Lista 2 - Estatística 2022-1

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS Profa. Patrícia Viana da Silva Em todas as questões definam os eventos de interesse e sempre que possível apresente o espaço amostral. 1 – Suponha que o espaço amostral de um experimento, Ω, é formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam os eventos A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e C = {5, 6, 7}. Enumere os elementos de Ω e dos eventos abaixo: a) Ac ∩ B b) Ac U B c) (A∩ B)c d) [Ac ∩ (B ∩ C)]c e) [A ∩ (B U C)]c 2 – Suponha um experimento aleatório cujo espaço amostral é Ω = [-1, 1]. Sejamos eventos A = [0, 1) ; B = (1/2, 1] e C = (1/2, 2/3). Represente os seguintes evento usando intervalos: a) Cc ∩ A b) Bc U C c) A ∩ B ∩ C d) A U (B ∩ C)c e) B∩ A Obs.: Um intervalo (a, b] significa que todos os valores entre a e b pertencem a este intervalo, com o valor "a" não incluído e o valor "b" incluído. 3 – Os eventos e {0} são iguais? Justifique. 4 – Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Calcule: a) P(A ∩ B) b) P(A U B) c) P(A|B) d) P(Ac) 5 – Considere dois eventos A e B, independentes, com P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Calcule: a) P(A ∩ B) b) P(A U B) c) P(A|B) d) P(Ac) 6 – Encontre o erro nas afirmações abaixo: a) A probabilidade de você ser aprovado na disciplina de estatística é 2 e a de ser reprovado é 0,2. b) A probabilidade de chover amanhã é 20%, de ficar nublado sem chuva é 10% e de ter sol é 80%. 7 – Numa prova um estudante deve responder exatamente 3 questões de um total de 5. Descreva o espaço amostral das questões escolhidas. Qual a probabilidade de responder pelo menos 2 das primeiras 3 questões se o espaço amostral é equiprovável? 8 – Duas crianças iniciam um jogo no qual sorteia-se um número de 1 a 100, todos com a mesma probabilidade. A primeira criança ganha se o número sorteado for múltiplo de 6 e a segunda ganha se o número sorteado for múltiplo de 10. a) Descreva o espaço amostral e os eventos A: a primeira criança ganha e B: a segunda criança ganha. b) Qual a probabilidade de nenhuma das crianças ganhar? Que suposição você fez? c) Se o jogo é repetido duas vezes, qual a probabilidade da primeira criança ganha as duas partidas? Que suposição você fez? 9 – Estuda-se a relação da pressão arterial elevada e três tipos de distúrbios, chamados A, B e C. Uma população de 100 pessoas com os forneceu os seguintes resultados: Para esta população, calcular a probabilidade de: a) ter a pressão elevada se a pessoa tem o distúrbio B. b) uma pessoa ter o distúrbio C e pressão elevada. c) uma pessoa ter o distúrbio A ou pressão elevada. d) uma pessoa não ter o distúrbio C. 10 – Os dados seguintes são tomados de um estudo de um teste para diagnosticar osteoartrose de quadril numa determinada população. a) Qual é a probabilidade do teste dar positivo dado que o paciente tem osteoartrose? b) Qual é a probabilidade do indivíduo ter o osteoartrose dado que o teste deu positivo? c) Calcule a probabilidade de se ter um resultado positivo do teste e a osteoartrose estar ausente. d) Calcule a probabilidade do teste fornecer um resultado positivo. 11 – Dos indivíduos de uma população, 60% estão vacinados contra uma certa doença. Durante uma epidemia, sabe-se que 20% contraiu a doença em questão e que dois de cada 100 indivíduos estão ∅ Pressão arterial Distúrbio A Distúrbio B Distúrbio C Normal 10 8 2 Elevada 15 45 20 Osteoartrose Teste Presente Ausente Total Posi;vo 77 96 173 Nega;vo 9 162 171 Total 86 258 344 vacinados e são doentes. Calcule a probabilidade de vacinados que ficam doentes e de doentes entre os que estão vacinados. 