismos em comum Sobraram então 1 2 4 dezena 9 centena A condição ainda informa que a posição do algarismo comum nos dois números é diferente logo o algarismo 1 não pode ser a unidade como em 7831 sendo portanto o algarismo do milhar 1 milhar 2 4 dezena 9 centena 22 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como restou apenas o algarismo 2 então com certeza ele é comum e só pode ocupar a única posição desconhecida que é das unidades 1 milhar 2 unidades 4 dezena 9 centena Conclusão O número pensado por João é 1942 Exemplo 6 Quais são os números das cartas Há três cartas viradas sobre uma mesa Sabese que em cada uma delas está escrito um número inteiro positivo São dadas a Carlos Samuel e Tomás as seguintes informações todos os números escritos nas cartas são diferentes a soma dos números é 13 os números estão em ordem crescente da esquerda para a direita Primeiro Carlos olha o número na carta da esquerda e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Em seguida Tomás olha o número na carta da direita e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Por fim Samuel olha o número na carta do meio e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros qual é o número da carta do meio Solução Escrevendo todas as combinações possíveis que contemplam as condições do problema ou seja números inteiros diferentes que somam 13 e estão em ordem crescente da esquerda para a direita temos 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente 3 4 6 Soma 13 ordem crescente Carlos quando ergueu a carta da esquerda poderia ter visto ou o 1 ou o 2 ou o 3 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 1 23 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ou 2 já que com o algarismo 1 há quatro opções 1 2 10 1 3 9 1 4 8 1 5 7 e com o algarismo 2 há três opções 2 3 8 2 4 7 2 5 6 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar a opção 3 4 6 isso porque este é o único caso em que a carta da esquerda não se repete e se Carlos tivesse visto o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente Tomás quando ergueu a carta da direita poderia ter visto ou o 6 ou o 7 ou o 8 ou o 9 ou o 10 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 7 ou 8 já que com o algarismo 7 há duas opções 1 5 7 e 2 4 7 e com o algarismo 8 também há duas opções 1 4 8 e 2 3 8 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 2 10 1 3 9 2 5 6 isso porque estes são os únicos casos em que a carta da direita não se repete e se Tomás tivesse visto o 10 ou o 9 ou o 6 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Samuel ao levantar a carta do meio poderia ter visto ou o 3 ou o 4 ou o 5 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto o algarismo 4 já que com o algarismo 4 há duas opções 1 4 8 e 2 4 7 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 5 7 e 2 3 8 isso porque estes são os únicos casos em que a carta do meio não se repete e se Tomás tivesse visto o 5 ou o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas 24 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 As duas únicas opções que restaram são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Como o problema pergunta qual é a carta do meio e a carta do meio nos dois casos é a mesma podemos afirmar que é quatro Vale ressaltar que se o problema tivesse perguntado os algarismos das três cartas não teria sido possível apresentar uma única resposta ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado à resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você Pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 1 2 3 4 e 5 e os Exercícios Pontuados 11 e 12 25 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 13 Problemas da Verdade e da Mentira Verdade significa aquilo que está intimamente ligado a tudo que é sincero que é verdadeiro é a ausência da mentira Verdade é também a afirmação do que é correto do que é seguramente o certo e está dentro da realidade apresentada Mentira é a afirmação de algo que se sabe ou suspeita ser falso não contar a verdade ou negar o conhecimento sobre alguma coisa que é verdadeira A mentira é o ato de mentir enganar iludir ou ludibriar O termo mentira é utilizado como uma oposição ao que é verdade ou seja a mentira é o antônimo da verdade Nos problemas lógicos que envolvem uma mentira o significado é exatamente este quando uma afirmação é assumida como mentira ou falsa significa que o seu oposto pode ser considerado como uma verdade Uma metodologia que pode ser aplicada para resolver problemas deste contexto é a realização de hipóteses neste caso você levanta uma hipótese de que uma determinada afirmação é verdadeira ou falsa ou de que um determinado personagem é inocente ou culpado e analisa os demais dados do problema procurando manter esta hipótese válida Vão ocorrer duas possibilidades 1ª Possibilidade Você se depara com uma contradição que pode surgir de duas formas um resultado que anula a sua hipótese original ou a determinação de mais de uma resposta Neste caso se anula a hipótese original e se cria uma nova hipótese para o problema 2ª Possibilidade A hipótese original se encaixa perfeitamente aos demais dados de modo a ser possível concluir o problema Neste caso você encontrou a resposta para o problema Veja os exemplos a seguir o primeiro deles é um famoso problema do livro O homem que calculava de Malba Tahan Problema Motivacional Um Sheike testando os conhecimentos do Homem que calculava informoulhe que comprara de um mercador 5 lindas escravas duas com olhos negros e três com olhos azuis Informou que as escravas de olhos negros sempre dizem a verdade e que as escravas de olhos azuis nunca dizem a verdade As escravas foram introduzidas no salão com um véu que impedia completamente a percepção da cor de seus olhos 26 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Somente poderás interrogar três das cinco escravas com uma única pergunta a cada uma destas disse o Sheike Com o auxílio das três respostas obtidas o problema deverá ser solucionado com rigorosa justificativa lógica As perguntas devem ser de tal natureza que só as próprias escravas possam respondêlas com perfeito conhecimento Após certa meditação o Homem que calculava perguntou à primeira escrava De que cor são teus olhos A interpelada respondeu num dialeto que ninguém compreendeu Em seguida perguntou à segunda Dizeme em minha língua o que tua colega respondeu Os meus olhos são azuis A sua última pergunta se destinou à terceira escrava Dizeme em minha língua de que cor são os olhos dessas duas jovens que acabo de interrogar A primeira tem os olhos negros e a segunda olhos azuis respondeu a escrava Então o Homem que calculava solenemente disse A primeira tem olhos negros a segunda olhos azuis e a terceira olhos negros por eliminação as duas últimas possuem olhos azuis Levantados os véus para espanto de todos a resposta estava rigorosamente correta Interpelado pelo Sheike como ele havia conseguido tal proeza respondeu Com certeza a primeira escrava me responderia que seus olhos são negros pois se realmente fossem negros diria a verdade proclamando que são negros mas se fossem azuis mentiria dizendo que são negros logo não me preocupei com sua resposta e por este motivo não me importei dela ter respondido em seu próprio dialeto Como a segunda escrava respondeu que a primeira dissera ter olhos azuis isto a caracterizou como mentirosa pois se fosse uma escrava que só fala a verdade responderia que a primeira dissera ter olhos negros consequentemente os olhos da segunda escrava são azuis afinal só as escravas de olhos azuis mentem Assim descobri a cor dos olhos da segunda escrava mas ainda não sabia a cor dos olhos da primeira escrava A partir da resposta da terceira escrava que dissera que a primeira tinha os olhos negros e a segunda olhos azuis pude concluir que esta falava a verdade afinal sua resposta referente à segunda escrava confirma o que eu já deduzira anteriormente que a segunda possui olhos azuis Assim sendo a terceira disse a verdade logo seus olhos eram negros e por sua afirmação pude concluir que os olhos da primeira também eram negros afinal dizendo a verdade eu devo acreditar integralmente em sua afirmação Por fim como são 5 escravas 2 com olhos negros que eu já descobri quais eram e 3 com olhos azuis deduzi que as duas últimas só poderiam ter olhos azuis 27 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Conclusão A primeira tem olhos negros a segunda azuis a terceira olhos negros e as duas últimas olhos azuis ATENÇÃO Todos os exemplos a seguir contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 7 As rivais Três rivais Ana Bia e Cláudia trocam acusações 1 A Bia mente diz Ana 2 A Cláudia mente Bia diz 3 Ana e Bia mentem diz Cláudia Com base nestas três afirmações podese concluir que a Apenas Ana mente b Apenas Bia mente c Apenas Cláudia mente d Ana e Cláudia mentem e Ana e Bia mentem Solução A resposta correta é a alternativa D Iniciaremos formulando uma hipótese a de que Ana diz a verdade Se gerar uma contradição então por eliminação Ana não poderá dizer a verdade ou seja ela só poderá mentir sendo esta a segunda hipótese Hipótese 1 Ana diz a verdade Se Ana diz a verdade então Bia mente 1ª afirmação Se Bia mente então Cláudia diz a verdade note que pelo fato de Bia mentir o oposto de sua afirmação é que passa a ser verdadeira 2ª afirmação Mas Cláudia disse que Ana e Bia mentem o que gera uma CONTRADIÇÃO pois por suposição Ana diz a verdade 3ª afirmação Conclusão Hipótese inválida devemos formular uma nova hipótese Hipótese 2 Ana está mentindo Se Ana mente então Bia diz a verdade oposto de sua afirmação 1ª afirmação 28 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se Bia diz a verdade então Cláudia mente 2ª afirmação Mentindo então não é verdade que Ana e Bia mentem ou seja Ana ou Bia diz a verdade e como Bia realmente diz a verdade logo não temos contradição nenhuma mantendo a hipótese válida logo tudo o que foi deduzido por esta hipótese pode ser considerado correto Conclusão Bia diz a verdade e Ana e Cláudia mentem Exemplo 8 Quem quebrou o vaso da Vovó Ao ver o estrago na sala mamãe pergunta zangada Quem quebrou o vaso da vovó As repostas das crianças foram as seguintes Não fui eu disse André Foi o Carlinhos disse Bruna Não fui eu não mas foi a Duda falou Carlinhos A Bruna está mentindo falou Duda Considere a situação descrita acima para resolver as questões de números I II e III Questão I Sabendo que somente uma das crianças mentiu podese concluir que a André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso b Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso c Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso d Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso e Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso Questão II Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade podese concluir que a André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso b Bruna falou a verdade e André quebrou o vaso c Duda falou a verdade e André quebrou o vaso d Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso e Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso Questão III Sabendo que exatamente duas crianças mentiram podese concluir que a Carlinhos mentiu e André quebrou o vaso b André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso 29 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c Bruna diz a verdade e foi ela quem quebrou o vaso d Quem quebrou o vaso foi André ou Duda e Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso Solução Questão I A resposta correta é a alternativa B Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças mentiu podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André mentiu se gerar uma contradição então vamos supor que a Bruna mentiu e assim sucessivamente Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele logo não pode haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso seria o próprio André 1ª afirmação Sendo assim Bruna também estaria mentindo afinal ela apontou o Carlinhos mas sendo o André ele teria que ser inocente o que não pode acontecer pois pelo enunciado só um deles poderia mentir CONTRADIÇÃO Hipótese 2 Bruna mentiu Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos e todos os demais estariam dizendo a verdade pois só a Bruna mentiu 2ª afirmação Assim sendo é verdade que André não quebrou o vaso 1ª afirmação mas Duda sim afirmação de Carlinhos 3ª afirmação e realmente Bruna estaria mentindo afirmação de Duda 4ª afirmação Neste caso não teríamos nenhuma contradição logo Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Bruna mentiu e André Carlinhos e Duda falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi André Não André Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda V Não fui eu foi a Duda Foi Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo 30 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles A DUDA Questão II A resposta correta é a alternativa C Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças disse a verdade podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André disse a verdade se gerar uma contradição então é porque André não disse a verdade ou seja ele mentiu e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André mentiu e devemos encontrar uma outra criança para dizer a verdade Hipótese 1 André disse a verdade Se André falou a verdade então realmente não foi ele 1ª afirmação entretanto todos os demais deveriam mentir Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos 2ª afirmação Se Carlinhos mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Se Duda mentiu vale o oposto de sua afirmação então a Bruna deveria estar falando a verdade 4ª afirmação mas por hipótese Bruna é uma das que mentiram CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André mentiu e ainda não sabemos quem disse a verdade Como o André mentiu vale o oposto de sua afirmação deste modo podemos concluir que foi ele quem quebrou o vaso da Vovó 1ª afirmação Neste caso Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos 2ª afirmação devemos inocentálo afinal já descobrimos quem quebrou o vaso André Entretanto Carlinhos também mentiu caso contrário teria sido a Duda 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade e isso não gera contradição pois ela afirma que Bruna está mentindo 4ª afirmação Note que nesta hipótese apenas Duda estaria dizendo a verdade Conclusão Duda falou a verdade e André quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Duda falou a verdade e André Bruna e Carlinhos mentiram NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu M Foi sim o André Foi André 31 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Não foi a Duda Não Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles O ANDRÉ Questão III A resposta correta é a alternativa E Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que exatamente duas crianças mentiram Como primeira hipótese vamos supor que André mentiu a partir desta hipótese vamos ler todas as afirmações tentando manter esta hipótese válida ou seja apenas mais uma criança poderá mentir se gerar uma contradição então é porque André não mentiu isto é ele disse a verdade e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André disse a verdade e devemos encontrar duas crianças para mentir Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele quem quebrou o vaso 1ª afirmação não podendo haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso foi o André Assim sendo Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos devemos inocentálo pois já temos um culpado 2ª afirmação Entretanto Carlinhos também estaria mentindo caso contrário teria sido a Duda devemos inocentála para ser o André 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade pois ela afirma que Bruna está mentindo Mas isso gera uma contradição pois por hipótese exatamente duas crianças mentiram e não três como neste caso CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André disse a verdade Se André disse a verdade então com certeza não foi ele 1ª afirmação Supondo que Bruna também disse a verdade deve existir mais alguém dizendo a verdade além do André então Carlinhos quebrou o vaso 2ª afirmação Neste caso Carlinhos estaria mentindo confirmando que foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Por último Duda também estaria mentindo vale o oposto de sua afirmação pois nessa hipótese Bruna falou a verdade 4ª afirmação 32 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como não chegamos a nenhuma contradição concluise que André e Bruna falaram a verdade e Carlinhos e Duda mentiram e quem quebrou o vaso foi o Carlinhos A tabela abaixo apresenta um resumo referente a hipótese válida Carlinhos e Duda mentiram e André e Bruna falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi o André Não André Bruna Foi o Carlinhos V Foi o Carlinhos Foi Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Foi Carlinhos Foi Carlinhos Duda A Bruna está mentindo M A Bruna está falando a verdade Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava dizendo a verdade e foi acusado apenas um deles O CARLINHOS Observação 1 Cada questão deste problema poderia ser resolvida a partir da hipótese de que um deles quebrou o vaso neste caso deveríamos começar supondo que André quebrou o vaso e que os outros três são inocentes A seguir devemos ler suas informações e concluir se elas são verdadeiras ou falsas logo depois devemos confrontar com o enunciado de cada questão verificar por exemplo se na questão I só um deles estaria mentindo se satisfizer então realmente foi o André caso contrário crie uma nova hipótese a de que foi Bruna e repita o mesmo procedimento Observação 2 Independente da hipótese original de que alguém mentiu ou falou a verdade ou partindo pelo caminho de que alguém é o culpado é possível chegar a conclusão do problema basta estar concentrado no fato de que quem diz a verdade é porque sua afirmação é totalmente válida e quem mente significa que o oposto de sua afirmação é que é válida ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro 33 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 sempre mente Márcio para descobrir quem é o João e quem é o José desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar quem é quem basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe com quem está falando Qual é a pergunta capaz de determinar quem é João e quem é José Solução Este é um problema bem diferente mas muito interessante Não podemos esquecer que um dos irmãos sempre fala a verdade mas não sabemos qual deles enquanto que o outro sempre mente e também não sabemos quem é A primeira pergunta que normalmente vem em mente é Você é o João Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM mas se João fosse mentiroso ele diria NÃO mentindo a sua resposta correta A mesma pergunta feita para José que digamos diz a verdade ele responderia NÃO mas se José fosse mentiroso ele diria SIM mentindo a sua resposta Observe que se ouvirmos um SIM não sabemos se este SIM vem de João ou se este SIM vem do José afinal os dois podem responder a esta pergunta SIM ou NÃO e é por este motivo que esta pergunta não serve Se a pergunta for Você é o José Teríamos o mesmo problema A pergunta que deve ser feita pode parecer a princípio ser estranha e não resolver mas conforme será explicado a seguir é a única pergunta que gera uma mesma resposta evitando assim a dúvida que surgiu na hipótese anterior A pergunta capaz de descobrir quem é João e quem é José é João fala a verdade Agora será provado que esta pergunta satisfaz o problema Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM Entretanto se João fosse mentiroso ele pensaria a minha resposta é NÃO por que eu não digo a verdade mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário SIM Note que se esta pergunta for feita para João independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será SIM Agora devemos refletir sobre a pergunta João fala a verdade caso ela fosse feita a José 34 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se a pergunta for feita para José que por hipótese fale a verdade ele responderia NÃO afinal nesta hipótese quem fala a verdade é José logo João seria o mentiroso Entretanto se José fosse mentiroso é porque João fala a verdade logo ele pensaria João é quem fala a verdade então a resposta correta é SIM mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário NÃO Note que se esta pergunta for feita para José independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será NÃO Conclusão a pergunta que deve ser feita é João fala a verdade Se a resposta for SIM o interrogado é o João mas se a resposta for NÃO o interrogado é o José Observação Existem mais três perguntas corretas para este problema João mente ou José fala a verdade ou José mente O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado a resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 6 e 7 35 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos II João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro sempre mente Márcio para descobrir se João é quem fala a verdade ou se João é o que mente desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar esta resposta basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe se João fala a verdade ou mente Qual é a pergunta capaz de descobrir se João fala a verdade ou mente Observe que não queremos saber qual deles é o João e qual é o José mas sim quem fala a verdade e quem mente Resposta A pergunta que deve ser feita é Você é o João Se a resposta for sim é porque o João é quem fala a verdade e se for não é porque João é o mentiroso Observação Existe mais uma pergunta correta para este problema Você é o José O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles 36 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS OBJETIVO DA UNIDADE Analisar argumentos com a correspondente reordenação de modo que essas informações passem a fazer sentido Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas lugares coisas ou eventos fictícios Deduzir novas informações a partir de relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos O universo da Lógica Simbólica é formado por um conjunto de proposições na qual se entende por proposição toda sentença declarada por meio de palavras ou símbolos que satisfaz aos dois seguintes princípios É verdadeira ou é falsa Princípio do terceiro excluído Isto significa que toda sentença deverá ser verdadeira ou deverá ser falsa não existindo portanto uma terceira possibilidade Não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa Princípio da nãocontradição Este princípio vem ao encontro do anterior reforçando a ideia de que uma sentença nunca poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Tais princípios nos levam a admitir que só existem dois únicos valores possíveis para as proposições esses valores são denominados de valores lógicos O valor verdade para representar qualquer proposição verdadeira O valor falsidade para representar qualquer proposição falsa Por este motivo a Lógica Simbólica também pode ser denominada de Lógica Bivalente Existem duas notações para a designação dos valores lógicos das proposições Letra V inicial da palavra verdade para designar quando uma proposição é verdadeira F inicial da palavra falsidade para designar quando uma proposição é falsa Algarismo 1 é a designação do valor verdade 0 é a designação do valor falsidade OS As proposições normalmente são indicadas por letras minúsculas Seguem alguns exemplos de sentenças declarativas que por assumir um valor lógico podem ser definidas como proposições 37 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a O número 15 é ímpar verdade b O número 4 é primo5 falso c Existe homem honesto verdade d Todos os homens gostam de futebol falso e Algumas mulheres são torcedoras do Grêmio verdade f 5 3 7 falso g Se você não faltar às aulas de matemática então terá mais condições de resolver as listas de exercícios verdade Não são exemplos de proposições a Você gosta de matemática b Puxa vida que aula interessante c x 2 não sabemos o valor de x para analisar a inequação d 5 2 x não sabemos o valor de x para analisar a equação 211 Proposição Simples Proposição simples é toda proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma ou seja é composta por uma única sentença declarativa deste modo não se pode subdividila em partes menores tais que algumas delas seja uma nova proposição Seguem alguns exemplos de proposição simples a Elvézio adora lógica b Fluminenses são os cidadãos que nasceram no Rio de Janeiro c O time do São Paulo é tri campeão mundial Já a proposição Carlos é filho de Maria e de José não é simples pois é possível decompôla em duas outras proposições simples Carlos é filho de Maria e Carlos é filho de José 212 Proposição Composta Proposição composta é toda proposição que contém mais de uma proposição simples como parte integrante de si mesma podendo então ser subdividida em partes menores tais que cada uma destas partes deve ser analisada no que diz respeito ao valor lógico para que seja deduzido o valor lógico da proposição composta 5 Todo número que apresenta dois únicos divisores é denominado de número primo Exemplos 2 único número primo par 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 38 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 213 Proposições Equivalentes Por definição duas proposições p e q dizemse equivalentes se ambas são verdadeiras ou ambas são falsas ou seja se ambas possuem o mesmo valor lógico As seguintes notações indicam a equivalência entre duas proposições p e q p q ou p q ou p q Para simbolizar quando duas proposições p e q não são equivalentes usase as notações p q ou ou São exemplos de proposições equivalentes a p O São Paulo é um time paulista q O Flamengo é um time carioca Logo p q afinal ambas são verdadeiras b p 6 5 10 q O Brasil fica na Europa Logo p q afinal ambas são falsas 22 Operações Lógicas sobre Proposições Conectivos Lógicos Os conectivos fazem a ligação entre duas ou mais proposições formando as proposições compostas O valor lógico das proposições compostas depende não só do valor lógico de cada proposição integrante mas também do conectivo que as une As proposições compostas podem receber denominações especiais conforme o conectivo usado para ligar as proposições componentes Vejamos agora cada um desses conectivos 221 Conjunção e Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo e A conjunção p e q podem ser representadas simbolicamente por p q ou pq p q p q 39 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma conjunção é dita verdadeira somente quando ambas as proposições simples forem verdadeiras Ou seja a conjunção p q é verdadeira somente quando p é verdadeira e q é verdadeira também O valor lógico da conjunção de duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Exemplos a p Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul Vp 1 q Campo Grande localizase na região CentroOeste Vq 1 pq Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul e localizase na região CentroOeste Vpq 1 b p 30 1 Vp 1 q 22 4 Vq 0 pq 30 1 e 22 4 Vpq 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a conjunção p q corresponderá à interseção do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q 222 Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica ou Denominamos disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou A disjunção p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q P Q pq corresponde a PQ 40 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma disjunção inclusiva é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas Ou seja a disjunção inclusiva p q é falsa somente quando p é falsa e q é falsa também No entanto se p for verdadeira ou se q for verdadeira ou mesmo se ambas p e q forem verdadeiras então a disjunção inclusiva será verdadeira Em outras palavras para que a disjunção p ou q seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira O valor lógico da disjunção inclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplos a p A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande Vp 1 q A UCDB oferece o curso de medicina Vq 0 pq A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande ou oferece o curso de medicina Vpq 1 b p 31 1 Vp 0 q 2 1 Vq 0 pq 31 1 ou 2 1 Vpq 0 c p O grêmio é um time gaúcho Vp 1 q 5 2 7 Vq 1 pq O grêmio é um time gaúcho ou 5 2 7 Vpq 1 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção inclusiva p q corresponderá à união do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q P Q pq corresponde a PQ 41 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 223 Disjunção Exclusiva ou ou A palavra ou tem dois sentidos no caso anterior disjunção inclusiva para a proposição composta ser verdadeira pelo menos uma das proposições simples deve ser verdadeira Por outro lado temos o caso em que isto não ocorre disjunção exclusiva que nos faz lembrar na linguagem usual os momentos de ênfase para a tomada de decisões conforme definida a seguir Exemplo Um casal de namorados decide sair e de repente o rapaz pergunta para a namorada Escolha o local para nos alimentarmos ou pizzaria ou restaurante Este exemplo aponta claramente que apenas uma das opções deve ser escolhida Denominamos por disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou ou ou em casos em que o conectivo ou for empregado para determinar a escolha entre opções ou seja quando o ou der a ideia que a necessidade de se escolher alguma coisa A disjunção ou p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando apenas uma das duas proposições for verdadeira Ou seja a disjunção exclusiva p q é verdadeira quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes e falsa quando os valores lógicos das duas proposições forem iguais O valor lógico da disjunção exclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplo a Um marido ao saber que sua esposa está grávida e que ela está esperando um único bebê faz as seguintes declarações p A criança será um menino q A criança será uma menina p q A criança será ou um menino ou uma menina Vp q 1 42 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 b p 3 1 3 1 Vp 1 q 2 1 2 2 Vq 1 p q ou 3 1 3 1 ou 2 1 2 2 Vp q 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção exclusiva p q corresponderá à diferença entre a união e a interseção entre o conjunto P e o conjunto Q ou seja P Q P Q Observação Convencionaremos que neste texto quando nos referirmos à disjunção desacompanhada do adjetivo inclusiva ou exclusiva estaremos nos referindo à disjunção inclusiva Alguns autores para evitar esta confusão adotam a seguinte convenção o ou inclusivo é frequentemente substituído por eou e o ou exclusivo por ou ou Assim por exemplo se uma Universidade que oferece o curso de Ciências Contábeis deseja oferecer mais de uma opção para seus formandos esta pode empregar uma das seguintes colocações a Aqui vocês serão habilitados para serem contadores ou professores Neste caso o curso estaria oferecendo três opções ser apenas contador ser apenas professor ou ser contador e professor disjunção inclusiva b Aqui vocês serão habilitados para serem ou contadores ou professores Neste caso o curso estaria dando ênfase a uma das duas opções ser apenas contador ou ser apenas professor disjunção exclusiva 224 Condicional Condicional material Se p então q Denominamos condicional ou condicional material a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo Se então ou por uma de suas formas equivalentes P Q p q corresponde a P Q P Q 43 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 A condicional Se p então q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q A proposição p anunciada pelo uso da conjunção se é chamada de condição ou antecedente enquanto que a proposição q anunciada pelo advérbio então é chamada de conclusão ou consequente As seguintes expressões podem ser empregadas como forma equivalente a condicional Se p então q Se p q q se p Todo p é q p implica q p somente se q p é suficiente para q q é necessário para p Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição condicional p q corresponderá à inclusão do conjunto P no conjunto Q P está contido em Q ou seja P Q Uma condicional p q é falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa sendo verdadeira em todos os outros casos Ou seja para a condicional p q ser verdadeira a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa Vejamos um exemplo para esclarecer melhor o valor lógico de uma condicional Em um campeonato de futebol o time que terminar a primeira fase com o maior número de pontos terá a vantagem de jogar as duas partidas finais podendo empatálas ou vencer um dos dois jogos por qualquer placar Supondo que o São Paulo terminou a primeira fase em primeiro lugar é possível afirmar que Q pq corresponde a P Q P 44 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se o São Paulo vencer a primeira partida da final então ele será o campeão Preste bem atenção essa condicional afirma que se o São Paulo vencer a primeira partida já será campeão mas nada informa sobre os demais casos A princípio temos quatro possibilidades 1 O São Paulo vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta aliás perfeitamente satisfeita 2 O São Paulo vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional é falsa pois a previsão não aconteceu Essa também é bem visível e fácil de compreender afinal pela condicional seria um absurdo vencer a primeira e não ser o campeão 3 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato do São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo não contradiz a previsão feita afinal não foi afirmado nada sobre a possibilidade de ele perder podendo ainda ser ou não campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira 4 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato de o São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo novamente não contradiz a previsão feita Em outras palavras o São Paulo não vencendo a primeira partida pode significar que ele pode ou não ser o campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira O valor lógico da proposição condicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Observando a tabela verdade podese concluir que a proposição condicional p q é verdadeira quando o valor lógico da condição p é menor ou igual ao valor lógico da conclusão q Isto é p q é verdadeira se p q Ou ainda uma condicional é verdadeira quando a condição for falsa ou quando a conclusão for verdadeira Validando uma dessas duas possibilidades já é possível afirmar que a condicional seria válida 45 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo a p A Alemanha venceu a final da Copa do Mundo em 2014 Vp 1 q Alemanha é tetracampeã de futebol Vq 1 p q Se a Alemanha vencer a final da Copa do Mundo em 2014 então ela será tetracampeã de futebol Vp q 1 p q A Alemanha será tetracampeã de futebol se vencer a final da Copa do Mundo em 2014 Vp q 1 b p Todas as mulheres são formosas Vp 1 q Maria não é formosa Vq 0 p q Se todas as mulheres são formosas então Maria não é formosa Vp q 0 c p 6 é primo Vp 0 q 5 é ímpar Vq 1 p q Se 6 é primo então 5 é ímpar Vp q 1 d p 7 não é primo Vp 0 q 8 não é divisível por 4 Vq 0 p q Se 7 não é primo então 8 não é divisível por 4 Vp q 1 Observação Usualmente quando empregamos uma sentença do tipo Se p então q esperamos que exista entre p e q alguma forma de relacionamento ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito Nesse sentido aceitaríamos com facilidade por exemplo a proposição Se um número inteiro é par então ele é divisível por 2 Pois existe uma relação de causa e efeito entre as proposições No mesmo sentido tenderíamos a recusar proposições como Se Cristiano Ronaldo foi eleito o melhor jogador do mundo no ano de 2014 então a Alemanha será campeã da Copa do Mundo de 2014 Ou ainda Se um quadrado tem três lados então falase o japonês no Brasil Pois nelas falta algo que relacione a condição e a conclusão Provavelmente recusaríamos a primeira afirmando algo como O que é que tem a ver Cristiano Ronaldo jogador de Portugal ser eleito o melhor jogador do mundo com a Alemanha ser campeã da Copa do Mundo de 2014 e quanto à segunda é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como Para começar um quadrado não tem três lados E mesmo que tivesse isto não tem nada a ver com falarse ou não o japonês no Brasil No entanto essas duas proposições são verdadeiras 46 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para a Lógica não importa se existe ou não alguma relação entre p e q Existem portanto dois tipos de implicação 1 Quando existe interação entre p e q conhecida como implicação formal ou dedução 2 Quando não existe interação entre p e q conhecida como implicação material ou implicação Obs Toda implicação formal é material mas nem toda implicação material é formal 225 Bicondicional p se e somente se q Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se ou por uma de suas formas equivalentes A bicondicional p se e somente se q pode ser representada simbolicamente por p q p q Como o próprio nome e símbolo sugerem uma proposição bicondicional p se e somente se q equivale à proposição composta se p então q e se q então p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de p se e somente se q p se e só se q Todo p é q e todo q é p Todo p é q e reciprocamente Se p então q e reciprocamente p somente se q e q somente se p p é suficiente para q e q é suficiente para p q é necessário para p e p é necessário para q Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição bicondicional p q corresponderá à igualdade dos conjuntos P e Q ou seja P Q pq corresponde a P Q P Q 47 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma bicondicional p q é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico ou ambas são verdadeiras ou ambas são falsas sendo falsa quando p e q têm valores lógicos diferentes Ou seja a bicondicional p q equivale a duas proposições equivalentes Vejamos um exemplo que esclarece melhor a bicondicional Um número inteiro é divisível por 2 se e somente se ele é par Isso equivale a afirmar que Se um número inteiro é divisível por 2 então ele é par e se um número é par então ele é divisível por 2 Note que a condição verdadeira gera uma conclusão verdadeira independente de quem é a condição e de quem é a conclusão O valor lógico da proposição bicondicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Resumindo a proposição bicondicional p q pode ser denotada por p q é equivalente a p q Exemplo a p Os números 70 e 75 são divisíveis por 5 Vp 1 q Os números 70 e 75 terminam em 0 ou 5 Vq 1 p q Os números 70 e 75 serão divisíveis por 5 se e somente eles terminarem em 0 ou 5 Vp q 1 Um número inteiro é divisível por 5 se e somente se o algarismo das unidades for 0 ou 5 Se um número inteiro é divisível por 5 então o algarismo das unidades é 0 ou 5 e se o algarismo das unidades é 0 ou 5 então o número inteiro é divisível por 5 b p Neymar foi o melhor jogador do mundo em 2015 Vp 0 q Neymar foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vq 0 p q Neymar foi considerado o melhor jogador do mundo em 2015 se e somente se ele foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vp q 1 Todos os melhores jogadores do mundo num determinado ano são eleitos a Bola de Ouro neste mesmo ano 48 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c p 16 é um quadrado perfeito Vp 1 q O quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vq 0 p q 16 é um quadrado perfeito se e somente se o quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vp q 0 226 Negação Não p Denominamos negação de uma proposição qualquer p à proposição composta que se obtém a partir da proposição p acrescida do conectivo lógico não ou de outro equivalente A negação não p pode ser representada simbolicamente por p ou p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de não p Não é verdade que p É falso que p Uma proposição p e sua negação não p sempre terão valores lógicos opostos O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela tabela verdade p p 1 0 0 1 Como se pode observar na tabela verdade uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas Exemplo a p A UCDB oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 1 p A UCDB não oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 0 b p O curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Vp 0 p O curso de Administração possui a disciplina de Matemática Vp 1 p Não é verdade que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática p É falso dizer que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Se a proposição p for representada como conjunto através de um diagrama a negação p corresponderá ao conjunto complementar de P ou seja P 49 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 8 e 9 e o Exercício Pontuado 21 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole Em meados do século passado o inglês G Boole deu uma estruturação matemática à Lógica mostrando que as operações definidas no conjunto das proposições gozam de propriedades algébricas semelhantes às propriedades das operações definidas em conjuntos numéricos Esta estrutura foi chamada Álgebra de Boole Em decorrência foram demonstradas outras propriedades de grande importância como por exemplo a leia da dupla negação e as chamadas primeiras leis de De Morgan O universo da Lógica Formal ou seja o conjunto das proposições munido das operações de conjunção disjunção e negação define uma estrutura algébrica que se chama Álgebra de Boole Será visto neste instante essa estrutura algébrica isto é as propriedades formais das referidas operações Assim quaisquer que sejam os valores lógicos de p q e t temos as seguintes propriedades 231 Propriedades da Conjunção Multiplicação Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 1 p 1 p P p corresponde a P 50 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 0 p 0 0 232 Propriedades da Disjunção Soma Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 0 p 0 p 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 1 p 1 1 Como é fácil verificar há uma analogia entre a conjunção e a multiplicação de números bem como entre a disjunção e a adição Apenas não valem para os conjuntos numéricos munidos das operações citadas anteriormente a propriedade 4 para a disjunção a primeira das propriedades mistas 5 e a propriedade 7 Por este motivo a disjunção e a conjunção são denominadas de soma lógica e multiplicação lógica respectivamente 233 Propriedades Mistas 5 A disjunção é distributiva em relação à conjunção p q t p q p t 6 A conjunção é distributiva em relação à disjunção p q t p q p t 7 Para todo elemento p existe um e só um elemento x tal que p x 1 e p x 0 Este elemento x é precisamente a negação de p x p Em outras palavras p p 1 e p p 0 234 Lei da dupla negação p p 235 Primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q respectivamente traduzidas na linguagem coloquial por a negação da disjunção é a conjunção das negações a negação da conjunção é a disjunção das negações As leis de De Morgan podem também exprimir os seguintes fatos 51 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 negar que as proposições p e q são ambas verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma delas não é verdadeira ou seja que pelo menos uma delas é falsa negar que pelo menos uma das proposições p e q é verdadeira equivale a afirmar que ambas não são verdadeiras ou seja que ambas são falsas Ou ainda negar que todas as proposições são verdadeiras falsas significa afirmar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma delas é falsa verdadeira negar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma das proposições é verdadeira falsa significa afirmar que todas são falsas verdadeiras Exemplo a A negação de Todos os alunos gostam de matemática é Existe um aluno que não gosta de matemática ou Pelo menos um aluno não gosta de matemática ou ainda Algum aluno não gosta de matemática b A negação de Nenhum aluno está entendendo a matéria é Existe um aluno que está entendendo a matéria ou Pelo menos um aluno está entendendo a matéria ou ainda Algum aluno está entendendo a matéria c A negação de Existe um flamenguista feliz ou Algum flamenguista é feliz é Todos os flamenguistas não são felizes ou Nenhum flamenguista é feliz ou ainda Qualquer flamenguista é infeliz d A negação de Existe uma pessoa infeliz ou Alguém não é feliz é Todas as pessoas são felizes ou 52 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Nenhuma pessoa é infeliz ou ainda Qualquer pessoa é feliz e A negação de Adriana é bonita e simpática é Adriana não é bonita ou não é simpática f A negação de Adriana é bonita ou simpática é Adriana não é bonita nem simpática ou Adriana não é bonita e não é simpática Princípio da dualidade lógica Se numa propriedade qualquer nós trocamos a conjunção pela disjunção a disjunção pela conjunção o 0 por 1 o 1 por 0 deixando inalterada a negação obtémse uma propriedade válida no conjunto das proposições chamada dual da propriedade considerada Assim observase com facilidade que cada lei de De Morgan é dual da outra que também são duais as propriedades 1 2 e 5 da conjunção em relação às propriedades 1 2 e 5 da disjunção Propriedades da Equivalência Se duas proposições são equivalentes as suas negações também são equivalentes p q p q 236 Relação entre os Conectivos 1 A disjunção pode ser expressa em termos da negação