Teste de Hipóteses para Médias - Populações Normais com Variância Conhecida e Desconhecida

Testes de hipóteses p populações normais X v N μ σ² Teste para média c variância conhecida μ desconhecido σ² conhecido 1 Formulação da hipótese H₀ μ μ₀ H₁ μ μ₀ teste bilateral ou μ μ₀ Teste unilateral à direita μ μ₀ esquerda 2 Estatística usada X sabemos que z X μ σn v N01 3 construção da região crítica RC Fixado α encontramos o valor de zₐ na tabela normal padrão tal que p um teste bilateral P z zₐ 1α α2 RAHo RC α2 Rc Rc z z zα2 ou z zα2 zα2 zα2 Teste unilateral à direita α n é dividido por 2 RAHo 1 α α Rc Rc z z zα zα Teste unilateral à esquerda Rc α RAHo 1 α Rc Rc z z zα zα 4 Resultados da amostra 4 Resultados da amostra obtida uma amostra de n indivíduos X₁ Xn calcule os valores de X e zcalc X μ₀ σn μ₀ valor em H₀ sob a hipótese H₀ 5 Análise dos resultados se o valor observado zcalc pertencer à RC rejeite H₀ caso contrário aceite p um teste bilateral rejeite H₀ se z zα2 ou z zα2 Exemplo Considere uma máquina que enche pacotes de café segundo uma distribuição normal com média μ 500 g e variância σ² 400 g² Desejamos de meia em meia hora colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob controle isto é se μ 500 g ou não Se uma dessas amostras apresentasse média X 492 g você pararia ou não a produção p fazer um ajuste Use α1 Seja X o peso de cada pacote de café então X v N μ 400 H₀ μ 500 g H₁ μ 500 g a máquina pode desregular p mais ou p menos X v N μ 40016 X v N μ 25 Z X 500 5 v N 01 fixado α 1 001 temos α2 0005 8 Rc RAHo 099 0005 Rc Rc z z 258 ou z 258 258 16 258 zcalc 492 500 5 8 5 16 25 0995 Portanto zcalc RC assim ao nível de 1 de signif aceitamos H₀ ou seja aceitamos a hipótese de que a máquina não desregulou e não paramos a produção Teste p média c a variância desconhecida O procedimento é o mesmo do teste anterior o que muda é somente a distrib a ser usada 1 Formulação da hipótese X v N μ σ² μ e σ² desconhecidos H₀ μ μ₀ H₁ μ μ₀ 2 Estatística usada X x s² T X μ sn v tₙ₁ 3 construção da RC p α fixado Teste bilateral α2 RAHo RC α2 Rc Rc t t tc ou t tc tc tₙ₁ α2 tcalc X μ₀ sn Conclusão se tcalc RC rejeite H₀ caso contrário aceite com nível α de significância Exemplo Um fabricante afirma que seus cigarros contêm não mais que 30 mg de nicotina Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 315 mg e desvio padrão de 3 mg Sabendo que a quantidade de nicotina no cigarro se distribui segundo uma distribuição normal ao nível de 5 de signif os dados refutam ou não a afirmação do fabricante Ho μ 30 Hi μ 30 teste unilateral à direita c α 5 Dados X 315 S 3 n 25 Sabemos que X μ₀ Sn tₙ₁ X 30 325 t₂₄ tcalc 315 30 35 25 RC t t 1711 t24 005 1711 Conclusão como tcalc RC ao nível de 5 de signif rejeitamos H₀ ou seja aceitamos que a média de nicotina nos cigarros é maior do que 30 mg