12 – Em certa região do país, sabe-se, baseado em experiências anteriores, que a probabilidade de selecionar um adulto com mais de 40 anos, com câncer, é de 0,05. Se a probabilidade de o médico diagnosticar corretamente uma pessoa com câncer como portadora da doença é de 0,78 e a probabilidade de diagnosticar incorretamente uma pessoa sem câncer como sendo portadora da doença é de 0,06, qual é a probabilidade de que a pessoa seja diagnosticada com câncer? 13 – A probabilidade de que Antonio esteja vivo daqui a 20 anos é de 0,7 e a de que Nina esteja viva no mesmo período é de 0,9. Se assumirmos a independência entre os eventos, qual é a probabilidade de que nenhum deles esteja vivo em 20 anos? 14 – De experiências anteriores, sabe-se que em certa região do país a probabilidade de uma pessoa ter câncer é 0,05. Se a probabilidade de diagnos]car corretamente uma pessoa com câncer é de 0,78 e a probabilidade de diagnos]car incorretamente uma pessoa sem câncer é de 0,06; qual é a probabilidade de que a pessoa seja diagnos]cada com câncer? 15 – Em uma certa população, 4% dos homens e 1% das mulheres apresentam pancreatite. Nessa população, 60% das pessoas são mulheres. Uma pessoa é escolhida ao acaso e descobre-se que apresenta o pancreatite. Qual é a probabilidade de que seja do sexo masculino? 16 – Estudos epidemiológicos indicam que 20% dos idosos de uma população sofrem de uma deterioração neuropsicológica. Sabe-se que a tomografia axial computadorizada (TAC) é capaz de detectar esse transtorno em 80% dos que sofrem desta condição, mas que também resulta 3% de resultados positivos em pacientes com boa saúde. Se for escolhido um idoso ao acaso, sendo o resultado do seu TAC positivo, qual é a probabilidade de que ele realmente esteja enfermo? 17 – Um aluno fez prova de duas disciplinas. Em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 40%, enquanto na outra, pelo fato de ter mais aptidão, a probabilidade de sua aprovação sobe para 60%. Nessas condições, qual a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelo menos uma das disciplinas? Qual suposição você fez para realizar o cálculo? 18 – É comum, em muitas áreas industriais, o uso de máquinas envasadoras para colocar os produtos em caixas. Isso ocorre na indústria alimentícia, bem como em outras áreas nas quais os produtos tem uso doméstico, como o detergente. Tais máquinas não são perfeitas e podem: A, atender ás especificações; B, encher as caixas menos do que o necessário; ou C, encher mais do que o necessário. Geralmente, o não enchimento das caixas é o que se deseja evitar. Seja P(B) = 0,001 enquanto P(A) = 0,990. a) Forneça P(C). b) Qual é a probabilidade de a máquina não encher as caixas menos do que o necessário? c) Qual é a probabilidade de a máquina encher as caixas mais do que o necessário ou encher menos do que o necessário? 19 – A probabilidade de que um automóvel sendo abastecido com gasolina também necessite de uma troca de óleo é de 0,25; a probabilidade de que ele precise de um novo filtro de óleo é de 0,40; e a probabilidade de que sejam necessárias tanto a troca de óleo quanto a de filtro é de 0,14. a) Se o óleo tiver de ser trocado, qual é a probabilidade de que o filtro tenha de ser trocado? b) Se for preciso um novo filtro, qual é a probabilidade de que o óleo precise ser trocado? 20 - Suponha que, em uma sala do último ano de uma faculdade com 500 alunos, encontramos 210 fumantes, 258 pessoas que ingerem bebidas alcoólicas, 216 pessoas que comem entre as refeições, 122 que fumam e ingerem bebidas alcoólicas, 83 que comem entre as refeições e ingerem bebidas alcoólicas, 97 que fumam e comem entre as refeições e 52 se enquadram nessas três práticas prejudiciais a saúde. Se um membro dessa sala é selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de que tal estudante: a) fume, mas não ingira bebidas alcoólicas; b) coma entre as refeições e ingira bebidas alcoólicas, mas não fume; c) não fume nem coma entre as refeições. 1- Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} a) 𝐴𝑐 = {1,5,6,7,8,9,10} 𝐵 = {3,4,5} Interseção são os eventos em comum, logo: 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 = {5} b) União é a junção dos eventos 𝐴𝑐 ∪ 𝐵 = {1,3,4,5,6,7,8,9,10} c) 𝐴 = {2,3,4} 𝐴 ∩ 𝐵 = {3,4} (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = {1,2,5,6,7,8,9,10} d) 𝐶 = {5,6,7} 𝐵 ∩ 𝐶 = {5} 𝐴𝑐 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = {5} [𝐴𝑐 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)]𝑐 = {1,2,3,4,6,7,8,9,10} e) 𝐵 ∪ 𝐶 = {3,4,5,6,7} 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = {3,4} [𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)]𝑐 = {1,2,5,6,7,8,9,10} 2- Ω = {−1,1} a) 𝐶𝑐 = [−1, 1 2) 𝑈 ( 2 3 , 1] 𝐶𝑐 ∩ 𝐴 = [0, 1 2) ∪ (2 3 , 1) b) 𝐵𝑐 = [−1, 1 2] 𝐵𝑐 ∪ 𝐶 = [−1, 2 3) c) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = ( 1 2 , 2 3) d) 𝐵 ∩ 𝐶 = ( 1 2 , 2 3) 𝐴 ∪ [𝐵 ∩ 𝐶]𝑐 = [−1,1] e) 𝐴 ∩ 𝐵 = ( 1 2 , 1) 4- 𝑃(𝐴) = 0,3 𝑃(𝐵) = 0,5 a) Não há interseção, logo é 0 b) 0,3+0,5=0,8 c)𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) = 0,3 d)𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 0,3 = 0,7 5- a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵) = 0,15 b) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,3 + 0,8 − 0,15 = 0,95 c) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) = 0,3 d) 1 − 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴𝑐) = 0,7 7- Espaço amostral = Ω = {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5)} 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 5! 3! ∗ 2! = 10 Responder pelo menos duas das 3 primeiras: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (2,3,4), (2,3,5) 𝑙𝑜𝑔𝑜, 7 10 = 70% 10- a) 77 86 = 89,5% b) 77 173 = 44,5% c) 96 344 = 27,9% d) 177 344 = 51,4% 11- 60% vacinados 40% não vacinados 20% contraíram doença 80% não contraiu 2% vacinados e doentes Vamos supor que essa população tem 100 pessoas 60 vacinadas 40 não vacinadas 20 tem a doença 80 não tem 2 possuem a doença e são vacinados 58 não possuem a doença e são vacinados 18 possuem a doença e não são vacinados 22 não possuem a doença e não são vacinados Probabilidade de vacinados e são doentes: 2 20 = 10% Doente entre os vacinados: 2 60 = 3,33% 12- Adulto +40 c/câncer 5% Médico diagnosticar certo com câncer 78% Médico diagnosticar errado sem câncer 6% Vamos nomear os eventos da seguinte maneira: D = "diagnosticar uma pessoa" P = "ser portadora da doença" Assim, pelos dados do exercício, temos que: P(P) = 0,05 P(D | P) = 0,78 P(D | Pc) = 0,06 obs: estamos usando a condicional, e Pc se refere ao complementar do evento P, isto é, Pc = 1 - P Logo, para termos a probabilidade de que a pessoa seja diagnosticada, vale relembrar o teorema da probabilidade total: P(D) = P(D ∩ P) + P(D ∩ Pc) P(D) = P(D | P).P(P) + P(D | Pc).(Pc) - essa passagem vem da formula da condicional P(D) = (0,78).(0,05) + (0,06).(1-0,05) P(D) = (0,039) + (0,057) P(D) = 0,096. 15-Vamos usar o teorema de bayes 0,4 ∗ 0,04 0,6 ∗ 0,01 + 0,4 ∗ 0,04 = 74% 16- 0,2 ∗ 0,8 0,2 ∗ 0,8 + 0,8 ∗ 0,03 = 0,869% 18- Primeiramente, vamos fazer a união das probabilidades, para achar o espaço amostral: Ficar certo 0,99 Encher menos que o necessário 0,001 Encher mais que o necessário 1 − (0,99 + 0,001) − 0,009 a) Encher mais que o necessário 1 − (0,99 + 0,001) = 0,009 b) 0,99 + 0,009 = 0,999 C)0,001 + 0,009 = 0,01