e da conjunção p q p q Isso significa que afirmar que pelo menos uma proposição é verdadeira falsa é equivalente a negar que todas não são verdadeiras falsas Por exemplo afirmar que O Brasil deve ganhar pelo menos uma medalha nas Olimpíadas é equivalente a afirmar que Não é verdade que o Brasil não vai ganhar nenhuma medalha nas Olimpíadas Como um outro exemplo observe que a afirmação Existe homem que não é feliz é o mesmo que afirmar que Não é verdade que todos os homens são felizes 53 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 A conjunção pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q Isso significa que afirmar que todas as proposições são verdadeiras falsas é equivalente a negar que pelo menos uma não é verdadeira falsa Por exemplo afirmar que Todas as mulheres são simpáticas é equivalente a afirmar que Não é verdade que exista uma mulher que não é simpática Como um outro exemplo observe que a afirmação Nenhum homem dirige mal é o mesmo que afirmar que Não é verdade que pelo menos um homem dirija mal 3 A disjunção exclusiva pode ser expressa em termos da negação da conjunção e da disjunção p q p q p q 4 Condicional A condicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q p q 5 Bicondicional 51 A bicondicional pode ser expressa em termos da condicional e da conjunção p q p q q p 52 A bicondicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção exclusiva p q p q 53 A bicondicional pode ser expressa em termos da disjunção da negação e da conjunção p q p q p q De fato utilizando as leis de De Morgan e a lei da dupla negação temos para os dois primeiros casos p q p q p q p q p q p q e p q p q p q p q p q p q O terceiro caso é apenas a definição da disjunção exclusiva Para ilustrar como é intuitiva tal expressão observe que afirmar Ou como no almoço frango ou como no almoço carne é equivalente a afirmar que Como no almoço frango e não como carne ou não como no almoço frango e como carne 54 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 O quarto caso pode ser deduzido intuitivamente do fato de que p q é verdadeira se p q Observe que p é menor ou igual a q sempre que p assumir o valor lógico zero negação de p ou q assumir o valor lógico 1 afirmação de q A expressão 51 pode ser deduzida da definição da bicondicional isto é a expressão p se e somente se q é equivalente a se p então q e se q então p A expressão 52 pode ser deduzida de 51 e de 4 conforme é apresentado abaixo p q p q q p p q p q q p p q p q p q p q p q p q p q p q Já a expressão 53 pode ser deduzida do fato de que a bicondicional é verdadeira quando p e q assumirem valores lógicos iguais ou seja quando ambas as proposições forem verdadeiras ou quando ambas forem falsas Tais afirmações mostram que a disjunção a conjunção a disjunção exclusiva a bicondicional a condicional e a negação não são operações independentes Vale ainda enfatizar que na teoria da Lógica Simbólica os resultados não se alteram quando substituímos uma expressão por outra que lhe é equivalente 237 Negação da Condicional p q p q De fato partindo da definição e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida as leis de De Morgan e da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q Assim negar se p então q equivale a afirmar a condição p e negar a conclusão q Por exemplo a negação de Se você estudar então será aprovado na disciplina é Você estudou e não foi aprovado na disciplina 55 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 238 Negação da Bicondicional p q p q ou p q p q p q De fato partindo da expressão 52 e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida a lei da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q A segunda igualdade é apenas a aplicação da propriedade 3 Assim negar p se e somente se q equivale a afirmar que uma delas é verdadeira e a outra é falsa Por exemplo a negação de O Brasil será o pentacampeão do mundo se e somente se vencer a Copa do Mundo de 2002 é Ou o Brasil é o pentacampeão do mundo ou o Brasil venceu a Copa do Mundo de 2002 239 Negação da Disjunção Exclusiva p q p q ou p q p q p q Assim negar ou p ou q equivale a afirmar que ambas são verdadeiras ou ambas são falsas Por exemplo a negação de O senhor deseja ou frango ou carne é O senhor deseja frango se e somente se desejar carne 56 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2310 Recíproca Inversa e Contraposta de uma Condicional A partir da condicional p q é possível associar outras três relações denominadas recíproca inversa e contraposta da referida condicional A recíproca e a inversa de uma condicional dada não lhe são equivalentes enquanto a contraposta também chamada de contrapositiva lhe é equivalente Em outras palavras p q q p p q p q p q q p Por exemplo a partir da condicional Se um quadrilátero é um retângulo então ele é um paralelogramo É possível escrever a sua recíproca a sua inversa e a sua contraposta das seguintes formas Recíproca Se um quadrilátero é um paralelogramo então ele é um retângulo Inversa Se um quadrilátero não é um retângulo então ele não é um paralelogramo Contraposta Se um quadrilátero não é um paralelogramo então ele não é um retângulo Note que a única expressão equivalente é a contraposta pois se não é um paralelogramo então não pode ter lados opostos paralelos e consequentemente não pode ser um retângulo Já a recíproca e a inversa não são equivalentes pois existem quadriláteros que são paralelogramos losango e não são retângulos e existem quadriláteros que não são retângulos alguns losangos e são paralelogramos 2311 Transitividade da condicional p q q t p t p q q p a recíproca p q a inversa q p a contraposta 57 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 24 Demonstrações das Propriedades 241 Tabela Verdade A demonstração das propriedades das equivalências e das não equivalências enunciadas anteriormente podem ser reduzidas a uma simples verificação utilizando as tabelas das operações estudadas e agrupando os dados de todos os modos possíveis através das chamadas tabela verdade Para ilustrar provemos as primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q Para isto será necessário montar uma tabela e descrever todas as possibilidades de se combinar as proposições p e q Se o resultado da coluna que descreve as operações do primeiro membro for igual ao resultado da coluna que descreve o segundo membro logo está provada a igualdade ou se representarmos a igualdade numa última coluna ela então deverá ser válida em qualquer hipótese p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 e p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Como um outro exemplo provemos a transitividade da condicional Neste caso observe que a relação a ser demonstrada não é dada por uma igualdade sendo assim a expressão deverá ser válida para qualquer possibilidade de se combinar as proposições p q e t ou seja a última coluna deve ser verdadeira para todos os casos assumir o valor lógico 1 p q q t p t 58 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 p q t p q q t p q q t p t p q q t p t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 242 Tautologia Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma tautologia se ela for sempre verdadeira quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem As primeiras leis de De Morgan e a transitividade da condicional apresentadas em tabelasverdade anteriormente são exemplos de tautologia 243 Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contradição se ela for sempre falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem Por exemplo as proposições uma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e p se e somente se não p que podem ser representadas simbolicamente por p p e p p respectivamente são exemplos de contradição pois independente dos valores lógicos de p e da negação de p ela será sempre falsa Observe nas tabelas abaixo p p p p p p p p 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 244 Contingência Uma proposição composta não tautológica nem contra válida é chamada contingência ou proposição contingente ou ainda proposição indeterminada 59 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Em outras palavras uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contingência se ela for parte verdadeira e parte falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem 245 Argumento Um argumento é válido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão verdadeira e inválido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão falsa É considerada condição de um argumento a expressão que se encontra à esquerda do símbolo e conclusão a expressão que se encontra à direita do símbolo Entretanto para avaliar um argumento precisamos definir quais condições são consideradas premissas para isso basta verificar quais condições são verdadeiras com isso podemos dizer que toda condição verdadeira é uma premissa e são essas premissas que devem ser analisadas para verificar que tipo de conclusões ela gera Temos então dois casos Se toda premissa gerar uma conclusão verdadeira então a expressão lógica representa um argumento válido Se alguma premissa gerar uma conclusão falsa então a expressão lógica representa um argumento inválido Por exemplo vamos verificar se a expressão a seguir pode ser classificada como um argumento válido ou inválido Exemplo 1 p q q p p q p q p q 1 q q p 2 1 2 condição p p q conclusão 1 1 1 0 0 1 premissa 0 1 Válido 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 premissa 1 1 Válido 0 0 1 1 0 1 premissa 1 1 Válido Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição três geraram premissas afinal os casos 1 3 e 4 são condições verdadeiras Analisando cada um desses três casos podemos afirmar que todos os três geraram conclusões verdadeiras logo como toda premissa gera conclusão verdadeira o Argumento é Válido 60 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 2 p q p q p q p q p q 1 p p q 2 1 2 condição q p q conclusão 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 premissa 1 1 Válido 0 1 1 1 1 1 premissa 0 0 Não Válido 0 0 0 1 1 0 1 0 Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição dois geraram premissas afinal os casos 2 e 3 são condições verdadeiras Analisando cada um desses dois casos podemos afirmar que alguma dessas duas premissas Caso 3 gerou uma conclusão falsa logo como alguma premissa gera conclusão falsa o Argumento é Inválido Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 10 11 12 e 13 e o Exercício Pontuado 22 61 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN OBJETIVO DA UNIDADE Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos Analisar simbolismos por meio do diagrama de Venn Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias por meio do diagrama de Venn Um dos matemáticos que mais contribuíram para a resolução de problemas lógicos através do uso de diagramas foi John Venn que viveu na Inglaterra nascendo em 1834 e falecendo em 1923 Esse matemático percebeu que a representação de conjuntos através de diagramas facilita a visualização permitindo conclusões mais seguras e rápidas dentro de um problema 31 Histórico John Venn formouse em 1857 e dois anos depois foi ordenado um padre Em 1862 ele voltou à Universidade de Cambridge estudando e ensinando lógica e teoria da probabilidade Ele desenvolveu a lógica matemática de Boole e é melhor conhecido pelo seu diagrama de representar conjuntos e as suas uniões e interseções Venn considerou três discos R S e T como subconjuntos típicos de um conjunto U As interseções destes discos e seus complementos dividem U em 8 regiões não justapostas das quais a união dá 256 combinações de Boolean diferentes do conjunto original R S e T Escreveu a Lógica de Chance 1866 publicou Lógica Simbólica 1881 e Os Princípios da Lógica Empírica 1889 32 Representações de Diagramas Para representar dois ou mais diagramas existem possíveis formas de posicionálos a partir de condições impostas no problema Seguem as relações mais comuns entre dois conjuntos com as possíveis formas de representálos desde as formas mais utilizadas até as formas não convencionais entre dois diagramas 321 Todo A é B Neste caso todo o conjunto A deve estar dentro do conjunto B 62 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 322 Nenhum A é B Neste caso os dois conjuntos devem ser disjuntos isto é nenhuma parte de A deve estar dentro de B logo a única forma de representálos é em dois conjuntos separados 323 Algum A é B Neste caso uma parte de A deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente a interseção entre os conjuntos A e B e a não convencional no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A é comum ao conjunto B Observação Vale ressaltar que se Todo A é B então existe Algum A que é B isso significa que a expressão Algum A é B também pode ser representada pelos dois casos B A Forma mais empregada A B Forma não convencional A B Forma mais empregada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 63 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 descritos no item 321 entretanto como esta representação é análoga a Todo A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 324 Algum A não é B Neste caso uma parte de A não deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente que uma parte de A não está dentro de B esta representação é análoga a primeira forma de representar Algum A é B sendo assinalado a região que está fora de B e não na interseção entre A e B A forma não convencional é aquela no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A não é comum ao conjunto B esta parte é aquela que está fora de B Observação Vale ressaltar que se Nenhum A é B então existe Algum A que não é B isso significa que a expressão Algum A não é B também pode ser representada pelo caso descrito no item 322 entretanto como esta representação é análoga a Nenhum A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 33 Exemplos Resolvidos Vejamos alguns exemplos de exercícios que envolvem as operações lógicas mas que podem ser resolvidos através do uso de diagramas 331 Todo A é B Todos os bons estudantes são pessoas aplicadas Assim sendo quantas das afirmações abaixo são necessariamente verdadeiras I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 64 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 5 I III VI VII e XI Serão representados os conjuntos Bons Estudantes e Pessoas Aplicadas pela forma mais empregada e também pela forma não convencional isso porque o exemplo pergunta a respeito das afirmações necessariamente verdadeiras devem satisfazer ambas as formas de representação e não daquelas que podem ser eventualmente verdadeiras satisfaz uma das formas de representação pois neste caso haveria mais afirmações verdadeiras as afirmações II VIII IX e X Dizer que todos os bons estudantes são pessoas aplicadas equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas aplicadas acharemos todos os bons estudantes Logo Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante Verdadeiro bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira 65 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas Falso A 1ª representação fura esta afirmação III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes Verdadeiro IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa 66 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada Verdadeiro VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante Verdadeiro VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante Falso A 1ª representação fura esta afirmação IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso A 1ª representação fura esta afirmação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira Pessoas aplicadas bons estudantes bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 67 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante Falso A 2ª representação fura esta afirmação XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Verdadeiro Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações ela seja verdadeira 332 Todo A é B e Nenhum C é B Todo contador gosta de lógica Nenhum psicólogo gosta de lógica Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Algum contador é psicólogo II Nenhum contador é psicólogo III Alguém que não é contador é psicólogo IV Alguém que não é contador não é psicólogo V Todo aquele que não é contador não é psicólogo VI Todo aquele que não é contador é psicólogo VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 68 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 6 II III IV VIII IX e X Serão representados os conjuntos Contador Gosta de lógica e Psicólogos apenas pela forma mais empregada isso porque todas as afirmações do exemplo relacionam os conjuntos Contador ou Gosta de lógica com o conjunto Psicólogos não sendo necessário analisar afirmações que relacionam os conjuntos Contador e Gosta de lógica De acordo com o enunciado o conjunto Contador está totalmente dentro do conjunto Gosta de lógica pois Todo contador gosta de lógica O conjunto Psicólogos está completamente fora do conjunto Gosta de lógica pois Nenhum psicólogo gosta de lógica Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Algum contador é psicólogo Falso II Nenhum contador é psicólogo Verdadeiro Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo 69 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 III Alguém que não é contador é psicólogo Verdadeiro IV Alguém que não é contador não é psicólogo Verdadeiro V Todo aquele que não é contador não é psicólogo Falso Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa 70 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Todo aquele que não é contador é psicólogo Falso VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga Falso VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga Verdadeiro IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga Verdadeiro Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 71 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo Verdadeiro 333 Algum A é B e Nenhum C é B Alguns administradores atuam em marketing Nenhum advogado atua em marketing Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Alguns administradores são advogados II Alguns administradores não são advogados III Todo administrador é advogado IV Todo advogado é administrador V Nenhum administrador é advogado VI Nenhum advogado é administrador VII Alguns advogados são administradores VIII Alguns advogados não são administradores IX Pode existir algum advogado que é administrador X Pode existir algum advogado que não é administrador Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II IX e X Serão representados os conjuntos Administradores Atuam em marketing e Advogados apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo De acordo com o enunciado os conjuntos Administradores e Atuam em marketing possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Alguns administradores atuam em marketing O conjunto Advogado está completamente fora do conjunto Atuam em marketing pois Nenhum advogado atua em marketing Será designada a palavra Advogado por A Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 72 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que são válidas três hipóteses O conjunto Advogado completamente dentro do conjunto Administrador parcialmente dentro do conjunto Administrador e completamente fora do conjunto Administrador Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguns administradores são advogados Falso Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 73 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II Alguns administradores não são advogados Verdadeiro III Todo administrador é advogado Falso IV Todo advogado é administrador Falso Verdadeira Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa Administrador A A A Marketing Falsa 74 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 V Nenhum administrador é advogado Falso VI Nenhum advogado é administrador Falso VII Alguns advogados são administradores Falso VIII Alguns advogados não são administradores Falso Administrador A A A Marketing Falsa Falsa Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 75 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IX Pode existir algum advogado que é administrador Verdadeiro X Pode existir algum advogado que não é administrador Verdadeiro 334 Algum A é B e Todo C é B Algum Homem é Caridoso Todo Religioso é Caridoso Sabese que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras Administrador A A A Marketing Falsa Verdadeira Administrador A A A Marketing Verdadeira Administrador A A A Marketing 76 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 I Algum Homem é Religioso II Pode existir algum Homem que é Religioso III Algum Homem não é Religioso IV Algum Religioso é Homem V Algum Religioso não é Homem VI Todo Homem é Religioso VII Todo Religioso é Homem VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem IX Nenhum Homem é Religioso X Nenhum Religioso é Homem Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II III e VIII Serão representados os conjuntos Homens Caridosos e Religiosos apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo O fato de que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso implica que estes dois conjuntos não podem ser iguais devendo ser excluída esta hipótese Esta condição é fundamental para que a afirmação II seja verdadeira pois se ela não existisse valeria a hipótese de que todos os conjuntos são iguais o que invalidaria esta afirmação Os conjuntos Homens e Caridosos possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Algum Homem é Caridoso O conjunto Religioso está completamente dentro do conjunto Caridoso pois Todo Religioso é Caridoso Será designado a palavra Religioso por R Há 3 hipóteses O conjunto Religioso totalmente dentro do conjunto Homem parcialmente dentro do conjunto Homem e totalmente fora do conjunto Homem Cada afirmação será analisada da seguinte forma Homem R R R Caridoso 77 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir ou Pode Acontecer para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações seja verdadeira I Algum Homem é Religioso Falso II Pode existir algum Homem que é Religioso Verdadeiro III Algum Homem não é Religioso Verdadeiro Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Verdadeira Homem R R R Caridoso 78 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IV Algum Religioso é Homem Falso V Algum Religioso não é Homem Falso VI Todo Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa 79 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VII Todo Religioso é Homem Falso VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem Verdadeiro IX Nenhum Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Homem R R R Caridoso Falsa 80 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Nenhum Religioso é Homem Falso 335 Condição necessária ou suficiente Se chove então faz frio Assim sendo a Chover é condição necessária para fazer frio b Fazer frio é condição suficiente para chover c Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio d Chover é condição suficiente para fazer frio e Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover Solução A resposta correta é a alternativa D Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e suficiência e às relações destes conceitos com as proposições condicionais Numa proposição condicional Se A então B a ocorrência de A implica obrigatoriamente a ocorrência de B Então dizemos que A é uma condição suficiente para a ocorrência de B ou que A é suficiente para B Sabemos que a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A sem a ocorrência de B certamente A também não ocorreria Por este motivo dizemos que B é uma condição necessária para a ocorrência de A ou que B é necessária para A Portanto Chuva é condição suficiente para fazer frio e que Frio é condição necessária para chover Para finalizar seu estudo resolva os Exercícios 14 e 15 e o Exercício Pontuado 31 Homem R R R Caridoso Falsa 81 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 REFERÊNCIAS ANDRADE Primo Nunes de Elementos de lógica Rio de Janeiro 1972 CURY Márcia Xavier Introdução à Lógica São Paulo Érica 1996 DAGHLIAN Jacob Lógica e álgebra de Boole 4 ed São Paulo Atlas 1995 DUARTE Heron Márcio Ferreira Raciocínio Lógico e Quantitativo Brasília Ativa 1999 GONZALEZ Norton Questões de Raciocínio Lógico Quantitativo e Analítico Rio de Janeiro Moderna 2009 JACOB Daghlian Lógica e Álgebra de Boole São Paulo Saraiva 1995 KELLER Vicente BASTOS Cleverson Leite Aprendendo lógica 8 ed Rio de Janeiro Vozes 2000 KLEENE Stephen Cole Introducción a la metamatemática Madrid Tecnos 1974 LIMA Arlete Cerqueira Lógica Linguagem Salvador Centro Editorial e Didático da UFBA 1993 LOCIKS Júlio Raciocínio Lógico e Matemático Brasília Vestcon Editora 2002 MORGADO Augusto C CESAR Benjamin Raciocínio LógicoQuantitativo Série Provas e Concursos 4 ed São Paulo Campus 2009 MORTARI Cezar Augusto Introdução à lógica Franca SP Ed UNESP 2001 OLIVEIRA Marcos Barbosa de O cálculo proposicional Marília Ed UNESP 1983 PINTO Mario Elementos básicos de lógica Belo Horizonte UCMG 1981 Cadernos UCMG 8 PINTO Paulo Roberto Margutti Introdução à lógica simbólica Belo Horizonte UFMG 2006 SÁ Ilydio Pereira Raciocínio Lógico Concursos PúblicosFormação de Professores Rio de Janeiro Moderna 2008 SMULLYAN Raymond O enigma de Sherazade e outros incríveis problemas das mil e uma noites à lógica moderna Rio de Janeiro Jorge Zahar Editor 1998 TAHAN Malba O Homem que calculava 18 ed Rio de Janeiro Ed Record 2001 Curso de Graduação a Distância Lógica II 4 créditos 80 horas Autor Elvézio Scampini Junior Flores Universidade Católica Dom Bosco Virtual wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Missão Salesiana de Mato Grosso Universidade Católica Dom Bosco Instituição Salesiana de Educação Superior Chanceler Pe Ricardo Carlos Reitor Pe José Marinoni PróReitora de Graduação e Extensão Profa Rúbia Renata Marques Diretor da UCDB Virtual Prof Jeferson Pistori Coordenadora Pedagógica Profa Blanca Martín Salvago Direitos desta edição reservados à Editora UCDB Diretoria de Educação a Distância 67 33123335 wwwvirtualucdbbr UCDB Universidade Católica Dom Bosco Av Tamandaré 6000 Jardim Seminário Fone 67 33123800 Fax 67 33123302 CEP 79117900 Campo Grande MS SCAMPINI JUNIOR Elvézio Flores Lógica II Elvézio Scampini Júnior Flores 2 ed rev e atual Campo Grande UCDB 2022 80 p Palavraschave 1 Lógica 2 Raciocínio 3 Boole 4 Dedução 0223 3 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 APRESENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Este material foi elaborado pelo professor conteudista sob a orientação da equipe multidisciplinar da UCDB Virtual com o objetivo de lhe fornecer um subsídio didático que norteie os conteúdos trabalhados nesta disciplina e que compõe o Projeto Pedagógico do seu curso Elementos que integram o material Critérios de avaliação são as informações referentes aos critérios adotados para a avaliação formativa e somativa e composição da média da disciplina Quadro de Controle de Exercícios tratase de um quadro para você organizar a realização e envio dos exercícios virtuais Você pode fazer seu ritmo de estudo sem ul trapassar o prazo máximo indicado pelo professor Conteúdo Desenvolvido é o conteúdo da disciplina com a explanação do professor sobre os diferentes temas objeto de estudo Indicações de Leituras de Aprofundamento são sugestões para que você possa aprofundar no conteúdo A maioria das leituras sugeridas são links da Internet para facilitar seu acesso aos materiais Atividades Virtuais atividades propostas que marcarão um ritmo no seu estudo assim como as datas de envio encontramse no Ambiente Virtual de Aprendizagem Como tirar o máximo de proveito Este material didático é mais um subsídio para seus estudos Consulte outros conteúdos e interaja com os outros participantes Portanto não se esqueça de Interagir com frequência com os colegas e com o professor usando as ferramentas de comunicação e informação do Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Usar além do material em mãos os outros recursos disponíveis no AVA aulas audiovisuais vídeoaulas fórum de discussão fórum permanente de cada unidade etc Recorrer à equipe de tutoria sempre que precisar orientação sobre dúvidas quanto a calendário exercícios ferramentas do AVA e outros Ter uma rotina que lhe permita estabelecer o ritmo de estudo adequado a suas necessidades como estudante organize o seu tempo Ter consciência de que você deve ser sujeito ativo no processo de sua aprendizagem contando com a ajuda e colaboração de todos 4 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Objetivo Geral Desenvolver nos alunos o conhecimento sobre a lógica matemática e o raciocínio dedutivo lógico através de sistemas e problemas lógicomatemáticos Definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência através dos critérios da lógica Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos SUMÁRIO UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO 11 11 Problemas e Desafios Lógicos 11 12 Metodologia 14 13 Problemas da Verdade e da Mentira 25 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS 36 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos 36 22 Operações Lógicas sobre Proposições 38 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole 49 24 Demonstrações das Propriedaes 57 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN 61 31 Histórico 61 32 Representações de Diagramas 61 33 Exemplos Resolvidos 63 REFERÊNCIAS 81 Avaliação A UCDB Virtual acredita que avaliar é sinônimo de melhorar isto é a finalidade da avaliação é propiciar oportunidades de açãoreflexão que façam com que você possa aprofundar refletir criticamente relacionar ideias etc A UCDB Virtual adota um sistema de avaliação continuada além das provas no final de cada módulo avaliação somativa será considerado também o desempenho do aluno ao longo de cada disciplina avaliação formativa mediante a realização das atividades Todo o processo será avaliado pois a aprendizagem é processual 5 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para que se possa atingir o objetivo da avaliação formativa é necessário que as atividades sejam realizadas criteriosamente atendendo ao que se pede e tentando sempre exemplificar e argumentar procurando relacionar a teoria estudada com a prática As atividades devem ser enviadas dentro do prazo estabelecido no calendário de cada disciplina Critérios para composição da Média Semestral Para compor a Média Semestral da disciplina levase em conta o desempenho atingido na avaliação formativa e na avaliação somativa isto é as notas alcançadas nas diferentes atividades virtuais e na prova da seguinte forma Somatória das notas recebidas nas atividades virtuais somada à nota da prova dividido por 2 Média Semestral Somatória Atividades Virtuais Nota da Prova 2 Assim se um aluno tirar 7 nas atividades e tiver 5 na prova MS 7 5 2 6 Atenção o aluno pode conseguir um ponto adicional Engajamento na nota das atividades virtuais Para ganhar o ponto do engajamento o estudante terá que percorrer todo o material didático da disciplina material textual e assistir a todos os vídeos fazer todos os Exercícios e enviar todas as atividades Antes do lançamento desta nota final será divulgada a média de cada aluno dando a oportunidade de que os alunos que não tenham atingido média igual ou superior a 70 possam fazer a Recuperação das Atividades Virtuais Se a Média Semestral for igual ou superior a 40 e inferior a 70 o aluno ainda poderá fazer o Exame Final A média entre a nota do Exame Final e a Média Semestral deverá ser igual ou superior a 50 para considerar o aluno aprovado na disciplina Assim se um aluno tirar 6 na Média Semestral e tiver 5 no Exame Final MF 6 5 2 55 Aprovado 6 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 FAÇA O ACOMPANHAMENTO DE SEUS EXERCÍCIOS Coloque na segunda coluna o prazo em que deve ser enviado o exercício consulte o calendário disponível no ambiente virtual de aprendizagem Coloque na terceira coluna o dia em que você enviou o exercício AVALIAÇÃO PRAZO DATA DE ENVIO Exercício Pontuado 1 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 2 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 3 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 4 Ferramenta Questionário Exercício Pontuado 5 Ferramenta Questionário 7 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 BOAS VINDAS Prezados acadêmicos quero dar as boas vindas espero que tenhamos um bom convívio durante este semestre de aula e que possamos juntos construir laços de empatia de modo a que nos sintamos extremamente à vontade para expor opiniões dúvidas questionamentos angústias etc Da minha parte farei o possível para colaborar no aprendizado e na formação de cada um de vocês com esse objetivo foram elaboradas várias aulas audiovisuais nesta disciplina material este que irá ajudar e muito no bom entendimento e na compreensão de todo o conteúdo Há duas vantagens principais conferidas pelo estudo da lógica Primeiro o indivíduo com conhecimento de lógica tem mais facilidade em organizar e apresentar suas ideias Ele distingue entre o essencial e o não essencial usando raciocínio claro e coerente para transmitir suas conclusões às outras pessoas Segundo a lógica facilita a análise das ideias apresentadas por outros O não iniciado frequentemente se perde em argumentos complexos e mesmo em casos mais simples confunde as premissas e as conclusões rejeitando ou aceitando argumentos através de reações não bem refletidas Se possível conto com a colaboração de vocês no que diz respeito ao acompanhamento da disciplina isto é não deixem para estudar todo o conteúdo de última hora mas procurem sim estar encaminhando os exercícios nos prazos estabelecidos isso será de grande importância para um bom desempenho e um resultado excelente ao final do semestre Atenciosamente 8 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Préteste A finalidade deste préteste é fazer um diagnóstico quanto aos conhecimentos prévios que você já tem sobre os assuntos que serão desenvolvidos nesta disciplina Não fique preocupado com a nota pois não será pontuado 1 Para fazer uma viagem Rio de Janeiro São Paulo Rio de Janeiro é possível usar como meio de transporte trem ônibus ou avião De quantos modos diferentes é possível escolher os meios de transporte se não se deseja usar na volta o mesmo meio de transporte utilizado na ida a 3 b 5 c 6 d 9 2 Em um campeonato de futebol cada equipe recebe dois pontos por vitória um ponto por empate e zero ponto por derrota Sabendo que ao final do campeonato cada equipe disputou 40 partidas e que uma determinada equipe obteve 24 pontos o número mínimo de derrotas sofridas por essa equipe foi a 15 b 16 c 24 d 28 3 Qual é a próxima palavra da sequência camiseta amor beleza acetona salada abacaxi mágico americano a natureza b maionese c basquete d publicação 4 Você é o professor de cinco alunos e eles colocamse a sua frente para receber uma série de exercícios Tente nomeálos da esquerda para a direita de acordo com as informações 1 Amauri está entre Marcelo e Lucas 2 Geraldo está à esquerda de Jeferson 3 Marcelo não está ao lado de Geraldo 4 Geraldo não está ao lado de Jeferson A sequência correta é a Geraldo Lucas Marcelo Amauri e Jeferson b Marcelo Jeferson Amauri Lucas Geraldo c Geraldo Jeferson Lucas Amauri Marcelo d Lucas Geraldo Amauri Jeferson Marcelo 5 A sequência 5 13 25 41 X 85 obedece a uma regra lógica O termo X dessa série é a 51 b 57 c 61 d 69 6 Movendose palitos de fósforo na figura I é possível transformála na figura II o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é 9 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a 1 b 2 c 3 d 4 7 O casal Silva tem vários filhos Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos Quantos filhos e filhas há na família a 12 b 10 c 9 d 7 8 Em uma estante há 10 livros cada um com 100 folhas Uma traça faminta come desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do último livro Quantas folhas a traça faminta comeu a 802 b 998 c 1000 d 1018 9 Seu professor de Geometria pede para você calcular um lado de um triângulo escaleno usando a lei dos cosenos Qual das respostas abaixo não pode ser a correta a 7 b 00005 c d 127 10 Em um certo verão uma fábrica de sorvetes realizou uma promoção que previa a troca de dez palitos de sorvete por um sorvete de palito Nessa promoção um palito de sorvete corresponde a que fração do preço de um sorvete a 19 b 110 c 111 d 210 Submeta o Préteste por meio da ferramenta Questionário 10 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 INTRODUÇÃO Na presente disciplina serão apresentados diversos problemas motivando o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo e uma das suas finalidades se deve ao fato de que o prazer de ultrapassar desafios leva ao amadurecimento do estudante que acaba levando para toda a sua vida e para as demais disciplinas que serão estudadas no curso Na Unidade 1 será abordada a resolução de problemas e desafios lógicos Esses problemas foram retirados principalmente dos testes da Associação Nacional de Pós Graduação e Pesquisa em Administração ANPAD1 criados em 1987 Tratase de um exame nacional que avalia os conhecimentos das línguas portuguesa e inglesa e as habilidades em raciocínios lógico quantitativo e analítico Esse exame tem sido utilizado por diversas instituições como parte dos processos de seleção de cursos de pósgraduação stricto sensu e de cursos profissionalizantes de Administração Ciências Contábeis e áreas afins além de requisito básico em processos seletivos de diversas organizações Para simplificar foi escolhido como eixo o teste ANPAD pela beleza dos problemas apresentados entretanto também serão resolvidos problemas que caíram em diversos concursos públicos bem como exercícios interessantes de sites em geral Na unidade 2 será abordada a Álgebra de Boole aqui denominada por operações lógicas Assim teremos a oportunidade de definir as implicações na lógica de argumentação e de equivalência por meio dos critérios da lógica Na Unidade 3 serão apresentados os diagramas de Venn com objetivo de complementar os conhecimentos tratados na unidade anterior mas como uma visão espacial sendo utilizada para isso a Teoria de Conjuntos 1 Ver site httpwwwanpadorgbr 11 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 1 RACIOCÍNIO LÓGICO E DEDUTIVO OBJETIVO DA UNIDADE Ensinar Matemática por meio de desafios despertando o interesse a curiosidade e o raciocínio lógico Desenvolver a criatividade aumentando a atenção e a concentração do aluno 11 Problemas e Desafios Lógicos Iniciaremos este texto com uma breve citação de um dos matemáticos que deu significado ao estudo da Lógica Segundo Polya 1944 Uma grande descoberta resolve um grande problema mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta Experiências tais numa idade suscetível poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a marca na mente e no caráter 111 A quem interessa a lógica Em primeiro lugar lógica não é psicologia no que diz respeito a ensinar como pensar Ela não descreve o que as pessoas pensam ou como uma pessoa chega a uma determinada conclusão o que ela faz é sugerir uma linha de pensamento de modo a colaborar a raciocinar corretamente sugerindo etapas lógicas que facilitam a determinação de uma resposta deste modo ela sugere caminhos que uma pessoa deve seguir para alcançar conclusões corretas A lógica se relaciona com todo pensamento ela é fundamental para todas as áreas e qualquer formação e isso não inclui apenas a matemática mas pode auxiliar em qualquer disciplina relacionada à filosofia engenharia direito contabilidade administração entre outras O estudo da lógica interessa a todos No dia a dia vivemos constantemente argumentando ora tentando convencer os outros de nossas conclusões ora sendo levados a concordar com nossos interlocutores 12 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 112 Método Dedutivo Vamos iniciar procurando compreender o conceito da dedução lógica para então utilizarmos o seu exercício O método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinadas premissas que são as verdades absolutas num problema Essencialmente os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar conclusões que devem necessariamente ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras bem como se o raciocínio respeita uma forma lógica válida Talvez o veículo que mais tenha contribuído para tornar famoso o método dedutivo foi a literatura popular com as publicações das obras de Sir Arthur Conan Doyle no qual o seu personagem principal o detetive Sherlock Holmes conseguia resolver casos mirabolantes através do método da dedução lógica2 Esse personagem também foi adaptado para o cinema algumas vezes alcançando diversos fãs3 Vale ressaltar que Doyle demonstrou que toda dedução lógica uma vez explicada tornase infantil pois a conclusão provoca espanto e admiração apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento investigativo ainda são desconhecidos Note que essa ideia é similar a empregada por George Pólya considerado por muitos o pai do raciocínio lógico que formulou as quatro etapas essenciais para a resolução de problemas 1ª etapa Compreender o problema 2ª etapa Traçar um plano 3ª etapa Colocar o plano em prática 4ª etapa Comprovar os resultados 113 Raciocínio Lógico O raciocínio lógico é uma ferramenta indispensável para a realização de muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas pois é fundamental para a estruturação do pensamento na resolução de problemas Se nos mantivermos atentos por exemplo unicamente às mensagens publicitárias que enchem as ruas e invadem nossas casas já teremos muitas oportunidades para exercícios de raciocínio lógico Quer ver A história abaixo confirma essa necessidade 2 Alguns romances policiais publicados pelo autor Um estudo em vermelho 1887 O signo dos quatro 1890 O cão dos Baskervilles 1902 O vale do Terror 1915 3 Sugiro assistir a alguns filmes envolvendo o personagem Sherlock Holmes tais como O enigma da pirâmide de 1985 Sherlock Holmes de 2009 Sherlock Holmes O jogo de sombras de 2011 13 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Problema Motivacional Segundo a tradição da tribo logicaetês ao atingirem a idade adequada para o casamento os homens devem submeterse a uma prova de competência lógica Somente os que superam este obstáculo têm permissão para casarse A prova é sempre decisiva vencêla é a certeza da glória perdêla significa o fim das esperanças Totelesáris um jovem índio desta tribo caiu de amores pela bela Masófis Desejando casarse com ela viu chegar a sua vez de enfrentar a prova prénupcial A ele foi proposto o seguinte desafio Baseado na resposta de um desses guardas Totelesáris deverá decidirse por uma das cabanas Como ele deve proceder para não ser devorado pelos jacarés Que pergunta ele deve fazer a um dos índios para ter certeza de que cairá nos braços de Masófis Parece que não há mesmo saída não é mesmo No entanto você pode estar certo de que é possível encontrar a cabana de Masófis fazendo uma só pergunta a um dos guardas mesmo sem saber se este guarda diz a verdade ou mente Vamos raciocinar juntos e ajudar Totelesáris a se livrar dos dentes dos jacarés Comecemos chamando de M o índio mentiroso e de V o índio que só diz a verdade Se perguntássemos a qualquer um deles Em que cabana se encontra Masófis M mentiria indicando a caba errada e V indicaria a cabana certa Mas como descobrir quem está falando a verdade Por esse caminho não chegaremos a nenhuma conclusão afinal não sabemos distinguir o índio que mente do índio que só fala a verdade No meio da aldeia há duas cabanas rigorosamente idênticas Dentro de uma delas o espera Masófis A outra no entanto apenas recobre um poço habitado por jacarés ferozes capazes de devorar qualquer um que ultrapasse a entrada Cada cabana tem apenas uma porta permanentemente fechada e vigiada por um índio que conhece perfeitamente o conteúdo da cabana que vigia Totelesáris deve escolher uma das cabanas e entrar se encontrar a sua amada poderá casarse com ela se entrar na dos jacarés será devorado instantaneamente Antes de realizar sua escolha ele terá permissão de fazer uma única pergunta ao índio que guarda a porta de uma das cabanas Mas Totelesáris deve ainda levar em conta outro pormenor um dos guardas mente sempre enquanto o outro só fala a verdade 14 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 E se fizéssemos a seguinte pergunta a cada um deles Se eu perguntasse ao seu colega qual a cabana de Masófis o que ele responderia Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V indicaria corretamente a cabana de Masófis M mentiria dizendo que V indicou a cabana dos jacarés deste modo a cabana indicada seria a dos jacarés 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria indicando a cabana dos jacarés V responderia a verdade indicando a mesma cabana apontada pelo mentiroso a dos jacarés afinal V não pode mentir então manteria a versão mentirosa de M Ora vejam só Fazendo essa pergunta a qualquer um dos guardas obteremos sempre uma única indicação a cabana dos jacarés É lógico então que Totelesáris deverá entrar na outra cabana para encontrar sua Masófis Este desafio então já foi vencido Veja que usando o raciocínio lógico poupamos Totelesáris de ser devorado pelos jacarés Mas e se o desafio fosse descobrir qual dos índios sempre mente e qual deles sempre diz a verdade que pergunta deveria ser feita Utilizando a mesma linha de raciocínio Totelesáris poderia fazer a seguinte pergunta a qualquer um dos índios Se eu perguntasse para o seu colega se ele fala a verdade ele responderia que sim ou que não Vamos ver a resposta de cada um 1º Se a pergunta fosse feita ao mentiroso Como V responderia que sim eu falo a verdade M responderia o contrário ou seja ele mentiria dizendo que V responderia que NÃO 2º Se a pergunta fosse feita ao guarda que só diz a verdade Como M mentiria respondendo que sim eu falo a verdade ou seja o contrário de sua realidade V responderia exatamente a mesma resposta que recebeu pois dizendo a verdade ele deve dizer o que ouviu respondendo portanto que SIM Deste modo Totelesáris saberia que se a resposta fosse NÃO então o índio na qual a pergunta foi feita é o mentiroso entretanto se a resposta fosse SIM esse índio seria aquele que fala a verdade 12 Metodologia Para desenvolver o raciocínio é fundamental permitir que você leitor escolha livremente o método caminho que deseja utilizar afinal a explicação prévia para um problema de raciocínio lógico retira a possibilidade de alguém pensar por si mesmo 15 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 aumentando as chances de você apresentar grandes dificuldades para resolver os próximos problemas Deste modo este material será composto por poucos problemas contendo uma resolução detalhada por escrito entretanto será apresentada uma série de exercícios propostos cuja solução será disponibilizada através de videoaulas sendo sugerido que você tente resolver antes de acessar ao vídeo contendo a resolução Como sugestão de etapas para uma melhor metodologia para resolver um problema sugerese primeiramente a realização de uma leitura detalhada dos enunciados dos exercícios para em seguida iniciar o processo de busca da solução Quando esta não é atingida é necessária uma leitura mais atenta para que você possa identificar algum detalhe que não foi percebido anteriormente e assim chegar à solução mais adequada Usando essa metodologia na resolução de exercícios de raciocínio você pode estruturar e dar ordem ao seu pensamento conseguindo atingir um nível de abstração mais elevado Pensando nesta metodologia sugiro mais uma vez que você tente resolver os problemas a seguir antes de consultar a explicação do problema ATENÇÃO Todos os exemplos contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e à mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 1 Confusão com os professores Ramirez aprontou uma baita confusão trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Júlio Márcio e Roberto Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio Portanto a Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio b Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio c Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto d Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto e O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio 16 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução Neste tipo de problema em que cada informação está sendo subdividida aconselhase a montagem de uma tabela para se ter uma visão melhor dos dados fornecidos no enunciado Veja NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO Lembrese que Ramirez aprontou uma baita confusão trocando as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores ficando cada um deles com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro logo nenhum deles possui um objeto próprio O enunciado ainda informa que o que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio então se faça a seguinte pergunta Qual é o único professor que poderia ter ficado com este material ou seja ter ficado com algo de Márcio e de Roberto Acertou quem respondeu Roberto Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Pensando no material que está com o professor Júlio podemos deduzir que não é a caixa de giz do professor Márcio afinal este material está com o Roberto Deste modo como Júlio deve ter em mãos algo do Márcio este só pode ser suas papeletas de aula assim sendo como Júlio também deve ter algo do Roberto este só poderia ser sua caixa de giz Vamos então inserir este dado na tabela NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Por dedução Márcio só poderia ter ficado com a caixa de giz do Júlio afinal é a única caixa de giz que ainda não foi descoberta e a papeletas de aula do Roberto pelo mesmo motivo Deste modo podemos finalizar nossa tabela 17 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 NOME CAIXA DE GIZ PAPELETAS DE AULA JÚLIO ROBERTO MÁRCIO MÁRCIO JÚLIO ROBERTO ROBERTO MÁRCIO JÚLIO Analisando as alternativas concluise que a correta é a A Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio Observação O recurso que foi utilizado neste problema que é a montagem de uma tabela pode ser usado em muitos outros basta perceber a necessidade de se ter uma visão melhor dos dados do enunciado Exemplo 2 Teste de Admissão Uma empresa estava contratando um novo funcionário e uma das provas da seleção era responder à seguinte questão por escrito Você está dirigindo seu carro numa perigosa noite de tempestade Passa por um ponto de ônibus e vê três pessoas esperando por ele Uma velha senhora que parece estar à beira da morte Um médico que salvou sua vida no passado A pessoa que habita seus sonhos Você só pode levar uma pessoa no carro Quem você escolheria Justifique sua resposta Comentário Este teste é bem interessante É um tipo de teste de personalidade em que cada resposta possível tem um significado Você poderia pegar a velha senhora que estava para morrer Ficaria com a consciência tranquila Ou você pegaria o médico porque ele salvou sua vida no passado e esta seria a chance perfeita para retribuir este favor No entanto você ainda poderia saldar esta dívida em outra ocasião mas talvez não pudesse encontrar mais o amor da sua vida se deixasse passar essa chance Observe quantas variáveis estão presentes nesta decisão Solução A melhor alternativa frente a este problema é Entregar a chave do carro para o médico deixálo levar a velha senhora para o hospital e ficar esperando pelo ônibus com a pessoa dos meus sonhos Conclusão Às vezes ganharíamos muito mais se estivéssemos dispostos a abrir mão de nossas teimosas limitações Pense nisso 18 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 3 Escolha de Sapatos Há dez pares de sapatos vermelhos dez pares de sapatos azuis dez pares de sapatos brancos e dez pares de sapatos verdes numa gaveta Com base nessas informações responda as duas perguntas abaixo Problema 1 Se você introduzir a mão na gaveta no escuro qual é o menor número de sapatos que você tem que tirar para ter a certeza de que tirou dois sapatos da mesma cor Lembrese que está tudo escuro isto é você não pode contar com a sorte Problema 2 E para ter a certeza de que tirou um par esquerda e direita da mesma cor Solução Esse problema envolve uma teoria denominada Princípio da Casa dos Pombos4 PCP Para ter a certeza de que você tirou dois sapatos da mesma cor são necessárias cinco retiradas Note que se você tirar até quatro sapatos nada garante que você já tirou dois sapatos da mesma cor pois os quatro sapatos poderiam ter cores diferentes entretanto se você retirar mais um sapato certamente ele será de alguma cor que já apareceu anteriormente logo a resposta é cinco A quinta cor terá que combinar com uma das quatro já retiradas Aplicando o PCP note que há quatro cores diferentes isto é 4 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 5 pombos ou seja cinco sapatos Para ter a certeza de que você tirou um par de sapatos da mesma cor são necessárias quarenta e uma retiradas Imagine que pode acontecer de você retirar sapatos de um mesmo lado de cada uma das cores ou seja você por uma grande obra do acaso retira todos os sapatos do lado esquerdo isso totalizaria até 40 possibilidades e você ainda não teria 4 Retirado do site httpsptwikipediaorgwikiPrincC3ADpiodacasadospombos O Princípio do Pombal ou Princípio da Casa dos Pombos PCP é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas e se n m isto é se houver mais pombos do que casas então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo Matematicamente falando isto quer dizer que se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de outro conjunto B então uma função de A em B não pode ser injetiva É também conhecido como Teorema de Dirichlet ou Princípio das Gavetas de Dirichlet pois se supõe que o primeiro relato deste princípio foi feito por Dirichlet em 1834 com o nome de Schubfachprinzip Princípio das Gavetas O Princípio do Pombal é um exemplo de um argumento de calcular que pode ser aplicado em muitos problemas formais incluindo aqueles que envolvem um conjunto infinito Embora se trate de uma evidência extremamente elementar o princípio é útil para resolver problemas que pelo menos à primeira vista não são imediatos Para aplicálo devemos identificar na situação dada quem faz o papel dos objetos pombos e quem faz o papel das gavetas casas 19 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 retirado um par esquerda e direita da mesma cor mas se você retirar mais um com certeza esse fará par com alguma cor anterior Aplicando o PCP note que há quarenta sapatos de um mesmo lado isso considerando que há dez sapatos de um mesmo lado de cada cor e são quatro cores diferentes isto é 40 casas então para se ter a certeza de que pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo devemos ter no mínimo 41 pombos ou seja quarenta e um sapatos Esse número para ser excessivo mas lembrese de que não podemos contar com a sorte em hipótese alguma por isso é melhor imaginar que você é uma pessoa azarada e que precisa do máximo de chances para se ter a certeza de algo Esse máximo será o mínimo proposto pelo problema Esse problema é bem mais simples mas ainda assim muitos diriam que é necessário retirar 61 sapatos o que na verdade é um grande absurdo pois seriam 61 sapatos caso o problema pedisse para retirar pelo menos um sapato de cada cor e 71 caso o objetivo fosse o de retirar pelo menos um par de sapatos de cada cor Neste tipo de problema pense sempre na pior possibilidade pois é este raciocínio que vai garantir o número mínimo de possibilidades necessárias para se alcançar um determinado objetivo Exemplo 4 Floresta com um milhão de árvores Uma floresta tem um milhão de árvores Nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa Podese afirmar que a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta b Somente por acaso haverá árvores com copas de igual total de folhas na floresta c Certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa d O número médio de folhas nas copas é de 150 mil e Nada do que foi dito pode ser concluído dos dados apresentados Solução A resposta correta é a alternativa A Vamos tentar imaginar uma floresta sem ter árvores de igual número de folhas ou seja árvores com copas de diferentes totais de folhas Teremos então 300001 tipos diferentes de copas de árvore uma copa nula sem nenhuma folha outra só com 1 folha outra com 2 folhas outra com 299999 folhas e finalmente uma com 300000 folhas limite 20 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 apresentado pelo enunciado Note que foram descritas todas as possibilidades de 0 a 300000 folhas Para até 300001 árvores poderemos encontrar copas distintas Se considerarmos uma árvore além dessas ela só poderá ter uma das seguintes copas com 0 folha ou com 1 folha ou com 2 folhas ou com 300000 folhas A repetição é inevitável Teremos assim pelo menos 1000000 300001 699999 árvores com copas que repetem o número de folhas de outras árvores obrigatoriamente Por isso a resposta é a alternativa a Certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta Uma resposta muito comum é a c que seria errada O engano que leva tantas respostas para uma alternativa errada é o de considerar que nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa leva à conclusão de que certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa Na verdade se todas as copas tivessem 300 mil folhas elas estariam dentro da condição proposta pelo enunciado mesmo que essa ocorrência fosse muito improvável ainda assim é possível por isso ela deve ser considerada Esse problema também envolve o Princípio da Casa dos Pombos PCP se tivermos mais pombos do que casas para abrigálos algumas casas terão necessariamente de ser compartilhadas por mais de um pombo Exemplo 5 Que número João pensou João e um grupo de amigos gostam de se reunir para fazer jogos de adivinhação Numa dessas reuniões João pensa em um número com quatro algarismos distintos e informa ao grupo que esse número obedece às seguintes condições não tem algarismos em comum com 3658 tem três algarismos em comum com 6194 tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Com essas informações o grupo já sabe qual é o número escolhido por João Agora é a sua vez qual foi o número escolhido por João Solução Para resolver este problema escreveremos todos os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 para em seguida analisarmos cada uma das condições 1ª condição Não tem algarismos em comum com 3658 Com esta informação se elimina os números 3 6 5 e 8 Sobram então 0 1 2 4 7 9 2ª condição Tem três algarismos em comum com 6194 Como o algarismo 6 já foi eliminado necessariamente 1 9 e 4 são algarismos do número pensado mas ainda falta um algarismo Observe que já estamos muito próximos da resposta 0 1 2 4 7 9 3ª condição Tem dois algarismos em comum com 3940 Nos dois números esses algarismos ocupam as mesmas posições Lembrando que os algarismos 9 e 4 já pertencem ao número pensado e nesta informação só há 2 algarismos em comum então podemos deduzir que os outros dois algarismos 3 e 0 não pertencem ao número pensado deste modo podemos eliminálos 1 2 4 7 9 Essa condição também informa que os dois algarismos comuns ocupam as mesmas posições logo o algarismo 9 ocupa a casa das centenas como em 3940 e o 4 ocupa o das dezenas como em 3940 Não sabemos ainda que posição ocupa o algarismo 1 outro algarismo comum já descoberto anteriormente Para o último algarismo restam apenas duas opções 2 ou 7 1 2 4 dezena 7 9 centena 4ª condição Tem um só algarismo em comum com 7831 mas a posição do algarismo comum nos dois números é diferente Já sabíamos que o algarismo 1 era comum e como nesta informação há apenas um algarismo em comum então só pode ser o 1 Deste modo podemos descartar o algarismo 7 caso contrário haveria dois algarismos em comum Sobraram então 1 2 4 dezena 9 centena A condição ainda informa que a posição do algarismo comum nos dois números é diferente logo o algarismo 1 não pode ser a unidade como em 7831 sendo portanto o algarismo do milhar 1 milhar 2 4 dezena 9 centena 22 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como restou apenas o algarismo 2 então com certeza ele é comum e só pode ocupar a única posição desconhecida que é das unidades 1 milhar 2 unidades 4 dezena 9 centena Conclusão O número pensado por João é 1942 Exemplo 6 Quais são os números das cartas Há três cartas viradas sobre uma mesa Sabese que em cada uma delas está escrito um número inteiro positivo São dadas a Carlos Samuel e Tomás as seguintes informações todos os números escritos nas cartas são diferentes a soma dos números é 13 os números estão em ordem crescente da esquerda para a direita Primeiro Carlos olha o número na carta da esquerda e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Em seguida Tomás olha o número na carta da direita e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Por fim Samuel olha o número na carta do meio e diz Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros qual é o número da carta do meio Solução Escrevendo todas as combinações possíveis que contemplam as condições do problema ou seja números inteiros diferentes que somam 13 e estão em ordem crescente da esquerda para a direita temos 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente 3 4 6 Soma 13 ordem crescente Carlos quando ergueu a carta da esquerda poderia ter visto ou o 1 ou o 2 ou o 3 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 1 23 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ou 2 já que com o algarismo 1 há quatro opções 1 2 10 1 3 9 1 4 8 1 5 7 e com o algarismo 2 há três opções 2 3 8 2 4 7 2 5 6 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar a opção 3 4 6 isso porque este é o único caso em que a carta da esquerda não se repete e se Carlos tivesse visto o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 2 10 Soma 13 ordem crescente 1 3 9 Soma 13 ordem crescente 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente 2 5 6 Soma 13 ordem crescente Tomás quando ergueu a carta da direita poderia ter visto ou o 6 ou o 7 ou o 8 ou o 9 ou o 10 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto os algarismos 7 ou 8 já que com o algarismo 7 há duas opções 1 5 7 e 2 4 7 e com o algarismo 8 também há duas opções 1 4 8 e 2 3 8 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 2 10 1 3 9 2 5 6 isso porque estes são os únicos casos em que a carta da direita não se repete e se Tomás tivesse visto o 10 ou o 9 ou o 6 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas As opções do momento são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 1 5 7 Soma 13 ordem crescente 2 3 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Samuel ao levantar a carta do meio poderia ter visto ou o 3 ou o 4 ou o 5 entretanto a reação dele foi de afirmar que Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números isso significa que ele só poderia ter visto o algarismo 4 já que com o algarismo 4 há duas opções 1 4 8 e 2 4 7 que obviamente gerariam dúvidas Podemos então eliminar as opções 1 5 7 e 2 3 8 isso porque estes são os únicos casos em que a carta do meio não se repete e se Tomás tivesse visto o 5 ou o 3 ele teria respondido Já sei os números das três cartas deste modo ele não expressaria dúvidas 24 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 As duas únicas opções que restaram são 1 4 8 Soma 13 ordem crescente 2 4 7 Soma 13 ordem crescente Como o problema pergunta qual é a carta do meio e a carta do meio nos dois casos é a mesma podemos afirmar que é quatro Vale ressaltar que se o problema tivesse perguntado os algarismos das três cartas não teria sido possível apresentar uma única resposta ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado à resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você Pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 1 2 3 4 e 5 e os Exercícios Pontuados 11 e 12 25 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 13 Problemas da Verdade e da Mentira Verdade significa aquilo que está intimamente ligado a tudo que é sincero que é verdadeiro é a ausência da mentira Verdade é também a afirmação do que é correto do que é seguramente o certo e está dentro da realidade apresentada Mentira é a afirmação de algo que se sabe ou suspeita ser falso não contar a verdade ou negar o conhecimento sobre alguma coisa que é verdadeira A mentira é o ato de mentir enganar iludir ou ludibriar O termo mentira é utilizado como uma oposição ao que é verdade ou seja a mentira é o antônimo da verdade Nos problemas lógicos que envolvem uma mentira o significado é exatamente este quando uma afirmação é assumida como mentira ou falsa significa que o seu oposto pode ser considerado como uma verdade Uma metodologia que pode ser aplicada para resolver problemas deste contexto é a realização de hipóteses neste caso você levanta uma hipótese de que uma determinada afirmação é verdadeira ou falsa ou de que um determinado personagem é inocente ou culpado e analisa os demais dados do problema procurando manter esta hipótese válida Vão ocorrer duas possibilidades 1ª Possibilidade Você se depara com uma contradição que pode surgir de duas formas um resultado que anula a sua hipótese original ou a determinação de mais de uma resposta Neste caso se anula a hipótese original e se cria uma nova hipótese para o problema 2ª Possibilidade A hipótese original se encaixa perfeitamente aos demais dados de modo a ser possível concluir o problema Neste caso você encontrou a resposta para o problema Veja os exemplos a seguir o primeiro deles é um famoso problema do livro O homem que calculava de Malba Tahan Problema Motivacional Um Sheike testando os conhecimentos do Homem que calculava informoulhe que comprara de um mercador 5 lindas escravas duas com olhos negros e três com olhos azuis Informou que as escravas de olhos negros sempre dizem a verdade e que as escravas de olhos azuis nunca dizem a verdade As escravas foram introduzidas no salão com um véu que impedia completamente a percepção da cor de seus olhos 26 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Somente poderás interrogar três das cinco escravas com uma única pergunta a cada uma destas disse o Sheike Com o auxílio das três respostas obtidas o problema deverá ser solucionado com rigorosa justificativa lógica As perguntas devem ser de tal natureza que só as próprias escravas possam respondêlas com perfeito conhecimento Após certa meditação o Homem que calculava perguntou à primeira escrava De que cor são teus olhos A interpelada respondeu num dialeto que ninguém compreendeu Em seguida perguntou à segunda Dizeme em minha língua o que tua colega respondeu Os meus olhos são azuis A sua última pergunta se destinou à terceira escrava Dizeme em minha língua de que cor são os olhos dessas duas jovens que acabo de interrogar A primeira tem os olhos negros e a segunda olhos azuis respondeu a escrava Então o Homem que calculava solenemente disse A primeira tem olhos negros a segunda olhos azuis e a terceira olhos negros por eliminação as duas últimas possuem olhos azuis Levantados os véus para espanto de todos a resposta estava rigorosamente correta Interpelado pelo Sheike como ele havia conseguido tal proeza respondeu Com certeza a primeira escrava me responderia que seus olhos são negros pois se realmente fossem negros diria a verdade proclamando que são negros mas se fossem azuis mentiria dizendo que são negros logo não me preocupei com sua resposta e por este motivo não me importei dela ter respondido em seu próprio dialeto Como a segunda escrava respondeu que a primeira dissera ter olhos azuis isto a caracterizou como mentirosa pois se fosse uma escrava que só fala a verdade responderia que a primeira dissera ter olhos negros consequentemente os olhos da segunda escrava são azuis afinal só as escravas de olhos azuis mentem Assim descobri a cor dos olhos da segunda escrava mas ainda não sabia a cor dos olhos da primeira escrava A partir da resposta da terceira escrava que dissera que a primeira tinha os olhos negros e a segunda olhos azuis pude concluir que esta falava a verdade afinal sua resposta referente à segunda escrava confirma o que eu já deduzira anteriormente que a segunda possui olhos azuis Assim sendo a terceira disse a verdade logo seus olhos eram negros e por sua afirmação pude concluir que os olhos da primeira também eram negros afinal dizendo a verdade eu devo acreditar integralmente em sua afirmação Por fim como são 5 escravas 2 com olhos negros que eu já descobri quais eram e 3 com olhos azuis deduzi que as duas últimas só poderiam ter olhos azuis 27 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Conclusão A primeira tem olhos negros a segunda azuis a terceira olhos negros e as duas últimas olhos azuis ATENÇÃO Todos os exemplos a seguir contêm uma explicação do procedimento que deve seguir o raciocínio para se chegar à solução de problemas relacionados à verdade e mentira Mas caso você não consiga entender suficientemente lembrese de que todos os exemplos têm um vídeo explicativo em que o professor os explica passo a passo utilizando diversas hipóteses Exemplo 7 As rivais Três rivais Ana Bia e Cláudia trocam acusações 1 A Bia mente diz Ana 2 A Cláudia mente Bia diz 3 Ana e Bia mentem diz Cláudia Com base nestas três afirmações podese concluir que a Apenas Ana mente b Apenas Bia mente c Apenas Cláudia mente d Ana e Cláudia mentem e Ana e Bia mentem Solução A resposta correta é a alternativa D Iniciaremos formulando uma hipótese a de que Ana diz a verdade Se gerar uma contradição então por eliminação Ana não poderá dizer a verdade ou seja ela só poderá mentir sendo esta a segunda hipótese Hipótese 1 Ana diz a verdade Se Ana diz a verdade então Bia mente 1ª afirmação Se Bia mente então Cláudia diz a verdade note que pelo fato de Bia mentir o oposto de sua afirmação é que passa a ser verdadeira 2ª afirmação Mas Cláudia disse que Ana e Bia mentem o que gera uma CONTRADIÇÃO pois por suposição Ana diz a verdade 3ª afirmação Conclusão Hipótese inválida devemos formular uma nova hipótese Hipótese 2 Ana está mentindo Se Ana mente então Bia diz a verdade oposto de sua afirmação 1ª afirmação 28 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se Bia diz a verdade então Cláudia mente 2ª afirmação Mentindo então não é verdade que Ana e Bia mentem ou seja Ana ou Bia diz a verdade e como Bia realmente diz a verdade logo não temos contradição nenhuma mantendo a hipótese válida logo tudo o que foi deduzido por esta hipótese pode ser considerado correto Conclusão Bia diz a verdade e Ana e Cláudia mentem Exemplo 8 Quem quebrou o vaso da Vovó Ao ver o estrago na sala mamãe pergunta zangada Quem quebrou o vaso da vovó As repostas das crianças foram as seguintes Não fui eu disse André Foi o Carlinhos disse Bruna Não fui eu não mas foi a Duda falou Carlinhos A Bruna está mentindo falou Duda Considere a situação descrita acima para resolver as questões de números I II e III Questão I Sabendo que somente uma das crianças mentiu podese concluir que a André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso b Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso c Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso d Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso e Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso Questão II Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade podese concluir que a André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso b Bruna falou a verdade e André quebrou o vaso c Duda falou a verdade e André quebrou o vaso d Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso e Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso Questão III Sabendo que exatamente duas crianças mentiram podese concluir que a Carlinhos mentiu e André quebrou o vaso b André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso 29 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c Bruna diz a verdade e foi ela quem quebrou o vaso d Quem quebrou o vaso foi André ou Duda e Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso Solução Questão I A resposta correta é a alternativa B Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças mentiu podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André mentiu se gerar uma contradição então vamos supor que a Bruna mentiu e assim sucessivamente Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele logo não pode haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso seria o próprio André 1ª afirmação Sendo assim Bruna também estaria mentindo afinal ela apontou o Carlinhos mas sendo o André ele teria que ser inocente o que não pode acontecer pois pelo enunciado só um deles poderia mentir CONTRADIÇÃO Hipótese 2 Bruna mentiu Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos e todos os demais estariam dizendo a verdade pois só a Bruna mentiu 2ª afirmação Assim sendo é verdade que André não quebrou o vaso 1ª afirmação mas Duda sim afirmação de Carlinhos 3ª afirmação e realmente Bruna estaria mentindo afirmação de Duda 4ª afirmação Neste caso não teríamos nenhuma contradição logo Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Bruna mentiu e André Carlinhos e Duda falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi André Não André Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda V Não fui eu foi a Duda Foi Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo 30 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles A DUDA Questão II A resposta correta é a alternativa C Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que apenas uma das crianças disse a verdade podendo ser André Bruna Carlinhos ou Duda Como primeira hipótese vamos supor que o André disse a verdade se gerar uma contradição então é porque André não disse a verdade ou seja ele mentiu e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André mentiu e devemos encontrar uma outra criança para dizer a verdade Hipótese 1 André disse a verdade Se André falou a verdade então realmente não foi ele 1ª afirmação entretanto todos os demais deveriam mentir Se Bruna mentiu vale o oposto de sua afirmação então não foi o Carlinhos 2ª afirmação Se Carlinhos mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Se Duda mentiu vale o oposto de sua afirmação então a Bruna deveria estar falando a verdade 4ª afirmação mas por hipótese Bruna é uma das que mentiram CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André mentiu e ainda não sabemos quem disse a verdade Como o André mentiu vale o oposto de sua afirmação deste modo podemos concluir que foi ele quem quebrou o vaso da Vovó 1ª afirmação Neste caso Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos 2ª afirmação devemos inocentálo afinal já descobrimos quem quebrou o vaso André Entretanto Carlinhos também mentiu caso contrário teria sido a Duda 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade e isso não gera contradição pois ela afirma que Bruna está mentindo 4ª afirmação Note que nesta hipótese apenas Duda estaria dizendo a verdade Conclusão Duda falou a verdade e André quebrou o vaso A tabela a seguir apresenta um resumo referente a hipótese válida Duda falou a verdade e André Bruna e Carlinhos mentiram NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu M Foi sim o André Foi André 31 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Bruna Foi o Carlinhos M Não foi o Carlinhos Não Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Não foi a Duda Não Duda Duda A Bruna está mentindo V A Bruna está mentindo Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava mentindo e foi acusado apenas um deles O ANDRÉ Questão III A resposta correta é a alternativa E Iniciaremos formulando uma hipótese mas antes lembrese de que exatamente duas crianças mentiram Como primeira hipótese vamos supor que André mentiu a partir desta hipótese vamos ler todas as afirmações tentando manter esta hipótese válida ou seja apenas mais uma criança poderá mentir se gerar uma contradição então é porque André não mentiu isto é ele disse a verdade e a partir daí formulamos a segunda hipótese a de que André disse a verdade e devemos encontrar duas crianças para mentir Hipótese 1 André mentiu Se André mentiu vale o oposto de sua afirmação então foi ele quem quebrou o vaso 1ª afirmação não podendo haver outra criança que tenha quebrado o vaso pois neste caso foi o André Assim sendo Bruna também estaria mentindo pois não poderia ser Carlinhos devemos inocentálo pois já temos um culpado 2ª afirmação Entretanto Carlinhos também estaria mentindo caso contrário teria sido a Duda devemos inocentála para ser o André 3ª afirmação Logo Duda falou a verdade pois ela afirma que Bruna está mentindo Mas isso gera uma contradição pois por hipótese exatamente duas crianças mentiram e não três como neste caso CONTRADIÇÃO Hipótese 2 André disse a verdade Se André disse a verdade então com certeza não foi ele 1ª afirmação Supondo que Bruna também disse a verdade deve existir mais alguém dizendo a verdade além do André então Carlinhos quebrou o vaso 2ª afirmação Neste caso Carlinhos estaria mentindo confirmando que foi ele ou não foi a Duda 3ª afirmação Por último Duda também estaria mentindo vale o oposto de sua afirmação pois nessa hipótese Bruna falou a verdade 4ª afirmação 32 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Como não chegamos a nenhuma contradição concluise que André e Bruna falaram a verdade e Carlinhos e Duda mentiram e quem quebrou o vaso foi o Carlinhos A tabela abaixo apresenta um resumo referente a hipótese válida Carlinhos e Duda mentiram e André e Bruna falaram a verdade NOME Frase Original VALOR Frase a ser considerada Julgamento André Não fui eu V Não foi o André Não André Bruna Foi o Carlinhos V Foi o Carlinhos Foi Carlinhos Carlinhos Não fui eu foi a Duda M Foi Carlinhos Foi Carlinhos Duda A Bruna está mentindo M A Bruna está falando a verdade Está mesmo Observe que não há nenhuma contradição pois a Bruna realmente estava dizendo a verdade e foi acusado apenas um deles O CARLINHOS Observação 1 Cada questão deste problema poderia ser resolvida a partir da hipótese de que um deles quebrou o vaso neste caso deveríamos começar supondo que André quebrou o vaso e que os outros três são inocentes A seguir devemos ler suas informações e concluir se elas são verdadeiras ou falsas logo depois devemos confrontar com o enunciado de cada questão verificar por exemplo se na questão I só um deles estaria mentindo se satisfizer então realmente foi o André caso contrário crie uma nova hipótese a de que foi Bruna e repita o mesmo procedimento Observação 2 Independente da hipótese original de que alguém mentiu ou falou a verdade ou partindo pelo caminho de que alguém é o culpado é possível chegar a conclusão do problema basta estar concentrado no fato de que quem diz a verdade é porque sua afirmação é totalmente válida e quem mente significa que o oposto de sua afirmação é que é válida ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro 33 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 sempre mente Márcio para descobrir quem é o João e quem é o José desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar quem é quem basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe com quem está falando Qual é a pergunta capaz de determinar quem é João e quem é José Solução Este é um problema bem diferente mas muito interessante Não podemos esquecer que um dos irmãos sempre fala a verdade mas não sabemos qual deles enquanto que o outro sempre mente e também não sabemos quem é A primeira pergunta que normalmente vem em mente é Você é o João Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM mas se João fosse mentiroso ele diria NÃO mentindo a sua resposta correta A mesma pergunta feita para José que digamos diz a verdade ele responderia NÃO mas se José fosse mentiroso ele diria SIM mentindo a sua resposta Observe que se ouvirmos um SIM não sabemos se este SIM vem de João ou se este SIM vem do José afinal os dois podem responder a esta pergunta SIM ou NÃO e é por este motivo que esta pergunta não serve Se a pergunta for Você é o José Teríamos o mesmo problema A pergunta que deve ser feita pode parecer a princípio ser estranha e não resolver mas conforme será explicado a seguir é a única pergunta que gera uma mesma resposta evitando assim a dúvida que surgiu na hipótese anterior A pergunta capaz de descobrir quem é João e quem é José é João fala a verdade Agora será provado que esta pergunta satisfaz o problema Se isso for perguntado para o João que digamos diz a verdade ele responderia SIM Entretanto se João fosse mentiroso ele pensaria a minha resposta é NÃO por que eu não digo a verdade mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário SIM Note que se esta pergunta for feita para João independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será SIM Agora devemos refletir sobre a pergunta João fala a verdade caso ela fosse feita a José 34 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se a pergunta for feita para José que por hipótese fale a verdade ele responderia NÃO afinal nesta hipótese quem fala a verdade é José logo João seria o mentiroso Entretanto se José fosse mentiroso é porque João fala a verdade logo ele pensaria João é quem fala a verdade então a resposta correta é SIM mas como eu minto devo inverter a resposta por isso vou responder o contrário NÃO Note que se esta pergunta for feita para José independente de ele falar a verdade ou mentir a resposta sempre será NÃO Conclusão a pergunta que deve ser feita é João fala a verdade Se a resposta for SIM o interrogado é o João mas se a resposta for NÃO o interrogado é o José Observação Existem mais três perguntas corretas para este problema João mente ou José fala a verdade ou José mente O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles ATENÇÃO O objetivo dos exercícios a seguir é que você treine o seu raciocínio sem ser avaliado apenas como treinamento para habilitar você a fazer corretamente os exercícios pontuados que serão sim avaliadas A metodologia sugerida para os exercícios propostos é em primeiro lugar tente resolver o exercício proposto sozinho caso você não tenha conseguido chegar à resposta correta na primeira tentativa volte ao enunciado do exercício e tente uma nova estratégia se após a segunda tentativa você ainda não tiver encontrado a resposta correta esta aparecerá automaticamente para você Tenha acertado ou não assista ao vídeo do professor correspondente ao exercício No vídeo o professor apresenta uma maneira de chegar ao resultado que poderá ser diferente da utilizada por você pois na realidade não existe apenas um procedimento ou caminho adequado mas múltiplas possibilidades de se chegar à resposta Nesse sentido é interessante que mesmo tendo atingido o resultado você sempre assista aos vídeos para contrastar sua lógica com a lógica do professor lembre que as duas podem estar corretas Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 6 e 7 35 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 ATENÇÃO O problema a seguir é um desafio com um grau maior de complexidade Se você conseguiu resolver os casos apresentados até agora você pode tentar resolver o presente caso Se não conseguir não fique preocupado pois se trata apenas de um desafio Desafio Irmãos Gêmeos II João e José são dois irmãos gêmeos idênticos que possuem uma peculiaridade um dos dois sempre fala a verdade independente do que for perguntado enquanto que o outro sempre mente Márcio para descobrir se João é quem fala a verdade ou se João é o que mente desenvolveu uma técnica ele descobriu que existe uma pergunta que independente de para quem seja feita é possível determinar esta resposta basta que a resposta dada seja sim ou não Desse modo sempre que ele encontra um deles ele faz essa pergunta pela resposta sim ou não ele já sabe se João fala a verdade ou mente Qual é a pergunta capaz de descobrir se João fala a verdade ou mente Observe que não queremos saber qual deles é o João e qual é o José mas sim quem fala a verdade e quem mente Resposta A pergunta que deve ser feita é Você é o João Se a resposta for sim é porque o João é quem fala a verdade e se for não é porque João é o mentiroso Observação Existe mais uma pergunta correta para este problema Você é o José O único detalhe é adaptar a resposta única que seria dada por qualquer um deles 36 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 2 OPERAÇÕES LÓGICAS OBJETIVO DA UNIDADE Analisar argumentos com a correspondente reordenação de modo que essas informações passem a fazer sentido Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas lugares coisas ou eventos fictícios Deduzir novas informações a partir de relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações 21 Conceitos de Proposições e Valores Lógicos O universo da Lógica Simbólica é formado por um conjunto de proposições na qual se entende por proposição toda sentença declarada por meio de palavras ou símbolos que satisfaz aos dois seguintes princípios É verdadeira ou é falsa Princípio do terceiro excluído Isto significa que toda sentença deverá ser verdadeira ou deverá ser falsa não existindo portanto uma terceira possibilidade Não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa Princípio da nãocontradição Este princípio vem ao encontro do anterior reforçando a ideia de que uma sentença nunca poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Tais princípios nos levam a admitir que só existem dois únicos valores possíveis para as proposições esses valores são denominados de valores lógicos O valor verdade para representar qualquer proposição verdadeira O valor falsidade para representar qualquer proposição falsa Por este motivo a Lógica Simbólica também pode ser denominada de Lógica Bivalente Existem duas notações para a designação dos valores lógicos das proposições Letra V inicial da palavra verdade para designar quando uma proposição é verdadeira F inicial da palavra falsidade para designar quando uma proposição é falsa Algarismo 1 é a designação do valor verdade 0 é a designação do valor falsidade OS As proposições normalmente são indicadas por letras minúsculas Seguem alguns exemplos de sentenças declarativas que por assumir um valor lógico podem ser definidas como proposições 37 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 a O número 15 é ímpar verdade b O número 4 é primo5 falso c Existe homem honesto verdade d Todos os homens gostam de futebol falso e Algumas mulheres são torcedoras do Grêmio verdade f 5 3 7 falso g Se você não faltar às aulas de matemática então terá mais condições de resolver as listas de exercícios verdade Não são exemplos de proposições a Você gosta de matemática b Puxa vida que aula interessante c x 2 não sabemos o valor de x para analisar a inequação d 5 2 x não sabemos o valor de x para analisar a equação 211 Proposição Simples Proposição simples é toda proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma ou seja é composta por uma única sentença declarativa deste modo não se pode subdividila em partes menores tais que algumas delas seja uma nova proposição Seguem alguns exemplos de proposição simples a Elvézio adora lógica b Fluminenses são os cidadãos que nasceram no Rio de Janeiro c O time do São Paulo é tri campeão mundial Já a proposição Carlos é filho de Maria e de José não é simples pois é possível decompôla em duas outras proposições simples Carlos é filho de Maria e Carlos é filho de José 212 Proposição Composta Proposição composta é toda proposição que contém mais de uma proposição simples como parte integrante de si mesma podendo então ser subdividida em partes menores tais que cada uma destas partes deve ser analisada no que diz respeito ao valor lógico para que seja deduzido o valor lógico da proposição composta 5 Todo número que apresenta dois únicos divisores é denominado de número primo Exemplos 2 único número primo par 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 38 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 213 Proposições Equivalentes Por definição duas proposições p e q dizemse equivalentes se ambas são verdadeiras ou ambas são falsas ou seja se ambas possuem o mesmo valor lógico As seguintes notações indicam a equivalência entre duas proposições p e q p q ou p q ou p q Para simbolizar quando duas proposições p e q não são equivalentes usase as notações p q ou ou São exemplos de proposições equivalentes a p O São Paulo é um time paulista q O Flamengo é um time carioca Logo p q afinal ambas são verdadeiras b p 6 5 10 q O Brasil fica na Europa Logo p q afinal ambas são falsas 22 Operações Lógicas sobre Proposições Conectivos Lógicos Os conectivos fazem a ligação entre duas ou mais proposições formando as proposições compostas O valor lógico das proposições compostas depende não só do valor lógico de cada proposição integrante mas também do conectivo que as une As proposições compostas podem receber denominações especiais conforme o conectivo usado para ligar as proposições componentes Vejamos agora cada um desses conectivos 221 Conjunção e Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo e A conjunção p e q podem ser representadas simbolicamente por p q ou pq p q p q 39 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma conjunção é dita verdadeira somente quando ambas as proposições simples forem verdadeiras Ou seja a conjunção p q é verdadeira somente quando p é verdadeira e q é verdadeira também O valor lógico da conjunção de duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Exemplos a p Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul Vp 1 q Campo Grande localizase na região CentroOeste Vq 1 pq Campo Grande é a capital do estado de Mato Grosso do Sul e localizase na região CentroOeste Vpq 1 b p 30 1 Vp 1 q 22 4 Vq 0 pq 30 1 e 22 4 Vpq 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a conjunção p q corresponderá à interseção do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q 222 Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica ou Denominamos disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou A disjunção p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q P Q pq corresponde a PQ 40 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma disjunção inclusiva é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas Ou seja a disjunção inclusiva p q é falsa somente quando p é falsa e q é falsa também No entanto se p for verdadeira ou se q for verdadeira ou mesmo se ambas p e q forem verdadeiras então a disjunção inclusiva será verdadeira Em outras palavras para que a disjunção p ou q seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira O valor lógico da disjunção inclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplos a p A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande Vp 1 q A UCDB oferece o curso de medicina Vq 0 pq A UCDB é uma universidade que se localiza em Campo Grande ou oferece o curso de medicina Vpq 1 b p 31 1 Vp 0 q 2 1 Vq 0 pq 31 1 ou 2 1 Vpq 0 c p O grêmio é um time gaúcho Vp 1 q 5 2 7 Vq 1 pq O grêmio é um time gaúcho ou 5 2 7 Vpq 1 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção inclusiva p q corresponderá à união do conjunto P com o conjunto Q ou seja P Q P Q pq corresponde a PQ 41 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 223 Disjunção Exclusiva ou ou A palavra ou tem dois sentidos no caso anterior disjunção inclusiva para a proposição composta ser verdadeira pelo menos uma das proposições simples deve ser verdadeira Por outro lado temos o caso em que isto não ocorre disjunção exclusiva que nos faz lembrar na linguagem usual os momentos de ênfase para a tomada de decisões conforme definida a seguir Exemplo Um casal de namorados decide sair e de repente o rapaz pergunta para a namorada Escolha o local para nos alimentarmos ou pizzaria ou restaurante Este exemplo aponta claramente que apenas uma das opções deve ser escolhida Denominamos por disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo ou ou ou em casos em que o conectivo ou for empregado para determinar a escolha entre opções ou seja quando o ou der a ideia que a necessidade de se escolher alguma coisa A disjunção ou p ou q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando apenas uma das duas proposições for verdadeira Ou seja a disjunção exclusiva p q é verdadeira quando os valores lógicos das duas proposições forem diferentes e falsa quando os valores lógicos das duas proposições forem iguais O valor lógico da disjunção exclusiva entre duas proposições pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Exemplo a Um marido ao saber que sua esposa está grávida e que ela está esperando um único bebê faz as seguintes declarações p A criança será um menino q A criança será uma menina p q A criança será ou um menino ou uma menina Vp q 1 42 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 b p 3 1 3 1 Vp 1 q 2 1 2 2 Vq 1 p q ou 3 1 3 1 ou 2 1 2 2 Vp q 0 Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a disjunção exclusiva p q corresponderá à diferença entre a união e a interseção entre o conjunto P e o conjunto Q ou seja P Q P Q Observação Convencionaremos que neste texto quando nos referirmos à disjunção desacompanhada do adjetivo inclusiva ou exclusiva estaremos nos referindo à disjunção inclusiva Alguns autores para evitar esta confusão adotam a seguinte convenção o ou inclusivo é frequentemente substituído por eou e o ou exclusivo por ou ou Assim por exemplo se uma Universidade que oferece o curso de Ciências Contábeis deseja oferecer mais de uma opção para seus formandos esta pode empregar uma das seguintes colocações a Aqui vocês serão habilitados para serem contadores ou professores Neste caso o curso estaria oferecendo três opções ser apenas contador ser apenas professor ou ser contador e professor disjunção inclusiva b Aqui vocês serão habilitados para serem ou contadores ou professores Neste caso o curso estaria dando ênfase a uma das duas opções ser apenas contador ou ser apenas professor disjunção exclusiva 224 Condicional Condicional material Se p então q Denominamos condicional ou condicional material a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo Se então ou por uma de suas formas equivalentes P Q p q corresponde a P Q P Q 43 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 A condicional Se p então q pode ser representada simbolicamente por p q ou p q A proposição p anunciada pelo uso da conjunção se é chamada de condição ou antecedente enquanto que a proposição q anunciada pelo advérbio então é chamada de conclusão ou consequente As seguintes expressões podem ser empregadas como forma equivalente a condicional Se p então q Se p q q se p Todo p é q p implica q p somente se q p é suficiente para q q é necessário para p Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição condicional p q corresponderá à inclusão do conjunto P no conjunto Q P está contido em Q ou seja P Q Uma condicional p q é falsa somente quando a condição p é verdadeira e a conclusão q é falsa sendo verdadeira em todos os outros casos Ou seja para a condicional p q ser verdadeira a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa Vejamos um exemplo para esclarecer melhor o valor lógico de uma condicional Em um campeonato de futebol o time que terminar a primeira fase com o maior número de pontos terá a vantagem de jogar as duas partidas finais podendo empatálas ou vencer um dos dois jogos por qualquer placar Supondo que o São Paulo terminou a primeira fase em primeiro lugar é possível afirmar que Q pq corresponde a P Q P 44 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se o São Paulo vencer a primeira partida da final então ele será o campeão Preste bem atenção essa condicional afirma que se o São Paulo vencer a primeira partida já será campeão mas nada informa sobre os demais casos A princípio temos quatro possibilidades 1 O São Paulo vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta aliás perfeitamente satisfeita 2 O São Paulo vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional é falsa pois a previsão não aconteceu Essa também é bem visível e fácil de compreender afinal pela condicional seria um absurdo vencer a primeira e não ser o campeão 3 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato do São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo não contradiz a previsão feita afinal não foi afirmado nada sobre a possibilidade de ele perder podendo ainda ser ou não campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira 4 O São Paulo não vencer a primeira partida da final e não ser o campeão Neste caso a proposição formulada na condicional está correta pois ela prevê o fato de o São Paulo vencer a primeira partida isso não ocorrendo novamente não contradiz a previsão feita Em outras palavras o São Paulo não vencendo a primeira partida pode significar que ele pode ou não ser o campeão Logo a condicional não sendo falsa pelo princípio do terceiro excluído ela é verdadeira O valor lógico da proposição condicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Observando a tabela verdade podese concluir que a proposição condicional p q é verdadeira quando o valor lógico da condição p é menor ou igual ao valor lógico da conclusão q Isto é p q é verdadeira se p q Ou ainda uma condicional é verdadeira quando a condição for falsa ou quando a conclusão for verdadeira Validando uma dessas duas possibilidades já é possível afirmar que a condicional seria válida 45 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo a p A Alemanha venceu a final da Copa do Mundo em 2014 Vp 1 q Alemanha é tetracampeã de futebol Vq 1 p q Se a Alemanha vencer a final da Copa do Mundo em 2014 então ela será tetracampeã de futebol Vp q 1 p q A Alemanha será tetracampeã de futebol se vencer a final da Copa do Mundo em 2014 Vp q 1 b p Todas as mulheres são formosas Vp 1 q Maria não é formosa Vq 0 p q Se todas as mulheres são formosas então Maria não é formosa Vp q 0 c p 6 é primo Vp 0 q 5 é ímpar Vq 1 p q Se 6 é primo então 5 é ímpar Vp q 1 d p 7 não é primo Vp 0 q 8 não é divisível por 4 Vq 0 p q Se 7 não é primo então 8 não é divisível por 4 Vp q 1 Observação Usualmente quando empregamos uma sentença do tipo Se p então q esperamos que exista entre p e q alguma forma de relacionamento ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito Nesse sentido aceitaríamos com facilidade por exemplo a proposição Se um número inteiro é par então ele é divisível por 2 Pois existe uma relação de causa e efeito entre as proposições No mesmo sentido tenderíamos a recusar proposições como Se Cristiano Ronaldo foi eleito o melhor jogador do mundo no ano de 2014 então a Alemanha será campeã da Copa do Mundo de 2014 Ou ainda Se um quadrado tem três lados então falase o japonês no Brasil Pois nelas falta algo que relacione a condição e a conclusão Provavelmente recusaríamos a primeira afirmando algo como O que é que tem a ver Cristiano Ronaldo jogador de Portugal ser eleito o melhor jogador do mundo com a Alemanha ser campeã da Copa do Mundo de 2014 e quanto à segunda é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como Para começar um quadrado não tem três lados E mesmo que tivesse isto não tem nada a ver com falarse ou não o japonês no Brasil No entanto essas duas proposições são verdadeiras 46 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Para a Lógica não importa se existe ou não alguma relação entre p e q Existem portanto dois tipos de implicação 1 Quando existe interação entre p e q conhecida como implicação formal ou dedução 2 Quando não existe interação entre p e q conhecida como implicação material ou implicação Obs Toda implicação formal é material mas nem toda implicação material é formal 225 Bicondicional p se e somente se q Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se ou por uma de suas formas equivalentes A bicondicional p se e somente se q pode ser representada simbolicamente por p q p q Como o próprio nome e símbolo sugerem uma proposição bicondicional p se e somente se q equivale à proposição composta se p então q e se q então p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de p se e somente se q p se e só se q Todo p é q e todo q é p Todo p é q e reciprocamente Se p então q e reciprocamente p somente se q e q somente se p p é suficiente para q e q é suficiente para p q é necessário para p e p é necessário para q Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos através de um diagrama a proposição bicondicional p q corresponderá à igualdade dos conjuntos P e Q ou seja P Q pq corresponde a P Q P Q 47 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Uma bicondicional p q é verdadeira somente quando p e q têm o mesmo valor lógico ou ambas são verdadeiras ou ambas são falsas sendo falsa quando p e q têm valores lógicos diferentes Ou seja a bicondicional p q equivale a duas proposições equivalentes Vejamos um exemplo que esclarece melhor a bicondicional Um número inteiro é divisível por 2 se e somente se ele é par Isso equivale a afirmar que Se um número inteiro é divisível por 2 então ele é par e se um número é par então ele é divisível por 2 Note que a condição verdadeira gera uma conclusão verdadeira independente de quem é a condição e de quem é a conclusão O valor lógico da proposição bicondicional pode ser definido pela tabela verdade p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Resumindo a proposição bicondicional p q pode ser denotada por p q é equivalente a p q Exemplo a p Os números 70 e 75 são divisíveis por 5 Vp 1 q Os números 70 e 75 terminam em 0 ou 5 Vq 1 p q Os números 70 e 75 serão divisíveis por 5 se e somente eles terminarem em 0 ou 5 Vp q 1 Um número inteiro é divisível por 5 se e somente se o algarismo das unidades for 0 ou 5 Se um número inteiro é divisível por 5 então o algarismo das unidades é 0 ou 5 e se o algarismo das unidades é 0 ou 5 então o número inteiro é divisível por 5 b p Neymar foi o melhor jogador do mundo em 2015 Vp 0 q Neymar foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vq 0 p q Neymar foi considerado o melhor jogador do mundo em 2015 se e somente se ele foi eleito a Bola de Ouro em 2015 Vp q 1 Todos os melhores jogadores do mundo num determinado ano são eleitos a Bola de Ouro neste mesmo ano 48 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 c p 16 é um quadrado perfeito Vp 1 q O quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vq 0 p q 16 é um quadrado perfeito se e somente se o quadrado da soma é igual a soma dos quadrados Vp q 0 226 Negação Não p Denominamos negação de uma proposição qualquer p à proposição composta que se obtém a partir da proposição p acrescida do conectivo lógico não ou de outro equivalente A negação não p pode ser representada simbolicamente por p ou p As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de não p Não é verdade que p É falso que p Uma proposição p e sua negação não p sempre terão valores lógicos opostos O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela tabela verdade p p 1 0 0 1 Como se pode observar na tabela verdade uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas Exemplo a p A UCDB oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 1 p A UCDB não oferece o curso de Engenharia Sanitária e Ambiental Vp 0 b p O curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Vp 0 p O curso de Administração possui a disciplina de Matemática Vp 1 p Não é verdade que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática p É falso dizer que o curso de Administração não possui a disciplina de Matemática Se a proposição p for representada como conjunto através de um diagrama a negação p corresponderá ao conjunto complementar de P ou seja P 49 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 8 e 9 e o Exercício Pontuado 21 23 Propriedades Algébricas das Proposições Álgebra de Boole Em meados do século passado o inglês G Boole deu uma estruturação matemática à Lógica mostrando que as operações definidas no conjunto das proposições gozam de propriedades algébricas semelhantes às propriedades das operações definidas em conjuntos numéricos Esta estrutura foi chamada Álgebra de Boole Em decorrência foram demonstradas outras propriedades de grande importância como por exemplo a leia da dupla negação e as chamadas primeiras leis de De Morgan O universo da Lógica Formal ou seja o conjunto das proposições munido das operações de conjunção disjunção e negação define uma estrutura algébrica que se chama Álgebra de Boole Será visto neste instante essa estrutura algébrica isto é as propriedades formais das referidas operações Assim quaisquer que sejam os valores lógicos de p q e t temos as seguintes propriedades 231 Propriedades da Conjunção Multiplicação Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 1 p 1 p P p corresponde a P 50 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 0 p 0 0 232 Propriedades da Disjunção Soma Lógica 1 Comutativa p q q p 2 Associativa p q t p q t 3 Tem elemento neutro o valor lógico 0 p 0 p 4 Tem elemento absorvente o valor lógico 1 p 1 1 Como é fácil verificar há uma analogia entre a conjunção e a multiplicação de números bem como entre a disjunção e a adição Apenas não valem para os conjuntos numéricos munidos das operações citadas anteriormente a propriedade 4 para a disjunção a primeira das propriedades mistas 5 e a propriedade 7 Por este motivo a disjunção e a conjunção são denominadas de soma lógica e multiplicação lógica respectivamente 233 Propriedades Mistas 5 A disjunção é distributiva em relação à conjunção p q t p q p t 6 A conjunção é distributiva em relação à disjunção p q t p q p t 7 Para todo elemento p existe um e só um elemento x tal que p x 1 e p x 0 Este elemento x é precisamente a negação de p x p Em outras palavras p p 1 e p p 0 234 Lei da dupla negação p p 235 Primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q respectivamente traduzidas na linguagem coloquial por a negação da disjunção é a conjunção das negações a negação da conjunção é a disjunção das negações As leis de De Morgan podem também exprimir os seguintes fatos 51 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 negar que as proposições p e q são ambas verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma delas não é verdadeira ou seja que pelo menos uma delas é falsa negar que pelo menos uma das proposições p e q é verdadeira equivale a afirmar que ambas não são verdadeiras ou seja que ambas são falsas Ou ainda negar que todas as proposições são verdadeiras falsas significa afirmar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma delas é falsa verdadeira negar que pelo menos uma existe uma ou ainda alguma das proposições é verdadeira falsa significa afirmar que todas são falsas verdadeiras Exemplo a A negação de Todos os alunos gostam de matemática é Existe um aluno que não gosta de matemática ou Pelo menos um aluno não gosta de matemática ou ainda Algum aluno não gosta de matemática b A negação de Nenhum aluno está entendendo a matéria é Existe um aluno que está entendendo a matéria ou Pelo menos um aluno está entendendo a matéria ou ainda Algum aluno está entendendo a matéria c A negação de Existe um flamenguista feliz ou Algum flamenguista é feliz é Todos os flamenguistas não são felizes ou Nenhum flamenguista é feliz ou ainda Qualquer flamenguista é infeliz d A negação de Existe uma pessoa infeliz ou Alguém não é feliz é Todas as pessoas são felizes ou 52 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Nenhuma pessoa é infeliz ou ainda Qualquer pessoa é feliz e A negação de Adriana é bonita e simpática é Adriana não é bonita ou não é simpática f A negação de Adriana é bonita ou simpática é Adriana não é bonita nem simpática ou Adriana não é bonita e não é simpática Princípio da dualidade lógica Se numa propriedade qualquer nós trocamos a conjunção pela disjunção a disjunção pela conjunção o 0 por 1 o 1 por 0 deixando inalterada a negação obtémse uma propriedade válida no conjunto das proposições chamada dual da propriedade considerada Assim observase com facilidade que cada lei de De Morgan é dual da outra que também são duais as propriedades 1 2 e 5 da conjunção em relação às propriedades 1 2 e 5 da disjunção Propriedades da Equivalência Se duas proposições são equivalentes as suas negações também são equivalentes p q p q 236 Relação entre os Conectivos 1 A disjunção pode ser expressa em termos da negação e da conjunção p q p q Isso significa que afirmar que pelo menos uma proposição é verdadeira falsa é equivalente a negar que todas não são verdadeiras falsas Por exemplo afirmar que O Brasil deve ganhar pelo menos uma medalha nas Olimpíadas é equivalente a afirmar que Não é verdade que o Brasil não vai ganhar nenhuma medalha nas Olimpíadas Como um outro exemplo observe que a afirmação Existe homem que não é feliz é o mesmo que afirmar que Não é verdade que todos os homens são felizes 53 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2 A conjunção pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q Isso significa que afirmar que todas as proposições são verdadeiras falsas é equivalente a negar que pelo menos uma não é verdadeira falsa Por exemplo afirmar que Todas as mulheres são simpáticas é equivalente a afirmar que Não é verdade que exista uma mulher que não é simpática Como um outro exemplo observe que a afirmação Nenhum homem dirige mal é o mesmo que afirmar que Não é verdade que pelo menos um homem dirija mal 3 A disjunção exclusiva pode ser expressa em termos da negação da conjunção e da disjunção p q p q p q 4 Condicional A condicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção p q p q p q 5 Bicondicional 51 A bicondicional pode ser expressa em termos da condicional e da conjunção p q p q q p 52 A bicondicional pode ser expressa em termos da negação e da disjunção exclusiva p q p q 53 A bicondicional pode ser expressa em termos da disjunção da negação e da conjunção p q p q p q De fato utilizando as leis de De Morgan e a lei da dupla negação temos para os dois primeiros casos p q p q p q p q p q p q e p q p q p q p q p q p q O terceiro caso é apenas a definição da disjunção exclusiva Para ilustrar como é intuitiva tal expressão observe que afirmar Ou como no almoço frango ou como no almoço carne é equivalente a afirmar que Como no almoço frango e não como carne ou não como no almoço frango e como carne 54 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 O quarto caso pode ser deduzido intuitivamente do fato de que p q é verdadeira se p q Observe que p é menor ou igual a q sempre que p assumir o valor lógico zero negação de p ou q assumir o valor lógico 1 afirmação de q A expressão 51 pode ser deduzida da definição da bicondicional isto é a expressão p se e somente se q é equivalente a se p então q e se q então p A expressão 52 pode ser deduzida de 51 e de 4 conforme é apresentado abaixo p q p q q p p q p q q p p q p q p q p q p q p q p q p q Já a expressão 53 pode ser deduzida do fato de que a bicondicional é verdadeira quando p e q assumirem valores lógicos iguais ou seja quando ambas as proposições forem verdadeiras ou quando ambas forem falsas Tais afirmações mostram que a disjunção a conjunção a disjunção exclusiva a bicondicional a condicional e a negação não são operações independentes Vale ainda enfatizar que na teoria da Lógica Simbólica os resultados não se alteram quando substituímos uma expressão por outra que lhe é equivalente 237 Negação da Condicional p q p q De fato partindo da definição e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida as leis de De Morgan e da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q Assim negar se p então q equivale a afirmar a condição p e negar a conclusão q Por exemplo a negação de Se você estudar então será aprovado na disciplina é Você estudou e não foi aprovado na disciplina 55 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 238 Negação da Bicondicional p q p q ou p q p q p q De fato partindo da expressão 52 e tomando a negação de ambos os membros e utilizando em seguida a lei da dupla negação temos p q p q p q p q p q p q A segunda igualdade é apenas a aplicação da propriedade 3 Assim negar p se e somente se q equivale a afirmar que uma delas é verdadeira e a outra é falsa Por exemplo a negação de O Brasil será o pentacampeão do mundo se e somente se vencer a Copa do Mundo de 2002 é Ou o Brasil é o pentacampeão do mundo ou o Brasil venceu a Copa do Mundo de 2002 239 Negação da Disjunção Exclusiva p q p q ou p q p q p q Assim negar ou p ou q equivale a afirmar que ambas são verdadeiras ou ambas são falsas Por exemplo a negação de O senhor deseja ou frango ou carne é O senhor deseja frango se e somente se desejar carne 56 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 2310 Recíproca Inversa e Contraposta de uma Condicional A partir da condicional p q é possível associar outras três relações denominadas recíproca inversa e contraposta da referida condicional A recíproca e a inversa de uma condicional dada não lhe são equivalentes enquanto a contraposta também chamada de contrapositiva lhe é equivalente Em outras palavras p q q p p q p q p q q p Por exemplo a partir da condicional Se um quadrilátero é um retângulo então ele é um paralelogramo É possível escrever a sua recíproca a sua inversa e a sua contraposta das seguintes formas Recíproca Se um quadrilátero é um paralelogramo então ele é um retângulo Inversa Se um quadrilátero não é um retângulo então ele não é um paralelogramo Contraposta Se um quadrilátero não é um paralelogramo então ele não é um retângulo Note que a única expressão equivalente é a contraposta pois se não é um paralelogramo então não pode ter lados opostos paralelos e consequentemente não pode ser um retângulo Já a recíproca e a inversa não são equivalentes pois existem quadriláteros que são paralelogramos losango e não são retângulos e existem quadriláteros que não são retângulos alguns losangos e são paralelogramos 2311 Transitividade da condicional p q q t p t p q q p a recíproca p q a inversa q p a contraposta 57 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 24 Demonstrações das Propriedades 241 Tabela Verdade A demonstração das propriedades das equivalências e das não equivalências enunciadas anteriormente podem ser reduzidas a uma simples verificação utilizando as tabelas das operações estudadas e agrupando os dados de todos os modos possíveis através das chamadas tabela verdade Para ilustrar provemos as primeiras leis de De Morgan p q p q e p q p q Para isto será necessário montar uma tabela e descrever todas as possibilidades de se combinar as proposições p e q Se o resultado da coluna que descreve as operações do primeiro membro for igual ao resultado da coluna que descreve o segundo membro logo está provada a igualdade ou se representarmos a igualdade numa última coluna ela então deverá ser válida em qualquer hipótese p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 e p q p q p q p q p q p q p q 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Como um outro exemplo provemos a transitividade da condicional Neste caso observe que a relação a ser demonstrada não é dada por uma igualdade sendo assim a expressão deverá ser válida para qualquer possibilidade de se combinar as proposições p q e t ou seja a última coluna deve ser verdadeira para todos os casos assumir o valor lógico 1 p q q t p t 58 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 p q t p q q t p q q t p t p q q t p t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 242 Tautologia Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma tautologia se ela for sempre verdadeira quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem As primeiras leis de De Morgan e a transitividade da condicional apresentadas em tabelasverdade anteriormente são exemplos de tautologia 243 Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contradição se ela for sempre falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem Por exemplo as proposições uma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e p se e somente se não p que podem ser representadas simbolicamente por p p e p p respectivamente são exemplos de contradição pois independente dos valores lógicos de p e da negação de p ela será sempre falsa Observe nas tabelas abaixo p p p p p p p p 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 244 Contingência Uma proposição composta não tautológica nem contra válida é chamada contingência ou proposição contingente ou ainda proposição indeterminada 59 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Em outras palavras uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p q t é uma contingência se ela for parte verdadeira e parte falsa quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições p q t que a compõem 245 Argumento Um argumento é válido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão verdadeira e inválido quando a partir de premissas verdadeiras chegase a uma conclusão falsa É considerada condição de um argumento a expressão que se encontra à esquerda do símbolo e conclusão a expressão que se encontra à direita do símbolo Entretanto para avaliar um argumento precisamos definir quais condições são consideradas premissas para isso basta verificar quais condições são verdadeiras com isso podemos dizer que toda condição verdadeira é uma premissa e são essas premissas que devem ser analisadas para verificar que tipo de conclusões ela gera Temos então dois casos Se toda premissa gerar uma conclusão verdadeira então a expressão lógica representa um argumento válido Se alguma premissa gerar uma conclusão falsa então a expressão lógica representa um argumento inválido Por exemplo vamos verificar se a expressão a seguir pode ser classificada como um argumento válido ou inválido Exemplo 1 p q q p p q p q p q 1 q q p 2 1 2 condição p p q conclusão 1 1 1 0 0 1 premissa 0 1 Válido 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 premissa 1 1 Válido 0 0 1 1 0 1 premissa 1 1 Válido Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição três geraram premissas afinal os casos 1 3 e 4 são condições verdadeiras Analisando cada um desses três casos podemos afirmar que todos os três geraram conclusões verdadeiras logo como toda premissa gera conclusão verdadeira o Argumento é Válido 60 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Exemplo 2 p q p q p q p q p q 1 p p q 2 1 2 condição q p q conclusão 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 premissa 1 1 Válido 0 1 1 1 1 1 premissa 0 0 Não Válido 0 0 0 1 1 0 1 0 Observe que dos quatro casos em que analisamos a condição dois geraram premissas afinal os casos 2 e 3 são condições verdadeiras Analisando cada um desses dois casos podemos afirmar que alguma dessas duas premissas Caso 3 gerou uma conclusão falsa logo como alguma premissa gera conclusão falsa o Argumento é Inválido Antes de continuar seu estudo resolva os Exercícios 10 11 12 e 13 e o Exercício Pontuado 22 61 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 UNIDADE 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN OBJETIVO DA UNIDADE Apresentar os diagramas de Venn com o intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos Analisar simbolismos por meio do diagrama de Venn Desenvolver no acadêmico a habilidade de entender a estrutura lógica de relações arbitrárias por meio do diagrama de Venn Um dos matemáticos que mais contribuíram para a resolução de problemas lógicos através do uso de diagramas foi John Venn que viveu na Inglaterra nascendo em 1834 e falecendo em 1923 Esse matemático percebeu que a representação de conjuntos através de diagramas facilita a visualização permitindo conclusões mais seguras e rápidas dentro de um problema 31 Histórico John Venn formouse em 1857 e dois anos depois foi ordenado um padre Em 1862 ele voltou à Universidade de Cambridge estudando e ensinando lógica e teoria da probabilidade Ele desenvolveu a lógica matemática de Boole e é melhor conhecido pelo seu diagrama de representar conjuntos e as suas uniões e interseções Venn considerou três discos R S e T como subconjuntos típicos de um conjunto U As interseções destes discos e seus complementos dividem U em 8 regiões não justapostas das quais a união dá 256 combinações de Boolean diferentes do conjunto original R S e T Escreveu a Lógica de Chance 1866 publicou Lógica Simbólica 1881 e Os Princípios da Lógica Empírica 1889 32 Representações de Diagramas Para representar dois ou mais diagramas existem possíveis formas de posicionálos a partir de condições impostas no problema Seguem as relações mais comuns entre dois conjuntos com as possíveis formas de representálos desde as formas mais utilizadas até as formas não convencionais entre dois diagramas 321 Todo A é B Neste caso todo o conjunto A deve estar dentro do conjunto B 62 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 322 Nenhum A é B Neste caso os dois conjuntos devem ser disjuntos isto é nenhuma parte de A deve estar dentro de B logo a única forma de representálos é em dois conjuntos separados 323 Algum A é B Neste caso uma parte de A deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente a interseção entre os conjuntos A e B e a não convencional no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A é comum ao conjunto B Observação Vale ressaltar que se Todo A é B então existe Algum A que é B isso significa que a expressão Algum A é B também pode ser representada pelos dois casos B A Forma mais empregada A B Forma não convencional A B Forma mais empregada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 63 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 descritos no item 321 entretanto como esta representação é análoga a Todo A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 324 Algum A não é B Neste caso uma parte de A não deve ser comum ao conjunto B existindo duas formas de representálos a mais comum no qual fica evidente que uma parte de A não está dentro de B esta representação é análoga a primeira forma de representar Algum A é B sendo assinalado a região que está fora de B e não na interseção entre A e B A forma não convencional é aquela no qual B está dentro de A logo uma parte do conjunto A não é comum ao conjunto B esta parte é aquela que está fora de B Observação Vale ressaltar que se Nenhum A é B então existe Algum A que não é B isso significa que a expressão Algum A não é B também pode ser representada pelo caso descrito no item 322 entretanto como esta representação é análoga a Nenhum A é B ela acaba sendo muito pouco empregada não sendo utilizada neste texto 33 Exemplos Resolvidos Vejamos alguns exemplos de exercícios que envolvem as operações lógicas mas que podem ser resolvidos através do uso de diagramas 331 Todo A é B Todos os bons estudantes são pessoas aplicadas Assim sendo quantas das afirmações abaixo são necessariamente verdadeiras I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada A B Forma mais empregada Forma não convencional A B 64 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 5 I III VI VII e XI Serão representados os conjuntos Bons Estudantes e Pessoas Aplicadas pela forma mais empregada e também pela forma não convencional isso porque o exemplo pergunta a respeito das afirmações necessariamente verdadeiras devem satisfazer ambas as formas de representação e não daquelas que podem ser eventualmente verdadeiras satisfaz uma das formas de representação pois neste caso haveria mais afirmações verdadeiras as afirmações II VIII IX e X Dizer que todos os bons estudantes são pessoas aplicadas equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas aplicadas acharemos todos os bons estudantes Logo Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguma pessoa aplicada é um bom estudante Verdadeiro bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira 65 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas aplicadas Falso A 1ª representação fura esta afirmação III O conjunto das pessoas aplicadas contém o conjunto dos bons estudantes Verdadeiro IV Nenhuma pessoa aplicada é um bom estudante Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação V Algum bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso Tanto para a 1ª como para a 2ª representação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Falsa 66 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Existe alguém que não é bom estudante e não é uma pessoa aplicada Verdadeiro VII Todo aquele que não é uma pessoa aplicada não é um bom estudante Verdadeiro VIII Toda pessoa aplicada é um bom estudante Falso A 1ª representação fura esta afirmação IX Todo aquele que não é um bom estudante não é uma pessoa aplicada Falso A 1ª representação fura esta afirmação bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira Pessoas aplicadas bons estudantes bons estudantes Pessoas aplicadas Verdadeira Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 67 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Alguma pessoa aplicada não é um bom estudante Falso A 2ª representação fura esta afirmação XI Pode existir alguma pessoa aplicada que não é um bom estudante Verdadeiro Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações ela seja verdadeira 332 Todo A é B e Nenhum C é B Todo contador gosta de lógica Nenhum psicólogo gosta de lógica Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Algum contador é psicólogo II Nenhum contador é psicólogo III Alguém que não é contador é psicólogo IV Alguém que não é contador não é psicólogo V Todo aquele que não é contador não é psicólogo VI Todo aquele que não é contador é psicólogo VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas bons estudantes Pessoas aplicadas Falsa Verdadeira bons estudantes Pessoas aplicadas 68 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 6 II III IV VIII IX e X Serão representados os conjuntos Contador Gosta de lógica e Psicólogos apenas pela forma mais empregada isso porque todas as afirmações do exemplo relacionam os conjuntos Contador ou Gosta de lógica com o conjunto Psicólogos não sendo necessário analisar afirmações que relacionam os conjuntos Contador e Gosta de lógica De acordo com o enunciado o conjunto Contador está totalmente dentro do conjunto Gosta de lógica pois Todo contador gosta de lógica O conjunto Psicólogos está completamente fora do conjunto Gosta de lógica pois Nenhum psicólogo gosta de lógica Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Algum contador é psicólogo Falso II Nenhum contador é psicólogo Verdadeiro Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo 69 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 III Alguém que não é contador é psicólogo Verdadeiro IV Alguém que não é contador não é psicólogo Verdadeiro V Todo aquele que não é contador não é psicólogo Falso Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa 70 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VI Todo aquele que não é contador é psicólogo Falso VII Alguma pessoa que gosta de lógica é psicóloga Falso VIII Alguma pessoa que não gosta de lógica é psicóloga Verdadeiro IX Alguma pessoa que não gosta de lógica não é psicóloga Verdadeiro Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Falsa Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 71 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Todo aquele que gosta de lógica não é psicólogo Verdadeiro 333 Algum A é B e Nenhum C é B Alguns administradores atuam em marketing Nenhum advogado atua em marketing Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras I Alguns administradores são advogados II Alguns administradores não são advogados III Todo administrador é advogado IV Todo advogado é administrador V Nenhum administrador é advogado VI Nenhum advogado é administrador VII Alguns advogados são administradores VIII Alguns advogados não são administradores IX Pode existir algum advogado que é administrador X Pode existir algum advogado que não é administrador Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II IX e X Serão representados os conjuntos Administradores Atuam em marketing e Advogados apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo De acordo com o enunciado os conjuntos Administradores e Atuam em marketing possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Alguns administradores atuam em marketing O conjunto Advogado está completamente fora do conjunto Atuam em marketing pois Nenhum advogado atua em marketing Será designada a palavra Advogado por A Contador Gosta de lógica Psicólogo Verdadeira 72 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Observe que são válidas três hipóteses O conjunto Advogado completamente dentro do conjunto Administrador parcialmente dentro do conjunto Administrador e completamente fora do conjunto Administrador Cada afirmação será analisada da seguinte forma Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação I Alguns administradores são advogados Falso Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 73 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 II Alguns administradores não são advogados Verdadeiro III Todo administrador é advogado Falso IV Todo advogado é administrador Falso Verdadeira Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa Administrador A A A Marketing Falsa 74 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 V Nenhum administrador é advogado Falso VI Nenhum advogado é administrador Falso VII Alguns advogados são administradores Falso VIII Alguns advogados não são administradores Falso Administrador A A A Marketing Falsa Falsa Administrador A A A Marketing Administrador A A A Marketing Falsa 75 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IX Pode existir algum advogado que é administrador Verdadeiro X Pode existir algum advogado que não é administrador Verdadeiro 334 Algum A é B e Todo C é B Algum Homem é Caridoso Todo Religioso é Caridoso Sabese que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso Assim sendo quantas das afirmações a seguir são necessariamente verdadeiras Administrador A A A Marketing Falsa Verdadeira Administrador A A A Marketing Verdadeira Administrador A A A Marketing 76 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 I Algum Homem é Religioso II Pode existir algum Homem que é Religioso III Algum Homem não é Religioso IV Algum Religioso é Homem V Algum Religioso não é Homem VI Todo Homem é Religioso VII Todo Religioso é Homem VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem IX Nenhum Homem é Religioso X Nenhum Religioso é Homem Solução O número de afirmações necessariamente verdadeiras são 3 II III e VIII Serão representados os conjuntos Homens Caridosos e Religiosos apenas pela forma mais empregada isso porque ela resume todas as possibilidades válidas que relacionam estes três conjuntos sendo suficiente para analisarmos todas as afirmações do exemplo O fato de que o conjunto Homens é maior que o conjunto Religioso implica que estes dois conjuntos não podem ser iguais devendo ser excluída esta hipótese Esta condição é fundamental para que a afirmação II seja verdadeira pois se ela não existisse valeria a hipótese de que todos os conjuntos são iguais o que invalidaria esta afirmação Os conjuntos Homens e Caridosos possuem elementos comuns isto é pertencem aos dois conjuntos pois Algum Homem é Caridoso O conjunto Religioso está completamente dentro do conjunto Caridoso pois Todo Religioso é Caridoso Será designado a palavra Religioso por R Há 3 hipóteses O conjunto Religioso totalmente dentro do conjunto Homem parcialmente dentro do conjunto Homem e totalmente fora do conjunto Homem Cada afirmação será analisada da seguinte forma Homem R R R Caridoso 77 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 Se ela for verdadeira então será apresentado um ponto caso algum ou existe ou uma região caso todo ou nenhum que satisfaz a afirmação Se ela for falsa então será apresentado um ponto caso todo ou nenhum ou uma região caso algum ou existe que não satisfaz a afirmação Observação No caso especial em que uma afirmação estiver vinculada ao termo Pode existir ou Pode Acontecer para ela ser verdadeira basta que em no mínimo uma das possíveis representações seja verdadeira I Algum Homem é Religioso Falso II Pode existir algum Homem que é Religioso Verdadeiro III Algum Homem não é Religioso Verdadeiro Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Verdadeira Homem R R R Caridoso 78 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 IV Algum Religioso é Homem Falso V Algum Religioso não é Homem Falso VI Todo Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa Homem R R R Caridoso Falsa 79 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 VII Todo Religioso é Homem Falso VIII Pode acontecer o fato de Todo Religioso ser Homem Verdadeiro IX Nenhum Homem é Religioso Falso Homem R R R Caridoso Falsa Verdadeira Homem R R R Caridoso Homem R R R Caridoso Falsa 80 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 X Nenhum Religioso é Homem Falso 335 Condição necessária ou suficiente Se chove então faz frio Assim sendo a Chover é condição necessária para fazer frio b Fazer frio é condição suficiente para chover c Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio d Chover é condição suficiente para fazer frio e Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover Solução A resposta correta é a alternativa D Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e suficiência e às relações destes conceitos com as proposições condicionais Numa proposição condicional Se A então B a ocorrência de A implica obrigatoriamente a ocorrência de B Então dizemos que A é uma condição suficiente para a ocorrência de B ou que A é suficiente para B Sabemos que a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A sem a ocorrência de B certamente A também não ocorreria Por este motivo dizemos que B é uma condição necessária para a ocorrência de A ou que B é necessária para A Portanto Chuva é condição suficiente para fazer frio e que Frio é condição necessária para chover Para finalizar seu estudo resolva os Exercícios 14 e 15 e o Exercício Pontuado 31 Homem R R R Caridoso Falsa 81 wwwvirtualucdbbr 0800 647 3335 REFERÊNCIAS ANDRADE Primo Nunes de Elementos de lógica Rio de Janeiro 1972 CURY Márcia Xavier Introdução à Lógica São Paulo Érica 1996 DAGHLIAN Jacob Lógica e álgebra de Boole 4 ed São Paulo Atlas 1995 DUARTE Heron Márcio Ferreira Raciocínio Lógico e Quantitativo Brasília Ativa 1999 GONZALEZ Norton Questões de Raciocínio Lógico Quantitativo e Analítico Rio de Janeiro Moderna 2009 JACOB Daghlian Lógica e Álgebra de Boole São Paulo Saraiva 1995 KELLER Vicente BASTOS Cleverson Leite Aprendendo lógica 8 ed Rio de Janeiro Vozes 2000 KLEENE Stephen Cole Introducción a la metamatemática Madrid Tecnos 1974 LIMA Arlete Cerqueira Lógica Linguagem Salvador Centro Editorial e Didático da UFBA 1993 LOCIKS Júlio Raciocínio Lógico e Matemático Brasília Vestcon Editora 2002 MORGADO Augusto C CESAR Benjamin Raciocínio LógicoQuantitativo Série Provas e Concursos 4 ed São Paulo Campus 2009 MORTARI Cezar Augusto Introdução à lógica Franca SP Ed UNESP 2001 OLIVEIRA Marcos Barbosa de O cálculo proposicional Marília Ed UNESP 1983 PINTO Mario Elementos básicos de lógica Belo Horizonte UCMG 1981 Cadernos UCMG 8 PINTO Paulo Roberto Margutti Introdução à lógica simbólica Belo Horizonte UFMG 2006 SÁ Ilydio Pereira Raciocínio Lógico Concursos PúblicosFormação de Professores Rio de Janeiro Moderna 2008 SMULLYAN Raymond O enigma de Sherazade e outros incríveis problemas das mil e uma noites à lógica moderna Rio de Janeiro Jorge Zahar Editor 1998 TAHAN Malba O Homem que calculava 18 ed Rio de Janeiro Ed Record 2001 1 De A B 3 formas A B ou C De B A 2 formas B ou C N 32 6 2 2x y 24 De ROTA eq x y z 40 VITORIAS EMPATE x 12 y 0 z 28 x 11 y 2 z 27 x 10 Y 4 z 26 x 9 y 6 z 25 x 8 y 8 z 24 x 7 y 10 z 23 x 6 y 12 z 22 x 5 y 14 z 21 x 4 y 16 z 20 x 3 y 18 z 19 x 2 y 20 z 18 x 1 y 22 z 17 x 0 y 24 y 16 Logo o mínimo é de 16 DERROTAS 3 d 4 c 5 a 5 8 13 41 20 61 13 12 25 6 b Uma menina têm x irmãos e x irmás 2x 1 filhos 7 Cada filho têm o dobro de irmãos x 1 2x 1 x 3 Nº 23 1 7 8 ÚLTIMA POLHA BOLIVIOLÓ 9 N 1ª FORMADOR 1 N PODE SER NÚMERO 0 10 11 12 SORTE COM PALITO 8000 1 1 8002